CDI-Guia08-Ver-12
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Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith J. Briceño N.
Objetivos a cubrir Código : MAT-CDI.8
� Límites laterales. Cálculo de límites. Límites en el in�nito. Límites in�nitos� Límites notables. Teorema del emparedado.� Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.� Funciones continuas en un intervalo. Discontinuidad. Tipos de discontinuidades.
Ejercicios resueltos
Ejemplo 159 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!1
x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x
Solución : Observemos que se tiene una no de�nición de la función en x = 1, así,
limx!1
x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x =
8>><>>:�1
ó
1;
entonces,
limx!1
x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x = lim
x!1
x3 � 2x� 5x (x2 � 2x+ 1) = lim
x!1
x3 � 2x� 5x (x� 1)2
= limx!1
1
(x� 1)2x3 � 2x� 5
x;
observemos que la expresiónx3 � 2x� 5
xes negativa si x ! 1, mientras que la expresión
1
(x� 1)2tiende a in�nito
cuando x! 1, (ver gra�co)
543210-1-2-3-4-5
50
37.5
25
12.5
0
x
y
x
y
Comportamiento de la función
f (x) =1
(x� 1)2
cuando x! 1
limx!1
1
(x� 1)2=1;
por lo tanto,
limx!1
x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x =1 (�) = �1
F
Ejemplo 160 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!1
3x3 + 2x2 � 3x2 + 5x3 + 3x
Solución : Observemos que este límite presenta una indeterminación de la forma11 , por ser una función racional,
dividimos cada término de la misma por la mayor potencia presente en ella, la cual es x3, así,
limx!1
3x3 + 2x2 � 3x2 + 5x3 + 3x
= limx!1
3x3
x3+2x2
x3� 3
x3
x2
x3+5x3
x3+3x
x3
= limx!1
3 +2
x� 3
x31
x+ 5 +
3
x2
S:I:=
3 +2
1 �3
(1)31
1 + 5 +3
(1)2=3
5
184
por lo tanto,
limx!1
3x3 + 2x2 � 3x2 + 5x3 + 3x
=3
5 existe.
F
Ejemplo 161 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limt!1
7� 2t2 � 4t16t4 � 81
Solución : Observemos que este límite presenta una indeterminación de la forma�11 , por ser una función racional,
dividimos cada término de la misma por la mayor potencia presente en ella, la cual es t4, así,
limt!1
7� 2t2 � 4t16t4 � 81 = lim
t!1
7
t4� 2t
2
t4� 4tt4
16t4
t4� 81t4
= limt!1
7
t4� 2
t2� 4
t3
16� 81t4
S:I:=
7
(1)4� 2
(1)2� 4
(1)3
16� 81
(1)4=
7
1 �2
1 �4
116� 811
=0� 0� 016 + 0
=0
16= 0;
por lo tanto,
limt!1
7� 2t2 � 4t16t4 � 81 = 0 existe.
F
Ejemplo 162 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limt!�1
6t5 + 4t3 � 2t2 + t� 10t2 � 6t+ 4
Solución : Observemos que este límite presenta una indeterminación de la forma�11 , por ser una función racional,
dividimos cada término de la misma por la mayor potencia presente en ella, la cual es t5, así,
limt!�1
6t5 + 4t3 � 2t2 + t� 10t2 � 6t+ 4 = lim
t!�1
6t5
t5+4t3
t5� 2t
2
t5+t
t5� 10t5
t2
t5� 6tt5+4
t5
= limt!�1
6 +4
t2� 2
t3+1
t4� 10t5
1
t3� 6
t4+4
t5
S:I:= lim
t!�1
6 +4
(�1)2� 2
(�1)3+
1
(�1)4� 10
(�1)51
(�1)3� 6
(�1)4+
4
(�1)5=1;
por lo tanto,
limt!�1
6t5 + 4t3 � 2t2 + t� 10t2 � 6t+ 4 =1 No existe.
F
Ejemplo 163 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!�1
4x�px2 + 6
3x� 1
Solución : Observemos que este límite presenta una indeterminación de la forma11 , y que la función es cociente de
potencias, dividimos cada término de la misma por la mayor potencia presente en ella, la cual es x, ya que
Término Potencia
4x 1px2 + 6 � x2=2 1
3x� 1 1
185
así,
limx!�1
4x�px2 + 6
3x� 1 = limx!�1
4x
x�px2 + 6
x3x
x� 1x
= limx!�1
4�px2 + 6
x
3� 1x
;
introducimos la variable x en la raíz cuadrada, pero por ser x negativa, ya que x ! �1, debemos ser cuidadoso,puesto que la raíz cuadrada condiciona su argumento, proponemos el cambio de variable
x = �z =) si x! �1 entonces z !1
y el límite nos queda
limx!�1
4�px2 + 6
x
3� 1x
= limz!1
4 +
pz2 + 6
z
3 +1
z
= limz!1
4 +
rz2
z2+6
z2
3 +1
z
= limz!1
4 +
r1 +
6
z2
3 +1
z
S:I:=
4 +
s1 +
6
(1)2
3 +1
1
=4 +
r1 +
6
13 +
1
1
=4 +p1 + 0
3 + 0=5
3;
por lo tanto,
limx!�1
4x�px2 + 6
3x� 1 =5
3 existe.
F
Ejemplo 164 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limt!1
�3pt3 + 8t2 � t
�Solución : Límite con una indeterminación de la forma 1 � 1. Levantamos la indeterminación, aplicando la
conjugada
limt!1
�3pt3 + 8t2 � t
�= lim
t!1
�3pt3 + 8t2 � t
� �� 3pt3 + 8t2
�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2
���
3pt3 + 8t2
�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2
�= lim
t!1
t3 + 8t2 � t3�3pt3 + 8t2
�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2
= limt!1
8t2�3pt3 + 8t2
�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2
;
observemos que este límite tiene una indeterminación de la forma11 , por la naturaleza del límite podemos dividir entre
la mayor potencia, es este caso t2, entonces dividimos cada término del límite entre t2
limt!1
8t2�3pt3 + 8t2
�2+ t 3pt3 + 8t2 + t2
= limt!1
8t2
t2�3pt3 + 8t2
�2t2
+t 3pt3 + 8t2
t2+t2
t2
= limt!1
8 3pt3 + 8t2
t
!2+
3pt3 + 8t2
t+ 1
= limt!1
8 3
rt3
t3+8t2
t3
!2+
3
rt3
t3+8t2
t3+ 1
= limt!1
8 3
r1 +
8
t
!2+ 3
r1 +
8
t+ 1
=8
(1)2+ (1) + 1
=8
3;
186
luego,
limt!1
�3pt3 + 8t2 � t
�=8
3 existe.
