Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico Marcelo... · Efecto de las tolerancias...

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Análisis de Tolerancias en Elementos Cónicos en Contacto

presentada por

Marcelo Rodríguez Alberto Ing. Mecánico por el I. T. de Ciudad Madero

como requisito para la obtención del grado de: Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Directores de tesis: Dr. Jorge Bedolla Hernández M.C. Claudia Cortés García

Cuernavaca, Morelos, México. 26 de febrero de 2009

cenidet

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico

Departamento de Ingeniería Mecánica

TESIS DE MAESTRÍA EN CIENCIAS

Análisis de Tolerancias en Elementos Cónicos en contacto

presentada por

Marcelo Rodríguez Alberto Ing. Mecánico por el I. T. de Ciudad Madero

como requisito para la obtención del grado de:

Maestría en Ciencias en Ingeniería Mecánica

Directores de tesis: Dr. Jorge Bedolla Hernández M.C. Claudia Cortés García

Jurado: Dr. Dariusz S. Szwedowicz Wasik – Presidente

Dr. José María Rodríguez Lelis – Secretario M.C. Eladio Martínez Rayón – Vocal

Dr. Jorge Bedolla Hernández – Vocal Suplente

Cuernavaca, Morelos, México. 26 de febrero de 2009

AGRADECIMIENTOS

Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología (CONACYT) y a la Dirección General de

Educación Superior Tecnológica (DGEST), por el apoyo económico brindado a lo largo de

mis estudios de maestría.

Al Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico (cenidet) y a todos sus

profesores, por permitir concluir mi estudios.

A mis asesores de tesis, Dr. Jorge Bedolla Hernández y M.C. Claudia Cortés García, por sus

observaciones, apoyo y tiempo dedicado en el desarrollo de este trabajo, muchas gracias.

A los miembros del comité revisor, Dr. Dariusz Szwedowicz Wasik, Dr. José María Rodríguez

Lelis y M.C. Eladio Martínez Rayón, por sus valiosas aportaciones durante la revisión de este

trabajo de investigación.

A mis compañeros y amigos: Darío Tovar Chora, Iván Medina Agreda, Moisés Espinosa

Rodríguez, Jaime Hernández León, María Guadalupe Guzmán, Felipe Díaz, José Raúl

Alejandre, Dawin Jiménez Vargas, Iván Juárez Sosa, Mauricio Paz González, Juan Manuel

Jiménez, Javier Molina, Gabriel Cuevas, Vladimir Reyes, Edgar Vicente Macias, Karla

Aguilar, Lázaro Villa, por hacer mas grata la estancia en el cenidet.

Al profesor Simá, por sus enseñanzas durante el desarrollo de este trabajo.

A la esposa de mi carnalito Manuel, por ser una persona agradable y contribuir al crecimiento

de la familia.

A mis abuelos paternos y maternos, por crear siempre un ambiente agradable en la familia y

enseñarlo con el ejemplo.

A todas aquellas personas que por el momento se me escapa su nombre pero que de una u

otra forma contribuyeron para alcanzar esta meta. Gracias….

Contenido

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico i

CONTENIDO

Pág.

LISTA DE FIGURAS………………………………………………………………………….. ivLISTA DE TABLAS…………………………………………………………………………… viiRESUMEN……………………………………………………………………………………… viiiABSTRACT…………………………………………………………………………………….. ixINTRODUCCIÓN………………………………………………………………………………. x

CAPÍTULO 1 Pág.

1. REVISIÓN DE LITERATURA……………………………………………………………… 1 1.1 Análisis de variación……………………………………………………………………. 1

1.1.1 Análisis de caso crítico…………………………………………………………….. 3

1.1.2 Análisis estadístico…………………………………………………………………. 4

1.2 Enfoques cinemáticos………………………………………………………………….. 6

1.3 Conclusión de la revisión de literatura……………………………………………….. 9

1.4 Objetivo general………………………………………………………………………… 10

CAPÍTULO 2

2. MÉTODO DE LAZO DE VECTOR………………………………………………………... 11 2.1 Acumulación de tolerancias…………………………………………………………… 11

2.1.1 Especificaciones de tolerancias en el ensamble……………………………….. 12

2.1.2 Marcos de referencia………………………………………………………………. 13

2.1.3 Juntas………………………………………………………………………………... 13

2.1.4 Lazos de vector…………………………………………………………………….. 14

2.2 Fuentes de variación en el ensamble………………………………………………… 15

2.2.1 Representación de las variaciones………………………………………………. 16

2.2.2 Descripción de la creación de un modelo de lazo de vector………………….. 17

2.2.3 Variaciones de característica geométrica……………………………………….. 21

Contenido

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ii

2.2.4 Estimación de las variaciones cinemáticas……………………………………… 23

2.3 Conclusiones……………………………………………………………………………. 25

CAPÍTULO 3

3.ENSAMBLE DE ELEMENTOS CÓNICOS……………………………………………….. 26 3.1 Elementos cónicos de ensamble……………………………………………………… 26

3.2 Metodología para generar y analizar elementos cónicos en contacto……………. 28

3.2.1 Generación del modelo de tolerancias en el ensamble………………………... 29

3.2.2 Análisis del modelo de tolerancias……………………………………………….. 30

3.3 Implementación del lazo de vector al ensamble de elementos cónicos………….. 31

3.4 Representación gráfica de los elementos cónicos en contacto…………………… 35

3.5 Estimación de los claros en el ensamble de elementos cónicos………………….. 37

3.6 Conclusiones……………………………………………………………………………. 40

CAPÍTULO 4

4. AJUSTES CÓNICOS Y VARIACIONES GEOMÉTRICAS…………………………….. 41 4.1 Sistema de ajuste………………………………………………………………………. 41

4.1.1 Ajustes cilíndricos………………………………………………………………….. 42

4.1.2 Ajustes cónicos……………………………………………………………………... 42

4.2 Ajuste con base en un desplazamiento axial…………………..……………………. 44

4.2.1 Desplazamiento axial nominal de las piezas cónicas individuales…………… 44

4.2.2 Desplazamientos axiales nominales en ensambles cónicos………………….. 46

4.2.3 Desplazamiento axial real…………………………………………………………. 48

4.2.4 Efecto de las tolerancias del ángulo……………………………………………… 49

4.3 Programa de ajustes cónicos………………………………………………………….. 51

4.4 Programa de Variaciones geométricas en ensambles de piezas cónicas……….. 54

4.5 Conclusiones……………………………………………………………………………. 57

Contenido

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico iii

CAPÍTULO 5

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS…………………………………………………………….. 58 5.1 Verificación del programa de ajustes cónicos……………………………………….. 58

5.2 Criterio del cálculo del claro normal al eje…………………………………………… 62

5.3 Verificación del programa de variaciones geométricas……………………………. 64

5.4 Conclusiones……………………………………………………………………………. 70

CAPÍTULO 6

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES……………………………………………. 71 6.1 Recomendaciones……………………………………………………………………… 73

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………………………………… 74APÉNDICE.……………………………………………………………………………………... 79

Lista de figuras

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico iv

LISTA DE FIGURAS

Figura Descripción Pág. Figura 2.1. Cadena de dimensiones en el ensamble………………………………………..... 12

Figura 2.2. Característica del componente y característica del ensamble…………………. 13

Figura 2.3. Marcos de referencia en un ensamble……………………………………………. 13

Figura 2.4. Juntas cinemáticas y tipos de marcos en el espacio 2-D……………………….. 14

Figura 2.5. Ajuste cinemático resultado de la variación de los componentes [28]………… 16

Figura 2.6. Ajuste cinemático resultado de la variación de forma geométrica [33]………... 17

Figura 2.7. Muestra de un modelo de ensamble basado en el lazo de vector [27]………... 18

Figura 2.8. Aproximación linealizada de una curva…………………………………………… 19

Figura 3.1. Elementos cónicos…………………………………………………………………... 26

Figura 3.2. Ensamble de elementos cónicos…………………………………………………... 27

Figura 3.3. Representación de los conos, a) cono externo contenido en el elemento

interno, b) cono interno contenido en el elemento externo…………………………………...

28

Figura 3.4. Esquema para generar el modelo de tolerancias en el ensamble de

elementos cónicos…………………………………………………………………………………

30

Figura 3.5. Esquema para analizar el modelo de tolerancias en el ensamble de

elementos cónicos…………………………………………………………………………………

31

Figura 3.6. Ensamble de piezas cónicas, donde a) representación del ensamble, b)

variables del ensamble y ampliación de la zona de contacto, c) superficies de contacto

de las piezas……………………………………………………………………………………….

32

Figura 3.7. Ensamble de elementos cónicos, a) cono exterior e interior con tolerancias

positivas y negativas, b) cono exterior e interior con tolerancias negativas y positivas, c)

mismas condiciones que b) considerando que no existe una fuerza para llegar a la

interferencia………………………………………………………………………………………...

36

Figura 3.8. Claro normal al eje de la pieza, primer contacto en el diámetro menor……….. 37

Figura 3.9. Claro normal a la superficie cónica, primer contacto en el diámetro menor….. 38

Figura 3.10. Interferencia normal al eje de la pieza, contacto en toda la superficie

iniciando el contacto en el diámetro mayor del cono exterior…………………………..........

38

Lista de figuras

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico v

Figura 3.11. Interferencia normal a la superficie cónica, contacto en toda la superficie

iniciando el contacto en el diámetro mayor del cono exterior…………………………..........

38

Figura 3.12. Claro normal al eje de la pieza, primer contacto en el diámetro mayor……… 39

Figura 3.13. Claro normal a la superficie cónica, primer contacto en el diámetro mayor... 39

Figura 4.1. Desviaciones fundamentales, a) agujero, b) eje…………………………………. 42

Figura 4.2. Ensamble de elementos cónicos, donde ZT es la zona de tolerancia………… 43

Figura 4.3. Ajuste de interferencia hecho por un desplazamiento axial relativo de las

piezas de la posición de partida Pa……………………………………………………………..

44

Figura 4.4. Desplazamiento axial nominal de piezas cónicas individuales respecto al

cono básico………………………………………………………………………………………...

45

Figura 4.5. Ensamble de piezas cónicas, a) elementos cónicos nominales, b)

dimensiones nominales…………………………………………………………………………...

46

Figura 4.6. Representación de las zonas de tolerancia………………………………………. 46

Figura 4.7. Desplazamiento axial para lograr un ajuste determinado, a) desplazamiento

axial relativo, b) ampliación de la zona del desplazamiento axial……………………………

48

Figura 4.8. Efecto de las tolerancias de los ángulos de las piezas con signos +/-………… 50

Figura 4.9. Efecto de las tolerancias de los ángulos de las piezas con el mismo signo….. 50

Figura 4.10. Variación angular máxima en la zona de tolerancia………………………….... 51

Figura 4.11. Proceso para calcular los desplazamientos axiales máximos relativos,

nominales y reales………………………………………………………………………………...

53

Figura 4.12. Proceso para determinar el punto donde ocurre el primer contacto y el claro

máximo de las piezas unidas…………………………………………………………………….

56

Figura 5.1. Posición axial relativa de los conos……………………………………………….. 59

Figura 5.2. Desplazamiento axial, a) representación del desplazamiento axial nominal

para lograr un ajuste especificado, b) zona donde ocurre el ajuste (sin

escala)………………………………………………………………………………………………

60

Figura 5.3. Desplazamiento axial actual, a) representación del desplazamiento axial real,

b) zona que representa el ajuste………………………………………………………………...

61

Figura 5.4. Claros en ensambles cónicos, a) claro normal al eje y a la superficie cónica

de las pieza, b) zona donde ocurre el claro…………………………………………………….

63

Figura 5.5. Claros máximos, resultado de las variaciones de las dimensiones de las

piezas…………………………………………………………………………………………........

63

Lista de figuras

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico vi

Figura 5.6. Ensamble de elementos cónicos, donde a) ensamble nominal, b) cono

externo y cono interno, c) zona de tolerancia de los elementos……………………………..

64

Figura 5.7. Superficies cónicas, donde a) cono externo, b) cono interno………………….. 65

Figura 5.8. Histograma del análisis considerando 1 000 muestras…………………………. 66

Figura 5.9. Histograma del análisis considerando 5 000 muestras…………………………. 66

Figura 5.10. Histograma del análisis considerando 10 000 muestras………………………. 67

Figura 5.11. Histograma de claro máximo con 100 000 muestras………………………….. 67

Figura 5.12. Histograma de claro máximo para una tolerancia H10 y h10…………………. 69

Figura A.1. Ensamble de cilindro y ranura, donde a) variables de manufactura y del

ensamble, b) lazo de vector que relaciona las variables en el ensamble…………………... 79

Lista de tablas

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico vii

LISTA DE TABLAS

Tabla Descripción Pág. Tabla 2.1. Variaciones de traslación y rotación asociadas con las combinaciones

correspondientes de tolerancias de característica geométrica y tipo de junta cinemática

en 2-D, donde R es rotación y T traslación…………………………………………………….. 22

Tabla 3.1. Medidas nominales de los elementos cónicos…………………………………..... 27

Tabla 3.2. Dimensiones nominales del cono externo e interno……………………………… 28

Tabla 3.3. Ajustes resultantes máximos de los ensambles considerando solo variaciones

longitudinales……………………………………………………………………………………… 40

Tabla 5.1. Dimensiones nominales y magnitud de las zonas de tolerancia (ZT)………….. 65

Tabla 5.2. Claro máximo promedio para diferente número de muestras…………………… 68

Tabla A.1. Dimensiones manufacturadas……………………………………………………… 79

Tabla A.2. Variables cinemáticas del ensamble………………………………………………. 80

Resumen

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico viii

RESUMEN

Este trabajo de investigación se centra en el análisis de tolerancias en elementos cónicos en

contacto. Para llevar a cabo este análisis se consideraron las dimensiones nominales de aros

cónicos deformables. Se tomó en cuenta la variación angular y geométrica de las superficies

cónicas dentro de su zona de tolerancia, la manera que afecta una cadena de tolerancias a

una dimensión resultante del ensamble, y además la manera de cuantificarla.

Se desarrollaron dos programas para realizar el análisis de tolerancias en elementos cónicos

en contacto y cuantificar los posibles claros que se presentan en las superficies de unión.

Estos programas fueron codificados mediante MatLab. El primer programa de ajustes

cónicos se basa en los principios generales del método de lazo de vector, que es un método

para realizar análisis de tolerancias, basado en principios cinemáticos. El análisis se lleva a

cabo considerando un enfoque de caso crítico. En el segundo programa de variaciones

geométricas se considera que las superficies cónicas pueden variar de manera aleatoria

dentro de su zona de tolerancia. Los claros estimados al realizar un análisis de caso crítico

son alrededor de 50% mayores que tomando en cuenta variaciones geométricas dentro de la

zona de tolerancia. Estos programas son implementados al análisis de tolerancias en

elementos cónicos en contacto considerando coaxialidad de las piezas.

Abstract

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico ix

ABSTRACT

This investigation is focused on tolerance analysis of contact conical elements. In order to

realize this analysis nominal dimensions of deformable conical rings were considered. For the

analysis geometric and angular variation of the conical surfaces into their tolerance zone was

taken into account, also how a tolerance chain affects to the resultant dimension of an

assembly and the way to quantify it.

Two computer programs were developed to carry out the tolerance analysis of contact

mechanical elements and to estimate the possible gaps which are presented between the

joint surfaces. The programs were encoded in MatLab. The first program for conical fits is

based in the general principles of the vector loop method, which is an approach to carry out

tolerance analysis, based in kinematic principles. To conduct the analysis an approach of

worst case was considered. In the second program of geometric variations, a consideration

that conical surfaces may vary randomly in their tolerance zone is made. The estimated gaps

making a worst case analysis are about 50% larger than taking into account geometric

variations in the tolerance zone. These programs are implemented for the tolerance analysis

of contact conical elements considering coaxiality of pieces.

Introducción

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico x

INTRODUCCIÓN

En el proceso de diseño mecánico las tolerancias constituyen un aspecto crítico, ya que las

decisiones relacionadas con las tolerancias pueden influir en la calidad y los costos del

producto. La utilización de tolerancias muy amplias puede ocasionar dificultades en el

proceso de ensamble, mientras que el empleo de tolerancias muy estrechas puede

incrementar el tiempo de fabricación y por ende el costo de producción. En este proceso, los

requerimientos funcionales se consideran como el modo mas adecuado para capturar las

intenciones funcionales del diseñador relacionado con las tolerancias, además de

considerarse como un vínculo de información entre las diferentes etapas que conforman el

ciclo de vida de la unión.

Cuando se realiza un ensamble, se asignan tolerancias a cada una de las piezas que lo

forman, sin embargo, en muchas ocasiones éstas no son cuantificadas en el requerimiento

funcional del ensamble. Esto tiene como resultado que la unión no cumpla con su función de

diseño. Con el análisis de tolerancias, la variación de estos requerimientos funcionales

puede ser cuantificada. El análisis de tolerancias es el proceso de asignar tolerancias a los

componentes del ensamble y verificar su acumulación en el mismo. De esta manera, llevar a

cabo un análisis de variación se justifica por la necesidad de cumplir con las expectativas del

mercado, generando así mayor aporte económico a la industria.

