chimenea de equilibrio

rea de Mecnica de Fluidos: Instalaciones de fluidos

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dfDEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGA DE MATERIALES Y FLUIDOS REA DE MECNICA DE FLUIDOS

SIMULACIN DE ESTADOS TRANSITORIOS EN MECNICA DE FLUIDOS

Javier Blasco Guillermo Hauke 2003

Esta prctica fue desarrollada inicialmente por Alberto Snchez Insa, Alfonso Modrego Marco y Rubn Martnez Fanals como un trabajo de la asignatura Instalaciones de Fluidos en el curso 2001/02.


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df

1 IntroduccinLa simulacin numrica de procesos fsicos se ha convertido actualmente, gracias a los avances de los ordenadores, en una herramienta de diseo de gran utilidad para el ingeniero. Las tcnicas de simulacin numrica presentan ciertas ventajas respecto a los ensayos experimentales, como gran flexibilidad en las variables a medir y en los cambios de la geometra del problema, inversin econmica reducida, resultados en un plazo corto de tiempo, etc. Sin embargo, los resultados conseguidos mediante simulaciones numricas deben ser interpretados siempre con cautela, siendo conscientes de que su exactitud depender en gran medida del modelo matemtico que representa el proceso fsico y de la tcnica numrica empleada para resolver las ecuaciones. Las predicciones de simulaciones numricas debern ser siempre contrastadas con resultados experimentales.

2 Objetivos de la prcticaEl objetivo de la prctica es resolver numricamente varios problemas de Mecnica de Fluidos mediante una hoja de clculo. La hoja de clculo que se va a manejar en la prctica resuelve las ecuaciones diferenciales que describen los fenmenos transitorios a partir de una serie de simplificaciones que evitan el uso de tcnicas matemticas numricas complejas, no abordables mediante una hoja de clculo.


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dfLos objetivos de esta prctica son los siguientes: Estudiar la influencia de los parmetros de distintos problemas de mecnica de fluidos mediante simulaciones numricas. Aprender a escribir las ecuaciones de un problema de mecnica de fluidos de forma que se pueda realizar una simulacin numrica. Los casos que se van a estudiar son: Estado estacionario en tuberas Oscilaciones en un tubo en U Flujo por gravedad Clculo de chimeneas de equilibrio Con el objeto de no saturar el guin de prcticas, el desarrollo terico de cada apartado se incluye en un captulo final denominado Ecuaciones.

3 Estado estacionario en tuberas3.1 Descripcin del problemaEn este apartado se va a calcular el tiempo que tarda un flujo en alcanzar un rgimen estacionario en una tubera cuando se abre una vlvula repentinamente al final del conducto. Para este clculo se tendrn en cuenta las prdidas singulares y las de friccin.


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dfK: Coeficiente de perdidas H L

Inmediatamente despus de la apertura de la vlvula, la altura del depsito est disponible para que, mediante la presin hidrosttica, empiece a fluir el fluido. A medida que la velocidad aumenta tambin lo hacen las prdidas singulares y por friccin, disminuyendo as la carga original disponible. El depsito tiene en su interior una altura de lquido H y descarga a travs de una tubera horizontal de longitud L cuyo coeficiente de prdidas es K. La simulacin mediante este modelo nos permite seguir la evolucin del transitorio hasta la obtencin de un estado pseudoestacionario del fluido circulando por la tubera de descarga (no es realmente estacionario puesto que el caudal de descarga es funcin de la altura de lquido en el depsito).

Se supondr que el volumen de lquido en el tanque es lo suficientemente grande como para que se pueda suponer que la altura de lquido en su interior permanece constante durante el transitorio. K: Coeficiente de perdid

3.2 Contesta a las siguientes preguntasH La hoja de clculo permite introducir valores de ciertas L variables del problema (celdas amarillas) y observar cmo afectan estos cambios al fenmeno fsico estudiado.


