CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA....

CIDEAD. 2º BACHILLERATO. ELECTROTECNIA.Tema 9.- La corriente alterna en los elementos lineales

Desarrollo del tema.-

1. Concepto de elementos lineales. Excitación sinusoidal.

2. Circuito resistivo. Los valores eficaces y la potencia.

3. Circuito inductivo. Los valores eficaces y la potencia.

4. Circuito capacitivo. Los valores eficaces y la potencia.

5. Concepto de Impedancia.

6. El cuerpo de los números complejos C. La representación de los números complejos.

7. La representación de las magnitudes eléctricas en función de los números complejos.

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1. Concepto de elementos lineales. Excitación sinusoidal.

Cuando a un sistema se le somete a una excitación externa mediante una función, éstereacciona mediante una función respuesta. Se dice que el proceso está guiado por elementos linealessi se cumple:

a. Existe una combinación lineal entre las funciones excitatrices:

k1 . E1 (t) + k2 . E2 (t) + ...

b. Existe una combinación lineal entre las funciones respuestas:

k´1. S1(t) + k´2 . S2(t) + ...

c. Existe una igualdad entre las excitaciones y las respuestas:

k1 . E1 (t) + k2 . E2 (t) + ... = k´1. S1(t) + k´2 . S2(t) + ...

En el caso de que la función excitación sea sinusoidal, se dirá que los elementos son linealescuando la función respuesta es también sinusoidal(seno o coseno) con la misma frecuencia.

Existen tres elementos lineales:

a. Elementos resistivos.b. Elementos inductivos.c. Elementos capacitivos.

2. Circuito resistivo. Los valores eficaces y la potencia.

Cuando al siguiente circuito le aplicamos la entrada a un osciloscopio se puede observar lasimágenes siguientes:

2

V=56,6VF=50 Hz


U = U0 sen ω t = 80 sen 2

Tt = 80 sen 2 . π . 50 . t

La pantalla del osciloscopio mostrará:

Si la intensidad es el cociente entre el potencial y la resistencia:

I = UR

= Uo sen . t

R = 0,08 sen 2 . π . 50 . t (A)

I = I0 sen ω t . ;; U0 = I0 . R

Si en lugar de trabajar con los valores máximos, se utilizan los valores eficaces:

2 .Uef.=R . 2 I ef. Uef. = R . Ief

En un circuito de corriente alterna con un resistor, la ley de Ohm se cumple tanto para losvalores máximos como para los valores eficaces y las ondas de tensión y de intensidad seencontrarán en fase.

3

80 V

T = 0,02 s


La potencia se calculará mediante la siguiente expresión:

P = U . I = U0 sen ω t . I0 sen ω t = U0 . I0 sen 2ω t

De acuerdo a las relaciones trigonométricas se cumplirá:

1 = sen2 ω t + cos2 ω t

cos 2ωt = sen2 ω t - cos2 ω t Resolviendo el sistema : sen2 ω t =1−cos 2 t

2 ;;; P = Uef . Ief ( 1 - cos 2ωt )

La potencia generada tiene forma pulsante cuya frecuencia es el doble de la intensidad ytensión y su valor máximo será 2 Uef . Ief y su valor mínimo será el 0 W.

El valor máximo de la potencia será , P = I0 . U0

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Para calcular la potencia media, se deberá determinar el valor medio de la integral:

Pmedia = 1T

.∫0

T

U 0 . I 0 .(1−cos2ω t

2)dt Los límites de la integración serán de 0 a T.

Al calcular la integral se obtiene el valor : P=I 0.U 0

2=I ef .U ef=R . I ef

2

Se define como intensidad eficaz de una corriente alterna como la intensidad de corrientecontinua que en una misma resistencia disipa la misma energía por unidad de tiempo que en el casode la corriente alterna.

Problema 1.- Se conecta a una resistencia de 1 kΩ una fuente de alimentación de AC 56,6V y 50 Hz de frecuencia ( ver la figura del osciloscopio) . Calcular la potencia que se disipa endicha resistencia y el valor de la potencia instantánea 4 ms después de haberse hecho nula latensión decreciendo en el ciclo.

Datos .- R = 1 kΩ ;; Uef = 56,6 V ;; f = 50 Hz ;; t = 0,004 +T/2 = 0,014 s

Resolución.- P=R . I ef2=

U ef2

R=

32001000

=3,2W

Pinst=U0 . I 0 . sen2 ω t=U0

2

Rsen2100π . t=

802

1000sen2100π . 0,014=5,79W

El cálculo del seno se realizará teniendo en cuenta que el argumento está medido enradianes.

