1

CATÁLOGO MATEMÁTICO…

OTRO INTENTO POR MEJORAR NUESTRA PRÁCTICA DOCENTE.

PORQUE MEJORAR SIEMPRE ES POSIBLE

POR:

JUAN GUILLERMO BUILES GÓMEZ

I.E PBRO ANTONIO JOSÉ BERNAL LONDOÑO S. J

MEDELLÍN

2010

2

BASE 2: OPERACIONES EN LOS DIFERENTES CONJUNTOS NUMÉRICOS

CON EL ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL

INDICADOR DE DESEMPEÑO: Identifica el conjunto de los números Reales, los poliedros, polígonos, tablas de frecuencias y gráficos estadísticos para resolver situaciones problema de la vida cotidiana a través del análisis de la información

INTRODUCCIÓN

Como docente de Matemáticas y pensando en como articular el uso de las nuevas

tecnologías y los materiales didácticos concretos en una misma propuesta, llegué

al diseño final de un CATÁLOGO MATEMÁTICO, en el cual el aula se organizó en

8 bases, cada una de ellas con mínimo 5 estudiantes

La estrategía empleada básicamente consiste en convertir el aula de clase en un

carrusel o catalogo permanente, en el cual se han estructurado 8 bases .cada una

de ellas con máximo 5 estudiantes, cada uno de ellos con un roll y funciones

diferenciadas, materializando así un poco el trabajo colaborativo, una de las

características esenciales del modelo pedagógico institucional, el

DESARROLLISTA SOCIAL CON ÉNFASIS EN COMPETENCIAS:

1 Monitor (a): -Responsable de asesorar a los demás compañeros de base en el

desarrollo de las temáticas abordadas, previamente investigadas, introducidas y/o

explicadas por el docente.

-Aclarar las dudas que se presenten y estén a su alcance en solucionar

-.Recoger las inquietudes, dudas o sugerencias que el equipo de trabajo tenga

para dinamizar el proceso de enseñanza-aprendizaje en el aula de clase y fuera

de ella.

2. Suplente de monitor(a): -Apoyar al monitor en sus funciones.

-Reemplazar al monitor cuando este no pueda cumplir con sus funciones

-Colaborar con el orden, disciplina, respeto entre los compañeros de la base,

mientras el monitor realice sus funciones propias del cargo.

3. Secretario (a) o relator (a):

-Realizar el acta de la semana en donde se registren aquellos aspectos más

importantes ocurridos dentro del trabajo académico y de convivencia grupal.

3

- Hacer la lectura de dichas actas, mínimo cada 15 días o cuando los integrantes

de la base lo consideren pertinente para ir llevando un control adecuado y

sistemático de las consideraciones, conclusiones y evaluaciones que se llevan a

cabo en el diario quehacer de las clases.

4. Moderador(a):

-Controla el orden y disciplina en la base, al igual que en las intervenciones de los

miembros de la misma.

-Cede la palabra a quienes desean dar a conocer sus ideas, aportes, sugerencias

o inquietudes.

5. Apoyo logístico:

-Recibe, cuida y entrega el material al docente o encargado de su manejo.

-Esta pendiente de tener los elementos o materiales necesarios para el normal

desarrollo de las tematicas a desarrollar en la base.

-Estudiante que cuenta con conocimientos básicos del manejo de un ordenador,

los programas y el saber seguir instrucciones o rutas virtuales, para servir de

apoyo a los demás compañeros en las dificultades que se presenten en dicho

sentido.

4

ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL J.G.B

Material didáctico concreto creado por el docente JUAN GUILLERMO BUILES

GÓMEZ y que permite desarrollar la temática de la ciencia del número, la forma y

el razonamiento lógico, de una manera más práctica, sencilla y significativa con el

propósito de potencializar las habilidades y destrezas de sus estudiantes que

faciliten o generen individuos más competentes y analíticos.

MATERIALES: en cartón paja, cartulina, papel silueta, madera o fommy de

diferentes colores construir y recortar mínimo 10 piezas de cada área o figura.

