CINEMÁTICA, DINÁMICA, TRABAJO Y ENERGÍA - Asimov

5/11/2018 CINEMÁTICA, DINÁMICA, TRABAJO Y ENERGÍA - Asimov - slidepdf.com

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3

FISICA Para el CBC 2

daParte:

DINAMICA – TRABAJO Y ENERGIA

ROZAMIENTO – DINAMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

FUERZAS ELASTICAS – GRAVITACION – TRABAJO Y

ENERGIA – CONSERVACION DE LA ENERGIA – FUERZASNO CONSERVATIVAS - CHOQUE PLASTICO Y ELASTICO.



4

INDICE

DINAMICA5 ..........Rozamiento

18 Dinámica del movimiento circular

29.......... Fuerzas elásticas.

36 Gravitación

TRABAJO Y ENERGIA

42 ..........Trabajo de una fuerza.

48 Energía cinética

52 ..........Potencia

57 Energía potencial

58...........Energía elástica

62 Energía mecánica64...........Fuerzas conservativas.

66 Fuerzas NO conservativas

68...........Teorema del trabajo y la Energ. Mecánica.

69 Conservación y no conservación de la energía.

CHOQUE

77 ..........Impulso ( J )

78 Cantidad de movimiento ( P )

80 ..........Relación entre J y P

85 Conservación de la cantidad de movimiento.

87 ..........Choque plástico

95 Choque elástico

103.........Choque en 2 dimensiones



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CINEMÁTICA POSICIÓN, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN ( Conceptos )

En cinemática lo que hacemos es ver cómo se mueve un cuerpo. Ese cuerpo puede

ser un coche, un pájaro, una nube, una galaxia, lo que sea.Ver cómo se mueve un objeto significa para la física saber dónde está, quévelocidad tiene, y si esta velocidad cambia o es todo el tiempo la misma.Posición, velocidad y aceleración son tres conceptos que tenés que conocer bienporque se usan todo el tiempo y son la base de un montón de otras cosas que vienendespués. Fijate bien:

El lugar en donde está la cosa que se está moviendo se llama Posición. La rapidez que tiene lo que se está moviendo se llama velocidad.

Si la velocidad del objeto aumenta o disminuye, se dice que tiene aceleración.

Ejemplo:

x Xauto= 1 0 m

Se usa la letra x para indicar la posición porque casi siempre las posiciones semarcan sobre un eje x. Si el objeto está a una determinada altura del piso se usa uneje vertical y ( y la altura se indica con la letra y ).

EJEMPLO: Supongamos que tengo algo a 5 metros de altura. Para dar su posicióntomo un eje vertical Y. Con respecto a este eje digo:

LA POSICIONDEL PATO ESY = 5 metros .

POSICION YVELOCIDAD



10

X e Y se llaman coordenadas del cuerpo. Dar las coordenadas de una cosa ( porejemplo de un avión ) es una manera de decir dónde está el objeto en ese momento.

SISTEMA DE REFERENCIA

Cuando digo que la posición de algo es x = 10 m, tengo que decir 10 m medidos desdedónde.Vos podés estar a 10 m de tu casa pero a 100 m de la casa de tu primo, de maneraque la frase: “estoy a 10 m” no indica nada. Hay que aclarar desde dónde. Entonces en física, lo que ellos hacen es decir:

Por ejemplo el Km cero está en la plaza congreso. Todas las distancias de las rutasse miden desde ahí.En el lugar que elijo como cero pongo el par de ejes x- y. Estos dos ejes forman elsistema de referencia. Todas las distancias que se miden están referidas a él.

Ejemplo :

Para resolver los problemas hay que elegir siempre el par de ejes x- y. Puede serque algún problema se pueda resolver sin tomar sistema de referencia, pero el queellos te van a tomar en el parcial NO.

Poner el par de ejes x- y nunca está de más. Y si el dibujo es comprensible, y elsistema de referencia está bien tomado, eso puede ser la diferencia entre un 2 y un4.



11

( No sé si fui claro ).Las ecuaciones que uno plantea después para resolver el problema, van a estarreferidas al par de ejes x- y que uno eligió. Por eso es tan importante esteasunto. Cuando empieces a resolver los problemas lo vas a entender mejor.

TRAYECTORIA ( Fácil )

La palabra trayectoria para la física significa lo mismo que en la vida diaria.La trayectoria es el caminito que recorre el cuerpo mientras se mueve .Puede haber muchos tipos de trayectorias. Fijate:

Distintostipos detrayectorias.

Una trayectoria no tiene por qué ser algún tipo de curva especial. Puede tenercualquier forma. Puede ser cualquier cosa

POSICIÓNES NEGATIVAS ( leer ! )

Una cosa puede tener una posición negativa ( como x = -3 m, ó x = -200 Km ).Eso pasa cuando la cosa está del lado negativo del eje de las equis.

Esto es importante, porque a veces al resolver un problema el resultado danegativo. Y ahí vos solés decir: Huy !. Me dio X = - 20 m. Pero la posición no puede



12

dar negativa.¿ Ahora que hago !?. Encima el tipo está pidiendo que entreguen las hojas.Soné !.Rta: No soné nada. La posición puede dar perfectamente negativa. Incluso lavelocidad y la aceleración también pueden dar negativas. ( Después lo aclaro ).

Fijate ahora en este dibujito como se representa una posición negativa :

VELOCIDAD NEGATIVA ( leer! )

Si la cosa que se mueve va en el mismo sentido que el eje de las x, su velocidad es( + ). Si va al revés, es ( - ). Atento con esto que no es del todo fácil de entender.

A ver:

Es decir, en la vida diaria uno no usa posiciones ni velocidades negativas. Nadie dice:

“estoy a –3 m de la puerta”. Dice: “estoy 3 mdetrás

de la puerta”. Tampoco se usadecir: “ese coche va a – 20 Km/h ”. Uno dice: “ese coche va a 20 Km por hora alrevés de cómo voy yo. Sin embargo, acá en cinemática, la cuestión de posiciones negativas y velocidadesnegativas se usa todo el tiempo y hay que saberlo bien.

LA LETRA GRIEGA DELTA ( ∆ )∆ )∆ )∆ )

Vas a ver que todo el tiempo ellos usan la letra Delta. Es un triangulito así:→ ∆ .∆ .∆ .∆ .



13

En física se usa la delta para indicar que a lo final hay que restarle lo inicial.Por ejemplo, ∆x querrá decir “ equis final menos equis inicial ”. ∆t querrá decir“ t final menos t inicial “, y así siguiendo.En matemática a este asunto de hacer la resta de 2 cosas se lo llama hallar lavariación o hallar la diferencia. Acostumbrate a estas palabras porque se usamucho. Por ejemplo, una de las frases que vas a escuchar mucho va a ser del tipo:“ Bueno, fijensé que acá para calcular el espacio recorrido voy a tener que hacer ladiferencia ( = la resta ) entre equis final y equis inicial “.

ESPACIO RECORRIDO ( ∆∆∆∆X )

El lugar donde el tipo está se llama posición. La distancia que el tipo recorre al irde una posición a otra se llama espacio recorrido.Fijate que posición y espacio recorrido NO son la misma cosa.

Pongámonos de acuerdo. Vamos a llamar:

x0 = posición inicial ( lugar de donde el tipo salió ).xf = posición final ( lugar a donde el tipo llegó ).∆x = espacio recorrido. ( = Xf – Xo ).

Si el móvil salió de una posición inicial ( por ejemplo X0 = 4 m ) y llegó a unaposición final ( por ejemplo Xf = 10 m ) , el espacio recorrido se calcula haciendo

esta cuenta:∆x = xf - x0

Es decir, en este caso me queda: ∆X = 10 m – 4 m ==> ∆X = 6 m .

TIEMPO TRANSCURRIDO o INTERVALO DE TIEMPO ( ∆∆∆∆t )

El intervalo de tiempo ∆t es el tiempo que el tipo estuvo moviéndose. “ Delta t “puede ser 1 segundo, 10 segundos, 1 hora, lo que sea... Si el objeto salió en undeterminado instante inicial t0 ( por ej. a las 16 hs ), y llegó en un determinadoinstante final ( por ej. a las 18 hs), el intervalo de tiempo “delta te” se calcula

ESPACIORECORRIDO



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haciendo ∆t = tf – t0 , ( Es decir 18 hs – 16 hs = 2 hs ).

MOVIMIENTO RECTILÍNEO y UNIFORME ( MRU )

Una cosa se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme si se mueve en línea recta y recorre espacios iguales en tiempos iguales. Esto lo dijo Galileo ( ídolo! ).Dicho de otra manera:

En el MRU la velocidad no cambia, se mantiene constante. Al ser la velocidad todo eltiempo la misma, digo que lo que se viene moviendo no acelera. Es decir, en elmovimiento rectilíneo y uniforme la aceleración es cero (a = 0 ).

EJEMPLO DE CÓMO SE CONSTRUYEN GRÁFICOS EN EL MRU ( leer bien esto ! )

Suponé que una cosa se viene moviendo a 100 por hora. Una hormiga, por ejemplo.

Después de una hora habrá recorrido 100 Km. Después de 2 hs habrá recorrido



15

200 Km y así siguiendo... Esto se puede escribir en una tablita:

POSICIÓN TIEMPO0 Km 0 hs

100 Km 1 h

200 Km 2 hs

Ahora puedo hacer un gráfico poniendo para cada tiempo la posicióncorrespondiente ( a 0 le corresponde 0; a 1 le corresponde 100; etc ).

Uniendo todos los puntos tengo el gráfico de la posición en función del tiempo:

A este gráfico se lo suele llamar abreviadamente X (t) , X = f (t) , o X = X (t).

Todas estas denominaciones quieren decir lo mismo:

Representación de la posición X en función del tiempo.

Puedo dibujar también los gráficos de velocidad y aceleración en función deltiempo. ( Importantes ). Si lo pensás un poco vas a ver que quedan así:



16

En estos 3 gráficos se ven perfectamente las características del MRU. O sea :El gráfico de V en función de t muestra que la velocidad se mantiene constante.El gráfico de a en función de t muestra que la aceleración es todo el tiempo cero. El gráfico de x en función del tiempo muestra que la posición aumenta linealmente

con el tiempo.

CÁLCULO DE LA VELOCIDAD EN EL MRU

Para calcular la velocidad se hace la cuenta espacio recorrido sobre tiempoempleado. Esta misma cuenta es la que vos usás en la vida diaria.

Supongamos que el tipo salió de la posición x0 y llegó a la posición xf .La velocidad será:

ECUACIONES HORARIAS EN EL MRU (Importante).

La definición de velocidad era: . Si ahora despejo X – X o me queda :

→→→→ V . ( t – to ) = X – X o

→→→→

X = Xo + V . ( t – to ) ← 1ra ECUACION HORARIA

Esta ecuación me va dando la posición del tipo en función del tiempo. ( Atento ).Se la llama horaria porque en ella interviene el tiempo ( = la hora ).

Como ( t - t0 ) es ∆t, a veces se la suele escribir como X = X0 + V x ∆t .Y también si “ t cero” vale cero, se la pone como X = X0 + Vxt . ( Importante )

0

0

t t

x x v

−

−=

MRU.elen Velocidad

empleado.Tiempo

recorrido.Espacio

←−

−=

∆

∆=

0 f

0 f

t t

x x v

t

x v



17

Suponete que lo que se está moviendo salió en t0 = 0 de la posición X0 = 200 Km.

Si el objeto salió con una velocidad de 100 Km/h, su ecuación horaria será:

X = 200 Km + 100h

Km . ( t – 0 )

→ X = 200 Km + 100h

Km t

Si en la ecuación voy dándole valores a t ( 1 h, 2 hs, 3 hs, etc) voy a tener laposición donde se encontraba el tipo en ese momento.Las otras dos ecuaciones horarias para el caso del MRU son:

En definitiva, las tres ecuaciones horarias para el MRU son:

X = Xo + V . ( t – to )V = Ctea = 0

De las tres ecuaciones sólo se usa la primera para resolver los problemas.Las otras2, digamos que no se usan. Son sólo conceptuales. ( pero hay que saberlas ).

TANGENTE DE UN ÁNGULO

Calcular la tangente (tg) de un ángulo significa hacer la división entre lo que mideel cateto opuesto y lo que mide el cateto adyacente. Por ejemplo, dibujo un ángulocualquiera.

Un triángulode ángulo alfa

En este triángulo la tangente de alfa va a ser:

Tg α =adyacente

opuesto ← Tangente de un ángulo.

0a ycte ==v

ECUACIONES HORARIASPARA EL MOVIMIENTORECTILINEO Y UNIFORME



18

437,0 8,4

1,2

== cm

cm

tgα

Midiendo con una regla directamente sobre la hoja obtengo:opuesto: 2,1 cmadyacente: 4,8 cm

Entonces:

Fijate que el resultado no dio en cm. La tangente de un ángulo es siempre unnúmero. ( No tiene unidades).

PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de una recta es una cosa parecida a la tg de un ángulo, sólo que tieneunidades.

Hallar el valor de la pendiente de una recta significa hacer la división entre lacantidad que está representando el cateto opuesto y la cantidad que estárepresentando el cateto adyacente.

Veamos: supongamos que tengo la siguiente recta que proviene de larepresentación de la posición en función del tiempo para una cosa que se vienemoviendo con MRU:

Para el ángulo alfa que yo dibujé, el cateto opuesto MIDE unos 1,8 cm si lo mido conuna regla en la hoja. Pero REPRESENTA 160 m. De la misma manera, el catetoadyacente MIDE unos 3,8 cm; pero REPRESENTA 8 seg.

De manera que el valor de la pendiente de la recta va a ser:

En este caso:

s

m20 pendiente

s 8

m160 pendiente =⇒=

Cat.Ady.elrepresentaqueValorOp.Cat.elrepresentaqueValor

Pendiente =Pendiente de

una recta



19

0 x t v x

b x my

+⋅=

+⋅=

!!!!

Repito . Fijate que la pendiente no es sólo un número, sino que tiene unidades. Eneste caso esas unidades me dieron en metros por segundo. La pendiente puededarte en otras unidades también. Eso depende de qué estés graficando en funciónde qué.

LA PENDIENTE DE LA RECTA EN EL GRÁFICO X=f(t) ES LA VELOCIDAD

No es casualidad que la pendiente del gráfico anterior haya dado justo enunidades de velocidad. La pendiente de la recta en el gráfico posición en funcióndel tiempo SIEMPRE te va a dar la velocidad del movimiento.¿ Por qué ?.Rta: Porque al hacer la cuenta “opuesto sobre adyacente” siempre estás haciendo∆x/∆t, y esto es justamente la velocidad (Atenti).

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LAS ECUACIONES HORARIAS ( ver ) En cinemática se usan todo el tiempo 3 gráficos muy importantes que son los deposición, velocidad y aceleración en función del tiempo.Cada gráfico es la representación de una de las ecuaciones horarias.

Quiero que te acuerdes primero cómo se representaba una recta en matemática.La ecuación de la recta tenía la forma y = m.x + b. be era el lugar donde la rectacortaba al eje y ( ordenada al origen ) y eme era la pendiente.

Por ejemplo la ecuación de una recta podría ser y = 3 x + 4.

Ahora, si tomo la 1ra ecuación horaria con t0 = 0 ( que es lo que en general suelehacerse ), me queda x = x0 + v . t . Ahora fijate esta comparación:

Veo que la ecuación de X en función del tiempo en el MRU también es una rectaen donde la velocidad es la pendiente y X0 es el lugar donde la recta corta el



20

eje vertical. Para cada ecuación horaria puedo hacer lo mismo y entonces voy a tener 3 lindosgráficos, uno para cada ecuación.

Entonces los tres gráficos característicos del MRU quedan así:

VELOCIDAD MEDIA

Si un tipo va de un lugar a otro y sin ir todo el tiempo a la misma velocidad, suvelocidad media se calcula así:

Por ejemplo: Supongamos que un auto va a Mardel por la ruta 2 ( unos 400 Km ).Si tarda 6 hs en llegar. Su velocidad media va a ser:

hKm

t

x v m

5,626hs

375Kmv

recta)línea(en

m ==⇒

∆

∆=

Los 3 gráficosrepresentativos del

movimiento rectilíneo y uniforme

(Muy importantes)

(1) Posición en función deltiempo ( Muestra quex aumenta linealmentecon t )

(2) Velocidad en función

del tiempo ( Muestraque v se mantieneconstante).

(3) Aceleración en funcióndel tiempo ( Muestraque la a es todo eltiempo cero ).

media Velocidad distanciaesarecorrerenempleadoTiempo

llegadadepuntoel ypartidadepuntoelentrehayquerectalíneaenDistancia

vm =



21

EJEMPLOS DE MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME

Un tipo sale de la posición x0 = 400 Km a las 8 hs y llega a la posición xf = 700 Km a las 11 hs. (fue en línea recta y con v =

constante). Se pide:

a)-Tomar un sistema de referencia y representar lodescripto en el problema.

b)-Calcular con qué velocidad se movió (en Km/h y en m/s)

c)-Escribir las 3 ecuaciones horarias y verificarlas.d)-Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs.e)-Dibujar los gráficos de x = f(t), v = v(t) y a = a(t).

a) - El sistema de referencia que elijo es el siguiente:

b) - Calculo con qué velocidad se movió. V era ∆x / ∆t , entonces:

Para pasar 100 Km/h a m/s uso el siguiente truco: ( recordalo por favor ). A lapalabra “Km” la reemplazo por 1000 m y a la palabra “hora” la reemplazo por 3600 seg. Entonces :

tipodel Velocidad /100

3300

811400700

0

0

hKmv

hs

Kmv

hs hs

KmKmv

t t

x x v

f

f

=

=

−

−=

−

−=

seg

m

h

Km

seg

m

h

Km

6,3100

100

36001000

.100 100

=⇒

=



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Fijate en este “ tres coma seis”. De acá saco una regla que voy a usar mucho :

Si no te acordás de esta regla, no es terrible. Lo deducís usando el mismo trucoque usé yo y listo. ( 1 Km son mil metros, 1 h son 3600 segundos, etc ).

C ) - Escribir las 3 ec. horarias y verificarlas.

Bueno, en el movimiento rectilíneo y uniforme las ecuaciones horarias eran:

En este caso reemplazo por los datos y me queda:

Verificar las ecuaciones horarias significa comprobar que están bien planteadas.Bueno, con la 2da y la 3 ra (V = 100 Km / h, y a = 0 ) no tengo problema. Sé que elmovimiento es rectilíneo y uniforme de manera que la velocidad me tiene que darconstante, y la aceleración cero . ( ==> están bien ).Vamos a la verificación de la 1ra ecuación.Si esta ecuación estuviera bien planteada, reemplazando t por 8 hs (= t0 ), laposición me tendría que dar 400 Km ( = x0 ). Veamos si da:

== > X = 400 Km ( Dió bien ).

Vamos ahora a la posición final. Para t = 11 hs la posición me tiene que dar x = 700

0

( 0

= =

⋅ + =

a cte V

t – t 0 ) v x x

0 a

constante hKm100 v

) hs 8 t ( h

Km100 Km400 x

=

==

−+=

Para pasar de Km/h a m / s hay que

dividir por 3,6.Para pasar de m /s a

Km / h hay que multiplicar por 3,6.

Regla para pasarde Km /h a m /s

y viceversa.

0)88(100400

)8(100400

−+=

−+=

hs hs hKmKmx

hs t hKmKmx

" "#" "$%



23

Km. Otra vez reemplazo “t cero” por 11 hs.Hago la cuenta a ver que da.

== > X = 700 Km ( Dió bien ).

d)- Calcular la posición a las 9 hs y a las 10 hs.Hago lo mismo que lo que hice recién, pero reemplazando t por 9 hs y por 10 hs:

Para t = 10 hs :

e) - Dibujar los gráficos x = x (t), v = v (t) y a = a (t) .

El más complicado de hacer es el de posición en función del tiempo.De lo que calculé antes puedo armar una tabla como esta:

x t400 Km 8 hs500 Km 9 hs600 Km 10 hs700 Km 11 hs

Ahora represento estos puntos en el gráfico x- t :

)811( 100400

)8(100400

3

−+=

−+=

hs hs h

KmKmx

hs t h

KmKmx

hs " "#" "$%

hs.9lasaPosición 500

)89( 100400

)9(

1

←=⇒

−+=

Kmx

hs hs h

KmKmx

hs

h

"#"$%

hs10lasaPosición 600

)810( 100 400

)10(

2)10(

←=⇒

−+=

Kmx

hs hs h

KmKmx

hs

hs

hs " "#" "$%



24

En realidad no hacia falta tomar tantos puntos. Con 2 hubiera sido suficiente( porque es una recta ).

Finalmente el gráfico posición en función del tiempo X (t) queda así :

Los otros dos gráficos quedarían de esta forma :

Por último me gustaría verificar que la pendiente del gráfico de posición enfunción del tiempo es la velocidad del movimiento. Veamos si verifica :

Fijate bien cómo consideré los catetos opuesto y adyacente. Siempre el catetoopuesto tiene que ser el espacio recorrido ( ∆x ) y el adyacente, el tiempoempleado ( ∆t ).Por ejemplo, si la recta estuviera yendo para abajo en vez de para arriba :



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adyacenteopuesto

pendiente =

bien.Dio 100.

8hs-11hs

400Km-700Km.

←=

=

hKm pend

pend

Este sería el caso de una cosa que tiene velocidad negativa. Para la verificación dela pendiente hago esto:

OTRO EJEMPLO (velocidad media)

Un tipo tiene que recorrer un camino que tiene 100 Km. Los primeros 10 Km los recorre a 10 Km/h. Después recorre 30 Km á 30Km por hora. Y, por último, recorre los 60 Km finales a 60 Km/h.a)-¿Qué tiempo tardó en recorrer los 100 Km? b)-¿A qué velocidad constante tendría que haber ido pa-

ra recorrer los 100 Km en el mismo tiempo?c)–Dibujar los gráficos: x(t), v(t) y a(t).

Hago un esquema de lo que plantea el problema:

El tiempo total que va a tardar va a ser la suma de estos 3 tiempos. Es decir:

:cuentaslasHaciendo

:serátdeltael Comotramo.cadarecorrerentardótiempoquéfijoMe

==∆

==∆

==∆

∆=∆

∆

∆=

h1 hKm60

Km60 t

h1 hKm30

Km30 t

h1 hKm10

Km10 t

.v

x t

,t

x v

3

2

1



26

Δt total = Δt1 + Δt2 + Δt3

Δt total = 3 hs.

Por lo tanto tarda 3 hs en recorrer los 100 Km.b) La velocidad constante a la que tuvo que haber ido para recorrer la misma

distancia en el mismo tiempo es justamente la velocidad media.Entonces:

c) Veamos cómo dan los gráficos:

Lo que quiero que veas principalmente es cómo en el primer gráfico las rectas sevan inclinando más y más hacia arriba a medida que aumenta la velocidad. Másaumenta la velocidad, más aumenta la pendiente. Y es que la pendiente de la rectaen el gráfico X (t) es justamente la velocidad. Por eso, al aumentar la velocidad,aumenta la inclinación.

Eso es todo lo que tenés que saber.

Fin teoría Movimiento Rectilíneo y Uniforme. Próximo tema : Encuentro – MRUV.

mediaVelocidad Km 3,33

3hs100Km

←=⇒

=⇒∆

∆=

hv

v t

x v

m

mm

&



27

ENCUENTRO ( Importante )

Encuentro es un tema que les gusta bastante. Suelen tomarlo en los exámenes yhay que saberlo bien.

No es muy difícil. Lee con atención lo que sigue.

¿ CUÁNDO DOS COSAS SE ENCUENTRAN ?

Dos cosas se encuentran cuando pasan por el mismo lugar al mismo tiempo.Fijate que esto último lo subrayé. Es que para que 2 cosas se encuentren noalcanza con que pasen por el mismo lugar. Tienen que pasar por el mismo lugar al

mismo tiempo .El otro dia vos fuiste a lo de tu primo. ¿ Vos sabés que justamente yo también fui

a lo de tu primo ?. Pero no te vi.¿ Cómo puede ser que no te haya visto si estuvimos en el mismo lugar ?.Bueno, seguramente habremos estado a diferentes horas, o diferentes días.

Es decir, los 2 estuvimos en el mismo lugar pero NO al mismo tiempo.No te compliques. Esto que parece fácil, ES fácil.

Una situación de encuentro podría ser la siguiente: Esto muestra una ruta vistade arriba. ( Típico problema de encuentro ).

SISTEMA DE REFERENCIA

En algún momento los dos autos se van a encontrar en alguna parte de la ruta.Lo que va a pasar ahí es esto:



28

Este asunto del encuentro lo pongo en forma física así:

Esta condición se cumple en todos los casos y en todos los problemas deencuentro. Es decir, puede ser que los coches estén viajando en el mismo sentidoo en sentido contrario. Puede ser que uno vaya frenando y el otro acelerando.Puede uno ir con MRUV y el otro con MRU. Lo que sea. La historia es siempre lamisma y la condición será x A = x B para t = t e .

COMO RESOLVER PROBLEMAS DE ENCUENTRO:

Los problemas de encuentro son problemas en los que una cosa sale del lugar A yotra sale del lugar B. Pueden salir al mismo tiempo o no. Pueden moverse en elmismo sentido o no. Pueden ir con MRU o no.Lo que siempre te van a preguntar es: dónde se encuentran los tipos y después decuánto tiempo.Para resolver esto conviene seguir estos pasos. Prestá atención:

1 - Hago un dibujo de lo que plantea el problema. En ese dibujo elijo unsistema de referencia. Sobre este sistema marco las posiciones iniciales delos móviles y la velocidad de c/u de ellos con su signo . Si la velocidad va enel mismo sentido del eje x es (+ ). Si va al revés, es (- ) . ( ojo ! ).

2- Escribo las ecuaciones horarias para c/u de los móviles.( xA = ..., xB = ...)

3- Planteo la condición de encuentro que dice que la posición de A debe serigual a la de B para t = te.

4- Igualo las ecuaciones y despejo te . Reemplazando te en la ecuación de

xA o de

xB calculo la posición de encuentro.5- Conviene hacer un gráfico Posición en función del tiempo para los 2 mó-

viles en donde se vea la posición de encuentro y el tiempo de encuentro.------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ejemplo: Problema de encuentro en MRU

Un auto y un colectivo están ubicados como muestra el

dibujo y se mueven a 60 y 20 Km/h respectivamente.

encuentro.

deCondición !IMPORTANTE¡ ←== e B A t para t x x

!



29

0

hKm60

t hKm60 0

=

=

⋅+=

A

A

A

a auto v el

x Para

a)-Calcular cuánto tiempo tardan en encontrarse.

b)-Hallar el lugar donde se encuentran.c)-Hacer el gráfico de x(t) para los 2 móviles y

verificar los puntos a) y b).

Bueno, empiezo haciendo un dibujito que explique un poco el enunciado.

Para calcular lo que me piden sigo los pasos que puse antes:1 - Hago un esquema. Elijo un sistema de referencia. Marco las posiciones y

las velocidades iniciales:

Puse el sistema de referencia en el lugar donde estaba el auto al principio.Las dos velocidades son ( + ) porque van en el mismo sentido del eje x.

2 - Planteo las ecuaciones horarias. ( Ojo. Esto hay que revisarlo bien, porquesi están mal planteadas todo lo que sigue va a estar mal... ).

3 - Planteo la condición de encuentro que dice que la posición de los 2 tipos debe coincidir en el momento del encuentro:

0

hKm20

t h

Km20 Km1 ,0

=

=

⋅+=

A

B

B

av

x

Parael

bondi



30

x A = x B para t = t e

Las ecuaciones de la posición para A y B eran:

4 - Igualo las ecuaciones y despejo lo que me piden:

Reemplazando este t e en cualquiera de las ecuaciones horarias tengo la posiciónde encuentro. Por ejemplo, si reemplazo en la de x A :

Para verificar puedo reemplazar t e en la otra ecuación y ver si da lo mismo.A mi me gusta verificar, porque si me da bien ya me quedo tranquilo. A ver :

)m150( 15,0

600

ENCUENTRODEPOSICION

hs 0,0025e

←==⇒

⋅+=

Kmx

t h

Kmx

e

e

t h

KmKm

t h

Km

⋅+=

⋅+=

201,0x

600x

B

A

ENCUENTRO DE TIEMPO

60

9t

:3600 por ndomultiplica entonces, segundos, 3600 son hora Una

0025,0 40 1,0

1,040

1,02060

201,0

←=

==⇒

=⋅⇒

=⋅−⋅⇒

⋅+=⋅

seg

hs hKm

Kmt

Kmt h

Km

Kmt h

Kmt

h

Km

t h

KmKmt

h

Km

e

e

e

e e

e e

dió.Bien, m)150( 15,0

201,0 hs 0,0025

←==⇒

⋅+=

Kmx

t h

Kmx

e

e e



31

Es decir que la respuesta al problema es que el coche alcanza al colectivo en9 seg , después de recorrer 150 m.De la misma manera podría haber dicho que el encuentro se produce a los 9segundos y después que el colectivo recorrió 50 m. Esto es importante. Cuando

uno dice que el encuentro se produce a los 150 metros tiene que aclarar desde dónde están medidos esos 150 metros. La situación final vendría a ser esta:

AUTO ENCUENTRO

c) Otra manera de verificar que lo que uno hizo está bien es hacer el gráficox(t)

representando c/u de las ecuaciones horarias. Lo que hago es ir dándole valores at y calcular los de equis. Fijate. Es sólo cuestión de hacer algunas cuentas:

Auto x A t | x B t ColectivoxA = 60.t 0 0 | 100m 0 xB = 0,1 + 20.t

50m 3 seg | 116m 3 seg

100m 6 seg

|133m 6 seg

150m 9 seg | 150m 9 seg

La representación de las 2 rectas queda así:

POSICIONDE

ENCUENTRO

TIEMPO DE ENCUENTRO

El lugar donde se cortan las rectas indica el tiempo de encuentro sobre el ejehorizontal y la posición de encuentro sobre el eje vertical.



32

Siguiendo estos pasos se pueden resolver todos los ejercicios de encuentro.Hay también otros métodos para resolver estos problemas, sin embargo vos tenésque aprender éste, porque es el que ellos te van a pedir que uses ( y que estáperfecto porque de todos los métodos, éste es el mejor ).

IMPORTANTE: PROBLEMAS EN DONDE UNO DE LOS MOVILES SALEANTES O DESPUES QUE EL OTRO. ( LEER ).

Puede pasar que en un problema uno de los tipos salga antes que el otro. Suponépor ejemplo que el auto hubiera salido 3 seg antes que el colectivo. En ese caso loque hago es calcular qué distancia recorrió el auto en esos 3 seg y plantear un

nuevo problema de encuentro. Es decir, hago esto:

Este método de resolver problemas de encuentro para móviles que no salen en el

mismo momento sirve para todos los casos de encuentro. Se puede aplicarsiempre. Repito: siempre. Los objetos pueden estar moviéndose en el mismosentido, en sentido contrario, con MRU, con MRUV, caída libre, tiro vertical.Lo que sea.

Ahora bien ( y a esto apuntaba yo ). Hay OTRO método para resolver este tipode problemas. Este método es el que generalmente usan ellos y por eso te loexplico. Sin embargo, este método es más difícil de usar y tiene suscomplicaciones.

La cosa es así: En realidad las ecuaciones horarias están escritas en función de“t menos t cero”. ( t – t0 ).De manera que si uno de los móviles salió 3 seg antes que el otro, lo único que unotiene que hacer es reemplazar “ te cero ” por 3 segundos y listo.Hasta acá todo muy lindo. Pero lindo, nada.Porque el asunto es el siguiente:1 - Las DOS ecuaciones horarias tienen el término ( t – t0 )...



33

¿ En cuál de las 2 tengo que reemplazar ?. ( ¿ O reemplazo en las 2 ? ).2 – Si el móvil salió 3 segundos ANTES... ¿ Te cero vale 3 seg o - 3 seg ?