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df 1) Indicar 2)cules son las variables independientes (parmetros) y las variables dependientes (resultados) del problema. Realizar un anlisis paramtrico del problema. Este estudio debe incluir grficas que muestren la influencia de una variable sobre el fenmeno fsico y comentarios sobre las mismas.

4 Oscilaciones en un tubo en U4.1 Descripcin del problemaEn este apartado se simular lo que ocurre en un tubo en U cuando el lquido en su interior es desplazado de su posicin de equilibrio. Existen tres casos interesantes de oscilaciones de un lquido en un tubo en U: Lquido sin friccin Lquido con friccin, en rgimen laminar Lquido con friccin, en rgimen turbulento

No se tratar el ltimo de estos tres casos debido a la complejidad de las ecuaciones que gobiernan este fenmeno, imposibles de resolver mediante una hoja de clculo simple. Las variables del problema son: longitud total del lquido dentro del tubo (L), posicin inicial de la superficie libre de la rama derecha (zo) y la velocidad inicial de dicho punto (v o). El origen de coordenadas z est en la posicin de equilibrio y z toma valores positivos hacia arriba (ver figura).


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df

zo

LEl flujo transitorio en el interior de este tubo se tratar como flujo unidimensional a lo largo del recorrido del tubo. Se emplearn las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento para flujos no permanentes.

4.2 Oscilaciones sin friccinLa hoja de clculo tiene tres campos amarillos en los que se deben introducir los datos del problema: longitud de lquido (L), altura inicial (zo) y velocidad inicial (vo) Una vez introducidos los datos, la hoja calcula las siguientes variables: altura mxima (zmax), velocidad mxima del fluido en el tubo (vmax) y el periodo de oscilacin (T) (campos marcados como Resultados de la simulacin). Adems, se presenta una grfica de evolucin de la altura del lquido respecto a la posicin de equilibrio y otra superpuesta, correspondiente a velocidad del fluido, ambas respecto al tiempo.

4.3 Contesta a las siguientes preguntas 1) Introduce los siguientes valores: L=5, zo=2 y vo=0.Este caso significa que hemos elevado 2 m la rama derecha y que la soltamos sin imprimirle velocidad.


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dfQu valores obtienes para zmax y para T? Observa las grficas de evolucin de z y v. Es lgico que zmax sea igual a zo? Por qu? 2) Qu tipo de movimiento se obtiene? Cunto tiempo se tardar en alcanzar el estado estacionario? 3) Qu valor toma z cuando v es cero? Y qu le ocurre a v cuando pasa por la posicin de equilibrio (z=0)? Razona estos resultados. 4) Realiza un anlisis paramtrico de la influencia de los parmetros del problema sobre zmax, y sobre T. Este anlisis debe incluir grficas y comentarios. 5) Discute sobre si los siguientes factores pueden afectar al resultado de la simulacin: anchura del tubo, densidad del lquido y radio de curvatura del tubo en U.

4.4 Oscilaciones con friccinLa hoja de clculo tiene cuatro campos amarillos en los que se deben introducir los datos del problema: longitud de lquido (L), altura inicial (zo), velocidad inicial (vo) y viscosidad cinemtica del lquido ( ). Una vez introducidos los datos, la hoja calcula el parmetro m (ver hoja de clculo), el cual permite saber si dominan las fuerzas viscosas sobre las inerciales. Tambin se calcula la amplitud mxima de la oscilacin (Z). Finalmente, se presenta una grfica de evolucin de la altura del lquido respecto a la posicin de equilibrio y otra correspondiente a velocidad del fluido, ambas respecto al tiempo.


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df 4.5 Contesta a las siguientes preguntas 1) Analizar las oscilaciones para la siguiente situacin:L=20 cm, zo=5 cm, vo=2 m/s y =1.08e-6 m2/s (agua), utilizando tres dimetros internos: D=1 cm, 5 mm y 1 mm. 2) Calcula el dimetro crtico para el cual la viscosidad empieza a tener importancia en las oscilaciones. 3) Repetir las preguntas 1 y 2 para glicerina ( =0.77 Pa s y =1276 kg/m3) y un dimetro D=3 cm. Cambian los resultados respecto al agua? 4) En el caso de agua y D=5 mm, las grficas muestran que la altura va disminuyendo exponencialmente respecto al tiempo. Piensa un mtodo grfico o numrico para obtener la constante de decaimiento k (en segundos) que aparecera en la exponencial negativa de z(t) exp(-t/k). Describe el mtodo y calcula la constante k para el caso indicado.

