Introducción a la Transformada Waveletpara Ingenieros: un enfoque didáctico

R. de Castro, M. López, J. Martínez H. Díaz M. MartínezU. Politécnica de Madrid U. de Tarapacá U. Simón Bolívar

ESPAÑA CHILE VENEZUELA

2do Congreso Internacional en Innovación y Desarrollo Tecnológico CIINDET’04

Objetivos

• Describir los fundamentos de la Transformada Wavelet

• Implementar de forma didáctica la Transformada Wavelet discreta mediante análisis multiresolución

• Realizar un análisis comparativo entre la Transformada de Fourier y la Transformada Wavelet

• Crear una plataforma web para divulgar información sobre la Transformada Wavelet y sus aplicaciones en el área de Ingeniería Eléctrica

Evolución Histórica

1807

1909

1984

1946

Fourier

Haar

Morlet

Gabor

Descomposición de señalesperiódicas en senos y cosenos

Concepto de ondas bases decorta duración

Concepto de dominio tiempo-frecuencia (STFT)

Introducción por primera delConcepto de wavelet

Evolución Histórica

1985

1988

1990 -

1989

Meyer

Daubechies

Mallat

Origen de las waveletsortogonales

Teoría convertida enherramienta (Aplicaciones)

Análisis WaveletMultiresolución (MRA)

Aplicaciones prácticasFBI, JPEG, Toy Story

¿Qué son las wavelets?

∑ ψ⋅=k

kk )t(a)t(f

Fouriersen(kωot) cos(kωot)

Taylor, Fractales,

etc.

wavelets

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ−

ψ⋅=ψτ st

s1)t(s,

τ : Traslacións : Escala

f(t)

)t(kψ

Función Madre

Función Madre

Fundamentos

dt)t()t(f)s,(C *s,∫

+∞

∞−

τψ⋅=τ

∑∞

−∞= ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ τ⋅⋅−ψ⋅=

njo

ojo

jo s

ksn)n(f

a

1)k,j(DWT ∑ ∑∞

−∞=

∞

−∞=

ψ⋅=k j

k,j )t()k,j(DWT)t(f

∑∑∑ ψ⋅+ϕ⋅=−

=kk,j

1J

0jjk,j

kj )t()k(d)t()k(a)t(f

T. Wavelet continua

Discretización: T. Wavelet discreta

Descomposición Reconstrucción

f(t) Señal

M R A

Teoría de filtros

aj(k) : aproximacióndj(k) : detalle

Fundamentos

∑∑∑ ψ⋅+ϕ⋅=−

=kk,j

1J

0jjk,j

kj )t()k(d)t()k(a)t(f

M R A

∑ +⋅−=>ϕ<=m

1jk,jj )m(a)k2m(h )t(),t(f )k(a )m(a)k2m(h )t(),t(f )k(d 1jm

1k,jj +⋅−=>ψ<= ∑

Filtros digitalesQMR

aj+1

LD ↓2 aj

HD ↓2 dj

aj+1LR 2↑aj

HR 2↑dj+

HDLD

HRLR

Análisis Wavelet Multiresolución

Escala 3

HD LD

22

HD LD

2 2

HD LD

2 2

x [n] f : 0 – fs

f : 0 – fs/21

f : 0 - fs/22

f : 0 – fs/23

f : fs/21 - fs

f : fs/22 - fs/21

f : fs/23 - fs/22

Escala 1

Escala 2

…

d1

d2

d3

a1

a2

a3

fs: Frecuencia Nyquist

Comparación Wavelet - Fourier

Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz

3000 600 800 1000 ms

25 Hz

10 Hz50 Hz

100 Hz

Comparación Wavelet - Fourier

Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz

3000 600 800 1000 ms

25 Hz

10 Hz50 Hz

100 Hz

10 25 50 100 Hz

Análisis frecuencial T. de FourierInformación sobre el contenido en frecuencia de la señal

Sin información de los picos

Comparación Wavelet - Fourier

Señal no estacionaria con contenido de 10, 25, 50 y 100 Hz

3000 600 800 1000 ms

25 Hz

10 Hz50 Hz

100 Hz

Información sobre la localización temporal de las componentes frecuenciales

Sin información de los picos

T. de Fourier enventanada

0 50 100 150400

200

600800

Tiempo (ms)Frecuencia (Hz)

Am

plit

ud

15

1000

Comparación Wavelet - Fourier

Time (ms)0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

a 8

d 6

d 2

d 5

d 3

d 4

d 1

[31.25 62.5] Hz

[7.8125 15.625] Hz

[15.62 31.25] Hz

[250 500] Hz

[125 250] Hz

[62.5 125] Hz

Análisis Wavelet Multiresolución

1000 ms

Señal no estacionaria

3000 600 800

Información sobre la localización temporal de todas las componentes frecuenciales

Con información de los picos

Aplicación Práctica

Wfilters (‘db8’)

HaarDaubechies

Morlet...

HD 2

SeñalS

S2

S1 = convolución(S,HD)

S

S1

S1 S2

Submuestreo

f4 f5f2 f3f1

f3 f5f1

LD 2

Aplicaciones de la Transformada Wavelet

General

Compresión de archivos

Procesamiento de señales e imágenes

Solución de ecuaciones diferenciales

Ingeniería

Eléctrica

0

5

10

15

20

25

% P

ubl

icac

ion

es

1994 1996 1998 2000 2002 Mayo2004Año

Descargas parciales

8%Protecciones

32%

Otras8%

Calidad del servicio

35% Medidas5%

Transitorios9%

Estimación de la demanda

3%

Fuente: IEEE, IEE, Power System Research

Página web de apoyo http://www.uta.cl/hdiaz

Transformada Wavelet en Ingeniería Eléctrica

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Publicaciones

Bibliografía Enlaces

ConceptosBásicos

¿Qué son las wavelets?

Breve Introducción

Tutorialesen Español

Trabajos Disponibles en pdf:» Fundamentos (2 Mb)

» Aplicación a la Protección diferencial de un Transformador (4Mb)

» Localización de Faltas en Líneas de Transporte (2.5 Mb)

Programas enMatlab

Programas en Matlab:» Más de 15 archivos (.m), para desarrollarlas bases de la TW, su comparación con laTF y aplicaciones

Publicaciones:3 publicaciones desarrolladas por el grupode investigación y relacionadas con el tema

Bibliografía:Referencias a Publicaciones clasificadaspor áreas de interés: Calidad de Servicio,Protecciones, etc.

Enlaces:Más de 15 enlaces a páginas especializadas

Conclusiones

• La transformada Wavelet es una herramientamoderna para el análisis de señales y otrasaplicaciones de ingeniería

• La Transformada Wavelet tiene ventajascomparativas frente al análisis clásico (Fourier) parael análisis de señales no estacionarias

• La Transformada Wavelet resulta útil para la detección de singularidades originadas portransitorios

Fin de la Presentación

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