3. Circuito inductivo. Los valores eficaces y la potencia.

En este caso se coloca una bobina de coeficiente de autoinducción 1 mH, a la que se aplicauna corriente alterna :

U = U0 . sen ω t .

Por la ley de Fareday de la autoinducción :

Uin = - L . d Id t

Aplicando las leyes de Kirchhoff para la malla constituida :

Σ U = Σ I . R ;; Como en nuestro circuito no existen resistencias:

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Σ U = 0 = U + Uin

U0 . sen ω t - L . d Id t

= 0 ; al separar variable diferenciales se obtiene :

La onda de la intensidad se encuentra desfasada con relación a la tensión. En este caso seencuentra retrasada en π/2 radianes.

I 0 = U 0

L .ωsegún esto, existirá una impedancia inductiva o inductancia, que es la

resistencia debida a la bobina : XL = L . ω

En el caso de que la referencia de la onda sea la intensidad:

I = I 0 sen ω t

U = U0 sen ( ω t +

2) = U0 cos ω t

Problema 2.- Una bobina de 100 mH de autoinducción, se conecta a una fuente dealimentación de 220 V y 50 Hz de frecuencia . Calcular la Intensidad eficaz que circula por elcircuito y su valor instantáneo sabiendo que el origen de tiempos es el momento que laintensidad comienza a aumentar partiendo del valor nulo.

Datos .- L = 0,1 H ;; Vef = 220 V ;; f = 50 Hz ;;

Resolución .- I ef = U ef

L .ω =

2200,12 50

= 6,3 A

I = I 0 sen ω t = 2 Ief sen ω t = 9,00 sen 314 t ( A)

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d I=U 0

L. senω t .dt→I=

U 0

L∫ senω t .dt=

−U 0

L.ωcos ω t=

U 0

L .ωsen(ω t−π

2)=I 0. sen(ω t−π

2)


Al conectar la fuente de alimentación a un osciloscopio, la función observada es:

En el siguiente dibujo se aprecia cómo la tensión se encuentra desfasada respecto a laintensidad y adelantada π/2

Para calcular la potencia de un circuito inductivo, se debe de tener en cuenta lo siguiente:

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P=12∫0

T

I ef .U ef sen 2ω .t dt=0

La potencia varía senoidalmente con una frecuencia el doble que la tensión o la intensidad.El valor medio de la potencia ( potencia activa) es nulo.La amplitud de las oscilaciones será : Representando la potencia

Cuando la tensión y la intensidad son positivas o negativas, la potencia instantánea espositiva, almacenando energía la bobina. Cuando la tensión y la intensidad son de sentido opuesto,la potencia es negativa y significa que la bobina cede energía; este proceso alternativamente sucedealternativamente. Durante el primer cuarto de periodo la bobina se carga y en el cuarto siguiente sedescarga.

La energía almacenada por la bobina en un instante determinado será :

d W = P dt = L I d Id t

dt = L I dI ;; W=∫0

I

L . I .dI=12

L. I2=L. Ief

2 sen2ω t

W = 12 L I2

ef ( 1 - cos 2 ω t )

La energía varía senoidalmente con frecuencia el doble que la de la intensidadentre 0 y L I2 , apreciándose la variación en la siguiente representación:

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P=U 0cos ω. t I 0 senω . t=12U 0 . I 0 sen2ω . t=I ef .U ef . sen2ω .t

PM=U ef . I ef=L .ω . I ef2=

U ef2

Lω

P=U . I=U0 sen(ω . t+π2) .I 0 senω . t=U 0(senω . t .cos π

2+cos ω. t sen π

2). I 0senω. t=Ief .U ef .sen 2ω t


4. Circuito capacitivo. Los valores eficaces y la potencia.

Está formado por un condensador excitado por una corriente alterna sinusoidal de valor :U = U0 sen ω t

En este caso, la fuente de alimentación genera una AC de Uef = 220 V y frecuencia f = 50Hz. Alimenta un condensador de 100 μF de capacidad. La señal observada se envía a unosciloscopio, cuya pantalla muestra lo siguiente :

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ef

ef


Con un retraso de la onda de tensión respecto a la intensidad.