( ¿ Y si salió 3 seg después ? )3 – Si uno de los objetos va con MRUV ( acelera ), entonces el paréntesis ( t – t0 )

tiene que ir al 2. Eso super-complica las cosas porque te va a quedar el cuadradode un binomio.... ¿ Y ahora ?. ¿ Quién resuelve las infernales cuentas que quedan ?.

Resumiendo: El método de reemplazar t0 = 3 seg en ( t – t0 ) sirveperfectamente. Yo no digo que no. Como usar, se puede. El problema es que laposibilidad de equivocarse es muy grande por todo eso que te dije.Por ese motivo yo te recomiendo que no uses ese método. Usa el que te expliqué yo que es más fácil y más entendible.Creo que fui claro. Después no me vengas con que nadie te lo dijo, nadie te lo

explicó, etc, etc. Fin Teoría de Encuentro.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MRUV - MOVIMIENTO RECTLÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO

Suponé un coche que está quieto y arranca. Cada vez se mueve más rápido.Primero se mueve a 10 por hora, después a 20 por hora, después a 30 por hora yasí siguiendo.Su velocidad va cambiando (varía). Esto vendría a ser un movimiento variado.Entonces, ¿ cuándo uno tiene un movimiento variado ?.Rta: cuando la velocidad cambia. ( varía ).Ahora, ellos dicen que un movimiento es uniformemente variado si la velocidadcambia lo mismo en cada segundo que pasa . Mirá el dibujito :

En el ejemplo éste, cuando el tipo ve al monstruo se pone a correr. Después de



34

naceleraciódeDefinición

:decirEs

←∆∆

=t

v a

1 segundo su velocidad es de 10 Km/h y después de 2 segundos es de 20 Km/h.Es decir, su velocidad está aumentando, de manera uniforme, a razón de 10 Km/h por cada segundo que pasa.Atención: Acá en física, la palabra uniforme significa “ Siempre igual, siempre lo

mismo, siempre de la misma manera “.Digo entonces que el movimiento del tipo es uniformemente variado aumentando∆v = 10 Km/h en cada ∆t = 1 seg.

ACELERACIÓN ( Atento )

El concepto de aceleración es muy importante. Es la base para poder entenderbien-bien MRUV y también otras cosas como caída libre y tiro vertical.Pero no es difícil. Ya tenés una idea del asunto porque la palabra aceleración

también se usa en la vida diaria.De todas maneras lee con atención lo que sigue y lo vas a entender mejor.

En el ejemplo, el tipo pasa de 0 á 10 Km/h en 1 seg . Pero podría haber pasado de 0 á 10 Km/h en un año. En ese caso estaría acelerando más despacio. Digo entoncesque la aceleración es la rapidez con la que está cambiando la velocidad.Más rápido aumenta ( o disminuye ) la velocidad, mayor es la aceleración.Digamos que la aceleración vendría a ser una medida de la brusquedad del cambiode la velocidad.

Para tener entonces algo que me indique qué tan rápido está cambiando lavelocidad, divido ese cambio de velocidad ∆V por el tiempo ∆t que tardó enproducirse.

Suponé un auto que tiene una velocidad V0 en t0 y otra velocidad V al tiempo t:



35

naceleracióla calculaseAsí ←

−−

=0

0

t t

v v a

En ese caso la aceleración del tipo va a ser:

Una cosa. Fijate por favor que cuando

en física se habla de aceleración, hablamos de aumentar o disminuir lavelocidad. Lo que importa es que la velocidad CAMBIE. ( Varié ). Para la física, unauto que está frenando tiene aceleración.Atención porque en la vida diaria no se usa así la palabra aceleración. Por esoalgunos chicos se confunden y dicen: Pará, pará, hermano.¿ cómo puede estar acelerando un auto que va cada vez más despacio ?!Vamos a un ejemplo.

EJEMPLO DE MRUV

Un coche que se mueve con MRUV tiene en un determinado

momento una velocidad de 30 m/s y, 10 segundos después,una velocidad de 40 m/s. Calcular su aceleración.

Para calcular lo que me piden aplico la definición anterior :

Fijate que el resultado dio en m/s 2 . Éstas son las unidades en las que se mide laaceleración. Es decir, metro dividido segundo cuadrado o cualquier otra unidad delongitud dividida por una unidad de tiempo al cuadrado ( como Km/h 2 ).¿ Qué significa esto de “1 m/s 2 ” ?. Bueno, 1 m/s 2 lo puedo escribir como:

Esto último se lee así: La aceleración de este coche es tal que su velocidadaumenta 1 metro por segundo, en cada segundo que pasa ( Atención ! ).Un esquema de la situación sería éste:

tipo. delAceleración1 m s 2

10

10

10

30 40

← = ⇒

= ⇒

−

=

a

seg

s m

a seg

s m s m

a

}

}s 1

s m1 Variación de velocidad.

Intervalo de tiempo.

⋅−−

=0

0

t t

v v a

f

f



36

De acá quiero que veas algo importante: Al tener ya una idea de lo que es la

aceleración puedo decir que la característica del movimiento uniformementevariado es, justamente, que tiene aceleración constante .Otra manera de decir lo mismo ( y esto se ve en el dibujito ) es decir que en elMRUV la velocidad aumenta todo el tiempo ( o disminuye todo el tiempo ) y eseaumento ( o disminución ) es LINEAL CON EL TIEMPO.

Fin del ejemplo

SIGNO DE LA ACELERACIÓN:

La aceleración que tiene un objeto que se muevepuede ser (+ ) o (- ). Esto depende de 2 cosas:

1 – De si el tipo se está moviendo cada vez más rápido o cada vez más despacio.2 – De si se está moviendo en el mismo sentido del eje x o al revés. (" ! ).

Esto quiero que lo veas con un ejemplo numérico. Voy a suponer que en todos los

casos el ∆t es de 1 segundo y saco el signo de la aceleración de : ⋅−−

=0

0

t t

v v a

f

f



37

⋅−−

=0

0

t t

v v a

Estos son los 4 casos posibles. Más no hay. La conclusión que saco de acá es quehay que tener cuidado con el signo de la aceleración al hacer los problemas.

La cosa es que los chicos suelen decir: Bueno, no es tan difícil. Si el tipo va cadavez más rápido, su aceleración va a ser positiva y si va cada vez más despacio, suaceleración va a ser negativa.Hummmmm.... ¡ Cuidado !.Esto vale solamente si el tipo se mueve en el sentido positivo del eje x. ( casos 1 y2 ). Pero si el tipo va para el otro lado, los signos son exactamente al revés.( casos

3 y 4 ).No lo tomes a mal. Esto no lo inventé yo ni lo inventaron ellos, esto simplemente

sale de reemplazar los valores de las velocidades en la ecuación:

ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA

En matemática, una parábola se representaba por la siguiente ecuación:

Dándole valores a X voy obteniendo los valores de Y. Así puedo construir unatabla. Representando estos valores en un par de ejes x- y voy obteniendo lospuntos de la parábola. Eso puede dar una cosa así:

La parábola puede dar más arriba:

más abajo:

)253 :ser podría parábola una ejemplo Por

PARABOLA.UNADEECUACION ..

2

2

+−=

←++=

x x Y

c x b x a y



38

más a la derecha:

más a la izquierda:

más abierta:

más cerrada:

puede inclusodar para a bajo:

Puede dar cualquier cosa, dependiendo de los valores de a, b y c, pero siempretendrá forma de parábola.Atento con esto !. Las parábolas siempre aparecen en los problemas de MRUV.

ECUACIONES HORARIAS Y GRÁFICOS EN EL MRUV ( IMPORTANTE )

Las ecuaciones horarias son siempre las de posición, velocidad y aceleración enfunción del tiempo. Quiero que veas cómo da cada una en el MRUV.Voy a empezar de atrás para adelante porque así es más fácil de entender.

3ª Ecuación horaria ( a = f(t) )La característica fundamental de un movimiento uniformemente variado es que laaceleración es constante. No cambia. Siempre es igual. Siempre vale lo mismo.Esto puesto en forma matemática sería:

El gráfico correspondiente es una recta paralela al eje horizontal. O sea, algo así:

2ª Ecuación horaria ( V = f(t) )Otra manera de decir que la aceleración es constante es decir que la velocidadaumenta ( o disminuye ) linealmente con el tiempo. Esto sale de la definición de

horaria Ecuación 3 r a← = cte a



39

aceleración, que era:a =

Tonces, si despejo : Vf - V0 = a ( t – t 0 )

== > Vf = V0 + a ( t – t 0 )Casi siempre “te cero” vale cero. Entonces la ecuación de la velocidad queda así:

Vf = V0 + a . t 2da ECUACION HORARIA

Esto es la ecuación de una recta. Tiene la forma y = eme equis + be.( Y = m X + b).

La representación es así:

Por ejemplo, una 2ª ecuación horaria típica podría ser: Vf = 10s

m + 2 2s

m t

El tipo que se moviera siguiendo esta expresión habría salido con una velocidadinicial de 10 m/s y tendría una aceleración de 2 m /s 2.Esto lo vas a entender mejor cuando veas algún ejemplo hecho con números ocuando empieces a resolver problemas. Ahora seguí.

1 ra Ecuación horaria ( x = f(t) )

Esta es la ecuación importante y es la que hay que saber bien. La ecuación de laposición en función del tiempo para el movimiento uniformemente variado es ésta:

X = X0 + V0 t + ½ a t 2 ← 1ra

ECUACION HORARIA.

Prefiero no explicarte la deducción de esta ecuación porque es un poco largo.( En los libros está ). Lo que sí quiero que veas es que es la ecuación de unaparábola. Fijate:

⋅−−

0

0

t t

v v f



40

202

1000 )()( t t a t t v x x −⋅+−⋅+=

VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO

Cada término de la ecuación X = X0 + V0 t + ½ a t 2 tiene su equivalente en laexpresión Y = a X2 + b X + C . La expresión completa-completa de la 1ª ecuaciónhoraria vendría a ser en realidad el siguiente choclazo:

Pero así escrita con (t-t0 ) se usa poco en los problemas. Esto es porque casisiempre en los problemas t0 vale cero.Yo siempre voy a usar la ecuación con t, salvo que en algún ejercicio tenga queusar obligatoriamente (t-t0 ).La representación de la posición en función del tiempo es esta:

Este dibujito lindo quiere decir muchas cosas. Ellos suelen decirlo así :

“ Señor, éste no es un dibujito lindo !. Es un gráfico muy importante querepresenta la variación de la posición en función del tiempo para unmovimiento uniformemente variado. Este gráfico nos da nada más ninada menos que la posición del móvil para cualquier instante t.De esta manera tenemos el movimiento completamente descripto

desde el punto de vista cinemático.Este “dibujito lindo” como usted lo llama ( Qué falta de respeto ) es larepresentación gráfica de la función X = X0 + V0 t + ½ a t 2 .Esta función no es cualquier cosa. No señor. Es una ecuación cuadrá-tica. ( t está al cuadrado ).Esto es importante porque me da una característica fundamental delmovimiento uniformemente variado. Supongo que no la debe saber, así

2

. y

.. 200 2

1

x a x b c

t a t v x x

+⋅+=

++=

!!!!!!



41

La parábolanegativa

está triste.

22 .2.14 t

s

mt

s

mmX ++=

TABLA CON LOSVALORES DE LASPOSICIONES Y LOS

que se la digo a ver si aprende algo útil:

“ EN EL MRUV LA POSICIÓN VARÍA CON EL CUADRADO DELTIEMPO. X = f ( t2 ) . EQUIS DEPENDE DE t CUADRADO.”

¿ Lo ve ?. ¿ Lo entendió ? Qué lo va a entender, si hoy en día el alumnoen vez de estudiar se la pasa haciendo cualquier otra cosa. Escuchanesa música loca. Salen a la calle vestidos que es una vergüenza.Yo no se a dónde vamos a ir a parar...”

( Aplausos. Fin de la obra. ). Sigo, che. Te decía entonces que la representacióngráfica de X = X0 + V0 t + ½ a t 2 da una parábola. Esta parábola puede dar paraderecha, para la izquierda, muy cerrada, muy abierta. Eso va a depender de losvalores de equis cero , de Ve cero y de a . Ahora, el hecho de que la parábola

vaya para arriba o para abajo depende ÚNICAMENTE del signo de la aceleración.Si a es ( + ) , irá para arriba ( ∪ ). Si a es ( - ) , irá para abajo ( ∩ ).Esto podés acordártelo de la siguiente manera:

a = + a = -

Conclusión: Hay que ser positivo en la vida !.No. Conclusión: mirá el siguiente ejemplo a ver si lo entendés mejor:

Ejemplo. Supongamos que tengo esta ecuación horaria para algo que se mueve conMRUV :

Este sería el caso de algo que salió de la posición inicial 4 m con una velocidad de1 m/s y una aceleración de 4 m/ s2.Para saber cómo es el gráfico le voy dando valores a t y voy sacando los valoresde x. Es decir, voy haciendo las cuentas y voy armando una tablita.

x [m] t [seg]4 07 114 2

La parábolapositiva

está contenta.



42

Ahora represento esto y me da una cosa así:

Este gráfico es la representación de la 1ª ecuación horaria.Me gustaría que notaras dos cosas:

1) -La parábola va para arriba ( ∪ ) porque a es positiva.

2) -Aunque uno vea sólo un arco así esto es una parábola.La parte que falta estaría a la izquierda y no la dibujé.La podría representar si le diera valores negativos a t ( como –1 seg,-2 seg, etc ). En ese caso el asunto daría así:

Fin Explicación Ec. Horarias. UN EJEMPLO DE MRUV

Una hormiga picadorus sale de la posición X0 = 0 y comienzaa moverse con aceleración a = 2 m/s2 .( V0 = 0 ).

a)- Escribir las ecuaciones horarias.b)- Hacer los gráficos x(t), v(t) y a(t).

Voy a hacer un esquema de lo que pasa y tomo un sistema de referencia:

Las ecuaciones horarias para una cosa que se mueve con movimiento rectilíneouniformemente variado son:

ECUACIONES HORARIASESCRITAS EN FORMAGENERAL.0

221

00

cte a t a v v

t a t v x x f

=⋅+=

⋅+⋅+=



43

( ) aria.complementEcuación 2f ←−⋅=− 0 f

2 0 x x a 2 v v

x0 y v0 valen cero. Reemplazando por los otros datos el asunto queda así:

Ahora, dando valores a t voy sacando los valores de equis y de v . Con estosvalores hago estas tablas:

X t V t a t

0 0 0 0 2m/s2

01 m 1 s 2 m/s 1 s 2m/s2 1 s4 m 2 s 4 m/s 2 s 2m/s2 2 s

Teniendo las tablas puedo representar las ecuaciones horarias.

Fin del Ejemplo.

LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA ( leer )

Hay una fórmula más que se usa a veces para resolver los problemas. La suelenllamar ecuación complementaria. La fórmula es ésta:

Esta ecuación vendría a ser una mezcla entre la 1ra y la 2da ecuación horaria.La deducción de esta ecuación es un poco larga. Pero te puedo explicar de dóndesale. Fijate:

sm2

hormigalapara sm20

horariasEcuaciones sm200

2

2

222

1

cte a

t v

t t x

f

==

←⋅+=

⋅+⋅+=



44

t ta 00

221

00

a

v v v v

t a t v x x

f f

−=⇒⋅+=

⋅+⋅+=

Escribo las 2 primeras ecuaciones horarias. Despejo t de la 2ª y lo reemplazo enla 1ª.

REEMPLAZO

Si vos te tomás el trabajex de reemplazar el choclazo y de hacer todos los pasosque siguen, termina quedándote la famosa ecuación complementaria.Sobre esta ecuación me gustaría que veas algunas cositas. Fijate:

Primero: La ecuación complementaria NO es una ecuación horaria. En ellano aparece el tiempo.

Segundo: Esta fórmula no es una ecuación nueva. Es mezcla de las otrasdos ( de la 1ª y la 2ª ).Tercero: Nunca es imprescindible usar la ecuación complementaria para

resolver un problema. Todo problema de MRUV puede resolverseusando solamente la 1ª y la 2ª ecuación horaria.

Lo que tiene de bueno la expresión Vf2 – V0

2 = 2 a ( Xf – X0 ) es que facilita lascuentas cuando uno tiene que resolver un problema en donde el tiempo no es

dato . Eso es todo.

Ejemplo: En el problema anterior, calcular la velocidad que

tiene la hormiga picadorus después de recorrer 1 m.

Usando la ecuacióncomplementaria:

Lo hago ahora sin usar la ecuación complementaria: Escribo las ec. horarias.

( )

( )

s mV

ms

mv

x x a v v

f

f

2

01.2.20

.2

22f

020

2f

=⇒

−=−⇒

−=−

"

2

2212

21

00

f

0

00f

2001

:era horaria.ec 1ª Lam1recorrerenpicadorus

latardóqueTiempo m2v

:horaria ecuación 2ª la De

t s

m

t mt a t v x x

s t

a

v v t t a v v f

⋅⋅+⋅+=⇒⋅+⋅+=

←=⇒

−=⇒⋅+=

VELOCIDAD FINAL



45

(verifica) 2 4s

m1m

2v

21 : 2

v por doReemplazan

2

2

4

2

2

2f

22f

21

s mv v

m

s

s ms

mm

s mt

f f =⇒⋅⋅=⇒

⋅⋅=

_________________________________________________________________________________________________________________________________



45

VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL MRUV ( leer ).

En el movimiento uniformemente variado la velocidad va cambiando todo el tiempo.La velocidad instantánea es la que tiene el tipo justo en un momento determinado.

El velocímetro de los autos va marcando todo el tiempo la velocidad instantánea.

Ahora quiero que le prestes atención a una cuestión importante. Suponé que agarro elgráfico de posición en función del tiempo y trazo la tangente a la parábola en algúnlugar. La pendiente de esta recta tangente me va a dar la velocidad instantánea en ese

momento. Fijate:

Es decir, yo tengo la parábola. Ahora lo que hago es agarrar una regla y trazar la

tangente en algún punto determinado ( por ejemplo en t1 = 3 seg ). Esa recta va aformar un ángulo alfa y va a tener una determinada inclinación, o sea, una determinada

pendiente. ( pendiente = inclinación ). Midiendo esa pendiente yo tengo la velocidadinstantánea en ese momento ( a los 3 segundos ).

Es un poco largo de explicar porqué esto es así, pero es así. Lo vas a ver más adelanteen análisis. ( Derivada y todo eso. Es fácil ).De acá puedo sacar como conclusión que cuanto mayor sea la inclinación de la recta

tangente, mayor será la velocidad del tipo en ese momento.Quiero decir esto:

VELOCIDAD

INSTANTANEA

velocímvelocímvelocímvelocímeeeet rot r ot r ot r o



46

En este gráfico la pendiente de la recta para t = 2 seg es mayor que la pendiente de la

recta para t = 1 seg. Esto me dice la que la velocidad a los 2 seg es mayor que lavelocidad en 1 seg . Esto es razonable. Este gráfico representa a un tipo que tieneaceleración positiva y que se mueve cada vez más rápido.

Pregunta...¿ Cuál será la velocidad del tipo para t = 0 ? ( ojo ).

Rta: Bueno, la velocidad tendrá que ser cero porque la recta tangente ahí eshorizontal ( ).

ANÁLISIS DE LA PENDIENTE y DEL ÁREA DEL GRÁFICO v = v(t) Supongamos que tengo un gráfico cualquiera de velocidad en función del tiempo.Por ejemplo éste:

Este gráfico indica que lo que se está moviendo salió con una velocidad inicial de 4 m/s y está aumentando su velocidad en 2 m/s, por cada segundo que pasa.Pregunta:¿ Qué obtengo si calculo la pendiente de la recta del gráfico ?

Rta: Obtengo la aceleración. Esta aceleración sale de mirar el siguiente dibujito:



47

4 A A

recorrido Espacio

⇒

−

= + =

12 A

s m m ( seg 2 m

seg A

En este caso el opuesto es ∆v ( la variación de velocidad ), y el adyacente es ∆t ( elintervalo de tiempo ).De manera que, hacer la cuenta opuesto sobre adyacente es hacer la cuenta delta V

sobre delta t ( ∆v / ∆t ). Y eso es justamente la aceleración !

En este caso en especial daría así:

¿ Y si calculo el área que está bajo la recta que obtengo ?

Veamos:

A ver si me seguís: El área del coso así va a ser la de este + la de este .

Ahora en el ejemplo que puse antes, el área va a ser:

nAceleració 202

482

←=−−

=∆∆

==s

m

s s

s ms m

t

v

ady

op pend

!

Recordar recorrido Espacio

es Esto

22

02

21

0

0

tav

←=⇒

∆=

←⋅+⋅=⇒

∆⋅+⋅=⋅+⋅=+=

⋅=∆

A

x A

x - x t a t v A

v t t v hb hb AAA

← =

⋅ + ⋅

m

2

) 4 s 8

s 2



48

=+=←=

086 ecuación 4 laderaíceslasSon

22

2

1

x - x x

x

" " "

aparecer.avamomentoalgúnEnsaberlo.quetenéstema Este

22

26 ; 4

2

26

12

814)6()6(

2

4

:Entonces ojo!

0861

21

22

2,1

2

=−

==+

=

⋅

⋅⋅−−±−−

=⋅⋅⋅−±−

=

=+−

x x

a

c a b b x

x x c b a

MATEMÁTICA: Solución de una ecuación cuadrática

Si este tema no aparece en el parcial aparecerá más adelante, pero en algún momento

te vas a topar con él y por eso tenés que saberlo.

Una ecuación cuadrática es una ecuación del tipo:

a X2 + b X + C = 0 E CUACI ON CUADRATI CA

Por ejemplo : X2 - 6 X + 8 = 0. Lo que uno siempre busca son los valores de equis talesque reemplazados en X2 - 6 X + 8 hagan que todo el choclo dé 0 ( Cero ).Esos valores se llaman soluciones de la ecuación o raíces de la ecuación.

En este caso, esos valores son 2 y 4.

Una ecuación cuadrática puede tener 2 soluciones ( como en este caso ); una sola

solución ( las dos raíces son iguales ), o ninguna solución ( raíces imaginarias ).Para calcular las raíces de la ecuación cuadrática se usa la siguiente fórmula:

Para el ejemplo que puse que era X2 - 6 X + 8 = 0 tengo:

No es difícil. Solo hay que remplazar los valores de a, b y c en la fórmula choclaza.

Incluso hay algunas calculadoras tienen ya la fórmula metida adentro.

0 eclade y 2

4solucioneslasobtengoestoCon

221

2

2,1 =++←⋅⋅⋅−±−

= c bx ax x x a

c a b b x



49

.-2a 0a

20v (MRUV) 10 (MRU) Bicho Caracol 20100x 100

2BC

2

2

22

1

cte s

m

t s

mcte

s

mv

t s

m

t mt s

m

x

B C

B C

===

⋅

−+===

⋅

−+⋅+=⋅+=

ENCUENTRO EN EL MRUV ( Lo t oman )

Los problemas de encuentro en donde uno de los móviles ( o los 2 ) se mueven conaceleración, se resuelven haciendo lo mismo que puse antes en la parte de MRU.

Te lo muestro con un ejemplo:

Dado el dibujo de la figura calcular: qué t iempo tardan enencontrarse los 2 móviles, y el lugar donde se encuentran.

Este es un caso de encuentro entre un móvil que se mueve con velocidad constante (el

caracol) y otro que se mueve con aceleración constante (el bicho).

Para resolver esto hago:

1 - Esquema de lo que pasa. Elijo sistema de referencia. Marco posicionesiniciales y velocidades iniciales.

2 - Planteo las ecuaciones horarias para cada móvil.

3 - Escribo la famosa condición de encuentro:

xC = xB para t = te.



50

( )

.encuentrodeTiempo 1816186

22

50010

12

100141010

2

4

21

2

2

2,1

2

2

2

2,1

2

2,1

←==⇒

±−=⇒

⋅

−⋅⋅−

±−

=⇒

⋅⋅⋅−±−

=

seg ,-t seg ; ,t

s

ms

m

s

m

t

s

m

ms

m

s

m

s

m

t

a

cabbt

encuentro. de Posición 8,61

10 10 seg.6,18

←=⇒

⋅=⇒⋅=

mx

t s

mx t

s

mx

C

e e C

4 - Igualo las ecuaciones y despejo el tiempo de encuentro te :

Esto es una ecuación cuadrática que se resuelve usando la fórmula que puse antes:

Es decir que el encuentro se produce a los 6,18 segundos. La solución negativa no va.Lo que me está diciendo el ( - ) es que los tipos se hubieran encontrado 16,18 segundosantes de salir. Como esta solución no tiene sentido físico, la descarto.( Significa: no latomo en cuenta ).

Para calcular la posición de encuentro reemplazo 6,18 seg en la 1ª ec. horaria.

Para verificar puedo reemplazar te en la otra ecuación horaria y ver si da lo mismo.Tenía:

La solución del problema es: El encuentro entre el caracol y el bicho se produce a los6,18 seg y a 61,8 m del caracol.

0100101 110010 22

22

=−⋅+⋅⇒⋅−=⋅ mt s

mt

s

mt

s

mmt

s

me e e e

( )

) verifica( 8,61

s 18,61100

1100

2

2

mx

s

mmx

t

s

mmx

e

e

e e

=⇒

⋅−=⇒

⋅−=⇒



51

LA VELOCIDAD Y LA ACELERACIÓN COMO VECTORES

La velocidad y la aceleración son vectores. ¿ Qué quiere decir esto ?.Quiere decir que puedo representar la velocidad y la aceleración por una flecha.Si por ejemplo, la velocidad va así→ , la flecha se pone apuntando así→ .

La situación del dibujito es el caso de un tipo que se mueve con velocidad constante.Fijate ahora estas otras 2 posibilidades:

Lo que quiero que veas es que si el auto va para la derecha, la velocidad siempre para

la derecha, pero la aceleración NO. ( Es decir, puede que sí, puede que no, pero no esseguro).

Esta cuestión es importante por lo siguiente: si la velocidad que tiene una cosa va enel mismo sentido que el eje x, esa velocidad será ( + ) . Si va al revés será ( - ) .Lo mismo pasa con la aceleración ( y acá viene el asunto ). Fijate :



52

Ejemplo: Un auto que viene con una velocidad de 54 Km/h (15

m/s) frena durante 3 seg con una aceleración de 2m/s2 .¿ Qué distancia recorrió en ese intervalo ?.

Hago un esquema de lo que pasa. El auto viene a 54 por hora y empieza a frenar:

Ahora tomo un sistema de referencia y planteo las ecuaciones horarias:

En la 1ª ec. horaria reemplazo t por 3 seg y calculo la posición final:

Conclusión: En los tres segundos el tipo recorre 36 metros.

Si yo me hubiera equivocado en el signo de la aceleración y la hubiera puesto positiva ,la cosa habría quedado así:

( )

finalPosición 36

31 315

2

ver

←=⇒

⋅−⋅=

mx

seg s

mseg

s

mx

f

f

.2-a

horarias.Ecuaciones t 215v

2 150x

2B

2

222

1

cte s

m

s

m

s

m

t s

mt

s

m

B

B

==

←⋅

−+=

⋅

−+⋅+=

( )

ver...)queNada( 54X

31 3 15 2

m

seg s

mseg

s

mx

f

f

=⇒

⋅+⋅=



53

!HORROR 21

32 152

←=⇒

⋅+=

s mv

seg s

m

s

mv

f

f

Lo mismo hubiera pasado si hubiera calculado la velocidad final después de los 3 seg:

Esto no puede ser. La velocidad final tiene que dar menor que la inicial !. ( el tipo estáfrenando ).Por eso: ojo con el signo de la aceleración. Si lo ponés mal, todo el problema da mal.

CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE MRUV

Generalmente hay dos tipos de problemas de MRUV que suelen tomar:

1 - Ejercicios de MRUV donde hay que usar fórmulas y ecuaciones.2 - Ejercicios de MRUV donde hay que usar gráficos.

Los problemas de gráficos no tienen una manera especial de resolverse. Cada uno es

diferente. Hay que mirar bien el gráfico y pensar.Suelen darte la representación de la posición en función del tiempo o de la velocidaden función del tiempo. Por ejemplo, pueden ser cosas así :

Dado el gráfico pueden pedirte que calcules cualquier cosa. Puede ser la velocidad en

un punto, la aceleración en un intervalo, el espacio recorrido. No sé, cualquier cosa.Para resolver esto hay que ir analizando pendientes, áreas y pensar un poco...Si el problema es de MRUV propiamente dicho, lo que hay que hacer es un esquema de

lo que el problema plantea, tomar un sistema de referencia y escribir las ecuaciones

horarias. Y por favor acordate de una cosa :

Todo problema de MRUV tiene que poder resolverse usando la 1ra y la 2da ecuación horaria NADA MAS. Puede ser que haya que usar primero unaecuación y después la otra. Puede ser que haya que combinar las ecuaciones.

Puede ser cualquier cosa, pero todo problema tiene que salir de ahí.



54

Aclaro esto porque a veces vos venís con miles de ecuaciones planteadas. Está MAL.Te estás complicando. Son sólo DOS las ecuaciones que permiten resolver el problema.Si el tiempo no es dato, tal vez pueda convenir usar la ecuación complementaria, pero

eso se hace para ahorrarse de hacer cuentas, nada más. Usando solamente la 1ª y la

2ª ecuación horaria el problema TIENE QUE SALIR. Repito: Tal vez haya que hacermás cuentas, pero usando solo 2 ecuaciones el problema tiene que salir.

Fin Teoría de MRUV.

CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL

Suponé que un tipo va a la ventana y deja caer una cosa. Una moneda, por ejemplo.

Claro, el tipo tiene razón. Cuando uno deja caer una cosa, lo que cae, cae con MRUV.Toda cosa que uno suelte va a caer con una aceleración de 9,8 m/s2. Puede ser una

moneda, una pluma o un elefante. Si suponemos que no hay resistencia del aire, todaslas cosas caen con la misma aceleración.

¿ Quién descubrió esto ? Obvio. Galileo . ( IDOLO ! ).Este hecho es medio raro pero es así. En la realidad real, una pluma cae más despacio

que una moneda por la resistencia que opone el aire. Pero si vos sacás el aire, la pluma y la moneda van a ir cayendo todo el tiempo juntas. ( Este es un experimento que sepuede hacer).

Esta aceleración con la que caen las cosas hacia la Tierra se llama aceleración de lagravedad. Se la denomina con la letra g y siempre apunta hacia abajo.



55

En el caso de la moneda que cae yo puedo “ acostar “ al problema y lo que tendríasería un objeto que acelera con aceleración 9,8 m / s

2 . Vendría a ser algo así :

Es decir que un problema de caída libre no se diferencia para nada de un problema deMRUV. Es más, la caída libre es simplemente un ejemplo de un MRUV. Para resolverestos problemas puedo aplicar los mismos razonamientos, las mismas ecuaciones, todolo mismo. La única diferencia es que antes todo pasaba en un eje horizontal. Ahora

todo pasa en un eje vertical. Lo demás es todo igual.Pregunta:¿ Y qué pasa con el tiro vertical ?.Rta: Y bueno, con el tiro vertical es la misma historia. Tiro vertical significa tirar unacosa para arriba.

Si yo acuesto una situación de tiro vertical, lo que voy a obtener va a ser esto:

Es decir, tengo la situación de una cosa que sale con una determinada velocidad inicial y se va frenando debido a una aceleración negativa.

0

0

m9,8a

:estotendríaabajoparainicialvelocidadcontiradohubieralosiY

m9,8a

2

0

2

x s

x s

v

→ = →

→ =→

0

2m9,8)(a)(

0

x s

v

→

← → −=+



56

¿ Y esto qué es ? Y bueno, es un movimiento rectilíneo uniformemente variado.Si hiciera un esquema tomando un eje vertical y, tendría algo así:

Conclusión:Tanto la caída libre como el tiro vertical son casos de movimiento rectilíneo

uniformemente variado. Los problemas se piensan de la misma manera y se resuelven

de la misma manera. Las ecuaciones son las mismas. Los gráficos son los mismos.Caída libre y tiro vertical no son un tema nuevo, son sólo la aplicación del tema

anterior.Quien sabe MRUV, sabe caída libre y tiro vertical. ( Sólo que no sabe que lo sabe ).