Se han desarrollado varias herramientas computacionales, basadas en diferentes métodos

analíticos, para la especificación de tolerancias. Sin embargo en el tema de conicidades el

conocimiento que se tiene es muy reducido, por lo que se requiere profundizar en este tema

con el fin de lograr un análisis detallado, especialmente en la zona de tolerancia, que en este

caso afecta el ensamble entre piezas cónicas, que sea compatible con la norma ASME

Y14.5.

En esta investigación, el análisis de tolerancias es de elementos cónicos en contacto y se

realiza para cuantificar los claros que se presentan en las superficies de unión, ya que con

base en estos se pueden determinar los desplazamientos axiales relativos de las piezas para

alcanzar un ajuste determinado. Para esto se desarrollaron dos programas en MatLab, el

Introducción

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico xi

primero considera la variación angular de las superficies de contacto dentro de la zona de

tolerancia y toma en cuenta el enfoque de lazo de vector para realizar el análisis. En el

segundo programa se consideró la variación geométrica dentro de la zona de tolerancia y se

determinó el claro promedio que se presenta en el ensamble.

El desarrollo de este trabajo se divide en seis capítulos. El primer capítulo corresponde a la

revisión de literatura, donde se muestra la información que forma el marco de referencia

para realizar el análisis de tolerancias. En este capítulo se presentan los trabajos realizados

respecto al análisis de variación en uniones mecánicas, y se muestran ventajas y

desventajas de los mismos.

En el capítulo dos se describen los principios básicos para realizar un análisis de variación,

se describe cómo afecta la acumulación de tolerancias en una dimensión resultante del

ensamble. En este capítulo se muestran las bases del método de lazo de vector que se tomó

como referencia para realizar el análisis.

En el capítulo tres se muestra la metodología implementada para realizar análisis de

tolerancias en elementos cónicos en contacto y cuantificar el claro que se presenta en las

superficies de unión. Se representa un ensamble de piezas cónicas y se determina la

dimensión resultante del ensamble, ésta se compara de manera gráfica para verificar los

resultados.

En el capítulo cuatro se presenta una alternativa de cuantificar los posibles claros que se

presentan en la unión de elementos cónicos y se muestran las consideraciones usadas para

el desarrollo de los programas de ajustes cónicos y variaciones geométricas.

En el capítulo cinco se dan a conocer los resultados de los programas implementados al

análisis de tolerancias en elementos cónicos en contacto desarrollados en MatLab, usando

los principios generales del método de lazo de vector y considerando la variación de las

superficies de contacto dentro de las zonas de tolerancias.

Finalmente en el capítulo seis, se dan a conocer las conclusiones y recomendaciones para

trabajos futuros relacionados al tema de investigación.

Capítulo 1. Revisión de literatura

Centro Nacional de Investigación y Desarrollo Tecnológico 1

Capítulo 1

1. REVISIÓN DE LITERATURA

Todas las partes manufacturadas tienen algún tipo de desviación respecto a la forma ideal

nominal de planos técnicos. Esta desviación es aceptable en un cierto rango denominado

tolerancia, la cual es muy importante en el diseño mecánico para la producción de

ensambles, porque las zonas de tolerancia de las piezas por separado y su interacción

influyen directamente en la calidad final del mismo [1]. Las tolerancias de cada una de las

partes se acumulan y causan variación en los requerimientos funcionales del ensamble. El

análisis de variación en ensambles mecánicos es un paso importante en el diseño y

manufactura de productos de buena calidad. La asignación apropiada de las tolerancias de

las partes que forman el ensamble puede resultar en costos mas bajos de producción y una

mayor probabilidad de ajuste, reduciendo el número de ensambles con defecto, evitando así

volver a maquinar las partes [2]. Para garantizar que el ensamble de elementos funcione

apropiadamente es necesario analizar los efectos de la acumulación de tolerancias de las

partes individuales en los claros críticos de éste.

En este capítulo se muestra una breve descripción de trabajos de investigación relacionados

con el análisis de variación de tolerancias en elementos mecánicos en contacto. Esto con el

fin de tener un marco de referencia para la comprensión de este trabajo.

1.1 Análisis de variación

El objetivo de los enfoques del análisis de tolerancias es determinar la propagación y

naturaleza de la variación de la dimensión analizada o característica geométrica de interés

para un esquema de dimensionado y tolerado geométrico. En este trabajo de investigación,



el análisis de tolerancias se relaciona principalmente a elementos cónicos en contacto, éste

se lleva a cabo para cuantificar los claros críticos que se presentan en las superficies de

unión cuando se realiza el ensamble. La variación de la dimensión analizada surge de la

acumulación de las variaciones dimensionales y/o geométricas en la cadena de tolerancias.

En la actualidad existen numerosos enfoques e investigaciones relacionados con el análisis

de variación de tolerancias [3, 4, 5], donde a menudo se requiere un conocimiento detallado

de la geometría de las piezas que conforman el ensamble, y son aplicables en su mayoría en

las etapas avanzadas del proceso de diseño. Sin embargo, la información que se tiene

respecto al ensamble de elementos cónicos es muy reducida, ya que la verificación de la

región de tolerancia para estos elementos no es un proceso común, mientras que para

elementos cilíndricos, las variaciones de diámetro que representa su perfil, están dentro de

cierto orden de magnitud, que depende del diámetro y del ajuste, y pueden ser identificadas

de manera directa. Para los elementos cónicos, no se aprecia de forma directa la variación

del perfil dentro de la zona de tolerancia. Esto como resultado de las variaciones de diámetro

propias de la región cónica.

Los enfoques del análisis pueden ser clasificados de acuerdo a: la dimensionalidad; el

objetivo del análisis, el caso crítico (por ejemplo, rango de aceptación de 100%) y estadístico

(rango de aceptación menor que 100%); el tipo de variaciones incluidas, dimensional y

dimensional+geométrico; el nivel del análisis, nivel de parte y nivel de ensamble [3]. La

mayoría se restringe en dos casos: análisis y síntesis de tolerancias; solamente algunos de

ellos son aplicables a ambos casos. La solución para el primer caso es un conjunto de

ecuaciones que predice las tolerancias de un requerimiento funcional de diseño, dados

algunos valores de tolerancia de los elementos funcionales críticos en la cadena de

tolerancia. La solución para el segundo caso es un conjunto de ecuaciones que predice qué

valores de tolerancia de los elementos funcionales críticos deben ser dados para cumplir con

un requerimiento funcional de diseño [6]. La mayoría de los casos se aproxima de relaciones

no lineales entre las tolerancias a una relación lineal, para simplificar el análisis de variación

y disminuir el tiempo de cómputo al momento de realizar el estudio [7].

Los cálculos de las tolerancias han sido explorados en diversas situaciones de diseño. Por

ejemplo, en [8] y [9] se desarrollaron ecuaciones para calcular tolerancias de posición y



tamaño, para alcanzar una clase deseada y un grado de ajuste de cilindricidad entre partes

en contacto. Sin embargo, en ese enfoque se necesita de nuevas ecuaciones para cada

diseño. En [10] se presenta un análisis de tolerancias de caso crítico en un ensamble

industrial, en el cual se usó un paquete de análisis de tolerancia automatizado (GEOS por

sus siglas en ingles), desarrollado en el Centro de Investigación de Diseño de Rensselaer.

Una de las desventajas de este paquete es que los resultados varían de acuerdo a la

experiencia del usuario para crear el modelo y no cuenta con un enfoque matemático para la

caracterización de las tolerancias geométricas. A continuación se describe el análisis de

caso crítico que se usó de referencia para realizar el análisis y se presentan investigaciones

realizadas al respecto.

1.1.1 Análisis de caso crítico

Un análisis de tolerancias de caso crítico determina los valores extremos de la función de

diseño bajo cualquier posible variación permitida para las tolerancias. Este enfoque asume

que todas las dimensiones relacionadas están en sus condiciones extremas. El análisis de

caso crítico garantiza el ensamble y la función para la cual fue diseñado a pesar de la

variación de las dimensiones de las partes componentes del mismo. Esta técnica se requiere

cuando la seguridad es una parte importante en el ensamble, o cuando se requiera que

todos los ensambles cumplan con su función de diseño, evitando así pérdidas de material y

costos elevados en la producción. En tales casos, las decisiones en la asignación de las

tolerancias se basan en la suposición de que las condiciones extremas en el ensamble se

puedan presentar en la práctica [11]. Un análisis basado en este enfoque se describe en [4],

el análisis utiliza una técnica de diagramas de tolerancias. El analista posiciona las partes del

ensamble para representar cada uno de los casos críticos (mínimos o máximos valores de

las dimensiones analizadas). Este método es un procedimiento manual para cálculos de

acumulación en una dimensión, toma en cuenta tolerancias dimensionales y tolerancias

geométricas y es aplicable a nivel de parte y nivel de ensamble. Este método es uno de los

más utilizados en la industria, a causa de su fácil comprensión. Sin embargo, como se lleva a

cabo manualmente y a partir de que cada tipo de tolerancia se maneja separadamente, el

usuario debe recordar todas las reglas correctamente cuando se construyen los diagramas

para obtener resultados razonables, haciendo el proceso complicado y propenso a errores

en los cálculos. Otra limitante es que se tienen que construir diagramas separados para cada



caso crítico. A falta de una expresión algebraica para la dimensión analizada en términos de

las dimensiones de manufactura de las partes componentes del ensamble, no se puede

llevar a cabo un análisis estadístico, y el análisis solo es posible en 1-D. En [5] se presenta

un método de mapeo de tolerancias, el cual se basa en un modelo de dos niveles: el modelo

local y el modelo global. El modelo local se utiliza para representar variaciones de partes que

consideran la interacción de todos los controles geométricos (tamaño, forma, orientación y

posición), aplicado a la característica de interés. El modelo global relaciona todos los marcos

que controlan partes o ensambles. El mapeo de tolerancias es un espacio de puntos

euclidianos hipotéticos, de los cuales la forma y el tamaño refleja todas las posibles

variaciones de una característica de diseño. Éste es el rango de puntos que resulta de

mapear uno a uno todas las posibles variaciones de una característica dentro de su zona de

tolerancia. Sin embargo, este método no se ha desarrollado completamente. Las ecuaciones

que utiliza solo consideran el análisis de caso crítico y no se puede llevar a cabo un análisis

estadístico.

En [12] se presenta una síntesis de tolerancia de caso crítico con una ecuación de diseño

lineal, en la cual se suponen los límites para las variables de diseño y se utilizan para

obtener los límites de tolerancia de las variables de las partes componentes del ensamble.

Sin embargo en este análisis no se toma en cuenta variaciones geométricas. En [12] también

se presenta un análisis de tolerancia estadístico, que deriva una distribución de probabilidad

para las variables de diseño, usando las distribuciones de probabilidad asumidas de las

variables de las partes componentes y una ecuación de diseño. A continuación se

mencionan algunos enfoques estadísticos que se han utilizado para efectuar análisis de

variación.

1.1.2 Análisis estadístico

El análisis de tolerancias estadístico calcula la probabilidad de que el producto pueda ser

ensamblado y funcione bajo las tolerancias de las partes componentes del ensamble dadas;

a menudo, el análisis estadístico se realiza utilizando una técnica llamada método de Monte

Carlo.



La simulación de Monte Carlo es una herramienta para el análisis de tolerancias de

ensambles mecánicos. Se basa en el uso de un generador de números aleatorios para

simular los efectos de las variaciones de manufactura en ensambles. Esta técnica se acopla

bien a los casos donde las dimensiones de los componentes tienen otras distribuciones

diferentes a la normal, esto como resultado de que los números aleatorios pueden ser

modificados para representar cualquier otra clase de distribución. Este método también

maneja funciones de respuesta lineal y no lineal, a partir de que los valores de la función de

respuesta se calculan por simulación. La principal desventaja de este método es que, para

obtener buenos resultados, es necesario generar muestreos muy grandes, alrededor de

10.000 [13], y esto puede generar un tiempo considerable de cómputo. Una amplia revisión

de literatura referente a este método se encuentra en [14]. A continuación se muestran

investigaciones realizadas al respecto.

En [15] se utilizó la técnica de síntesis de tolerancia para realizar un análisis de variación en

el diseño de un ensamble de dos pernos unidos a dos agujeros. Se utilizó el método de

Monte Carlo para analizar este ensamble y se compararon los resultados con el análisis de

caso crítico. Sin embargo en este análisis solo se toma en cuenta la tolerancia de posición y

no cuenta para otro tipo de tolerancias. En los trabajos de [16, 17 y 18] se utiliza el método

estadístico para optimizar las tolerancias dimensionales, tal que haya un riesgo bajo

aceptable de falla en el ensamble para lograr la especificación, dados los costos de

manufactura. Las ecuaciones del ensamble son reemplazadas por ecuaciones lineales

equivalentes. En [19] se desarrolló una formulación matemática para abordar el problema de

variación, ésta se estableció en base a la descripción de las variables de las desviaciones

geométricas. Las relaciones entre las variables geométricas y las variables funcionales se

desarrollaron para mecanismos restringidos cinemáticamente y sobre restringidos. En ese

trabajo, se consideraron solamente desviaciones dimensionales y de posición al utilizar la

técnica del análisis estadístico. En [4] se utiliza un análisis de tolerancias paramétrico.

Basado en el diseño asistido por computadora, la forma y tamaño nominal se representa por

un conjunto de dimensiones explícitas y restricciones, de las cuales se obtiene un conjunto

de ecuaciones simultáneas. Resolviendo estas ecuaciones se obtiene uno o mas valores

para la dimensión resultante; las tolerancias se incorporan al permitir variaciones positivas y

negativas en las dimensiones. Este método es aplicable tanto al análisis de caso crítico como



al análisis estadístico, sin embargo, la aplicación se limita a partes poliédricas y no incluyen

tolerancias de forma y tampoco marcos de referencia.

Algunos métodos que se han utilizado para analizar la acumulación de tolerancias se basan

en principios cinemáticos. A continuación se muestra una descripción de estos métodos y las

bases en las cuales fueron desarrollados.

1.2 Enfoques cinemáticos Las tolerancias son pequeños desplazamientos lineales y angulares de un elemento

funcional respecto a su posición nominal, orientación y forma. Por lo tanto, se pueden

representar usando teorías de pequeños desplazamientos, las cuales se basan en principios

cinemáticos [6]. Srinkanth y Turner relacionaron los principios cinemáticos con el enfoque de

variación de tolerancias que incluyen las características de contacto entre las partes

individuales [20]. Las relaciones cinemáticas se combinan con información geométrica

creando un modelo completo del ensamble mecánico. Larsen [21] indica que los modelos de

análisis de tolerancias en ensambles deben contener las siguientes características:

• Traslación y rotación de cuerpo rígido relativo entre los componentes

• Propagación de las variaciones de tamaño

• Propagación de las variaciones de característica y forma

• Propagación de ajustes cinemáticos

• Acumulación de tolerancias

Rivest y Whitney [22, 23] describen un enfoque cinemático para modelar información y

acumulación de tolerancias. El enfoque se basa en la robótica, donde se usaron algunos

modelos para representar movimientos de juntas cinemáticas consecutivas, expresadas en

un marco de coordenadas globales. Los autores sugieren usar un esquema similar, por

ejemplo asociar marcos de coordenadas a los pares cinemáticos de un ensamble, para

modelar sus posibles movimientos y relacionarlos al análisis de tolerancias. El trabajo en [22]

modela pequeños movimientos que resultan de las desviaciones dentro de las zonas de

tolerancias predefinidas y en [23] una distribución estadística de las tolerancias acumuladas.



El movimiento de cuerpo rígido en ensambles es el movimiento resultante a causa de la

variación de las partes. Cada característica en una parte se desvía de su dimensión original.

Las variaciones de característica y forma también deben ser modeladas. Los ajustes

cinemáticos o ajustes al tiempo de ensamblar las partes, que son resultado de las

variaciones de las partes componentes, son una parte crucial al modelar las variaciones del

ensamble de manera precisa [23].

Ogot y Gilmore [24] discutieron la necesidad de un modelo cinemático de ensambles,

resaltaron que todos los ensambles mecánicos, aun aquellos con cero grados de libertad

obedecen a las leyes de la cinemática. Usaron un enfoque de lazo de vector para el análisis

del ensamble, diferenciaron entre dimensiones de partes, las cuales llamaron vectores

cruzados, y las dimensiones del ensamble, las cuales llamaron vectores de claro. Ogot y

Gilmore también reconocieron que los modelos de tolerancias cinemáticos deben contar con

restricciones cerradas. En otras palabras, el punto de inicio y el punto final se restringen para

que coincidan. En el trabajo realizado en [25], las dimensiones de las partes son

consideradas lógicamente como vectores, lo que es, las dimensiones tienen una referencia,

longitud y orientación. En [26] se desarrolló un método para describir los ensambles con

lazos de vector. Matemáticamente se diferenció entre ensambles de lazo abierto y

ensambles de lazo cerrado, y la manera en la cual pueden ser implementados estos lazos en

el análisis de variación de tolerancias. Chase [14, 27 y 28] usando matrices de

transformación, desarrolló un enfoque cinemático para el análisis de tolerancias. Cada

transformación representa un desplazamiento diferencial que comprende tres rotaciones y

tres traslaciones de la característica de la parte componente. Tres tipos de variaciones

(dimensional, geométrico y cinemático) se relacionan en un modelo de lazo de vector. En

este modelo, las dimensiones se representan por vectores, en los cuales la magnitud de la

dimensión es la longitud (Li) del vector. Las variaciones cinemáticas son pequeños ajustes

entre las juntas (relaciones de unión), las cuales ocurren en el tiempo del ensamble en

respuesta a las variaciones dimensionales y geométricas. Las tolerancias geométricas se

consideran al agregar grados de libertad a las partes en contacto en el ensamble. Existe una

serie de reglas para dibujar un lazo de vector y relacionarlo con el análisis de tolerancias. En

[4] Clement usó el mismo desplazamiento diferencial que puede representarse por torsores.