F
Ejemplo 165 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limt!2�
�9
8� t3 �3
4� t2
�Solución : Observemos que ambas expresiones que aparecen en el límite no están de�nidas en el cero, así, tenemos
que9
8� t3 =9
(2� t) (4 + 2t+ t2) =1
(2� t)9
(4 + 2t+ t2);
donde, la expresión9
4 + 2t+ t2es positiva si t! 2, mientras que la expresión
1
2� t tiende a in�nito cuando t! 2�,
(ver gra�co). Así,
limt!2�
9
8� t3 = (1) (+) = +1
Por otro lado,3
4� t2 =3
(2� t) (2 + t) =1
(2� t)3
(2 + t)
Observemos que la expresión3
2 + tes positiva si t ! 2, mientras que la expresión
1
2� t tiende a in�nito cuando
t! 2�, (ver gra�co). Así,
limt!2�
3
4� t2 = (1) (+) = +1
76543210-1-2-3
50
25
0
-25
-50
x
y
x
y
Comportamiento de la función
f (t) =1
2� tcuando t! 2�
limt!2�
1
2� t =1;
Por lo tanto, el límite presenta una indeterminación de la forma 1�1
limt!2�
�9
8� t3 �3
4� t2
�=1�1:
Levantamos la indeterminación,
limt!2�
�9
8� t3 �3
4� t2
�= lim
t!2�
�9
(2� t) (4 + 2t+ t2) �3
(2� t) (2 + t)
�
= limt!2�
9 (2 + t)� 3�4 + 2t+ t2
�(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t) = lim
t!2�
18 + 9t� 12� 6t� 3t2(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t)
= limt!2�
6 + 3t� 3t2(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t) = lim
t!2�
3�2 + t� t2
�(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t)
= limt!2�
3 (2� t) (t+ 1)(2� t) (4 + 2t+ t2) (2 + t) = lim
t!2�
3 (t+ 1)
(4 + 2t+ t2) (2 + t)
S:I:=
3 ((2) + 1)�4 + 2 (2) + (2)
2�(2 + (2))
=3 (3)
(12) (4)=3
16;
187
con lo que,
limt!2�
�9
8� t3 �3
4� t2
�=3
16 existe.
F
Ejemplo 166 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limt!2+
�9
8� t3 +3
4� t2
�Solución : Por el mismo análisis realizado en el ejemplo 165, se tiene
9
8� t3 =9
(2� t) (4 + 2t+ t2) =1
(2� t)9
(4 + 2t+ t2)
Observemos que la expresión9
4 + 2t+ t2es positiva si t! 2, mientras que la expresión
1
2� t tiende a menos in�nito
cuando t! 2+, (ver gra�co). Así,
limt!2+
9
8� t3 = (�1) (+) = �1
Por otro lado,3
4� t2 =3
(2� t) (2 + t) =1
(2� t)3
(2 + t)
Observemos que la expresión3
2 + tes positiva si t! 2, mientras que la expresión
1
2� t tiende a menos in�nito cuandot! 2+, (ver gra�co). Así,
limt!2+
3
4� t2 = (�1) (+) = �1
76543210-1-2-3
50
25
0
-25
-50
x
y
x
y
Comportamiento de la función
f (t) =1
2� tcuando t! 2+
limt!2+
1
2� t = �1;
Por lo tanto,
limt!2+
�9
8� t3 +3
4� t2
�= �1+ (�1) = �1;
con lo que,
limt!2+
�9
8� t3 +3
4� t2
�= �1 No existe.
F
Ejemplo 167 : Si 1 � f (x) � x2 + 2x+ 2 para todo x, encuentre limx!�1
f (x).
Solución : Usando el teorema del emparedado, calculamos el límite cuando x! �1 de las funciones de los extremosen la cadena de desigualdad dada. Así,
limx!�1
1 = 1; mientras que limx!�1
�x2 + 2x+ 2
�=S:I:=�(�1)2 + 2 (�1) + 2
�= 1� 2 + 2 = 1;
luego, comolimx!�1
1 = limx!�1
�x2 + 2x+ 2
�= 1;
188
se concluye, por el teorema del emparedado, que
limx!�1
f (x) = �1:
F
Ejemplo 168 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!�1
p�x cosxx+ 1
Solución : Límite que involucra la función trigonométrica y = cosx, en el in�nito, usamos el teorema del emparedado,es conocido que, �1 � cosx � 1, así,
�1 � cosx � 1 =) �p�x �
p�x cosx �
p�x =) �
p�x
x+ 1�p�x cosxx+ 1
�p�x
x+ 1;
" "
Multiplicamos porp�x
(la desigualdad se mantiene)
Dividimos por x+ 1como x! �1, se tiene x+ 1 < 0
(la desigualdad cambia)
Estudiamos el comportamiento, cuando x ! �1, de las funciones que aparecen en los extremos de la cadena dedesigualdades. Observemos que los límites
limx!�1
�p�x
x+ 1y lim
x!�1
p�x
x+ 1
presentan, cada uno, una indeterminación de la forma11 , así, por la naturaleza de las funciones, dividimos entre la
mayor potencia, donde, en cada límite, es x. Para el primer límite
limx!�1
�p�x
x+ 1= � lim
x!�1
p�xx
x
x+1
x
= � limx!�1
r�xx2
1 +1
x
= � limx!�1
r�1x
1 +1
x
= � 0
1 + 0= 0;
similarmente,
limx!1
p�x
x+ 1= 0;
luego, por el Teorema del emparedado
limx!�1
p�x cosxx+ 1
= 0 existe.
F
Ejemplo 169 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!1
x sen�ax
�Solución : Límite con un indeterminación de la forma 0 � 1, escribimos el límite como
limx!1
x sen�ax
�= lim
x!1
sen�ax
�1
x
;
el cual tiene una indeterminación de la forma0
0, hacemos el cambio de variable
u =a
x; =) u
a=1
x
si x!1 entonces u! 0;
189
así, el límite nos queda
limx!1
sen�ax
�1
x
= limu!0
senuu
a
= limu!0
a senu
u= a lim
u!0
senu
u| {z } = a (1) = a;"
Límite notable
luego,
limx!1
x sen�ax
�= a existe.
F
Ejemplo 170 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!0
senx sen2 2x
x� x cosx
Solución : Indeterminación0
0, escribimos el límite de la siguiente forma,
limx!0
senx sen2 2x
x� x cosx = limx!0
senx sen2 2x
x (1� cosx) =�limx!0
senx
x
��limx!0
sen2 2x
1� cosx
�| {z };
"Sólo si los límites existen
donde,
limx!0
senx
x= 1 Límite notable;
mientras que,
limx!0
sen2 2x
(1� cosx) = limx!0
sen2 2x
(1� cosx)(1 + cosx)
(1 + cosx)= lim
x!0
sen2 2x (1 + cosx)
1� cos2 x = limx!0
sen2 2x (1 + cosx)
sen2 x
= limx!0
(2 senx cosx)2(1 + cosx)
sen2 x= lim
x!0
4 sen2 x (1 + cosx) cos2 x
sen2 x= lim
x!04 (1 + cosx) cos2 x = 8:
Luego,
limx!0
senx sen2 2x
x� x cosx = (1) (8) = 8 existe.
F
Ejemplo 171 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!�
� � xsenx
Solución : Indeterminación0
0. Hagamos el cambio de variable
u = � � x =) x = � � u;
puesto que, x! �, se tiene queu! � � (�) =) u! 0
el límite se transforma enlimx!�
� � xsenx
= limu!0
u
sen (� � u) ;
como,sen (� � u) = sen� cosu� cos� senu = (0) cosu� (�1) senu = senu;
tenemos,
limu!0
u
sen (� � u) = limu!0
u
senu= lim
u!0
1senu
u
= 1:
190
Luego,
limx!�
� � xsenx
= 1
F
Ejemplo 172 : Estudie la continuidad de la función f en los puntos x = 0 y x = 2 y clasi�que las discontinuidadesen caso de existir.
f (x) =
8>><>>:x x < 0
x2 0 � x < 2
x+ 2 x > 2
Solución : Tenemos que
x � x2 x+ 2
0 2
Estudiemos la continuidad en x = 0, para ello veri�camos las tres condiciones
1. f (0) = (0)2 = 0, existe.
