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Cálculo cercha
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CÁLCULO CERCHA DE ESTRUCTURA DE CUBIERTACálculo de estructura de cubierta compuesta por cerchas como elemento principal, con lossiguientes datos de partida:
Madera pino de clase resistente C18 (propiedades según SE-M pg115)
Estructura en interior: Clase de servicio 1.Luz de cercha: 8 m.Separación entre pórticos: 2,5 m.Material de cubierta: Panel sándwich: 0,226 kN/m2
Enlistonado: 0,05 kN/m2 (SE-AE pg19).Pizarra sin enlistonado con solaple doble: 0,3 kN/m2 (SE-AE pg19)
Correas de pino C18 de sección 145x95 mm separadas 1,22 m entre ejes.Localización: Lugo. Zona de clima invernal 1.Altitud topográfica: 500 m.Pendiente de cubierta: 50 %; α=26,56 ºLongitud de la edificación: 30 m.Altura de cumbrera: 6 m.Zona urbana en general, industrial o forestal.
Vista general de la cubierta.
Separación entrepórticos: 2,5 m
A l t u
r a t o t a l : 6 m
Luz cercha: 8 m
Longitud total de la nave: 30 m
Separación entrecorreas: 1,22 m
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Es uema de la estructura de cercha lanteada.
Nudo 4: articulación endeslizadera según eje xdel plano de la cercha.
Nudo 0:articulación fija.
Esquema de propuesta de dimensionado para el cálculo de la cercha.
Barra 0
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Barra 3
Barra 8
Barra 6 Barra 7
Barra 4 Barra 5
Barra 9
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1. HIPÓTESIS DE CÁLCULO
Hipótesis 1: Cargas permanentes. Duración: permanenteHipótesis 2: Sobrecarga de mantenimiento. Duración: corta.Hipótesis 3: Sobrecarga de Nieve: altitud menor de 1000 m. Duración. Corta.
Hipótesis 4: Sobrecarga de Viento transversal A. Duración: corta.Hipótesis 5: Sobrecarga de Viento transversal B. Duración: corta.Hipótesis 6: Sobrecarga de Viento longitudinal. Duración: corta.
CARGAS PERMANENTESH1: Cargas permanentes.Peso propio de la cercha:
• Peso propio de los pares de sección 145x195 mm con una densidad de 380kg/m3 (C18): 0,145·0,195·380 = 10,74 kg/m = 0,107 kN/m
• Peso propio de pendolón, tornapuntas y tirante de sección 145x145 mm con unadensidad de 380 kg/m3 (C18): 0,145·0,145·380= 8 kg/m = 0,08 kN/m
Peso que aportan las correas de sección 95x145 mm separadas 1,22 m entre sí y con unadensidad de 380 kg/m3 (C18) a cada par:
Peso de cada correa: 0,095·0,145·2,5 · 380 = 13,09 kg/correaEn cada faldón hay 5 correas: 13,09 · 5 = 65,4 kg por faldónPeso de correa por metro lineal del par (4,47 m): 65,4/4,47= 14,64 kg/m =0,147 kN/m
Peso de material de cubierta x separación entre cerchas:qp = (0,226+0,05+0,3)·2,5=1,44 kN/m
Valores de carga permanente de la H1 a introducir en el programa:Sobre los pares: Carga uniforme: 1,587 kN/mlPeso propio de los pares: 0,107 kN/ml
En el resto de los elementos se incluirá el valor de su peso propio: 0,08 kN/ml.
Visualización de car as H1: car as ermanentes.
1,587
0,080
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CARGAS VARIABLES
H2: Sobrecarga de mantenimiento.
Categoría G: Cubiertas accesibles únicamente para conservación. (SE-AE pg5)
G1: Cubiertas con inclinación inferior a 20º: Carga uniforme: 1 kN/m2 G2: Cubiertas con inclinación superior a 40 º: Carga uniforme: 0 kN/m2 En este caso la inclinación es de 26,56º, interpolando se obtiene el siguiente valor:
Carga uniforme: 0,672 kN/m2 El valor tabulado de estas cargas es el valor característico en proyección horizontal, paraconsiderar la inclinación se multiplica por el coseno del ángulo de pendiente, obteniéndosecomo resultado final las siguientes cargas para esta hipótesis:
Carga uniforme: 0,672· cos(26,56)=0,601 kN/m2
Valor de la carga por metro lineal a introducir en H2:0,601·2,5=1,503 kN/m
H3: Sobrecarga de Nieve.Zona climática de invierno 1, 500 m de altitud: 0,7 kN/m2 (SE-AE pg42).