5 Flujo por gravedad5.1 Descripcin del problemaEste problema estudia el proceso transitorio que se genera al abrir la vlvula de descarga de un depsito que alimenta a una lnea de tuberas de cota variable.


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df

Z0

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5

A partir del dimetro del depsito y del dimetro de la tubera de descarga, la hoja de clculo permite calcular la evolucin temporal de la velocidad de descarga, el nivel del depsito y de la distribucin de presiones en la lnea de descarga. Las cotas Z0-Z5 que se indican en la hoja de clculo tienen su origen en una referencia inferior dibujada como un suelo. Dichas cotas Z0-Z5 corresponden, respectivamente, con la superficie libre del depsito, el suelo del depsito y cuatro cotas ms de la tubera de descarga. Para simplificar la resolucin numrica de este problema, se ha supuesto un estado cuasi-estacionario y se han despreciado las prdidas de carga. El fluido transportado es agua.

5.2 Contesta a las siguientes preguntasSe va a trabajar con los siguientes valores: Ddepsito=50 m y Dtubera=1 m.


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df1) Comenta brevemente la evolucin de la velocidad, el nivel del depsito y la distribucin de presiones en la tubera de descarga. 2) Las grficas muestran que la presin disminuye paulatinamente con el tiempo. Segn esto, llegara un momento que la presin disminuira por debajo de la presin de vapor del lquido, y se producira cavitacin. Argumenta por qu esto no es posible en la situacin que estamos estudiando (descarga de un depsito a la atmsfera). 3) Explica dos situaciones de un flujo en una tubera en las que s se pueda producir cavitacin. 4) Introducir z4=500 m. Se puede observar que P4=P1, que es la presin al comienzo de la tubera de descarga. Es esto lgico? Por qu? 5) Responde a la pregunta anterior en el caso de que se tuvieran en cuenta las prdidas de carga.

6 Clculo de chimeneas de equilibrio6.1 Descripcin del problemaLas chimeneas de equilibrio (surge tanks) son conductos verticales que se comunican con la tubera de suministro de agua a las turbinas de una central hidroelctrica con el objeto de amortiguar las variaciones de presin en los conductos. Cuando la vlvula previa a las turbinas se cierra, se produce un aumento de presin en la tubera que se propaga aguas arriba. Este fenmeno se conoce con el nombre de golpe de ariete (en ingls, water hammer).


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dfChimenea de equilibrio Embalse D

Z

L

Si no se controla el golpe de ariete, el sistema puede sufrir daos serios1. Por este motivo el aumento de presin es controlado mediante la chimenea de equilibrio. Cuando se produce este aumento de presin, parte del flujo se conduce por el camino ms fcil que tiene: la chimenea. De este modo se evita que todo el aumento de la presin se produzca en una tubera cerrada, lo cual podra romper dicha tubera. Cuando se termina la onda de presin del golpe de ariete, el flujo vuelve a descender por la chimenea, lo que provoca que aumente la presin. Esto provoca de nuevo unas ondas de presin que hacen que el fluido vuelva a ascender por la chimenea, y as sucesivamente. Esto genera un movimiento oscilatorio del agua en la chimenea. Esta simulacin pretende visualizar el comportamiento de las chimeneas de compensacin de presiones, analizando la evolucin del agua en su interior a partir de los parmetros geomtricos que definen el sistema.1

Ver, a modo de ejemplo, el accidente de la central nuclear de Three Mile Island (Middletown, Pennsylvania, EE.UU.) en 1979, o el accidente en el Brookhaven National Laboratory (1986).