2. Para calcular limx!0
f (x), observemos que debemos utilizar los límites laterales
x � x2
! 0
limx!0�
f (x) = limx!0�
x = 0; y limx!0+
f (x) = limx!0+
x2 = 0;
como, los límites laterales son iguales, entonces
limx!0
f (x) = 0 existe
3. Puesto que, el valor obtenido en la parte 1 es igual al valor del límite obtenido en la parte 2, es decir
limx!0
f (x) = f (0) = 0;
concluimos que la función f es continua en x = 0.
Estudiemos la continuidad en x = 2, procederemos de la misma manera
1. f (2) no está de�nido, por lo tanto, f no es continua en x = 2.
Para conocer que tipo de discontinuidad tiene f en x = 2 calculamos limx!2
f (x), observemos que debemos utilizar
los límites lateralesx2 x+ 2
! 2
limx!2�
f (x) = limx!2�
x2 = 4; y limx!2+
f (x) = limx!2+
(x+ 2) = 4
como los límites laterales son iguales, entonces
limx!2
f (x) = 4 existe
como el límite existe la función f tiene una discontinuidad evitable en x = 2. F
Ejemplo 173 : Encuentre los valores de las constantes de modo que la función dada sea continua
y =
8>><>>:mx� n; x < 1
5; x = 1
2mx+ n; x > 1
191
Solución : Tenemos que
mx� n 5 2mx+ n
1
Para que la función f sea continua en x = 1 se debe cumplir las tres condiciones
1. f (1) = 5, existe
2. limx!1
f (x) exista, así
limx!1�
f (x) = limx!1+
f (x) =) limx!1�
(mx� n) = limx!1+
(2mx+ n)
3. Adicionalmente
limx!1
f (x) = 5 =)(
m� n = 5
2m+ n = 5=) 3m = 10 =) m =
10
3;
luego, de m� n = 5, se tiene10
3� n = 5 =) n =
10
3� 5 =) n = �5
3:
Por lo tanto,
m =10
3y n = �5
3:
F
Ejemplo 174 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!�1
4 arctan
�senx+ x
x
�Solución : Como la función arctan (�) es continua, entonces
limx!�1
4 arctan
�senx+ x
x
�= 4arctan
�lim
x!�1
senx+ x
x
�= 4arctan
�lim
x!�1
� senxx
+ 1��;
estudiamos el límite limx!�1
� senxx
+ 1�
limx!�1
� senxx
+ 1�
= limx!�1
senx
x+ limx!�1
1| {z } = 1 + limx!�1
senx
x;
"Sólo si los límites existen
como,
�1 � senx � 1 =) �1x� senx
x� 1
x;
"
Dividimos por xcomo x! �1, se tiene x < 0
(la desigualdad cambia)
como, limx!�1
1
x= 0, se tiene, por el teorema del emparedado, que
limx!�1
senx
x= 0;
así,
limx!�1
� senxx
+ 1�= 1 + 0 = 1;
luego,
limx!�1
4 arctan
�senx+ x
x
�= 4arctan (1) = 4
��4
�= � existe.
F
192
Ejemplo 175 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!0+
3
sarctan
�x� 3x2 � 5x
�Solución : Puesto que la funciones f (x) = 3
px y g (x) = arctanx son funciones continuas, entonces,
limx!0+
3
sarctan
�x� 3x2 � 5x
�= 3
slimx!0+
arctan
�x� 3x2 � 5x
�= 3
sarctan
�limx!0+
x� 3x2 � 5x
�" "
Continuidad de f (x) = 3px Continuidad de g (x) = arctanx
Estudiamos el comportamiento de la función y =x� 3x2 � 5x , cuando x! 0+
Observemos que la función y =x� 3x2 � 5x , no está de�nida en el cero, así, tenemos que
x� 3x2 � 5x =
x� 3x (x� 5) =
1
x
x� 3(x� 5) ;
donde, la expresiónx� 3x� 5 es positiva si t ! 0, mientras que la expresión
1
xtiende a in�nito cuando t ! 0+, (ver
gra�co)
543210-1-2-3-4-5
50
25
0
-25
-50
x
y
x
y
Comportamiento de la función
h (x) =1
xcuando x! 0+
limx!0+
1
x=1;
Así,
limx!0+
x� 3x2 � 5x = (1) (+) = +1;
luego,
limx!0+
3
sarctan
�x� 3x2 � 5x
�= 3parctan (+1)
2512.50-12.5-25
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
x
y
x
y
Comportamiento de la función
g (x) = arctanx
cuando x!1
limx!1
arctanx =�
2;
193
Por lo tanto,
limx!0+
3
sarctan
�x� 3x2 � 5x
�= 3
r�
2 existe.
F
Ejemplo 176 : Calcular el siguiente límite, si es que existe
limx!1
3
arcsen
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1)
Solución : Tenemos que
limx!1
3
arcsen
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1)
=limx!1
3
limx!1
arcsen
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1)
;
donde, esta igualdad se cumple solo si los límites existen y el límite del denominador es diferente de cero. Por una parte,
limx!1
3 = 3 existe,
mientras que
limx!1
arcsen
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1) = arcsen
limx!1
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1)
!= arcsen
slimx!1
sen�x2 � 1
�2 (x� 1)
" "
Continuidad de f (x) = arcsenx Continuidad de g (x) =px
Estudiamos el comportamiento de la función y =sen�x2 � 1
�2 (x� 1) , cuando x! 1
Observemos que la función y =sen�x2 � 1
�2 (x� 1) , presenta una indeterminación de la forma
0
0, así, tenemos que
limx!1
sen�x2 � 1
�2 (x� 1) = lim
x!1
sen�x2 � 1
�2 (x� 1)
(x+ 1)
(x+ 1)= lim
x!1
(x+ 1) sen�x2 � 1
�2 (x2 � 1) =
�limx!1
x+ 1
2
� limx!1
sen�x2 � 1
�x2 � 1
!"
Sólo si los límites existen
donde,
limx!1
x+ 1
2
S:I:=(1) + 1
2= 1
mientras que,
limx!1
sen�x2 � 1
�x2 � 1
presenta una indeterminación de la forma de0
0, hacemos el cambio de variable
u = x2 � 1; si x! 1 entonces u! (1)2 � 1 = 0
y el límite nos queda
limx!1
sen�x2 � 1
�x2 � 1 = lim
u!0
senu
u= 1 Límite notable;
entonces,
limx!1
sen�x2 � 1
�2 (x� 1) = (1) (1) = 1:
194
Luego,
limx!1
arcsen
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1) = arcsen
p1 = arcsen (1) =
�
2
Finalmente,
limx!1
3
arcsen
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1)
=limx!1
3
limx!1
arcsen
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1)
=3�
2
=6
�;
es decir,
limx!1
3
arcsen
ssen�x2 � 1
�2 (x� 1)
=6
� existe.
F
Ejemplo 177 : Dado que f (x) = x5 + 2x� 7. Demuestre que hay un número c, tal que f (c) = 50.
Solución : Observe que la función f es continua en todo su dominio, ya que, f es una función polinómica.