Coeficiente de forma μ, toma el valor 1 por ser el ángulo de inclinación de la cubierta menorque 30º (SE-AE pg12).El valor tabulado de esta carga es el valor característico en proyección horizontal, paraconsiderar la inclinación se multiplica por el coseno del ángulo de pendiente, obteniéndosecomo resultado final las siguientes cargas para esta hipótesis:
0,7·cos(26,56º)= 0,626 kN/m2
Valor de la carga por metro lineal a introducir en H3:0,626·2,5=1,565 kN/m
Visualización de car as H2: Sobrecar a de mantenimiento
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CARGAS DE VIENTOSe considera que la acción del viento genera una fuerza perpendicular a la superficie de cadapunto expuesto, o presión estática qe, que puede expresarse como: qe= qb·ce·cp
qb: presión dinámica del viento.Lugo se encuentra en Zona C de presión dinámica, qb=0,52 kN/m2. (SE-AE pg23).
ce: coeficiente de exposición.
ce= F(F+7k)F=k·Ln(max(z,Z)/L)Grado de aspereza IV:
k=0,22L=0,3Z=5
z(m): altura de la edificación, 6 m.F= 0,22·Ln(6/0,3)=0,659ce=0,659(0,659+7·0,22)=1,449
cp: coeficiente de presión exterior que se obtiene según las tablas del Anexo D del C.T.E. del
documento Seguridad Estructural: Bases de cálculo y Acciones en la edificación.
H4: Sobrecarga de Viento transversal A.
El coeficiente de presión exterior cp se obtiene de la interpolación de los valores delaparatado a) de la tabla D.4 (SE-AE pg30) para cubiertas a dos aguas con un ángulo de 26,56º ypara las superficies estimadas que se presentan en la siguiente tabla. Para esta hipótesis setoman los valores de viento transversal de succión.
Visualización de car as H3: Sobrecar a de nieve
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La cercha más desfavorable en cuanto a viento se encuentra a 2,5m del pórtico de fachada,viéndose afectada por las cargas de las zonas F,G y H en un faldón y J e I, en el otro.En el primer faldón se ha considerado la influencia del viento proporcional en las zonas F y G.
Viento transversal ADatosP.Dinámicaqb (kN/m2)
0,52
Coeficienteexposición 1,449
Pendiente(grados)
26,56
z(m)= 6d(m)= 8b(m)= 30e(m)= 12
Resultados Viento transversal A
Zona F G H I JSuperficie(m2)
4,02 32,20 93,91 93,91 40,25
Coeficienteeólico (cp)
-0,996 -0,569 -0,223 -0,400 -0,615
Presión estáticaqe (kN/m2)
-0,751 -0,429 -0,168 -0,301 -0,463
Presión estática(kN/m)
-1,878 -1,075 -0,420 -0,753 -1,158
Visualización de car as H4: Sobrecar a de viento transversal A
Cercha másdesfavorable a 2,5 mde fachada y su áreatributaria.
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H5: Viento transversal BEl coeficiente de presión exterior cp se obtiene de la interpolación de los valores delaparatado a) de la tabla D.4 (SE-AE pg30) para cubiertas a dos aguas con un ángulo de 26,56º ypara las superficies estimadas que se presentan en la siguiente tabla. Para esta hipótesis setoman los valores de viento de presión.
Viento transversal BDatosP.Dinámicaqb (kN/m2)
0,52
Coeficienteexposición
1,449
Pendiente(grados)
26,56
z(m)= 6d(m)= 8b(m)= 30e(m)= 12
La cercha más desfavorable en cuanto a viento se encuentra a 2,5m del pórtico de fachada,viéndose afectada por las cargas de las zonas F,G y H en un faldón y J e I, en el otro.
Resultados Viento transversal BZona F G H I JSuperficie(m2)
4,02 32,20 93,91 93,91 40,25
Coeficiente
eólico (cp)
0,585 0,585 0,354 0 0
Presión estáticaqe (kN/m2)
0,441 0,441 0,267 0 0
Presión estática(kN/m)
1,103 1,103 0,668 0 0
Visualización de cargas H5: Sobrecarga de viento transversal B
Cercha másdesfavorable a 2,5 mde fachada y su áreatributaria.