CÓMO RESOLVER PROBLEMAS DE CAÍDA LIBRE y TIRO VERTICAL

1 - Hago un esquema de lo que pasa. Sobre ese esquema tomo un eje vertical y.Este eje lo puedo poner apuntando para arriba o para abajo ( como más me convenga )Puede ser algo así:

SIGNOS ENUN TIROVERTICAL.

Sobre este esquema marco los sentidos de v0 y de g. Si V0 y g apuntan en el mismo

sentido del eje y, serán (+ ) .Si alguna va al revés del eje y será (- ) .( como en eldibujo).

El eje horizontal x puedo ponerlo o no. No se usa en estos problemas pero se puedeponer.

2 - La aceleración del movimiento es dato y vale g . Generalmente se la tomacomo 10 m/s2. Escribo las ecuaciones del movimiento. Incluso puedo poner la ecuacióncomplementaria que me puede llegar a servir si no me dan el tiempo.



57

Si, por ejemplo en el dibujo V0 fuera 10 m/s, la aceleración de la gravedad fuera 9,8m/s

2 y la altura del edificio fuera de 20 m, las ecuaciones horarias quedarían:

3 - Usando las primeras 2 ecuaciones horarias despejo lo que me piden.

En este tipo de problemas suelen pedirte siempre las mismas cosas. Puede ser eltiempo que tarda en llegar a la altura máxima. Puede ser la velocidad inicial con la que

fue lanzado. Puede ser cuánto tarda en caer. Siempre son cosas por el estilo.

Pueden tomarte un problema de encuentro también. En ese caso hay que plantear lasecuaciones horarias para cada uno de los cuerpos y después seguir los pasos de

siempre para resolver problemas de encuentro.

Ejemplo ( CAIDA LIBRE Y TIRO VERTICAL )

Un tipo está parado a 20 m de altura. Calcular qué tiempotarda y con qué velocidad toca el suelo una piedra si el tipo:

a)- La deja caer.b)- La tira para abajo con V0 = 10 m/s.c)- La tira para arriba con V0 = 10 m/s.

Un esquema de lo que pasa es el siguiente:

( ) ariaComplementEc. 2

Horarias Ecuaciones

02

02

0

221

00

←−⋅⋅=−

==

⋅+= ←⋅+⋅+=

y y g v v

g cte a

t g v v

t g t v y y

f f

f

ctes

m 9,8 -a

Datos los

por ts

m9,8-

s

m10V

Reemplacé

ts

m9,8-

21t

s

m 10m20Y

2

2f

22

==

←⋅

+=

⋅

+⋅+=



58

Voy al caso a) donde el tipo deja caer la piedra. Elijo mi sistema de referencia ymarco v0 y g con su signo. En este caso Vo vale cero porque la piedra se deja caer.

Reemplazo por los valores y las ecuaciones del movimiento quedan así :

El tiempo que la piedra tarda en caer lo despejo de la 1ª ecuación. Cuando la piedratoca el suelo su posición es y = 0. Entonces en la primera ecuación reemplazo y por

cero. Me queda :

Reemplazando este tiempo en la segunda ecuación tengo la velocidad con que toca elpiso :

cte a

t V

t mY

f

==

←⋅

+=

⋅

+=

2

2

22

s

m9,8 -

horarias s

m9,8- 0

Ecuaciones s

m9,8-20 21

seg ,t

s m,

mt mt

s

m,

t s

m,m

tardaqueTiempo 022

94

20 2094

8921 200

2

22

2

2

2

←=⇒

=⇒=⇒

−=

8,19

02,28,92

←−=

⋅−=

s

mV

s s

mV

f

f

Velocidad de la piedra

al tocar el suelo.



59

El signo negativo de Vf me indica que la velocidad va en sentido contrario al eje ySiempre conviene aclarar esto.

b) - La tira para abajo con V0 = 10 m/s.

Tomo el mismo sistema de referencia que tomé antes. Eje Y positivo vertical haciaarriba. Ahora la velocidad inicial es (-) porque va al revés del eje Y. ( Atento ).

Igual que antes, cuando la piedra toca el suelo, y = 0. Entonces:

Esto es una ecuación cuadrática. Fijate que te marqué los valores de a, b y c. Entoncesreemplazo los valores de a, b y c en la fórmula de la ecuación cuadrática.

( Taché la 1ª solución porque tiempos negativos no tienen sentido físico ) . Ahora voy areemplazar este tiempo de 1,24 segundos en la 2ª ecuación:

( )

caida.deTiempo 24,1283

89

182210

:cuentaslasHaciendo

9,42

20 9,441010

2

4

21

2

21

2

2

2

2,1

2

2,1

←=−=⇒

±−=⇒

⋅

−⋅⋅−

±−

=⇒

⋅⋅⋅−±−

=

seg t seg ; ,t

s

m,

s m,s mt

s

m

ms

m

s

m

s

m

t

a

c a b b t

,

( )

0201094

9,410200 0

22

22

=−⋅+⋅⇒

−⋅−=⇒=

#$#%&

$%&#$#%& c b a

mt s

mt

s

m,

t s

mt

s

mmy



60

piso.eltocaralVelocidad 18,22

24,18,9102

←−=

⋅−−=

s

mV

s

s

m

s

mV

f

f

Reemplazando t= 1,24 seg en Vf = Vo + g t calculo la velocidad final. ( = al tocar elpiso ). Me queda :

c) - Para el caso cuando el tipo la tira para arriba con V0 = 10 m/s, el signo de Vo

cambia. Ahora V0 es positiva. Pero... Ojaldre !. El signo de g NO cambia ! . Lagravedad sigue apuntando para abajo ( como siempre ). Entonces al ir al revés del ejeY su signo es negativo. Las ecuaciones horarias quedan:

Haciendo lo mismo que en los 2 casos anteriores me queda:

Fijate que en los casos b) y c) el tiempo de caída no dio lo mismo. Eso es lógico. En un

caso estoy tirando la piedra para arriba y en el otro para abajoPero en los casos b) y c) la velocidad de la piedra al tocar el piso... SI dio lo mismo !.Hummmmm....

¿ Estará bien ?

Esto me estaría diciendo que al tirar una piedra con una velocidad inicial “ve cero”para arriba o para abajo, ésta toca el piso con la misma velocidad. ( Raro ).

¿ Podrá ser eso ?...Rta: Sí. No es que “puede ser que sea así ”. Tiene que ser así. ( Pensalo ).

Fin Teoría de Caída Libre y Tiro Vertical.Próximo tema: Tiro oblicuo !



61

TIRO OBLICUO – Advertencia.

Tiro oblicuo no es un tema fácil. Los conceptos no son fáciles de entender. Las

ecuaciones no son simples. Los problemas tienen sus vueltas. Encima para poderentender tiro oblicuo y para poder resolver los problemas hay que saber bien - bientiro vertical, caida libre, MRUV y también MRU.Esto no es mala onda. Esto es así. ¿ Sugerencia ?. Resolvé miles de problemas. ( ¡ Oh !. ¿ miles ?! ).Esa es toda la cuestión.Haciendo muchos problemas uno termina agarrándole la mano perfectamente y eltema pasa a ser una pavada. Pero hay que hamacarse. ( Y eso lleva tiempo, que es loque vos no tenés ). Por ese motivo yo te voy a explicar tiro oblicuo ahora en un

minuto y lo vas a entender perfectamente.

Pero por favor, repito, ( Y esto constituye un gran error por parte de los chicos ):no te pongas a hacer problemas de tiro oblicuo hasta que no hayas entendidoperfectamente MRU, MRUV, Caida libre y tiro vertical.¿ Fui claro ?.

Por este motivo es también que a los profesores les encanta tomar tiro oblicuo enparciales y finales. Tiro oblicuo, dicen ellos, es un tema que combina los 3 temas

anteriores.De manera que si el alumno te resuelve bien el problema de tiro oblicuo, se puedeconsiderar que el tipo conoce bien MRU, MRUV, caída libre y tiro vertical...( A grandes rasgos esta afirmación es cierta ).Tiro oblicuo no es imposible. Lee con atención lo que sigue.

¿ QUÉ ES UN TIRO OBLICUO ? Rta.: Un tiro oblicuo es esto:

V0

Es decir, en vez de tirar la cosa para arriba como en tiro vertical, ahora la tiro enforma inclinada, oblicua.

TRAYECTORIA



62

; cos ; ady

op tg

hip

ady

hip

op sen === α α α

HipotenusaOpuesto

αααα

90 °

Adyacente

Antes, el vector velocidad inicial iba así ↑. Ahora va inclinado así .

Antes de seguir con esto necesito que veas 2 temas que son de matemática. Estostemas son trigonometría y proyección de un vector sobre un eje. Los pongo acáporque probablemente no te los hayan explicado bien en el colegio.Muchos profesores saltean estos 2 temas cuando explican tiro oblicuo. Los dan por“ sabidos “ . Esto confunde a la gente. Por eso te recomiendo que leas lo que siguecon atención.

TRIGONOMETRÍA FUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un ÁNGULO

La palabra trigonometría significa medición de triángulos. A grandes rasgos la ideaes poder calcular cuánto vale el lado de un triángulo sin tener que ir a medirlo conuna regla.Para hacer esto, los tipos inventaron las funciones trigonométricas seno, coseno ytangente de un ángulo. Estas funciones se usan cuando uno tiene un triángulo quetiene un ángulo de 90° (rectángulo).Si uno tiene un triángulo de este tipo, se definen las funciones seno, coseno y tg así:

Ejemplo: Calcular el valor de las funciones trigonométricas

para un triángulo rectángulo de lados 3, 4 y 5.

5 cm3 cm

αααα

90 °

4 cm

FUNCIONESTRIGONOMETRICAS



63

Para calcular los valores de seno, coseno y tangente de alfa, hago las cuentas.Las funciones trigonométricas para el ángulo alfa valen:

Para cada ángulo alfa estas funciones toman distintos valores.Conviene recordar los valores que más se usan :

αααα 0° 30° 45° 60° 90°Sen αααα 0 0,5 0,707 0,866 1Cos αααα 1 0,866 0,707 0,5 0Tg αααα 0 0,577 1 1,732 ∞∞∞∞

Es un poco largo de explicar cuáles son todos los usos de las funcionestrigonométricas pero puedo darte un ejemplo:

Suponé que vos querés saber la altura de un árbol pero no tenés ganas de subirtehasta la punta para averiguarlo. Lo que se podría hacer entonces es esto:1ro te parás en un lugar y medís la distancia al árbol. Suponé que te da 8 m. Despuéscon un buen transportador medís al ángulo αααα hasta la punta del árbol. Suponé quete da 30°. Esquemáticamente sería algo así:

75,043

8,054 cos

6,053

===

===

===

cm

cm

hip

op tg

cm

cm

hip

op

cm

cm

hip

op

sen

α

α

α

m

Altura tg

tg

8árboldel 30

:Entonces .adyop :ánguloundetangentedefórmulalausando Ahora,

=°

=αααα



64

De esta manera se pueden calcular distancias ( = lados de un triángulo ) en formateórica. Es decir, sin tener que dibujar el triángulo y medirlo. ( Que se puede hacer,pero es mucho lío y no da exacto).Es más hay veces que hay distancias difíciles de medir. Por más que uno quiera, nopuede ir hasta ahí y medirla. En esos casos, la única manera de calcularla es usartrigonometría.Por ejemplo acá te pongo un caso difícil: la distancia a una estrella.¿ Cómo harías para medirla ?.

Pensalo. A ver si este dibujito te ayuda un poco.

PROYECCIÓN DE UN VECTOR

Suponé que me dan un vector como éste:

Hallar la proyección del vector sobre el eje x significa ver cuánto mide la sombrade ese vector sobre ese eje. Es decir, lo que quiero saber es esto:

Hallar la proyección sobre el eje y es la misma historia:

árbol.delAltura 61,4

308 5770

←=⇒

⋅=⇒

mAltura

tg mAltura

,!"#



65

Para saber cuánto mide la proyección de un vector sobre un eje, en vez deandar midiendo sombras se usa la trigonometría:

Es decir, si tengo un vector v, las proyecciones vx y v y van a ser:

Ejemplo: Hallar las proyecciones de un vector que mide 10cm y forma un ángulo de 30 grados con el eje X.

Tengo un vector de 10 cm con alfa = 30 °. Es decir, algo así :

Entonces la proyección sobre el eje X mide 8,66 cm y la proyección sobre el eje Ymide 5 cm .Aprendete este procedimiento. Lo vas a usar todo el tiempo para calcular lasvelocidades iniciales en el eje x y en el eje y.Es más, conviene memorizar las formulitas que puse recién. ( Vx = ... , V y =.... ).Es fácil : La Vy es V por seno y la Vx es V por coseno. Eso es todo.

α α

α α

cos cos

⋅=⇒ =

⋅=⇒=

hip ady hip

ady

sen hip op hip

op sen

⋅=⋅= α α cos sen v v v v y x

v = 10cmcmsen cmV y 530 10

5,0

=°⋅=$!$"#

cmcmv x 66,830cos10

866,0

=°⋅=$%$&'



66

hip 6

8

PITÁGORAS

El teorema de Pitágoras sirve para saber cuánto vale la hipotenusa de un triángulorectángulo sabiendo cuánto valen los 2 catetos. Si tengo un triángulo rectángulo se

cumple que:

TEOREMA DE PITAGORAS

Ejemplo: Tengo un triángulo de lados 6 cm y 8 cm. ¿ Cuánto mide su hipotenusa ?

Rta.: hip2 = ( 6 cm ) 2 + ( 8 cm ) 2

h 2 = 100 cm 2

h = 10 cm

Hasta ahora todo lo que puse de tiro oblicuo fueron cosas de matemática. Ahora sívoy a empezar con el tema de tiro oblicuo propiamente dicho. Prestá atención :

PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS

Este principio fue enunciado por el master Galileo. ( Idolo ! )).

Lo que él dijo fue que un tiro oblicuo podía considerarse como si estuvieracompuesto por dos movimientos: uno rectilíneo y uniforme sobre el eje x, y otrouniformemente variado sobre el eje y. Mirá el dibujo :

hip op

ady

hip 2 = ady 2 + op 2



67

Cada movimiento actúa como si el otro no existiera, es decir, la sombra en el eje x no sabe ( ni le importa ) lo que hace la sombra en el eje y . Y viceversa, la sombra enel eje y no sabe ( ni le importa ) lo que hace la sombra en el eje x.Es decir ( y este es el truco ):CADA MOVIMIENTO ACTÚA SIN ENTERARSE DE LO QUE ESTÁ HACIENDO EL OTRO. ¿ Captás la idea ?Cada movimiento es INDEPENDIENTE del otro y la superposición de estos 2movimientos da el movimiento real. Es decir, tengo esto:

La sombra en el eje x se va moviendo todo el tiempo a la misma velocidad.Su movimiento será rectilíneo y uniforme y su velocidad será la proyección de lavelocidad inicial sobre el eje x , es decir, Vx valdrá V0 por cos αααα .

La sombra en el eje x se mueve todo el tiempo con velocidad Vx = V0 . cos α .Esta velocidad no se modifica en ningún momento. Es constante.

Voy ahora al eje vertical. Bueno, en y la sombra se mueve como si hiciera un tirovertical. Su velocidad inicial será la proyección de v0 sobre este eje:

Es decir, lo que pasa en el eje y es que la sombra sale con una velocidad inicial quevale Vo y = V0 . sen α .Sube, sube, sube, llega a la altura máxima y ahí empieza a bajar.Exactamente como si fuera un tiro vertical. ¿ Ves como es la cosa ?.

Galileo también se dio cuenta de que la trayectoria en el tiro oblicuo era unaparábola.



68

Es decir, si bien uno descompone el movimiento en 2 para poder entenderlo, elmovimiento en realidad es uno solo: la parábola de tiro oblicuo.

Ahora, este movimiento puede entenderse como si fuera una superposición de losotros dos. Esto es todo lo que tenés que saber. Éste es todo el concepto. Dosmovimientos independientes, uno sobre cada eje, tales que combinados,superpuestos, dan el movimiento original. ( = la parábola de tiro oblicuo ).Quiero que veas ahora unos ejemplos ejemplosos.

EJEMPLOS DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS (ver)

Imaginate un helicóptero que está quieto a una determinada altura y deja caer unacosa. Supongamos que la cosa tarda 20 segundos en caer ( por ejemplo ).

Supongamos ahora que el tipo empieza a avanzar en forma horizontal moviéndose a50 km por hora en dirección equis.Te pregunto...¿ Qué pasa si ahora deja caer el objeto ?.¿ Va a tardar más o menos en tocar el piso ?.

Bueno la respuesta a esto parece fácil pero no es tan fácil. ( Atento ).El asunto es que teniendo el helicóptero velocidad horizontal, el paquete...¡ Va a tardar lo mismo que antes en tocar el suelo !.



69

¿ Por qué pasa esto ?. ( Esta es una buena pregunta ). Bueno, hay que tratar deimaginárselo un poco. El tiempo de caída es el mismo porque a lo que pasa en el eje y ( caída libre ), no le importa lo que pasa en el eje x ( MRU ). La caída libre seproduce como si el movimiento en el eje x no existiera ( atençao con esto ! ).

Mirá esta otra situación. Supongamos que un tipo viene corriendo y se tira de untrampolín. ( Esto lo habrás hecho alguna vez ). Supongamos que en el mismomomento otro tipo se deja caer parado...Te pregunto: ¿ Cuál de los 2 llega primero al agua ?.

¿ CUAL DE LOS 2

LLEGA MAS RAPIDOAL AGUA ?

Rta: Es lo mismo que antes. Los dos tocan el agua al mismo tiempo.¿ Por qué esto es así ?.Rta: Por lo mismo de antes. Porque el movimiento rectilíneo y uniforme que tiene enel eje x el que viene corriendo no afecta para nada, ni influye sobre lo que pasa en

el eje y.

Vayamos ahora a este otro ejemplo bien maldito conocido como “ ahí va la bala “ .

Suponete que un tipo dispara un revolver en forma horizontal y la bala cae a 1kilómetro. Y supongamos también que exactamente en el mismo momento en que eltipo dispara, suelta con la otra mano una bala vacía.Te pregunto: ¿ Cuál de las 2 balas toca 1ro el suelo ?

La respuesta a esta pregunta es la misma de siempre. El tiempo que tardan las2 balas en tocar el suelo es el mismo. Las 2 llegan al mismo tiempo al piso.¿ Por qué ?. Por el principio de independencia de los movimientos de Galileo Idolo.



70

ECUACIONES EN EL TIRO OBLICUO ( leer )

Del principio de independencia de los movimientos surge que, si descompongo elvector velocidad inicial en sus 2 componentes, V

oxy V

oypuedo decir que:

Tengo un tiro vertical en el eje y, de velocidad inicial Voy, y un MRU de velocidad Vox,

en el eje x.Entonces las ecuaciones en el eje x van a ser las de MRU y las del eje y, van a serlas del tiro vertical. Es decir:

¿ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE TIRO OBLICUO ?

Supongamos que me dan un problema de tiro oblicuo en donde un tipo patea unapelota. ( Típico problema de parcial ).

Para resolver un problema de este estilo, hay que seguir una serie de pasos.Lo que generalmente conviene hacer es lo siguiente : ( Atención ).

vertical)(Tiro (MRU) yejeelensombradela xejeelensombralade

movimientoelparaEcuaciones movimientoelparaEcuaciones

0

yEje xEje

↑↑

===

⋅+===

⋅+⋅+=⋅+=

g cte a a

t g v v cte v v

t g t v y y t v x x

y x

y 0 fy x 0 x

2 2 1

y 0 0 x 0 0



71

y

1 - Tomo un sistema de referencia. Lo pongo donde yo quiero y como más me guste.( En general yo siempre lo suelo tomar así: x ).Sobre este dibujo marco V0x, V0y y g , cada una con su signo. Si alguna de estascantidades apunta al revés de como va el eje, es (- ).Por ejemplo, g apunta siempre así , de manera que si yo tomo el eje y así ,g va a ser ( - ). Es decir que al poner g en las fórmulas tengo que poner – 9,8 m/s2

2 - Escribo las ecuaciones horarias para el eje X y para el eje Y :

3 - En estas ecuaciones reemplazo por los datos, pongo g con su signo, marco v0x

( = V0 . cos αααα ) y V0y ( = V0 . sen αααα ), con su signo.Una vez que tengo todas las ecuaciones con los valores numéricos despejo lo que mepiden.Sólo se usan la 1ra ec. para el eje x y la 1ª y 2ª para el eje y. Con estas 3ecuaciones se puede resolver cualquier problema.Repito: Sólo se usan TRES ecuaciones para resolver un tiro oblicuo. Tratar de

inventar más ecuaciones es un error.Todo ejercicio de tiro oblicuo tiene que salir de ahí, de esas 3 ecuaciones.

EJEMPLOS DE TIRO OBLICUO

Un tipo que viene en moto a 90 por hora ( 25 m/s )sube unarampa inclinada 30°. Suponiendo que la rampa es

muy cortay no influye en disminuir su velocidad, Calcular:

a )

- A qué altura máxima llega. b ) - Cuánto tiempo está en el aire.c ) -

A qué distancia de la rampa cae.

He aquí un típico problema de tiro oblicuo. Hagamos un dibujito aclarador :

MOTO RAMPA

cte g a a

t g v v cte v v

t g t v y y t v x x

y x

y 0 fy x 0 x

2 2 1

y 0 0 x 0 0

===

⋅+===

⋅+⋅+=⋅+=

0

yEje xEje



72

Para resolver esto elijo un sistema de referencia. Marco en el dibujo todas lasvelocidades, la aceleración de la gravedad y todo eso.

A la velocidad V0 la descompongo en las componentes horizontal y vertical.

Descompongo la Voen Vox Y en Vo y .

Me queda :

En el eje X la sombra de la moto tiene un MRU. La velocidad de este movimiento esconstante y vale V0x = 21,65 m/s.En el eje y la sombra de la moto se mueve haciendo un tiro vertical de V0y = 12,5m/s. Las ecuaciones horarias quedan así:

Para el eje vertical las cosas quedan de esta manera:

ECUACIONES PARAEL EJE VERTICAL

0 MRU).(

horizontaleje xEjeelparaEcuaciones

=

←==

⋅+=

x

x 0 x

a s

m65 ,21 v v

t s

m65 ,21 0 x

s

msen

s

msen V V

s

m

s

mV V

y

x

5,1230. 25 .

65,2130cos. 25 cos.

00

00

=°==

=°==

α

α

cte s

ma

t s

m

s

mV

t s

mt

s

mY

y

fy

=−=

⋅

−+=

⋅

−+⋅+=

2

2

22

8,9 (MRUV)

8,95,12 yEje

8,95,120 21



73

Todos los tiros oblicuos se resuelven usando solamente las primeras 2 ecuaciones enY y la 1ª ecuación en X . ( 3 en total ). Las otras 3 ecuaciones igual las pongo porqueson importantes conceptualmente. Lo que quiero decir es que:

a ) - Hallar la altura máxima.Cuando el tipo llega a la altura máxima, la sombra sobre el eje y ya no siguesubiendo más. ( Tratá de imaginártelo ). Es decir, que exactamente en ese momentola velocidad en y tiene que ser cero. ( cero ).

Entonces reemplazando la velocidad final en y por cero :

V y = 0

b ) -¿ Cuánto tiempo está en el aire ?Si para subir el tipo tardó 1,275 seg, para bajar también va a tardar 1,275 seg.( Todo lo que sube tiene que bajar ).Es decir, el tiempo total que el tipo está en el aire va a ser 2 veces el t de subida.Pero atención, esto vale en este caso porque la moto sale del piso y llega al piso.

t s

m8 ,9

s

m5 ,12 v

t s

m9 ,4 t

s

m5 ,12 y

t s m65 ,21 x

2 fy

2 2

⋅−=

←⋅−⋅=

⋅=

usan.se ecuaciones

estasSólo

⋅= t 2 t max tot ⋅=⇒ seg 275 ,1 2 t tot

máxima.alturalaallegar enmotolatardaqueTiempo

275,1t

8,95,12t 5,128,9

8,95,120

max

22

2

←=

=⇒=⋅⇒

⋅−=

seg

s m

s m

s

mt

s

m

t s

m

s

m



74

Esto mismo lo podés comprobar de otra manera. Cuando el tipo toca el suelo la

posición de la sombra sobre el eje y es y = 0. Entonces, si reemplazo y por cero en:Y = 12,5 m/s . t – 4,9 m/s2.t

2 , me queda :

c ) - Calcular a qué distancia de la rampa cae el tipo con la moto.

El tiempo total que el tipo tardaba en caer era 2,55 s. Para calcular en qué lugar cae,lo que me tengo que fijar es qué distancia recorrió la sombra sobre el eje x en esetiempo.

Veamos. La ecuación de la posición de la sombra en equis era X = 21,65 m/s .t Reemplazo por t = 2,55 segundos y me queda:

OTRO EJEMPLO DE TIRO OBLICUO

El cañoncito de la figura tira balitas que salenhorizontalmente con velocidad inicial 10 m/s. En el

momento en que se dispara la balita sale el cochecitoa cuerda que está a 8

m del cañón.

¿ A qué velocidad tendría que moverse el cochecito para que la balita le pegue ?

).verifica( 55,2 9,45,12

5,12.9,4

0 . 9,4. 5,12

2

22

22

seg s m

s mt

t s

mt

s

m

t s

mt

s

m

==⇒

⋅=⇒

=−

moto.lacae quelaaDistancia

←=⇒

⋅=

m2 ,55 x

seg 55 ,2 s m65 ,21 x

caída

caída

aire.elenestámoto laquetotalTiempo ←= seg 55 ,2 t tot



75

cte s

ma

t s

mV

t s

mt mY

y

fy

=−=

−+=

⋅

−+⋅+=

2

2

22

8,9

).8,9(0 yEje

8,901 21

a s

m10 v v

t s

m10 0 x

x

x 0 x

=

==

⋅+=

0

xEje

En realidad, éste no es un problema de tiro oblicuo sino de tiro horizontal. Losproblemas de tiro horizontal son un poco más fáciles porque inicialmente no hayvelocidad en y. Voy a tomar este sistema de referencia:

Este problema lo saqué de un parcial. Está bueno porque parece ser difícil perono lo es. Es exactamente igual a cualquier otro problema de tiro oblicuo. Tiene lapequeña trampa de parecer un problema de encuentro. Pero no es un problema deencuentro.

Empiezo dándome cuenta que la velocidad inicial es horizontal. Sólo tienecomponente en equis. Entonces mirando el dibujo:

La sombra de la balita en el eje x se mueve con un MRU. La sombra de la balita enel eje y se mueve en una caída libre.

Las ecuaciones horarias para cada eje son:

0 v

s m10 v v

y 0

x 0 x

=

==

PROYECCION SOBREEL EJE HORIZONTAL( MRU , V

X=

PROYECCION SOBREEL EJE VERTICAL.

( MRUV, a = 9,8

m/s2)



76

seg 0,45t

1mt. sm4,9

t.sm4,91m0 )0Y(

CAERENTARDAQUETIEMPO

22

22

caída ←=⇒

=⇒

−=⇒=

De todas estas ecuaciones que son las 6 de tiro oblicuo, siempre se usan 3, una enequis y 2 en Y. Entonces sólo voy a usar las siguientes:

Lo primero que necesito saber es el tiempo que tarda la balita en tocar el suelo. Esolo saco de la ecuación en y. Cuando la balita toca el piso, y es cero, entonces:

El lugar donde toca el suelo lo saco de la ecuación en x. Sé que llega al piso en 0,45segundos. Entonces reemplazo t = 0,45 segundos en la ecuación de equis:

Es decir que si resumo lo que calculé hasta ahora tengo esto:

Entonces, en el tiempo que tarda la balita en caer ( 0,45 seg ), el cochecito tendráque recorrer 3,5 m hacia la izquierda. Entonces su velocidad va a ser:

t s

mV

t s

mmY

t s mX

fy .8,9

usar.avoyquenes .9,41

-ecuacio Unicas .10

2

22

−=

←−=

=

balita. la cae 5,4 donde Lugar

45,0 10

←=⇒

⋅=

mX

seg s mX

caída

)izquierda la hacia(auto.el s77,7

tenerquetieneque Velocidad

45,0 5,3

←=⇒

=∆∆

=

mv

s

m

t

x V

A

A



77

Fin Teoría de Tiro Oblicuo.Próximo tema: Dinámica.



4

CINEMATICA

POSICIÓN ( x ): Lugar del eje equis donde se encuentra el objeto.VELOCIDAD ( v ): Rapidez con la que se mueve el objeto. Es Cte en el MRU.

MRU.elen Velocidad

empleado.Tiempo

recorrido.Espacio

←−

−=

∆

∆=

0 f

0 f

t t

x x v

t x

v

ACELERACIÓN ( a ): Rapidez con la que cambia ( varía ) la velocidad del objeto. La aceleración siempre vale cero en el MRU .

MRU - Movimiento Rectilíneo y Uniforme.

El tipo se mueve en línea recta todo el tiempo a la misma velocidad. Recorreespacios iguales en tiempos iguales.

ECUACIONES HORARIAS (ojo)

GRÁFICOS PARA EL MRU (ojo)

RESUMEN

Resumo todo el libro en estas primeras páginas. Es todo lo que está dentro delos recuadros. Lo hago por si necesitás buscar rápido una fórmula o querés

darle una mirada general a todo el libro.

0

)( 00

====

====

−−−−⋅⋅⋅⋅++++====

a

cte v

t t v x x



5

ENCUENTRO - MRUV ( Mov. Rect. Unif. Variado ). ENCUENTRO: Dos cosas se encuentran si pasan al mismo tiempo por el mismo

lugar. Para resolver los problemas conviene seguir estos pasos:

1 ) - Hago un dibujo de lo que pasa. Elijo un sistema de referencia y marcolas posiciones iniciales y las velocidades con su signo ( ojo ).

2) - Planteo las ecuaciones horarias para los móviles A y B.3) - Escribo la condición de encuentro: xA = xB , si t = te 4) - Igualo las ecuaciones y despejo lo que me piden.5) - Hago el gráfico de posición en función del tiempo. ( Conviene ).

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMENTE VARIADO ( MRUV )

La velocidad aumenta ( o diminuye) lo mismo por cada segundo que pasa.

ECUACIONES HORARIAS

Dan la posición, velocidadY aceleración del objeto .

ECUACIÓN COMPLEMENTARIA: → Vf2 – Vo

2 = 2 . a . ( Xf – Xo )

GRAFICOS

DEL MRUV

0

21

00

cte a

t a v v

t a t v x x

f

=

⋅+=

⋅+⋅+=2



6

MRUV - continuación

VELOCIDAD INSTANTÁNEA:

Es la que tiene la cosa justo en un momento determinado. Es la que va marcando elvelocímetro del auto.

PENDIENTES Y ÁREAS: La pendiente del gráfico posición en función del tiempo X (t) me da la velocidadinstantánea. ( Importante ).La pendiente del gráfico velocidad en función del tiempo me da la aceleración.El área bajo el gráfico de velocidad me da el espacio recorrido.

CAÍDA LIBRE- TIRO VERTICAL

Caída libre y tiro vertical son casos de MRUV. Para resolver los problemas hay queaplicar todo lo mismo que en MRUV. Esto lo hago para un eje vertical que llamo y . Para resolver los problemas conviene hacer esto :

1 - Tomo un sistema de referencia. Marco Y0, V0 y g con su signo .( ojo ! ).El eje y puede ir para arriba o p/abajo. Si va para arriba, g es negativa.

2 – Planteo las ecuaciones horarias:

Y = Yo + Vo t + ½ g t 2

Vf = Vo + g ta = Cte ( = g )

3 - Reemplazo en las ecuaciones los valores de y0, v0 y g con sus signos y de ahí despejo lo que me piden.

Sistema de referencia



7

TIRO OBLICUO

Cuando uno tira una cosa en forma inclinada tiene un tiro oblicuo. Ahora el vector

velocidad forma un ángulo alfa con el eje x. ( Angulo de lanzamiento ).