Consideremos el intervalo [2; 3], como
f (2) = (2)5+ 2 (2)� 7 = 29; y f (3) = (3)
5+ 2 (3)� 7 = 242
y se cumple quef (2) = 29 < 50 < 242 = f (3) ;
por el teorema del valor intermedio, existe un valor c en el intervalo [2; 3], por lo tanto, en todo R, tal que,
f (c) = 50:
F
Ejemplo 178 : Demuestre que la ecuación 2x7 = 1� x tiene una solución en [0; 1].
Solución : Demostrar que la ecuación 2x7 = 1� x tiene una solución en [0; 1], es equivalente a demostrar que
2x7 � 1 + x = 0
en [0; 1], es decir, debemos encontrar la(s) raíz(ices) de la ecuación en dicho intervalo.
Consideremos la funciónf (x) = 2x7 � 1 + x
así, debemos demostrar que existe, al menos, un valor c en [0; 1], tal que, f (c) = 0.
Observemos que la función f es continua en [0; 1], ya que, f es una función polinómica, además
f (0) = 2 (0)7 � 1 + (0) = �1; y f (1) = 2 (1)
7 � 1 + (1) = 2;
así,f (0) = �1 < 0 < 2 = f (1) ;
por el teorema del valor intermedio, existe un valor c en el intervalo [0; 1], tal que, f (c) = 0, luego, la ecuación
2x7 = 1� x tiene una solución en [0; 1] :
F
Ejemplo 179 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
si es que existe, para la función f (x) = sen (2x)
195
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
sen (2 (x+ h))� sen (2x)h
:
Calculamos el límite, el cual es una indeterminación0
0
limh!0
sen (2 (x+ h))� sen (2x)h
= limh!0
sen (2x+ 2h)� sen (2x)h
= limh!0
sen (2x) cos (2h) + cos (2x) sen (2h)� sen (2x)h
= limh!0
[cos (2h)� 1] sen (2x) + cos (2x) sen (2h)h
Sólo si los límites existen �! = limh!0
[cos (2h)� 1] sen (2x)h
+ limh!0
cos (2x) sen (2h)
h
= sen (2x)| {z } limh!0
cos (2h)� 1h
+ cos (2x)| {z } limh!0
sen (2h)
h;
" "No depende de h No depende de h
donde,
limh!0
sen (2h)
h= lim
h!0
2 sen (2h)
2h;
haciendo el cambio de variable
u = 2h; =) si h! 0 entonces u! 2 (0) = 0
obtenemos,
limh!0
sen (2h)
h= lim
h!0
2 sen (2h)
2h= 2 lim
u!0
senu
u= 2 (1) = 2;
mientras que,
limh!0
cos (2h)� 1h
=0
0 � Indeterminado
aplicamos conjugada trigonométrica
limh!0
cos (2h)� 1h
= limh!0
(cos (2h)� 1)h
(cos (2h) + 1)
(cos (2h) + 1)= lim
h!0
cos2 (2h)� 1h (cos (2h) + 1)
= limh!0
� sen2 (2h)h (cos (2h) + 1)
= limh!0
� sen (2h)h
sen (2h)
cos (2h) + 1
?= � lim
h!0
sen (2h)
hlimh!0
sen (2h)
cos (2h) + 1;
"
Sólo si los límites existen
como,
limh!0
sen (2h)
h= lim
h!0
2 sen (2h)
2h= 2 lim
u!0
senu
u= 2 (1) = 2;
haciendo el cambio de variable,
u = 2h; =) si h! 0 entonces u! 2 (0) = 0
y
limh!0
sen (2h)
cos (2h) + 1=
sen (2 (0))
cos (2 (0)) + 1=
sen (0)
cos (0) + 1=
0
1 + 1=0
2= 0;
entonces,
limh!0
cos (2h)� 1h
= � (2) (0) = 0;
por lo tanto,
limh!0
sen (2 (x+ h))� sen (2x)h
= (0) sen (2x) + (2) cos (2x) = 2 cos (2x) ;
196
luego,
limh!0
sen (2 (x+ h))� sen (2x)h
= 2 cos (2x) existe.
F
Ejemplo 180 : Calcular el siguiente límite,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
si es que existe, para la función f (x) = cos (3� 4x).
Solución : Tenemos que
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
= limh!0
cos (3� 4 (x+ h))� cos (3� 4x)h
:
Calculamos el límite, el cual es una indeterminación0
0
limh!0
cos (3� 4 (x+ h))� cos (3� 4x)h
= limh!0
cos (3� 4x� 4h)� cos (3� 4x)h
= limh!0
cos ((3� 4x)� 4h)� cos (3� 4x)h
= limh!0
cos (3� 4x) cos (4h) + sen (3� 4x) sen (4h)� cos (3� 4x)h
= limh!0
cos (3� 4x) [cos (4h)� 1] + sen (3� 4x) sen (4h)h
Sólo si los límites existen �! = limh!0
cos (3� 4x) [cos (4h)� 1]h
+ limh!0
sen (3� 4x) sen (4h)h
= cos (3� 4x)| {z } limh!0
cos (4h)� 1h
+ sen (3� 4x)| {z } limh!0
sen (4h)
h" "
No depende de h No depende de h
donde,
limh!0
cos (4h)� 1h
tiene una indeterminación de la forma0
0. Levantamos la indeterminación aplicando la conjugada trigonométrica
limh!0
cos (4h)� 1h
= limh!0
(cos (4h)� 1)h
(cos (4h) + 1)
(cos (4h) + 1)= lim
h!0
cos2 (4h)� 1h (cos (4h) + 1)
= limh!0
��1� cos2 (4h)
�h (cos (4h) + 1)
= limh!0
� sen2 (4h)h (cos (4h) + 1)
= limh!0
� sen (4h) sen (4h)h (cos (4h) + 1)
?= � lim
h!0
sen (4h)
hlimh!0
sen (4h)
cos (4h) + 1"
Sólo si los límites existen
como,
limh!0
sen (4h)
h= lim
h!0
4 sen (4h)
4h;
haciendo el cambio de variable
u = 4h; =) si h! 0 entonces u! 4 (0) = 0
obtenemos,
limh!0
sen (4h)
h= lim
h!0
4 sen (4h)
4h= 4 lim
u!0
senu
u= 4 (1) = 4;
197
y
limh!0
sen (4h)
cos (4h) + 1=
sen (4 (0))
cos (4 (0)) + 1=
sen (0)
cos (0) + 1=
0
1 + 1=0
2= 0;
entonces,
limh!0
cos (4h)� 1h
= � (4) (0) = 0:
Luego,
limh!0
cos (3� 4 (x+ h))� cos (3� 4x)h
= cos (3� 4x) limh!0
cos (4h)� 1h
+ sen (3� 4x) limh!0
sen (4h)
h
= cos (3� 4x) (0) + sen (3� 4x) (4) = 4 sen (3� 4x) ;
así,
limh!0
cos (3� 4 (x+ h))� cos (3� 4x)h
= 4 sen (3� 4x) existe.