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H6: Viento longitudinal.El coeficiente de presión exterior cp se obtiene de la interpolación de los valores delaparatado b) de la tabla D.4 (SE-AE pg30) para cubiertas a dos aguas con un ángulo de 26,56º ypara las superficies estimadas que se presentan en la siguiente tabla. El viento longitudinalproducirá un efecto de succión sobre la cubierta.
La cercha más desfavorable en cuanto a viento longitudinal es cualquiera de las cerchasintermedias que se ven afectadas por las cargas de la zona H en los dos faldones.
Viento longitudinalDatosP.Dinámicaqb (kN/m2)
0,52
Coeficienteexposición
1,449
Pendiente(grados)
26,56
z(m)= 6d(m)= 30b(m)= 8e(m)= 8
Zona F G H ISuperficie(m2)
1,79 1,79 17,89 112,69
Coeficienteeólico (cp)
-1,496 -1,843 -0,754 -0,500
Presión estáticaqe (kN/m2) -1,127 -1,388 -0,568 -0,377
Presión estática(kN/m)
-2,818 -3,470 -1,420 -0,943
Visualización de car as H6: Sobrecar a de viento lon itudinal
Cercha a 2,5 m defachada y su áreatributaria.
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2. COMBINACIONES DE HIPÓTESIS
Combinación Cargapermanente
Sobrecargamantenimiento
Nieve Vientotransv. A
Vientotransv. B
Vientolongitudinal
1 1,35
2 1,35 1,503 1,35 1,504 0,80 1,505 1,35 1,506 0,80 1,507 1,35 1,50 0,75 0,908 1,35 1,50 0,90
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3. COMPROBACIÓN PAR DE CERCHA (BARRA 0) FLEXOCOMPRESIÓN
Las condiciones que deben cumplirse en el caso de una flexocompresión con pandeo son las
siguientes:
1·
1·
,,
,,
,,
,,
,0,,
,0,
,,
,,
,,
,,
,0,,
,0,
≤++
≤++
d z m
d z m
d ym
d ym
m
d c z c
d c
d z m
d z m
m
d ym
d ym
d c yc
d c
f f k
f
f k f f
σ σ
χ
σ
σ σ
χ
σ
En este caso todas las cargas siguen la dirección del eje z, provocando flexión únicamente en
torno al eje y. Por lo tanto, las expresiones anteriores se simplifican de la siguiente manera:
1
·
1·
,,
,,
,0,,
,0,
,,
,,
,0,,
,0,
≤+
≤+
d ym
d ym
m
d c z c
d c
d ym
d ym
d c yc
d c
f
k
f
f f
σ
χ
σ
σ
χ
σ
Para el cálculo de la flexocompresión, es necesario conocer los valores de axil y momento
flector en la peor sección y para la combinación más desfavorable. Estos valores se obtienen
de los resultados de esfuerzos obtenidos con el software empleado. En este caso, el programa
Estrumad 2007 indica la peor sección (8 de 20) y la combinación más desfavorable para el
caso del par (combinación 7) para la cual ha realizado la comprobación de la pieza.
AXIL MÁXIMO EN LA SECCIÓN 8/20 PARA LA COMBINACIÓN 7
MOMENTO MÁXIMO EN LA SECCIÓN 8/20 PARA LA COMBINACIÓN 7 EN EL PAR DE LA
CERCHA
Visualización de esfuerzos combinados de Estrumad 2007
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La barra del par tiene una sección de 145x195 mm con un axil máximo de compresión de
45.800 N y un momento flector respecto al eje y de 4.200 N·m.
Coeficiente de pandeo respecto al eje y.