Para resolver los problemas uso el principio de superposición de movimientos ,que dice esto: La sombra de la piedra en el eje x hace un MRU. La sombra de lapiedra en el eje y hace un tiro vertical. C/u de estos movimientos es independiente

del otro. Lo que pasa en x no influye sobre y ( y viceversa ).Tomo un sistema de referencia. Sobre él marco V0x, V0y y g. C/u con su signo.

Calculo las velocidades iniciales en equis y en Y multiplicando por seno o por coseno

Planteo las ecuaciones horarias para las proyecciones ( = las sombras ) encada uno de los ejes. En equis voy a tener un MRU y en Y un tiro vertical.

Despejando de estas ecuaciones calculo lo que me piden. Ojo. De las 6 ecuacionessolo se usan 3, la de X, la de Y y la de Vfy.. Todo problema de tiro oblicuo tiene quepoder resolverse usando solamente esas 3 ecuaciones. ( Atención ).

0 (MRUV) (MRU) yEje x Eje

2

y x

y 0 fy x 0 x

2 1

y 0 0 x 0 0

g cte a a

t g v v cte v v

t g t v y y t v x x

===

⋅+===

⋅+⋅+=⋅+=



8

DINAMICA LEYES de NEWTON

1ª LEY: Si sobre un cuerpo no actúa ninguna fuerza entonces o está quieto,o se mueve con velocidad constante.

Si F = 0→ a = 0 ( V = cte )

2ª LEY: Si sobre un cuerpo actúa una fuerza F, éste se moverá con acele-ración. Esta aceleración será proporcional a F, de la misma direc-ción y sentido, e inversamente proporcional a la masa.

3ª LEY: Si empujo una cosa con una fuerza F voy a sentir que la cosatambién me empuja a mí con una fuerza igual y contraria.

Para resolver los problemas de dinámica es fundamental primero hacerun dibujito donde uno pone todas las fuerzas que actúan. Esto se llamahacer el diagrama de cuerpo libre. ( Ojo ).

PLANO INCLINADOSe descompone la fuerza peso en las direcciones X e Y. El valor de las

fuerzas Px y P y se calcula con:

mí sobre

cuerpo elsobre

Reacción Acción

cuerpoDelMía F F =

a mF !

!

⋅=

Px = P . sen α Py = P . cos α



77

DINÁMICA Hola! . Esto es una especie de resumen de toda la 1ra parte de Dinámica.El objetivo es que leas esto y te pongas a hacer problemas. Saber dinámica essaber resolver problemas.Nadie te va a pedir en un examen que repitas las leyes de Newton de memoria.No es ese el objetivo. De manera que:

Tenés que hacer problemas y problemas hasta que veas que entendés cómo es elasunto.Antes nada.No busques la fácil en este resumen porque no está. La cosa depende más de vosque de mí. Esto es sólo una especie de introducción teórica para que veas de quése trata el tema. El resto tenés que ponerlo vos.

FUERZA, MASA y ACELERACIÓN

Hay tres conceptos que se usan todo el tiempo en dinámica. Estos conceptos sonlos de fuerza, masa y aceleración. Prestá atención a esto porque es la base para todo lo que sigue. Vamos.

¿ Qué es una fuerza ?Una fuerza es una cosa que hace que algo que está quieto se empiece a mover.

Inicialmenteestá quieto. Ahora el tipo lo empuja y se

empieza a mover (acelera).

Un señoraplicandouna fuerza.

LEYES DE NEWTON



78

El cuerpo se

deformó porla acción dela fuerza F.

El resorte seestiró por la

acción de lafuerza peso.

Esta situación de un cuerpo que tiene aplicado una fuerza la simbolizamosponiendo una flechita que representa a la fuerza. Algo así:

Cuando la fuerza empieza a actuar, el cuerpo que estaba quieto se empieza amover. Si uno no deja que el cuerpo se mueva lo que hace la fuerza es defor-marlo o romperlo.

Cuando uno empuja algo con la mano o cuando uno patea una cosa, efectivamenteejerce una fuerza a la cosa. Lo que pasa es que este tipo de fuerzas no sonconstantes. Es decir, por ejemplo:

La aguja no se va a quedar quieta todo el tiempo en el mismo lugar. Va a llegarhasta un valor máximo ( digamos 50 Kgf ) y después va a bajar.

Representaciónde una fuerza.

Si uno le pegaun pisotón auna balanza...



79

Esto indica que la fuerza aplicada sobre la balanza es variable ( no vale todo eltiempo lo mismo ). En la mayoría de los casos ellos siempre te van a dar fuerzasque valen todo el tiempo lo mismo. ( Constantes ).

De manera que de ahora en adelante, cuando yo te diga que sobre un cuerpoactúa una fuerza F, vos podés que imaginarte esto:

Cañita voladora

La fuerza está representada por la acción que ejerce la cañita voladora.

Entonces, sin entrar en grandes detalles quedemos en que para imaginarse unafuerza conviene pensar que uno tiene una cañita voladora que está empujando aun objeto.

MASA

Cuanto más masa tiene un cuerpo, más difícil es empezar a moverlo.( Empezar a acelerarlo, quiero decir ).Y si el tipo viene moviéndose, más difícil va a ser frenarlo...

De manera que la masa es una cantidad que me da una idea de qué tan difícil esacelerar o frenar a un cuerpo. Entonces también se puede entender a la masacomo una medida de la tendencia de los cuerpos a seguir en movimiento.Esto vendría a ser lo que en la vida diaria se suele llamar inercia.

A mayor cantidad de materia, mayor masa. Cuanta más materia tenga un cuerpo,más difícil va a resultar moverlo.Es como que la masa dice “ mi honor está en juego y de aquí no me muevo “.



80

Es decir, si tengo 2 ladrillos del mismo material tendrá más masa el que tengamás átomos. ( Atomos, moléculas, lo que sea ).

Puedo decir que la dificultad en acelerar o frenar un cuerpo está dada en ciertamedida por la cantidad de partículas que ese cuerpo tiene. Y la cantidad departículas da una idea de la cantidad de materia.Sin entrar en grandes complicaciones resumamos :

ACELERACIÓN

La aceleración es una cantidad que me dice qué tan rápido está aumentando odisminuyendo la velocidad de un cuerpo. Esto ya lo sabés de cinemática.

Digamos que si una cosa tiene una aceleración de 10 m/s

2

, eso querrá decir quesu velocidad aumenta en 10 m /s por cada segundo que pasa. ( Es decir, si alprincipio su velocidad es cero, después de un segundo será de 10 m/s, despuésde 2 seg será de 20 m/s, etc.).

LEYES DE NEWTON ←

1ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE INERCIA

Si uno tira una cosa, esta cosa se va a mover con movimiento rectilíneo yuniforme a menos que alguien venga y lo toque.Es decir, si un objeto se viene moviendo con MRU, va a seguir moviéndose conMRU a menos que sobre el actúe una fuerza.

La masa de un cuerpo es la cantidad

de materia que ese cuerpo tiene. MASA

A MAYOR CANTIDAD

DE PARTICULAS,MAYOR MASA

POCA

MASA ESTE LADRILLOTIENE MAS MASA



81

NewtondeLey2ª ←⋅= a mF !

!

Para entender esto imaginate que venías empujando un carrito de supermercado y de golpe lo soltaste. Si no hay rozamiento, el carrito va a seguir por inercia.La forma matemática de escribir la primera ley es:

Si F = 0→ a = 0 ( V = cte )

2ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE MASA

Ésta es la que se usa para resolver los problemas, así que atención. La cosa esasí. Si uno le aplica una fuerza a un cuerpo ( lo empuja, digamos ) el tipo va aadquirir una aceleración que va para el mismo lado que la fuerza aplicada.Esta aceleración será más grande cuanto mayor sea la fuerza aplicada ( esdecir, directamente proporcional a la fuerza ).

Esta aceleración será más chica cuanto más cantidad de materia tenga el cuerpo( es decir, a será inversamente proporcional a la masa ).

Cuando una fuerza actúa sobre un cuerpo, el tipo se empieza a mover conmovimiento rectilíneo uniformemente variado, es decir, la velocidad empieza aaumentar, y aumenta lo mismo en cada segundo que pasa.

Todo esto que dije antes se puede escribir en forma matemática como:

Si paso la masa multiplicando tengo la forma más común de poner la ley deNewton, que es como les gusta a ellos:

3ª LEY DE NEWTON o PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN

Cuando dos cuerpos interactúan entre sí, es decir, cuando se ejercen fuerzasmutuamente ( ej : cuando chocan, se tocan, explotan, se atraen, se repelen,etc.), la fuerza que el primer cuerpo ejerce sobre el segundo es igual y desentido contrario a la fuerza que el 2° ejerce sobre el 1°.

m

F a

!

!

=

AL HABER

F, HAY

1 ra LEY



82

→ → 10 10

Esto se ve mejor en un dibujito. Imaginate un señor que está empujando algo.

El diagrama de las fuerzas que actúan sobre el placard y sobre la mano del tiposería algo así:

Ojo, las fuerzas de acción y reacción son iguales y opuestas, pero la fuerza deacción que el tipo ejerce actúa sobre el placard y la fuerza que ejerce elplacard actúa sobre el tipo. Es decir, si bien las fuerzas de acción son iguales yopuestas, estas nunca pueden anularse porque están actuando sobre cuerposdistintos. ( Atento con esto ! ).

ACLARACIONES SOBRE LAS 3 LEYES DE NEWTON

* Las fuerzas son vectores, de manera que se suman y restan como vectores.Quiero decir que si tengo 2 fuerzas que valen 10 cada una, y las pongo así:, la suma de las dos fuerzas dará 20. Ahora, si una de las

fuerzas está torcida, NO. ( ).En este último caso habrá que elegir un par de ejes X- Y y descomponer c/u delas fuerzas en las direcciones X e Y. Después habrá que sumar lascomponentes en x, en y, y volver a componer usando Pitágoras.

* Recordar: Las fuerzas de acción y reacción actúan siempre sobre cuerpos

distintos. Acción y reacción NUNCA pueden estar actuando sobre un mismocuerpo.

* Encontrar una fuerza aislada es imposible. Una fuerza no puede estar sola.En algún lado tiene que estar su reacción.

* De las 3 leyes de Newton, la 1ª y la 3ª son más bien conceptuales. Para resol-ver los problemas vamos a usar casi siempre la 2ª. ( F = m . a ).

Fuerzas del tipo sobreel placard y del placard

sobre el tipo.

→ 10 10



83

.resultantefuerza laesderechala

hacia

a mN 5

Newton 5 a mN 5 N 10

⋅=⇒←

⋅=−

* La 2ª ley dice F = m . a. En realidad F es la fuerza resultante de todas lasque actúan sobre el cuerpo .Entonces, si en un problema tenemos varias fuerzas que actúan sobre una cosa,lo que se hace es sumar todas esas fuerzas. Sumar todas las fuerzas quiere

decir hallar la fuerza resultante. Y ahora pongo la 2da ley de newton comoΣ F = m . a . Esto se lee : La sumatoria ( = la suma ) de todas las fuerzas queactúan igual a eme por a.

IMPORTANTE. Convención de signos en dinámica: Yo voy a tomar comoconvención sentido positivo siempre en el mismo sentido de la aceleración.Con esta convención, las fuerzas que van como el vector aceleración son ( + ) ylas que van al revés, son ( - ).

Ejemplo: 2 fuerzas contrarias actuan sobre un cuerpo comoIndica la figura. Plantear la 2da ley de Newton.

Si tengo 2 fuerzas que actúan sobre el objeto, tengo que plantear que la sumade las fuerzas es “eme por a”. Ahora. Ojo. La fuerza de 10 es positiva porque vacomo la aceleración, y la fuerza de 5 es negativa porque va al revés . Esto es así

por la convención de signos que yo adopté. Me queda:

UNIDADES DE FUERZA, MASA y ACELERACIÓN

Aceleración: a la aceleración la vamos a medir en m /s 2. A esta unidad no se le

da ningún nombre especial.

Masa: a la masa la medimos en Kilogramos. Un Kg masa es la cantidad demateria que tiene 1 litro de agua. ( Acordate que 1 litro de agua es la cantidadde agua que entra en un cubo de 10 cm de lado ó 1000 cm 3 ).

Fuerza: la fuerza la medimos en dos unidades distintas: el Newton y elKilogramo fuerza.



84

1Kgr o 1Kg

.N f Kg yentre iaEquivalenc ←

1 Kgf es el peso de 1 litro de agua. Es decir ( y esto es importante ):

En los problemas suelen aparecer frases del tipo: Un cuerpo que pesa 2 Kgf...Levanta el alumno la mano y dice: Profesor, en este problema me dan el peso y yo necesito la masa... ¿ cómo hago ?( Ay, ay, ay! . Las cosas que pregunta la gente ).¿ La respuesta ?. Bueno, no es muy complicado. El asunto es lo que te comentéantes: si pesa 2 kilogramos fuerza, su masa será 2 kilogramos masa.

Peor esta otra. Un enunciado tipico suele decir:Un cuerpo de 3 kilogramos es arrastrado por una cuerda ...Vuelve a levantar la mano el alumno y dice: Profesor, en el problema 5 no meaclaran si los 3 kilogramos son Kg masa o Kg fuerza.Te pregunto a vos: ¿ Que son ?Rta: Igual que antes. Masa y peso NO son la misma cosa, pero en La Tierra, unamasa de 3 Kg masa pesa 3 Kg fuerza. Asi que es lo mismo. Podés tomarlos como3 kg masa o como 3 kg fuerza.Esta coincidencia numérica solo pasa siempre que estemos en La Tierra, aclaro.

La otra unidad de fuerza que se usa es el Newton. Un Newton es una fuerza talque si uno se la aplica a un cuerpo que tenga una masa de 1Kg, su aceleraciónserá de 1m/s 2.

Para que te des una idea, una calculadora pesa más o menos 1 Newton.( Unos 100 gramos ).Para pasar de Kgf a Newton tomamos la siguiente equivalencia:

De todas maneras generalmente para los problemas ellos te van a decir quetomes la equivalencia 1Kgf = 10 N. ( Para facilitar las cuentas ).

Nota: A veces 1 kilogramo fuerza se pone también así:

Una cosa que tiene una masa de 1 Kg pesa 1 Kgf .Una cosa que pesa 1 Kgf tiene una masa de 1 Kg.

Leer!

O aldre!

""

Newton 1 s m1 Kg 1 N 1 a m

2

F

←⋅=#$#%&

1 Kgf = 9,8 Newtons



85

PESO DE UN CUERPO

La Tierra atrae a los objetos. La fuerza con que La Tierra atrae a las cosas sellama fuerza PESO. Antes la ley de Newton se escribía F = m

⋅ a. Ahora se va a

escribir P = m ⋅ g. Esto sale de acá. Fijate.

En éste dibujo, la aceleración de caída vale g ( = 9,8 m/s2 ) y la fuerza que tira

al cuerpo hacia abajo acelerandolo es el peso P.Fuerza es igual a masa por aceleración, F = m . a. En La Tierra la aceleraciónes la de la gravedad ( g ) y la fuerza F es el peso del cuerpo.Entonces reemplazo a por g y F por P en F = m . a y me queda:

La equivalencia 1 Kgf = 9,8 N que puse antes sale de esta fórmula. Supongamosque tengo una masa de 1 Kg masa. Ya sabemos que su peso en Kilogramos fuerzaes de 1 Kgf. Su peso en Newtons será de P = 1 Kg x 9,8 m / s 2 ,⇒ P ( = 1 Kgf ) = 9,8 N.

EJEMPLO DE CÓMO SE USA LA 2ª LEY DE NEWTON

CALCULAR LA ACELERACIÓN DEL CUERPO DEL DIBUJO. MASA DEL CUERPO 10 Kg.

Con este ejemplo quiero que veas otra vez este asunto de la convención designos que te expliqué antes. Fijate. El dibujo que me dan es este.

El cuerpo va a acelerar para la derecha porque la fuerza 20 N es mayor que lasuma de las otras dos ( 15 N ). Planteo la 2da ley:

Diagrama de un cuerpoque está cayendo

debido a la fuerza PESO.

P = m . g FUERZA PESO



86

Una vez más, fijate que al elegir sentido positivo en sentido de la aceleración,las fuerzas que van al revés son negativas. Repito. Esto es una convención. Es la convención de signos que tomo yo pararesolver los problemas.

DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE ( ojo, esto es MUY importante! )

El diagrama de cuerpo libre es un dibujito que se hace para poder resolver losproblemas de dinámica más fácilmente.Casi siempre es absolutamente imprescindible hacer el diagrama de cuerpo librepara resolver un problema. Si no hacés el diagrama, o lo hacés mal, simplementeterminás equivocandote.

Si lo querés ver de otra manera te digo lo siguiente: Muchas veces los chicosresuelven los problemas de dinámica así nomás, aplicando alguna formulita o algo

por el estilo. Sin hacer ni dibujo, ni diagrama ni nada.Pués bien, te advierto que en el parcial ellos te van a tomar un problema endonde te veas obligado a hacer el diagrama de cuerpo libre.Y si el diagrama está mal... ¡ Todo lo demás también va a estar mal !.

Esto no es algo que inventé yo. Simplemente es así. La base para resolver losproblemas de dinámica es el diagrama de cuerpo libre.

¿Qué es saber Dinámica?

Saber dinámica es saber hacer diagramas de cuerpo libre.

Y si nadie te dijo esto antes, te lo digo yo ahora :

).así(vacuerpo delnAceleració

→

←=⇒

⋅=⋅

⇒⋅=⇒

⋅=−−⇒⋅=∑

2

2

s

m5 ,0 a

a g K 10 s

mKg 5 a Kg 10 N 5

a mN 10 N 5 N 20 a mF



87

¿ CÓMO SE HACEN LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE ?

Cuerpo libre significa cuerpo solo, sin nada al lado. Eso es exactamente lo que sehace. Se separa al cuerpo de lo que está tocando ( imaginariamente ). Se lo deja

solo, libre.En lugar de lo que está tocando ponemos una fuerza. Esa fuerza es la fuerzaque hace lo que lo está tocando.Pongo acá algunos ejemplos de diagramas de cuerpo libre. Miralos con atención.Son muy importantes. Y también son la base para todo lo que viene después.

EJEMPLO : CONSTRUIR LOS DI AGRAMAS DE CUERPO LIBRE EN LOS SI GUIENTES CASOS:

1) Cuerpo apoyado sobre el piso:

El ladrillo está en equilibrio. No se cae para abajo ni se levanta para arriba. Lafuerza peso que tira el ladrillo para abajo, tiene que estar compensada ( equili-brada ) por la fuerza hacia arriba que ejerce el piso. Es decir:

Las fuerzas N y P son iguales y contrarias, de manera que el cuerpo está enequilibrio. Ahora ojo, son iguales y contrarias pero no son par acción yreacción. ¿ Por qué ?

Pués porque están aplicadas a un mismo cuerpo. Para ser par acción - reaccióntienen que estar aplicadas a cuerpos distintos.Por ejemplo, en el caso del ladrillo apoyado en el suelo, la reacción a la fuerza Nestá aplicada sobre el piso:

PISO

Fuerza que el piso ejerce sobre

el cuerpo. ( se llama normal )

Fuerza que ejerce La Tierrasobre el cuerpo. ( se llama peso ).

N1 es la reacciónde la fuerza N.



88

Por otro lado la reacción a la fuerza peso está aplicada en el centro de La Tierra.

Por ejemplo, si en este caso el peso del ladrillo fuera de 1 Kgf, todas las fuerzas( P, N, P1, N1 ), valdrían 1 Kgf.La cosa está en darse cuenta cuáles de ellas son par acción - reacción.Acá P y P1 son un par acción-reacción, y N y N1 es otro. ¿ Lo ves ?La ecuación de Newton planteada para este diagrama de cuerpo libre queda así:

2) Cuerpo que cuelga de una soga.

CUERDA

En este caso el análisis es parecido al anterior. El cuerpo está en equilibrio

porque no se cae para abajo ni sube para arriba. Esto quiere decir que la fuerzaque hace la cuerda al tirar para arriba tiene que ser igual al peso del cuerpotirando para abajo. Es decir:

3) Cuerpo que es elevado hacia arriba con aceleración a.

GRUA → ← OJO CONESTE CASO.

P1 es la reacciónde la fuerza P.

La normal es = alpeso para un

cuerpo que estáapoyado en el piso.( )P N

0 P N

0 a

=⇒

=−

=

Diagrama decuerpo libre.

( ) 0 a

0 P T ==⇒

←=−

PT

NewtondeEc.



89

a mP T c ⋅=−

a mT 1 c ⋅=

En esta situación el cuerpo no está en equilibrio. La grúa lo está acelerandohacia arriba. Lo levanta con aceleración a. ( Atento ).

El diagrama de cuerpo libre y la ecuación correspondiente quedan así:

Fijate que puse: “ Tensión de la cuerda − Peso = m ⋅ a “ y no: “ P − T c = m ⋅ a “.¿ Por qué ?Bueno, porque según la convención que tomo yo, en la ecuación de Newton, a lasfuerzas que van en sentido de la aceleración se le restan las fuerzas que van en

sentido contrario. ( Y no al revés ).

También fijate que la tensión de la cuerda tiene que ser mayor que el peso .Esto pasa porque el cuerpo va para arriba. Si fuera al revés ( P > T c ) el cuerpobajaría en vez de subir.

4) Dos cuerpos unidos poruna soga que son arras-trados por una fuerza F.

En este ejemplo hay 2 cuerpos, de manera que habrá 2 diagramas de cuerpolibre y 2 ecuaciones de Newton. Cada cuerpo tendrá su ecuación.Hago los diagramas y planteo las ecuaciones.

1

F − T c = m ⋅ a,

Ahora quiero que veas unas cosas interesantes sobre este ejemplo. Fijate :



90

2 2 1 1 N P N P == y

a mT P 2 2 ⋅=−a mP T 1 1 ⋅=−

* En la dirección vertical no hay movimiento de manera que los pesos se equilibrancon las normales, es decir:

* En el diagrama del cuerpo yyyy, la fuerza F debe ser mayor que la tensión de lacuerda para que el tipo vaya para allá ¡¡¡¡ .Si fuera al revés, ( F < Tc ) el cuerpo 2 iría para el otro lado.

* La fuerza F no se transmite al cuerpo xxxx. F está aplicada sobre el cuerpo yyyy.Lo que tira del cuerpo xxxx es la tensión de la cuerda. ( únicamente ).

* La tensión de la cuerda es la misma para los dos cuerpos. No hay T 1 y T 2 .Hay sólo una tensión de la cuerda y la llamé T c .

* Los dos cuerpos se mueven con la misma aceleración porque están atados por lasoga y van todo el tiempo juntos.

* En yyyy hice F − T c = m ⋅ a, y NO: T c − F = m ⋅ a. Esto es porque la fuerza queva en sentido de la aceleración es F.

5) Dos cuerpos que pasan por una polea.(Atención ). A este aparato se lo suele P2 > P1

llamar Máquina de Atwood.

En este caso todo el sistema acelera como está marcado porque 2 es máspesado que 1.Los diagramas de cuerpo libre son: ( Mirar con atención por favor )

6) Un cuerpo que está cayendopor acción de su propio peso.



91

N.deEcuación ←⋅= g mP

a mT P a mT .221 .

:Ecuaciones

=−=

Este ladrillo que cae no está en equilibrio. Se está moviendo hacia abajo con laaceleración de la gravedad. La fuerza peso es la que lo está haciendo caer.El diagrama de cuerpo libre es así:

7)- Sistema de dos cuerpos que caen.Uno está en un plano horizontal

Y el otro cuelga de la soga.

Todo el sistema se mueve con una aceleración a. Atención, esa aceleracióndebe dar siempre menor que la de la gravedad. ( ¿ Por qué ? ).

El peso 2 quiere caer y arrastra al cuerpo 1 hacia la derecha. El sistema no está en equilibrio.

Para cada uno de los cuerpos que intervienen en el problema hago el famosodiagrama de cuerpo libre. Es este caso serían 2, uno para cada cuerpo.

DIAGRAMAS

Fijate que:La tensión de la cuerda ( T ) es la misma para el cuerpo 1 y para el cuerpo 2.Esto siempre es así en este tipo de problemas con sogas. No hay 2 tensiones.Hay una sola. ( Tamos ? ).

El sistema, así como está, siempre va a ir hacia la derecha. Sería imposible quefuera para la izquierda. ( El peso 2 siempre tira para abajo ).

Esta g la pongo paraindicar que el cuerpoNO está en equilibriosino que se mueve conaceleración g .

Diagrama dec. libre para uncuerpo que cae.



92

La fuerza P2 es mayor que la tensión de la cuerda. Por ese motivo el cuerpo 2baja. Si fuera al revés, el cuerpo 2 subiría.

La fuerza N1 es igual a P1. La normal es igual al peso si el plano es horizontal.

( Si el plano está inclinado no ).

Comentario:

Las leyes de Newton no son tan fáciles de entender como parece. Es más, enalgunos casos, daría la impresión de que la ley de Newton dice que tendría quepasar algo que es al revés de lo que uno cree que tendría que pasar. Por eso puseacá 2 problemas conceptuales que me gustaría que mires.Los 2 apuntan a tratar de entender la diferencia entre masa y peso.

Una persona desea empujar una heladera que pesa 60 Kgf.¿ Dónde le resultaría más fácil hacerlo ?

a) - En la Tierra, donde la heladera pesa 60 Kgf.

b) - En la Luna, donde la heladera pesa 10 Kgf.c) - En una nave espacial donde no pesa nada.

Para entender el asunto conviene considerar que no hay rozamiento entre la

heladera y el piso en ninguno de los casos. Hagamos un esquema de las 3 situaciones y veamos lo que nos dice la intuición alrespecto:

Intuición: bueno, este problema es muy fácil. Más difícil es mover una cosacuanto más pesa. Por lo tanto en la Tierra me cuesta un poco, en la Luna mecuesta menos, y en el espacio no me cuesta nada.Incluso en el espacio cualquier cosa que uno toque ya sale volando.

Analicemos un poco lo que nos dice la intuición. ¿ Tendrá razón ?.Rta: No. La intuición se equivoca. Más difícil es mover un cuerpo (acelerarlo)



93

cuanto más masa tiene, y no cuanto más pesa.Lo que pasa es que en la Tierra, cuanto más masa tiene un cuerpo, más pesa. Deahí que uno relaciona el esfuerzo que uno tiene que hacer para mover el cuerpo,con el peso que tiene. Lo cual es verdad EN LA TIERRA. ( Es decir, no es

verdad en el caso general ).

Repito. Para el caso particular de la Tierra sí es cierto que hay que hacer másfuerza para mover un objeto pesado que uno liviano.Ahí la intuición no se equivoca.Pero eso no es válido en el espacio donde no hay gravedad.

Por lo tanto, la respuesta a este problema es que, si no hay rozamiento, en los 3casos va a costar lo mismo empujar la heladera ( acelerarla, quiero decir ).

Vamos a otro ejemplo:

Una persona desea patear una pelota de plomo que pesa 10 Kgf.¿ En donde le va a doler más el pie ? :

a) - En la Tierra. ( P = 10 Kgf )

b) - En la Luna. ( P = 1,66 Kgf )b) - En una nave espacial donde la pelota no pesa nada.

Si lo pensás un poco te vas a dar cuenta de que estamos en el mismo casoanterior. Patear una pelota significa acelerarla hasta que adquiera unadeterminada velocidad. En los tres casos el pie le va a doler lo mismo. Lo que

importa es la masa del objeto, no su peso.Las cosas solo tienen peso en la Tierra o en los planetas. Pero la masa es lacantidad de materia que tiene el cuerpo y, lo pongas donde lo pongas, el objetosiempre tiene la misma masa. Siempre tiene la misma cantidad de partículas.El dolor que la persona siente depende de la masa de lo que quiera patear, y lamasa de una cosa no depende de en qué lugar del universo esa cosa esté.

Fin de la teoría sobre leyes de Newton.



94

Próximo tema: Plano inclinado.



94

PLANO INCLINADODESCOMPOSICIÓN DE LA FUERZA PESO

Suponé que tengo un cuerpo que está apoyado en un plano que está inclinado unángulo α. La fuerza peso apunta para abajo de esta manera:

Lo que quiero hacer es descomponer la fuerza peso en 2 direcciones: una paralelaal plano inclinado y otra perpendicular. Lo voy a hacer con trigonometría. Fijate:

En el dibujo descompuse al peso en las fuerzas “ pe equis y P y ” Ahora bien....¿ Qué son Px y P y ?.Px es la componente del peso en la dirección del plano inclinado.P y es la componente del peso en la dirección ⊥⊥⊥⊥ al plano inclinado.Ahora bien, ¿ Cuánto valen Px y P y ?. Es decir, ¿ Cómo las calculo ?.Bueno, si inclino el triángulo para que el asunto se entienda mejor, me queda unlindo dibujito en donde puedo calcular por trigonometría los valores de Pex y Pe y .

UN CUERPO APOYADO ENUN PLANO INCLINADO.

Este ángulo es igual alángulo del plano inclina-do por alternos inter-nos entre no se qué.

Descomposición dela fuerza peso en ladirecciones X e Y



95

Este asunto de que las componentes del peso valen Px = P . sen α y P y = P . cos α,o lo razonás, o te lo acordás de memoria, pero tenés que saberlo porque se usapermanentemente en los problemas de plano inclinado.Vamos a un ejemplo a ver si me seguiste.

PROBLEMACalcular con qué aceleración cae un cuerpo por unplano inclinado de ángulo alfa. ( No hay rozamiento ).

Lo que el problema plantea es esto:

CUERPO CAYENDOPOR EL PLANÍFEROINCLINADO.

Voy a descomponer la fuerza peso en las direcciones equis e y :

Fijate que la fuerza que lo tira al tipo para abajo es Px . Ni P y, ni N tieneninfluencia sobre lo que pasa en el eje x porque apuntan en la dirección del eje y.Por eso es que se descompone a P en una dirección paralela y en otraperpendicular al plano inclinado.

Planteo la ley de Newton para el eje x. La sumatoria de las fuerzas en el ejeequis será la masa por la aceleración en el eje equis. Eso se pone :

Σ F en el eje X = m . a en el eje X

⇒ a = g . sen αααα

DIAGRAMA DECUERPO LIBRE.

ACELERACIONDE CAIDA



96

Por favor recordá esta expresión porque la vas a necesitar muchas veces másadelante. Repito: Lo que calculamos es que :

VER

Ahora fijate bien. Vamos a hacer un análisis de re-chupete ( = chiche - bombón )de la expresión g . sen α.α.α.α. A ver si me seguís.

No sé si te diste cuenta de que para llegar a la expresión a = g . sen αααα tuve quesimplificar la masa. Eso quiere decir que la aceleración con la que el tipo cae por

el plano inclinado...¡ no depende de la masa ! ¿ Cómo que no depende de la masa ?... ¿ y de qué depende ?Rta: Depende sólo del ángulo alfa y de la aceleración de la gravedad ge .

Es decir que si yo tengo una bajada que tiene un ángulo de 20 grados, todas lascosas que caigan por ahí, lo harán con la misma aceleración.

Aclaro esto porque cuando hay una calle en bajada, la gente suele pensar que al

sacar el pie del freno, un auto empieza a caer más rápido que un camión.

Sin hilar fino, por la bajada de una plaza, una pelota, una bicicleta y una patinetacaen con la misma aceleración. Si se las deja caer en el mismo momento, ningunole ganará al otro. Todos van a bajar con aceleración a = g . sen αααα .

LA ACELERACION QUE TIENE UN CUERPO QUE

CAE POR UN PLANO INCLINADO QUE FORMA UN

ANGULO ALFA VALE : a = g . sen αααα .( Esto sólo vale cuando NO hay rozamiento )



97

Pregunta: ¿ Y si en la bicicleta va un gordo de 300 kilos ?... ¿ no va a ir cayendomás despacio ?Rta: No.¿ Cae más rápido ?.

- No.Eeeehhhh, ... ¿ cae igual ?.- Exactamente.