Clement usó superficies elementales (esferas, cilindros, planos, etc.) para modelar los seis

pares cinemáticos más bajos; junto con Realeaux [4] realizó el modelado con la restricción



completa de un cuerpo rígido fijo, en una manera descrita por Hunt [4]. Ellos llamaron a estos

las siete superficies relacionadas tecnológicamente y topológicamente (TTRS por sus siglas

en inglés). Usaron teoría de grupos y torsores de desplazamiento para combinarlos en 28

relaciones geométricas diferentes posibles. Para cada tolerancia relacionada a TTRS, la

zona de tolerancia fue representada como un torsor que contiene rotaciones y traslaciones

invariantes. También demostraron el sistema mínimo de marcos de referencia dato (DRF’s

por sus siglas en inglés) que se necesita para cada tipo de tolerancia. Aunque elegante

matemáticamente, esta representación no incorpora tolerancias de forma, o los efectos de

modificadores de material. Desrocher [4] ha tratado de expresar las clases de tolerancias en

términos de TTRS, pero este objetivo no se ha alcanzado totalmente. Los torsores son

reemplazados con matrices de transformación geométrica con coordenadas homogéneas.

En [29] se desarrolló un algoritmo para el análisis de tolerancias cinemático funcional de

sistemas mecánicos planos generales con tolerancias paramétricas. El algoritmo se basa en

la técnica de caso crítico de sistemas de partes curvas con cambios en contacto, que

incluyen cadenas cinemáticas abiertas y cerradas. Éste calcula la variación cuantitativa y

ayuda al diseñador a detectar variaciones cualitativas. El algoritmo construye un modelo

variacional para cada par de partes que interactúa; un mapeo de las tolerancias de las partes

y las configuraciones de las variaciones cinemáticas del par. El análisis es en base a la

sensibilidad y programación lineal para derivar la variación del sistema de la configuración

dada. La variación relativa a la función del sistema nominal se calcula al muestrear la

variación del sistema.

Los trabajos mencionados anteriormente forman un marco de referencia para realizar el

análisis de variación de tolerancias. Algunos de ellos no son compatibles con la norma ASME

Y14.5 [30] al no cumplir la condición de material en el análisis de variación. Cada uno de

ellos es implementado al enfoque de acumulación de tolerancias bajo las restricciones con

las que fueron realizados. Sin embargo, de acuerdo a la unión que se modele, estos trabajos

solo se pueden implementar utilizando las restricciones propias del ensamblen en particular.

Por lo cual, algunas veces estos tienen que modificarse o agregar otra herramienta para

llevar a cabo el análisis de variación.

El análisis de tolerancias que se realiza en este trabajo de investigación es de elementos

cónicos en contacto. El requerimiento funcional para el cual se hace el análisis es el claro



que se forma en las superficies de unión. Una aplicación de estos elementos es en la unión

mecánica flecha-cubo de rueda, en la cual estos sirven como interfaz entre dichas piezas de

unión. El análisis de tolerancias entre estos elementos se usa para cuantificar los claros

cuando se realiza el ensamble, ya que esto influye en la fuerza de apriete necesaria para

eliminarlos [31]. Existen normas [32] para la determinación de ajustes que se presentan en

este tipo de ensambles, sin embargo éstas solo cubren elementos cónicos con una conicidad

de 1:3 a 1:5.

Los principios generales con los cuales se llevó a cabo el análisis de tolerancias en

elementos cónicos en contacto fueron los del enfoque de lazo de vector, sin embargo para

poder realizar el análisis fue necesario implementar otros parámetros que se describen en

capítulos posteriores. Este método fue implementado ya que describe la variación de la

dimensión nominal de diseño en función de las tolerancias de las dimensiones componentes

en el ensamble. Toma en cuenta variaciones dimensionales y de forma geométrica. Funciona

tanto para análisis de caso crítico como para análisis estadístico, y puede ser integrado con

un sistema CAD del cual se extraen los datos dimensionales. Es un método que requiere de

experiencia para implementar los lazos de vector en el ensamble e interpretar los resultados

[3]; sin embargo, los elementos con los cuales se trabaja para crear el modelo son de fácil

comprensión para los ingenieros de diseño, además de ser geométricamente simples [33].

1.3 Conclusión de la revisión de literatura Las decisiones de las tolerancias pueden impactar en la funcionalidad para la cual fue

diseñado el ensamble. Para obtener partes mecánicas de ensamble es necesario realizar

asignaciones de variaciones/desviaciones permitidas de dimensiones especificadas [34].

Estas variaciones deben ser cuantificadas, dado que los diferentes miembros son

ensamblados para obtener un producto final de trabajo que satisfaga los requerimientos de

funcionalidad, por lo que se han hecho diversos estudios de análisis de variación de

tolerancias en relación a elementos en contacto. Una limitación de los métodos encontrados

en la revisión bibliográfica es que la mayoría están acotados a problemas particulares; por lo

tanto, el ingeniero tiene que tomar la decisión de cual método implementar y bajo qué

condiciones de análisis. Sin embargo, los principios generales de estos trabajos de

investigación, pueden ser tomados como referencia para realizar el análisis de variación en



el ensamble de elementos mecánicos. Con base en la bibliografía estudiada, la información

respecto al análisis de variación de elementos cónicos en contacto es muy reducida, ya que

la variación de los diámetros respecto a la forma ideal nominal se hace aún más difícil por las

diferencias de magnitud entre la inclinación de las superficies de contacto. Por lo que se

considera que se requiere la implementación de una metodología para analizar la tolerancia

resultante en el ensamble de elementos cónicos. A continuación se muestra el objetivo

general de esta investigación.

1.4 Objetivo general Analizar, proponer e implementar una metodología para describir la zona de tolerancia en

elementos cónicos en contacto que sea compatible con la norma ASME Y 14.5. El presente

trabajo tiene la finalidad de analizar las variaciones de los diámetros respecto a la forma ideal

de elementos cónicos en sus regiones cónicas, enfocado a conicidades mayores de 1:3.

Desarrollar una descripción matemática de las tolerancias en elementos cónicos y proponer

la aplicabilidad del método propuesto.

Capítulo 2. Método de lazo de vector


Capítulo 2

2. MÉTODO DE LAZO DE VECTOR

En este capítulo se describe el concepto de acumulación de tolerancias y se representa una

cadena de dimensiones que causa la variación de un requerimiento funcional de diseño. Se

describe el método de lazo de vector y los elementos en los cuales se basa para realizar el

análisis de tolerancias de forma general.

2.1 Acumulación de tolerancias

La manera de representar un esquema de dimensionado para describir la geometría de un

ensamble y sus componentes se realiza tomando en cuenta todas las dimensiones que

afectan al mismo. La relación topológica entre estas dimensiones se refiere como una

cadena de tolerancias. Por ejemplo, un ensamble que consiste de dos componentes A y B

se muestra en la figura 2.1. Las dimensiones X1, X2, y X3 componen una cadena simple.

Similarmente, las dimensiones horizontales del ensamble componen otra cadena. El ancho

total del ensamble, X5, se relaciona con X4 y X2. La relación algebraica para estas cadenas

se muestra en la ecuación (2.1).

425

213

XXX

XXX

+=

+= (2.1)

En cada cadena existe una dimensión resultante que se deriva de las otras dimensiones. Los

tamaños nominales de las dimensiones de una cadena tienen la misma relación algebraica

que la ecuación de la cadena original. Sin embargo, las tolerancias de las dimensiones no



poseen las mismas características. Las variaciones incluidas en una dimensión resultante

son producto de todas las variaciones relacionadas en las dimensiones independientes. A

este fenómeno se le denomina acumulación de tolerancias [35].

X5

X3

X1 X2

X4

AB

2.1.1 Especificaciones de tolerancia en el ensamble Para asegurar la calidad del ensamble, los ingenieros de diseño especifican requerimientos

funcionales para los componentes y los ensambles. Estos pueden ser trasladados a límites

en cantidades geométricas, tal como rotaciones y traslaciones.

Los límites aplicados a las variaciones en la geometría del ensamble se llaman

especificaciones de tolerancia del ensamble. Las especificaciones de tolerancia del

ensamble definen la variación aceptable de las variables críticas del ensamble. A partir de

que las variaciones del ensamble son el resultado de la acumulación de las variaciones de

los componentes que forman el mismo, estas pueden ser modificadas al cambiar los

procesos usados para manufacturar los componentes. Las variaciones del ensamble son

medidas después de que las piezas se ensamblan [36]. La figura 2.2 compara las

características de los componentes y las características del ensamble.

Figura 2.1. Cadena de dimensiones en el ensamble.



Característica del componente

Característicadel ensamble

2.1.2 Marcos de referencia Para distinguir entre las partes individuales y permitir el dimensionado referenciado a datos,

se crea un marco de referencia en cada parte que conforma el ensamble. Un marco de

referencia es un sistema de coordenadas local para cada parte. Este localiza las

características en una parte. Existen dos tipos de marcos: marcos centrales y marcos

rectangulares. La figura 2.3 muestra un ensamble de dos partes con marcos de coordenadas

definidos en cada parte. El marco A situado en el cilindro es un marco central, el marco B de

la ranura es un marco rectangular.

A

B

Figura 2.3. Marcos de referencia en un ensamble.

2.1.3 Juntas

Se llama juntas a los puntos de contacto entre las partes del ensamble. Kim Y Lee [37]

desarrollaron un sistema para derivar un modelo de ensamble solo por condiciones de

contacto. Una junta define un par cinemático el cual restringe el movimiento relativo entre las

Figura 2.2. Característica del componente y característica del ensamble.



partes de contacto. Por ejemplo en la figura 2.3, el cilindro en una ranura forma dos juntas,

una en la parte superior y otra en la parte inferior. Este tipo de junta es de deslizamiento

cilíndrico y en un sistema coordenado 2-D tiene dos grados de libertad, una traslación y una

rotación. Existen seis tipos de juntas las cuales modelan una amplia variedad de condiciones

de ensamble 2-D. La figura 2.4 muestra este tipo de juntas y los marcos de referencia de la

figura 2.3.

Cada junta se localiza relativa al marco de referencia de ambas partes conectadas por ésta,

figura 2.3. La cadena de vectores que localiza la junta del marco de referencia se denomina

sendero. Cada vector en un sendero debe ser ya sea una dimensión componente, para la

cual el diseñador debe especificar una tolerancia, o una dimensión del ensamble cinemática,

la cual se ajusta al momento de ensamblar las piezas. Las dimensiones cinemáticas se

determinan por una cadena de dimensiones de las partes del ensamble. Estas son resultado

de la acumulación de las tolerancias de dimensiones componentes de la unión.

2.1.4 Lazos de vector

Las relaciones de las dimensiones de los componentes y las dimensiones cinemáticas que

representan el ensamble se obtienen al crear un conjunto de lazos de vector, los cuales

conectan las juntas que se presentan al momento de ensamblar las partes. Los lazos pueden

ser tanto abiertos como cerrados, a continuación se describe y se especifica qué representa

cada uno de ellos.

Figura 2.4. Juntas cinemáticas y tipos de marcos en el espacio 2-D.



Lazo cerrado: los lazos cerrados empiezan y terminan en la misma posición y representan

restricciones cinemáticas en el ensamble. Por ejemplo, una restricción cinemática puede

requerir que todas las partes en el ensamble deben estar en contacto para que el modelo de

tolerancia sea válido. En la figura 2.3 se representa un lazo cerrado.

Lazo abierto: se usan para determinar variaciones de interés en el ensamble tal como un

claro, orientación y posición. Por ejemplo la puerta de un automóvil debe de mantener un

determinado claro para cumplir con el funcionamiento adecuado de la misma. En este trabajo solamente se consideran lazos cerrados, ya que se considera que los

elementos cónicos están en contacto. A continuación se describen las fuentes de variación

en un ensamble y cómo se relacionan con el análisis de tolerancias utilizando el método de

lazo de vector

2.2 Fuentes de variación en ensambles Para comprender el método de lazo de vector se deben analizar algunos conceptos antes de

comenzar con la descripción del mismo. El control de variación es la clave del análisis de

tolerancias. Las variaciones dimensionales que ocurren en cada parte que forma el

ensamble, afectan su requerimiento funcional de diseño. Los claros críticos resultantes y

ajustes, que afectan el funcionamiento del ensamble, son el sujeto de variación a causa de la

acumulación de las variaciones dimensionales. Existen tres fuentes de variación que deben

tomarse en cuenta para modelar ensambles mecánicos:

1. Variaciones dimensionales

2. Forma geométrica y variaciones de característica

3. Variaciones cinemáticas (pequeños ajustes entre las partes de contacto)

Las variaciones de forma y dimensionales (1 y 2) son resultado de variaciones en los

procesos de manufactura, o las materias primas usadas en la producción. Las variaciones

cinemáticas ocurren al momento de ensamblar las piezas, cuando pequeños ajustes entre

las partes de unión se requieren para acomodar las variaciones de forma y dimensionales.



2.2.1 Representación de las variaciones

Los dos componentes del ensamble en la figura 2.5 muestran la relación entre las

variaciones dimensionales en un ensamble y los ajustes cinemáticos que ocurren al

momento de unir las piezas.

El ensamble tiene tres dimensiones que varían, dos en la ranura y una en el cilindro, como

se muestra en la figura 2.5. Las variaciones en las tres dimensiones tienen un efecto en la

distancia U1. Esta característica es importante para la función del ensamble y en este caso

se refiere a una dimensión resultante del ensamble.

Las partes son ensambladas al insertar el cilindro en la ranura hasta hacer contacto en las

dos superficies de unión. Para cada conjunto de partes U1 se ajustará para acomodar los

valores actuales de las dimensiones A, R, y θ. La resultante del ensamble U1 representa la

posición nominal del cilindro, U2 representa la posición del cilindro cuando la variación se

presenta. Esta ajustabilidad del ensamble describe una restricción cinemática, o una

restricción cerrada del ensamble.

Α θθθ

U1

U2

RR+ΔR

Α +

ΔΑ

La figura 2.6 ilustra el mismo ensamble con variaciones de características geométricas

exageradas. En este ensamble, el cilindro puede hacer contacto en un pico de la superficie

inferior de la ranura. Similarmente, la superficie mas baja de la ranura puede hacer contacto

con un lóbulo del cilindro. Las variaciones como éstas se propagan a través de un ensamble

y se acumulan como lo hacen las variaciones dimensionales. Por esta razón un modelo

Figura 2.5. Ajuste cinemático resultado de la variación de los componentes [28].



completo de ensamble debe tomar en cuenta las tres variaciones para asegurar resultados

reales y precisos [33].

Α

θ

U1

R

2.2.2 Descripción de la creación de un modelo de lazo de vector En modelos de tolerancia de lazo de vector, cada vector representa una parte, o una

dimensión componente. Los vectores son arreglados en lazos que representan aquellas

dimensiones que juntas se acumulan para determinar las dimensiones resultantes del

ensamble resultante. La ventaja de usar lazos de vector es que reducen la geometría a

solamente las dimensiones necesarias para realizar el análisis y la habilidad de usar

derivadas algebraicas de las funciones del ensamble.

Cada una de las tres fuentes de variación se representa en el lazo de vector. Las variaciones

dimensionales, que son resultado de los procesos de manufactura, se producen antes del

ensamble y por lo tanto son consideradas variables independientes. Las variaciones de

características geométricas, que proveen restricciones de tolerancias en forma, orientación y

localización de características de partes, también se consideran variables independientes.

Las variaciones cinemáticas que ocurren en el tiempo del ensamble, son una respuesta a las

dos fuentes de variación anteriores. A causa de que las variaciones ocurren cuando las

piezas se ensamblan, estas se consideran variables dependientes del ensamble. Estas son

dependientes de las variaciones geométricas y dimensionales [27].

Para linealizar las ecuaciones que se obtienen al crear el lazo, se utiliza el método de

linealización directa, el cual, se basa en las series de expansión de Taylor de primer orden

Figura 2.6. Ajuste cinemático resultado de la variación de forma geométrica [33].



de la ecuación de restricción cinemática del ensamble, con respecto a las variables de

manufactura y variables del ensamble. Las series de Taylor se resuelven usando álgebra

lineal, en términos de las variaciones de los componentes manufacturados. La restricción

cinemática para un ensamble se puede representar por un lazo cerrado o abierto. Cuando el

lazo traza las dimensiones del comienzo al final, las dimensiones de cada parte, como las

traslaciones y rotaciones de cada junta deben sumar cero para un lazo cerrado y un claro

para un lazo abierto.

