Calcule el siguiente lmite

limh0

h + x3

- x3

hPara calcular este lmite, vamos a racionalizar el numerador. Esto

significa que lo vamos a escribir de forma tal que no contenga ninguna expresin radical,entonces necesitamos una expresin tal que al multiplicar el numerador por ella nos d otra expresin que no

contenga radicales. Cul ser la expresin adecuada? El producto en el numerador debe ser de la forma

Hx + hL33 - x33 o de la forma J h + x3

N3- J x3 N

3, esto hace recordar el caso de factorizacin

Ho de producto notableL llamado diferencia de cubos. la expresin general de la diferencia de cubos es la siguiente :a3 - b3 = Ha - bL Ia2 + a b + b2M. Si nos fijamos, el producto que necesitamos es el que est al lado izquierdo

de la igualdad, si tomamos a = h + x3

y b = x3

, entonces la expresin que necesitamos es a2 + a b + b2 =

J h + x3

N2+ J h + x

3N J x3 N + J x3 N

2. Hagamos ahora la multiplicacin por 1,

h + x3

- x3

h

J h + x3

N2+ J h + x

3

N J x3 N + J x3 N2

J h + x3

N2+ J h + x

3

N J x3 N + J x3 N2=

KJ h + x3

N J h + x3

N2- J x3 N J h + x

3N2+ J h + x

3N J h + x

3N J x3 N - J x3 N J h + x

3N J x3 N +

J h + x3

N J x3 N2- J x3 N J x3 N

2OhKJ h + x

3N2+ J h + x

3N J x3 N + J x3 N

2O =

J h + x3

N3- J x3 N J h + x

3

N2+ J x3 N J h + x

3

N2- J h + x

3

N J x3 N2+ J h + x

3

N J x3 N2- J x3 N

3

hKJ h + x3

N2+ J h + x

3

N J x3 N + J x3 N2O

=

J h + x3

N3- J x3 N

3

hKJ h + x3

N2+ J h + x

3

N J x3 N + J x3 N2O=

x + h - x

hKJ h + x3

N2+ J h + x

3

N J x3 N + J x3 N2O=

h

hKJ h + x3

N2+ J h + x

3

N J x3 N + J x3 N2O=

1

KJ h + x3

N2+ J h + x

3

N J x3 N + J x3 N2O

. Esta ltima

expresin es la racionalizacin del numerador de la expresin a la que hay que extraer el lmite.

limh0

h + x3

- x3

h=

limh0

1

J h + x3 N2+ J h + x3 N J x3 N + J x3 N

2=

1

J 0 + x3 N2+ J 0 + x3 N J x3 N + J x3 N

2=

1

J x3 N2+ J x3 N J x3 N + J x3 N

2=

1

J x3 N2+ J x3 N

2+ J x3 N

2=

1

3 J x3 N2=

1

3 x23.

ste es el lmite buscado.

Calcular el siguiente lmite

x1lim

3 x14 x1

Solucin

Para calcular ese lmite, podemos aprovechar el hecho de que la expresin tienecomo numerador x 1 13 y como denominador x 1 14 , es decir, la misma base conexponente mayor en el numerador, aprovechando esto, simplificamos la expresinracional de la siguiente manera:

3 x14 x1

x1 13x1 14

x 1 13 x 1 14 x 1 13 14 x 1 412 312 x 1 112 12 x 1Ahora que hemos simpificado la expresin, evaluamos el lmite:

x1lim

3 x14 x1 x1lim

12 x 1 12 1 1 12 0 0

Grficamente, se ve de la siguiente manera:

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

0.70

0.75

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

Calcular el lmite siguiente:

x0lim x1 1

3 x1 1

Solucin:

Para calcular este lmite, inicialmente podramos pensar en unaracionalizacin del numerador o del denominador. Al hacer ambascosas, el resultado siempre es una expresin a la cual no se puedeextraer el lmite pedido. Por esta razn, se simplifica la expresinracional de forma conveniente. Para eso, podemos proceder de dosmaneras: haciendo la sustitucin w 6 x 1 o escribiendo las expresionesx 1 y 3 x 1 utilizando exponentes racionales adecuados.