F
Ejercicios
1. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
limx!�1
f (x) = �2 ; limx!0�
f (x) = 1 ; f (0) = 3 ; limx!0+
f (x) = 2 ; limx!1
f (x) = 0
2. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
limx!1
f (x) = 1 ; f (1) = 3 ; limx!3
f (x) = 1 ; limx!1
f (x) = 0 ; limx!�1
f (x) = 2
3. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
limx!1�
f (x) = 2 ; f (1) = �2 ; limx!1+
f (x) = 2 ; limx!0+
f (x) =1 ; f (0) = 1
4. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
limx!1
f (x) = 1 ; f (1) = 1 ; limx!�1
f (x) = �1 ; limx!0
f (x) = 2 ; f (0) No existe
5. Trazar la grá�ca de una función que satisfaga todas las condiciones siguientes
f (2) = 2 ; limx!0
f (x) No existe ; f (0) = 3 ; limx!1
f (x) = 3 ; limx!5
f (x) = �1
6. Calcular los siguientes límites, si es que existen
1: limx!3+
2
x� 3 2: limx!3�
2
x� 3 3: limx!3
2
x� 3 4: limx!4�
3
4� x 5: limx!4+
3
4� x 6: limx!4
3
4� x
7: limx!1+
5
x2 � 2x+ 1 8: limx!1�
5
x2 � 2x+ 1 9: limx!1
5
x2 � 2x+ 1 10: limx!�2
��x2 + 4x+ 4
11: limt!2
�34� t2 12: lim
x!3�
x+ 5
9� x2 13: limx!1
x3 � 2x� 5x3 � 2x2 + x 14: lim
x!1
x2 + 4
x2 � 1 15: limx!�1
x2 + 4
x2 � 1
198
16: limx!0
x3 + 1
x3 + x17: lim
x!2
x3
x2 + 3x� 10 18: limx!�5
x3
x2 + 3x� 10 19: limx!2
x3 � 10x4 � 16
20: limt!�1
8� t35t3 + 2t� 1 21: lim
x!1
x2 + x+ 7
x5 � x3 � 2 22: limx!�1
x3 � 1x+ 5
23: limx!1
x4 + x2 � xx2 � 4x
24: limx!1
x� 10x3 � 7x2 + 2 25: lim
x!1
5 + 3x4 � x(2x� 6)4
26: limt!�1
p1 + t2
2t27: lim
t!�1
p7� t+ 2t3t� 1
28: limx!1
p16x2 + 2x� 12x+ 1
29: limx!1
4px3 � x� xpx2 + 1 +
px
30: limx!1
xp2 + 2x
xp3 � x
31: limt!1
t+ 1
t+pt2 + 1
32: limt!1
p36t4 � 5t� 14p9t4 + 6t3 + t2
33: limx!1
3x+ 4p2x2 � 3
34: limx!�1
3x+ 4p2x2 � 3
35: limx!1
�px2 + 1 + x
�23px6 + 1
36: limx!1
4
x2� 4x
1
x+1
x2
37: limt!�1
2� 3tpt2 + 4
38: limx!1
px2 + 3�
px2 � 3p
x2 + 2� x39: lim
x!1
3px3 + 8x� xpx2 + 4� x
40: limx!1
�3px3 + 1� 3
px�
41: limt!2
�9
8� t3 �3
4� t2
�42: lim
x!�=2(secx� tanx)
43: limx!0+
�1
x4� 1x
�44: lim
x!1
�px+ 1�
px�
45: limx!1
�px2 + a� x
�46: lim
t!1
�3pt3 + 8t2 � t
�47: lim
x!1x�px2 + 1� x
�48: lim
x!1
�3px3 + 3x2 � 3
px2 � 2x
�49: lim
x!1
�3px (x+ a) (x+ b)� x
�50: lim
x!1
�px+px�px�
51: limx!1
�px+px�
px�px�
52: limx!1
�qx+
px+px�px
�
53: limx!0+
x2r1� 2xx
54: limx!0+
x
r1 +
1
x55: lim
x!0+x cscx 56: lim
t!1t
r4t+ 1
t� 2!
57: limx!1
x
3
rx+ 1
x� 1!
58: limx!0
sen 3x� 5xx
59: limx!0+
senx
3x3 � 10x 60: limx!1
sen�x2 � 1
�x� 1
61: limx!0+
cosx
3x3 � 10x 62: limx!0
1� cosxx
63: limx!0
sen�x
sen�x64: lim
x!1
x2 � sen (�x)� 7x2 + x3 � 2x
65: limx!0
1� cosxx2
66: limx!1
x2 cosx
3 + x467: lim
x!1
senx
x68: lim
x!1
x4 cosx+ senx
1 + x5
69: limx!0
senx
sen 3x70: lim
x!0+
senxpx
71: limx!1
x sen�ax
�72: lim
x!0
tan 5x
3x73: lim
x!1
cosx
x
74: limx!0
p2�p1 + cosx
sen 2x75: lim
t!0
1�pcos t
t276: lim
x!0
3x� 2 senx4x senx
77: limt!0
tan t� sen tt2 tan t
78: limx!0+
xp1� cosx
79: limx!0
1� cosx2x cosx
80: limx!0
ax� b senxx+ senx
81: limx!�
4
3psenx� 3
pcosx
senx� cosx
82: limx!�=2
12� � xcosx
83: limx!1
senx
x284: lim
x!1
3x2 � 6x+ 3cos 2 (x� 1)� 1 85: lim
x!0
p1 + senx�
p1� senx
tanx
86: limx!0
p1 + tanx�
p1� tanx
senx87: lim
x!a
a6 � x6sen (x2 � a2) 88: lim
h!0
sen (x+ h)� senxh
89: limh!0
cos (x+ h)� cosxh
90: limh!0
tan (x+ h)� tanxh
91: limh!0
sec (x+ h)� secxh
199
92: limh!0
csc (x+ h)� cscxh
93: limh!0
cot (x+ h)� cotxh
94: limx!�
4
3psen2 x� 3
pcos2 x
1� tanx
95: limx!�
2
3pcosx� 3
psen 2x
cosx96: lim
x!0
tan3 x� sen3 x(1� cosx)2
97: limx!a
tanx� tan atan (x� a) 98: lim
x!�=2
tan 3x
tanx
99: limx!�=4
1� cot3 x2� cotx� cot3 x
100: limx!0
csc 3x
x2 � cot3 2x tanx
7. Demuestre que limx!0
x2 sen
�1
x
�= 0
8. Demuestre que limx!0
3px sen
�13px
�= 0
9. Demuestre los siguientes límites
1: limx!1
5x� 12x+ 1
=5
22: lim
x!�1
10x
x� 3 = 10 3: limx!1
2x
3x+ 8=2
3
4: limx!�1
x2
x2 + 1= 1 5: lim
x!�1
5x+ 1
x� 1 = 5 6: limx!1
5 + 2x
3� x = �2
10. Escriba la de�nición de cada uno de los límites
1: limx!�1
1
(x+ 1)2 = �1 2: lim
x!1
1
x� 1 = 0 3: limx!1
(2x� 1) =1
4: limx!�1
(x� 3) = �1 5: limx!3
(2x� 1) = 5 6: limx!2+
x� 1x2 � 4 =1
11. Escriba la expresión límite para cada una de las siguientes de�niciones
(a) Para todo M > 0, existe KM , tal que, x < KM , implica que, 3x+ 2 > M .
(b) Para todo " > 0, existe K", tal que, x > K" implica que,
���� x
x� 4 � 1���� < ".
(c) Para todo " > 0, existe K", tal que, x > K" implica que,
���� 1
x� 4
���� < ".(d) Para todo M > 0, existe �M > 0, tal que, jx� 4j < �M y x > 4 implica que,
1
x� 4 > M .
(e) Para todo M < 0, existe �M > 0, tal que, jx� 4j < �M y x < 4 implica que,1
x� 4 < M .
12. Sean F y G funciones tales que 0 � F (x) � G (x) para toda x próxima a c, con la posible excepción de c.Demuestre que si lim
x!cG (x) = 0, entonces lim
x!cF (x) = 0.