Visualización de esfuerzos combinados de Estrumad 2007
pg6:M
115pg
pg6
M-SEmaciza.maderaas,transitoriospersitentesituación
M-SEfibralaaparalelacompresiónaticacaracterísresistenca: M-SEcorta.cargaladeduración1,CSmaciza,madera:
46123,1
1890,0
:fibralaaparalelacompresiónacálculodeaResistenci
,,
mod
,,mod
γ
γ
k o c
M
k o c
f
K
,f
k 2d,0, N mm===
2d,0, N mm621
195·145800.45
:fibralaapararalelacompresiónacálculodeTensión
,Area
N d ===
mm29,56195·145
406.596.89
y.ejealrespectosecciónladegirodeRadio:i y
===A
I i
y y
433
mm406.596.8912195·145
12·
y.ejealrespectoinerciadeMomento:
===h b
I
I
y
y
).M-(SE
1.ecoeficientdelvalorda,biarticulacomobarralaconsideraseestructuraladeplanoelpara:xxxx).(esquemamm2680,comprimidapiezaladeLongitud:
mm2.680680.2·1·pandeodeeficazLongitud
pg125
,
y
y y k
L
L L
β
β ===
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Coeficiente de pandeo respecto al eje z.
.N/mm6.000esvalorsuC18resistenteclaseunaPara).M-(SE
percentil5%alientecorrespondfibralaaparalelodelasticidademódulodelticocaracterísValor:
N/mm12,2661,47
000.6
pandeodecríticaTensión
2,0
22
22,02
,,
pg115
k
y
k y crit c
E
E === π
λ π σ
61,4729,56
680.2
y.ejealrespectoflectandoxz,planoelenpandeoelparacomprimidapiezaunademecánicaEsbeltez
,===
y
y k y
i
L λ
115pgM-SEfibralaaparalelacompresiónaticacaracterísresistenca:
83,012,26
18
relativa.Esbeltez:
,0,
,,
,0,,
,
k c
y crit c
k c y rel
y rel
f
f ===
σ λ
λ
ada.microlamin yencoladalaminadamaderapara 1,0maciza.maderapara 2,0
piezas.lasderectitudlaaasociadoFactor:
90,0)83,0)3,083,0·(2,01·(5,0))3,0·(1·(5,022
,,
=
=
=+−+=+−+=
c
c
c
y rel y rel c y k
β
β
β
λ λ β
0,80y, =−+
=−+
=222
,2 83,090,090,0
11: yejealrespectopandeodeeCoeficient
y rel y y k k λ
433
mm156.540.4912145·195
12·
z.ejealrespectoinerciadeMomento:
===h b
I
I
z
z
mm9,41195·145
156.540.49
z.ejealrespectosecciónladegirodeRadio:iz
===A
I i z z
67,1680.2476.4
tornapuntahastabarraladelongitudcumbrerahastapardeltotalLongitud
:serácasoesteenpandeodeecoeficientElcumbrera.lahastapardeltotallongitud
laenpandearpuedebarralaqueconsideraseestructuraladeallarperpendicuplanoelpara xxxx).(esquemamm2680,comprimidapiezaladeLongitud : :
mm4.476680.2·67,1·pandeodeeficazLongitud
,
==
===
y
z z k
L
L L
β
β
8,1069,41
476.4
z.ejealrespectoflectandoxy,planoelenpandeoelparacomprimidapiezaunademecánicaEsbeltez
,===
z
z k z
i
L λ
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Por tanto el par de sección 145x195 mm sometido a flexocompresión con pandeo se encuentra
al 76 % de su capacidad en cuanto a estado límite último.
