Cifras'significativas'e'incertidumbre'en'las'mediciones'!

¿Qué%es%una%medición?%¿Puede!decirme!qué!hora!es,!exactamente?! ! Cuando! ! lo! haga,! ¿Cómo! se! sabe! qué! tan!exacta!es!la!hora?!¿Se!!podría!!ser!!más!!exacto!!con!!el!!tiempo!!que!!se!!está!dando?%¿Cómo!se!da!cuenta!que!la!hora!que!lee!es!la!correcta!y!no!otra?!Si!por!ejemplo!vemos!el!Sol,!podemos!decir! que! es! de! día,! pero! podemos! aproximarnos! más!diciendo!que!estamos!en! la!mañana!y!aún! la!aproximación!puede!ser!mayor!al!observar!el!reloj,!podríamos!dar!el!tiempo!con!horas,!minutos!y!hasta!segundos.!

%!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

En!todos!los!casos!en!que!se!calcule!una!longitud,!se!pese!algún!material,!se!lea!un!reloj! o! una! temperatura,! estamos! haciendo! una! medición.! Esta! se! define! como! una!comparación!entre!el!objeto!por!medir!y!un!patrón!establecido.!Se!podríamos!decir!que!un!mecate!mide!30!manos;!pero,!como!las!manos!son!de!diferentes!tamaños,!esa!medida!no!serviría!como!patrón.!Por!lo!tanto,!se!debe!utilizar!un!patrón!universal,!tal!y!como!se!hace!en!el!Sistema! Internacional!de!Unidades! (SI).!Al!observar! los! instrumentos!de! las! figuras!siguientes,! se! pueden! ilustrar! los! conceptos! “medición”! y! “exactitud”.! ¿Cuál! de! los! tres!recipientes!se!puede!considerar!más!apto!para!medir!y!cuál!es!más!exacto?!!! !! !!

!(a)!!!!!!!!! !(b)!!!!!!! !(c)!Figura!2.!a)!Disolución!de!Cr3+!acuoso!medida!en!un!vaso!de!precipitado,!b)!Disolución!de!Cr3+!acuoso!medida!

en!una!probeta,!c)!disolución!de!Cu2+!acuoso!medida!en!una!pipeta!graduada.!(Fotos:!R.!Syedd,!2008;!cortesía!Universidad!Nacional,!Heredia,!Costa!Rica).!

!!!!

Fig.1.!En!Londres!algunas!personas!utilizan!el!famoso!Big!Ben!para!saber!la!hora.!

!

En!la!figura!2!(a)!Aparece!un!vaso!de!precipitado!graduado!cada!20!mililitros!(mL)!y!la!lectura!del!volumen!podría!ser!50!mL,!58!mL!o,!cualquier!otra!lectura!que!el!observador!considere!apropiada,!de!acuerdo!con!la!aproximación!que!realice.!En!la!figura!2!(b),!tenemos!una!probeta!graduada!cada!1!mL!(cada!línea!representa!1!mL)!y!se!podría!leer!su!volumen!como!15!mL,!pero!otro!observador!podría!leer!14!mL!!e!incluso!14,8!mL,!etc.!!En!la!figura!2!(C)! se! aprecia! una! pipeta! graduada! cada! 0,1!mL! y! se! puede! observar! una! lectura! de! la!disolución!de!1,5!mL;!aunque,!mejorando!la!lectura,!se!podría!leer!el!volumen!entre!1,52!mL!ó!1,53!mL.!En!todos!los!casos!anteriores,!se!puede!notar!que!el!observador!al!tratar!de!mejorar! su! lectura! tiene!un!margen!de! inseguridad!o! incertidumbre!en! la!medición!que!realiza.!Lo!que!se!puede!deducir!a!partir!de!la!lectura!de!las!tres!figuras!es!que,!entre!menor!sea! la! unidad! de!medición,!más! nos! acercaremos! al! valor! real! que! buscamos! y! esto! se!conoce!como!exactitud.!Según!Brown!(2005)!en!Química,!La!Ciencia!Central,!la!exactitud!se!define!como!qué!tanto!las!mediciones!individuales!se!acercan!al!valor!correcto.!!

En! el! caso! de! las! tres! ilustraciones! anteriores!existe!un!margen!de!error!en!la!lectura!que!se!hace!del!volumen! medido! y! este! se! produce,! no! solo! por! la!calibración! del! instrumento! que! estamos! utilizando!(errores! de! equipo),! sino! también! por! ! fallas! ! del!!observador!(errores!humanos).!Esto!se!conoce!en!las!ciencias! ! experimentales! como! incertidumbre! y,!generalmente,!se!calcula!como!la!mitad!de!la!unidad!más!pequeña.!En!el!caso!de! la!bureta!de! la!figura!3,!podemos! observar! que! la! unidad! de! medida! es! el!mililitro!y!la!división!más!pequeña!es!0,1!mL.!