La figura 2.7 muestra un modelo de lazo de vector de un ensamble. Cada vector define la

rotación y traslación relativa del vector anterior. Si un vector representa una dimensión

componente, entonces su variación es la tolerancia especificada del componente. Si ésta es

una variable cinemática, su variación se determina al resolver la ecuación del vector. Si una

longitud o ángulo es una variable cinemática, ésta se determina por los grados de libertad de

la junta cinemática correspondiente, definida en los puntos de contacto entre las partes de

unión [27].

Un lazo de vector cerrado, tal como se muestra en la figura 2.7, define una restricción

cerrada cinemática para el ensamble. La ecuación de junta a junta se puede representar

matemáticamente por las matrices de transformación homogéneas. La ecuación de

restricción cinemática del ensamble cerrada se muestra al igualar el producto de todas las

matrices de transformaciones a la matriz identidad, como se muestra en la ecuación (2.2).

Las matrices de traslación y rotación de la ecuación (2.2) definen la posición relativa de los

Figura 2.7. Muestra de un modelo de ensamble basado en el lazo de vector [27].



vectores de la figura 2.7. La matriz H incluye las transformaciones necesarias para trasladar

y rotar cualquier marco de coordenadas de un vector a su nueva posición [27].

][]][][]......[][]....[][][][[ 2211 HRTRTRTRTR fnnii = (2.2)

Donde:

[Ri] Es la matriz de transformación rotacional o producto de matrices de transformación

rotacionales

[Ti] Es la matriz de traslación para el nodo i

[Rf] Es la rotación cerrada final

[H] Es la matriz que representa el claro final y su orientación.

La ecuación de restricción del ensamble de lazo cerrado es no lineal [36], pero como las

variaciones alrededor del valor nominal son de una magnitud menor que la dimensión

considerada, las soluciones pueden ser aproximadas al usar sus derivadas. Tomando en

cuenta la figura 2.8, si se conoce la derivada (pendiente) de la curva en el punto A, se puede

estimar el valor de la función en el punto B y C de la siguiente manera [38]:

dxdyxAFCF

dxdyxAFBF Δ−=Δ+= )()()()( (2.3)

Las tolerancias se pueden representar como Δx en la figura, y usar la sensibilidad para

estimar el valor de la función en los extremos de la tolerancia. De esta manera, las

soluciones de las ecuaciones de lazo se aproximan al usar las series de expansión de primer

orden de Taylor de las ecuaciones de restricción, por lo tanto solamente se necesitan las

derivadas parciales de cada una de las variables del lazo para linealizar las ecuaciones [38].

F(x)

Δx

Δx

A

A

F(C)F(A)

F(B)

X

y

Figura 2.8. Aproximación linealizada de una curva.



Las ecuaciones linealizadas para lazos cerrados en un ensamble se pueden expresar en

forma de matriz [27].

}0{}]{[}]{[}{ =Δ+Δ=Δ UBXAH (2.4)

Donde:

}{ΔΗ Son las variaciones del claro o relación cerrada

}{ XΔ Son las variaciones de las variables manufacturadas

}{ UΔ Son las variaciones de las variables del ensamble

][Α Son las derivadas parciales con respecto de las variables manufacturadas

[B] Son las derivadas parciales con respecto a las variables del ensamble

Para mapear correctamente las derivadas en las matrices [A] y [B], se requiere que cada

traslación y rotación en el lazo sean identificadas ya sea como una variable dependiente o

independiente o una constante. Si la matriz [B] es cuadrada, las variaciones de las variables

del ensamble se obtienen al resolver la siguiente ecuación [33].

}]{[][}{ 1 ΔΧΑ−=Δ −BU (2.5)

En la ecuación (2.5) la matriz [A] describe la sensibilidad geométrica de las variaciones de

los componentes ΔX, y [B]-1 impone los ajustes entre los ejes de las juntas cinemáticas para

lograr cerrar el lazo. El significado de esta ecuación es que las variaciones del ensamble se

pueden obtener directamente de la geometría por operaciones de álgebra de matriz [33].

Una vez que las matrices han sido obtenidas, se pueden introducir valores de ΔX sin repetir

la solución. Si el ensamble tiene restricciones de lazo abierto, las series de expansión de

primer orden de las restricciones del ensamble son [33]:

}]{[}]{[}{ UDCV Δ+ΔΧ=Δ (2.6)

Donde:

{ΔU} Son las variaciones de las variables del ensamble de lazo abierto

[C] Son las derivadas parciales de las variables manufacturadas en el lazo abierto

[D] Son las derivadas parciales de las variables del ensamble en el lazo abierto



Si se sustituye {ΔU} de la ecuación (2.5) en la ecuación (2.6), entonces las variaciones de las

variables de lazo abierto se pueden expresar como [38]:

( ) }{][]][[][}{ 1 ΔΧ−=Δ − ABDCV (2.7) 2.2.3 Variaciones de característica geométrica Las variaciones de características geométricas definidas en la norma ASME Y14.5 pueden

ser modeladas tal que sus efectos se reflejen en el modelo de tolerancia del ensamble. Los

efectos de las variaciones geométricas en el ensamble o variables cinemáticas pueden ser

estimadas al analizar las ecuaciones de restricción del ensamble.

En el modelo de lazo de vector, esto se logra al modelar las variaciones de característica

geométrica con vectores de longitud cero que tienen variaciones especificadas o tolerancias,

colocadas en el punto de contacto entre las superficies de unión. Los vectores de longitud

cero se consideran fuentes de variación independientes para las variaciones independientes

en el ensamble. La dirección en la cual éstas introducen variación en el ensamble depende

en el tipo de contacto que existe entre las superficies. Por esta razón, las tolerancias de

característica geométrica de los componentes en un ensamble se relacionan con los tipos de

juntas. La manera en la cual las variaciones geométricas se propagan entre las superficies

de unión, depende de la naturaleza de contacto [28]. El tipo de junta cinemática y las

tolerancias de características geométricas en las partes en contacto son los elementos

claves en analizar los efectos de las tolerancias de las características geométricas en las

variaciones de los ensambles. En la figura 2.4 se muestra los tipos de juntas cinemáticas en

2-D.

Si la variación traslacional causada por la tolerancia de característica geométrica se

representa por T, y la variación rotacional por R, todas las posibles combinaciones de las

tolerancias de característica geométrica con los tipos de juntas cinemáticas se pueden

resumir en la tabla 2.1. Las celdas vacías en la tabla significan que la combinación de las

tolerancias de característica geométrica y la junta cinemática no aplica [28].



Tabla 2.1. Variaciones de traslación y rotación asociadas con las combinaciones correspondientes de tolerancias de característica geométrica y tipo de junta cinemática en 2-D, donde R es rotación y T traslación.

Las derivadas de la traslación y rotación se pueden incluir en la ecuación (2.2) para

variaciones de características geométricas como fueron utilizadas para variaciones

dimensionales. Al incluir las matrices de rotación y traslación debido a las variaciones

geométricas en la ecuación de restricción cinemática del ensamble y utilizando la

metodología anterior, las ecuaciones de restricción linealizadas para un ensamble se

especifican de la siguiente manera [28]:

Lazo cerrado:

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0=Δ+Δ+Δ=Δ αFUBXAH (2.8)

Lazo abierto:

{ } [ ]{ } [ ]{ } [ ]{ } { }0=Δ+Δ+Δ=Δ αGUDXCV (2.9)

Donde:

{ }:αΔ Variaciones de las variables de características geométricas

[ ] [ ]:, GF Derivadas parciales con respecto a las variables de característica geométrica

Las demás literales se definieron en los párrafos anteriores.



Resolviendo la ecuación (2.8) para ΔU, se determinan las variaciones del ensamble de lazo

cerrado:

{ } [ ] [ ]{ } [ ] [ ]{ }αΔ−Δ−=Δ −− FBXABU 11 (2.10)

Si se sustituye ΔU de la ecuación (2.10) en la ecuación (2.9), las variaciones para lazo

abierto se pueden expresar como [28]:

{ } [ ] [ ][ ] [ ]( ){ } [ ] [ ][ ] [ ]( ){ }αΔ−+Δ−=Δ −− FBDGXABDCV 11 (2.11)

2.2.4 Estimación de las variaciones cinemáticas La estimación de las variaciones cinemáticas en el ensamble se pueden obtener de la

ecuación (2.5) para las restricciones de lazo cerrado, y (2.7) para restricciones de lazo

abierto, ya sea por el modelo de caso crítico o análisis estadístico [27].

Caso crítico:

),.......1(1

miTdxSU DISDj

n

j

Diji =≤=Δ ∑

=

(2.12)

Modelo estadístico:

( ) ),........1(1

2 miTdxSU DIS

n

j

Dj

Diji =≤=Δ ∑

=

(2.13)

Donde m es el número de variables del ensamble, las cuales son críticas para el diseño, n es

el número de las variables manufacturadas contribuyentes, Djdx es la tolerancia de la j-ésima

dimensión manufacturada, TDIS es la especificación de diseño para la i-ésima variable, ΔUi

son las variaciones de las dimensiones del ensamble y DijS son los elementos de la matriz de

sensibilidad ][SD de la restricción del ensamble.



Para restricciones de lazo cerrado [27]:

][][][ 1 ABS D −−= (2.14)

Para restricciones de lazo abierto:

][]][[][][ 1 ABDCS D −−= (2.15)

Si hay restricciones geométricas, la estimación de las variaciones cinemáticas se obtiene

como se muestra en las siguientes ecuaciones [4]:

Caso crítico:

),.......1(11

miTdxSdxSU DISGj

k

j

Gij

Dj

n

j

Diji =≤+=Δ ∑∑

==

(2.16)

Modelo estadístico:

( ) ( ) ),........1(1

2

1

2 miTdSdxSU DIS

k

j

Gj

Gij

n

j

Dj

Diji =≤+=Δ ∑∑

==

α (2.17)

Donde k es el número de variables de característica geométrica, Gdα y GS es el vector de

tolerancias para las variables de características geométricas y la matriz de sensibilidad para

las mismas respectivamente. Las demás literales quedan definidas en el párrafo anterior.

En este trabajo de investigación, solamente se utiliza la técnica de caso crítico para realizar

el análisis de variación en el ensamble de elementos cónicos, ya que, para realizar un

análisis estadístico se requiere conocer las desviaciones estándar que tienen los procesos al

manufacturar las partes componentes del ensamble. Sin embargo, se presenta una

alternativa para calcular el ajuste entre piezas cónicas, generando superficies aleatorias.

Esta representación se muestra en capítulos posteriores.



2.3 Conclusiones En este capítulo se describió una cadena de tolerancias en un ensamble. Esta forma de

expresar una dimensión resultante en función de una cadena de tolerancias sirve como base

para realizar el análisis de tolerancias en elementos cónicos en contacto, ya que relaciona

las dimensiones de las partes individuales y las dimensiones resultantes del ensamble. La

dimensión resultante es el claro que se presenta, resultado de la inconsistencia en el

contacto de las superficies y se cuantifica en base a las tolerancias asignadas a los

diámetros de las piezas por separado. El método de lazo de vector presenta limitaciones

para obtener el claro de manera directa, ya que no se encontró un lazo que lo relacionara

con las dimensiones de manufactura de las piezas. Para esto se tomó en cuenta el

comportamiento del ángulo de la superficie actual dentro de la zona de tolerancia, y la

manera de representar y verificar las variaciones geométricas dentro de ésta. Sin embargo,

para realizar el análisis se tomaron como base los principios generales de este método. En el

capítulo siguiente se presenta la metodología para crear el modelo del ensamble y analizarlo

utilizando las descripciones de los elementos y las bases descritas en este capítulo.

Capítulo 3. Ensamble de elementos cónicos


Capítulo 3

3. ENSAMBLE DE ELEMENTOS CÓNICOS

En el capítulo anterior se describieron elementos como el marco de referencia, juntas y lazos

que se toman de base para analizar el ensamble de elementos cónicos. En este capítulo se

muestra una breve explicación de la implementación del modelo propuesto de tolerancias a

estos elementos y la manera de realizar el análisis de variación. Se toma en cuenta un

ensamble de elementos cónicos con el fin de calcular el claro de las superficies con cambio

de diámetros cuando las piezas se unen, y se compararan con un sistema CAD.

3.1 Elementos cónicos de ensamble

En la figura 3.1 se muestra un par de elementos cónicos, los cuales son ensamblados para

cumplir con una determinada función de diseño. El análisis de variación entre estos

elementos se hace para cuantificar los claros que se presentan en las superficies cónicas al

momento de ser ensamblados.

La figura 3.2 muestra el ensamble nominal entre estos elementos, donde Lc es la longitud de

contacto de las piezas.

Figura 3.1. Elementos cónicos.



dθ

D

Elementoexterno

Elementointerno

Lc

l

La tabla 3.1 muestra las medidas nominales de las piezas del ensamble. Éstas se tomaron

como referencia de los aros elásticos marca Ringfeder RfN S8006 [39] para desarrollar el

análisis de tolerancias:

Tabla 3.1. Medidas nominales de los elementos cónicos.

Elementos cónicos Literal Medida nominal (mm)

D 25 d 20 L 6.3 l 5.3

θ 16.7° Tomando en cuenta que el elemento externo tiene una conicidad interna y el elemento

interno una conicidad externa, el nombre con el cual se referirán las piezas en esta

investigación son: cono interno y cono externo. En la figura 3.3 se muestra el cono interno

(que esta contenido en el elemento externo) y el cono externo (contenido en el elemento

interno) cuyas dimensiones nominales se obtuvieron de los elementos externo e interno

respectivamente. La tabla 3.2 muestra las dimensiones nominales de los conos [39].

Figura 3.2. Ensamble de elementos cónicos.



Las designaciones De, de, Le y θe, representan: el diámetro mayor, el diámetro menor, la

longitud y el ángulo de la superficie cónica del cono externo respectivamente. Las

designaciones Di, di, Li y θi, representan: el diámetro mayor, el diámetro menor, la longitud y

el ángulo de la superficie cónica del cono interno respectivamente.

deDe diDi

Le Li

a) b)

Figura 3.3. Representación de los conos, a) cono externo contenido en el elemento interno, b) cono interno contenido en el elemento externo.

Tabla 3.2. Dimensiones nominales del cono externo e interno.

Cono externo (mm)

Cono interno (mm)

De 24.39 Di 23.79 de 21.21 di 20.61 Le 5.3 Li 5.3

θe 16.7 θi 16.7 3.2 Metodología para generar y analizar elementos cónicos en contacto Para realizar el análisis de tolerancias primero se genera un modelo del ensamble utilizando

partes, marcos de referencia, datos de características, juntas cinemáticas, tolerancias y lazos

de vector. Enseguida se realiza el análisis de variación utilizando las ecuaciones obtenidas

del los lazos del ensamble. A continuación se describe la metodología para realizar el

análisis de acumulación.



3.2.1 Generación del modelo de tolerancias en el ensamble

Para representar el modelo de tolerancias propuesto para elementos cónicos en contacto

son necesarios los siguientes pasos:

1.- Dibujar el ensamble nominal en un sistema CAD. Este paso es muy importante, ya que

de éste se extrae la información nominal de las variables de manufactura y las variables

resultantes del ensamble.

2.- Localizar las variables de manufactura y del ensamble. Las variables de manufactura son

dimensiones componentes de las partes que intervienen en el ensamble y tienen efecto en

la acumulación de tolerancias. Las variables del ensamble son dimensiones dependientes de

las variables de manufactura, y se miden solo cuando las partes están en contacto.

3.- Definir los marcos de referencia. Cada parte debe tener su propio marco de referencia y

sirve para localizar las dimensiones características en una parte.

4.- Localizar los tipos de juntas en el ensamble. Las juntas relacionan los puntos de contacto.

Estas se localizan relativas a cada parte por medio de senderos dato o vectores.

5.- Crear los lazos de vector uniendo dimensiones relevantes en cadenas que describen las

dimensiones del ensamble resultante, en función de las variables de manufactura. Los lazos

de vector definen las restricciones del ensamble que localizan las partes en el mismo relativa

una respecto a la otra. Existe una restricción para determinar el número de lazos cerrados en

un ensamble, esta restricción esta en función de la siguiente ecuación, [38]:

1+−= PJL (3.1)

donde L es el número de lazos requerido para describir las variaciones del ensamble, J es el

número de juntas y P es el número de partes.

6.- Especificar las tolerancias de acuerdo al tipo de análisis, dimensional o

dimensional+geométrico.



7.- Especificar los requerimientos funcionales del ensamble. Estos son los límites que se le

asigna a la dimensión resultante dependiendo de la funcionalidad del ensamble.

La figura 3.4 muestra el esquema para generar el modelo del ensamble.