Simplificando haciendo sustitucinSea w 6 x 1 .Entonces w3 x 1 y w2 3 x 1 . Haciendo las

sustituciones adecuadas nos queda:

x1 13 x1 1

w31w21

w1w2w1w1w1 w

2w1w1

Habiendo cancelado el factor w 1, nos aseguramos que ya nohabr ninguna resta ni en el numerador ni en el denominador,ya que w 6 x 1 no presenta ninguna resta tampoco. Ahorasustituimos por este valor de w y calculamos el lmite:w2w1w1

3 x1 6 x1 16 x1 1 x0lim

3 x1 6 x1 16 x1 1

3 01 6 01 16 01 1 11111

32 .

Por tanto,

x0lim x1 1

3 x1 1 32 1.5.

Veamos grficamente este resultado:

-2 -1 0 1 2

1.2

1.4

1.6

1.8

2.0

x

y

Simplificando haciendo uso de exponentes racionalesEsta forma de hacerlo es, bsicamente, la misma forma que la anterior,

tan slo en apariencia es diferente:

x1 13 x1 1

x1 12 1x1 13 1

como 12 3 16 y 13 2 16 , entonces podemosrescribir la expresin de la siguiente manera:

x1 12 1x1 13 1

x1 16

31

x1 1621

x1 16 1 x1 16

2x1 16 1

x1 16 1 x1 16 1

x1 162x1 16 1

x1 16 1 x1

13 x1 16 1

x1 16 1 3 x1 6 x1 1

6 x1 1

Con esta expresin, obtenemos lo siguiente:

x0lim x1 1

3 x1 1 x0lim3 x1 6 x1 1

6 x1 1 3 01 6 01 1

6 01 1 11111 32

Calcular el lmite siguiente:

x0lim 1cosx

x2

Solucin:En esta solucin se toma en cuenta lo siguiente:sin2x 1 cos2x

x0lim sinxx 1

x0lim cosx 1

Para calcular este lmite, vamos a multiplicar el numerador y denominadorpor 1 cosx con el objetivo de obtener sin2x y relacionarlo con la x2 deldenominador. Veamos:1cosx

x2 1cosx1cosx

x21cosx 1cos2x

x21cosx sin2x

x21cosx sin2x

x2 11cosx sinxx 2 11cosx ,

ahora calculamos el lmite a este producto.

x0lim 1cosx

x2

x0lim sinxx 2 11cosx

x0lim sinxx

2x0lim 11cosx

x0lim sinxx

2x0lim x0

lim1

x0lim1

x0limcosx 12 111 1 12 12 . As pues,

x0lim 1cosx

x2 12 .

Calcula el siguiente lmite:

x0lim sin2xx

Solucin:En esta solucin se toma en cuenta lo siguiente:

x0lim sinxx 1

Para calcular el lmite, basta con reescribir la expresiny aprovechar que

x0lim sinxx 1.

x0lim sin2xx

x0lim 2sin2x2x 2

x0lim sin2x2x 21 2.

Observemos este lmite grficamente:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y

Solucin:En esta solucin se toma en cuenta lo siguiente:

xlim 1x 0

Para calcular el lmite, calculamos el lmite del productosin2x

x 1x sin2x de la siguiente manera:

xlim sin2xx

xlim 1x sin2x

xlim 1x

xlim sin2x, como

xlim 1x 0,

entonces,

xlim 1x

xlim sin2x 0, de ah que

xlim sin2xx 0.

Grficamente se puede ver de la siguiente manera:

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y

-10 -5 5 10

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y

-30 -20 -10 10 20 30

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y

Se observa cada vez que la grfica tiende a alinearse con el eje horizontal,tal como el lmite lo sugiere.

Calcula el siguiente lmite:lim sinx2xx