1) un cuadrito de 5cm x 5cm que tomaremos como unidad (1)

2) un rectángulo de 14cm x 5cm que tomaremos como decena (10 unidades) o

cualquier variable (x por ejemplo).

3) un cuadrado de 14cm x 14cm que tomaremos como centena

(100 unidades) o el cuadrado de una variable.

5

Hasta acá tenemos el material básico.

Adicionalmente, podemos elaborar las siguientes piezas:

4) un rectángulo de 7cm x 5cm que tomaremos como 5 (unidades) ó (y)

5) un cuadrado de 7cm x 7cm que tomaremos como ó el cuadrado de

6) un rectángulo de 14cm x 7cm que indicara el 50 ó el área x.y

NÚMEROS NATURALES

1. sistema de numeración decimal aplicado a los números naturales: IN

IN: {1, 2, 3, 4, 5,... 100... 540...}

6

OPERACIONES BÁSICAS

A) conteo: iniciemos el reconocimiento del material y su manipulación con la

Operación más simple; pero a la vez fundamental: el conteo.

0 no colocamos o separamos ninguna ficha.

1 colocamos una ficha marcada con el

2 a continuación de la anterior, colocamos otra ficha unidad

3

.

.

.

9 9 fichas ó

10 10 fichas ó

NOTA: pero 10 unidades equivalen o forman 1 decena (1 grupito de 10), es

decir, que las 10 fichas unidad las reemplazamos por una ficha decena.

7

10

11

12

13

.

.

.

19

20

NOTA: Pero como 10 unidades forman otra decena entonces:

20 =

21

22

8

Y así sucesivamente.

B) Adición o suma: operación matemática que consiste en agregar o reunir

varias cantidades llamadas sumandos en una sola

llamada total o suma.

EJEMPLOS: SUMAR:

a)

b)

9

c)

d)

10

Si observamos bien, funciona de igual forma que el ábaco. En ese sentido en cada

posición puede existir máximo 9 puntos y debemos entonces reemplazar o

sustituir fichas así:

10 unidades = 1 decena

10 decenas = 1 centena

11

e)

Observe, recuerde y reemplace o reagrupe las fichas menores así:

10 unidades forman 1 decena

10 decenas forman 1 centena

12

RESTA DE NÚMEROS NATURALES

C) resta o sustracción: operación matemática que permite de una cantidad

(Llamada minuendo) quitar, extraer o suprimir otra

Cantidad (sustraendo) para obtener una tercera

(Resultado o diferencia) EJEMPLOS:

a)

13

b)

14

c) De 502 restar 301:

15

d) De 423 restar 256:

NOTA: si observamos bien, necesito retirar 6 unidades pero solo tengo 3. Lo

Que sugiere que puedo tomar 1 decena y cambiarla por 10 unidades.

En las decenas debo retirar 5 y sólo tengo 2. Puedo cambiar una

Centena por 10 decenas así:

16

e) Restar 182 de 456:

Vemos que hay problema en las decenas. Por lo tanto cambio 1 centena por 10

decenas.

17

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES

D) Multiplicación o producto: se puede entender como una suma abreviada

En donde un factor (multiplicando) nos indica

Las veces en que se debe tomar o representar

El otro factor (multiplicador) y cuyo resultado

Llamaremos producto.

SUGERENCIA: Piense en formar un cuadrado o rectángulo en donde un

Factor actúa como base y el otro como altura.

EJEMPLOS: MULTIPLICAR

a) 2x3= 2 filas por 3 columnas

Ó 2 veces 3

18

b) 5x4= 5 filas por 4 columnas

ó 5 veces 4

c) 6x7=

d) 11X11=

1) forma la base y altura según

Lo indican los factores.

2) completo la figura con las

Áreas o piezas apropiadas.

3) sumo el valor de todas las

Fichas.

19

e)

DIVISIÓN DE NÚMEROS NATURALES

DIVISIÓN O COCIENTE:

20

Operación matemática que permite tomar una cantidad (dividendo) y repartir en

pequeños grupos (divisor) siendo el número de dichos grupitos el resultado.

(Cociente).

PASOS: 1) Selecciono las fichas apropiadas

2) El divisor me indica la base del cuadrado o rectángulo que debo

Formar. Es decir, sobre dicha base coloco las demás fichas.