Análisis del modelo de tolerancias 3.2.2 Análisis del modelo de tolerancias

Una vez que se generó el modelo del ensamble, utilizando todos los elementos mencionados

anteriormente, el análisis de variación se lleva a cabo de la siguiente manera:

1.- Generar las ecuaciones del ensamble. Éstas se obtienen del lazo que relaciona las

dimensiones resultantes y las dimensiones de manufactura. El lazo define una restricción

cerrada cinemática para el ensamble. La ecuación de junta a junta se representa

matemáticamente por las matrices de transformación homogéneas, de donde la ecuación de

restricción se obtiene al igualar el producto de todas estas matrices a la matriz identidad.

2.- Las ecuaciones del lazo, como se mencionó en el capítulo 2, son no lineales e implícitas.

Estas se linealizan al aplicar series de expansión de Taylor. Al desarrollar las derivadas

parciales de las ecuaciones se determinan los coeficientes del sistema lineal de ecuaciones.

Dibujo del ensamble

Variables de manufactura y del

ensamble

Marcos de referencia

Localización de Juntas

Lazos de vector Tolerancias Requerimientos funcionales

Figura 3.4. Esquema para generar el modelo de tolerancias en el ensamble de elementos cónicos.



3.- Una vez linealizadas las ecuaciones, se resuelven para las sensibilidades de las

tolerancias.

4.- Analizar la acumulación de tolerancias por medio de enfoques críticos o estadísticos, las

ventajas y desventajas de cada enfoque se especifican en el capítulo 1.

La figura 3.5 muestra el esquema para realizar el análisis de variación en el ensamble de

elementos cónicos.

3.3 Implementación del lazo de vector al ensamble de elementos cónicos En la figura 3.6a se representa el ensamble de los elementos cónicos. En la figura 3.6b se

muestran las variables de manufactura nominales de cada una de las piezas que forman el

ensamble con sus respectivas variaciones (tolerancias), y las variables cinemáticas (ocurren

cuando las partes se ensamblan) con sus respectivas variaciones desconocidas. La figura

3.6c muestra las superficies de contacto de las piezas para la parte superior del ensamble,

donde Sci y Sce es la superficie del cono interno y cono externo respectivamente. Estas

varían de una parte a otra como resultado de las variaciones en los procesos de

manufactura. La variación de las dimensiones que resultan del ensamble es la que se

cuantifica cuando las piezas se unen. En la figura 3.6a se muestran estas dimensiones (b, g),

y en la figura 3.6b su valor nominal respectivamente. Al conocer las variaciones de las

dimensiones resultantes del ensamble se puede estimar el valor del claro que se forma

cuando las piezas se unen. Esto se explica posteriormente.

Generar ecuaciones del ensamble de los

lazos

Calcular derivadas y ecuaciones de matriz

de forma

Expresiones: caso crítico o estadístico

Resolver para las sensibilidades de

tolerancia

Evaluación e iteración del proceso

Figura 3.5. Esquema para analizar el modelo de tolerancias en el ensamble de elementos cónicos



Los marcos de referencia también se muestran en la figura 3.6a (M1 Y M2). Éstos se localizan

en el eje de las piezas que forman la unión. La finalidad de establecer los marcos en esta

posición es facilitar el definir los lazos de vector. Una vez localizadas las juntas cinemáticas

en el ensamble y establecidos los marcos de referencia se sobreponen los vectores

mostrados en la figura 3.6a para formar senderos dato. Un sendero dato es una cadena de

dimensiones que localiza las juntas en el ensamble con respecto a los marcos de referencia.

Por ejemplo la junta en la parte superior de la figura 3.6a se localiza con el marco de

referencia de las dos piezas y forma un sendero, de igual manera la junta en la parte inferior

del ensamble. Una vez que se forman los senderos dato se generan los lazos de vector al

unir estos senderos. De acuerdo a la ecuación (3.1) se necesita un lazo para realizar el

análisis de variación de las dimensiones b y g en el ensamble de elementos cónicos, ya que

solo hay dos partes y dos juntas en donde las superficies inclinadas hacen contacto. El lazo

se muestra en la figura 3.6a.

a

b

e

d

c

fg

h

Conoexterno

Conointerno

φ3

φ4

Variables de manufactura Variables cinemáticas de las partes (mm) del ensamble (mm)

Dimensión Nominal Tol. (±) Dimensión Nominal Tol. (±) a 12.195 0.010 b 1.044 ? c 5.533 0.009 g 1.044 ? d 10.305 0.010 e 10.305 0.010 f 5.533 0.009 h 12.195 0.010φ1=φ2=φ3=φ4 16.69° 0.0005 rad

cb

Conoexterno Cono

interno

Sce

Sci

a) b) c)

φ1 φ2

M1 M2

φ1

φ2

Figura 3.6. Ensamble de piezas cónicas, donde a) representación del ensamble, b) variables del ensamble y ampliación de la zona de contacto, c) superficies de contacto de las piezas.



Una vez creado el modelo del ensamble que se muestra en la figura 3.6a, el siguiente paso

consiste en generar las ecuaciones que describen el movimiento de los vectores en el lazo a

causa de las variaciones en la dimensiones de manufactura. Las ecuaciones que se obtienen

del lazo son no lineales e implícitas ya que estas contienen productos y funciones

trigonométricas de las variables. Estas se linealizan al aplicar las series de expansión de

Taylor de primer orden [40]. Al realizar las derivadas parciales se obtienen los coeficientes

del sistema lineal de ecuaciones. Cada derivada se evalúa en el valor nominal de las

dimensiones que intervienen en el lazo. Los valores nominales se obtienen del modelo

realizado en CAD. En la ecuación (3.2) se muestran las ecuaciones linealizadas del lazo

donde intervienen todas las variables que se muestran en la figura 3.6b, δ representa el

cambio en la dimensión correspondiente

44

33

22

11

44

33

22

11

44

33

22

11

δφφ

δφφ

δφφ

δφφ

δδδδδδδδδ

δφφ

δφφ

δφφ

δφφ

δδδδδδδδδ

δφφ

δφφ

δφφ

δφφ

δδδδδδδδδ

θθθθ

θθθθθθθθθ

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

hhhh

hhh

ggh

ffh

eeh

ddh

cch

bbh

aah

h

hhhh

hhh

ggh

ffh

eeh

ddh

cch

bbh

aah

h

hhhh

hhh

ggh

ffh

eeh

ddh

cch

bbh

aah

h

yyyy

yyyyyyyyy

xxxx

xxxxxxxxx

(3.2)

Las ecuaciones de lazo linealizadas, se resuelven para las sensibilidades de las tolerancias

por álgebra matricial.

}0{}]{[}]{[}{ =ΔΒ+ΔΑ=ΔΗ UX (3.3)

La matriz [A] es la matriz que contiene las derivadas parciales con respecto a las variables

de manufactura de la restricción cerrada del lazo. Esta matriz describe la sensibilidad

geométrica de las variaciones de manufactura. La matriz [A] se muestra a continuación.



⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

43211

43211

43211

][

φφφφφ

φφφφφ

φφφφφ

θθθθθθθθθθθ hhhhhhh

fh

eh

dh

ch

ah

hhhhhhh

fh

eh

dh

ch

ah

hhhhhhh

fh

eh

dh

ch

ah

A yyyyyyyyyyy

xxxxxxxxxxx

Al evaluar las derivadas parciales con respecto a las variables de manufactura, que se

muestran en la figura 3.6b, de las ecuaciones del lazo del ensamble se obtienen los valores

de la matriz. Estos se muestran a continuación.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−−

−−−=

11110000003.513.5112873.0112873.01

5899.129999.05899.12999.009578.0009578.00][A

La matriz [B] es la matriz que contiene las derivadas parciales con respecto a las variables

del ensamble de las ecuaciones del lazo, ésta se representa de la siguiente manera:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

=

gh

bh

gh

bh

gh

bh

B yy

xx

θθ

][

Al evaluar las derivadas parciales de la matriz [B] en sus valores nominales, los valores que

se obtienen se muestran a continuación. El procedimiento para obtener estas matrices se

muestra en el apéndice al final del trabajo de investigación.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

=2873.02373.09578.09578.0

][B



Una vez obtenidas estas matrices y por medio de álgebra matricial se encuentra la matriz

que describe la sensibilidad de las tolerancias asignadas a las variables de manufactura. Los

valores de la matriz se muestran a continuación.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−−−−−−−−−−−−−−

=5835.13923.80523.108967.17401.117401.17401.107401.18967.10523.103923.85835.17401.107401.17401.117401.1DS

Cuando todas estas matrices han sido obtenidas, se pueden introducir valores de ΔX

(tolerancias de las variables de manufactura) sin repetir la solución. Una vez aplicando las

tolerancias a las variables de manufactura y conociendo la matriz de sensibilidades, se

puede utilizar ya sea el enfoque de caso crítico o estadístico para obtener las variaciones

cinemáticas o del ensamble. Al realizar un análisis estadístico se requiere conocer las

desviaciones estándar que los procesos tienen al producir las dimensiones manufacturadas

de las piezas. Para conocer estos datos es necesario haber empezado la producción. Por

esta razón se utiliza el análisis de caso crítico para obtener las variaciones de las variables

cinemáticas o del ensamble, las cuales tienen los siguientes valores.

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧±±

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

mmmm

gb

0905.00905.0

δδ

3.4 Representación gráfica de los elementos cónicos en contacto

Considerando que los diámetros de las piezas que se unen pueden variar de manera crítica,

es decir, pueden tomar el valor máximo o mínimo dentro de sus tolerancias, los ensambles

que se presentan se muestran en la figura 3.7. El cono externo y el cono interno de la figura

3.7a, tienen tolerancias mayores y menores respectivamente. Al hacer un ensamble con

estas piezas, el primer contacto ocurre en el diámetro menor del cono exterior y se presenta

un claro en la parte derecha de la unión, esto como resultado de la variación de las

dimensiones de manufactura de cada una de las piezas por separado. El claro que se

presenta puede ser medido normal a la superficie cónica de las piezas y normal al eje de las

mismas, en la figura 3.7a se representa de las dos maneras. En la figura 3.7b se muestra un

ensamble cuyas tolerancias son mayores para el cono interno y menores para el cono

externo. En este ensamble, cuando el diámetro menor del cono externo hace contacto con el



cono interno, las piezas ya están en interferencia. Esta interferencia que se presenta en el

lado izquierdo del ensamble en la figura 3.7b (medida normal a la superficie cónica de las

piezas y normal al eje de las mismas) es igual al claro que se presenta en la parte derecha

de la figura 3.7c, cuando ocurre el primer contacto en el diámetro mayor del cono interno. En

la sección posterior se presenta la zona aumentada de estos ensambles.

a) b) c) Figura 3.7. Ensamble de elementos cónicos, a) cono exterior e interior con tolerancias positivas y negativas, b) cono exterior e interior con tolerancias negativas y positivas, c) mismas condiciones que b) considerando que no existe una fuerza para llegar a la interferencia. Las dimensiones cinemáticas del ensamble, mostradas en la figura 3.6b, varían una cierta

cantidad, esto como resultado del cambio en las dimensiones de manufactura. Esta variación

se determinó analíticamente utilizando el enfoque crítico. Los ensambles utilizando este

mismo enfoque, que se muestran en la figura 3.7, sirven para comparar los resultados

analíticos. Gráficamente las variaciones de las dimensiones del ensamble con respecto a su

valor nominal se representan de la siguiente manera.

Las variaciones del ensamble obtenidas de manera analítica y gráfica difieren en un 2.85 %

tomando en cuenta las consideraciones al principio de la sección. A continuación se muestra

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧±±

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

mmmm

gb

088.0088.0

δδ



cómo las variaciones de las dimensiones del ensamble sirven para calcular el claro que se

presenta cuando las piezas se unen.

3.5 Estimación de los claros en los ensambles de los elementos cónicos Los claros que se presentan al momento de que las piezas se ensamblan son normales a la

superficie cónica, pero pueden ser indicados y medidos normal al eje del cono para

propósitos prácticos [32]. En este trabajo se estiman de las dos maneras para comparar los

resultados y analizar la diferencia entre estos

Tomando en cuenta que las dimensiones de las piezas pueden estar en sus valores

máximos y mínimos, de acuerdo a sus tolerancias, pero sin presentar variaciones de forma,

el claro que se presenta cuando las superficies cónicas hacen contacto y alcanza la posición

final del ensamble se determina de la siguiente manera: En un ensamble en el que el ángulo

del cono interior es más grande y el ángulo del cono exterior es más pequeño, el claro

normal al eje de la pieza se determina con base en la variación de la dimensión cinemática

“b” que se obtuvo en la sección anterior . La figura 3.8 es una representación de la zona

donde se considera el claro normal al eje de la pieza. Este claro se determina al conocer la

distancia “x”, la cual se obtiene al restar la variable cinemática “b”, que es la distancia mayor

que puede tener esta variable, de la dimensión mayor de la superficie de inclinación. Con la

distancia “x” y con el ángulo θ de la figura 3.8, que es la suma de las tolerancias de los

ángulos de las superficies cónicas de las piezas [32], y aplicando trigonometría se obtiene el

claro máximo normal al eje del cono.

θ

Conointerno

Eje

Conoexterno

xb

Clar

o

Figura 3.8. Claro normal al eje de la pieza, primer contacto en el diámetro menor.



El claro normal a la superficie cónica de las piezas en contacto se obtiene de la misma

manera, al conocer la distancia “x” y el ángulo θ de la figura 3.9 y aplicando trigonometría,

podemos estimar el claro normal a la superficie.

θ

Conointerno

Eje

Conoexterno

xb

Clar

o

Figura 3.9. Claro normal a la superficie cónica, primer contacto en el diámetro menor.

En el ensamble en el que el ángulo del cono interior es más pequeño y el ángulo del cono

exterior es más grande, se presenta una interferencia en la posición final del ensamble. Esta

se determina de la misma manera que en el caso anterior, y también puede ser normal a la

superficie de contacto, o para propósitos prácticos, normal al eje de la pieza. Las figuras 3.10

y 3.11 representan la zona de contacto cuando se presenta una interferencia en la posición

final del ensamble.

θ

Conointerno Eje

Conoexterno

b

x

Inte

rf.

Figura 3.10. Interferencia normal al eje de la pieza, contacto en toda la superficie iniciando el contacto en el diámetro mayor del cono exterior.

θ

Conointerno Eje

Conoexterno

b

x

Inte

rf.

Figura 3.11. Interferencia normal a la superficie cónica, contacto en toda la superficie iniciando el contacto en el diámetro mayor del cono exterior.



La interferencia que se describió en las figuras 3.10 y 3.11 se logra si se aplica una fuerza

para llegar a la posición final, ya que el primer contacto para esta configuración es en el

diámetro mayor del cono interno. Como en este análisis no se supone ninguna fuerza, el

claro que se presenta en la parte derecha del ensamble, tomando en cuenta que el primer

contacto es en el diámetro mayor, se aproxima a la interferencia mostrada anteriormente,

alrededor de 10-5, por lo tanto, para propósitos prácticos y considerando las dimensiones

nominales de los conos de la tabla 3.2 se puede considerar despreciable la diferencia. Las

figuras 3.12 y 3.13 muestran el claro que se forma cuando se presenta el primer contacto en

el diámetro mayor de la pieza cónica interna y el cono externo.

Conointerno

Eje

Conoexterno

Clar

o

θ

Figura 3.12. Claro normal al eje de la pieza, primer contacto en el diámetro mayor.

Conointerno

Eje

Conoexterno

θ

Clar

o

Figura 3.13. Claro normal a la superficie cónica, primer contacto en el diámetro mayor.

Los valores de los claros de los ensambles de piezas, se resumen en la tabla 3.3. Tomando

en cuenta que la superficie de contacto de cada una de las piezas, puede variar dentro de la

zona de tolerancia, pero sin tener defectos de forma y también considerando que al variar las

tolerancias de los diámetros de las piezas en una dirección (positiva o negativa) la longitud

varía en el mismo sentido.



Tabla 3.3. Ajustes resultantes máximos de los ensambles considerando solo variaciones longitudinales.

Ensambles/tolerancias claro Primer contacto

en d Diferencia Primer contacto

en D DiferenciaElemento Elemento Analítico Gráfico (%) Analítico Gráfico (%)

externo interno (mm) (mm) (mm) (mm)

+ - Normal 0.00477 0.00478 0.21 al eje Normal 0.00457 0.00458 0.21

a la sup. - + Normal 0.00496 0.00495 0.20 al eje

Normal 0.00475 0.00474 0.21 a la sup.

Diferencia (%) 4.33 4.36 4.42 4.43

3.6 Conclusiones

En este capítulo se describió la metodología para realizar el análisis de tolerancias en

elementos cónicos en contacto. El análisis se realizó aplicando la metodología y se

compararon los resultados analíticos con los gráficos. Las variaciones de las dimensiones

resultantes del ensamble planteado utilizando esta metodología varían 2.85% de las

obtenidas gráficamente. Los claros normales a la superficie cónica de las piezas, que se

cuantificaron en relación a estas variaciones, pueden ser considerados normales al eje para

el ensamble descrito. La diferencia entre estos valores es alrededor de 4.43%. Se hizo esta

comparación tomando en cuenta que es más práctico medir el claro normal al eje, ya que el

medirlo de esta manera se considera el eje de las piezas fijo. Los resultados gráficos y

analíticos al calcular el claro en el ensamble de la figura 3.6 tienen una diferencia máxima de

0.21 % para las condiciones especificadas anteriormente.