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dfLos parmetros de nuestro modelo se encuentran marcados en amarillo en la hoja de clculo. Las variables calculadas son: altura del nivel de la chimenea (Z), velocidad de la superficie libre de la chimenea (V) y prdidas de carga en la chimenea (hf).

6.2 Contesta a las siguientes preguntas 1) Introducelos siguientes valores: L=200 m, Dconducto=1.25 m, f=0.01, Q0=2 m3/s y Dchimenea=4 m. Discute los resultados que se observan en la grfica de Z, V y hf como funcin del tiempo. Crees que las oscilaciones son amortiguadas? 2) Qu relacin hay entre V y hf? Por qu? 3) Vara cada uno de los parmetros del problema y analiza cualitativamente su influencia en las tres variables Z, V y hf. 4) Las chimeneas de equilibrio estn diseadas para disipar parte de la energa cintica del flujo y, por tanto, amortiguar los efectos del golpe de ariete. A la vista del anlisis realizado en la pregunta anterior, cul de las tres variables Z, V y hf crees que indica la energa disipada? Qu parmetros de la chimenea modificaras para aumentar la eficiencia de la misma? Da algunos ejemplos numricos obtenidos con la hoja de clculo. 5) Calcula la velocidad de propagacin de las ondas de golpe de ariete (ver datos ms abajo). 6) Usando los datos de la pregunta 1, compara la energa disipada en la chimenea (ver pregunta 4) con el pico de presin de golpe de ariete dado por la frmula de Allievi: p= a u, donde a es la velocidad de propagacin de las ondas en la tubera y u es la variacin de velocidad producida por el


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dfcierre de la vlvula. Indica el porcentaje de energa del golpe de ariete que se disipa en la chimenea. La velocidad de propagacin de las ondas viene dada por la frmula 1 a= 1 D c + K E e donde es la densidad del lquido, K es el mdulo de compresibilidad del lquido, E es el mdulo de elasticidad del material de la tubera, D y e el dimetro y espesor de la tubera. El valor de la constante c depende del anclaje de la tubera y del mdulo de poisson ( ) del material de la tubera: Tubera anclada aguas arriba y libre aguas abajo: c=5/4 - Tubera anclada en ambos extremos: c=1- 2 Tubera anclada en ambos extremos y con juntas de expansin: c=1- /2 Se pueden usar los siguientes datos para agua y tubera de acero: =1000 kg/m3, K=2.2e9 Pa, E=2e11 Pa , =0.3, D=180 mm y e=4mm. Suponer que la tubera est anclada en ambos extremos.


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df

7 Ecuaciones7.1 Estado estacionario en tuberasLas prdidas de carga se pueden expresar (en unidades de altura) como:hp = K V2 2g

donde K, coeficiente de prdidas totales, se expresa como

K =f

L + ki D

siendo f el coeficiente de Darcy, L la longitud de la tubera, D su dimetro y ki las prdidas singulares. Escribiendo la ecuacin integrada de la segunda ley de Newton entre los niveles 1 y 2, y teniendo en cuenta que p1 = p2 = V1 = 0 y z1-z2 = H obtenemos:L dV g dt

H = hp +

(A)

sustituyendo el valor de hpH=K V2 L dV + 2g g dt

(B)


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dfSi representamos la velocidad de flujo estacionario como Vest y tenemos en cuenta que para flujo estacionario dV/dt = 0, tenemos que