Ahora, analicemos esto otro caso : ¿ qué pasaría si alfa fuera cero ?Bueno, según la fórmula a = g . sen αααα , la aceleración daría cero. ( sen 0° = 0 ).¿ Está bien eso ?.Rta: Sí, está bien, porque si el ángulo fuera cero, el plano sería horizontal:

¿ Y qué pasaría si el ángulo fuera 90° ?Bueno, sen 90° = 1, de manera que g . sen 90° me da g. Es decir, si el ángulofuera de 90° , el tipo caería con la aceleración de la gravedad.Esto también está bien porque estaría en este caso:

Este análisis de lo que pasa cuando αααα es igual a cero o á 90° es importanteporque lo ayuda a uno a darse cuenta si se equivocó o no. Por ejemplo, si mehubiera dado a = 10 m/s2 para αααα = 0, eso me estaría indicando que hice algo mal.

MÉTODO PARA RESOLVER LOS PROBLEMAS DE DINÁMICA

Los problemas se dinámica no son todos iguales. Pero en gran cantidad de ellos tevan a pedir que calcules la tensión de la cuerda y la aceleración del sistema. Paraese tipo de problema hay una serie de pasos que conviene seguir.

Estos pasos son:1 - Hago el diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos que intervienen

en el problema. Si hay un solo cuerpo, habrá un solo diagrama.Si hay 2 cuerpos habrá 2 diagramas, etc.

Caso αααα = 0

( ⇒ a = 0 ).

Situación para

α = 90° ( a = g )



98

2 - De acuerdo al diagrama de cuerpo libre, planteo la 2ª ley de Newton:

Σ F = m . a

3 - Para cada diagrama de cuerpo libre voy a tener una ecuación. De la ecuación

( o sistema de ecuaciones ) que me queda despejo lo que me piden.

Este método para resolver problemas de dinámica sirve para cualquier tipo deproblema, sea con rozamiento, sin rozamiento, plano horizontal, plano inclinado olo que sea.Ahora fijate cómo se usa el método en un problema.

Ejemplo :Para el sistema de la figura cal-

cular la aceleración del sistema y la tensión en la cuerda.

( No hay rozamiento ). 1 - Para resolver el problema hago el diagrama de cuerpo libre para cada

uno de los cuerpos que intervienen:

Fijate cómo puse el sentido de la aceleración. a no puede ir al revés, porque elcuerpo A no puede tirar para arriba y hacer que suba el B.

2 - Para cada diagrama planteo la ecuación de Newton:

3 - De las ecuaciones que me quedan voy a despejar lo que me piden.

El planteo del problema ya terminó. Lo que sigue es la parte matemática que esresolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Para resolver este sistemade 2 x 2 podés usar el método que quieras. ( Sustitución, igualación, etc ).

a mT : B Para a mT A: Para

B

A

⋅=− ⋅=BPx



99

cuerda.la enTensión ←=⇒ .N 6,16T

!

Sin embargo yo te recomiendo que para los problemas de dinámica uses siempreel método de suma y resta. El método consiste en sumar las ecuaciones miembro amiembro. Como la tensión siempre está con signo ( + ) en una de las ecuaciones ycon signo ( – ) en la otra, se va a simplificar.

Apliquemos entonces suma y resta. Lo que tenía era esto:

Sumo miembro a miembro las ecuaciones y me queda:

¿ Cómo calculo la tensión en la cuerda ?.Bueno, lo que tengo que hacer es reemplazar la aceleración que obtuve encualquiera de las ecuaciones que tenía al principio. Por ejemplo :

Puedo verificar este resultado reemplazando a en la otra ecuación y viendo si meda lo mismo. Probemos a ver si da:

PBx – T = mB . a

⇒ T = PBx – mB . a

⋅=−

⋅=

a mT

a mT

B

A

BPx

( )

( )

( )

2

2

2

B A B B A B

B A B

s m

6 , 1 a

a Kg 15 s m

Kg 5

a Kg 5 Kg 10 5 . 0 s m

10 Kg 5

a m m30 sen g m a m mPx

a m a m T Px T

! = ⇒

⋅ = ⇒

+= ⋅ ⋅ ⇒

⋅ + = ⋅ ⇒ ⋅ + = ⇒

⋅ + ⋅ = − +

2

⋅=⇒

⋅=

s

m6,1 Kg 10 T

a mT

2

A

!

Aceleración conla que se mueveel sistema.



100

⇒ T = P . sen 30° - mB . a

T = 5 Kg . 102s

m . 0,5 – 5 Kg. 1,662s

m

→

T = 16,6 N ( Dió lo mismo, iupi )Y ahora vamos al punto importante. Y esto sí quiero que lo veas bien. Fijate.Para resolver el problema yo plantee una serie de ecuaciones. ( 2 en este caso ).Ahora bien, estas ecuaciones fueron planteadas de acuerdo al diagrama decuerpo libre. Ese es el truco.¿A qué voy ?.Voy a que si los diagramas de cuerpo libre están mal, las ecuaciones también vana estar mal. ( ⇒ Mal el planteo del problema ⇒ NOTA: 2 (dos)).

¿ Una fuerza de más en el diagrama ? → Todo el problema mal.¿ Una fuerza de menos en el diagrama ? → Todo el problema mal.¿ Una fuerza mal puesta en el diagrama ? → Todo el problema mal.¿ Una fuerza puesta al revés de como va ? → Todo el problema mal.

Entonces, mi sugerencia para que tengas MUY en cuenta es :

Otro ejemplo de plano inclinado:

( ATENCION : Problema en dónde no se sabe para dónde va la aceleración ).

Calcular la aceleración de los cuerposy la tensión en la soga para el sistema

de la figura. ( No hay rozamiento ).

Acá tengo un inconveniente y es que no sé si el sistema va para la derecha o parala izquierda. A es más pesado que B, pero el ángulo del plano inclinado es máschico, de manera que a ojo no se puede saber.¿ Y ahora ?.Si no se para dónde apunta la aceleración... ¿ Cómo sé que fuerzas son positivas yqué fuerzas son negativas ?. ( Atenti ! ).

Siempre revisar los diagramas de

cuerpo libre antes de empezar aresolver el sistema de ecuaciones. VER



101

Bueno, a esto quería llegar. Fijate. Acá hay que usar un truco. Lo que se hace enestos casos es lo siguiente: Se supone un sentido para la aceleración y se ve quépasa. ( Importante ). Al final, el problema dirá si la aceleración va en ese sentidoo al revés.

¿ Cómo me doy cuenta de esto ?.Rta: Por el signo. Si dá con signo menos es que va al revés. Ahora vas a ver.

En este caso voy a suponer que el sistema va para allá →→→→, es decir, que el cuerpoA sube y el B baja. Los diagramas de cuerpo libre quedan así:

Las ecuaciones van a ser éstas:

Estas 2 ecuaciones forman un sistema de 2 por 2.

T – PA. sen 30 º = m A . aP B. sen 45 – T = m B . a

¿ Cómo resuelvo este choclazo ? RESPUESTA: sumando las ecuaciones.

T – P A . sen 30 º + P B. sen 45 – T = m A . a + m B . a

Las tensiones se simplifican porque una es positiva y la otra es negativa.Entonces :

– P A . sen 30 º + P B. sen 45 = ( m A + m B ) . a

Despejo a :

a mT Px : B Para

a mPx T A: Para

B B

AA

⋅=−←⋅=−

Ecuaciones

Diagramas decuerpo libre.

58707,01055,01 08a

707,05,0a

22

Kg Kg

s mKg s mKg

mm

P P

B A

B A

++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−

====⇒⇒⇒⇒

++++⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅−−−−

====⇒⇒⇒⇒



102

VER

a = - 0,3572s

m

¿ Qué pasa acá ?. La aceleración me dio negativa ! ?.¿ Qué significa eso ?Y, nada, quiere decir que la aceleración va al revés de como yo la puse.Yo dije que iba para allá →→→→ , pues bien, me equivoqué y va para allá ←←←←.( es decir, A baja y B sube ).Atento!. Este análisis de lo que pasa con el signo de la aceleración es importante!. Pero no te asustes. Es lo que te dije antes. Si a te da negativa , significa que elsistema se mueve al revés de lo que uno supuso. Eso es todo .Ahora calculo la tensión en la cuerda. Reemplazo la a que obtuve en cualquiera delas ecuaciones del principio:

T – PA . Sen 30 º = m A . a

Ojo, reemplazo la aceleración pero con el signo que obtuve antes. ( Es decir,negativo ). Entonces reemplazo a por –0,375 m/s2 y me queda :

Verifico reemplazando la aceleración en la otra ecuación:

PB. sen 45 – T = mB . a

Disculpame que insista sobre una cosa: Fijate en los ejemplos anteriores. Toda lasolución del problema consistió en hacer los diagramas de cuerpo libre.Una vez que los diagramas están hechos... ya está !. Ahora el planteo de lasecuaciones es fácil.

cuerdalaenTensión ←=⇒

−⋅+⋅=⇒

N 14 ,37 T

s

m357 ,0 Kg 8 5 ,0 N 80 T

2

(Verifica) N 14 ,37 T

s

m0357 Kg 5 707 ,0 N 50 T

a m707 ,0 P T

2

B B

=⇒

−⋅−⋅=⇒

⋅−⋅=⇒

ACELERACIONDEL SISTEMA



103

Si un problema no te sale, revisá el diagrama de cuerpo libre. Antes de entregarla hoja volvé a mirar el diagrama de cuerpo libre.

Saber dinámica es saber hacer diagramas de cuerpo libre.Ellos lo saben y sobre eso va tomar los problemas.

Cualquier duda que tengas, fijate al principio donde empieza lo de Dinámica.Ahí puse los diagramas de cuerpo libre más simples de todos. Los diagramas paracasos más complicados son mezcla de estos más simples.

Y si no, podés consultarlos a ellos. Pero no vayas con un papelito en blanco adecirle “ éste no me salió ”. Porque ante la frase: “ no se cómo empezar ” loprimero que te va a decir el tipo es: A ver, dibujame los diagramas de cuerpolibre. Y cuando vos le digas: “ no, yo la verdad es que esto de los diagramas de

cuerpo libre no lo entiendo muy bien... “¡ ALPISTE, FUISTE !.

No existe “ no entender diagramas de cuerpo libre“. Si no entendés diagramas decuerpo libre no entendés dinámica.

El diagrama de cuerpo libre es lo fundamental acá.¿ Me seguiste ?.Creo que fui claro, no ?

Fin de la Teoría de Plano Inclinado.Próximo tema: Rozamiento.



5

ROZAMIENTOEl rozamiento es una fuerza que ya conocés de la vida diaria. Es la fuerza quehace que se frenen las cosas que se vienen moviendo.Las piezas de las máquinas se desgastan debido al rozamiento. Los autos pierdenparte de su potencia para contrarrestar los efectos del rozamiento.Aparentemente el rozamiento es una fuerza que no sirve para nada, salvo paramolestar. Pero...¿ Cómo harías para caminar si no hubiera rozamiento ?( Patinarías y te quedarías todo el tiempo en el mismo lugar! )¿ Cómo harían los autos para frenar ?( No tendrían forma de parar y seguirían de largo )

Como ves, todo tiene su pro y su contra en esta vida... ( ? ) .

En la realidad real, todas las cosas que se mueven tienen rozamiento y esimposible eliminarlo del todo. ( Imposible ) .

Vamos ahora a lo siguiente:

¿ HACIA DONDE APUNTA LA FUERZA DE ROZAMIENTO ?Suponete que tiro un ladrillo por el piso. El ladrillo va avanzando y se va frenando.

Al principio el objeto se mueve con una determinada velocidad, pero después derecorrer unos metros se frena y se queda quieto.

Pregunta: ¿ Por qué pasa esto ?.RTA. : Por el rozamiento.Entre el ladrillo y el piso hay rozamiento, y esta fuerza maldita es la que hace queel coso se frene.Si no hubiera rozamiento el ladrillo se seguiría moviendo por los siglos de lossiglos y no se pararía nunca. ( Nunca ) .

Fijate como es el diagrama de cuerpo libre: ( mirar con atención por favor ).



6

Fijate que el tipo se mueve para allá →, pero la aceleración va para allá ← .Es decir, el cuerpo se está frenando.En el dibujo fROZ apunta al revés que la velocidad, eso significa que la fuerza derozamiento se opone al movimiento.Si un cuerpo viene moviéndose, la fuerza de rozamiento va a tratar de frenarlo.

Ahora, una aclaración importante: La gente suele decir: Bueno, es fácil. La fuerza

de rozamiento SIEMPRE se opone al movimiento. Froz SIEMPRE va al revés que la velocidad.Pero...Hummmm, esto no es del todo correcto. Es decir, efectivamente, en lamayoría de los casos la fuerza de rozamiento apunta al revés de la velocidad.Generalmente Froz intenta frenar al cuerpo... ¡ Pero no siempre !.( Esto no es fácil de ver ). Digamos que hay algunos casos malditos donde elrozamiento va en el mismo sentido que la velocidad. Es más, en estos casos elrozamiento no solo no lo frena al cuerpo sino que lo ayuda a moverse.Hay un par de problemas en la guía en dónde la fuerza de rozamiento apunta al

revés del pepino. ( Es decir, repito, a favor de la velocidad ). Y si uno se equivocaal poner el sentido de Froz en el diagrama de cuerpo libre... ¡ Alpiste, fuiste !.

Por eso ellos dicen que:

LEYES DEL ROZAMIENTOEstas leyes son experimentales. Podés comprobarlas ahora mismo consiguiendoalgún cuerpo que tenga forma tipo ladrillo. ( 3 caras planas con diferentessuperficies ) . Podría ser una goma o algo así.

1 _ La fuerza de rozamiento depende del material con el que estén hechas lassuperficies que están en contacto.

La fuerza de rozamiento siempre seopone al movimiento RELATIVO delas superficies que están en contacto



7

A una persona le resulta más fácil caminar sobre el piso de cemento que sobre unpiso de hielo. Eso pasa porque el rozamiento goma-cemento es distinto que elrozamiento goma-hielo.

2_ El valor de la fuerza de rozamiento no depende del tamaño de la superficieque está apoyada.

Al arrastrar un ladrillo por el piso, la fuerza que tengo que hacer va a ser lamisma, cualquiera sea la cara del ladrillo que esté apoyada.

De la misma manera:

3_ La fuerza de rozamiento es proporcional a la fuerza normal que el plano ejercesobre el cuerpo.

Esta es la ley que tenés que saber bien porque es la que se usa para resolver losejercicios.

Pero antes me gustaría que entiendas lo siguiente:



8

LA NORMAL NO SIEMPRE ES IGUAL AL PESO

¿ Qué era la fuerza normal ?. La normal es la reacción que el piso ejerce sobre elcuerpo. Esa reacción es siempre ⊥⊥⊥⊥ al plano de apoyo, por eso se la llama normal.( La palabra Normal en física significa perpendicular ) .

Hasta ahora la normal nunca importó para nada porque no se usaba en losproblemas. Ahora en rozamiento va a importar. ( Atento! ) .

Ahora, hay una maldita tendencia a creer que la normal es siempre igual al peso.No, No, No!. ( ! )Eso pasa a veces, no siempre. Puede ser que en el problema que te tomen lanormal no sea igual al peso. ( Suelen hacer esto ) .

En el ejemplo de arriba, donde el cuerpo está simplemente apoyado en un planohorizontal, ahí sí la normal es igual al peso.¿ Pero que pasa si yo ahora inclino el plano ?

Ahora la normal ya no va a ser más igual al peso. ¿ De dónde sale eso ?.Rta:" Del diagrama de cuerpo libre.

Ahora N no vale más P. Ahora N vale P y que es P ⋅ cos αααα. Lo mismo pasa si tengoun cuerpo en un plano horizontal pero alguien lo aprieta contra el piso.



9

Y lo mismo pasaría si el tipo estuviera subiendo o bajando en un ascensor conaceleración constante. ( Ojo que este caso también lo toman ).

Entonces: ¿ La normal es siempre igual al peso ?RTA. : En el caso general no. Es decir, muchas veces, sí. Pero siempre-siempre, NO.

ROZAMIENTO ESTÁTICO Y ROZAMIENTO DINÁMICO

Hay 2 tipos de rozamiento que tenés que conocer. Estos 2 tipos de rozamientoson el rozamiento estático y el rozamiento dinámico.A grandes rasgos digamos que tengo rozamiento estático cuando hay rozamientopero el cuerpo se queda quieto.Tipo una persona que intenta empujar un placard pero el placard no se mueve.Tengo rozamiento dinámico cuando hay rozamiento y el cuerpo se mueve. Tipo unesquiador que va por la nieve y patina .Veamos qué pasa en cada caso.

ROZAMIENTO DINÁMICO

Supongamos la situación de un cuerpo que avanza rozando contra el piso. Fijate :

Mientras la moneda va deslizando la fuerza de rozamiento la va frenando.Tengo rozamiento dinámico.



10

Me pregunto ahora lo siguiente: ¿ Cuánto vale la fROZ dinámico ?.Bueno, te comenté antes que el valor de la fuerza de rozamiento era proporcionala la normal y que dependía del material con que estuvieran hechas las superficiesen contacto. Eso se pone matemáticamente así:

El mu dinámico es un número sin unidades. Dá una idea de qué tan grande es elrozamiento que hay entre las superficies que se están tocando.Por ejemplo, si el piso es de cemento tendré un determinado valor de mu. Ahora,si el piso es de hielo, la superficie será más patinosa y el µµµµ será menor.Digamos que el coeficiente de rozamiento dinámico vendría a ser un número queme estaría indicando el grado de “patinosidad” de las superficies.( ¿ Patinosidad ? ¡Qué cosas dice la gente! ).Es decir: Superficies muy patinosas ==> poco rozamiento ==> µµµµ chico.

Una aclaración: Generalmente tanto el mu estático como el mu dinámico sonmenores que 1. Pero atención. Como siempre, esto pasa para la mayoría de losobjetos, pero no para todos.Quiero decir, esto de que los coeficientes de rozamiento son siempre menoresque 1 no es una regla general.

Ejemplo

El tipo de la figura arrastra una caja que pesa 20 Kgf. Calcular la fuerza derozamiento entre el piso y la caja. Dato: µµµµd piso-caja = 0,3.

Con respecto a este ejemplo fijate que la fuerza de rozamiento vale 6 kgf.

N f d ROZ ⋅= µµµµ

Fuerza derozamientodinámico. Coeficiente de

rozamiento dinámico(mu dinámico)

Fuerzanormal.

Ecuación quese usa cuandohay rozamientodinámico.



11

Este valor de la Froz es independiente de con qué velocidad camine el tipo. Podráir a 1 por hora o a 10 por hora. La fuerza de rozamiento dinámico no depende de

la velocidad. ( Esto es lo que quería que vieras )

ROZAMIENTO ESTÁTICOTengo rozamiento estático cuando trato de empujar una cosa para moverla perola cosa no se mueve. Sería este ejemplo:

Es decir, el tipo ejerce una fuerza sobre el placard pero el coso maldito no quiere

moverse.Pensemos.¿ Cuánto vale la fuerza de rozamiento en este caso ?Bueno, los tipos demostraron que la fuerza de rozamiento máxima que ejerce elpiso antes de que el tipo empiece a moverse vale mu estático por ene.

Quiero que veas bien cómo es esto de Fuerza de rozamiento estática máxima = amu por ene.

Supongamos que el placard pesa 30 kilos y el mu estático es 0,5. La fuerza de

rozamiento máxima me da 15 Kgf ( = 0,5 x 30 ) .Eso no quiere decir que el rozamiento esté haciendo una fuerza de 15 kilos. Esoquiere decir que la fuerza máxima que el rozamiento puede hacer, antes de que elplacard se empiece a mover, vale 15 kilos.( Cuidado con esto por favor ).

Es decir, supongamos que una hormiga picadorus trata de empujar el placard conuna fuerza de 10 gramos-fuerza. ( 10 grf ) .

Fuerza de rozamientoestático máxima antes

de que el cuerpo

em iece a moverse.

N f e MAx e ROZ ⋅= µµµµ

Fuerza de rozamientoestático máxima. Coeficiente de

rozamiento estático

Fuerzanormal.



12

La hormiga no puede mover al coso porque sólo ejerce una fuerza de 10 gramosfuerza. Para poder moverlo tendría que ejercer una fuerza de 15 Kgf o más.A ver si entendés lo que quiero decir. Te pregunto:Cuando la hormiga empuja con una fuerza de 10 gramos fuerza , ...¿ la fuerza de rozamiento vale 15 Kg fuerza ?RTA. : No, la fuerza de rozamiento va a valer 10 gramos fuerza.

Es decir, el diagrama de cuerpo libre para el placard sería éste:

¿ Y si ahora la hormiga empuja con una fuerza de 100 gramos-fuerza ?Rta: La fuerza de rozamiento valdría 100 gramos-fuerza.¿ Y si la fuerza fuera de 1000 gramos-fuerza ?

Entonces fROZ valdría 1000 gramos-fuerza.¿ Y si fuera de 10 Kilogramos fuerza ?- fROZ valdría 10 kilogramos fuerza.¿ Y si fuera de 15 Kg ?- fROZ valdría justo 15 kilogramos fuerza.¿ Y si fuera de 15,1 Kg ?.- Ahhh! Entonces ahí el cuerpo empezaría a moverse. En ese caso para calcular elvalor de la fuerza de rozamiento tendría que usar el mu dinámico.

¿ Ves cómo es la cosa ? La fuerza de rozamiento estático no vale siempre muestático por ene. Lo que vale µµµµe por ene es la fuerza de rozamiento máxima, quepuede existir antes de que el tipo empiece a moverse. ( Ahora sí ) .

Vamos ahora a esto otro:

¿ EL mu ESTÁTICO ES SIEMPRE MAYOR QUE EL mu DINÁMICO ?

Una vez que uno aplicó una fuerza mayor a 15 Kgf, el cuerpo se empieza a mover.

10 grf 10 grf

FUERZA EJERCIDA

POR LA PICADORUS

FUERZA DE ROZAMIENTO

EJERCIDA POR EL PISO



13

Ahora, una vez que el tipo está en movimiento, ya no es necesario seguir aplicandouna fuerza de 15 Kg para hacer que se siga moviendo. Va a alcanzar con aplicaruna fuerza menor.¿ Por qué pasa esto ?

Pasa porque generalmente el mu dinámico es menor que el mu estático. Atención.Esto de que µµµµe > µµµµd vale para la mayoría de los materiales, pero tampoco es unaley general. Para algunos materiales no se cumple.Por ejemplo si en el problema del placard el µµµµe era de 0,5 ; ahora el µµµµd podría serde 0,4 o 0,3. ( Por ejemplo ).La fuerza de rozamiento dinámico valdría:

Es decir, para hacer que el cuerpo empiece a moverse necesito una fuerza de 15Kgf, pero para mantenerlo en movimiento alcanza con aplicar una fuerza de 12Kgf.

Este salto que pega la fuerza de rozamiento cuando pasa de estar quieta amoverse lo gráfico así:

En esta representación, F es la fuerza que yo aplico para tratar de mover elcuerpo.Repito. Este hecho de que el mu dinámico sea menor que el mu estático se cumplepara la mayoría de los cuerpos, pero no para todos.

Ejemplo

Un cuerpo de masa 5 kg se mueve con velocidad 10 m/s por una zona sinrozamiento como indica la figura. Luego entra en una zona con rozamiento.Calcular:

a)- La aceleración que tiene mientras se va frenando en lazona con rozamiento.

b)- La fuerza de rozamiento estático una vez que se detuvo.c)- La fuerza mínima que hay que ejercer para volver a ponerlo

Kgf 12 Kgf 30 4 ,0 N μ f d d ROZ =⋅=⋅=



14

en movimiento.

a) - Cuando entra en la región con rozamiento, el diagrama de cuerpo libreva a ser éste:

La fuerza de rozamiento dinámico vale mu dinámico por eNe. La calculo:

Ahora puedo calcular la aceleración con la que está frenando. Como F = m.a, laaceleración de frenado va a ser a = F / m.

b) - Ahora calculemos la Fuerza de rozamiento estático cuando el cuerpo estáquieto. Una vez que el tipo se frenó, el diagrama de cuerpo libre es éste:

De lo que tenés que darte cuenta es que ahora el cuerpo esta quieto.No se mueve.Eso significa que... ¡ no hay fuerza de rozamiento!.Nadie trata de empujar al cuerpo para que se mueva, de manera que elrozamiento no va a aparecer. Entonces la respuesta a la pregunta b) es:

!

N s

mKg mg f

N

d d ROZ 7,148,953,0 2 =⋅⋅=⋅= µ

frenado.denAceleració m ←=⇒

==

2

2 d ROZ

s 94 ,2 a

Kg 5

s mKg 7 ,14

m

F a

quieto.está tipoelcuandof ROZ←= 0 f ROZ



15

c)- Ahora, ¿ qué fuerza hay que hacer para ponerlo en movimiento ?.Bueno, si el tipo está quieto y alguien lo empuja para tratar de moverlo tengo estediagrama de cuerpo libre:

Para hacer que arranque voy a tener que hacer una fuerza un poquitito mayor a lafuerza de rozamiento estática máxima.

Es decir, la fuerza F a ejercer tendrá que ser algo mayor a 24,5 N.Entonces la fuerza mínima para ponerlo en movimiento en el caso límite va a ser:

Nota: En este problema la velocidad inicial no se usa y es un dato de más.

Otro ejemplo - Calcular la aceleración del sistema de la figura y la tensión en la cuerda.Datos: En el dibujo.

Hago un diagrama de cuerpo libre para cada uno de los cuerpos:

Para cada diagrama planteé la ecuación de Newton. Ahora tengo que resolver el

N 5 ,24 f

m8 ,9 Kg 5 5 ,0 N f

MAX e ROZ

N

e MAX e ROZ

=⇒

⋅⋅=⋅=

2 s

" " #" " $%

µµµµ

moverse. aempieceque 5,24

hacerparamínimaFuerza ←= N f MIN



16

sistema de 2 x 2 que me quedó. Tengo lo siguiente:

Ahora sumo estas 2 ecuaciones para que se vaya la tensión. Este es un truco que

siempre conviene usar en los problemas de dinámica.#$T – froz d + PB – T = mA. a + mB. a

#$ – froz d + PB = ( mA + mB ). a#$ #$ #$

49 N – 19,6 N = 15 kg . a#$ 15 kg . a = 29,4 kg.m/s2

#$ a = 1,96 m/s2

¿ Cómo calculo ahora la tensión en la cuerda ?Bueno, sólo tengo que reemplazar esta aceleración en cualquiera de las ecuacionesdel principio y despejar T. Por ejemplo:

Para verificar este resultado podría reemplazar la aceleración en la otra ecuación y ver si da lo mismo.No lo hago porque ya lo hice recién en un papelito acá al lado mío y me dio lomismo. ( ⇒ chau ) .

ROZAMIENTO, CONCLUSION.

Mirá, rozamiento no es un tema difícil. Es como lo que vimos antes en dinámica

; ⋅=−⋅=− a mT P a mf T B B AROZ d

( )

cuerda la en Tensión 2,39

96,18,95 22

←=⇒

−⋅=⇒

−⋅=⇒

⋅−⋅=⇒

⋅−=⇒⋅=−

N T

s

m

s

mKg T

a g mT

a m g mT

a mP T a mT P

B

B B

B B B B

( )⋅+=⋅⋅−⋅⇒2 2

a Kg 5 Kg 10 s

m8 ,9 Kg 10 2 ,0

s

m8 ,9 Kg 5



17

solo que ahora hay una fuerza más que se llama rozamiento y que se suele calcularcomo µµµµ por N.Hasta agarrarle la mano vas a tener que resolverte algunos problemas, perobueno, eso pasa siempre acá en física.

Te repito: Rozamiento NO es difícil. Hacé los problemas de la guía y te vas a darcuenta.Y si no hagamos así: Yo siempre ando dando vueltas por el pasillo. Buscame a mi yme lo preguntás.

Próximos Temas: LEY de HOOKE.MOV. CIRCULARGRAVITACIÓN



18

DINÁMICA DEL MOVIMIENTO CIRCULAR

Cuando empecé con la parte de dinámica te comenté que para resolver los pro-blemas había que plantear la 2ª ley de Newton que decía:

∑ F = m.a

Ahora lo que quiero hacer es plantear esta misma ecuación para algo que se muevecon movimiento circular.Imaginate algo que está girando, por ejemplo un bichito de luz sobre un disco. Eltipo tiene aceleración centrípeta porque está dando vueltas. Eso ya lo viste antes

en la parte de cinemática del movimiento circular.

Acá también vale la ecuación de Newton. El tipo tiene aplicada una fuerza sobreél que es la que hace que se mueva en círculos. Esta fuerza se llama centrípeta.Si la fuerza centrípeta no existiera, el cuerpo nunca podría moverse siguiendo unatrayectoria circular. Esto es porque la 1ª ley de newton dice que si una cosa notiene ninguna fuerza aplicada, obligatoriamente se va a mover siguiendo una línearecta .

En el caso del bicho o de cualquier cosa que esté parada sobre un disco que gira,la fuerza centrípeta ( fcp ) será la fuerza de rozamiento.Vas a entender esto mejor si mirás el diagrama de cuerpo libre:

La aceleración delbicho apunta hacia elcentro. ( Centrípeta).

Diagrama de cuerpo libre deun objeto que está girando.La fcp en este caso, es lafuerza de rozamiento. (Ojo).



19

Ahora, mirando el diagrama de cuerpo libre, planteo la ecuación de Newton. Laúnica fuerza que actúa es la centrípeta. Entonces :

La Fcp puede ser cualquier fuerza. Por ejemplo, el peso, la tensión de la cuerda, lafuerza de un resorte o la fuerza de atracción gravitacional de Newton. ( Estaúltima fuerza la vamos a ver después ). Para el caso particular del bicho girandosobre el disco, la fcp va a ser la fuerza de rozamiento.

En conclusión, para cualquier cosa que esté rotando, la ec. de Newton queda así:

COMO RESOLVER PROBLEMAS DE MOVIMIENTO CIRCULAR:

Para resolver problemas de dinámica del movimiento circular conviene seguir

estos pasos :1 ) Hacés el diagrama de cuerpo libre poniendo todas las fuerzas que actúansobre el cuerpo. Sobre el diagrama también tenés que poner que la velocidadtangencial y la aceleración centrípeta. (Tenés que indicar para dónde apuntan).

2) De acuerdo al diagrama, planteás la ecuación de Newton para el movimientocircular.

∑ F en dirección radial = m . acp

Es decir, escribís la sumatoria de las fuerzas en la dirección del radio y eso loigualás a la masa por la aceleración centrípeta.

3) Reemplazás acp por R 2ω o por VT

2/ R y de la ecuación que te queda

despejás lo que te piden.

CPCP amf ⋅=

circularmovimientoelparaNewtondeLey ↑

⋅=∑ CP RADIALDIRECCIÓN EN a mf



20

ALGUNOS CASOS QUE SIEMPRE TOMAN

Quiero que veas ahora algunos ejemplos importantes de movimiento circular.Prestale atención a los diagramas de cuerpo libre. Los diagramas que vienen ahorasiempre suelen aparecer.

Hay un montón de otras situaciones de cosas que giran con movimiento circular.Pero conviene conozcas las que puse acá porque aparecen todo el tiempo.

Sí hay algo que tenés que saber: Movimiento circular no es un tema fácil deentender. El problema empieza cuando ellos te explican que cuando una cosa gira,hay una fuerza que tira para adentro llamada fuerza centrípeta. El asunto es quepese a la explicación, uno suele estar convencido de que la fuerza esa apunta paraafuera y no para adentro. ( Acá empieza el lío ).

Cuerpo en rotaciónalrededor de un planeta.

Diagrama

CPATRACC. amf

Ecuación

⋅=

Balde de agua quegira en un planovertical.

CPamT P :Ecuación ⋅=+



21

No pretendo que entiendas esto de entrada. Y no pretendo que lo entiendas deentrada porque sé que no es fácil de entender.Entonces, lo que tenés que darte cuenta es que la idea es que sepas resolver unos10 problemas de movimiento circular y que entiendas el concepto principal que esque la fuerza centrípeta apunta para adentro.

