cinemática
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TEMA 2Cinemática
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Cinemática
Mecánica y Cinemática. Definición de movimiento.
Elementos del movimientoEl móvil: partículaEl sistema de referencia
Movimientos absolutos y relativosLa trayectoria
Magnitudes fundamentales de la cinemática de la partículaVector de posiciónVector desplazamientoEspacio recorridoVelocidadAceleración
Componentes intrínsecas de la aceleraciónObtención de las ecuaciones del movimiento a partir de la aceleración
Casos particulares: algunos tipos de movimientoMovimiento rectilíneo uniforme y uniformemente aceleradoMovimiento circular uniforme y uniformemente acelerado
Composición de movimientosTiro parabólico
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Cinemática
cinemático, ca. (Del gr. κiνημα, -ατος, movimiento).
1. adj. Perteneciente o relativo al movimiento.2. adj. Fís. Perteneciente o relativo a la
cinemática.3. f. Parte de la física que estudia el movimiento
prescindiendo de las fuerzas que lo producen.
Objetivo: describir matemáticamente el movimiento
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Movimiento
¿Cómo sería un Universo sin movimiento?
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Movimiento de un cuerpo:
¿Cómo se mueve?Trayectoria
Cinemática
Mecánica¿Porqué se mueve?
Causas
Dinámica
![Page 6: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/6.jpg)
Movimiento de un cuerpo:Filósofos Griegos (Aristóteles)
Zenón (paradoja de Aquiles y la tortuga)
Concepto moderno de movimiento (siglos XVI-XVII)
la variación de la posición relativa de los cuerpos o de sus partes en el espacio respecto a un sistema de referencia a medida que transcurre el tiempo.
![Page 7: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/7.jpg)
El móvil: partícula o punto material
La descripción del movimiento de un objeto requiere la descripción del movimiento de cada uno de sus puntos
Problema muy complejoConcepto de punto material
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El sistema de referencia
¿Existe el movimiento absoluto?
Describir la posiciónDepende del sistema de
referencia elegidoMagnitud relativaRelatividad de Galileo
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Trayectoria
El lugar geométrico de los puntos que recorre un móvil
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Tipos de trayectoria
RectilíneaCircular
Radio de curvatura
¿otras?
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Vector de posición, rDescribir la posición:
Depende del sistema de referencia elegidoMagnitud relativaMediante el vector de posición del punto
La trayectoria es la línea que describen los extremos de los vectores de posición a lo largo del tiempo. Conociendo la función r(t), conocemos la trayectoria.
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Ecuación de la trayectoria
Forma vectorial
Forma paramétrica
Forma implícita f(x, y) para trayectorias planas
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Vector desplazamiento
Vector desplazamiento
No confundir el vector desplazamiento o su módulo con el espacio o distancia recorrida
http://www.educaplus.org/movi/2_4distancia.html
![Page 14: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/14.jpg)
Velocidad
Idea intuitiva: Cambio de la posición. Derivada de una función.
Velocidad media frente a velocidad instantánea
Cómo afecta a la descripción de la velocidad que el sistema de referencia se mueva
http://www.educaplus.org/movi/2_8movrelativo.html
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Velocidad
Velocidad media
Velocidad instantánea
DERIVADASDirección tangente a la trayectoria
http://www.ies.co.jp/math/java/calc/doukan/doukan.html
![Page 16: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/16.jpg)
Aceleración
Idea intuitivaCambio de la velocidad
Aceleración media frente a aceleración instantánea
Como afecta a la descripción de la aceleración que el sistema de referencia se mueva
Sistemas de referencia inerciales y no inercialesEn sistemas de referencia inerciales (SRI), la aceleración no depende del sistema de referencia elegido
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AceleraciónAceleración media
Aceleración instantánea
– Su dirección no tiene porqué coincidir con ninguna dirección importante del problema
– Su sentido no tiene porqué coincidir con el del movimientohttp://www.educaplus.org/movi/2_6aceleracion.html
![Page 18: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/18.jpg)
Coordenadas cartesianas
Unidades SI: m/s2
[a]=LT-2
Unidades SI: m[r]=L
Unidades SI: m/s[v]=LT-1
![Page 19: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/19.jpg)
Sistema de referencia intrínseco
Origen: en la partícula, se mueve con ellaVectores unitarios:
τ : vector tangente a la trayectoria(en el sentido del movimiento)
n : vector normal a la trayectoria (hacia el centro del círculo osculador)
¿Coordenadas intrínsecas de la velocidad?
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Coordenadas intrínsecas de la aceleración
naaaaa
nt
ntrr
rrr
+=+=
τ
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Cálculo de las coordenadas intrínsecas de la aceleración
Aceleración tangencial:
Aceleración normal:
dtvd
at
r=
ρ
2van =
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Significado de las coordenadas intrínsecas de la aceleración
Aceleración tangencial:nos indica la variación del módulo de la velocidad
Aceleración normal:nos da cuenta de la variación de la dirección de la velocidad
Clasificación de distintos movimientos a partir de la aceleración.
