TRILCE

177

Capítulo

CERTEZAS - MÁXIMOS Y MÍNIMOS15CERTEZAS

INTRODUCCIÓNEn una competencia de habilidad mental, se presentaron 3 concursantes : Juan Carlos, Martha y Gari.La competencia consistía en indicar cuántas veces como mínimo habría que extraer una bola para tener la seguridad decontar por lo menos con una bola roja sabiendo que en la bolsa habían 10 bolas rojas, 7 negras y 8 verdes.

* Juan Carlos : Niño hábil e inteligente, contestó rápidamente sin pensar 1. Pues dijo que con suerte la primera bolaextraída puede ser roja.

* Martha : Niña seria y metódica, contestó 3; pues dijo que la primera y segunda pueden ser de colores distintos y latercera ya puede ser roja.

* Gari : El más gordito de los tres, pícaro, pero no menos inteligente, contestó 16; a lo que los otros concursantes serieron; pero Gari les dijo que si suponía que primero salieran las bolas de colores diferentes al rojo estas serían 15 y quedespués con toda seguridad la siguiente sería roja.

¿Quién cree Ud, que tenía la razón y ganó el concurso?

Ejemplo 1

En una urna depositamos 8 esferas blancas, 7 rojas y 9azules. Cuantas esferas habrá que extraer al azar y comomínimo para tener la certeza de haber extraído ...

a) Un par del mismo color.

b) Por lo menos uno de cada color.

c) Tres azules.

d) Un color por completo.

e) Una azul y tres rojas.

Ejemplo 2

Se tiene una baraja de naipes (52 naipes, 13 de cada palo).¿Cuántas cartas se deberán extraer al azar y como mínimopara tener la certeza de haber extraído ...

a) .... un naipe de color rojo?

b) .... dos naipes de diamantes?

c) .... tres naipes de espadas?

d) .... dos diamantes y tres corazones?

e) .... una espada y cuatro tréboles?

Ejemplo 3

En una caja depositamos 50 esferas, numeradas del 1 al 50.¿Cuántas esferas habrá que extraer al azar y como mínimopara tener la certeza de haber sacado ...

a) ... una esfera con numeración par?

b) ... una esfera que utilice la cifra 5 en su numeración?

c) .... dos esferas cuya numeración estén comprendidasentre 30 y 40?

d) .... tres esferas múltiplos de 6?

e) .... una esfera cuya numeración no sea mayor que 10?

Raz. Matemático

178

MÁXIMOS Y MÍNIMOS

INTRODUCCIÓN

Luis le dice a Mathías : "En el bolsillo de mi pantalón hay 20 monedas de un sol y 10 monedas de 5 soles".Ve y extrae monedas de él, hasta que salga una moneda diferente a la que extraíste anteriormente y el dinero que salga serápara ti.

* ¿Cuál es la mínima cantidad de dinero que puede tener Mathías?* ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que puede tener Mathías?

Muchas veces un ejercicio puede tener, según los datos planteados, varias respuestas en un rango de valores, lo cual puedellevar a pedir una solución máxima o una mínima.

Problemas de pesos y costos

1. Si un kilo de naranja contiene desde 4 hasta 8 naranjas,¿Cuál es el mayor peso que puede tener 4 docenas denaranjas?

Resolución:

2. Si una bolsa de caramelos contiene desde 50 hasta 60caramelos, ¿Cuál es la menor cantidad de bolsas quedebo adquirir, si deseo comprar 600 caramelos?

Resolución:

Nota importante:

Ganancia = Precio de venta Precio de costo

En la relación anterior:

* Los valores máximo y mínimos de ganancia se obtienen:

Ganancia = Precio de venta Precio de costo máxima máximo mínimo

Ganancia = Precio de venta Precio de costo mínima mínimo máximo

3. Se compran libros que cuestan desde S/. 10 hasta S/. 20c/u, y se venden a precios que varían desde S/. 25 hastaS/. 35. Si se venden 10 libros, ¿Cuál es la gananciamáxima? ¿Cuál es la ganancia mínima?

Resolución:

Problemas de operaciones aritméticas

1. El número 143 se divide en 2 números de dos dígitoscada uno. Si uno de ellos es el menor posible, ¿Cuál eséste?

Resolución:

2. Un banco tiene 7 sucursales en una ciudad y hay 70empleados en ellas. Si ninguna oficina tiene menos de 8empleados, ni más de 14, ¿Cuál es el menor número deempleados que puede haber en 6 oficinas?