Para calcular los valores instantáneos, se recurre a la derivación de la tensión respecto altiempo:

I=CdUdt

; ;U=U0 senω . t ; ;dUdt

=U 0 .ωcosω t ;; I=CU0 ωcosω . t

I=C .ω .U 0 sen(ω. t+ π2) ; ; I0=C .ω .U 0

Por lo tanto, se puede definir una reactancia XC o capacitancia que es igual a :

XC=1

C ω→U 0=XC . I 0

Por otra parte se produce un desfase entre la tensión y la intensidad, en este caso, laintensidad se adelanta π/2 respecto a la tensión:

U = U0 sen ω t

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I = I m sen (ω t +

2)

La capacitancia de un circuito disminuye al aumentar la frecuencia.

Problema 3.- Un condensador de 100 μ F de capacidad se conecta a una tensión de 220 Vy 50 Hz de frecuencia (AC), según el circuito dibujado en esta sección. Hallar los valores eficaz einstantáneo de la intensidad, suponiendo que empieza a contar el tiempo en el instante que laintensidad comienza a aumentar, partiendo del valor nulo.

Datos.- C = 100 10-6 F ;; Vef = 220 V ;; f = 50 Hz ;;; desfase inicial = 0

Resolución : ω = 2 . π . f = 314,15 rad/s

XC = 1

C = 31,83 Ω ;; Ief = Uef // Xc = 6,91 A ;; I m = 2 . Ief = 9,77 A

I = I m sen ω t = 9,77 sen 314,15 t

Para calcular la potencia de un circuito capacitivo, es necesario tener en cuenta:

P = U . I = U0 sen ω t . I 0 sen (ω t +

2) = U0 I 0 sen ω t ( sen ω t . cos

2

+ cos ω t sen

2) =

12

U0 I 0 2 sen ω t cos ω t = 12

U0 I 0 sen 2 ω t = Ief Uef . sen 2 ω t

Según esto, la potencia varia senoidalmente con una frecuencia el doble de la tensión ointensidad. El valor medio o promedio (la potencia activa) , vale cero P=0 .

La amplitud de la potencia será :

PM = Uef . Ief = XC . I2ef

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La magnitud así definida recibe el nombre de potencia reactiva de capacidad y serepresenta por la letra Q. Se mide en voltamperio reactivo (Var) . Físicamente no es una potencia,como en el caso de la autoinducción, esta magnitud se puede medir y resulta muy importante en loscálculos electrotécnicos.

En la representación de la potencia en función del tiempo, se observa que cuando la tensióny la intensidad son positivas o negativas las dos, la potencia es positiva y el condensador almacenaenergía; cuando la tensión es negativa y la intensidad es positiva o viceversa, la potencia es negativay el condensador se descarga y pierde energía.

Si inicialmente el condensador se encuentra descargado, con tensión nula, la energía varía dela siguiente forma:

W=∫0

T

Pdt=∫0

T

C .UdUdt

dt=∫0

U

C .U .dU=12C .U 2

=CU ef2 . sen2 ω .t=C .U ef

2(1−cos2 .ω . t)

P=U . I=U .dQdt

=U.C .dUdt

La energía variará solenoidemente con una frecuencia doble de la tensión y de la intensidad,variando sus valores entre 0 y C U2

m

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5. Concepto de Impedancia.

Como ya se ha explicado en los diferentes elementos de un circuito de AC se cumple la leyde OHM :

Uef = R . Ief

Uef = XL Ief

Uef = XC Ief

En general R, XL y XC , reciben el nombre de impedancia Z , por lo que :

Uef = Z . Ief.

También se cumplirá que : U0 = Z I 0

6. El cuerpo de los números complejos C. La representación delos números complejos.

Matemáticamente existe una operación no cerrada dentro de los números reales. Estaoperación es la raíz de índice par de un número R- .

Para salvar esta inconveniencia, se definen un nuevo conjunto de números imaginarios, cuyaunidad es i = −1 . Los números imaginarios se representan en una recta perpendicular a larecta real. La unión de los números imaginarios y los números reales, constituyen los númeroscomplejos C, formando un cuerpo de números, pues todas las operaciones son cerradas.