No me vengas ahora con que por más que yo te lo diga, igual no lo entendés. Estole llevó siglos a la humanidad, y si vos lo querés entender bien, también te va allevar siglos. (Bueno, siglos no, pero bastante.)¿Te imaginás un siglo estudiando física ?

No te rías. Creo que te lo te lo conté ya. Una vez tuve una alumna que había

cursado física 7 veces. ( Sí, así como lo oís: 7 veces ).Pero bueno, te aclaré que la chica tenía problemas...Todo el mundo la conocía.

Los ayudantes, los jefes, los profesores... Y claro: mas o menos había cursado entodos los horarios y en todas las sedes.Al parecer el único que no la conocía era yo.

La cosa es que la tipa creía que había una confabulación de todos los docentes dela cátedra para no dejarla aprobar la materia. ( En serio te lo digo ). Ella estabaconvencida del asunto y no había manera de sacarle esta idea de la cabeza.

En otro momento voy a comentarte cómo siguió la historia. Sólo te adelanto quefinalmente Marcela aprobó, y una vez que aprobó, se fue de la facultad y no volviónunca más.7 veces física. ¿ No está mal, eh ?.

Y ahora disculpame que siga con movimiento circular, pero la semana que viene esel parcial.

Resumiendo todo lo que dije, si vos no querés cursar física durante siglos tenésque saber que:

La fuerza resultante de todas las fuerzas que actúansobre una cosa, que se mueve con movimiento circularuniforme, se llama fuerza centrípeta y apunta siemprehacia el centro de la circunferencia .



22

Es decir que:

La explicación de esto es la siguiente: suponé que revoleás una piedra así:

Vos decís: al revolear la piedra, siento que ella quiere irse hacia afuera. Eso escierto. La fuerza que el hilo ejerce sobre tu mano apunta hacia afuera. Esa es lafuerza que uno siente. Y repito, uno siente que esa fuerza va para afuera yefectivamente va para afuera. El único problema es que la fuerza que uno sientesobre la mano de uno... NO ES LA FUERZA QUE VA EN EL DIAGRAMA DECUERPO LIBRE !. La fuerza que va en el diagrama de cuerpo libre es la que tu

mano ejerce sobre la piedra . Y esa fuerza SÍ apunta para adentro.Repito. La fuerza que uno siente sobre la mano de uno existe y va para afuera.Pero no es esta fuerza la que va en el diagrama de cuerpo libre.

La fuerza que va en el diagrama es la que la mano de uno ejerce sobre la piedra.( Y no al revés ). Esta es la fuerza que se llama fuerza centrípeta y va paraadentro. El diagrama de cuerpo libre sería así:

El diagrama de cuerpolibre de algo que se muevecon movimiento circularnunca puede ser algo así.

Tiene que ser siempre así.( Es decir, con la fuerzacentrípeta apuntando

hacia el centro ).



23

Resumiendo, lo que tenés que entender es lo siguiente: la fuerza que vos sentíssobre tu mano sí va para afuera. Pero esa es la fuerza que actúa sobre tu mano.No sobre el cuerpo que gira. La fuerza que actúa sobre el cuerpo que gira ( = lapiedra ) va para adentro.¿Tendiste ?

A ver si lo ves mejor en un caso concreto. Fijate el ejemplo del colectivo que

Dobla.Ejemplo

UN COLECTIVO QUE VA A 36 KM POR HORA ( 10 m/s) TOMA UNA CURVADE RADIO 30 m. UN SEÑOR QUE VA SENTADO SE SIENTE TIRADO HACIALA PARED. CALCULAR QUÉ FUERZA EJERCE LA PARED SOBRE EL TIPO.SUPONER QUE NO HAY ROZAMIENTO ENTRE LA PERSONA Y EL ASIENTO.DATO: MASA DEL HOMBRE: 60 Kg.

Lo que el enunciado quiere decir es lo siguiente: Cuando un colectivo dobla, todala gente se va para el costado. Eso ya lo sabés. Lindos golpes te debés haber dado

viajando en esa porquería de colectivos.Un tipo que está sentado, también siente que se va contra la ventanilla y que sepega a la pared.

Hagamos unos dibujitos que describan un poco mejor lo que pasa:

Diagrama de cuerpolibre visto desde arriba.



24

Voy a simplificar todos estos dibujitos complicados haciendo los diagramas decuerpo libre:

Señor

Hice los diagramas del tipo visto desde arriba y desde atrás para que el asunto seentienda mejor. Planteo la ley de Newton para el movimiento circular que dice que

En este caso hay una sola fuerza en dirección radial que es la que la paredejerce sobre la persona. Es decir acá, ésta es la fuerza centrípeta. Por otro ladola aceleración centrípeta vale “ ve cuadrado sobre erre ”. Planteo:

Pongámonos de acuerdo. Esta fuerza que calculé es la que la pared ejerce sobreel tipo. Es la fuerza que lo está obligando a seguir una trayectoria curva. Si estafuerza no existiera, el tipo se movería en línea recta.Por otro lado, el tipo ejerce sobre la pared una fuerza igual y contraria.

Podés comprobar lo que plantea este problema yendo a dar una vuelta encolectivo.

Esquema del asuntovisto desde atrás.

Diagrama de c. librevisto desde atrás.

Diagrama de c. librevisto desde arriba.

RADIO DELCPDIRECCIÓN EN

amF ⋅=∑

Rv

mF2

T CP ⋅=

( )

paredlaejercequeFuerza N200F

30m sm10

Kg60F

CP

2

CP

←=⇒

⋅=



25

Pero todo lo que tenés que entender con este ejemplo es que un tipo que va en uncolectivo, efectivamente se siente tirado hacia afuera, pero la fuerza que sobreél actúa apunta hacia adentro.

Otro ejemploUn señor revolea una piedra en un plano vertical haciéndola dar 1 vueltapor segundo. Calcular:a)-La tensión de la cuerda cuando la piedra está en la parte de arriba.b)-La tensión en la cuerda cuando la piedra está en la parte de abajo.c)- ¿ Cuál es la velocidad de rotación mínima para que la piedra pueda

girar sin que la cuerda se afloje ?. Datos: mP = 100g ; Rhilo = 1 m.

Dibujemos al hombre revoleando la piedra :

Para saber cuánto vale la tensión en la cuerda tengo que hacer el diagrama decuerpo libre. Vamos primero a la parte de arriba.

a) Tensión en la parte superior.

Fijate que sobre el cuerpo actúan 2 fuerzas: el peso y la tensión de la cuerda.¿ Cuál de las dos es la centrípeta ?.Pensemos un poco . A ver:



26

m.gRωmT

Pm.aT

2.

CP

−⋅=⇒

−=

PamT CP +⋅=

inferior.parte N4,94T

laenTensión ABAJO ←=

Rta: Ninguna de las dos. La suma de las 2 es la fuerza centrípeta. La fuerzacentrípeta es siempre la resultante ( = la suma ) de las fuerzas que actúan en la

dirección del radio.Entonces, despejando T de la ecuación P + T = m ⋅ aCP :

Me dicen que la piedra da 1 vuelta por segundo. Eso quiere decir que la frecuenciavale f = 1 ⋅ 1/seg .

Como ωωωω = 2ππππ⋅f, la velocidad angular será ωωωω = 2ππππ⋅ (1/seg) . La masa de la piedra es0,1 Kg, el radio de la trayectoria es 1m. Si tomo g= 10m/s2 me queda:

b) Tensión en la parte inferior.

Cuando la piedra pasa por la parte de abajo el asunto queda así:

Despejando T y haciendo las cuentas con los datos anteriores:

Esta cuenta es la misma que hice para el punto a) pero tengo que sumar el peso envez de restarlo. Eso da:

arriba.estápiedra N2,94T

lacuandoTensión

sm

10Kg0,1m1s12πKg0,1T 2

2

←=⇒

⋅−⋅

⋅⋅=



27

c) - Velocidad angular mínima para que la cuerda no se afloje.

Bueno, esta es la pregunta del millón. Acá hay que pensar. Fijate. Si el tipoempieza a revolear la piedra más despacio, va a haber un momento en que, alllegar a la parte de arriba, el hilo va a dejar de estar tenso.Es decir, pasaría esto:

La tensión en el punto a) me dio 2,94 N. Si ωωωω empieza a disminuir, la tensióntambién va a disminuir. Va a llegar un momento en que la tensión va a ser cero.Eso es lo que estoy buscando. En ese momento la cuerda se va a empezar aaflojar.Entonces lo que tengo que hacer es agarrar la ecuación que planteé para el casoa), poner T = 0 y despejar la velocidad angular.Veamos.

La ecuación para la piedra en la parte de arriba era:

P + T = m.aCP

Pero como T vale cero: ⇒ P = m.aCP

Ahora, P es mg, y la aceleración centrípeta es ω2⋅ R, entonces:

Rωmgm 2 ⋅⋅=

piedra.lade segrad 3,16ω

angularVelocidad

1msm10

ω Rg

ω

MÍN

MÍN

←=⇒

=⇒=⇒



28

Esta es la velocidad angular mínima que tiene que tener la piedra para que lacuerda no se afloje cuando la cosa llegue a la parte de arriba.Pasando esto a vueltas por segundo:

Atención con este problema. Es importante y muchas veces suelen tomar cosasparecidas.

Fin Teoría de Dinámica del movimiento circular.Próximo tema: Ley de Hooke.

. seg

vueltas 0,5f

s1

2π3,16f

2πωf f2πω

=⇒

⋅=⇒=⇒⋅=

FRECUENCIA MINIMA PARA QUE

LA CUERDA NO SE AFLOJE CUANDO

LA PIEDRA LLEGA ARRIBA.



29

( = FUERZAS ELÁSTICAS = LEY DE HOOKE )¿ Alguna vez viste esos muñequitos con resorte que se cuelgan del techo ?.Son algo así:

La cosa es que el resorte sin estar estirado tiene una cierta longitud. Al colgarleel muñequito o cualquier otro peso, se alarga.Más pesado es lo que cuelgo, más se alarga.La pregunta es: si cuelgo un peso doble... ¿ el estiramiento será el doble ?.( Pista: La respuesta es sí , y eso es justamente lo que dice la ley Hooke).

Veamos cómo es esto. Yo voy a un negocio y me compro el muñequito con elresorte. Ahora consigo cosas para colgarle. Humm... por ejemplo, algunosalfajores que digan PESO NETO: 50g.Ahora saco el muñequito y voy colgando los alfajores así:

Con cada alfajor que voy colgando veo que el estiramiento va aumentando.Supongamos que ese estiramiento es de 10 cm.Si hago una tabla de valores queda esto:

Un resorte conun peso colgado.

RESORTE SINRESORTE SINRESORTE SINRESORTE SIN

NADA ( No seNADA ( No seNADA ( No seNADA ( No se

Estira )Estira )Estira )Estira )

RESORTE conRESORTE conRESORTE conRESORTE con

1 alfajor1 alfajor1 alfajor1 alfajor



30

ObjetoColgado

PesoTotal

EstiramientoTotal

1 alfajor 50 g 10 cm2 alfajores 100 g 20 cm3 alfajores 150 g 30 cm4 alfajores 200 g 40 cm

Fijate que este experimento es algo que podés hacer vos si te conseguís unresorte y unos alfajores.Esto mismo es lo que hizo Hooke en 1600 y pico. ( Es decir, fue a un negocio ycompró alfajores y el muñequito...).

La conclusión que se saca es que si uno cuelga un peso doble, el estiramiento es eldoble. Si el peso es triple, el estiramiento es el triple.Ahora, hablando en forma física, ¿ Qué fue lo que Hooke comprobó ?.RTA: Él comprobó que lo que se estiraba el resorte era proporcional al peso queuno le colgaba. Representemos esto.Si pongo los valores en un gráfico da una recta. Fijate:

Dicho de otra manera, el estiramiento es directamente proporcional al pesocolgado. Bueno, esto creo que más o menos se entiende.Ahora suponé que pongo un resorte sobre una mesa y tiro de él.

Voy a llamar F a la fuerza que yo hago sobre el resorte y x al estiramiento.

La mano tiradel resorte y lo alarga.

Tabla con los

pesos y elestiramiento.



31

Pongamos el resorte con la fuerza aplicada sobre él. El diagrama sería éste:

Si hago una fuerza F, tengo un estiramiento determinado. Si la fuerza es el doble,el estiramiento será el doble. ( Igual que antes ).Puedo decir que la fuerza aplicada va a ser proporcional a la elongación delresorte. ( A veces al estiramiento se lo llama elongación ). O sea:

Quiere decir que la función que relaciona a F con X, tiene que ser una funciónlineal. ( Una recta ). Tipo y = m ⋅ x + b o algo por el estilo.¿ Pero cuánto valen m y b ?. Veamos. El gráfico que yo había obtenido era éste:

La recta sale del origen, así que la ordenada al origen ( b ) es cero. Me quedaentonces algo del tipo y = m ⋅ x.Algunos chicos dicen: ¿ No se puede poner directamente F = X ?.La respuesta es: no, porque eFe no es igual a equis. F es proporcional a X.Ahora fijate esto. ¿ La pendiente de la recta, cuál es ?. Y bueno, si para un

estiramiento x1 tengo una fuerza F1, el opuesto es F1 y el adyacente es x1.Y si a la pendiente de la recta, en vez de llamarla m la llamo constante del resorte( K ) me queda:

Y ahora sí tengo la expresión a la que llegó Hooke jugando con el muñequito y losalfajores. ( El muñequito está en un museo, pero los alfajores se los morfó ).

Esquema conla fuerza y elestiramiento.

F es proporcional a X

Para una fuerza

F1 tengo unestiramiento x1.

resorte.delConstante xFK

1

1←=



32

La expresión hiperfamosa y archiconocida de la ley de Hooke es:

Ahora quiero que veas el significado de esta fórmula:Cuando yo digo F = K ⋅ X, quiero decir que si tengo un resorte de constante K yquiero mantenerlo estirado ( o comprimido) una distancia X, la fuerza que voy atener que hacer va a valer K por X. Esto es la ley de Hooke.

¿ Me seguiste ?. Bueno, vamos a esto otro:

¿ QUÉ ES LA CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE ? ( Importante )

La constante K es lo que me dice si el resorte es blando o duro. Cuanto mayor esK, más duro es el resorte.( Cuando digo duro quiero decir difícil de estirar o decomprimir ).

Por ejemplo, supongamos que tengo un resorte tal que si le hago una fuerza de 10Newton, se estira 5 cm :

Si planteo la ley de Hooke F=

K . X me queda:

Ahora, fijate esto: ¿ Qué significa este resultado de K = 2 N/cm ?.

x ⋅= κ κκ κ F

Fuerza que yoaplico sobreel resorte.

Constantedel resorte.

Estiramientoo com resión.

constante.ladeValor cmN2K

5cm10NK cm5kN10

←=⇒

=⇒⋅=



33

RTA: Significa que tengo un resorte tal que para mantenerlo estirado 1 cm, tengoque hacer una fuerza de 2 N.

Y un resorte de constante 4 N/cm sería más duro ?Sí, sería más duro, porque para tenerlo estirado 1 cm tendría que hacer unafuerza de 4 N.Resumiendo, la constante elástica de un resorte es una medida de la facilidad o ladificultad para estirarlo. Desde el punto de vista gráfico, es la pendiente de larecta del gráfico fuerza en función del estiramiento. Sus unidades son las de unafuerza dividida por una distancia.

Y ahora quiero hacerte un comentario.

ACLARACIÓN SOBRE EL SIGNO

A veces ellos no ponen la ley de Hooke como F = Κ ⋅ x, sino como F = −−−− Κ⋅x.¿ Por qué es esto ?. Bueno, la fuerza F que yo usé en la fórmula es la que

yohago sobre el resorte. A su vez, el resorte ejerce sobre mi mano una fuerza igual

y contraria. ( La reacción ). Esta fuerza que ejerce el resorte apunta al revés delestiramiento. Es decir, si el estiramiento va así: ←, la fuerza va así: →.

De manera que si uno considera la fuerza que hace el resorte sobre la mano envez de considerar la que la mano hace sobre el resorte, tiene que poner un signo¿ De dónde viene el menos ?. Viene de que la fuerza que hace el resorte es

contraria al estiramiento.

Entonces... ¿ se puede poner la Ley de Hooke como F = −−−− Κ ⋅ x . ?RTA: Sí, se puede, pero entonces F no es la fuerza que yo ejerzo sobre el resortesino la que el resorte ejerce sobre mí. ¿ Tiene mucha importancia esto ?No. El signo menos me indica que fuerza y estiramiento, tienen sentidoscontrarios. Eso es todo.

[ ] K deUnidades etc ó ó ó ←=

cm

Kgf

cm

N

m

N K



34

A ver si con estos dibujitos se entiende mejor:MANO

Las fuerzas que actúan sobre la mano y sobre el resorte son:

Resumiendo: No le des importancia al sigo menos. Vos poné la fórmula comoF = K . X. El sentido de la fuerza lo marcás vos después en tu dibujo.

En principio, acá termina la teoría de fuerzas elásticas. No es muy difícil, como

ves. Pero OJO por lo siguiente:Hooke es un tema que así aislado no suelen tomarlo mucho en los parciales. ( Esdemasiado fácil. Es aplicar la fórmula F = K . X ). Si lo toman, lo toman mezcladocon alguna otra cosa.(Energía, cuerpos vinculados, movimiento circular o algo así ).

Principalmente tenés que saberlo porque después se ve resortes en trabajo yenergía. Ahí se parte de la ley de Hooke para explicar la energía elástica de unresorte. ( Y ahí SI se lo toma ).

Quiero que veas un ejemplo de cómo se usa la fórmula F = K . X así terminamoscon este asunto:

EJEMPLO:SE CUELGA UN PESO DE MEDIO KILO DE UN RESORTE Y SEOBSERVA QUE EL RESORTE SE ESTIRA 10 cm. CALCULAR:a) - LA CONSTANTE ELÁSTICA DEL RESORTE.b) - LA FUERZA QUE SE EJERCE SI SE TIRA DEL RESORTE

Y SE LO ALARGA 35 cm.

La manoestirandoel resorte

Fuerzas queactúan sobrecada cuerpo.



35

Tengo esto:

La constante del resorte va a ser:

Esto que calculé me indica que para estirar a este resorte, tengo que hacer unafuerza de 50 gramos fuerza para alargarlo 1cm.

Si el tipo estira el resorte 35 cm, x vale 35 cm. Entonces:

De este problema quiero que veas una conclusión importante: El tipo, al colgar unpeso conocido ( 0,5 Kgf ) y calcular la constante está calibrando el resorte. Estosignifica que ahora el ya sabe que por cada 50 gr que cuelgue, el resorte se va aestirar 1 cm.Cuando uno tiene un resorte calibrado, puede usarlo para medir fuerzas. Hay que

colgarle un peso desconocido, fijarse cuánto vale el estiramiento y chau.

Sabiendo el estiramiento, uno puede calcular cuanto pesa el cuerpo desconocido.Esto es lo que se llama un dinamómetro, es decir: un resortito calibrado que seusa para medir fuerzas.Digamos que en principio las balanzas funcionan así.

Fin Ley de Hooke.

Esquema dlo que pasa

resorte.delelástica constanteladeValor ←=⇒

==⇒⋅=

cm gf

50

cm10

gf 500

x

F x F

κ κκ κ

κ κκ κ κ κκ κ

ejerce.queFuerza ←=⇒

=⋅=⇒⋅=

Kgf 75 ,1 F

gf 1750 cm35 cm

gf

50 F x F κ κκ κ



36

GRAVITACIÓN

Cuando estábamos viendo cinemática, te comenté que todos los cuerpos caían conla aceleración de la gravedad. Sin embargo en ningún momento expliqué qué era loque causaba esa aceleración.

Cuando estábamos viendo dinámica, te comenté que en realidad esa aceleraciónera provocada por la fuerza PESO, sin embargo, en ningún momento expliqué dedónde venía esa fuerza peso.Como ahora estamos en gravitación, puedo aclararte un poco el asunto: la fuerzapeso aparece porque la Tierra atrae a todos los objetos que están arriba de ella.

Esta respuesta, será muy linda pero no sirve de mucho. Porque...¿ Por qué La Tierra atrae a los objetos ?. ¿ Por qué no los repele ?. ( por ejemplo).

¿ POR QUÉ LA TIERRA ATRAE A LOS OBJETOS ?

Acá llegamos al fin de la cuestión. Ya no se puede avanzar más. La pregunta depor qué la Tierra atrae a los objetos no tiene respuesta, o si querés, la respuestaes: porque así es el universo. Lo que los científicos hicieron fue hacer un montónde experimentos y verificar que, efectivamente, la Tierra atrae a los cuerpos.Pero no hay explicación de por qué los atrae. Eso sigue siendo un misterio.

TODO OBJETO ATRAE A TODO OTRO OBJETO

En 1665 empezó una epidemia en Inglaterra. Newton que andaba por ahí, seencerró en su casa a estudiar este asunto de la gravitación. Él empezópreguntándose si la Tierra lo atraía solo a él o, si a su vez, él también atraía a laTierra.

El amigo Isaac pensó y pensó y llegó a la siguiente conclusión: No era sólo que élatraía a la Tierra y que la Tierra lo atraía a él, sino que todo cuerpo del universoatraía a todo otro cuerpo del universo. Es decir, él descubrió que toda cosaque tenía masa, atraía a toda otra cosa que tenía masa.

Después Newton se puso a hacer experimentos y cálculos. Así llegó a la conclusiónde que la atracción entre los cuerpos era producida por una fuerza que dependíade las masas de los cuerpos y de la distancia que los separaba.



37

A ver si me explico.Entre cualquier cuerpo y cualquier otro cuerpo existe una fuerza de atracción.Es decir, que entre vos y este libro hay una fuerza de atracción, entre vos y lapirámide de Keops también.

De la misma manera, vos en este momento estás atrayendo a la Tierra, a la Luna, amí ( dondequiera que yo esté ), al sol y a las estrellas también. A su vez, c/u deestos cuerpos ejerce sobre vos una fuerza exactamente igual ( pero opuesta ) a laque ejercés vos sobre él.

Isaac se dio cuenta de que cuanto mayores fueran las masas, mayor iba a ser lafuerza de atracción entre ellas.Y cuanto mayor fuera la distancia, menor iba a ser la fuerza de atracción.

Newton resumió todos estos experimentos en una tremenda ley llamada Ley deGravitación Universal ( Ídolo Isaac! ). Entonces, título:

LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Supongamos que tengo 2 objetos de masas eme 1 y eme 2 separados por unaCierta distancia d .

Si las masas sonGrandes, la fuerza deatracción es grande.

Dos objetos demasas m1 y m2

separados poruna distancia d.

FUERZA DE

ATRACCIÓN

DE NEWTON



38

Entre estos cuerpos aparecerá una fuerza de atracción que vale:

En esta fórmula, m1 y m2 son las masas de los cuerpos. d es la distancia que separaa los 2 cuerpos.( Se mide desde el centro de un cuerpo al centro del otro cuerpo).Esta d va al 2 en la formula.La letra G representa a una constante. Se la llama constante de gravitaciónuniversal de Newton. El valor de G se determinó haciendo mediciones yexperimentos. El valor que usamos para resolver los problemas es

Fijate que G tiene unidades de fuerza multiplicadas por unidades de distancia alcuadrado divididas por unidades de masa al 2.Eso es así para que al multiplicar G por m1.m2 / d

2 la fuerza me dé en Newtons.

Vamos ahora a un ejemplo:

Problema : CALCULAR LA ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD EN LA SUPERFICIE DE

UN PLANETA CONOCIENDO LA MASA DEL PLANETA MP Y SU RADIO Rp.

Voy a usar este problema para deducir una fórmula que se usa en algunosproblemas de gravitación.Imaginate un cuerpo de masa m colocado sobre la superficie de un planetacualquiera.

El peso del objeto vale:

2 21d

mmG F ⋅⋅=

SUP g mP ⋅=

LEY DE NEWTONDE GRAVITACIONUNIVERSAL.

UN CUERPO APOYADO

SOBRE LA SUPERFICIE

DE UN PLANETA.

⋅⋅=

−

2

2 11

Kg

mN 10 67 ,6G

VALOR DE LA CONSTANTE DEVALOR DE LA CONSTANTE DEVALOR DE LA CONSTANTE DEVALOR DE LA CONSTANTE DE

GRAVITACION UNIVERSALGRAVITACION UNIVERSALGRAVITACION UNIVERSALGRAVITACION UNIVERSAL



39

( gSUP es la gravedad en la superficie del planeta ). Ahora, la fuerza peso es lafuerza con la que el planeta atrae al cuerpo.Según la ley de Newton de atracción de las masas, esa fuerza vale:

Entonces, como P es la fuerza de atracción, igualo las expresiones:

Ojo, esta no es una ley nueva, es solamente otra manera de expresar la ley deNewton. Esta fórmula viene fenómeno porque en ella figura el valor de lagravedad en la superficie del planeta, dato que muchas veces se conoce.

Por ejemplo, suponé que me dicen que la masa de la Luna es de 7,3⋅10 22 Kg y suradio 1720 Km.Puedo calcular cuánto pesa una persona en la Luna, calculando cuál es el valor de lagravedad en su superficie.Despejo gSUP de la fórmula anterior y me queda:

Este valor, es unas 6 veces menor que la gravedad en la Tierra, por lo tanto, untipo en la luna pesa 6 veces menos. Si tu masa es de 60 Kg, pesás 60 Kgf acá en laTierra, y 10 kilogramos fuerza allá en la Luna.

2 P

P AT R

mmG F

⋅⋅=

Gravedad en lasuperficie del planeta

Radio delplaneta

Cte. de Grav.Universal

Masa delplaneta.

P 2

P SUP

2 P

P SUP

2 P

P Atracción SUP

mG R g

R

mmG g m

R

mmG F g mP

⋅=⋅⇒

⋅⋅=⋅

⋅⋅=⋅=

y

( )

Luna.lade superficiela

enGravedad ←=⇒

⋅⋅

⋅⋅=⇒⋅=

−

2 LUNASUP

2

22

2

2 11

LUNASUP 2 L

LLUNASUP

s

m65 ,1 g

1720000

Kg 10 3 ,7

Kg

mN 10 67 ,6 g

R

MG g



40

ALGUNAS ACLARACIONES SOBRE LA LEY DE GRAVITACIÓN

Si las masas de los objetos no son muy grandes, las fuerzas de atracción son

chicas y es muy difícil detectarlas. Por ejemplo la fuerza de atracción entre este libro y vos es de aproximadamente0,000000001 Kgf. La fuerza con la que se atraen dos personas separadas 1 metroes aproximadamente 0,000000024 Kgf .

Esta ley de gravitación es universal, se cumple en todo instante en cualquier lugardel universo. Los planetas giran alrededor del sol siguiendo esta ley. Se comprobótambién que el asunto se cumple para estrellas que están a miles de años luz dedistancia.

La fuerza peso es la fuerza con la cual la Tierra y un objeto se atraen. Si vos tealejás de la Tierra, esa fuerza empieza a disminuir, por eso se dice que lagravedad disminuye con la altura. Si en la superficie de la Tierra la gravedad vale9,8 m/s2, arriba de una montaña de 8000 m va a valer algo así como 9,78 m/s2.

Las fuerzas de atracción están sobre la línea que une los dos cuerpos. Las fuerzasque c/u de los cuerpos ejerce sobre el otro son iguales y de sentido contrario.( Digamos que la Tierra atrae a la Luna con la misma intensidad de fuerza que la

Luna atrae a la Tierra ).

Repito. Cuando digo “distancia de separación entre dos cuerpos”, me refiero a ladistancia que va del centro de gravedad de uno al centro de gravedad del otro.Esto en realidad se cumple sólo para esferas. Por ejemplo, cuando hablo de ladistancia entre la Tierra y la Luna, me refiero a la distancia que va del centro delaTierra al centro de la Luna.

Otro ejemplo :CALCULAR CON QUÉ FUERZA SE ATRAEN DOS MANZANAS DE50 gr Y 100 gr SEPARADAS UNA DISTANCIA DE 10 cm.

¿ QUÉ DISTANCIA RECORRERÍA LA MANZANA GRANDE EN UNAHORA SI SU ACELERACIÓN FUERA CONSTANTE Y NO HUBIERAROZAMIENTO ?.

Aplico la Ley de Newton para saber cuál es la fuerza de atracción entre las



41

210

11

103,3

101033

s ma

a Kg ,N ,F a mF

−

−

⋅=⇒

⋅=⋅=⇒⋅=

manzanas. Me dan las masas y me dan la distancia. Hagamos primero un dibujito :

F = 3,3 x 10 –11 N

¡ Fijate que esta fuerza es muy, muy chica !. Vale 0,000000000033 Kgf. En la

práctica sería imposible medir una fuerza tan chica .Para calcular la distancia recorrida por la manzana grande en una hora, calculo suaceleración:

Si esta aceleración fuera constante y no hubiera rozamiento, en una hora ( 3600seg ) la manzana recorrería una distancia que valdría:

Este problema apuntaba a que notaras lo chiquititas que son las fuerzas queaparecen para objetos de tamaño normal.¿ Lo notaste, no ?

Fin de la Teoría sobre Gravitación.Fin de la Teoría de Dinámica.

( )m0,1Kg0,050,1Kg

Kg

mN1067,6

22

211

221

F

d

mmG F

− ⋅⋅

⋅⋅=⇒

⇒⋅

⋅=


( )

hora.unaenmanzanala 2

porrecorridaDistancia

002,0

s3600m/s103,3 2210212

21

←=⇒

=⇒

⋅==−

mmx

mx

at x

FUERZA DE

ATRACCION



42

Trabajo de una fuerza.

Una manera de entender qué es una fuerza es pensar en una cañita voladora. Loque quiero decir es:

O sea, como si fuera una especie de carrito a chorro o algo por el estilo.El considerar que la fuerza F está generada por la acción de la cañita voladora

hace que el asunto se entienda mejor.Ahora, con esta idea en la cabeza, quiero que te imagines que bajo la acción deesta fuerza el cochecito recorre una distancia d.

Durante todo el trayecto F se mantiene constante y el carrito va acelerando.El trabajo que realizó la fuerza efe al moverse la distancia d se calcula haciendola cuenta efe por de. ( Esto es una definición )Al trabajo realizado por una fuerza se lo suele poner con la letra L. ( DeLaborum ). Me queda.

L = F . d

... es pensarlo así.

La mejor manera deentender este dibujo...

Esta es la distanciarecorrida por la

acción de la fuerza.

Trabajo dela fuerza F.



43

Esto vale cuando la fuerza se mueve en al misma dirección del desplazamiento.Pero podría pasar que la fuerza esté inclinada con respecto a la distancia d.Fijate:

Lo que hago en este caso es descomponer a F en dos direcciones: una así →, yotra así ↑. Veamos. Si F forma un ángulo αααα con la distancia d tengo:

La fuerza así ↑ NO realiza trabajo. El cuerpo no se mueve en la direcciónvertical. ( No se levanta del piso ).

La componente que va así → SÍ hace trabajo, porque recorre la distancia d.Como esta componente vale F ⋅ cos α,α,α,α, el trabajo que realiza vale:

O, lo que es lo mismo:

Atento. Esta es la hiper-archifamosa expresión que da el trabajo realizado poruna fuerza efe. En esta fórmula F es la fuerza que actúa, d es la distancia querecorre y alfa ( MUY IMPORTANTE ) es el ángulo formado por la fuerza y ladistancia d.

Ahora la fuerzaestá inclinada.

d F Lhorizontal F

⋅⋅=!"!#$

cosα

Trabajo de

una fuerza.L = F ⋅ d ⋅ cos αααα

Fuerza aplicada Distancia Ánguloal cuer o. recorrida entre F d .



44

Ahora, fijate esto. La distancia d da la dirección de desplazamiento. Quierodecir, d apunta para donde se está moviendo el cuerpo. Dicho de otra manera, ladistancia d es un vector. Este vector d siempre apunta para el lado donde va lavelocidad. Entonces, aprendete esta conclusión muy importante:

¿ EN QUÉ SE MIDE EL TRABAJO DE UNA FUERZA ?