Resolución:

TRILCE

179

3. Si "A" tiene un valor entre 4 y 5; y "B" tiene un valor

entero entre 20 y 40, ¿entre qué valores estará AB

?

Resolución:

Problemas diversos

Ejemplo de caminos:

La figura muestra una red de caminos mediante la cual sedesea ir de a "A" a "B" con no más de 3 paradas intermediasen otras ciudades. Si los números representan los días quedemora ir de una ciudad a otra, ¿Cuál es el menor númerode días que tomará ir de "A" a "B?

A B

C

D E

F

G

4

2 1

5

9

3 5

1

25

6

Resolución:

Ejemplo de coloración de mapas:

Pili desea pintar el siguiente mapa de modo que no existan2 zonas contiguas (con un lado común) del mismo color,¿Cuál es el menor número de colores que ella deberá utili-zar?

Resolución:

Raz. Matemático

180

EJERCICIOS PROPUESTOS

Enunciado IDe un juego de naipes (52 naipes, 13 de cada palo), ¿cuán-tas hay que extraer como mínimo para tener la certeza dehaber obtenido ...

01. ... un naipe de color negro?

a) 1 b) 2 c) 266d) 27 e) 25

02. ... dos naipes de trébol?

a) 39 b) 40 c) 41d) 42 e) 43

03. ... tres naipes pares de color negro?

a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44

04. ... dos corazones y 1 diamante?

a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44

05. ... tres espadas y 2 tréboles?

a) 40 b) 42 c) 43d) 45 e) 41

Enunciado IIDentro de una urna depositamos 120 esferas numeradasdel 1 al 120, ¿cuántas esferas hay que extraer como mínimopara tener la certeza de haber obtenido ...

06. ... una esfera con numeración que termine en cero?

a) 12 b) 100 c) 108d) 109 e) 110

07. ... una esfera de cifras iguales?

a) 109 b) 100 c) 110d) 111 e) 108

08. ... una esfera con numeración par?

a) 60 b) 61 c) 70d) 80 e) 103

09. ... dos esferas cuya numeración estén comprendidasentre 50 y 70?

a) 99 b) 101 c) 103d) 105 e) 102

10. ... tres esferas comprendidas entre 80 y 110, que seanimpares?

a) 91 b) 94 c) 96d) 100 e) 108

Enunciado IIIDentro de una urna depositamos 6 esferas blancas, 8 ne-gras, 12 rojas y 15 amarillas. ¿Cuántas esferas se debenextraer al azar y como mínimo para tener la certeza de haberobtenido ...

11. ... un par de uno de los colores?

a) 2 b) 4 c) 6d) 5 e) 8

12. ... cinco esferas rojas?

a) 16 b) 30 c) 32d) 34 e) 33

13. ... dos negras y tres amarillas?

a) 29 b) 30 c) 32d) 35 e) 33

14. ... dos blancas y cuatro rojas?

a) 33 b) 35 c) 37d) 39 e) 36

15. ... por lo menos una de cada color?

a) 32 b) 34 c) 36d) 38 e) 37

16. Dentro de una urna depositamos 12 esferas rojas, 15blancas, 20 negras, 36 azules y 52 verdes, ¿cuántasesferas hay que sacar como mínimo para estar segurode haber extraído 12 de uno de los colores?

a) 50 b) 55 c) 56d) 102 e) 58

17. Cesitar tiene en una urna 12 fichas numeradas del 1 al12, ¿cuál es el mínimo número de fichas que ha deextraer para tener la certeza de haber obtenido 3 fichasnumeradas consecutivas?

a) 2 b) 4 c) 6d) 7 e) 9

TRILCE

181

18. En una bolsa hay 9 bolas blancas, 8 bolas rojas, 12bolas azules, ¿cuántas bolas como mínimo se debenextraer al azar para tener la certeza de haber obtenido 3bolas del mismo color?

a) 7 b) 6 c) 12d) 22 e) 21

19. Se tiene un mazo de 52 cartas (13 de cada palo),¿cuántas cartas hay que sacar como mínimo para estarseguro de haber obtenido una carta con numeraciónpar y de color rojo?

a) 38 b) 27 c) 40d) 41 e) 42

20. Una urna contiene 18 bolas negras, 14 rojas y 17blancas, la menor cantidad que debe sacarse paraobtener al menos una de cada color es :

a) 35 b) 31 c) 29d) 38 e) 36

21. En un juego de tiro al blanco, ¿cuánta es la diferenciaentre lo máximo y mínimo que se puede obtener con 3tiros si cada zona permite un máximo de 2 tiros, si losdisparos deben dar en el tablero?