.N/mm6.000esvalorsuC18resistenteclaseunaPara).M-(SE
percentil5%alientecorrespondfibralaaparalelodelasticidademódulodelticocaracterísValor:
N/mm19,58,106
000.6
pandeodecríticaTensión
2
,0
22
22,02
,,
pg115
k
z
k z crit c
E
E === π
λ π σ
115pgM-SEfibralaaparalelacompresiónaticacaracterísresistenca:
86,119,5
18
relativa.Esbeltez:
,0,
,,
,0,,
,
k c
z crit c
k c z rel
z rel
f
f ===
σ λ
λ
maciza.maderapara 2,0piezas.lasderectitudlaaasociadoFactor:
39,2)86,1)3,086,1·(2,01·(5,0))3,0·(1·(5,0 22,,
=
=+−+=+−+=
c
c
z rel z rel c z k
β
β
λ λ β
0,26z, =−+
=−+
=222
,2 86,139,239,2
11:zejealrespectopandeodeeCoeficient
z rel z z k k λ
ada.microlaminmadera ylaminadamaderamaciza,maderaderesrectangulaseccionespara0,7:K
:valoressiguienteslosadopta yltransversa
secciónlaenmaterial deladhomogeneiddefaltala ytensionesdeciónredistribulacuentaentienequefactor:
).M-(SEmaterialdelpropiedadlaparaseguridaddeparcialecoeficient :
). M-(SE flexiónaaresistenciladeticocaracterísValor:f1.eskdevaloreltantopormm,150quemayoreshaltura.defactor:k
M-SEcorta.cargaladeduración1,CSmaciza,madera:
N/mm3,118·1·9,0
··
:xejealrespectoflexiónacálculodeaResistenci
mm938.9186
195·145
6
·
W
:rrectangulasecciónunaPara.resistenteMódulo:WledesfavorabmásncombinaciólaparacálculodeMomento:
18938.9000.200.4
: yejealrespectoflexiónacálculodeTensión
m
M
km,
hh
mod
2,mod
322
y
y
pg6
pg115
pg6
m
dy,m,
K
f
γ
γ
k
f K K
h b
M
W
M
M
k m h
d
y
d
2,46
N mm,57 2d,
===
===
===
176,046,12
57,4·70,0
46,12·26,0
62,1
·
153,046,12
57,4
46,12·80,0
62,1
·
,,
,,
,0,,
,0,
,,
,,
,0,,
,0,
≤=+=+
≤=+=+
d ym
d ym
m
d c z c
d c
d ym
d ym
d c yc
d c
f k
f
f f
σ
χ
σ
σ
χ
σ
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4. COMPROBACIÓN TIRANTE DE LA CERCHA (BARRA 4) FLEXOTRACCIÓN
Las condiciones que deben cumplirse en el caso de una flexotracción son las siguientes:
1
1
,,
,,
,,
,,
,0,
,0,
,,
,,
,,
,,
,0,
,0,
≤++
≤++
d z m
d z m
d y m
d y m m
d t
d t
d z m
d z m m
d y m
d y m
d t
d t
f f k
f
f k
f f
σ σ σ
σ σ σ
En este caso todas las cargas siguen la dirección del eje z, provocando flexión únicamente en
torno al eje y. Por lo tanto, las expresiones anteriores se simplifican de la siguiente manera:
Para el cálculo a flexotracción es necesario conocer los valores de axil y momento flector en la
peor sección y para la combinación más desfavorable. Estos valores se obtienen de los
resultados de esfuerzos obtenidos con el software empleado. El programa Estrumad indica la
peor sección (10 de 20) y la combinación más desfavorable para el caso del tirante
(combinación 7) para la cual ha realizado la comprobación.
AXIL MÁXIMO EN LA SECCIÓN 10/20 PARA LA COMBINACIÓN 7
Visualización de esfuerzos combinados Estrumad 2007
1
1
,,
,,
,0,
,0,
,,
,,
,0,
,0,
≤+
≤+
d y m
d y m m
d t
d t
d y m
d y m
d t
d t
f k
f
f f
σ σ
σ σ
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MOMENTO MÁXIMO EN LA SECCIÓN 10/20 PARA LA COMBINACIÓN 7
La barra del tirante tiene una sección de 145x145 mm con un axil máximo de tracción de
41.600 N y un momento flector respecto al eje y de 200 N·m.
Visualización de esfuerzos combinados de Estrumad 2007
).M-(SEmaterialdelpropiedadlaparaseguridaddeparcialecoeficient :
).M-(SEfibralaaparalelatracciónaaresistenciladeticocaracterísValor:f
1006,1145150150K
:aserradamaderaPara.mm150demenorcantoconaserradamaderadepiezasenplicaráSealtura.defactor: K
M-SEcorta.cargaladeduración1,CSmaciza,madera:
N/mm26,73,111·19,0
·:fibralaaparalelatracciónacálculodeaResistenci
(b·h). secciónladeáreal:le.desfavorabmásncombinaciólaparatraccióndeaxildelvalor:
N/mm89,1145·145600.41
:fibralaapararalelacompresiónacálculodeTensión
pg6
pg115
pg6
M
kt,0,
2,02,0
h
h
mod
2,,mod
2
γ
γ
≈=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
===
===
h
k
f k k
A
N Area
N
M
k o t h
d
d
d,0,
d, 0,
f
σ
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Cálculo cercha
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En este caso todas las cargas siguen la dirección del eje z, provocando flexión únicamente en
torno al eje y. Por lo tanto, las expresiones anteriores se simplifican de la siguiente manera:
Por tanto, el tirante de sección 145x145 mm sometido a flexotracción se encuentra al 29 % de
su capacidad en cuanto a estado límite último.