Capítulo 4. Ajustes cónicos y variaciones geométricas


Capítulo 4

4. AJUSTES CÓNICOS Y VARIACIONES

GEOMÉTRICAS

En este capítulo se presenta una alternativa para cuantificar los posibles claros que se

presentan en ensambles. Se calcula el desplazamiento axial nominal máximo de las piezas

individuales para alcanzar un ajuste determinado inicialmente utilizando el método de lazo de

vector. Con este método las dimensiones con tolerancias unilaterales se convierten a

dimensiones con tolerancias bilaterales. Se toma en cuenta la variación de las superficies

cónicas dentro de su zona de tolerancia y se calcula el desplazamiento axial real para lograr

un ajuste determinado al variar el ángulo básico. Por último se realiza un análisis de

tolerancias en el cual se calcula el claro máximo de las piezas cuando están unidas.

4.1 Sistema de ajuste Se denomina sistema de ajuste a la forma sistemática que se utiliza para realizar la

combinación del ajuste de dos piezas que se deben acoplar entre ellas, y tienen por objeto

facilitar la interpretación del tipo de ajuste que compongan ya sea forzado, deslizante u

holgado. Existen dos sistemas para nominar los ajustes:

Sistema de agujero único: representa un sistema de ajustes correspondientes a un tamaño

de agujero básico. La desviación fundamental es H.

Sistema de eje único: representa un sistema de ajustes correspondientes a un tamaño de eje

básico. La desviación fundamental es h.



La magnitud de la zona o región de tolerancia es la variación en el tamaño de la pieza y es

igual para las dimensiones internas y externas. Las zonas de tolerancia se especifican en

números de grado de tolerancia internacional llamados números IT [41].

4.1.1 Ajustes Cilíndricos Se denomina ajuste a la diferencia entre las medidas antes del montaje de dos piezas que

han de acoplar. Las normas usan letras de posición de tolerancia, donde las letras

mayúsculas representan dimensiones de las piezas internas (agujero), y las letras

minúsculas, dimensiones de las piezas externas (pasadores). De este modo, los símbolos

que son utilizados para representar las tolerancias dimensionales tienen tres componentes:

dimensión nominal, una letra representativa y un número representativo [42]. La figura 4.1

representa las letras de posición o desviaciones fundamentales. Las letras mayúsculas

corresponden al agujero y las letras minúsculas al eje.

A B C D E F GH

J K M N P R S T U V X Y ZDim

ensi

ónno

min

alde

l agu

jero

Lineacero

+

-a b c d e f g h

j k m n p r s t u v x y z

Dim

ensi

ónno

min

alde

l eje

Lineacero

+

-

a) b)

Figura 4.1. Desviaciones fundamentales, a) agujero, b) eje

Para los ajustes cónicos, se toma en cuenta la misma configuración anterior y la elección de

la tolerancia del diámetro del cono se basa en el diámetro mayor del mismo. Esta se

selecciona del grado de tolerancia ISO y aplica sobre toda la longitud del cono [43].

4.1.2 Ajustes Cónicos

Las piezas cónicas de ensamble se manufacturan por separado de acuerdo a las zonas

indicadas por sus diámetros del cono básico. Como se mencionó en el capítulo anterior, los

claros que se forman al momento de ensamblar las piezas son normales a sus superficies



cónicas, pero para efectos prácticos, en este caso se cuantifican normales al eje de las

piezas. La figura 4.2 muestra el cono interno, el cono externo y la zona de tolerancia del

ensamble.

Conointerno

Conoexterno

ZT

ZT

Figura 4.2. Ensamble de elementos cónicos, donde ZT es la zona de tolerancia.

Para superficies cilíndricas el ajuste nominal aproximadamente se mantiene a una distancia

constante de la línea de centro del elemento, y es independiente de su longitud. Una

característica importante de los ajustes de conos es que el claro o interferencia se hace al

definir la posición axial relativa de las piezas externas e internas. Esta posición para obtener

el claro o interferencia requerida del ajuste de los conos en la posición final de las partes

ensambladas se puede realizar por diferentes métodos:

a) Por formación construccional

b) Por ubicación dimensional

c) Por desplazamiento axial

d) Por un desplazamiento axial actual con una fuerza del ensamble definida

En esta investigación para obtener el claro o interferencia requerida solo se considera el

ajuste hecho por desplazamiento axial, ya que se puede usar como una alternativa para

aplicar la fuerza de apriete en los aros, que en el intervalo elástico del material se supone

proporcional a la fuerza [44]. El análisis de fuerzas y deformaciones en la unión queda fuera

del alcance de este trabajo de investigación.



4.2 Ajuste con base en un desplazamiento axial Es un ajuste hecho por un desplazamiento axial relativo de los conos por una cantidad fija,

comenzando en la posición de partida inicial. Para alcanzar el claro o interferencia requerido

del ajuste, se indica el desplazamiento axial necesario de la posición de partida. En la figura

4.3 se representa este desplazamiento axial relativo Xa de una pieza de su posición inicial

Pa (pieza sombreada) a la posición final Pf para alcanzar un ajuste de interferencia entre las

piezas.

Xa

Posiciónfinal

Posicióninicial

Pa Pf

Figura 4.3. Ajuste de interferencia hecho por un desplazamiento axial relativo de las piezas de la posición de partida Pa. 4.2.1 Desplazamiento axial nominal de las piezas cónicas individuales Para obtener un determinado ajuste nominal de la pieza individual, ésta se desplaza

axialmente respecto del cono básico, dependiendo del claro o interferencia que se requiera.

Para obtener un claro, la pieza se desplaza axialmente en sentido contrario del cono básico,

y para una interferencia, la pieza se desplaza axialmente hacia el cono básico. La ecuación

4.1 muestra el desplazamiento que se calcula de la desviación fundamental y el grado de

tolerancia requerido para un ajuste determinado inicialmente. Este esta en función de la

conicidad C de las piezas.

toleranciadeGradoC

lfundamentaDesviacionC

ENt ×+×=11

(4.1)



En la figura 4.4 se muestran los desplazamientos axiales relativos al cono básico

considerando un sistema de ajuste de agujero único. En la figura 4.4a se muestran las

posiciones de desviación del cono externo relativo al cono básico. El primer desplazamiento

axial de la pieza es determinado por la desviación fundamental de la a hasta g y el segundo

desplazamiento axial por el grado de tolerancia de la pieza. En la figura 4.4b se muestra la

posición de desviación del cono externo relativo al cono básico; el desplazamiento axial es

determinado solo por el grado tolerancia, ya que en la posición h, la desviación fundamental

es cero. La figura 4.4c muestra el desplazamiento axial del cono externo respecto al cono

básico para las posiciones de k hasta z. La figura 4.4d representa el desplazamiento axial del

cono interno respecto del cono básico para la posición H.

δ

D

Cono externo mas grande

Cono externo mas pequeño

ENt

Cono básico

ENe1 ENe2

DCono externo mas pequeño

Cono básico y cono externo mas grande

ENt

D

Cono externomas pequeño

Cono básico

δ

Cono externo mas grande

ENe1 ENe2

ENt

Cono básico y cono interno mas pequeño

Cono interno mas grande

D

ENt

Figura 4.4. Desplazamiento axial nominal de piezas cónicas individuales respecto al cono básico.

b) Cono externo: posiciones de desviación h.

c) Cono externo: posiciones de desviación de k a z.

d) Cono interno: posiciones de desviación de H.

a). Cono externo: posiciones de desviación de a hasta g.



4.2.2 Desplazamientos axiales nominales en ensambles cónicos Los desplazamientos axiales relativos nominales de las piezas cónicas a ser ensambladas se

obtienen con el método del lazo de vector. Considérese el siguiente ensamble de elementos

cónicos de la figura 4.5, donde el cono interno y externo están contenidos en el elemento

externo e interno respectivamente. d

θ

DElementoexterno

Elementointerno

Ll

a) b)

Figura 4.5. Ensamble de piezas cónicas, a) elementos cónicos nominales, b) dimensiones nominales.

Tomando en cuenta que las tolerancias están dadas con base en el diámetro mayor de las

piezas y aplica en toda la longitud del cono [43], se considera una zona de tolerancia de H9

para el cono interno y h10 para el cono externo, con las medidas nominales de la figura 4.5b.

Con base en [41], la tolerancia para el cono interno IT 9 se aplica sobre la línea cero. La

tolerancia para el cono externo se aplica por debajo de la línea cero. La figura 4.6 representa

la zona de tolerancia para ambas piezas.

Cono interior

Cono exterior zona de tolerancia del

cono exterior

zona de tolerancia del cono interiorLinea

cero

Figura 4.6. Representación de las zonas de tolerancia.



Cuando se asigna una tolerancia como en el párrafo anterior, las tolerancias generalmente

son unilaterales, es decir, solo pueden variar en una sola dirección para cumplir con el

ajuste. Cuando se utiliza el método de lazo de vector, todas las dimensiones con tolerancias

unilaterales se convierten a dimensiones con tolerancias bilaterales de la siguiente manera:

Tomando en cuenta la dimensión nominal del diámetro mayor del cono interior y la tolerancia

del ajuste H9, la tolerancia se especifica 052.0790.23 +

− ; ésta es una dimensión con una

tolerancia unilateral, la cual para poder ser implementada en el método del lazo del vector se

convierte a una dimensión con tolerancia bilateral. Los pasos para convertir las dimensiones

con tolerancias unilaterales a dimensiones con tolerancias bilaterales son: a) convertir la

dimensión al límite superior y al límite inferior (por ejemplo 24.842 límite mas alto y 23.79

límite mas bajo), b) se resta el límite más alto y el límite mas bajo, el resultado es la zona de

tolerancia total, c) se divide la banda de tolerancia entre dos para obtener una tolerancia

bilateral igual, d) el resultado se le resta al límite superior o se le suma al límite inferior para

obtener la dimensión media. De esta manera la dimensión media con su respectiva

tolerancia bilateral queda determinada como 23.816 026.0± . Lo mismo se hace con todas

las dimensiones que tienen tolerancias unilaterales, ya que el enfoque de lazo de vector

supone una distribución normal en la variación de la dimensión.

Una vez que se tienen todas las dimensiones con tolerancias bilaterales se determina el lazo

del ensamble, se generan las ecuaciones del lazo, se obtienen la matriz A de las variables

de manufactura y la matriz B (descritas en el capítulo 3) de las variables del ensamble. Una

vez obtenidas estas matrices se encuentra la matriz de sensibilidad del ensamble, se

multiplica por las tolerancias de las variables de manufactura y se obtienen las variaciones

de las variables del ensamble, las cuales tienen los siguientes valores

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧±±

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

mmmm

gb

1183.01183.0

δδ

Con estas variables se obtiene el desplazamiento axial relativo máximo de las piezas. De

esta manera, el desplazamiento axial máximo de las piezas para cumplir con el ajuste

asignado es de 0.2267 mm, que está en función del ángulo de las piezas y de las variaciones

de las dimensiones del ensamble mostradas anteriormente. La figura 4.7 representa el



desplazamiento axial relativo de las piezas. Xa es el desplazamiento axial nominal del

ensamble y Ca es el claro del ajuste.

Xa

Ca

Cono interno

Cono externo

Xa

Ca

a) b)

Figura 4.7. Desplazamiento axial para lograr un ajuste determinado, a) desplazamiento axial relativo,

b) ampliación de la zona del desplazamiento axial.

4.2.3 Desplazamiento axial real

La cantidad de desplazamiento axial está en función directa de la dimensión real dentro de

su zona de tolerancia. La aplicación de las tolerancias del diámetro del cono como se da en

la norma ISO 1947 [32], significa que cada cono interno y externo debe conformar en sus

respectivas fronteras de condición de material máximo y condición de material mínimo, sobre

toda la longitud del cono. Sin embargo, en estas fronteras el ángulo real difiere del nominal,

lo cual puede tener efectos para el primer contacto de las piezas y puede existir un claro

inicial cuando las piezas están en contacto en su posición inicial; por tal razón, el

desplazamiento axial relativo real de las piezas es diferente al nominal. De esta manera, es

importante conocer en qué dirección se mueve el ángulo real del nominal, porque con base

en ello se determina dónde se presenta el primer contacto (ya sea diámetro mayor o menor

de las piezas o en toda la superficie), y qué cantidad máxima se tienen que desplazar las

piezas reales, una con respecto de la otra para lograr el ajuste de diseño.



La variación máxima del ángulo del ajuste, por ejemplo la posible variación del ángulo del

ajuste entre el cono interno y el cono externo, que se presenta cuando las piezas están en

contacto en su posición inicial, está en función de las tolerancias de los ángulos nominales

de cada una de las piezas, y el primer contacto depende en qué dirección varía el ángulo

real de las piezas en el ensamble.

4.2.4 Efecto de las tolerancias del ángulo

Como se mencionó en la sección anterior, el primer contacto entre las piezas cónicas a ser

ensambladas depende del ángulo del cono real de las mismas, y ocurre ya sea en el

diámetro mayor o menor del cono. Si en el dibujo se indica la variación del ángulo básico del

cono externo e interno, y si estas variaciones son indicadas con el mismo signo, ya sea mas

menos (+/-), mas (+) o menos (-) y con la misma cantidad de tolerancia, la variación máxima

del ángulo del ajuste de las piezas es 2AT. La figura 4.8 y 4.9 ilustra dónde ocurre el primer

contacto al asignar este tipo de tolerancias. Cuando las superficies cónicas presentan este

tipo de variaciones, se presentan claros en la parte opuesta del contacto inicial, lo que hace

que el desplazamiento axial de las piezas para lograr un ajuste sea diferente al nominal.

α/2

α/2

+ATi/4-ATi/4

+ATe/4-ATe/4

α/2

α/2

+ATi/4

-ATe/4

Cuando se indica:

Cono externo: 2

eAT±α

Cono interno: 2

iAT±α

Caso 1: Si el ángulo del cono real interno es mayor que el ángulo real del cono externo.

Cono externo: 2

eAT−

Cono interno: 2

iAT+

El primer contacto es en el diámetro menor del cono o en toda la superficie cónica, dependiendo del ángulo del cono real.

Pueden ocurrir los siguientes ensambles límite:



α/2

α/2+

ATe/4

-ATi/4

α/2

α/2

+ATi/2

+ATe/2

α/2

α/2

-ATi/4

-ATe/2

Figura 4.9. Efecto de las tolerancias de los ángulos de las piezas con el mismo signo.

Caso 2: si el ángulo del cono interno es menor que el del cono externo.

Cono externo: 2

eAT+

Cono interno: 2

ATi−

El primer contacto es en el diámetro mayor del cono o en toda la superficie cónica, dependiendo del ángulo del cono real.

Cuando se indica: Cono externo: eAT+α

Cono interno: iAT+α El primer contacto se puede presentar en el diámetro menor o mayor de las piezas o en toda la superficie cónica, dependiendo del ángulo real de los conos.

Cuando se indica: Cono externo: eAT−α

Cono interno: iAT−α El primer contacto se puede presentar en el diámetro menor o mayor de las piezas o en toda la superficie cónica

Figura 4.8. Efecto de las tolerancias de los ángulos de las piezas con signos +/-.



Además de los casos mostrados en el párrafo anterior, se tiene el caso particular en el que la

variación angular es máxima dentro de la zona de tolerancia, lo cual se representa en la

figura 4.10. El primer contacto puede ocurrir en el diámetro mayor, menor o en toda la

superficie cónica de las piezas, dependiendo del ángulo real de los conos.

Dm

in

Dm

ax

TD

Øm

ax

Øm

in

α/2

-ATi/

2

+AT

e/2

-ATe

/2

α/2

α/2

α/2+AT

i/2

Cono interno: α - ATe

Cono externo: α + ATi

El primer contacto es en el diámetro mayor del cono oen toda la superficie conica, dependiendo del ángulo real del cono.

Cono interno: α + ATe

Cono externo: α - ATi

El primer contacto es en el diámetro menor del cono oen toda la superficie conica, dependiendo del ángulo real del cono.

Figura 4.10. Variación angular máxima en la zona de tolerancia.

4.3 Programa de ajustes cónicos

Tomando en cuenta el análisis anterior, se obtienen los desplazamientos axiales reales del

ensamble de las piezas para lograr el ajuste predeterminado, es decir, los desplazamientos

cuando ocurren variaciones en las dimensiones nominales de las piezas dentro su zona de

tolerancia. Estos desplazamientos son diferentes, ya que, cuando las piezas están en

contacto en su posición inicial, existe un pequeño claro inicial como resultado de las

variaciones de los ángulos nominales de las piezas.

La consideración que se hizo para obtener los desplazamientos reales máximos para lograr

el ajuste especificado fue que la dimensión real de la superficie cónica de las piezas varía en

toda la zona de tolerancia dada por las tolerancias de los diámetros de las piezas. Es decir,

la tolerancia del diámetro de las piezas incluye la tolerancia del ángulo de los conos, tanto

interior como exterior. Al hacer esta consideración, el primer contacto puede ocurrir en el

diámetro mayor o menor de las piezas o en toda la superficie, dependiendo del ángulo real

del cono. Tomando como base esta consideración se implementó un programa para calcular

el desplazamiento axial nominal de las piezas, y el desplazamiento axial real. En forma

general el procedimiento se expresa en los siguientes pasos.