El trabajo es F por d, de manera que se medirá en unidades de Fuerza porunidades de distancia.La fuerza la pongo siempre en Kilogramos fuerza o en Newton. La distancia lapuedo poner en metros. Así que las unidades de trabajo que más se usan son:

[ L ] = Kgf ⋅ m ← Kilográmetro.

[ L ] = N ⋅ m ← Joule.

Como 1 Kilogramo fuerza son 9,8 Newton, 1 Kilográmetro equivaldrá a 9,8 Joule.

¿ Qué tan grande es un trabajo de 1 joule en la realidad real ?.Bueno, 1 Joule es el trabajo que realiza una fuerza de 1 Newton cuando sedesplaza 1 metro. Como 1 N son más o menos 0,1 kilogramos fuerza, si vos tenésalgo que pese 100 gramos y lo elevás a 1 m de altura, el L que realizaste vale 1Joule.En la práctica al levantar una calculadora a una altura de 1 metro, estás haciendoun trabajo aproximado de 1 Joule.

EL ANGULO ALFA QUE VA EN LA FORMULA

L = F.d

. COS αααα ES EL ANGULO FORMADO

ENTRE LA FUERZA Y LA DISTANCIA d .

ESTO ES LO MISMO QUE DECIR QUE ALFA

ES EL ANGULO FORMADO ENTRE LA FUERZA

Y LA VELOCIDAD QUE TIENE EL CUERPO.



45

ALGUNAS ACLARACIONES ( Ver! )

La fuerza es un vector, sin embargo el trabajo no es un vector. No tienedirección, sentido, módulo ni nada de eso. No puedo explicarte por qué esto esasí.Por ahora solamente tomalo como que es así.

Sólo puede haber L cuando una fuerza se mueve. Una fuerza quieta no puederealizar trabajo.

Hay fuerzas que no realizan trabajo aún cuando se estén moviendo. Es el caso de

las fuerzas que se trasladan en forma perpendicular a la trayectoria.

Esto puedo entenderlo viendo que en realidad, F no se está moviendo en ladirección vertical. No hay distancia recorrida en esa dirección ( ⇒ no hay L ).

Visto de otra forma, puedo decir que el ángulo que forma F con d vale 90° y coseno de 90° es cero, así que F ⋅ d ⋅ cos 90° me da cero.

Para un cuerpo que cae por un plano inclinado, la normal es ⊥⊥⊥⊥ a la trayectoria, asíque tampoco hace trabajo.

Este mismo asunto pasa con la fuerza centrípeta en el movimiento circular. Fcp estodo el tiempo ⊥⊥⊥⊥ a la trayectoria y no hace trabajo.

F no hacetrabajo.

( F )90°

La normal nohace trabajoen este caso.

La fuerza centrípetaNO hace trabajo.



46

Una fuerza puede realizar trabajo negativo. Esto pasa cuando el cuerpo va paraallá →, y la fuerza va para allá ←. ( Es decir, la fuerza va al revés deldesplazamiento ).

Esto se puede entender viendo que el ángulo que forma la fuerza es en realidad180° . Coseno de 180° es −1, ⇒ el producto da con signo .

Ahora, pensemos un poco. ¿ Que fuerza suele ir al revés de la velocidad ?.Rta: El rozamiento. Generalmente Froz apunta al revés de como se está moviendoel cuerpo. Por eso, casi siempre el trabajo de la Froz es negativo.

Ultima aclaración: La palabra trabajo, en física, no se usa con el mismo sentidoque se usa en la vida diaria.Uno puede decir: “Uf !. ¡ Resolver este problema me costó un trabajo terrible !.Nada que ver: acá no hay una fuerza F que recorrió una distancia d...

EjemploPARA LOS DISTINTOS VALORES DEL ANGULO ALFA, CALCULAR

EL TRABAJO DE LA FUERZA F AL RECORRER LA DISTANCIA d.

EN TODOS LOS CASOS F = 10 N Y d = 10 m.a) αααα= 60°, b) αααα = 60° hacia abajo, c) αααα = 90°, d) αααα = 180°.

F hacetrabajonegativo.

Froz haciendo

un trabajo .

F ⋅ d ⋅ cos 180° -1



47

α cosdFL ⋅⋅=

Lo que hago es aplicar la definición de trabajo de una fuerza en cada uno de loscasos. Tengo:Caso a) - Alfa = 60°

Caso b). Alfa = 60° con la fuerza apuntando para abajo :

El ángulo αααα es siempre el que forma la fuerza F con la distancia d. ( En estecaso es 60° ). Entonces:

Caso c) Fuerza formando 90°

Caso d) αααα = 180°

0L

90cosdFL0

=⇒

°⋅⋅=!"!#$

Joule100L

180 cosm10N10L1

−=⇒

°⋅⋅=−!"!#$

αcosdFL ⋅⋅=

°⋅⋅=⇒ 60cosm10N10L

Joule50 06cosm10N10L0,5

=⋅⋅=⇒"#$

F

Joule50L =⇒



48

Joule 50 L −=

Inventemos un caso más. Pongamos ahora laFuerza apuntando de la siguiente manera:

El ángulo que forma la fuerza F es de 120°

Otra manera de hacer este ejemplo es tomar el ángulo de 60° que la fuerzaforma con la distancia pero poniéndole a todo signo . Le pongo de entrada elsigno menos porque veo que la fuerza está frenando al cuerpo .

ENERGÍA CINÉTICA

La cosas que se mueven tienen energía cinética.¿ Qué quiere decir esto ? Quiere decir lo siguiente: Supongamos que tengo un

cuerpo que está quieto. Lo empiezo a empujar y comienza a moverse. Ahora tienevelocidad y, por lo tanto, energía cinética.

¿ De dónde salió esa energía que el tipo tiene ahora ?RTA.: Salió del trabajo que hizo la fuerza F.Todo el trabajo F ⋅ d se transformó en energía cinética. Veamos cuánto vale esaEc . El trabajo realizado por F vale F ⋅ d, entonces:

La aceleración que tiene el carrito la calculo con la ecuación complementaria:

F

120°

( )

Joule 50 L

120 cos m10 N 10 L5 ,0

−=⇒

°⋅⋅=!"!#$

d F L ⋅=

%d a mL

F

⋅⋅=⇒

Dio lo mismo .

( ))( !"!#$

5 ,0 60 cos m10 N 10 L °⋅⋅−=



49

d a 2 v v 2 0

2 f ⋅⋅=−

Reemplazando esto en L = m ⋅ a ⋅ d :

Pero este trabajo realizado es la energía cinética que el tipo adquirió. Entonces:

Ejemplo Un objeto de m = 2 Kg se mueve con v = 1 m/s. Calcular su Ec .

Fijate que las unidades son Kg ⋅ m 2/s 2 que es lo mismo que N ⋅ m, que es Joule.Trabajo y energía se miden en las mismas unidades. ( Joule ).¿ Casualidad ?No. Justamente NO. Trabajo y energía son, en cierta medida, la misma cosa.Cuando una fuerza actúa a lo largo de una distancia d, ese trabajo se invierte enenergía cinética. De la misma manera, cuando un cuerpo viene con unadeterminada energía cinética, se necesitará el trabajo de una fuerza parafrenarlo.

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA CINÉTICA

Supongamos que un cuerpo se viene moviendo con velocidad inicial Vo . En esemomento se prende una cañita voladora y el tipo empieza a acelerar.

moviendo.estáse quecuerpountiene

quecinéticaEnergía

←⋅=

2

2

1

v mEc

2 f 2

1 v mL ⋅=⇒

( ) .Joule 1 s m1 Kg 2 Ec 2

2

1 =⋅⋅=

d 2

v a

2 f

⋅

=⇒

d d 2

v mL

2 f ⋅⋅

⋅=



50

El carrito en su movimiento acelerado recorre una distancia d. El trabajorealizado por F vale L = F . d. Pero como por 2da ley de Newton F = m . a, mequeda :

El cuerpo al ser empujado por una fuerza tiene un MRUV. Entonces puedoplantear la ecuación complementaria :

Reemplazando:

Esto se lee de la siguiente manera: Al principio el tipo tenía una energía cinéticainicial ( = ½ m ⋅ V0

2 ). Después de actuar la fuerza, tiene una energía cinética final( = ½ m ⋅ Vf

2 ). La diferencia entre estas dos energías es el trabajo realizado porla fuerza F .

Ejemplo SE TIRA UN LADRILLO AL SUELO CON VELOCIDAD V = 10 m/s.SABIENDO QUE SE FRENA DESPUÉS DE RECORRER 2 m, CALCULAREL VALOR DE LA FUERZA DE ROZAMIENTO. m LADRILLO = 1 kg.

d F LF ⋅=

d a 2 v v 2 o

2 f ⋅⋅=−

d d 2

v v md F

2 O

2 f ⋅

⋅

−⋅=⋅

Lo que tengoes esto.

d a md F ⋅⋅=⋅⇒

d 2

v v a

2 o

2 f −

=⇒

LF Ec f Ec 0

2 0 2

1 2 f 2

1 v mv md F ⋅−⋅=⋅

EL CUERPO ACELERA

POR ACCION DE LA

FUERZA F.

Teorema deltrabajo y la

Energ. cinética.



51

El ladrillo recorre 2 m hasta que se frena. Voy a ver qué fuerzas actúan mientrasse está frenando. Hago el diagrama de cuerpo libre:

La fuerza de rozamiento es la que hace que el tipo se vaya frenando. El peso y lanormal no hacen trabajo. Entonces uso el teorema del trabajo y la energíacinética. Planteo que el trabajo de la fuerza de rozamiento tiene que ser igual a lavariación de la energía cinética. Veamos:

Fijate que:El trabajo de la fuerza de rozamiento es . Eso pasa porque la velocidad va paraallá →, y la fuerza de rozamiento va para el otro lado. A esta misma conclusiónllego si hago este dibujito:

Este problema se podría haber resuelto combinando cinemática con dinámica:


FROZ 180° v

( )

m2 2

s m10 Kg 1

F

2

ROZ ⋅

⋅

=⇒

%

2 0 2

1 2

0

f 2 1

roz v mv md F ⋅−⋅=⋅−

Fuerza derozamientoque actuó.

N 25 F roz =⇒

d 2

v mF

2 0

ROZ ⋅

⋅=⇒

( )!&!'(

1

roz 180 cos d F L−

°⋅⋅=

Ec. com lementaria.

c F E LROZ

∆=

d a 2 v v 2 0

2 f ⋅⋅=−



52

Usando que F = m ⋅ a :

Trabajo y energía me permite resolver problemas de cinemática y dinámica porotro camino. Es más, hay algunos problemas que sólo pueden resolverse usandoL y energía.( Éste por ejemplo →

El teorema del trabajo y la energía cinética se usa sólo cuando tengo planoshorizontales. Pero a veces puedo tener planos inclinados o montañas así:

En estos casos conviene usar el teorema del trabajo y la energía mecánica . ( Queviene después ). Lo mismo va para problemas en donde haya resortes.

El teorema del trabajo y la energía fue deducido para un cuerpo que tiene 1 solafuerza aplicada. ¿ Y si tengo más de una fuerza, qué hago ? .Rta :Bueno, en ese caso calculo la resultante de todas las fuerzas que actúan:

Ahora tengo un cuerpo que tiene una sola fuerza aplicada ( la resultante ) y puedousar el teorema.

POTENCIASupongamos que un señor empuja una caja y la mueve con velocidad constante.Mirá el dibujito:

2 2

0

d

v mF ROZ ⋅

⋅−=⇒

d 2

v 2

0 ⋅

−=⇒ a

d F Lroz ⋅−=⇒

Mismo resultado anterior.



53

Si la fuerza de rozamiento vale 10 Kgf digo que eltrabajo que hizo el tipo vale 10 Kgf . 1m ( = Froz ⋅ d ).Muy bien. Ahora resulta que si el señor desplazó el cuerpo 1 m, el trabajorealizado vale 10 Kilográmetros independientemente de si el tipo tardó 1 seg ó 1año en hacer que el cuerpo se mueva 1 metro.Es decir, uno podría encontrar otra persona que hiciera ese trabajo más rápido,pero el trabajo realizado sería siempre el mismo: 10 Kilográmetros.

Cualquier auto puede ir de acá a Mar del Plata, pero el que va más rápido esmejor. También podés ir a Mar del Plata en caballo, nadie te dice que no, pero vasa tardar 100 veces más...Un auto puede hacer el trabajo que hace un caballo 100 veces más rápido o, dichode otra manera, un auto puede realizar un trabajo equivalente al de 100 caballos.De ahí sale la cuestión de que un auto tiene una potencia de 100 caballos y todoeso. Los 2 pueden realizar el mismo trabajo ( llevarte a Mar del Plata ), pero unolo puede hacer más rápido que el otro.

CONCLUSIÓN:A veces no sólo importa el trabajo realizado. Puede importar también el tiempoque uno tardó en realizarlo.Entonces para tener una idea de qué tan rápido una cosa ( hombre, animal omáquina ) puede realizar trabajo, lo que hago es tomar el trabajo realizado ydividirlo por el tiempo. Es decir:

POTENCIA

Si al trabajo lo pongo como fuerza por distancia:

Un tipo empuja

un cuerpo y lomueve 1 m.

empleadoTiempo

efectuadoTrabajo

t

LP

∆=

t

d F P

v

∆

⋅=

potencialacalcular deformaOtra ←⋅=⇒ v F P



54

En esta expresión de potencia como fuerza por velocidad, F debe ser la fuerzaque va en la dirección del movimiento, sino habría que multiplicar todo por elcoseno del ángulo formado entre F y V. ( Quedaría P = F . V . Cos α

).

UNIDADES DE POTENCIA

Las unidades de potencia serán las de trabajo divididas por las de tiempo. Eltrabajo realizado se mide en Joules ( N ⋅ m ) y el tiempo en seg. Entonces:

Es decir que si una fuerza de 1 N recorre una distancia de 1 m en 1 seg, lapotencia entregada será de 1 Watt.

Si mido el trabajo en Kilográmetros, la potencia se medirá en Kilográmetros porsegundo ( Kgf . m/s ).Hay otra unidad que se usa y es el Horse Power ( caballo de fuerza = H P ).Las equivalencias son:

¿ Es la unidad de caballo de fuerza equivalente a la potencia que tiene un caballode verdad ? RTA: Sí, aproximadamente sí. ( Por eso se la llamó caballo de fuerza ).

EL KILOWATT – HORALa electricidad que consume una casa se mide en Kw-hora. ¿ Es esto equivalente amedir la potencia en Kilowatts ( = 1000 Watt ) ?RTA: No. Lo que se mide en una casa es la energía eléctrica consumida y no lapotencia consumida.

1 Kw-hora no son 1000 Watt. Son 1000 Watt por hora. ( por de multiplicar ).

← 1 Watt.

[ ] [ ] ó seg

mN P

seg

Joule P

⋅==

Watt9,8s

mKgf 1 =⋅

Watt 745 s

mKgf 76 H.P. 1 =⋅

=

iasEquivalenc ←

A esta unidad sela llama Watt.



55

Busco la equivalencia entre Joule y Kilowatt-hora. Veamos:

Es decir, el Kw-h es una unidad de energía, no de potencia. Por ejemplo, unaplancha consume alrededor de 1 Kw. Si una casa gasta en 1 mes 100 Kw-h, esoquiere decir que la casa consumió una energía equivalente a la que hubieraconsumido una plancha si hubiera funcionado 100 horas seguidas .

Ejemplo Un tipo que camina con v = 3,6 Km/h arrastra un bloquede P = 50 Kgf una distancia de 10 m. Calcular la potenciaentregada por el tipo. µµµµd = 0,2.

El diagrama de cuerpo libre para el bloque es éste:

Como la aceleración es igual a cero ( la velocidad es constante ), saco comoconclusión que la fuerza que el tipo hace tendrá que ser igual a la de rozamiento.Planteo:

tipo.elhace queFuerza

←=⇒ Kgf 10 F TIPO

hora-Kilowatt 1 ←⋅=⇒ .Joule 10 6,3 hKw 1 6

N F d ROZ ⋅= µµµµ

Kgf 50 2 ,0 F ROZ ⋅=⇒

Kgf 10 F ROZ =⇒

seg 3600 seg

Joule 1000 hKw 1 ⋅=⇒

hora1watt1000hKw 1 ⋅=



56

La potencia que el tipo entrega la calculo como fuerza por velocidad:

P = F . V

PREGUNTA: ¿ Y toda esta potencia que entrega el tipo, a dónde va ?RTA: No va a ningún lado. No se almacena en ninguna parte.Todo lo que el tipo entregó se lo comió el rozamiento.

¿ Y en qué se transformó ?Rta: En calor.

Próximo tema: energía mecánica, y conservación de la energía.

hombre. del Potencia ←=⇒ Watt 98 P

hKm3,6Kgf10P ⋅=⇒

s m1 N 8 ,9 10 P ⋅⋅=⇒



57

Energía mecánica.Conservación de la energía.

ENERGÍA POTENCIALHay dos tipos de energía potencial que tenés que conocer. Una es la potencialgravitatoria, que tiene que ver con la altura a la que está un objeto. La otra es lapotencial elástica, que tiene que ver con la distancia que está comprimido oestirado un resorte. Entonces, título:

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIASuponé que sostengo una cosa a 1 m del piso y la suelto.

Al principio la cosa tiene velocidad inicial cero. Pero resulta que cuando toca elpiso tiene una velocidad Vfinal . Es decir que, inicialmente, la energía cinética valecero ( v0 = 0 ) y al final NO. ( Vf no es cero ).

La pregunta entonces es: ¿ Quién fue el que le entregó energía al cuerpo ?Yo no fui porque el cuerpo cayó solo ( yo no lo empujé para abajo ).La respuesta a esta pregunta es:La fuerza Peso es la que le dio energía al cuerpo. El peso recorrió una distancia de1 m e hizo un trabajo que vale: LPeso = P ⋅ 1 m. Ese trabajo se convirtió en energíacinética.



58

La conclusión que saco de acá es que un cuerpo que está a una determinada alturatiene energía. Esa energía es igual al trabajo que la fuerza peso puede realizar sise deja caer al cuerpo desde esa altura.

¿ Y cuánto vale el trabajo que puede realizar la fuerza peso ?Bueno, el trabajo realizado por una fuerza es F . d . En este caso la fuerza es elpeso y la distancia es la altura hache. Por lo tanto, si se suelta un peso P desdeuna altura h, el trabajo valdrá pe por hache.

Fijate lo siguiente: la energía potencial se mide en Joules, como la energíacinética y todas las demás energías.Esta Ep que tiene el objeto es con respecto al piso. Al calcular energíaspotenciales, uno siempre tiene que indicar el nivel de referencia, es decir, el lugardesde donde uno empieza a medir la altura.

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA

Un resorte que está comprimido también tiene energía almacenada.¿ Cómo es eso ?. Fijate:

Ep = P ⋅ h ó m ⋅ g ⋅ hEnergía potencial quetiene un cuerpo de pesoP que está a una altura h.

Ejemplo Calcular la Epot delcuerpo que estáarriba de la mesa.

Resorte comprimidotratando de empujara un cuerpo.

h g mE p ⋅⋅=

m1 s

m8 ,9 Kg 1 E 2 p ⋅⋅=⇒

Joule9,8El

p =⇒

Ener g ia Pot enc ialE ner g i a P o t enc ia lEner g ia Pot enc ialE ner g i a P o t enc ia lQ u e t ien e el o b j et oQ u e t i en e el o b j et oQ u e t ien e el o b j et oQ u e t i en e el o b j et o



59

El tipo no se mueve porque está trabado. Pero si yo ahora saco el clavo,...¿ qué pasa ?

Inicialmente el cuerpo estaba quieto y no tenía energía cinética. Al soltar elresorte el tipo se mueve con una velocidad V y su energía cinética valdrá ½ m ⋅ v2.¿ De dónde salió esa energía ?

RTA.: Del resorte. El resorte comprimido tenía una energía almacenada. Al soltarlose descomprime y le entrega toda esa energía al cuerpo. Esto hace que el objetoadquiera una velocidad V.¿ Hasta acá me seguiste ?

Voy a calcular ahora cuánto vale esa energía almacenada en el resorte.Supongamos que tengo lo siguiente:

Esta situación la puedo representar así:

En este dibujito F representa a la fuerza que hago yo para estirar el resorte.( que es igual y contraria a la que el resorte hace sobre mi mano ). Ojo, esta

Ahora el cuerposale despedido conuna velocidad V.

Un resorte que no está ni

comprimido ni estirado.

Ahora lo estirouna distancia ∆x.

La fuerza delresorte varíacon la posición.



60

fuerza no es constante. Aumenta con la posición según la ley de HooKe ( F = K ⋅ ∆x ).Es decir que lo que yo tendría sería algo así:

Esta fuerza, al ir moviéndose va a realizar trabajo. Ese trabajo es el que quedaalmacenado en el resorte como energía potencial elástica.

¿ Vale ese trabajo F ⋅ ∆x ?RTA: No. Eso sería si F fuera una fuerza constante, pero F es una fuerzavariable.¿ Cómo hago entonces para resolver el asunto ?Bueno, miralo así: voy a considerar una fuerza intermedia entre la inicial y lafinal:

La fuerza inicial vale cero ( resorte ni comprimido ni estirado ).La fuerza final vale F = K ⋅ ∆x . Haciendo el promedio me queda:

Es decir:

Ahora voy a considerar que esta fuerza promedio es la que recorrió la distancia∆x y voy a calcular el trabajo de FP. ( Esto se puede hacer porque la variación deFRes es lineal con la distancia ). Queda:

promedio.Fuerza ΔxKF2

1Prom ←⋅=

!

2ΔxK0

F

f0FF

Prom

"#$

⋅+=

!dF

21

F ΔxΔxκLP

P⋅⋅=

%"%#$



61

Tengo que, para estirar el resorte, tuve que entregarle un trabajo L = ½ K ⋅ (∆x )2.¿ Qué energía habrá acumulado el tipo ? . RTA: ½ Κ ⋅ ( ∆x )2.

Y si ahora hago que el resorte se des-estire, ¿ qué energía será capaz deentregarme ? . RTA: ½ K ⋅ ( ∆x)2.

¿ Conclusión de todo esto ?

Ejemplo UN RESORTE TIENE UNA CONSTANTE K ==== 10 Kgf / m. SE LOESTIRA 10 cm. CALCULAR:a) - QUÉ TRABAJO HUBO QUE HACER PARA ESTIRARLO.b) - QUÉ ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA QUEDÓ ALMACENADA

EN EL RESORTE.

a) - La energía potencial elástica del resorte estirado 10 cm vale:

b) - El trabajo que tuve que hacer yo para estirarlo vale lo mismo que la energíaelástica que el tipo tiene almacenada. O sea:

L que hice yo = 0,49 Joule.

EPOT. Elás. = ½ K ⋅ ( ∆x) 2 Esta es la energía pot.

elástica acumulada

en un resorte.Constante

del resorte. Energía potencial elásticaacumulada en el resorte.

Distancia que fuecomprimido (o estirado).

( ) ( )2

2 1 2

2 1

E Pot m1 ,0

m

Kgf 10 x E ⋅=⋅= ∆κ κκ κ

Joule 49 ,0 mKgf 05 ,0 E E Pot =⋅=⇒

( ) 221

F ΔxLP

⋅=⇒ κ

RESORTE SIN ESTIRAR

Y RESORTE ESTIRADO.



62

Conclusión: Para estirar el resorte hice un trabajo de 0,49 Joule. La energíaelástica acumulada vale 0,49 J.Y si ahora suelto el resorte, ¿ qué energía será el tipo capaz de entregarme ?Elemental Watson : 0,49 Joule.

¿ Ves a dónde apunta la cosa ?. La energía no se pierde. Sólo se transforma.

ENERGÍA MECÁNICA DE UN SISTEMA ( Ver )

La Em de un sistema en un momento determinado es la suma de la energía cinética,más la potencial, más la elástica que el tipo tiene en ese momento. Es decir:

*NOTA: De ahora en adelante a la energía potencial gravitatoria la voy a llamarsolamente “energía potencial” y a la energía potencial elástica la voy a llamarsolamente “energía elástica”. Esto lo hago para abreviar, nada más.

Ejemplo CALCULAR LA ENERGÍA MECÁNICA DEL CARRITO EN EL PUNTO A.

La energía mecánica del carrito en el punto A va a ser la suma de las energíascinética, potencial y elástica.

Otro ejemplo

Em = Ec + Ep + EE Energía mecánica.

0 ( ← No hay resortes )

E mA = E cA + E pA + E

EA

( ) m1 s

m8 ,9 Kg 2 s m1 Kg 2 E

2

2

2 1

mA ⋅⋅+⋅=⇒

Joule 6,20 E mA =⇒



63

SE SUELTA EL RESORTE Y ESTE EMPUJA AL CARRITO QUE CAE

POR LA PENDIENTE. CALCULAR LA EMEC DEL CARRITO EN LOS

PUNTOS A, B Y C. DATOS. m = 1 Kg, X = 20 cm, K = 10 N/m.

EN EL PUNTO A:Aparentemente el carrito está quieto con el resorte comprimido 20 cm, y listopara empujarlo. La energía mecánica en el punto A va a ser:

EN EL PUNTO B:

PREGUNTA: En A, el carrito tiene una energía mecánica de 10 Joule y en B de5,4 Joule. ¿ Dónde están los 4,6 Joule que faltan ? .RESPUESTA: Se los comió el rozamiento que hay entre A y B.

EN EL PUNTO C:

&AE Ap

0

Ac Am E E E E

)0Av(

++=

=

B E B p B c B m E E E E

)resortes hay no(0++=

enresorteshayno( ,0 , h0 v .0 0 0 E C C C m ==++=⇒

( )2

2 1

2 Am m2 ,0 m

N 10 m1

s

m8 ,9 Kg 1 E +⋅⋅=⇒

( ) m5 ,0 s

m8 ,9 Kg 1 s m1 Kg 1 E

2

2

2 1

B m ⋅⋅+⋅=⇒

CCCC E p c m E E E E ++=

( )2 2 1

AAm x h g m0 E ∆⋅+⋅⋅+=⇒ κ κκ κ

Joule 10 E Am =⇒

B 2

B 2 1

B m h g mv mE ⋅⋅+⋅=⇒

Joule 4 ,5 E B m =⇒



64

Es decir, en el punto C el carrito no tiene energía mecánica. Su velocidad es cero( ⇒ ½ m ⋅ v2 = 0 ), su altura es cero ( ⇒ P ⋅ h = 0 ) y no hay resortes.Al igual que antes, toda la energía mecánica que el tipo tenía en B ( 5,4 J ) se lacomió el rozamiento.¿ Pero cómo ? . ¿ No era que la energía siempre se conservaba ?. ¿ No era que nose perdía sino que sólo se transformaba de una forma en otra ? .Y bueno, justamente. Toda la energía mecánica que el tipo tenía se transformó encalor. El calor también es energía ( energía calórica ).

Si yo inventara una nueva forma de energía que fuera la suma de la energía

mecánica más calórica ( podría llamarla “energía calomecánica” ), diría que laenergía del sistema se conservó.Es decir, la mecánica se perdió, pero la calomecánica se conservó.Lo que conserva en el universo es la energía total, no una energía en particular.

FUERZAS CONSERVATIVAS

Una fuerza es conservativa si hace que la energía mecánica del sistema nocambie mientras ella actúa. O sea, una fuerza conservativa hace que la energía

mecánica se conserve.Es decir, yo tengo un sistema con una determinada energía mecánica inicial.Digamos 100 Joules. Ahora hago que actúe la fuerza. Si cuando la fuerza dejó deactuar, la Emec del sistema es otra vez 100 Joules, digo que esta fuerza es unafuerza conservativa.¿ Cómo es esto de que una fuerza puede actuar sin que la energía mecánica delsistema aumente o disminuya ?. Veamos.

1ª FUERZA CONSERVATIVA: El Peso

Suponé que tengo un cuerpo que está a 2 m de altura.

0 E C m =⇒



65

.Joule 6,19 m2 s

m8 ,9 Kg 1 h g mE

2 0 Pot =⋅⋅=⋅⋅=

Si el tipo se deja caer desde ahí arriba qué pasa ? .Rta: Bueno, inicialmente su energía potencial vale m ⋅ g ⋅ h y a medida que vacayendo la va perdiendo. Pero atención con esto: Pierde energía potencial...¡ pero va ganando energía cinética !Por ejemplo, suponé que la masa del gatis es de 1 Kg. Su energía potencial inicialvale:

Por cinemática sé que la velocidad final con la que toca el suelo un cuerpo que sedeja caer desde una altura h es:

Entonces cuando el tipo toque el suelo su energía cinética será:

Es decir, toda la Epot se transformó en cinética al final. La fuerza peso no hizoque se ganara ni se perdiera energía mecánica.La fuerza peso, lo único que hizo fue transformar toda la Epot del principio enenergía cinética. Pero la mecánica no cambió. Era 19,6 al principio y es 19,6 al

final.Conclusión: La energía mecánica no se modificó. Se mantuvo igual. Se conservó.Digo entonces que la fuerza peso es una fuerza conservativa.

2ª FUERZA CONSERVATIVA: La Fuerza del ResorteSuponé que tengo un resorte comprimido una distancia ∆x :

( ) .J 6,19 s m26,6Kg 1 v mE 2

2 1 2

f 2 1

f c =⋅=⋅=

m2 s m8 ,9 2 v 2 f ⋅⋅=⇒

h g 2 v v 2 0

2 f ⋅⋅=−

h g 2 v f ⋅⋅=⇒

s

m26,6v f =⇒



66

El tipo en esa situación tiene almacenada una energía elástica que vale ½ Κ ⋅ ( ∆x )2.¿ Qué pasa ahora si saco la traba y dejo que el resorte se descomprima ?RTA: Bueno, lo que va a pasar es que el resorte va a empujar al cuerpo.

Haciendo un razonamiento parecido al que hice antes con la fuerza peso puedo

llegar a la conclusión de que el carrito no pierde ni gana energía mientras actúa lafuerza del resorte.¿ Por qué ?Porque al principio el resorte tenía una energía elástica que valía ½ Κ . ( ∆x )2.Una vez que el tipo se descomprimió, toda esa energía se transforma en energíacinética.No se si me seguiste. Lo que quiero decir es esto. Mirá el dibujo:

La fuerza con la que el resorte empujó al cuerpo no hizo que aumentara odisminuyera la energía mecánica del sistema. Solamente hizo que la Energíaelástica se transformara en Energía cinética. Mientras la fuerza del resorteactúa, la Emec del sistema se conserva.Entonces la fuerza del resorte, qué es ? .Respuesta: Una fuerza conservativa.

FUERZAS NO CONSERVATIVAS

Una fuerza es no conservativa cuando hace que la energía del sistema no seconserve. Es decir, yo tengo un sistema con una determinada energía mecánicainicial. Digamos 100 Joule. Ahora hago que actúe la fuerza. Si cuando la fuerzadejó de actuar, la Emec del sistema es de más de 100 Joule o es de menos de 100J, entonces esa fuerza es no conservativa.

Así está la cosa

cuando el resortese descomprimió.



67

Las fuerzas no conservativas lo que hacen es que el sistema gane o pierda energíamecánica.Que un sistema pierda energía no es muy raro, pero... ¿ que un sistema gane energía ? . ¿ Cómo es eso ? .Momento. Vamos por partes.

1ª FUERZA NO CONSERVATIVA: El RozamientoSuponé que tiro una cosa por el piso con una velocidad de 10 m/s. Si hayrozamiento, después de recorrer unos metros se va a parar.

Inicialmente el tipo venía con v = 10 m/s y su energía cinética era ½ m ⋅ ( 10 m/s )2.Al final, el tipo queda quieto y su energía cinética final es cero.¿ Dónde fue toda la energía que el tipo tenía al principio ?RTA: Se la comió el rozamiento.El rozamiento hizo que el sistema perdiera energía. La Emec no se conservó. Por lotanto: El rozamiento es una fuerza NO conservativa.