En el caso de que la cercha se diseñe con uniones tradicionales, es necesario comprobar
manualmente las secciones reducidas del tirante que se vean rebajadas en los puntos de
unión.
madera.ladeproductosotros yseccionesotraspara1,0:Kada.microlamin
madera ylaminadamaderamaciza,maderaderesrectangulaseccionespara0,7:K:valoressiguienteslosadopta yltransversasecciónlaenmaterialdel
adhomogeneiddefaltala ytensionesdeciónredistribulacuentaentienequefactor:
).M-(SEmaterialdelpropiedadlaparaseguridaddeparcialecoeficient :). M-(SEflexiónaaresistenciladeticocaracterísValor:f
1006,1145150150K
:aserradamaderaPara mm.150demenorcantoconaserradamaderadepiezasenplicaráSealtura.defactor:k
M-SEcorta.cargaladeduración1,CSmaciza,madera:3,118·1·9,0
··
:xejealrespectoflexiónacálculodeaResistenci
m
m
M
km,
2,02,0
h
h
mod
,mod
pg6pg115
pg6
m
dy,m,
K
f
γ
γ
≈=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
===
h
k
f K K
M
k m h 212,46N mm
322
y
y
mm104.5086145·145
6·W
:rrectangulasecciónunaPara.resistenteMódulo:WledesfavorabmásncombinaciólaparacálculodeMomento:
104.508000.200
: yejealrespectoflexiónacálculodeTensión
===
===
h b
M
W
M
d
y
d 2d, 0,39N mm
128,046,1239,07,0
62,798,1
129,046,1239,0
62,798,1
,,
,,
,0,
,0,
,,
,,
,0,
,0,
≤=+=+
≤=+=+
d y m
d y m m
d t
d t
d y m
d y m
d t
d t
f k
f
f f
σ σ
σ σ
7/16/2019 Cercha Manual
http://slidepdf.com/reader/full/cercha-manual 17/18
Cálculo cercha
65
5.COMPROBACIÓN DE PENDOLÓN DE CERCHA (BARRA 8) TRACCIÓN UNIFORME
PARALELA A LA FIBRA.
Las condiciones que deben cumplirse en el caso de una tracción uniforme paralela a la fibra son
las siguientes:
1,0,
,0,≤
d t
d t
f
σ
Para el cálculo de la tensión a tracción paralela es necesario conocer el valor del axil en la peor
sección y para la combinación más desfavorable en el caso del pendolón (barra 8). Este valor se
obtiene de los resultados de esfuerzos obtenidos con el software empleado. El programa
Estrumad indica la peor sección (0 de 20) y la combinación más desfavorable para el caso del
pendolón (combinación 7) para la cual ha realizado la comprobación.
La barra del pendolón tiene una sección de 145x145 mm con un axil máximo de tracción de18.500 N.
Visualización de esfuerzos combinados de Estrumad 2007
7/16/2019 Cercha Manual
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Cálculo cercha
66
Por tanto, el pendolón de sección 145x145 mm sometido a tracción se encuentra al 11,5 % de
su capacidad en cuanto a estado límite último.
).M-(SEmaterialdelpropiedadlaparaseguridaddeparcialecoeficient :
).M-(SEfibralaaparalelatracciónaaresistenciladeticocaracterísValor:f
1006,1145150150K
:aserradamaderaPara mm.150demenorcantoconaserradamaderadepiezasenplicaráSealtura.defactor: K
M-SEcorta.cargaladeduración1,CSmaciza,madera:
N/mm62,73,111·19,0
·:fibralaaparalelatracciónacálculodeaResistenci
(b·h). secciónladeáreal:le.desfavorabmásncombinaciólaparatraccióndeaxildelvalor:
N/mm88,0145·145
500.18:fibralaapararalelatracciónacálculodeTensión
pg6
pg115
pg6
M
kt,0,
2,02,0
h
h
mod
2,,mod
2
γ
γ
≈=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ =⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ =
===
===
h
k
f k k
A
N Area
N
M
k o t h
d
d
d,0,
d,0,
f
σ
1115,062,788,0
,0,
,0,≤==
d t
d t
f
σ