1.- Especificar las dimensiones nominales de cada pieza, diámetro mayor, diámetro menor y

la longitud. También se especifican los ajustes correspondientes con base en el sistema ISO

286.

2.- Se calculan las zonas de tolerancia de las superficies cónicas en contacto y el claro

máximo del ajuste de las piezas.

3.- Convertir tolerancias unilaterales a tolerancias bilaterales para realizar el análisis con el

método implementado de lazo de vector.

4.- Con los datos de entrada, el programa genera el lazo para realizar el análisis con el

método de lazo de vector, y asigna las variables de manufactura y del ensamble. Se calculan

las matrices [A], [B] y se determina la matriz de sensibilidad de tolerancias (descrita en el

capítulo 3). Una vez determinadas estas matrices y con los ajustes de entrada se determinan

las variaciones de las dimensiones del ensamble, b y g. Con estas dimensiones y el ángulo

de inclinación de la superficie cónica se calcula el desplazamiento axial nominal máximo

relativo de las piezas para lograr un ajuste especificado.

5.- Se considera que la dimensión real de la superficie de contacto de las piezas varía de

manera crítica, es decir, se considera que el ángulo de esta superficie puede ser máximo o

mínimo dentro de la zona de tolerancia. Tomando en cuenta las consideraciones anteriores

se calcula el desplazamiento axial real considerando que el primer contacto de las piezas es

en el diámetro menor de las piezas.

6.- Se repite el paso cinco pero ahora considerando que el primer contacto es en el diámetro

mayor de las piezas, ya que éste puede ocurrir en ambos.

7.- Los resultados son los desplazamientos axiales nominales relativos de las piezas de

acuerdo a un ajuste determinado y los desplazamientos axiales actuales, tomando en cuenta

que el primer contacto puede ser ya sea en el diámetro mayor o menor de las piezas. En el

programa también se calcula el claro inicial cuando las piezas están en contacto sin

interferencia.



La figura 4.11 muestra el proceso para calcular los desplazamientos axiales relativos tanto

nominales como actuales de las piezas de acuerdo al ajuste especificado.

Figura 4.11. Proceso para calcular los desplazamientos axiales máximos relativos, nominales y reales.

Caso 1: Xaxiald

Ai=TDint=Tdint Ae=TDext=Tdext Ymax=TDint + TDext

δb, δg

Xnom

Caso 2: XaxialD

Xnom Xaxiald XaxialD

TDintbil TDextbil

Di, di, Li y Ai

De, de, Le y Ae



4.4 Programa de variaciones geométricas en ensambles de piezas cónicas Al considerar que las superficies de contacto de las piezas de unión pueden tener

variaciones de ondulación, se implementó un programa que calcula el claro máximo que se

presenta cuando las piezas están ensambladas. Cada una de las superficies de contacto de

las piezas es generada de manera aleatoria para realizar el análisis. La siguiente secuencia

muestra de manera general el procedimiento para realizar este análisis.

1.- Especificar las dimensiones nominales de las piezas. Estas dimensiones son: diámetro

mayor, diámetro menor y longitud. También se especifican las tolerancias de los diámetros

de las piezas para determinar la zona de tolerancia en la cual varía la superficie de contacto.

2.- Generar las superficies aleatorias dentro de la zona de tolerancia determinada por las

tolerancias de los diámetros de cada una de las piezas. Los puntos de control para generar

la superficie aleatoria se especifican de acuerdo a la longitud de ondulación especificada en

[45]. Para realizar este análisis, se consideró que las superficies superiores e inferiores

tienen la misma variación.

3.- Se construye una matriz [R] que representa la resta de todos los puntos de control de la

superficie fija y la superficie móvil.

4.- Se considera que una de las piezas se desplaza hacia otra fija. En este caso la pieza fija

es el cono interior. Cada una de las diagonales desde la parte izquierda hasta la diagonal

principal de esta matriz representa un desplazamiento de la superficie móvil hacia la

superficie fija. Los elementos de estas diagonales dentro de la matriz [R] representan los

claros entre la superficie aleatoria fija y la superficie aleatoria móvil.



⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

R

........................

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

5.- Un elemento negativo dentro de la diagonal de la matriz, significa que la pieza móvil hizo

contacto con la fija. El ciclo se detiene si se encuentra una diagonal con esta característica.

El programa también toma en cuenta que en un desplazamiento del cono exterior, éste

podría estar tocando sin que exista una interferencia, es decir un elemento dentro de la

matriz podría ser cero y los demás elementos positivos.

6.- Se localizan los elementos negativos, se simula un desplazamiento en sentido contrario al

cono interno para lograr que las piezas hagan contacto sin que exista interferencia, es decir,

se encuentra el punto en el cual las piezas están tocando en la posición inicial de contacto.

En caso que los elementos de la diagonal de la matriz tengan valores de cero o valores

positivos y de cero, este paso se omite.

7.- Una vez que las piezas están en contacto sin que exista interferencia, se calcula el claro

máximo entre las piezas y se registra este valor. El paso 1 se repite tantas veces como se

requiera y se muestran los resultados obtenidos.

La figura 4.12 muestra el proceso para calcular el punto de contacto cuando las piezas están

ensambladas y el claro máximo que se presenta en el ensamble.



Figura 4.12. Proceso para determinar el punto donde ocurre el primer contacto y el claro máximo de las piezas unidas.

Di, di, Li y Ai De, de, Le y Ae

y1fijo y2móvil

Xrelat

0≤diag

[R]

Si

No

xcont

Cmax



4.5 Conclusiones Para obtener un ajuste cónico determinado inicialmente, no solo es necesario tomar en

cuenta las piezas nominales, sino las variaciones que se pueden presentar en sus

superficies de contacto, resultado de los procesos de manufactura. Cuantificar los claros que

se presentan en el contacto inicial es una manera de determinar el desplazamiento real

relativo de las piezas para lograr el ajuste especificado. Para determinar estos

desplazamientos, se consideró que las superficies cónicas de los elementos pueden variar

de manera crítica dentro de su zona de tolerancia. En base a esta consideración, se calculó

el desplazamiento relativo de las piezas con el programa de ajustes cónicos, iniciando el

desplazamiento en la posición inicial en la cual existe contacto sin interferencia. El ajuste

especificado inicialmente no se logra al aplicar el desplazamiento axial nominal, varía como

resultado de los claros iniciales que se presentan en el ensamble. En el siguiente capítulo se

muestran los resultados de este trabajo de investigación.

Capítulo 5. Análisis de resultados


Capítulo 5

5. ANÁLISIS DE RESULTADOS

En este capítulo se describen los resultados que se obtuvieron de los programas de ajustes

cónicos y variaciones geométricas respectivamente. El programa de ajustes cónicos toma en

cuenta la variación de la superficie cónica dentro de la zona de tolerancia de manera crítica.

Éste calcula el claro inicial cuando las piezas están ensambladas y el desplazamiento axial

para lograr un ajuste especificado. El programa de variaciones geométricas considera la

variación de las superficies cónicas de manera aleatoria y calcula el claro inicial entre estas.

Estos programas fueron realizados en MatLab.

5.1 Verificación del programa de ajustes cónicos

El programa de ajustes cónicos desarrollado en este trabajo de investigación, mediante el

programa MatLab, tiene el objeto de calcular el desplazamiento axial nominal y real relativo

de las piezas de trabajo para lograr un ajuste determinado.

Como se mencionó en el capítulo anterior, el claro o interferencia entre dos superficies

cónicas es función de la posición axial relativa de las piezas, y puede ser cuantificado

tomando como referencia el sistema de ajustes basado en la norma ISO 286. Para lograr un

ajuste determinado, las piezas se desplazan relativamente una de otra, como se muestra en

la figura 5.1. Sin embargo, normalmente el desplazamiento relativo de las piezas se realiza

considerando que éstas no tienen variaciones en los diámetros. Con base en la revisión de

literatura del capítulo uno, la manufactura de una pieza puede producir variaciones en las

dimensiones nominales, y esto trae como consecuencia que el desplazamiento axial relativo

real de las piezas no cumpla con el ajuste requerido o sea diferente al nominal. De esta



manera, el programa descrito en el capítulo 4, determina el desplazamiento axial nominal y

real de las piezas para lograr este ajuste.

Conointerno

Conoexterno

Desplazamientoaxial relativo delas piezas

Figura 5.1. Posición axial relativa de los conos.

Al considerar el ensamble nominal de la figura 4.6, el cual tiene un ajuste H9 para el cono

interno y h10 para el cono externo, tomado como referencia de la norma ISO 286, y

considerando un sistema base agujero, se calcula el desplazamiento axial nominal relativo

de las piezas para lograr este ajuste. Las dimensiones nominales de las piezas se muestran

en la figura 4.5b, y estas se determinaron de los elementos cónicos marca Ringfeder RfN

S8006 [40] que se utilizan como interfaz en la unión mecánica flecha-cubo de rueda. De

acuerdo a los datos mencionados, el desplazamiento axial nominal de las piezas es de

0.2267 mm. Con este desplazamiento se logra el ajuste especificado nominalmente. Sin

embargo, si se presentan variaciones de forma en las superficies de contacto, resultado de

los procesos de manufactura, este desplazamiento no cumple con el ajuste especificado,

esto como resultado de los claros iniciales que se presentan en la posición de contacto

inicial, ya que, al aplicar este desplazamiento, el ajuste entre las piezas es mayor que el

nominal. En la figura 5.2 se muestra una representación del desplazamiento axial nominal

relativo de las piezas. El cono externo se desplaza relativamente respecto al cono interno, es

decir, se considera el cono externo móvil y el interno fijo. Aplicando el desplazamiento axial

nominal resulta en un ajuste mayor al planteado originalmente. El ajuste máximo planteado

inicialmente, con base en la designación H9 cono interno y h10 cono externo, es de 0.068

mm. El ajuste máximo obtenido aplicando el desplazamiento axial nominal, y considerando



las variaciones de las superficies de contacto es de 0.1216 mm. Los resultados indican que

aplicando el desplazamiento axial nominal relativo de las piezas reales, el ajuste está fuera

del límite planteado originalmente. En la figura 5.2a se muestra el desplazamiento axial

nominal relativo de las piezas y el ajuste que resulta de este desplazamiento. En la figura

5.2b se muestra una ampliación de esta zona.

0,12

2

0,227

Conointerno

Conoexterno

Ajus

te

final

Desplazamientoaxial nominal

Punto de contactoinicial

Posición finalde la pieza

Clar

o

inic

ial

Dirección del desplazamiento

a) b)

Figura 5.2. Desplazamiento axial, a) representación del desplazamiento axial nominal para lograr un

ajuste especificado, b) zona donde ocurre el ajuste (sin escala).

De esta manera, el desplazamiento axial relativo de las piezas debe ser menor para lograr el

ajuste especificado. El programa de ajustes cónicos, descrito en el capítulo 4, determina este

desplazamiento considerando que las superficies de contacto pueden variar de manera

crítica dentro de la zona de tolerancia. Utilizando la secuencia mostrada en el capítulo cuatro

se encuentra el desplazamiento axial actual, el cual tiene un valor de 0.043 mm, que es

menor al nominal. En la figura 5.3a se muestra el ajuste determinado por este

desplazamiento. Se verifica que con este desplazamiento el ajuste obtenido es igual al

planteado originalmente. En la figura 5.3b se muestra la zona donde ocurre el ajuste (sin

escala). Se representa la posición inicial de contacto y el claro que se presenta en esta

posición, resultado de la inconsistencia de las superficies, que se produce al manufacturar

los elementos.



Conointerno

Conoexterno Aj

uste

inic

ial

Desplazamientoaxial nominal

Punto de contactoinicial

Posición final

de la pieza

Clar

o

inic

ial

Dirección del desplazamiento

0,06

8

0,043

a) b)

Figura 5.3. Desplazamiento axial actual, a) representación del desplazamiento axial real, b) zona que

representa el ajuste.

Con base en los resultados, mostrados en el párrafo anterior, el desplazamiento axial real,

considerando que las superficies de contacto de las piezas en el ensamble varían respecto al

valor nominal, es menor que el desplazamiento axial nominal. Esto como resultado de los

claros iniciales que se presentan cuando las piezas están en contacto en su posición inicial,

es decir, cuando las piezas están unidas sin que exista interferencia. Para el ajuste

especificado en la sección anterior, el claro inicial que se presenta en el ensamble cuando

las piezas están en su posición inicial es de 0.0553 mm. Los claros que se presentan cuando

las dimensiones de las piezas a unir presentan variaciones respecto al valor nominal, es

importante cuantificarlos cuando se requiere un ajuste con interferencia, ya que, con base en

estos se puede determinar si el desplazamiento axial especificado permite contacto en toda

la zona potencial de las piezas de unión. Por esta razón es importante conocer, antes de

maquinar las piezas, las tolerancias que se les asigna a cada uno de los elementos, ya que

con base en éstas, se puede determinar el desplazamiento axial relativo de las piezas para

lograr un ajuste especificado. Sin embargo, dependiendo del desplazamiento, las piezas

quedan o no dentro del intervalo elástico del material. En la siguiente sección se discute la

suposición de medir el claro normal al eje de las piezas.



5.2 Criterio del cálculo del claro normal al eje

En capítulos anteriores se mencionó que para efectos prácticos el claro que se presenta al

momento de ensamblar las piezas puede ser medido normal al eje de las mismas. Sin

embargo, para hacer esta suposición se tienen que tomar en cuenta consideraciones

mostradas posteriormente.

En el caso de análisis de la sección anterior, el claro medido normal al eje de las piezas,

donde el ángulo es de 16.7°, es una buena aproximación del claro medido normal a la

superficie, donde realmente se encuentra. Sin embargo cuando el ángulo de las superficies

cónicas de las piezas es mayor, esta suposición no es tan aproximada. Cuando se mide el

claro normal al eje de las piezas se tiene que tomar en cuenta el ángulo nominal de las

superficies de contacto y la zona en la cual le es permitido variar a dichas superficies. Lo

anterior es como resultado de que a mayor ángulo nominal de las superficies de contacto,

menor es la aproximación del claro normal al eje de las piezas con el normal a la superficie

de contacto de las mismas. Por ejemplo considérese el ensamble de la figura 5.4. Las

dimensiones de los claros medidos normales al eje y a la superficie cónica de las piezas,

resultado de las variaciones de las dimensiones nominales de cada una de las mismas en el

ensamble, se muestran en la parte superior izquierda del ensamble en la figura 5.4a. La

dimensión del claro normal a la superficie cónica es de 0.055 mm y la del claro normal al eje

de las piezas es de 0.053 mm. En la figura 5.4b se muestra la zona donde ocurren los claros

(sin escala), donde θ es el ángulo nominal de las superficies de contacto, CNS es el claro

normal la superficie cónica y CNE el claro normal al eje. Para un ángulo nominal de 16.69°,

una zona de tolerancia para el cono externo de 0.084mm y 0.052 mm para el cono interno,

los claros medidos normal a la superficie y normal al eje de las piezas son aproximados,

tiene una diferencia de 0.002 mm, lo cual equivale a un error relativo alrededor del 4%. Por lo

cual se puede establecer un criterio basado en el ángulo nominal de las superficies de

contacto, al considerar la comparación de los claros medidos normal al eje y normal a la

superficie. Para esto, se analiza el siguiente ensamble.



0,05

5

0,05

3

16,6

99°

16,9

57°

16,2

82°

ConointernoCono

externo

Conointerno

Conoexterno

θ

CNECN

S

a)

b)

Figura 5.4. Claros en ensambles cónicos, a) claro normal al eje y a la superficie cónica de las piezas, b) zona donde ocurre el claro.

Considerando las mismas zonas de tolerancia tanto para el cono interno como para el cono

externo, y con un ángulo nominal de 33.36°, los valores de los claros normales al eje y a la

superficie cónica tienen una diferencia de 0.01 mm, lo que equivale a un error relativo del

16.66 %. La figura 5.5 muestra el claro normal al eje y normal a la superficie para un ángulo

nominal de 33.36°. Por lo tanto, al aproximar el claro normal al eje de las piezas con el

normal a la superficie se puede hacer bajo el siguiente criterio. Para ángulos menores a 20°

esta comparación se considera aceptable, para ángulos mayores la diferencia es

considerable, mayor al 5%.

0,06

0,05

33,3

65°

Conointerno

Conoexterno

Figura 5.5. Claros máximos, resultado de las variaciones de las dimensiones de las piezas.



5.3 Verificación del programa de variaciones geométricas

El segundo programa que se desarrolló en este trabajo de investigación, toma en cuenta las

variaciones geométricas que se presentan en las superficies de contacto de las piezas de

unión dentro de su zona de tolerancia. El programa se desarrolló mediante MatLab. Éste

calcula el claro mayor que se presenta cuando las piezas están ensambladas y sus

superficies presentan variaciones geométricas. En el capítulo 4 se describe la secuencia

para realizar este análisis. Para analizar los resultados de este programa se toma en cuenta

el ensamble de la figura 5.6a. En el ensamble se supone que una pieza se desplaza hacia la

otra para lograr la unión. En este análisis el elemento que se desplaza es el cono externo, y

el elemento que permanece fijo es el cono interno. En la figura 5.6b se muestra el ensamble

nominal del cono externo y el cono interno, y en la figura 5.6c se muestran las zonas de

tolerancia donde puede variar la superficie cónica de cada una de las piezas. ZTe es la zona

de tolerancia para el cono externo y ZTi para el cono interno. Las dimensiones nominales del

cono externo y del cono interno se muestran en la tabla 3.2.