10 9 8 7 5 1

a) 25 b) 22 c) 20d) 24 e) 36

22. Se compran camisas cuyo precio unitario varía desdeS/. 12 hasta S/. 21 y se vende cada una a un precio quevaría desde S/. 18 hasta S/. 25. ¿Cuál es la máximaganancia que se puede obtener por la venta de 3camisas?

a) S/. 18 b) S/. 12 c) S/. 39d) S/. 45 e) S/. 16

23. Dados 9 rectángulos como muestra la figura, ¿cuál es elmínimo número de colores a emplear de modo que nose tengan dos rectángulos pintados del mismo colorjuntos?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

24. La figura muestra una red de caminos mediante la cualse va de A a B pasando a lo más una vez por las otrasciudades. Si los números representan los días quedemora ir de una ciudad a otra. ¿Cuál es la diferenciaentre el máximo y el mínimo número de días que setomará ir de A a B?

9

A B

1 2 3

4 12

1053

4

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

25. Dos kilos de manzanas contienen desde 20 hasta 35manzanas, ¿cuál será el mínimo peso que tendrá 140manzanas?

a) 8 kg b) 8,5 kg c) 9 kgd) 12 kg e) 16 kg

26. Pepe dispone de pesas de 1, 2, 4, 8,16, etc. kg cadauna. Si él desea equilibrar un peso de 341 kg utilizandoel mínimo número de pesas posibles, ¿cuál o cuálesde las siguientes afirmaciones son verdaderas?I. Pepe debe utilizar 4 pesas en total.II. La pesa de 4 kg es parte de la solución.III. La pesa de 8 kg es parte de la solución.

a) Sólo I b) Sólo IIc) I y II d) II y IIIe) Todas

27. Si un kilo de naranjas contiene desde 6 hasta 8 naranjas,¿cuál es el mayor peso que pueden tener 4 docenas denaranjas?

a) 6 kg b) 7 kg c) 8 kgd) 10 kg e) 16 kg

28. Tres naranjas pesan desde 3 hasta 4,8 Kg. ¿Cuál es elmáximo número de naranjas que puede haber en 12Kg?

a) Menos de 40 b) Entre 40 y 50c) Entre 50 y 60 d) Entre 60 y 70e) Más de 70

Raz. Matemático

182

29. Un tablero de ajedrez consta de 64 casilleros, comomuestra la figura. Si el caballo puede moverse 3casilleros por vez (2 en línea recta y el tercero hacia uncostado pero no en diagonal), ¿cuál es el mínimonúmero de movimientos que requiere el caballo para

pasar del casillero 3G al 4G ?

ABCDEFGH

1 2 3 4 5 6 7 8

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

30. Una caja de manzanas contiene desde 30 hasta 40frutas. Si el precio de compra varía desde 8 y 12 solespor caja y se pueden vender desde 15 hasta 25 soles lacaja, ¿cuál será la máxima ganancia a obtener por laventa de 120 manzanas?

a) 60 b) 72 c) 51d) 62 e) 68

31. Un vaso de yogurt contiene, según la marca, desde 20hasta 35 calorías.Si la dieta de María le permitedesayunar sólo yogurt, en una cantidad de 140 calorías,¿cuál será lo máximo que ella gastará si cada vaso cuestadesde 1,7 hasta 3,5 soles?

a) 20,5 b) 24,5 c) 22d) 28 e) 25

32. Si dos números suman 1, ¿cuál será el máximo valorque puede tener su producto?

a) 1 b) 87

c) 41

d) 21

e) 81

33. Al adquirir cierto vehículo, un comprador recibe 5 llaves,a saber: de la puerta, el encendido, la guantera, lamaletera, el tanque de gasolina, ¿cuántas veces tendráque probar las llaves como mínimo para saber concerteza la correspondencia entre llaves y chapas?

a) 5 b) 15 c) 10d) 8 e) 14

34. Karina tiene una colección de libros de "T" tomos. Si elmás ancho tiene "x" cm, de espesor y el más delgadotiene "y" cm de espesor, ¿cuál debe ser la mínima

longitud de un estante en el cual quepan todos suslibros, si por los menos hay uno de cada espesor?

a) T b) Ty xc) Ty y + x d) Tx x + ye) Tx1543.