13. Si 1 � f (x) � x2 + 2x+ 2 para todo x, encuentre limx!�1
f (x).
14. Si 3x � f (x) � x3 + 2 para todo 0 � x � 2, evalúe limx!1
f (x).
15. Encuentre las asíntotas verticales y horizontales de las funciones indicadas.
1: f (x) =3
x+ 12: f (x) =
3
(x+ 1)2 3: f (x) =
2x
x� 3 4: f (x) =3
9� x2
5: f (x) =14
2x2 + 76: f (x) =
2xpx2 + 5
7: f (x) =x
x+ 48: f (x) =
x2 + 4
x2 � 1
9: f (x) =x3 + 1
x3 + x10: f (x) =
x� 2x+ 2
11: f (x) =x
(x+ 1)2 12: f (x) =
x3
x2 + 3x� 10
200
16. La recta y = ax+ b se llama asíntota oblicua de la grá�ca de la función y = f (x) si
limx!1
[f (x)� (ax+ b)] = 0 ó limx!�1
[f (x)� (ax+ b)] = 0
de aquí, se tiene que
m = limx!1
f (x)
xy b = lim
x!1(f (x)�mx) :
Encuentre la asíntota oblicua de
f (x) =2x4 + 3x3 � 2x� 4
x3 � 1
17. Encuentre la asíntota oblicua de
f (x) =3x3 + 4x2 � x+ 1
x2 + 1
18. Estudie el comportamiento asintótico de las siguientes funciones
1: f (x) =
8><>:x3
x2 + 3x� 10 x < 0
arctanx x � 02: f (x) =
8>>><>>>:x2
x� 1 x < 1
sen (1� x)x2 � x x > 1
3: f (x) =
8>>>>>>>><>>>>>>>>:
x sen�x2 � 4
�x3 + 8
x < �2
x� 2x2 � 4 �2 < x < 2
1� x3
(x� 2)2x � 2
4: f (x) =
8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:
x3 + 1
(x+ 1)3 x < �1
sen� (x� 1) cos��
1
x� 1
�jxj < 1
x3 � 1x2 + x� 2 x > 1
19. Estudie la continuidad de las siguientes funciones en los puntos que se indican y clasi�que las discontinuidades encaso de existir.
1: Continuidad en x = 2 2: Continuidad en x = 4 3: Continuidad en x = 5
f (x) =
8<:x
2+ 1 x � 2
4� x x > 2f (x) =
(�2x+ 3 x < 4
x2 x � 4f (x) =
8><>:x2 � 25x� 5 x 6= 5
10 x = 5
4: Continuidad en x = 0 5: Continuidad en x = 0 6: Continuidad en x = �1; x = 1
f (x) =
8<:jxjx
x 6= 0
1 x = 0
f (x) =
8<:sen 2x
sen 5x; x 6= 0
3; x = 0
f (x) =
8<: tan��4x�jxj < 1
x jxj � 1
7: Continuidad en x = 0 8: Continuidad en x = 1; x = 3 9: Continuidad en x = 0
h (x) =
8><>:x3 � 55
; x � 0
x� 1; x < 0
f (x) =
(sen jx+ 1j jx� 2j � 1
�1 jx� 2j > 1f (x) =
8<:1
x; x < 0
x; x � 0
10: Continuidad en x = 2 11: Continuidad en x = 0; x = 2 12: Continuidad en x = 1; x = 2
f (x) =
8>><>>:2x� 3; x < 2
1; x = 2
x� 1; x > 2
f (x) =
8>><>>:x x < 0
x2 0 � x < 2
x x > 2
f (x) =
8>><>>:x+ 1; x � 1
5� 4x; 1 < x < 2
4; x = 2
201
13: Continuidad en x = 4 14: Continuidad en x = 0 15: Continuidad en x = �3
f (x) =
(x� 2; x < 4
2x� 6; x > 4f (x) =
8<:x2 + 2x
x; x 6= 0
3; x = 0
f (x) =
8<:x+ 3
x3 + 27; x 6= �3
27; x = �3
16: Continuidad en x = 0 17: Continuidad en x = 0 18: Continuidad en x = �1; x = 1
f (x) =
(x2 � 1; x � 0
x+ 1; x > 0f (x) =
8<:senx
xx 6= 0
2 x = 0f (x) =
(x jxj � 1
x2 jxj > 1
19: Continuidad en x = 2; x = 5 20: Continuidad en x = 1; x = 5
f (x) =
8>>>>>><>>>>>>:
x
x2 � 5 x � 2
x� 5 2 < x < 5
x2 � 25 x > 5
10 x = 5
f (x) =
(x3 jx� 3j � 2
2 jx� 3j > 2
20. Dadas las funciones, determinar la continuidad para todo x y si no es continua, localizar la discontinuidad
1: f (x) =x2 + x� 2x2 � x� 2 2: f (x) =
8><>:x2 � 16x� 4 x 6= 4
8 x = 4
3: f (x) =
8><>:x4 � 16x� 2 x 6= 2
16 x = 2
4: f (x) =
8>><>>:x2 + 5x
10x+ 50x 6= �5
� 1
2x = �5
5: f (x) =
8><>:x2 + 5x� 610x+ 30
x 6= 0
5 x = 0
6: g (x) =
8><>:x3 � x2 + 2x� 2
x� 1 x 6= 1
3 x = 1
21. Encuentre los valores de las constantes de modo que la función dada sea continua
1: f (x) =
(x+ 3; x � 2
cx+ 6; x < 22: f (x) =
(mx+ 5; x � 2
x� 1; x > 23: f (x) =
(ax2; x � 1
3; x > 1
4: f (x) =
8>><>>:1; x � 3
ax+ b; 3 < x < 5
7; x � 55: f (x) =
(�bx3; x < 4
6x+ 1; x � 46: f (t) =
(mt; t < 4
t2; t � 4
7: y =
(c�x2 � 2
�; x < 0
cosx; x � 08: f (x) =
8><>:x2 � 4x� 2 ; x 6= 2
m; x = 2
9: y =
8>><>>:mx; x < 3
n; x = 3
�2x+ 9; x > 3
10: f (x) =
(x3; x � 2
ax2; x < 211: y =
8>><>>:mx� n; x < 1
5; x = 1
2mx+ n; x > 1
12: y =
8>><>>:2; x � 1
ax+ b; 1 < x < 3
�2; x � 3
13: f (x) =
8<:a
x3; x > 1
px; x � 1
14: f (x) =
8<: x+ 1 1 < x < 3
x2 + bx+ a jx� 2j � 1
202
22. Determinar, si los hay, los valores reales en los que la función dada es discontinua y clasi�car dicha discontinuidad.
