Cifras Significativas.

Son aquellas que pueden ser usadas en forma confiable. Este concepto se ha desarrollado para designar formalmente confiabilidad de un valor numrico, Es decir las cifras significativas son aquellas que indican la cantidad de dgitos que se ofrecen con certeza, ms uno estimado.

El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los mtodos numricos:1.- Los mtodos numricos obtienen resultados aproximados. Se deben desarrollar criterios para especificar qu tan precisos son los resultados. Una manera de hacerlo es en trminos de cifras significativas.2.- Ciertas cantidades representan nmeros especficos ( , , )

Por ejemplo, al afirmar que la medicin de cierta longitud dio como resultado 15,4 cm, se quiere decir que sobre el valor de 15 cm. tenemos plena certeza, mientras que el 4 decimal es un tanto ambiguo y est afectado por cierto error. Lo nico que se puede decir con seguridad es que el valor obtenido est ms cerca de 15 cm. que de 16 cm. Acerca de las centsimas no se dice nada. No sabemos si el resultado de la medicin es 15,42 cm. 15,38 cm., pero si que este valor se encuentra entre 15,35 cm. y 15,45 cm., presentndose entonces una incertidumbre total de 0-1 cm. Como vemos no es lo mismo escribir 15,4 cm. que escribir 15,40 cm. ya que en este caso estamos afirmando que conocemos la longitud con una exactitud de hasta una centsima, (que es diez veces ms exacto que en el caso anterior) y as, la incertidumbre es ya de una milsima de centmetro, es decir el valor de la longitud se encuentra entre 15,395 cm. y 15,415 cm. Las dos cifras 15,4 cm. y 15,40 cm. implican mtodos e instrumentos de medida que pueden ser diferentes. Debe considerarse que los ceros no son siempre cifras significativas ya que pueden usarse solo para ubicar el punto decimal. 15,4 cm. puede expresarse de varias formas:

15,4 cm= 154 mm= 0,154 x102 cm = 0,154 mm=0,000154km.

En cualquier caso nicamente se tienen 3 cifras significativas Cuando se incluyen ceros en nmeros muy grandes, no se ve claro cuntos ceros son significativos si es que los hay. La exactitud de los datos obtenidos en un experimento depende tanto de los instrumentos de medida como de la calidad del experimentador. Por cuanto todo instrumento de medida tiene un lmite de sensibilidad, es lgico pensar que al medir, por ejemplo la masa con una bscula de bao, es imposible obtener una exactitud de centsimas o milsimas de gramos. El correcto manejo de los datos obtenidos en un experimento, en cuanto a su precisin se refiere, se trabaja con las cifras significativas.

En el ejemplo antes mencionado, todo el bloque de cifras contiene la misma informacin desde el punto de vista experimental. Se dice por lo tanto que todas ellas tienen el mismo nmero de cifras significativas (tres en este caso) compuesta de dos dgitos ciertos (15) y uno afectado por la incertidumbre (el 4 decimal).

Sin embargo el nmero total de dgitos no representa necesariamente la precisin de la medicin. Por ejemplo la poblacin de una ciudad se reporta con seis cifras como 260.000. Esto puede significar que el valor verdadero de la poblacin yace entre 259.999 y 260.001 los cuales tienen seis cifras significativas. En realidad lo que significa es que la poblacin est ms cerca de 260.000 que de 250.000 de 270.000. En notacin decimal: .

Identificacin de Cifras Significativas.

Cuando se escribe un dato usando cifras significativas:1. Todas las cifras escritas comprendidas entre 1-9 son significativas.2. Los ceros a la izquierda nunca son significativos, independientemente de que estn en la parte entera o en la parte decimal del nmero.3. Los ceros intermedios son significativos.4. Los ceros finales de un dato real son significativos.5. Los ceros finales de un dato entero no son significativos; si se desea expresar que son significativos, se convierte el dato en real aadiendo un punto o se expresa en notacin de mantisa (diferencia entre un nmero y su parte entera) y potencias de diez

Dato0,08205814,00146,2 x 1046,200 x 104

Nmero de cifras significativas54224

Cifras Significativas de un Resultado.