35. Un grupo de 456 personas va a elegir un presidente.Si se presentan 5 candidatos para el puesto, ¿cuál es elmenor número de votos que puede obtener uno deellos y obtener así más que cualquiera de los otros 4?

a) 90 b) 229 c) 92d) 24 e) 16

36. ¿Cuál es el máximo valor de la siguiente expresión?

22 )3x()1x(1

2R

a) 1 b) 2 c) 32

d) 21

e) 0

37. Una caja de naranjas contiene desde 20 hasta 25unidades. Si el precio de compra varía entre 10 y 15soles por caja y el precio de venta varía entre 20 y 25soles por caja, ¿cuál será la máxima ganancia aobtenerse por la venta de 100 naranjas?

a) S/. 50 b) S/. 60 c) S/. 75d) S/. 80 e) S/. 10

38. ¿Cuál es el máximo valor que puede alcanzar laexpresión?

2)5x(5

50M

a) 20 b) 10 c) 5

d) 35

e) 16

39. ¿Cuántas veces hay que tirar un dado para tener laseguridad de haber obtenido 10 veces la misma cara?

a) 54 b) 53 c) 52d) 55 e) 50

40.Se tiene 4 candados y 2 llaves; si sé que cada llave abresólo un candado, ¿cuántos intentos como mínimo sedebe realizar, para determinar con seguridad la llavecorrespondiente?

a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8

TRILCE

183

41. Dentro de una urna depositamos caramelos de limón,caramelos de naranja y caramelos de licor, y la suficientecantidad de cada tipo, ¿cuántos caramelos se debenextraer como mínimo para tener la certeza de habersacado un par de caramelos del mismo sabor?

a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

42. En una caja hay 10 pares de guantes utilizables decolor negro y 10 pares de guantes utilizables de colorrojo, ¿cuántos guantes hay que sacar, para estar segurode obtener un par de guantes utilizables del mismocolor?

a) 3 b) 16 c) 38d) 20 e) 21

43. Se tiene 3 cajas, en una hay 6 esferas blancas, 6 esferasrojas y 6 esferas negras. En otra, hay 6 conos blancos,6 conos rojos y 6 conos negros, y en la tercera caja hay6 cubos blancos, 6 cubos rojos y 6 cubos negros, ¿cuáles el menor número de objetos que se deben extraerde las tres cajas para tener la certeza de haber extraídonecesariamente entre ellas un par de esferas, un par deconos y un par de cubos, todos del mismo color?

a) 10 b) 11 c) 32d) 13 e) 14

44. Se tiene 120 fichas numeradas del 1 al 120, ¿cuántasfichas se deben extraer para tener la certeza de contarcon 2 fichas que tengan 2 dígitos y que estos dos dígitossean iguales?

a) 112 b) 111 c) 114d) 113 e) 109

45. Un dado tiene 2 caras pintadas de color azul; 3 caraspintadas de rojo y una cara de negro.¿Cuál es el mínimo número de veces que debe lanzarseeste dado para obtener 2 caras rojas?

a) Menos de 5. b) Más de 8.c) Entre 10 y 15. d) 2.e) 2 ó más.

46. Emilia reparte entre sus 5 hijos desde 50 hasta 75 solesde propina semanales. Si Catty reparte entre sus 4hijos, desde 40 hasta 80 soles de propina semanales.¿Cuál es la máxima diferencia que puede existir entrelo que recibe un hijo de Emilia y uno de Catty?

a) 5 b) 6 c) 8d) 10 e) 15

47. En una urna hay fichas rojas, blancas y azules, si lasrojas son 48 y éstas son 16 veces las blancas, siendolas azules a las blancas como 5 es a 1, ¿cuántas fichashabrá que extraer al azar y como mínimo para obtenerun color por completo?

a) 63 b) 65 c) 62d) 64 e) 67

48. Se forma un cubo soldando 12 pedazos de alambre de3 cm de longitud cada uno. Si una hormiga parte deuno de los vértices y sigue caminando a lo largo de lasaristas, ¿cuál es la máxima distancia que puede recorrerantes que vuelva a tocar un vértice por segunda vez, sino puede recorrer una arista dos veces?