Conointerno

Conoexterno

Conointerno

Conoexterno

ZTi

ZTe

a) b) c)

Figura 5.6. Ensamble de elementos cónicos, donde a) ensamble nominal, b) cono externo y cono

interno, c) zona de tolerancia de los elementos.

Los perfiles de las superficies cónicas se generan teniendo como límite las zonas de

tolerancia determinadas por las variaciones de los diámetros de las piezas. Considérese una

tolerancia H9 y h10, donde la zona de tolerancia para el cono interno es de 0.052mm y para



el cono externo de 0.084 mm. La figura 5.7 muestra los perfiles aleatorios generados dentro

de estas zonas de tolerancia. Estos perfiles son solo una representación, ya que un perfil

real con las dimensiones mencionadas anteriormente, la magnitud de variación es menor. La

figura 5.7a muestra el perfil aleatorio del cono externo y la figura 5.7b muestra el perfil del

cono interno, estos son generados a lo largo de la longitud del cono de 5.3 mm.

ZTe

ZTi

Le Li

a) b)

Figura 5.7. Superficies cónicas, donde a) cono externo, b) cono interno.

En la tabla 5.1 se resumen las dimensiones nominales y las zonas de tolerancia de cada una

de las piezas.

Tabla 5.1. Dimensiones nominales y magnitud de las zonas de tolerancia (ZT).

Cono Dimensiones nominales (mm) ZT De de Le θe (mm)

Externo 24.39 21.21 5.3 16.7° 0.084 Interno 23.79 20.61 5.3 16.7° 0.052

Una vez que se generan estos perfiles el programa realiza el ensamble y encuentra el punto

inicial donde las piezas hacen contacto sin que exista interferencia. Cuando se localiza este

punto, el programa calcula el claro máximo que se presenta en el ensamble. Para verificar

los resultados del programa se hicieron análisis con diferente número de muestras, los

cuales se muestran a continuación.



La figura 5.8 muestra el histograma de un análisis de 1,000 muestras. Se representan los

claros máximos que se obtienen en el ensamble de piezas con variaciones geométricas.

También se muestra el promedio del claro máximo Cp.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

50

100

150

200

250

Claro (mm), 1000 muestras

Frec

uenc

ia

Cp=0.0297

Figura 5.8. Histograma del análisis considerando 1 000 muestras.

La figura 5.9 muestra el histograma del claro máximo para un análisis de 5,000 muestras.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

200

400

600

800

1000

1200


Frec

uenc

ia

Cp=0.0292




La figura 5.10 muestra los claros máximos para un análisis de 10,000 muestras, donde Cp es

el claro promedio máximo del ensamble.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

500

1000

1500

2000

2500


Frec

uenc

ia

Cp=0.0292


Para comparar los resultados y verificar que estos ya no varían significativamente al

aumentar el número de muestras se realizó un análisis tomando en cuenta 100,000

muestras. La figura 5.11 muestra el histograma y el valor del claro máximo promedio.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.5

1

1.5

2

2.5x 104


Frec

uenc

ia

Cp=0.0293

Figura 5.11. Histograma de claro máximo con 100 000 muestras.



La tabla 5.2 muestra el claro máximo promedio para cada número de muestras. Estos

resultados son del ensamble de piezas cónicas cuyas dimensiones nominales y tolerancias

se especifican en la tabla 5.1.

Tabla 5.2. Claro máximo promedio para diferente número de muestras.

Número de Cp Muestras (mm)

1000 0.0297 5000 0.0292 10000 0.0292

100000 0.0293

De la tabla 5.2 se determina que para el análisis de tolerancias en elementos cónicos en

contacto con las condiciones mostradas al inicio de la sección, los resultados son

independientes del tamaño de muestras para un número superior a 10,000.

Con base en los resultados obtenidos del ensamble, el claro promedio que se presenta al

tomar en cuenta variaciones geométricas, es menor que cuando se consideran solamente

variaciones angulares. Esto se debe a que cuando se consideran variaciones angulares se

toma la máxima variación que puede tener la superficie cónica dentro de su zona de

tolerancia. Por otro lado cuando se presentan variaciones geométricas dentro de esta misma

zona, las superficies se acomodan cuando se ensamblan y esto hace que la variación de la

dimensión dependiente sea menor.

Al realizar un análisis de caso crítico, el ensamble siempre cumplirá con el requerimiento al

asignar tolerancias basadas en este enfoque. Sin embargo, algunas veces al asignar

tolerancias basadas en el enfoque de caso crítico, estas deben ser menores en comparación

con las tolerancias asignadas basándose en un enfoque aleatorio, para cumplir con un

requerimiento funcional. Por ejemplo, considere que el claro del ensamble debe estar en un

rango de 0.055 mm. Al especificar una tolerancia H9 para el cono interno y h10 para el cono

externo, es decir con una zona de tolerancia para cono externo de 0.084 mm y para el cono

interno de 0.052 mm, y haciendo un análisis de caso crítico, se está dentro de este rango. Si

se realiza un análisis donde se considera que las superficies pueden variar aleatoriamente,

la tolerancia que se asigna puede ser mayor, por ejemplo de H10 y h10, que representa una

zona de tolerancia para el cono interno de 0.084 mm y para el cono externo de 0.084 mm, y



aun cumplir con el claro especificado. El valor medio de estos claros se muestra en el

histograma de la figura 5.12.

El histograma de la figura 5.12 muestra cómo la distribución de los claros asemeja una

distribución normal. Los resultados mostrados con el ejemplo de esta sección son para las

condiciones nominales y zonas de tolerancia de la tabla 5.1, sin embargo, estos se pueden

extrapolar a piezas con diferentes condiciones nominales y diferentes zonas de tolerancias al

realizar el análisis de variación, ya que al realizar el estudio, las superficies se generan de la

misma manera que el caso mostrado en esta sección. Además, al generar las superficies de

las piezas cónicas se puede considerar otro tipo de distribuciones como una distribución

rectangular, al suponer que la superficie actual tiene la misma probabilidad de producirse en

toda la zona de tolerancia, o una distribución lognormal al considerar que la superficie actual

tiende a producirse de manera asimétrica dentro de la zona de tolerancia. La consideración

del tipo de distribución depende del conocimiento que se tenga de la manufactura de estas

piezas.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.070

500

1000

1500

2000

2500


Frec

uenc

ia

Cp=0.0349

Figura 5.12. Histograma de claro máximo para una tolerancia H10 y h10.

En resumen, el enfoque de caso crítico sirve para realizar un análisis de tolerancias en el

cual la seguridad del ensamble sea prioridad y se requiera que éste cumpla con el

requerimiento funcional al 100 %. Sin embargo, si es más viable asignar tolerancias mayores



a las piezas por separado, el análisis de superficies aleatorias es una opción para realizar el

análisis, tomando en cuenta que pueden ocurrir defectos en el ensamble.

5.4 Conclusiones En este capítulo se presentaron los resultados obtenidos de los programas mencionados en

el capítulo cuatro. Con base en el primer programa, para realizar un ajuste cónico

determinado inicialmente, es necesario considerar las variaciones de las superficies cónicas

dentro de la zona de tolerancia, ya que al realizar el desplazamiento relativo nominal de las

piezas reales, el ajuste no cumple con el especificado originalmente. Es decir, para el

ensamble con la especificación H9 y h10, el ajuste real varía alrededor de 79 % en

comparación con el determinado inicialmente, tomando en cuenta el desplazamiento

nominal. Considerando el programa de variaciones geométricas, el claro medio que se

presenta cuando las piezas están en contacto sin interferencia, es menor que considerando

el análisis de caso critico, alrededor de 47%. Por lo cual, si se especifica un límite para el

claro, las tolerancias asignadas mediante este análisis pueden ser mas amplias y aun

cumplir con el requerimiento de diseño. Por lo tanto, este programa puede ser utilizado para

cuantificar los claros que se presentan en el ensamble de elementos cónicos en función de

las tolerancias asignadas a los mismos.

Capítulo 6. Conclusiones y recomendaciones


Capítulo 6

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

En este trabajo de investigación, se analiza el claro entre las superficies de contacto de

piezas cónicas. Para realizar el análisis, se incluyeron métodos de análisis de variación. A

partir de los cuales se establece el marco teórico del trabajo, así como los principios

generales del método de lazo de vector. Se analizó cómo la acumulación de tolerancias

afecta a una dimensión resultante del ensamble y se establecen alternativas para

cuantificarla. Con base en éstas se calculó el claro en el ensamble de elementos cónicos. La

cuantificación de los claros se realizó por medio de dos programas codificados en MatLab. El

programa de ajustes cónicos determina el desplazamiento axial relativo nominal y real de las

piezas para lograr un ajuste especificado. Con las pruebas realizadas con este programa se

concluye lo siguiente.

• Con base en los resultados obtenidos y tomando en cuenta el ensamble de la figura

5.2, el ajuste obtenido por el desplazamiento nominal de los elementos cónicos con

variaciones superficiales puede tener una diferencia de 79 % respecto al determinado

inicialmente. Esta variación es resultado de los claros iniciales entre las piezas.

• La aplicación del programa se acota a problemas donde las superficies cónicas

varían de manera crítica dentro de la zona de tolerancia y considerando coaxiabilidad

entre las piezas.

• El análisis de caso crítico asegura una funcionalidad del ensamble de 100% y es

factible utilizarlo cuando la seguridad del ensamble es una prioridad.



• El enfoque crítico se aplica a situaciones donde no se tiene conocimiento acerca de

los procesos de manufactura para producir las partes del ensamble, con lo cual se

garantiza que las tolerancias asignadas con base en este enfoque cumplirán con las

especificaciones de diseño de la union.

Una manera de realizar un análisis de variación en el ensamble de elementos cónicos es

considerando que las superficies de las piezas varían de manera aleatoria. A partir de esto

se desarrolló un programa para cuantificar el claro que se presenta entre estas superficies

tomando en cuenta variaciones geométricas y cinemáticas, del cual se concluye lo siguiente:

• El claro promedio que se presenta al considerar variaciones geométricas dentro de la

zona de tolerancia es 47% menor que considerando análisis de caso crítico.

• El programa de variaciones geométricas aplica a situaciones donde se requiera

realizar un análisis de variación de manera directa, es decir, cuando no se cuente con

datos de entrada para llevar acabo el estudio, como la desviación estándar de las

máquinas que producen las piezas.

• Una ventaja del programa de variaciones geométricas es que al realizar el análisis de

tolerancias se puede implementar el tipo de distribución, dependiendo del

conocimiento del diseñador en relación a la producción de estas piezas, para generar

las superficies de contacto.

Finalmente, los programas desarrollados en este trabajo de investigación son una

herramienta que el ingeniero puede utilizar para llevar a cabo el análisis de variación en

elementos cónicos en contacto y cuantificar los claros que se presentan en las superficies de

unión de los mismos. Estos programas se desarrollaron bajo una metodología que considera

desviaciones de diámetros respecto al valor nominal a lo largo de la longitud de las piezas

cónicas, como se muestra en la sección 5.3. Pueden ser implementados al control de calidad

de la unión al determinar si las tolerancias asignadas a las piezas por separado cumplen

con el requerimiento para el cual fue diseñado el ensamble. En la metodología planteada

para realizar el análisis de tolerancias en elementos cónicos en contacto, se consideró la

máxima variación angular de la dimensión real en la zona de tolerancia de las superficies de



contacto y las variaciones geométricas que se presentan dentro de ésta. Con esto se

pretende cubrir un amplio rango de desviaciones dentro de la zona de tolerancia. Sin

embargo, los programas implementados para realizar el análisis solo pueden ser utilizados

considerando que existe coaxialidad en las piezas.

Los programas desarrollados en este trabajo pueden ser utilizados en trabajos futuros para

estimar los valores de fuerzas en la eliminación de claros, que son resultado de las

imperfecciones de las superficies de contacto de las piezas en el ensamble.

6.1 Recomendaciones Al desarrollar la investigación surgieron algunas observaciones que pueden contribuir a

ampliar la investigación respecto al análisis de tolerancias en elementos cónicos en contacto.

Esto con el objeto de extender la representación del análisis de variación en el ensamble de

estos elementos.

• Considerar los efectos de coaxialidad en las piezas cónicas al llevar a cabo el análisis

de variación. Esto se puede lograr generando dos superficies aleatorias diferentes en

cada pieza al realizar el análisis.

• Realizar un acopio de desviaciones estándar representativas de los procesos de

manufactura que se utilizan para producir elementos cónicos, para ser usadas como

datos de entrada al realizar el análisis de variación entre estos elementos.

• Llevar a cabo un análisis de variación completo en la unión mecánica flecha-cubo de

rueda, donde se incluya la interacción entre parámetros como: la fuerza de apriete

necesaria para eliminar los claros, la deformación de las piezas y la carga a transmitir

en la unión.

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No. 11.

Apéndice


APÉNDICE

El apéndice de esta sección ejemplifica la obtención de las matrices que contienen las

derivadas parciales de las variables del ensamble. La figura A.1 muestra el ensamble de un

cilindro y una ranura. Las partes se ensamblan al insertar el cilindro en la ranura hasta hacer

contacto en las dos superficies de unión. La figura A.1a muestra las variables de

manufactura y cinemáticas. La figura A.1b muestra el lazo de vector para determinar las

variables cinemáticas en función de las de manufactura. Se puede observar que el lazo de

vector solamente pasa a través de las dimensiones de manufactura (A, R, θ) y las

dimensiones del ensamble (U1, U2, Ø). En la figura A.1b también se muestran los marco de

referencia de cada una de las partes en el ensamble (a y b).

U2

RU1

ARa

bR

U2

θ

U1

θ

φ

a) b)

Figura A.1. Ensamble de cilindro y ranura, donde a) variables de manufactura y del ensamble, b) lazo de vector que relaciona las variables en el ensamble.

Las tablas A.1 y A.2 muestran las variables de manufactura y las del ensamble con sus

valores nominales y tolerancias respectivamente.

Tabla A.1. Dimensiones manufacturadas

Variable Descripción Dim. nominal Tolerancia +/- A Altura de la ranura 40 mm 0.3 mm R Radio del cilindro 32.92 mm 0.3 mm θ Angulo superior de ranura 113.57° 0.5°

Apéndice


Tabla A.2. Variables cinemáticas del ensamble

Variable Descripción Dim. nominal Tolerancia +/-U1 Posición horizontal del cilindro 57.78 mm ? U2 Distancia angular al punto de contacto 66.12 mm ? Ø Angulo de contacto 23.57° ?

A continuación se muestran las ecuaciones del ensamble del lazo de vector de la figura A.1b.

Estas se obtienen al sumar las componentes de los vectores (x y y), y la rotación de los

vectores conforme se traza el lazo.

°+°−−−+°−°=

°+°+++°−+°=°+°+++°−+°=

90909018090

180270)270()90(90180cos270cos)270cos()90cos(90cos

21

21

φθ

φθφθ

θh

senURsenRsensenUAsenhURRUAh

y

x

Aplicando el método de lazo de vector, se obtienen las matrices que contienen derivadas

parciales con respecto a las variables del ensamble [A] y [B].

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=

θ

θ

θ

θθθ hRh

Ah

hRh

Ah

hRh

Ah

A yyy

xxx

][

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−++−−++

=

100959.52916.11105.23399.00

][

100)90cos(270)270(90)90(270cos)270cos(90cos

][ 1

1

A

UsensensensenU

A θφθφ

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂

∂

∂

∂

∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

=

φ

φ

φ

θθθ hUh

Uh

hUh

Uh

hUh

Uh

B yyy

xxx

21

21

21

][

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+−+−−

=

100166.130399.0179.301916.0

][

100)270cos(180)90()270(180cos)90cos(

][

B

RsensenRsen

B φθφθ

Apéndice


Una vez que se obtienen las matrices [A] y [B] se calcula la matriz de sensibilidad del

ensamble.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−= −

1.0000 0 0 144.4941- 4.7928 2.2921- 165.3656- 4.7928 2.5008-

][][][ 1 ABS D

Con la matriz de sensibilidad conocida y las tolerancias asignadas a las variables de

manufactura, se calculan las variaciones de las dimensiones que resultan del ensamble al

aplicar la ecuación (2.12). Estas tienen los siguientes valores.

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

°=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

ΔΔΔ

05.0907.3626.3

2

1

φUU

El ejemplo anterior muestra una manera de calcular las matrices de las derivadas parciales

con respecto a las variables del ensamble y una alternativa para calcular las variaciones de

las dimensiones resultantes del ensamble. El análisis mostrado, se puede extrapolar a

ensambles más complejos, donde el número de variables es mayor y se requiere de

experiencia del diseñador para generar los lazos que relacionan las variables en la unión.

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