En general durante cualquier sesin de laboratorio se toman datos de diferentes variables fsicas y despus se efectan con estas diversas operaciones matemticas el fin de hallar el valor de otra variable. Para que la respuesta final quede expresada en forma correcta se deben manipular experimentalmente los datos obtenidos de la siguiente forma:

Operaciones Intermedias: No perder cifras significativas en las operaciones intermedias. Esto se asegura si todas las operaciones intermedias se hacen con una o dos cifras ms de las realmente significativas. Multiplicaciones y divisiones: El resultado de una operacin de multiplicacin, divisin o elevacin a una cierta potencia tiene usualmente el mismo nmero de cifras significativas que la cantidad de la operacin que tenga el menor nmero de cifras significativas. El nmero de cifras significativas del resultado es el del dato de menor nmero de cifras significativas. Sumas y Restas: La ltima cifra significativa se obtiene por simple inspeccin visual y tendr la imprecisin debida al que sea ms incierto.

Definicin de Error.

Los errores numricos surgen del uso de aproximaciones para representar operaciones y cantidades matemticas exactas. stas incluyen los errores de truncamiento que resultan del empleo de aproximaciones como un procedimiento matemtico exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando se usan nmeros que tienen un lmite de cifras significativas para representar nmeros exactos. Para ambos tipos de errores, la relacin entre el resultado exacto, o verdadero, y el aproximado est dada por:Valor Verdadero = Valor Aproximado + Error

Reordenando la ecuacin, se encuentra que el error numrico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado es decir,Et = Valor Verdadero Valor Aproximado.Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. El subndice t indica que se trata delerror verdadero (true).

Una desventaja de esta definicin es que no toma en consideracin el orden de la magnitud del valor que se estima. Por ejemplo, un error de un centmetro es mucho ms significativo si se est midiendo un remache en lugar de un puente. Una manera de tomar en cuenta las magnitudes de las cantidades que se evalan consiste en normalizar el error respecto al valor verdadero, es decir

Donde, error = Valor Verdadero Valor Aproximado. El error relativo tambin se puede muiltiplicarpor 100% para expresarlo como:

Donde Et denota el error relativo porcentual verdadero.

TEORA DEL ERROR

Los mtodos numricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgo para satisfacer los requisitos de un problema particular de ingeniera. Tambin deben ser lo suficientemente preciso para ser adecuados al diseo de la ingeniera.

En estas notas se usara el trmino error para representar tanto la inexactitud como la imprecisin en los clculos numricos en las imprecisiones. Con dichos conceptos como antecedentes, ahora analizaremos los factores que contribuyen al error.

TIPO DE ERRORES

1. EXPERIMENTALES: Proviene de los datos o equivocaciones aritmticas en el clculo manual.2. DE TRUNCAMIENTO (CORTE): Representa la diferencia entre una formulacin matemtica exacta de un problema y la aproximacin dada por un mtodo numrico.3. REDONDEO: Se debe a que una mquina slo puede representar cantidades con un nmero finito de dgitos.Existen dos maneras de representarlos: Punto fijo: Los nmeros se representan con un nmero fijo de cifras decimales. Ej. 62.358, 0.013. Punto flotante: Los nmeros se representan con un nmero fijo de dgitos significativos.

Dgito Significativo: De un nmero C; es cualquier dgito dado de este, excepto posiblemente aquellos ceros a la izquierda del primer dgito diferente de cero y que solo sirven para fijar la posicin del punto decimal (entonces cualquier otro cero es un dgito significativo de C), Ej. 1360, 1.360; 0.001360; tiene cuatro dgitos significativos.4. EXACTITUD: Se refiere a la aproximacin de un nmero o de una medida al valor verdadero que se supone representa.5. PRECISIN Nmero De cifras significativas que representan una cantidad. La extensin en las lecturas repetidas de un instrumento que mide alguna propiedad fsica.

6. ERROR ABSOLUTOSe da cuando se aproxima el valor real con un valor aproximado

Donde

7. ERROR RELATIVO PORCENTUALSuele ser un mejor indicador de la precisin, es ms independiente de la escala usada, y esto es una propiedad ms que deseable.

Ejemplo

Planteamiento del problema: Suponga que se tiene que medir la longitud de un puente y la de un remache, y se obtiene 9999 y 9 cms respectivamente.