1: f (x) =x
x2 + 42: f (x) =
x� 1sen 2x
3: f (x) =x2 � 1x4 � 1 4: f (x) = x3 � 4x2 + 7
5: f (x) =tanx
x+ 36: f (x) =
x2 � 1x+ 1
7: f (x) =1
x2 � 4 8: f (x) =�x2 � 9x+ 18
��19: f (x) = �x
3
210: f (x) =
x
x2 + 111: f (x) =
1
x� 1 12: f (x) =x+ 2
x2 � 3x� 10
13: f (x) =jx+ 2jx+ 2
14: f (x) =
(x x � 1
x2 x > 115: f (x) =
(jx� 2j+ 3 x < 0
x+ 5 x � 0
16: f (x) =
8><>:senx
xx 6= 0
1
2x = 0
17: f (x) =
(�2x+ 3 x < 1
x2 x � 118: y = x+ senx
19: f (x) =
8<: csc��6x�
jx� 3j � 2
2 jx� 3j > 2
23. Teorema 1 : Si limx!a
g (x) = L y f es continua en L, entonces
limx!a
f (g (x)) = f�limx!a
g (x)�= f (L)
Si g es continua en a y f es continua en g (a), entonces se observa que
limx!a
f (g (x)) = f�limx!a
g (x)�= f (g (a))
Use el Teorema antes enunciado para evaluar el límite dado
1: limx!�2
cospx 2: lim
x!�=6sen�2x+
�
3
�3: lim
x!�=2sen (cosx) 4: lim
t!�(4t+ sen 2t)
3
5: limx!�=2
(1 + cos (cosx)) 6: limt!�
cos
�t2 � �2t� �
�7: lim
t!�tan
sen�t2 � �2
�t� �
!
8: limx!�
px� � + cos2 x 9: lim
x!0cos
�sen (�x)
x
�10: lim
x!0sen
�sen (�x=2)
x
�
11: limx!2
rx3 � 8x2 � 4 12: lim
x!0arcsen
� senxx
�13: lim
x!0
3
rcosx sen (8 tanx)
senx
14: limx!�1
�senx+ x
x
�815: lim
x!1arctan
�x2 � 1x+px
�16: lim
x!0tan
�1� cosx
x
�
17: limx!�1
4 arctan
�senx+ x
x
�18: lim
x!4
rx
x+ 5
�x2 � 16x� 4
�219: lim
x!2
rx4 � 16x3 � 8
20: limx! 3
2
r8x3 � 274x2 � 9 21: lim
m!2
rm3 � 8m2 � 4
24. ¿Cómo debería de�nirse f (x) =x� 9px2 � 3
en x = 9 para que la función resultante fuese continua en ese punto?
25. Considere las funciones
f (x) = jxj y g (x) =
(x+ 1 x < 0
x� 1 x � 0
Trace las grá�cas de f � g y g � f . Determine si f � g y g � f son continuas en x = 0.
203
26. Sean f y g funciones continuas en x = c, y sea k una constante cualquiera. Demostrar que
(a) La función F (x) = f (x) + g (x) es continua.
(b) La función F (x) = f (x) g (x) es continua.
(c) La función F (x) = kf (x) es continua.
(d) La función F (x) =f (x)
g (x)es continua, siempre que g (c) 6= 0.
27. Veri�que el teorema del valor intermedio para f en el intervalo dado. Encuentre un valor c en el intervalo para elvalor indicado de N .
Función Intervalo N Función Intervalo N
f (x) = x2 � 2x; [1; 5] ; 8 f (x) = x3 � 2x+ 1; [�2; 2] ; 1
f (x) =10
x2 + 1; [0; 1] ; 8 f (x) = x2 + x+ 1; [�2; 3] ; 6
28. Dado que f es continua en [a; b] y f (a) = 5 y f (b) = 20. Demuestre que hay un número c en [a; b], tal quef (c) = 10.
29. Dado que f (x) = x5 + 2x� 7. Demuestre que hay un número c, tal que f (c) = 50.
30. Dado que f (x) = x5 + x� 1. Demuestre que hay un número c, tal que f (c) = 0.
31. Dado que f y g son continuas en [a; b], tales que f (a) > g (a) y f (b) < g (b). Demuestre que hay un númeroc en (a; b), tal que f (c) = g (c).
32. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que x3 + 3x� 2 = 0 tiene una solución real entre 0 y 1.
33. Utilice el teorema del valor intermedio para demostrar que t3 cos t+6 sen5 t� 3 = 0 tiene una solución real entre 0y 2�.
34. Demuestre que la ecuación 2x7 = 1� x tiene una solución en [0; 1].
35. Demuestre que la ecuación x5 + 4x3 � 7x+ 14 = 0 tiene al menos una solución real.
36. Demuestre que la ecuaciónx2 + 1
x+ 3+x4 + 1
x� 4 = 0
tiene una solución en el intervalo (�3; 4).
37. Calcular el siguiente límite, si es que existe,
limh!0
f (x+ h)� f (x)h
para las siguientes funciones
1: f (x) = k 2: f (x) = x 3: f (x) = x2 4: f (x) = x3 5: f (x) = x4
6: f (x) = x�1 7: f (x) = x�2 8: f (x) = x�3 9: f (x) =px 10: f (x) = 3
px
11: f (x) = 4px 12: f (x) = senx 13: f (x) = cosx 14: f (x) = tanx
15: f (x) = secx 16: f (x) = cscx 17: f (x) = cotx 18: f (x) = �4
19: f (x) = 2 20: f (x) = �3x 21: f (x) =xp3
22: f (x) = 2x2 23: f (x) =5px
24: f (x) = 5x� 3 25: f (x) = 7� 4x 26: f (x) = x2 � 1 27: f (x) = 3� 2x2
28: f (x) = 4x2 � 3x 29: f (x) =x
3� 5x2 30: f (x) =
63px
31: f (x) =p2x+ 1
32: f (x) = 3p5x� 7 33: f (x) =
1
4� x 34: f (x) =2
3x+ 135: f (x) =
x+ 1
x� 1
204
36: f (x) =2 + x
x2 � x 37: f (x) =6
x2 + 138: f (x) =
2x� 11� x 39: f (x) =
senx
x
40: f (x) =�24� x2 41: f (x) =
x
1� 2x 42: f (x) =1px+ 1
43: f (x) =x
x2 � 3
44: f (x) =4
3x� senx 45: f (x) = sen 2x 46: f (x) = sen 3x 47: f (x) = sen kx
48: f (x) = cos 2x 49: f (x) = cos 3x 50: f (x) = cos kx 51: f (x) = sec 2x
52: f (x) =px3 � x 53: f (x) = sen2 x 54: f (x) =
senx
1� x 55: f (x) = csc 3x
56: f (x) = cot 3x 57: f (x) =3px� 1px+ 1
58: f (x) = cosx2 59: f (x) = tan 3x2
60: f (x) =p2x+ x2 � 3
Respuestas : Ejercicios
A.H.: Asíntota horizontal; A.V.: Asíntota vertical; C.: Continua; D.E.: Discontinuidad evitable; D.N.E.: Discontinuidad no evitable