![Page 23: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/23.jpg)
Paso de coordenadas intrínsecas a cartesianas
Aceleración tangencial
Aceleración normal
vv
vvaat r
r
r
rrr
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅=
nt aaa rrr −=
![Page 24: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/24.jpg)
Obtención de la trayectoria a partir de la aceleración
INTEGRALESObtención de la velocidad:
Vector de posición:
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Casos Particulares: Movimiento rectilíneo
Aquel cuya trayectoria es una línea rectaVector desplazamiento y velocidad paralelos a la
trayectoria (al vector tangencial)
Aceleración normal es nula
Usamos un sistema de referencia con un eje que coincida con la dirección de la trayectoria
0=nar
{ } τrrrr avr ,,Δ
![Page 26: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/26.jpg)
Movimiento rectilíneo uniforme
Aquel movimiento rectilíneo cuya aceleración es ceroVector desplazamiento y velocidad paralelos a la
trayectoria (al vector tangencial)
Eligiendo un sistema de referencia adecuado:
Ecuación de una rectahttp://www.profisica.cl/animaciones/graficomur.swf
http://www.profisica.cl/animaciones/3mur2profisica.swf
tvrr
ctevva
00
00
rrr
rrr
+=
==⇒=
tvxx 00 += ¡¡¡¡¡¡¡¡OJO CON LOS SIGNOS!!!!!
![Page 27: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/27.jpg)
Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Aquel movimiento rectilíneo cuya aceleración es constante
Vector desplazamiento, velocidad y aceleración paralelos a la trayectoria (al vector tangencial)
http://www.profisica.cl/animaciones/muag2profisica2dic05.swfhttp://www.walter-fendt.de/ph14s/acceleration_s.htm
2000
00
0
21 tatvrr
tavv
aa
rrrr
rrr
rr
++=
+=
=
![Page 28: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/28.jpg)
Movimiento circular: magnitudes angularesAquel cuya trayectoria es una circunferencia
Radio de curvatura constante
MagnitudesVelocidad angular media
Velocidad angular (instantánea)tΔ
Δ= φω
ndtd rr φω =
Unidades SI: rad/s[v]=T-1
![Page 29: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/29.jpg)
Movimiento circular
MagnitudesAceleración angular media
Aceleración angular (instantánea)tΔ
Δ= ωα
dtdωαr
r =
Unidades SI: rad/s2
[v]=T-2
![Page 30: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/30.jpg)
Relación entre magnitudes angulares y lineales
rv rrr ×= ω
2ρωρα
=
=
n
t
aa
vara
n
trrr
rrr
×=×=
ωα
![Page 31: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/31.jpg)
Movimiento circular uniforme
Aquel movimiento circular cuya aceleración angular es cero
Magnitudes:Periodo (T)Frecuencia (ν)
Ángulo barrido:
http://www.profisica.cl/animaciones/movcircunferencial.swf
ctevaa
n
t
=×==
rrr
r
ω0
tωφφ += 0
![Page 32: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/32.jpg)
Movimiento circular uniformemente aceleradoAquel movimiento circular cuya aceleración angular es
constante
Ecuaciones:
http://www.profisica.cl/animaciones/muac_antihor2006.swf
ctevactera
n
t
≠×==×=rrr
rrr
ωα
200
0
21 tt
t
αωφφ
αωω
++=
+=
![Page 33: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/33.jpg)
Movimiento relativo; Cambio de sistemas de referencia
La posición y la velocidad son magnitudes relativas, dependen del sistema de referencia en el que se describen.
http://www.educaplus.org/movi/2_8movrelativo.html
¿Cómo variará la ecuación de la trayectoria si la describimos desde un sistema de referencia O’ que se mueve respecto de uno fijo O?
![Page 34: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/34.jpg)
Cambio de sistemas de referencia
Para conocer la ecuación de la trayectoria respecto a O’ necesitamos:
La ecuación de movimiento respecto a OLa ecuación de movimiento de O’ respecto a O
![Page 35: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/35.jpg)
Movimiento relativo: Cambio de sistema de referencia
Principio de equivalencia de GalileoSi O es un sistema de referencia inercial,y a0’ = 0 :
“no somos capaces de distinguir si un fenómeno físico está ocurriendo en un sistema de referencia en reposo o que se mueve a velocidad constante”
Transformaciones de Galileo:
![Page 36: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/36.jpg)
Descomposición de movimientos
Principio de superposición de movimientos
![Page 37: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/37.jpg)
Descomposición de movimientos
Principio de superposición de movimientos
![Page 38: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/38.jpg)
Descomposición de movimientos
Principio de superposición de movimientos
“Un movimiento complejo puede estudiarse analizando sus componentes (movimientos independientes) por separado aunque actúen de forma simultanea”
![Page 39: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/39.jpg)
Descomposición de movimientos
Resolución de problemas concretosUso de un sistema de referencia (p.e. cartesiano)
Descomposición de los vectores según sus componentes
Problemas escalares (según las direcciones de los ejes) independientes
kajaiata
kvjvivtvkzjyixtr
zyx
zyxrrrr
rrrr
rrrr
++=
++=++=
)(
)()(
),,(:
),,(:
),,(:
zz
yy
xx
avzzEjeavyyEjeavxxEje
![Page 40: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/40.jpg)
Descomposición de movimientosEjemplo concreto: tiro parabólico
http://www.walter-fendt.de/ph14s/projectile_s.htmhttp://www.profisica.cl/animaciones/parabola2profisica.swf
![Page 41: cinemática](https://reader034.fdocumento.com/reader034/viewer/2022042821/55cf9492550346f57ba2e52e/html5/thumbnails/41.jpg)
Descomposición de movimientosEjemplo concreto: tiro parabólico
Datos:
Ecuaciones:
000 ,, avr rrr
200
00
0
0
21sin
cos
sincos
gttvyy
tvxx
gtvvvv
y
x
−+=
+=
−==
θ
θ
θθ
Tiro horizontal