3) El resultado lo obtenemos con el valor de la altura de la figura

Formada. Si sobran fichas, ellas serán el residuo.

EJEMPLOS: DIVIDIR

a) 1)

2)

3)

b) 1)

21

2)

3)

c) 1)

2)

22

Si analizamos bien, al disponer las fichas de esta manera, no se logra obtener un

cuadrado o rectángulo. He aquí dos posibles formas de hacerlo:

23

HE ACÁ UNA MUESTRA DE CÓMO TRABAJAR LOS NÚMEROS ENTEROS

BIENVENID@ Y TENGA EN CUENTA LO SIGUIENTE:

24

2. OPRACIONES CON NÚMEROS ENTEROS.

(POSITIVOS Y NEGATIVOS)

Tomaremos como positivo la parte blanca de las fichas y su dorso o parte trasera

o de color como sentido negativo así:

NOTA: Una ficha blanca con otra

de igual tamaño pero de

color se anulan, (se eliminan

o simplemente dan cero).

A) ADICIÓN O SUMA:

a) (200) + (-300) =

25

b) (-15) + (-12) =

c) (12) + (-7) =

B) RESTRA O SUSTRACCIÓN: De -2 restar -5

a) (-2) – (-5): El signo (-) de la resta, indica que debo invertir el sustraendo

(voltear la ficha) y realizar la suma.

b) (11) – (12) = De 11 restar 12

26

C) MULTIPLICACIÓN: De igual forma que en los naturales, tan sólo tenga en

cuenta que una ficha de color (invertir) voltea la que

está multiplicando: EJEMPLOS

a) 2x (-3): 2 veces -3:

b) (-2) por (+3):

-2 veces 3 indica, 2 veces 3 fichas pero invertidas

2x3=

c) (11) (-11):

27

d) (-12) (-12):

D) DIVISIÓN: El signo del divisor indica

si volteo o no las fichas

a) (-121) (11): de la altura.

Acá como es positivo, indica

que no se voltean. por

lo tanto:

b) -132 -12 = El signo (-) del divisor o

base indica que debo

cambiar o voltear las fichas

de la altura.

28

3) OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

(QUEBRADOS Y DECIMALES)

Para ello tomaremos la decena como unidad y la dividiremos en medios (1/2); en

tercios (1/3); cuartos (1/4); sextos (1/6); quintos (1/5)... hasta décimos (1/10).

Dividiendo la unidad en 2 partes iguales, 3 partes iguales respectivamente así:

29

Y ASI SUCESIVAMENTE….

VEAMOS ALGUNOS EJEMPLOS:

1.SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HOMOGÉNEAS: Igual

denominador

a) 1/2 + 3/2 = + = 4/2

Pero si observamos bien, es lo mismo que

Entonces: 1/2 + 3/2 =

b) 2/ 3 - 1/3 = - =

c) 3 1/2 + 2 2/2 = +

= 5 3/2

30

2. SUMA Y RESTA DE FRACCIONES HETEROGÉNEAS: Diferente denominador.

a) 1/2 + 1/4 = +

Si observamos bien, 1/2 es lo mismo que tener 2/4 (analizar las figuras)

Al reemplazar por ; tenemos:

1/2 + 1/4 = + = 3/4

b) 2/3 - 1/ 6 = - =

Si observamos las figuras, entenderemos que =

Al reemplazar 1/3 por 2 /6 tenemos:

2/3 – 1/6 = - = =

c) (-3/4) – (+1/8) = - =

Si observamos bien las figuras, entenderemos que =

Al realizar el reemplazo o sustitución tenemos:

(-3/4) – (+1/8) = + = - 7/8

31

¿Y QUE TAL EL ÁLGEBRA?

4) OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS O POLINOMIOS.

Basta con cambiarle de nombre a las fichas así:

De igual forma

Elaboramos o

Tomamos sus

Mitades, tercios,

Cuartos, octavos

Y decimos.

A) SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS.