!!

Para!la!bureta!la!incertidumbre!se!calcula!de!la!siguiente!forma:!!!

!!!

Ecuación!1:!Al!resultado!de!la!división!se!le!adiciona!un!+!para!indicar!que!es!una!“incertidumbre”!Lo!!anterior!!muestra!!que!!cualquier!!medición!!debe!!indicarse!!con!!dos!decimales,!siempre!que!se!utilice!ese!instrumento!para!la!medición!de!volúmenes.!!!

Figura!3.!Medición!de!una!disolución!en!una!bureta.!Se!observa!la!altura!correcta!a!la!que!debe!colocarse!la!

mirada!para!evitar!errores!de!apreciación.!

!

i = 0,1 mL = + 0,05 mL 2

De!acuerdo!con!la!apreciación!del!observador,!la!lectura!correcta!sería!6,25!+!0,05mL!por!las!siguientes!razones:!!La!cantidad!6,25!se!obtiene!al!hacer!el!conteo!de!“líneas”!de!medición!como!la!línea!del!volumen!no!está!en!el!6,2!sino!cerca!de!este,!se!calcula!el!siguiente!decimal!aproximado!y!en!este!caso!se!considera!que!es!5,!por!eso!aparece!6,25.!Este!último!dígito!es!calculado!al!“ojo!%”!y!por!eso!se!conoce!como!número!inexacto.!!Para!otro!observador!el!último!número!podría!ser!4!ó!3.!!La!!parte!!adicional!!a!!la!!medida,!!+!!0,05!!mL,!corresponde!!a!!la!incertidumbre!(representada!con!el!símbolo!+)!y!siempre!debe!aparecer.!La!incertidumbre!nos!da!un!rango!apropiado!dentro!del!cual!necesariamente!esta!el!valor!real.!Para!este!caso!el! intervalo!sería!desde!6,20! hasta! 6,30! mL.! Es! decir,! desde! 6,25! –! 0,05! mL! hasta! 6,25! +! 0,05! mL.! Como! la!incertidumbre!tiene!2!decimales,!cualquier!medición!que!se!haga!con!ese!instrumento!debe!expresarse!con!dos!decimales.!Si!la!medida!se!leyera!en!6,3!según!el!criterio!del!observador,!debe!escribirse!6,30!+!0,05!mL,!adicionando!un!cero!para!hacer!que!ambos!tengan!el!mismo!número!de!decimales.!

Para!el! vaso!de!precipitado!de! la! figura!2(a),! la! incertidumbre! se! calcularía!de! la!siguiente!forma:!

!!!Ecuación!2:!cálculo!de!la!incertidumbre!del!vaso!de!precipitado!de!la!figura!2!(a).!!

Así,!de!acuerdo!al!autor,!la!lectura!del!volumen!es!50!+!10!mL!y!el!rango!está!entre!40!y!60!mL!!sin!decimales!porque!la!incertidumbre!no!los!incluye.!!

Un!hecho!importante!es!la!relación!que!existe!entre!la!incertidumbre!y!la!exactitud;!entre!más!pequeña!sea!la!incertidumbre!del!instrumento!más!exacto!será!el!dato!que!se!obtenga!en!la!medición.!!Esto!nos!permite!concluir!que,!entre!los!tres!instrumentos!vistos!!el!más!exacto!es!la!pipeta.!De!la!misma!manera!podríamos!obtener!la!incertidumbre!de!una!regla,!un! termómetro!o!un! reloj,! en! fin,!de! cualquier!objeto!que!utilicemos!para!medir,!incluso!una!cuchara!o!una!taza,!tal!y!como!aparece!en!las!recetas!en!donde!se!indica!“tome!media! cucharadita…”.! Las! unidades! básicas! del! sistema! internacional! de! unidades! (SI)!aparecen!en!el!cuadro!1.!!!!!!

i = 20 mL = + 10 mL 2

Cuadro'1.'Unidades'básicas'del'sistema'internacional'de'unidades'(SI)'

!Magnitud' Nombre' Símbolo'

Longitud' metro! m'Volumen' metro!cúbico! m3'

Masa' kilogramo! kg'Tiempo' segundo! s'

corriente'eléctrica' amperio! A'temperatura'termodinámica' kelvin! K'

cantidad'de'sustancia' mole! mol'intensidad'luminosa' candela' cd'

!En! el! manejo! correcto! de! las! unidades! de! medición! es! importante! destacar! la!

presencia!de!cantidades!que!son!exactas!y! las!que!no,!para! la!correcta!aplicación!de! las!mismas.!!