a) 24 cm b) 21 cm c) 18 cmd) 15 cm e) 12cm

49. Dentro de una caja depositamos 120 bolas numeradasdel 1 al 120, ¿cuántas hay que extraer como mínimo,para obtener 1 bola con numeración impar y múltiplode 3, comprendida entre 30 y 50?

a) 117 b) 118 c) 110d) 101 e) 119

50. Una bolsa contiene caramelos: 20 de limón, 15 denaranja, 18 de manzana y 12 de piña. ¿Cuántoscaramelos hay que extraer al azar para tener la seguridadde obtener por lo menos 4 de cada sabor?

a) 48 b) 57 c) 17d) 37 e) 28

51. En una urna hay 160 bolas, por cada 3 bolas blancashay 20 negras y 17 rojas. ¿Cuántas bolas se debenextraer al azar y como mínimo para tener la certeza dehaber obtenido dos negras y 3 rojas?

a) 8 b) 95 c) 22d) 17 e) 92

52. Un kilogramo de duraznos contiene desde 8 hasta 12duraznos. El precio de los más grandes varía desde 2hasta 3,5 soles cada kilo y el de los más pequeñosentre 1 y 1,5 soles el kilo. Si Lucía compra 4 docenaspagando lo máximo posible e Irene la misma cantidadcon el mínimo posible de dinero, ¿cuál es la diferenciade lo pagado por ambas?

a) 28 b) 17 c) 21d) 14 e) 16

Raz. Matemático

184

53. Si en una urna hay 48 bolas numeradasconsecutivamente del 4 al 51, ¿cuántas bolas comomínimo debemos de extraer al azar para tener la certezade haber extraído 7 bolas numeradas con un númeroimpar?

a) 29 b) 31 c) 27d) 30 e) 19

54. Una bolsa contiene caramelos: n de limón, (n 1) denaranja, (n 2) de piña y (n3) de mango. ¿Cuántoscaramelos como mínimo hay que extraer al azar paratener la seguridad de haber extraído por lo menos 3 decada sabor? (n > 6).

a) 2n b) 3n c) 3n 1d) 4n 1 e) 3n + 1

55. Se tiene un dado donde tres de sus caras tienen elmismo color y el resto de caras de colores diferentes,¿cuántas veces hay que lanzar el dado para tener laseguridad de haber obtenido el mismo color 4 veces?

a) 12 b) 18 c) 13d) 15 e) 20

56. Se tiene fichas de "m" clases diferentes y la cantidadsuficiente de cada clase, ¿cuántas como mínimo sedeben extraer para tener la certeza de haber sacado"m" de una de las clases?

a) 1mm2 b) m2m2

c) 1m2 d) 1mm2

e) m2m2

57. En una bolsa oscura hay caramelos de "n" saboresdiferentes y lo suficiente: ¿cuántos caramelos se debenextraer al azar y como mínimo para tener la certeza dehaber obtenido 10 de uno de los sabores?

a) 10n b) 9n 1 c) 9n + 1d) 10 e) 10n + 1

58. En una urna se tiene (2p q) fichas verdes y (3p + 2q)fichas rojas, ¿cuántas fichas se deben sacar para tenerla certeza de haber extraído "3p" fichas de uno de loscolores?

a) 3p + q b) 4p + q c) 5p qd) p q e) 5p + q

59. En una urna se tiene (P Q) fichas rojas y (P + Q)fichas azules, ¿cuántas fichas se deben sacar para tenerla certeza de haber extraído "P" de uno de los colores?

a) 2P Q b) 2P + Q c) P Qd) 2Q P e) P + Q

60. De un juego de naipes (52 cartas, 13 de cada palo),¿cuántos naipes hay que extraer al azar y como mínimopara tener la seguridad de haber conseguido dos naipesque sumen 10?

a) 35 b) 30 c) 31d) 32 e) 34

TRILCE

185

Claves Claves

d

c

d

b

b

d

d

b

c

e

d

d

d

c

c

c

e

a

d

e

b

c

b

e

a

b

c

a

c

e

b

c

c

c

b

b

c

b

d

b

c

e

c

d

e

d

d

a

b

b

b

b

c

b

c

d

c

c

a

e

01.

02.

03.

04.

05.

06.

07.

08.

09.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60.