6:1: 1; 6:2: �1; 6:3: No existe; 6:4: 1; 6:5: �1; 6:6: No existe; 6:7: 1; 6:8: 1; 6:9: 1;
6:10: �1; 6:11: No existe; 6:12: 1; 6:13: �1; 6:14: No existe; 6:15: No existe; 6:16: No existe;
6:17: No existe; 6:18: No existe; 6:19: No existe; 6:20: � 15 ; 6:21: 0; 6:22: 1; 6:23: 1; 6:24: 0;
6:25: 316 ; 6:26: � 1
2 ; 6:27: 23 ; 6:28: 2; 6:29: � 1; 6:30: 0; 6:31: 1
2 ; 6:32: 2; 6:33: 32
p2;
6:34: � 32
p2; 6:35: 4; 6:36: � 4; 6:37: 3; 6:38: 3; 6:39: 4
3 ; 6:40: 1; 6:41: 316 ; 6:42: 0;
6:43: 1; 6:44: 0; 6:45: 0; 6:46: 83 ; 6:47: 1
2 ; 6:48: 1; 6:49: a+b3 ; 6:50: 1
2 ; 6:51: 1;
6:52: 12 ; 6:53: 0; 6:54: 0; 6:55: 1; 6:56: 1
4 ; 6:57: 13 ; 6:58: � 2; 6:59: � 1
10 ; 6:60: 2;
6:61: �1; 6:62: 0; 6:63: �� ; 6:64: No existe; 6:65: 1
2 ; 6:66: 0; 6:67: 0; 6:68: 0; 6:69: 13 ;
6:70: 0; 6:71: a; 6:72: 53 ; 6:73: 0; 6:74: 0; 6:75: 1
4 ; 6:76: No existe; 6:77: 12 ; 6:78:
p2;
6:79: 0; 6:80: a�b2 ; 6:81:
p23
3qp
22 ; 6:82: 1; 6:83: 0; 6:84: � 3
2 ; 6:85: 1; 6:86: 1; 6:87: � 3a4;
6:88: cos x; 6:89: � sen x; 6:90: sec2 x; 6:91: sec x tan x; 6:92: � csc x cot x; 6:93: � csc2 x; 6:94: �23 3p2;
6:95: No existe; 6:96: 0; 6:97: sec2 a; 6:98: 13 ; 6:99: 3
4 ; 6:100: 0; 13: 1; 14: 3;
15:1: A.H.: 0 y A.V.: �1; 15:2: A.H.: 0 y A.V.: �1; 15:3: A.H.: 2 y A.V.: 3; 15:4: A.H.: 0 y A.V.: �3;
15:5: A.H.: 0 y A.V.: No; 15:6: A.H.: 2 y A.V.: No; 15:7: A.H.: 1 y A.V.: �4; 15:8: A.H.: 1 y A.V.: �1;
15:9: A.H.: 1 y A.V.: 0; 15:10: A.H.: 1 y A.V.: �2; 15:11: A.H.: 0 y A.V.: �1; 15:12: A.H.: No y A.V.: �5; 2;
16: y = 2x+ 3; 17: y = 3x+ 4; 18:1: A.H.: y = 12�, A.V.: x = �5 y A.O.: y = x� 3;
18:2: A.H.: y = 0, A.V.: x = 1 y A.O.: y = x+ 1; 18:3: A.H.: y = 0, A.V.: x = �2 y x = 2 y A.O.: y = �x� 4;
18:4: A.H.: y = 1, A.V.: x = �1 y A.O.: y = x� 1; 19:1: C. x = 2; 19:2: D.N.E. x = 4; 19:3: C. x = 5;
19:4: D.N.E. x = 0; 19:5: D.E. x = 0; 19:6: C. x = �1; 19:7: C. x = 0; 19:8: D.N.E. x = 1 y x = 3;
19:9: D.N.E. x = 0; 19:10: C. x = 2; 19:11: C. x = 0; D.N.E. x = 2; 19:12: D.N.E. x = 1; C. x = 2;
19:13: D.E. x = 4; 19:14: D.E. x = 0; 19:15: D.E. x = �3; 19:16: D.N.E. x = 0; 19:17: D.E. x = 0;
19:18: D.N.E. x = �1; C. x = 1; 19:19: D.N.E. x = 2; D.E. x = 5; 19:20: D.N.E. x = 1 y x = 5;
20:1: D.N.E. x = 1 y x = 2; 20:2: C.; 20:3: D.N.E. x = 2; 20:4: C.; 20:5: D.E. x = 0; 20:6: C.;
21:1: c = �12 ; 21:2: m = �2; 21:3: a = 3; 21:4: a = 3; b = �8; 21:5: b = � 25
64 ; 21:6: m = 4; 21:7: c = �12 ;
21:8: m = 4; 21:9: m = 1; n = 3; 21:10: a = 2; 21:11: m = 103 ; n = � 5
3 ; 21:12: a = �2; b = 4;
21:13: a = 1; 21:14: b = �3; c = 4; 22:1: No tiene; 22:2: x = n�2 ; n 2 N; D.N.E.; 22:3: x = �1; D.E.;
22:4: No tiene; 22:5: x = �3; x = (2n� 1) �2 ; n 2 N; D.N.E.; 22:6: x = �1; D.E.; 22:7: x = �2; D.N.E.;
22:8: x = 3; x = 6; D.N.E.; 22:9: No tiene; 22:10: No tiene; 22:11: x = 1; D.N.E.;
22:12: x = �2; x = 5; D.E. x = �2; D.N.E. x = 5; 22:13: x = �2; D.N.E.; 22:14: No tiene; 22:15: No tiene;
22:16: x = 0; D.N.E.; 22:17: No tiene; 22:18: No tiene; 22:19: x = 1; x = 5; x = 6n; n 2 N; D.N.E.;
23:1: � 1; 23:2: 12
p3; 23:3: 0; 23:4: 64�3; 23:5: 2; 23:6: 1; 23:7: 0; 23:8: 1; 23:9: � 1;
23:10: 1; 23:11:p3; 23:12: 1
2�; 23:13: 2; 23:14: 1; 23:15: 12�; 23:16: 0; 23:17: �;
23:18: 1283 ; 23:19: 2
3
p6; 23:20: 3
2
p2; 23:21:
p3; 24: f (x) =
8<:x�9px2�3
x 6= 9
0 x = 937:1: 0;
205
37:2: 1; 37:3: 2x; 37:4: 3x2; 37:5: 4x3; 37:6: � 1x2; 37:7: � 2
x3; 37:8: � 3
x4; 37:9: 1
2px;
37:10: 1
33px2; 37:11: 1
44px3; 37:12: cos x; 37:13: � sen x; 37:14: sec2 x; 37:15: sec x tan x;
37:16: � csc x cot x; 37:17: � csc2 x; 37:18: 0; 37:19: 0; 37:20: � 3; 37:21:p33 ; 37:22: 4x;
37:23: �52x3=2
; 37:24: 5; 37:25: � 4; 37:26: 2x; 37:27: � 4x; 37:28: 8x� 3; 37:29: � 10x+ 13 ;
37:30: � 2
x 3px; 37:31: 1p
2x+1; 37:32: 5
33p(5x�7)2
; 37:33: 1(4�x)2 ; 37:34: � 6
(3x+1)2; 37:35: � 2
(x�1)2 ;
37:36: 2�x2�4x(x2�x)2
; 37:37: � 12x
(x2+1)2; 37:38: (x� 1)�2 ; 37:39: 1
x cos x�1x2sen x; 37:40: � 4x
(4�x2)2;
37:41: 1(2x�1)2 ; 37:42: �1
2(x+1)3=2; 37:43: � x2+3
(x2�3)2; 37:44: � cos x� 4
3x2; 37:45: 2 cos 2x; 37:46: 3 cos 3x;
37:47: k cos kx; 37:48: � 2 sen 2x; 37:49: � 3 sen 3x; 37:50: � k sen kx; 37:51: 2 sec 2x tan 2x;
37:52: 3x2�12px3�x
; 37:53: sen 2x; 37:54: cos x1�x + sen x
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Bibliogra�a
1. Purcell, E. - Varberg, D. - Rigdon, S.: �Cálculo". Novena Edición. PEARSON Prentice Hall.
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Cálculo Diferencial e Integral - Límite y continuidad. Farith Briceño
Última actualizacón: Agosto 2012 e-mail : [email protected]
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