Números'Exactos'e'Inexactos:!Cuando!queremos!hacer!una!medición!en!Ciencias,!se!!pueden!!utilizar!!dos!!tipos!de!números,!los!exactos!que!corresponden!a!cifras!como!!la!cantidad!de!monedas! en!un!bolsillo,! de!mesas! en! el! aula,! la! cantidad!de!piedras! en! un!recipiente!!!o!!!el!! !número!de!!alumnos.!También!!están!!las!!cantidades!!inexactas!!que!corresponden!a!las!que!no!se!pueden!saber!con!seguridad!como!el!peso!de!una!moneda!o!la! distancia! entre! Paso! Canoas! y! Heredia.! Es! en! estas! cantidades! donde! interviene! las!unidades!como!medidas!de!convención.!El!interés!científico!por!unificar!las!mediciones!ha!creado!una!serie!de!procedimientos!en!el!manejo!de!las!unidades!como!los!que!se!describen!a!continuación.!!

Cifras'significativas:!En!toda!medición!que!hagamos,!las!cifras!significativas!son!los!dígitos!que!se!conocen!con!certeza!más!un!dígito!que!es!incierto,!precisamente!derivado!del!posible!error!del!instrumento!y!del!observador.!La!medición!de!6,25!mL!calculada!en!la!figura!3!tiene!tres!cifras!significativas.!El!último!dígito!de!una!cantidad!es!un!aproximado!(tal!y!como!vimos!anteriormente).!Siempre!se!escribe!solamente!un!dígito!estimado!como!parte!de!una!medición!y!la!extensión!del!número!(cantidad!de!dígitos)!está!determinada!por!la!incertidumbre!del!instrumento!y!el!valor!de!la!medida!tomada.!!Considerando! estos! aspectos,! se! pueden! establecer! varias! reglas! para! facilitar! la!comprensión!en!el!manejo!de!las!cifras!significativas,!estas!se!enuncian!seguidamente:!!!!!!

Regla'1:!Todos!los!dígitos!distintos!de!cero!son!significativos.!!Así!por!ejemplo:!1,365! cuatro!significativas!23,7! tres!cifras!significativas!12! dos!cifras!significativas!!Regla'2:!Los!ceros!entre!dígitos!diferentes!de!cero!son!significativos.!!Así!por!ejemplo:!1,205! cuatro!cifras!significativas!!10521! cinco!cifras!significativas!!6,021! cuatro!cifras!significativas!!Regla'3:!Los!ceros!que!aparezcan!a!la!izquierda!antes!de!un!dígito!distinto!de!cero!no!son!significativos.!!Así!por!ejemplo:!0,0025!dos!cifras!significativas!!0,0001!una!cifra!significativa!!0,0222!tres!cifras!significativas!!Regla'4:!Después!de!la!coma!decimal,!los!ceros!que!aparezcan!son!significativos,!respetando!la!regla!!anterior!Así!por!ejemplo:!64,0!tres!cifras!significativas!!0,03200!cuatro!cifras!significativas!0,1030!cuatro!cifras!significativas!!Regla'5:!Los!ceros!al!final!de!cifras!sin!coma!decimal!pueden!considerarse!o!no!significativos,!dependiendo!del!instrumento!con!el!cual!se!hizo!la!medición.!El!número!5000!podría!tener!cuatro! cifras! significativas! si! los! tres! ceros! fueran! significativos.! Si! el! último! cero! no! es!significativo!tendría!solo!tres!cifras!significativas,!y!de!esa!forma!sucesivamente.!Se!tiene!certeza!únicamente!de!que!el!5!es!significativo.!Para!evitar!esa!ambigüedad!con!este!tipo!de!cifras!se!recurre!al!uso!de!la!notación!científica,!la!cual!nos!permite!definir!cantidades!de!cifras!significativas.!!!!

Ejemplos:!!1,32!!x!!105! tres!cifras!significativas!2,00!!x!!105! tres!cifras!significativas!5.412!x!10k14!cuatro!cifras!significativas!1!!x!!10k15!una!cifra!significativa!!Reglas'de'Redondeo'

!En!la!mayoría!de!operaciones!en!que!se!utilizan!cifras!significativas!es!necesario!acortar!los!resultados! por! las! reglas! anteriores,! haciéndose! necesario! redondear! cantidades.! Para!realizar!este!proceso!existen!los!siguientes!criterios:!!Si!el!dígito!que!se!va!a!redondear!está!seguido!por!un!número!menor!o!igual!que!4,!este!permanece!igual.!!