NOTA: Sólo podemos sumar o restar las fichas de igual tamaño entre sí,

(Términos semejantes), de la misma manera que operamos unidades

Con unidades; decenas con decenas y centenas con centenas.

En este caso se trata de conocidoas las medidas del largo y ancho de un terreno,

obtener su perimetro o suma de las medidas de todos sus lados:

32

3X -4

2X +3

PERIMETRO= SUMA DE LAS MEDIDAS DE LOS LADOS

P= (2X+3) + (2X+3) + (3X-4) + (3X-4)

P= (2X+2X+3X+3X) + (3+3-4-4)

P= 10X -2

EJEMPLOS: Simplificar.

a) Sumar:

b)

33

34

c) De restar

De

:

Restar :

Entonces:

c) De restar

35

B) MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS:

En este caso se trata de conocer las medidas del largo y ancho de un terreno de

forma rectángular o cuadrada para obtener su área o superficie.

3X-4

2X+3

ÁREA= LARGO * ANCHO

A= (2X+3) (3X-4)

A= 6 X2 – 8X + 9X -12

A= 6 X2 +X -12

a) Hallar el producto de (x+2) por (x+3)

Tratamos de construir un rectángulo cuya base esta dada por el primer polinomio

(X+2) y cuya altura será el segundo factor (x+3):

X+2

Por (x +3)

Al completar el rectángulo, tenemos:

36

Entonces: (x+2) (x+3) = x2 + 5x + 6

b) Obtener el producto de (2x +1) (3x+1)

Colocamos el primer factor como base de un rectángulo y el segundo factor como

la altura del mismo:

37

Al completar la figura obtenemos:

= = 6X2+5X +1

C) DIVISIÓN O COCIENTE DE POLINOMIOS:

En este caso se trata de conocer el área o superficie de un terreno rectangular o

cuadrado y la medida de uno de sus lados para obtener la medida del otro (la

altura o ancho del terreno)

38

a) Dividir X2 +4X +4 entre X+2

1°) Tomamos las piezas correspondientes al cociente X2 +4X +4

2°) Colocamos como base el polinomio divisor (X+2) y encima de esta

base acomodamos las demás piezas:

3°) El cociente o respuesta se obtiene al realizar la lectura de la altura del

rectángulo o cuadrado que obtenido. En este caso sería (X+2) y como no

sobran fichas el residúo es cero.

b) Dividir 2X2 + 3X + 3 entre X + 1

1°) Tomamos las piezas correspondientes al cociente 2X2 + 3X + 3

39

2°) Colocamos como base el polinomio divisor (X+1) y encima de esta

base acomodamos las demás piezas:

3°) El cociente o respuesta se obtiene al realizar la lectura de la altura del

rectángulo o cuadrado que obtenido. En este caso sería (2X+1) y como

sobran 2 fichas de valor 1 el residúo es 2.

D) PRODUCTOS NOTABLES

Productos cuyo resultado se pueden obtener de forma directa sin

necesidad de realizar la multiplicación.

Algunos de ellos son:

1) CUADRADO DE LA SUMA O RESTA DE DOS CANTIDADES: (a+b)2

(a+b)2= a2 +2*a*b +b2

a) (X+2)2 = (X+2) (X+2)

Basta con resolver el producto que resulta: (X+2) (X+2)

40

Al completar el cuadrilátero, tenemos:

Esdecir, (X+2)2 = (X+2) (X+2) = X2 +4X +4

E) FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS:

En este caso se trata de conocer el área o superficie de un terreno de forma

rectángular o cuadrada e indagar por la medida de sus lados:

Al factorizar el polinomio que corresponde al área del rectángulo, se

obtienen dos factores y ellos corresponden a la medida del largo y del

ancho de dicho terreno:

Para factorizar un polinomio empleando el rompecabezas, proceda así:

41

1. Tome las piezas que representan el polinomio dado

2. Forme, con todas ellas, un cuadrado o un rectángulo

3. Obtenga el producto de las medidas de la base y la altura de dicha figura y listo.

Analicemos algunos ejemplos:

