Cinematica Cuerpo Rigido

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA – FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL

Curso: DINÁMICA – EC114 Profesor: Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa

Departamento Académico de Estructuras

Curso:

DINÁMICA

Tema:

CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO

Profesor:

Ing. Luis Fernando Lázares La Rosa

E-mail: [email protected]



Índice:

-Introducción.

- Movimiento de Traslación:

a) Propiedades

b) Ecuaciones de movimiento.

- Movimiento de Rotación alrededor de un eje:

a) Propiedades

b) Ecuaciones de movimiento.

- Aplicaciones



Bibliografía:

-Mecánica Vectorial para Ingenieros - DINÁMICA

Autores: Beer F., Johnston R., Clausen W.

Mc Graw Hill

- Ingeniería Mecánica - DINÁMICA

Autor: Hibbeler R. C.

Pearson Educación

- Mecánica para Ingenieros - DINÁMICA

Autores: Merian J. L., Kraige L. G.

Editorial Reverté



INTRODUCCIÓN

La CINEMÁTICA es el estudio de la geometría del

movimiento aplicado a una partícula o a un cuerpo rígido y

se usa para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la

aceleración y el tiempo sin hacer referencia a la causa del

movimiento.

Se estudiará la cinemática en el plano, o estudio de la geometría

del movimiento en un plano de un cuerpo rígido. Su estudio es

importante para el diseño de engranes, levas y mecanismos

empleados para muchas operaciones de máquinas. En ingeniería

civil es importante para interpretar el comportamiento y análisis de

elementos que por ejemplo integran una estructura.



Cuerpo rígido: Es un sistema de partículas que mantienen

invariables sus distancias mutuas. Esta formulación es ideal ya

que todos los materiales sólidos cambian algo de forma cuando

se les aplican fuerzas. Si los movimientos asociados a los cambios

de forma son muy pequeños frente a los movimientos globales del

cuerpo, el concepto ideal de rigidez es aceptable.

-El diafragma rígido y la losa o placa al desplazarse rígidamente (sin deformación) puede trasmitir

el desplazamiento a otros elementos como muros, haciéndolos todos a la vez y de igual forma.



CINEMÁTICA DE LOS CUERPOS RÍGIDOS

Se investigará las relaciones que existen entre el tiempo, las

posiciones, las velocidades y las aceleraciones de las distintas

partículas que forman un cuerpo rígido.

Es posible someter un cuerpo rígido a tres tipos de movimiento en el

plano, específicamente traslación, rotación en torno de un eje fijo y

movimiento plano en general.

TRASLACIÓN: Un movimiento es de traslación si cualquier línea recta

de un cuerpo permanece en la misma dirección durante el movimiento.

Todas las partículas que forman el cuerpo se mueven a lo largo de

trayectorias paralelas. Si estas trayectorias son líneas rectas se dice

que el movimiento es una traslación rectilínea, si las trayectorias son

líneas curvas, el movimiento es una traslación curvilínea.




A

B

A’

B’

s

s

Traslación rectilínea

A

B

A’

B’

s

s

Traslación curvilínea




A

B

A’

B’

s

s

Traslación rectilínea

Trineo para ensayo

de cohetes




A

B

A’

B’

s

s

Traslación curvilínea

Placa oscilante sujeta

con barras paralelas



Considérese un cuerpo rígido en

traslación (rectilínea o curvilínea) y

sean A y B cualesquiera de sus

partículas. Representando por rA y

rB los vectores de posición de A y B

con respecto a un sistema de

referencia fijo y por rB/A al vector

que une A y B


rB = rA + r B/A

Si se deriva esta expresión con

respecto al tiempo, por la definición

de traslación el vector rB/A debe

mantener su dirección y magnitud

constante, ya que A y B

corresponden al mismo cuerpo

rígido.

Entonces la derivada de rB/A es cero:

VA = VB

aA = aB

y

rB

rA

rB/A

A

B

x

z

O

Ecuaciones de

movimiento



Cuando un cuerpo rígido está en traslación, todos los puntos del cuerpo

tienen la misma velocidad y la misma aceleración en cualquier instante

PROPIEDADES DE LA TRASLACIÓN

Traslación curvilínea: velocidad y aceleración cambian de dirección y en cada instante.

Traslación rectilínea: velocidad y aceleración mantienen la misma dirección durante

todo el movimiento.

x x

y y

z z

A A

B B

v

v

a

a



ROTACIÓN CON RESPECTO

A UN EJE FIJO: En este

movimiento las partículas que

forman el cuerpo rígido se

mueven en planos paralelos, a

lo largo de círculos centrados

sobre el mismo eje fijo. Si este

eje, llamado eje de rotación,

intersecta al cuerpo rígido, las

partículas localizadas sobre el

eje tienen velocidad y

aceleración cero.


A

B



La rotación no debe confundirse con ciertos tipos de traslación

curvilínea. Por ejemplo la placa izquierda está en traslación

curvilínea con todas sus partículas en movimiento a lo largo de

círculos paralelos, mientras que la placa derecha está en

rotación con todas sus partículas en movimiento a lo largo de

círculos concéntricos


A1

A2

C1

C2

D1

D2

B1

B2 B1

B2

D1

D2

A1

A2

C1 C2



El cuerpo rígido gira con respecto a un

eje fijo AA’. Sea P un punto del cuerpo

y r su vector de posición con respecto

a un sistema de referencia fijo. Sea B

la proyección de P sobre AA’, como P

debe permanecer a una distancia

constante de B, describirá un círculo

de centro B y radio rsen , donde es

el ángulo formado por r y AA’.

La posición de P y de todo el cuerpo

está definida por el ángulo que forma

la línea BP con el plano zx. El ángulo

se conoce como la coordenada

angular del cuerpo.

1 rev = 2 rad = 360°


O r P

B

A

x

y

z

A’



La velocidad de la partícula P es un

vector tangente a la trayectoria de P.

V = d r /dt V = ds/dt

S = (BP) = (r sen )


S

BP

Dividiendo entre t y obteniendo el límite

cuando t 0

V = ds/dt = r sen

V = d r /dt = r = x r

como : =

V = ds/dt = r sen

O

r P

B k

i j

z

k

v

°

°

°

°



El vector k k se llama

velocidad angular del cuerpo. Está

dirigida a lo largo del eje de rotación y

es igual en magnitud a la rapidez de

cambio de la coordenada angular.

Hallando la aceleración:

a = dV/dt d ( x r ) /dt

a = (d /dt) x r x (dr/dt)

a = x r x V


a = x r x ( x r)

= aceleración angular del cuerpo

O

r P

B k

i j

z

k

v

°



k k k

x r componente tangencial

de la aceleración.

x ( x r ) componente

normal de la

aceleración.


x ( x r )

x r

O

r P

B k

i j

z

k

v

°



an = r

a = x r x ( x r )

a = k x r r

k

ROTACION DE UNA PLACA REPRESENTATIVA

La rotación de un cuerpo rígido con respecto a un

eje fijo puede definirse por el movimiento de una

placa representativa en un plano de referencia

perpendicular al eje de rotación

V = x r = k V = r

Dirección: r gira 90° sentido rotación de la placa

at = k x r

at = r an = r

v = k x r

= k

r

P

0 x

y

at = k x r

= k

an = - 2 r P

0 x

y

= k

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