Cantidad!por!redondear! Redondear!a! Resultado!final!7,5329! 3!cifras!significativas! 7,53!0,834! 2!cifras!significativas! 0,83!1760! 3!cifras!significativas! 1,76!x!103!

!Cuando! el! dígito! a! redondear! está! seguido! por! un! dígito!mayor! o! igual! que! 6,! este! se!aumenta!en!una!unidad.!!

Cantidad!por!redondear! Redondear!a! Resultado!final!0,5764! 2!cifras!significativas! 0,58!15,99! 3!cifras!significativas! 16,0!67876! 3!cifras!significativas! 6,79!x!104!

!!Si!se!va!a!redondear!un!dígito!que!va!seguido!por!un!5,!se!procede,!según!sea!par!o!impar,!de!la!siguiente!manera:!!

Cantidad!por!redondear! Redondear!a! Resultado!final!2,3654! 3!cifras!significativas! 2,36!5,25! 2!cifras!significativas! 5,3!1885! 3!cifras!significativas! 1,89!x!103!

!!!

Cantidad!por!redondear! Redondear!a! Resultado!final!4,7752! 3!cifras!significativas! 4,78!72,35! 3!cifras!significativas! 72,4!67542! 2!cifras!significativas! 6,8!x!104!

!!La' precisión! la! definiremos! como! la! concordancia! entre! varios! valores! de! una! misma!medición.!Esto!es,!cuando!medimos!el!mismo!objeto!y!con!el!mismo! instrumento,! si! las!medidas!son!semejantes,!podemos!asegurar!que!estas!son!precisas.!!En!el!caso!de!la!exactitud,!ya!definida!en!el!texto,!no!necesariamente!debe!coincidir!con!la!precisión.! Esto! se! explica! con! el! ejemplo! que! se! describe! a! continuación.! Tres! famoso!futbolistas! hicieron! tres! lanzamientos! de! penales! para! determinar! cual! era! mejor!considerando!aspectos!de!precisión!y!exactitud,!los!resultados!de!los!tres!penales!de!cada!uno!se!ilustran!en!las!caricaturas!de!las!figuras!4,!5!y!6.!!!!!!!!!Figura!4.!Lanzamiento!de!tres!penales!de!Ronaldo!de!la!selección!de!Brasil.!Ronaldo!tuvo!una!exactitud!alta!porque!anotó!dos!de!los!tres!penales.!No!obstante,!su!precisión!no!fue!muy!alta!debido!a!que!cada!uno!de!!sus!tiros!fueron!algo!dispersos!entre!sí.!

!!!!!!!!Figura!5.!Lanzamiento!de!tres!penales!de!Ronaldinho!de!la!selección!de!Brasil.!Ronaldinho!tuvo!una!exactitud!muy!baja!porque!no!anotó!ninguno!de! los!penales.!Su!precisión!también!fue!muy!baja!debido!a!que!cada!uno!de!sus!tiros!fueron!muy!dispersos!entre!sí.!!!

!!!!!!Figura!6.!Lanzamiento!de!tres!penales!de!Wanchope!de!la!!selección!!de!Costa!Rica.!Pablo!tuvo!una!excelente!exactitud!porque!anotó!todos!sus!penales.!Además!su!!precisión!también!fue!excelente!debido!a!que!todos!sus!tiros!estaban!muy!próximos!entre!sí.!!

Debido!a!que!ninguno!de!ellos!es!experto!en!mediciones!científicas!contratan! los!servicios!de!un!árbitro!sumamente!experimentado,!el!cual!se!muestra!en!la!figura!7.!Todos!los! jugadores!discutieron!entre!sí!diciendo!que!cada!uno!había! tenido!mejor!precisión!y!exactitud.!Como!el!árbitro!tardaba!mucho!en!dar!su!decisión,!Ronaldhino!se!enojó!mucho!y!le!gritó!a!Homero.!Como!éste!no!sabía!que!decir,!sacó!sus!libros!de!química!que!tenía!del!colegio! y!encontró! la! respuesta! (¡Wanchope!era!el! ganador!).!Homero!dio! su!veredicto:!Wanchope!!!!ganó!!!!y;!!!!Ronaldo!!!!y!!!!Ronaldinho!!!fueron!expulsados!por!tratar!de!confundir!al!árbitro.!!!!!!!!!!!!

Figura!7.!Homero!Simpson,!árbitro!oficial!de!la!competencia!de!precisión!y!exactitud.!!!!