Factorizar los siguiente polinomios con el rompecabezas multifuncional

a) X2 + 4X + 3

1. Tome las piezas que representan el polinomio dado

2. Forme, con todas ellas, un cuadrado o un rectángulo

X+1

X +3

3. Obtenga el producto de las medidas de la base y la altura de dicha figura y listo

Entonces: X2 + 4X + 3 = (X+3) (X+1)

b) Descomponer en dos factores: X2 + 4X +4

42

1. Tome las piezas que representan el polinomio dado

2. Forme, con todas ellas, un cuadrado o un rectángulo

X+2

X+2

3. Obtenga el producto de las medidas de la base y la altura de dicha figura y listo

Entonces: X2 + 4X + 4 = (X+2) (X+2) = (X+2)2

NOTA: Si observas bién, se trata de un cuadrado y lo que corresponde a un

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.

43

c) Factorizar o descomponer en dos factores el polinomio: 2 X2 + 3X +1

1. Tome las piezas que representan el polinomio dado

2. Forme, con todas ellas, un cuadrado o un rectángulo

X + 1

2X +1

3. Ob

tenga el producto de las medidas de la base y la altura de dicha figura y

listo

Entonces: 2 X2 + 3X +1= (X +1) (2X +1)

44

G) ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES CON UNA SOLA

INCÓGNITA:

Teoría tomada de

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Ecuaciones_primer_grado.html

Ecuaciones de primer grado o lineales

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades

algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el

coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

2x – 3 + 3 = 53 + 3

45

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

2x = 53 + 3

2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x,

entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

2x • ½ = 56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

x = 56 / 2

x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Ejemplo:

Resolución de la ecuación 2x - 3 = 2

1º paso: Se suma a los dos miembros 3.

2x -3 + 3 = 2 + 3

2x = 5

2º paso. Se divide los dos miembros por 2.

2x /2 = 5/2

-

SOLUCIÓN: x = 5 / 2

Resolvamos otros ejemplos:

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro

46

lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).

Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x)

(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)

(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)

(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo)

(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1)

(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)

(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.

47

(léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se divide un positivo, el 1, con un negativo, el – 3.

Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos

Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

Primero quitamos los paréntesis.

Reducimos términos semejantes.

48

Ahora quitamos los corchetes.

Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas.

Nuevamente reducimos términos semejantes

Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos.

Advertencia

Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:

a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5

b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5

Resolución de ecuaciones con productos incluidos

Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

Observemos un ejemplo:

Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis.

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.)

Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad.

Despejamos x pasando 3 a dividir.

49

Resolución de problemas mediante ecuaciones

Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

Veamos un problema característico:

Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

Digamos que las edades de los tres son:

x edad de Pedro y edad de Álvaro z edad de María

Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro):

y = x + 3

También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María):

z = x – 7

Ahora tenemos que:

edad de Pedro: x

edad de Álvaro: x +3

edad de María: x – 7

La suma de las tres edades es 38:

x + x +3 + x – 7 = 38

Resolviendo está última ecuación tendremos:

x = 14 (esta es la edad de Pedro)

Finalmente:

edad de Pedro: x = 14 años

edad de Álvaro: x + 3 = 17 años

edad de María: x – 7 = 7 años

50

AHORA VAMOS A RESOLVER ECUACIONES UTILIZANDO EL

ROMPECABEZAS MULTIFUNCIONAL

a) Resolver la ecuación 3X +4 = 2X +6

1°) Representemos con las fichas la expresión o ecuación dada

=

2°) Aplicando el principio de la balanza en equilibrio:” En una balanza en

equilibrio, se pueden agregar o quitar la misma cantidad a ambos lados y el

equilibrio se conserva” (Ley uniforme). Vamos a quitar cuatro unos (1) a

ambos lados…

=

3°) Ahora eliminamos dos X a ambos lados…

=

4°) Haciendo la lectura directa, tenemos que X=2

51

b) Resolver la ecuación: 4 X -2= X – 8

1°) Representemos con las fichas la expresión o ecuación dada

=

2°) Aplicando el principio de la balanza en equilibrio:” En una balanza en

equilibrio, se pueden agregar o quitar la misma cantidad a ambos lados y el

equilibrio se conserva” (Ley uniforme). Vamos a quitar dos unos (-1) a

ambos lados…

=

3°) Ahora eliminamos una X a ambos lados…

=

4°) Como quedaron tres (3) X; debemos formar tres grupos iguales con los

unos, quedando entonces que cada X equivale a -2.