H=K

2 Vest 2g

Sustituyendo H en la ecuacin (B) y podemos despejar dt:

dt =

2L dV 2 K Vest - V 2

Integrando la ecuacin anterior, y teniendo en cuenta que la constante de integracin es cero, ya que V es cero cuando t es cero, obtenemos

t=

Vest + V L ln KVest Vest - V

Esta expresin tambin se puede poner del modo:

t=

LVest Vest + V ln 2gH Vest - V

Esta ecuacin indica que la velocidad tiende asintticamente a Vest y que en teora le cuesta un tiempo infinito. En la realidad, ondas elsticas y amortiguamiento provocaran que el equilibrio se alcance en un tiempo finito. Cuando V = 0,99 Vest

t 0,99 = 5,293

L KV est


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df

t 0,99 = 2,647

LV est gH

7.2 Oscilaciones de un tubo en U

7.2.1 Sin friccinEn el caso sin friccin, aplicamos la ecuacin de EulerBernoulli para flujo no permanente.

1 p z V V +g +V + =0 s s s tintegrando y considerando p1 = p2 y V1 = V2 se obtiene:

g(z 2 z1 ) = L

V t

donde L es la longitud de la columna de lquido. Cambiando el nivel de referencia a la posicin de equilibrio la ecuacin anterior se transforma:

g(z 2 z1 ) =2gzy considerando que V es nicamente funcin del tiempo se puede escribir

d2 z dt2

=

V dV 2g = = z t dt L


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dfLa solucin general de la ecuacin es

z = C1cos

2g t + C 2 sen L

2g t L

Dadas las condiciones iniciales de que cuando t = 0, z = Z y dz/dt = 0, se obtiene C1 = Z y C2 = 0, resultando la siguiente ecuacin:

z = Zcos

2g t L

Esta ecuacin representa el movimiento armnico simple para g cualquiera de los meniscos, con periodo 2 L 2 para una oscilacin completa. La velocidad de la columna de lquido puede hallarse derivando la coordenada z respecto del tiempo: dz/dt 2g 2g v = Z sen t L L

7.2.2 Friccin laminarCuando un esfuerzo cortante 0 en la pared del tubo resiste el movimiento de la columna de lquido, se modifica la ecuacin de Euler para el movimiento a lo largo de una lnea de corriente.

1 p z V V 40 +g +V + + =0 s s s t D


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dfEsta ecuacin es vlida tanto para resistencia laminar como turbulenta. Utilizando la hiptesis de que la resistencia debida a la friccin en un flujo no permanente es la misma que la resistencia que en un flujo permanente con la misma velocidad, el esfuerzo cortante en la pared del tubo es:

0 =

8V D

Sustituyendo este valor en la ecuacin anterior, integrando con respecto a s, cambiando a derivadas totales y considerando que v = dz dt , queda:d2 z dt2

+

2g 32 dz + z =0 2 dt L D

Las soluciones de esta ecuacin son del tipo:z = C1e at + C 2 e bt

donde 16 2g a= + 2 L 2 D D 16 2

y

b=

16 D2

2g 16 2 L D

2

Al sustituir las condiciones iniciales z = 0 y dz dt = v o para t = 0, se obtiene:


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dfz= V0 16 2g 2 L D 2

e

16 t D2

16 2g senh 2 L t D

2

y a partir de la derivada dz/dt, puede hallarse la velocidad v, que tiene la siguiente forma: V0 16 2g 2 L D 2

v=

2

e

16 t D2

16 senh D2

16 2g 2 L t + ... D t

2

... +

16 2g 2 L cosh D

16 2g 2 L D

2

En la solucin del problema se pueden dar dos casos diferentes:

2g L D En el caso de que la viscosidad domine, sta resulta ser tan grande que el movimiento se amortigua durante el primer perodo de oscilacin sin que se lleguen a alcanzar valores negativos del valor de la altura del lquido con respecto a la posicin de equilibrio, es decir, z. Es posible calcular el mximo desplazamiento de la columna de lquido (z):Caso 1: Dominio de la viscosidad si2

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>


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df 2 16 2 D 2 16 2g 2 L D

z mx = V0

16 L D2 2g 16 2 + D

16 2g 2 L D

2

2 16 2g 2 L D

2g L D En el caso de que la viscosidad no domine, el transitorio se convierte en un movimiento oscilatorio alrededor de la posicin de equilibrio de amplitud decreciente, pero a lo largo de varios perodos de oscilacin. El valor ms grande que puede alcanzar la variable z es:Caso 2: No hay dominio de la viscosidad si2

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