Un número complejo se representa :

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Recta imaginaria

Recta Real

a = 3 , es la parte real ;; b = 4, es la parte imaginaria. M, es el móduloa = M cos Φ ;; b = M sen Φ ;; C = M ( cos Φ + i senΦ )


Dos números complejos son iguales si sus partes reales son iguales y sus partes imaginariastambién lo son:

a + b i = a´ + b´ i , si y si solo : a = a´ y b = b´

Dos números complejos son conjugados cuando :

a = a´ y b = - b´ ejemplo -2 + 3i y -2 - 3i

Dos números complejos son opuestos cuando:

a = - a´ y b = - b´ ejemplo 2 – 4 i y -2 + 4 i

Operaciones con números complejos:

a. Suma o diferencia.

(a + b i ) + ( c + d i ) = ( a + c ) + ( b + d ) i

(2,-2) + (-3,1) = ( 2-3 , -3+1) = (-1 , - 2) = - 1 – 2 i

b . Productos y cocientes .-

Aφ . Bξ = ( A . B)φ+ξ

523 . 4-128 = (5 . 4)23-128 = 20 -105

7. La representación de las magnitudes eléctricas de corrientealterna en función de los números complejos.

Las magnitudes eléctricas de los circuitos eléctricos de corriente alterna, se puede usar elsistema vectorial complejo, de tal forma que la intensidad, siempre se colocará en la recta real en elsentido positivo.

Circuito con resistencia ( R)

El valor complejo de U , será : Uef = (R Ief, 0 ) Uef = (R Ief)0

Circuito con inductancia ( XL )

El valor complejo será Uef = ( 0 , XL Ief ) Uef = (XL Ief)π/2

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Circuito con capacitancia ( XC )

El valor complejo será Uef = ( 0 , - XC Ief) Uef = (XC Ief) -π/2

En la tabla de la siguiente se muestra el resumen :

Problema 4.- Una corriente alterna de frecuencia 50 Hz, posee una intensidad nulacuando t = 0 . Calcular el valor de la intensidad a 1/16 , 1/8 y ¼ del periodo. Calcular también laintensidad eficaz si la máxima es de 15 A.

Datos.- f = 50 Hz. ;; I 0 = 15 A.

Resolución. I ef=I 0

√2=10,61 A ;; I=I 0 senω t=15 . sen100π t

ω = 2

Tω t =

2

T

T16

= 0,3926

= 0,7853

= 1,5707t = T/16 ;; I = 15 sen 0,3926 = 5,74 A

t = T/8 I = 15 sen 0,7853 = 10,60 A

15


t = T/4 I = 15 sen 1,5707 = 15 A

Problema 5.- A una inductancia de 5 mH, se le aplica una tensión de alterna de U = 220sen ωt . Si la frecuencia es de 50 Hz, calcular:

a. La expresión algebraica del valor instantáneo de la intensidad.b. La fuerza electromotriz inducida en la bobina.

Datos.- f = 50 Hz. ;; Uef = 220 V

Resolución.-

I=I 0 sen(100π t−π2); ; I 0=

U 0

X L

=U 0

L.ω=

2205 10−3. 100π

=140 A

I=140 sen (100π t−π2) ; ;U ¿=−L

dIdt

=−L I0 ωcos (ω t−π2)=LI 0 ω senω t=220 senω t

Problema 6.- La potencia reactiva de una bobina, a la que se aplica una tensión de 220V , 50 Hz es de 500 Var . Hallar el coeficiente de autoinducción de la bobina.

Resolución.-

Problema 7.- Un condensador de 50 μ F se conecta a un generador de tensión U = 220 2 sen 100 π t (V) , calcular:

a. La reactancia capacitiva del condensador.b. La intensidad eficaz.c. La expresión algebraica de la intensidad referida a la tensión aplicada.

Resolución.-

Problema 8.- Un condensador absorbe una intensidad de 10 mA a una tensión de 16 V yfrecuencia de 50 Hz. Determinar:

a . La reactancia.b. La capacidad.c. La potencia.

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I ef=QU ef

=500220

=2,27 A ;;U ef=X L . I ef

X L=U ef

I ef

=2202,27

=96,92Ω; ; XL=ω . L;; L=X Lω =

96,92100 π

=308mH

XC=1

ω .C=

15010−6. 100π

=63,66Ω; ; I ef=U ef

XC

=220

63,66=3,46 A;; I 0=√2 . I ef=√2 .3,46=4,89 A

I=I 0 sen(ωt+π2)=4,89 sen(100 πt+π

2)


Resolución.-

XC=1

ω .C;; XC=

U ef

I ef

=16

0.01=1600Ω ; ;C=

1ω. XC

=1

1600 .100 .π=1,98μ F;;Q=I ef .U ef=1610−2 VAr

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