X = -2

52

H) ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO O CUADRÁTICAS:

Ecuaciones de segundo grado y una incógnita

Sabemos que una ecuación es una relación matemática entre números y letras. Normalmente se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación consiste en encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad.

Ese valor es la solución de la ecuación.

Ejemplo: Resolver la ecuación x − 1 = 0

El número que hace que esa ecuación sea cierta es el 1, ya que 1 – 1 = 0, por lo

tanto, 1 es la solución de la ecuación.

Si en la ecuación la incógnita está elevada al cuadrado, decimos que es una ecuación de segundo grado (llamadas también ecuaciones cuadráticas), que se caracterizan porque pueden tener dos soluciones (aunque también una sola,

e incluso ninguna).

Cualquier ecuación de segundo grado o cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax2 + bx + c = 0

Donde a, b y c son unos parámetros que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso particular.

Solución de ecuaciones cuadráticas

Hemos visto que una ecuación cuadrática es una ecuación en su forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b, y c son números reales. Pero este tipo de ecuación puede presentarse de diferentes formas:

Ejemplos:

Ecuaciones de segundo grado (o cuadráticas)

53

9x2 + 6x + 10 = 0 a = 9, b = 6, c = 10

3x2 – 9x + 0 = 0 a = 3, b = –9, c = 0 (el cero, la c, no se escribe, no está)

–6x2 + 0x + 10 = 0 a = -6, b = 0, c = 10 (el cero equis, la b, no se escribe)

Para resolver la ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 (o cualquiera de

las formas mostradas), puede usarse cualquiera de los siguientes métodos: Solución por factorización

En toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirlo en un producto de binomios.

Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno.

Para hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya que sabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplos

1) Resolver

(x + 3)(2x − 1) = 9

Lo primero es igualar la ecuación a cero.

Para hacerlo, multiplicamos los binomios:

Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:

Ahora podemos factorizar esta ecuación:

(2x − 3)(x + 4) = 0

Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:

Si

2x − 3 = 0

2x = 3

54

Si

x + 4 = 0

x = −4

Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas:

(x + 3)(2x − 1) = 9

2x2 + 5x − 12 = 0

2x2 + 5x = 12

2x2 − 12 = − 5x

En todos los casos la solución por factorización es la misma:

2) Halle las soluciones de

La ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luego resolver en términos de x:

Ahora, si

x = 0

o si

x− 4 = 0

x = 4

55

AHORA VEAMOS COMO RESOLVERLAS CON EL ROMPECABEZAS

MULTIFUNCIONAL

a) Resolver la ecuación X2 + 5X +6 = 0

1°) Representemos con las fichas la expresión o ecuación dada

2°) Se debe factorizar la expresión dada…Recordemos que para ello se

deben redistribuir las fichas de tal forma que se obtenga un rectángulo o un

cuadrado:

3°) El resultado será el producto de su base por su altura, es decir,

(X+2) (X+3) = 0

4°) Resultan asi dos ecuaciones de primer grado que debemos resolver:

= 0 ó = 0

5°) Que al resolverlas se obtienen las raices o soluciones:

= ó =

X= -2 ó X= -3

56

b) Resolver la ecuación de segundo grado: 3 X2 + 7 X +4

1°) Representemos con las fichas la expresión o ecuación dada

2°) Se debe factorizar la expresión dada…Recordemos que para ello se

deben redistribuir las fichas de tal forma que se obtenga un rectángulo o un

cuadrado:

X + 1

3 X + 4

3°) El resultado será el producto de su base por su altura, es decir,

(3X +4) (X +1)= 0

4°) Resultan asi dos ecuaciones de primer grado que debemos resolver:

= 0 Ó = 0

5°) Que al resolverlas se obtienen las raices o soluciones:

= Ó

=

X = -4/3 Ó X = -1 SON LAS RAÍCES DE DICHA ECUACIÓN