2ª FUERZA NO CONSERVATIVA: Una Fuerza Exterior.

Una fuerza exterior es una fuerza de este tipo:

Es decir, es una fuerza que viene de afuera. Podés imaginarte a esta F como lafuerza que hace una cañita voladora o un tipo que empuja o el viento o algo así.Suponé que el carrito está quieto y la fuerza exterior F empieza a actuar.

¿ Qué pasa ? .Pasa que el carrito se empieza a mover. ( Empieza a acelerar ).

← Una fuerza exterior.

F empuja y eltipo se mueve.



68

Inicialmente la Ecin del carrito vale cero y al final NO.

¿ Quién hizo que aumentara la energía del sistema ?RTA: La fuerza F. Efe recorrió una distancia d, hizo un trabajo que vale F ⋅⋅⋅⋅ d yentregó ese trabajo al carrito. Ahora el tipo lo tiene almacenado en forma deenergía cinética.F entregó energía al sistema. La Emec aumentó y no se conservó. Por lo tanto, unafuerza exterior es una fuerza NO conservativa.

FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS - RESUMEN

Básicamente y sin hilar fino, digamos que en la mayoría de los problemas, salvo elrozamiento y una fuerza F exterior, todas las demás fuerzas terminan siendo

conservativas. Es decir, o son conservativas o a la larga no realizan trabajo.Saber esto viene muy bien para resolver los problemas. Pero ojo, esto no esabsolutamente siempre así. Esto pasa en la mayoría de los casos, PERO NOSIEMPRE. ( Atento ). Podría haber algún caso raro donde la normal o la tensión dela cuerda ( por ejemplo ) fueran fuerzas NO conservativas.Lo que sí tenés que saber es que las que siempre son conservativas si o si son lafuerza peso y la fuerza del resorte. Resumamos esto en un cuadrito:

Hay más fuerzas conservativas y hay más fuerzas no-conservativas, pero para loque vos tenés que saber y para los problemas que vos vas a tener que resolver conesto alcanza.

TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA MECÁNICA ( Importante )

Con la cuestión de fuerzas conservativas y no conservativas llegué a la siguiente

PesoConservativas

Fuerza delResorte

RozamientoNo

ConservativasFuerza Exterior



69

conclusión: Hay dos casos posibles: o sobre el sistema actúan fuerzasconservativas o sobre el sistema actúan fuerzas no conservativas. Analicemoslos:CASO UNOActúan sólo fuerzas conservativas y se conserva la E mecánica del sistema.

CASO DOS:Actúan fuerzas no conservativas. La energía mecánica no se conserva.Habrá una disminución o un aumento de la Emec del sistema.

¿ Quién provocó ese cambio en la energía del sistema ? . Bueno, eso ya quedamosen que fue la fuerza no conservativa.La fuerza no conservativa ( sea el rozamiento o una fuerza exterior F ) hizo untrabajo que hizo que aumentara ( o disminuyera ) la Emec del sistema.Ahora bien... ¿ Y cuánto vale esa variación de la Emecanica ? .Rta: ¡ Justamente vale el trabajo que hizo la fuerza no conservativa !

Es decir, si tengo un sistema que tiene una energía mecánica de 100 Joule ydespués de que actuó una fuerza exterior veo que la energía mecánica es de 120J, digo entonces que el trabajo que hizo la fuerza exterior vale 20 Joule.Conclusión: ( Muy importante ).

❶ Si sobre el sistemadado sólo actúanfuerzas conservativas( Es decir, no actúani el rozamiento niuna Fuerza exterior).

varía.nomec. energíaLa

decirEscumpleSe

↑

= → = → 0 mf mmec E E 0 E ∆

varía.mec. energíaLa

decirEscumpleSe

↑

≠ → ≠ → 0 mf mmec E E 0 E ∆

❷ Si sobre el sistemadado actúan fuerzasno conservativas

( Es decir el roz o unaFuerza F exterior).

El trabajo realizado por la fuerza noconservativa es igual a la variación dela energía mecánica del sistema.

Enunciado del teoredel Trabajo y la EneMecánica.



70

En forma matemática esto se suele poner así:

Esta fórmula se lee así: En un sistema donde actuó una fuerza no conservativa, laenergía que falta ( o sobra ) con respecto a la Emec que había al principio es eltrabajo que hizo la fuerza no-conservativa. ( Punto ).

¿ CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE TRABAJO Y ENERGÍA ?

Bueno, tengo 2 casos posibles:1 - Problemas en donde se conserva la energía mecánica. Llamémoslos problemas

caso x 2 - Problemas en donde NO se conserva la energía mecánica. Llamémoslos pro-

blemas caso y .

Si los tipos te toman un problema en el examen, éste tendrá que ser caso x ocaso y. Otra posibilidad no hay.

Es decir que tengo estas dos situaciones:

Tipo de Problema Conclusión Se plantea que:

Casox

Sólo actúan fuerzasconservativas, es decir,no actúa el rozamiento nininguna fuerza exterior.

La energía mecánica delsistema se conserva.La energía mecánica finalserá igual a la inicial.

Emec f = Emec 0

Casoy

Actúa por lo menos una

fuerza NO conservativa,es decir, el rozamiento ouna fuerza exterior F.

La energía mecánica del

sistema NO se conserva.⇒ La energía mecánicafinal NO será igual a lainicial.

LF no cons = Emf − Em0

Supongamos que te cae un caso x.Tu manera de razonar tiene que ser algo parecido a esto:

LF No-Cons = Em f − Em0 Teorema del L yla E. Mecánica.



71

Bueno, en este problema veo que no actúa el rozamiento ni ninguna fuerza F exterior. Todas las fuerzas parecen ser conservativas.Por lo tanto al no haber fuerzas NO conservativas, la energía mecánica se tendráque conservar. Lo que tengo que plantear entonces es que:

Ahora elijo el nivel cero de energía potencial y escribo:

Tacho las energías que son cero y reemplazo las otras por lo que corresponda

( Ec = ½m ⋅ v 2, Ep = m ⋅ g ⋅ h y EE = ½ κ ⋅ x 2 ).Haciendo cuentas despejo lo que me piden.

Supongamos que te cae un caso y. Tu manera de razonar tiene que ser algo así:

Bueno, veo que en este problema actúa una fuerza NO conservativa que es elrozamiento ( o una fuerza F exterior ). De acá saco como conclusión que en esteproblema la energía mecánica no se va a conservar. Voy a plantear entoncesque:

Ahora elijo el nivel de referencia para la energía potencial y escribo que:

Se tachan las energías que son cero, se reempla todo lo demás por los datos delproblema y de ahí uno despeja lo que le piden.

* NOTA : Para el caso x y para el caso y:Algunos problemas tienen varios tramos. Eso pasa mucho en los problemas de

montaña rusa de este tipo:

final mec inical mec E E =

Ef pf cf 0 E 0 p 0 c E E E E E E ++=++

0 mf mcons no F E E L −=

)(0

000

% % "% % #$% % "% % #$

E mf mE

E p c f E pf cf cons no F E E E E E E L ++−++=



72

En ese caso, puede ser que haya que plantear el teorema del trabajo y la energíamecánica varias veces ( Por ejemplo 1ro entre A y B, después entre B y C, etc ).En ese caso habrá varios estados iniciales y varios estados finales, de manera queen vez hablar de Em0 convendrá hablar de EmA ( por ejemplo ) y en vez de ponerEmf va a ser mejor poner EmB .( Esto sería cuando planteo el teorema entre A y B).Cuando lo planteo entre B y C pondré EmB en vez de Em0, y EmC en vez de Emf.

EJEMPLO DE CASO xxxx

Calcular con qué velocidad pasa el cuerpo por el punto B .

Datos:

En este caso no actúa el rozamiento ni ninguna fuerza exterior F, por lo tanto alno haber fuerzas no conservativas, la energía mecánica del sistema se tendrá que

conservar. Planteo que:

Es decir, estoy usando el teorema del trabajo y la energía entre los puntos A y B.La cosa queda:

Kg 2 m; m8 ,0 x ; m

N 100 K ==∆=

quietoresortehayNo 0h Cuerpo

EEEEEE

A

EBpBcBEApAcA

=↑↑

++=++

0 0 0

mB mA E E =

( ) B2

B212

21 hgmvmxK Δ ⋅⋅+⋅=⋅



73

Reemplazando:

EJEMPLO DE CASO yyyy

Calcular con qué velocidad pasa el cuerpo por el punto B.Datos:

Veo que en este problema actúa una fuerza no conservativa que es el rozamiento,es decir que acá, la Energía mecánica no se va a conservar.Voy a plantear entonces que:

Aplicando el teorema entre los puntos A y B me queda:

( ) m1sm9,82KgvKg20,8m

mN100 2

2B2

1221 ⋅⋅+⋅=⇒

2

22

6,19132 s

m

Kg v Kg Nm B +⋅=⇒

Kg 2 m; m8 ,0 x ; m

N 100 K ==∆=

Velocidad del tipoen el punto B.s

m 52 ,3 v B =⇒

mec cons No E L ∆=

mAmB cons No F E E L −=

2 B 2

2

2

2

v Kg 1 s

mKg 6,19

s

mKg 32 ⋅=−⇒

2 B 2

2

v Kg 1 s

mKg 4 ,12 ⋅=⇒



74

OTRO EJEMPLO CASO yyyy

Calcular la distancia d que elcuerpo recorrió a lo largo delplano inclinado.Datos: F = 10 N ; m = 1 Kg .

En este problema actúa una fuerza no conservativa que es la fuerza exterior F.Conclusión: en este problema la energía no se va a conservar.Planteo entonces que:

Escribiendo el teorema entre los puntos A y B:

( )EApAcAEB pB cB roz E E E E E E d F

0 0 0 ++−++=⋅−

No hayresorte

vA = 0 hA = 0

!

( )2 2 1

B 2

B 2 1

d x h g mv md mg N

∆⋅−⋅⋅+⋅=⋅⋅− κ κκ κ µµµµ

J 32 J 6,19 v Kg 1 J 96,1 2 B −+⋅=−⇒

s

m23 ,3 v B =⇒

mAmB roz F E E L −=⇒

2 B v Kg 1 J 44 ,10 ⋅=⇒

2

2 2

B s

mKg

Kg 1

44 ,10 v

=⇒

mecconsNo ΔEL =

( )2

2 1

2

2 B 2

1 2

m8 ,0 m

N 100 m1

s

m8 ,9 Kg 2 v Kg 2 m1

s

m8 ,9 Kg 2 1 ,0 −⋅⋅+⋅=⋅⋅⋅−⇒

Velocidad del tipo

en el punto B.



75

Bhαsend. =

Escribo el teorema entre los puntos A y B. Me queda :

Esta ecuación tiene 2 incógnitas que son hB y d. Pero hB y d están relacionadaspor trigonometría. ( Por favor recordá este truco porque se usa mucho ).

Reemplazando:

NIVEL DE REFERENCIA

PARA LA ENERGÍA

POTENCIAL.

( )EApAcAEB pB cB F de E E E E E E L0 0 0 0

++−++=

No hayresorte vA = 0 hA = 0

No hay resorte

mAmBcons.noF EEL −=

B 2

B 2 1 h g mv md F ⋅⋅+⋅=⋅⇒

B 2 2

2

2 h

s

mKg 8 ,9

s

mKg 2 d

s

mKg 10 ⋅+=⋅⇒

( ( ) )%"%#$

%'%()

B h

5 ,0

2 2

2

2 30 sen d s

mKg 8 ,9

s

mKg 2 d

s

mKg 10 °⋅+=⋅⇒

d s

mKg 9 ,4

s

mKg 2 d

s

mKg 10

2 2

2

2 ⋅+=⋅⇒

cuerpo.elrecorre )cm39,2( 0,392mdque Distancia

←=⇒

( ) B 2

2

2 1 h

s

m8 ,9 Kg 1 s m2 Kg 1 d N 10 ⋅⋅+⋅=⋅⇒

2

2

2 s

mKg 2 d

s

mKg 1 ,5 =⋅⇒



76

Dejame hacerte algunas aclaraciones sobre el tema trabajo y energía. Paraentender bien todo esto no alcanza con leerlo de acá. Tenés que ponerte yresolver muchos problemas. Es la única manera.

Más adelante vas a ver que en realidad todos los problemas se parecen y que todoel asunto consiste en plantear Em f = Em 0 para los problemas caso x , yL F no cons = Em f − Em0 para los problemas caso y.

Es más, uno puede considerar que todos lo problemas son caso y, sólo que enalgunos no hay fuerzas no conservativas y entonces L F no cons = 0. ( Que es lomismo que decir Emf = Em0 ).

Los casos y generalmente son más difíciles porque tienen rozamiento o fuerzasraras. Probá empezar con los casos x, que suelen ser más fáciles.

Pero te repito, el truco para entender este tema es resolver muchos problemas.Hacé los ejercicios de la guía, buscate parciales viejos o cosas por el estilo. Vas aver que con el tiempo todos los problemas te van a parecer iguales.

Fin de la Teoría de Trabajo y Energía.Próximo tema: Choque.



77

J = F ⋅ ∆t

CHOQUE. ( IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO )

Tengo una buena noticia para vos y es que el tema de choque no es difícil.

Los pasos que tenés que seguir para tener una idea del asunto son los siguientes:

1. Leé con atención lo que yo voy a poner acá.2. Mirá bien en los ejemplos que doy. Fijate que planteé y cómo lo resolví.3. Mirá cómo resolví yo los problemas.4. Agarrá la guía y resolvé 10 problemas vos solo.

Con esto alcanzaEmpiezo.Titulo:

IMPULSO DE UNA FUERZA

Al impulso se lo suele llamar con la letra I o Jota. Usemos la Jota. Si una fuerzaactúa durante un tiempo ∆t, el impulso aplicado vale efe por delta t .Lo escribo :

Ejemplo

UNA FUERZA DE 10 NEWTON EMPUJA UN CARRITO DURANTE

5 SEGUNDOS. CALCULAR EL IMPULSO EJERCIDO POR

F.

Entonces:

Impulso ejercidopor una fuerza F.

F = 10 N∆t = 5 s

5s10NΔtFJ ⋅=⋅=



78

Fijate que J se mide en unidades de Fuerza por unidades de tiempo, es decir,Newton x seg. Si a 1 Newton lo pongo como 1 Kg ⋅ m / s

2 me queda que:

Ojo, el impulso es un vector. Tiene punto de aplicación, sentido y módulo. Por estemotivo se lo representa por una flecha así:

Por ser vector habría que poner siempre en vez de J. Yo lo voy a ponersiempre sin flechita, pero vos tenés que saber que es un vector.

Ojo con el signo de jota. Si yo tomé mi sistema de referencia para allá , y jota va para allá , será⊕. Si va al revés será .

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Si un cuerpo de masa m se viene moviendo con velocidad v, digo que la cantidadde movimiento que tiene vale eme por ve.Si a la cantidad de movimiento la llamo con la letra P, me queda:

A la cantidad de movimiento se la llama a veces Momento lineal, cantidad demovimiento lineal o también Ímpetu.Estos nombres son muy feos así que yo voy a seguir usando cantidad demovimiento. ( Sin embargo, recordalos. Algunos libros y algunos docentes los usan).

Ejemplo

Ns 50 J =⇒ Impulso ejercido por F.

Unidadesdel impulso

[ ]s mKg seg Newton J ⋅=⋅=

Un cuerpo al que sele aplica un impulso.

J!

J

P = m ⋅ vCantidad demovimiento.

+x



79

Cantidad de Mov.del carrito.

+x

La cantidad demovimiento puedeser positiva onegativa

UN CUERPO DE MASA 10 Kg SE VIENE MOVIENDO CON VELO-CIDAD 5 m/s. CALCULAR SU CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

Planteo:

Fijate que la cantidad de movimiento se mide en unidades de masa por unidadesde velocidad, es decir Kg ⋅ m / s.Como 1 Newton es 1 Kg ⋅ m/s 2, puedo poner a la cantidad de movimiento también

como N ⋅ seg.Ojo, la cantidad de movimiento es un vector. Tiene dirección, sentido, módulo ypunto de aplicación. Al vector P lo dibujo así:

Yo voy a poner siempre a P sin flechita, pero vos tenés que saber que es vector.

Ojo con el signo de P. Si yo tomé mi sistema de referencia para allá , y Pva para allá, será ⊕. Si P va al revés será .

EjemploCALCULAR LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO PARA LOS CUERPOS DE LA

FIGURA . ADOPTAR SISTEMA DE REFERENCIA + HACIA LA DERECHA.

ESTO

Para cada cuerpo hago la cuenta m.v teniendo en cuenta el signo. Me queda:

PA = mA.VA = 2 kg.m/s

s m5 Kg 10 v mP ⋅=⋅=

s mKg 50 P =⇒

Representación de laCantidad de Movimiento

P

m = 10 kgV = 5 m/s



80

v mt F ∆∆ ⋅=⋅⇒

PB = mB.VB = - 9 kg.m/sRepito. Fijate bien el signo de la cantidad de movimiento para el cuerpo B. El

cuerpo B se mueve al revés del eje x, por lo tanto su cant de mov. es negativa.( Es decir, lo que es negativo es su velocidad. Por eso m.v da negativo ).

RELACIÓN ENTRE EL IMPULSO Y LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Imaginate un cuerpo que tiene una fuerza aplicada que actúa durante un tiempo∆t. Podés pensar que esta fuerza es en realidad una cañita voladora que vaempujando al cuerpo.

Durante todo el intervalo ∆t el tipo va acelerando y, si inicialmente tiene unavelocidad V0, al final tendrá una velocidad Vf .La fuerza que empuja al carrito vale m ⋅ a . Entonces:

a

Es decir:

Ahora, Pf – P0 es delta P. Es decir, J = a la variación de P. Entonces la fórmulaJ = ∆ P se lee así :

!

Una fuerza empujaun carrito duranteun tiempo ∆t.

a mF ⋅=

"#$"#$"#$

0 f P

0

P

f J

v mv mt F ⋅−⋅=∆⋅⇒

0 f P P −=J

Relación

entre J y P.

Si sobre un cuerpo actúa una fuerzaF exterior, el impulso aplicado poresta fuerza será igual a la variación de la cantidad de movimiento.

t v mF

∆

∆⋅=⇒

( )0 f v v mt F −⋅=⋅⇒ ∆



81

VELOCIDAD DESPUÉSDE 10 SEGUNDOS.

Este asunto es muy importante desde el punto de vista conceptual. A vecestoman preguntas o problemas conceptuales. ( Choice o cosas así ). Muchas deestas preguntas se responden con lo que acabo de ponerte en el cuadrito.

Para entender bien la importancia de esta formulita tan simple que dice queJ = ∆ P vas a tener que resolver algunos problemas.

Ejemplo

SOBRE UN CUERPO DE m ==== 2 Kg ACTÚA UNA FUERZA DE 10 N.CALCULAR LA VELOCIDAD QUE TENDRÁ AL CABO DE 10 s.SUPONER VELOCIDAD INICIAL V0 ==== 0; NO HAY ROZAMIENTO .

Hago un esquema de lo que pasa:

0

Otro ejemplo

SE TIRA UN LADRILLO CON Vo ==== 50 m/s. EL PISO TIENE ROZAMIENTODINAMICO DE COEFICIENTE µµµµD ==== 0,5 .CALCULAR CUÁNTO TIEMPO PASA HASTA QUE EL LADRILLO SE FRENA.

m = 2 KgF = 10 N

Variación de la Can-tidad de Movimiento.Impulso aplicado

Kg 2 s s 10 mKg 10

v 2 f ⋅

⋅=⇒

%

00f vmvmΔtF ⋅−⋅=⋅

mt F v f

∆⋅=⇒

s m50 v f =⇒

ESQUEMA.



82

DIAGRAMA DECUERPO LIBRE.

FUERZA DE

ROZAMIENTO.

0 f P P J −=

0 d v mt mg ⋅−=∆⋅⋅−⇒ µ µµ µ

d

0

g v

t µ µµ µ ⋅

=⇒ ∆

5 ,0 s m10

s m50 t

2 ⋅=⇒ ∆

Sobre el ladrillo actúa una fuerza exterior que es la fuerza de rozamiento.

¿ Cuánto vale esta fuerza de rozamiento dinámico ?. Y bueno, Froz = µµµµd . N .

Lo que tengo entonces es esto:

El eje que puse me indica para dónde es el sentido positivo. De acuerdo a esteeje, el impulso ejercido por F es negativo ( atento ). Entonces:

Quiero que notes una cosa: Tanto el primer ejemplo como el segundo se puedenresolver combinando trabajo y energía con cinemática, o dinámica con cinemática.Lo resolví aplicando impulso y cantidad de movimiento simplemente para que

&N

d roz mg F ⋅=⇒ µµµµ

%0

0

f roz v m

v mt F ⋅−⋅=∆⋅−⇒

TIEMPO QUE TARDAEN FRENAR. seg 10 t =⇒ ∆



83

vieras cómo se usa este nuevo método.

FUERZAS CONSTANTES Y FUERZAS VARIABLES

Suponé que un cuerpo se mueve por acción de una fuerza.

Si F es constante, el gráfico de F en función del tiempo sería así:

Este gráfico podría corresponder al de la fuerza ejercida por una cañita

voladora, por ejemplo. Si la fuerza aumentara con el tiempo tendría algo así:

Ahora, lo interesante es que la fuerza que aparece cuando una cosa choca contraotra . Esa fuerza tiene esta forma:

¿ Qué significa este gráfico ?. Significa que al principio la fuerza que aparece eschica. Después va aumentando hasta llegar a un valor máximo y otra vez vuelve ahacerse más chica.Cuando una pelota golpea una pared, éste es el tipo de fuerza que aparece.

Probá dejando caer una pelota sobre una balanza. Vas a ver que la aguja llegahasta un valor máximo y después baja.

Un carrito esempujado poruna fuerza F.

Una fuerza quecrece con el tiempo.

Fuerza queaparece enun choque.

Durante el choque laaguja no se quedaquieta en un lugar.



84

Lo mismo pasa con las fuerzas que ejercen las personas. Estas fuerzas no sonconstantes y varían aproximadamente según la forma esta → .( Es decir, cero, aumenta – aumenta - aumenta, valor máximo, disminuye -disminuye - disminuye, cero ).

Las fuerzas ejercidas de ésta manera duran muy poco y se las suele llamarfuerzas impulsivas. Una patada es una fuerza impulsiva. Un golpe o un palazotambién.

Acá tenés un ejemplo:

Una fuerza de éstas puede durar una décima o una centésima de segundo. Pesea durar tan poco su efecto puede ser muy notable porque la fuerza máxima queactúa puede ser muy grande.¿ A qué voy con todo esto ?Voy a lo siguiente:¿ Qué es peor, una fuerza chica actuando durante 1 minuto, o una fuerza muygrande actuando durante una milésima de segundo ?La respuesta es que no importa sólo la fuerza que actúa ni importa sólo el tiempoque actúa. Importa el producto fuerza x tiempo.¿ Y el producto F ⋅ ∆t qué es ?RTA: El impulso ejercido.

Es decir, si tengo una fuerza constante de 1 kgf, su gráfico sería algo así:



85

¿ Qué significa el impulso ejercido por esa fuerza en un minuto ?.Bueno, el impulso es F ⋅ ∆t, de manera que la superficie del gráfico me estaríadando el valor de ese impulso.

Ahora, si la fuerza es variable pasa lo mismo.

Entonces, ¿ qué fuerza ejercerá mayor impulso ?RTA: Aquella cuyo gráfico tenga la mayor superficie.

Conclusión: De todo esto, ¿ qué hay que saber ?RTA: Que el área bajo la curva de F en función de t es el impulso ejercido.

CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO CUANDO NO ACTÚANFUERZAS EXTERIORES. ( ← Importante ).

Cuando yo tenía un solo cuerpo sobre el que actuaban fuerzas exteriores decíaque el impulso aplicado por esa fuerza iba a ser igual a la variación de la cantidad

de movimiento.

Área = F ⋅ ∆t = Impulso ejercido.

Área = Impulso ejercido.

EL IMPULSO DE LAFUERZA F HACEQUE VARÍE LACANT. DE MOVIM.



86

Este asunto de la variación de P se ponía en forma física como:

o bien como:

Ahora, si sobre el cuerpo NO actúan fuerzas exteriores, ¿ qué pasa ?.Pasa que no se ejerce ningún impulso sobre el cuerpo, de manera que J vale cero.Entonces me queda:

Esta última conclusión es muy importante y se lee así: cuando sobre un cuerpo no

actúan fuerzas exteriores, su cantidad de movimiento final será igual a lacantidad de movimiento inicial. Es decir que:

A este asunto se lo llama Principio de Conservación de la Cantidad de Movimiento.

CHOQUE

Un choque es lo que uno conoce de la vida diaria. Es decir esto:

P J ∆=

Impulso ejercido porla fuerza exterior.

0 f v mv mJ ⋅−⋅=

Variación de la Cant.de Movimiento.

0 f v mv m ⋅=⋅⇒

Cantidad de Mov.inicial ( P0 ).

Cantidad de Mov.final ( Pf ).

0 f v mv m0 ⋅−⋅=J

Si sobre un cuerpo NO actúanfuerzas exteriores, su cantidadde movimiento se conservará.En forma matemática:

Si Fext = 0 ⇒ Pf = P0



87

Repito, un choque en física es mas o menos lo mismo que lo que uno entiende porchoque en la vida diaria.

Hay dos casos posibles:

1) CHOQUE PLÁSTICO:Es un choque en donde se pierde energía. Los cuerpos suelen quedar pegadosdespués del choque. Ejemplo: Dos bolas de plastilina que chocan.

2) CHOQUE ELÁSTICO:

Es un choque en donde NO se pierde energía. Ejemplo: dos bolas de billar quechocan. Los cuerpos se separan después del choque. ( Rebotan ).

CHOQUE PLÁSTICO

Quiero que veas las fuerzas que actúan en un choque plástico.

¿ Qué es lo que pasa acá ?.Lo que pasa es que durante el choque cada cuerpo le ejerce al otro una fuerza.Sobre A actúa la fuerza FAB . FAB es la fuerza sobre A ejercida por B.Sobre B actúa la fuerza FBA. FBA es la fuerza sobre B ejercida por A.FAB y FBA son iguales y opuestas porque son par acción-reacción.

¿ Hay más fuerzas que actúan sobre los cuerpos A y B ?Bueno, estarían los pesos y las normales, pero estas fuerzas no tienen influencia

Dos cuerpos queestán por chocar.

Chocan yquedanPegados.

Fuerzas que aparecendurante el choque.



88

sobre lo que pasa en el choque.

¿ Fuerzas exteriores hay ?. ( Atento a esta pregunta ).

Rta: No, fuerzas exteriores no hay. Antes, cuando yo tenía un solo cuerpo decíaque si no había fuerzas exteriores que actuaran sobre él, su cantidad demovimiento se iba a conservar.La cosa es que ahora no tengo un solo cuerpo sino dos. ¿ Entonces que pasa ?Y...nada, pasa lo mismo. Es decir, antes para un solo cuerpo, la cantidad demovimiento se conservaba. Ahora, para el sistema de dos cuerpos, la cantidad demovimiento se va a conservar.

¿ Qué significa esto de que la cantidad de movimiento se va a conservar ?

Significa exactamente lo siguiente ( esto es importante ):

Esto que yo puse para un choque plástico vale también para los choques elásticos.

En todo choque, sea éste plástico o elástico, la cantidad de movimiento siemprese conserva.

¿ Y qué pasa con la energía ?Bueno, si el choque es plástico, parte de la energía se va a perder. Durante elchoque los cuerpos se deforman. Para hacer esa deformación hubo que realizartrabajo.

Después del choque el tipo no recupera su forma, de manera que esa energía sepierde.

CUANDO DOS COSAS CHOCAN, LA CANTIDADDE MOVIMIENTO TOTAL ANTES DEL CHOQUETIENE QUE SER ==== A LA CANTIDAD DEMOVIMIENTO TOTAL DESPUÉS DEL CHOQUE.

En el choque, parte de laenergía se pierde debido altrabajo que se realizó paradeformar al cuer o.



89

Por este asunto de que después del choque los cuerpos quedan deformados esque a este tipo de choque se lo llama plástico.Esto de deformarse hace que los cuerpos se calienten, de manera que :

CONCLUSIÓN:

Ejemplo

Los cuerpos del dibujo chocan y quedan pegados. Calcular:a) - Con qué velocidad se mueven después del choque.b) - La cantidad de energía que se perdió.

a) - Si los cuerpos quedan pegados tengo un choque plástico.

En un choque plástico la cantidad de movimientose conserva. ( La que hay al final tiene que ser

igual a la que había al principio ). Esto pasaporque no hay fuerzas exteriores.En un choque plástico la energía NO se conserva.(Se pierde en forma de calor y trabajo dedeformación).Después de un choque plástico los cuerpossuelen quedar pegados moviéndose juntos con lamisma velocidad. Ejemplo de choque plástico:choque de 2 bolas de masilla o plastilina.

Choqueplástico

B B AA0 v mv mP ⋅+⋅=

EN LOS CHOQUES PLÁSTICOS S E PIERDE ENERGÍA EN FORMA DE CALOR

EJ E

POSITIVO



90

La cantidad de movimiento ANTES del choque vale:

La cantidad de movimiento DESPUÉS del choque vale:

Como en los choques la cantidad de movimiento se conserva, tiene que ser Pf igual a P0. Entonces:

Los dos tipos se venían moviendo para la derecha, de manera que esta velocidadfinal será también para la derecha.

Hay algo de lo que nunca conviene olvidarse que es indicar para que lado uno tomael eje positivo. En este ejemplo no hubiera habido problema porque los doscuerpos iban para allá → y la velocidad final dio para allá → .En todos los problemas hay que indicarlo siempre de entrada.Olvidarse de poner el eje es un error común. Trae como consecuencia que unsigno te dé mal.( Vas a poner una velocidad positiva cuando en realidad esnegativa ). Este “ pequeño “ error ha causado y causa numerosas bajas en lasfechas de parciales y finales.

b) Energía perdida en el choque.La energía cinética que tienen los dos cuerpos antes de chocar es:

( ) f B Af v mmP ⋅+=

( )' ' ' (' ' ' )*' ' (' ' )*

0P

B B AA

P

f B A v mv mv mmf

⋅+⋅=⋅+

( )s m4 Kg 1

s m10 Kg 5 v Kg 1 Kg 5 f ⋅+⋅=⋅+⇒

s mKg v Kg f 546 =⋅⇒

s

m

9vf =⇒ VELOCIDAD FINAL DELOS 2 CUERPOS J UNTOS.

ESTADOFINAL

2BB2

12AA2

1c0 vmvmE ⋅+⋅=

( ) ( )2212

21

c0 sm41Kgsm105KgE ⋅+⋅=⇒

.Joule 258 E 0 c =⇒



91

.Joule 243 E f c =⇒

J 243 J 258 E Perdida c −=

Joule 15 E Perdida c =⇒

La energía cinética después del choque vale:

Entonces, la energía cinética perdida en el choque va a ser:

Me fijo qué porcentaje de la energía inicial representan estos 15 Joule. (A veceslo piden ).Veamos.Al principio había 258 joule y de esos 258, se perdieron 15. Entonces:

Es decir que en el choque plástico se perdió alrededor del 6% de la energía encalor durante el trabajo de deformación.

Otro ejemploLOS CUERPOS DEL DIBUJO CHOCAN Y QUEDAN PEGADOS. CALCULAR:a ) CON QUÉ VELOCID AD Y HACIA QUÉ LADO SE MUEVEN LOS CUER-

POS D ESPUÉS D EL CHOQUE.b) - LA ENERGÍA PERDIDA EN EL CHOQUE Y QUÉ PORCENTAJE DE LA

ENERGÍA INICIAL SE PERDIÓ.c) - REPETIR LOS CÁLCULOS SUPONIENDO QUE VA ==== 2,5 m/s.

a)- El choque es plástico porque los cuerpos quedan pegados. La cantidad demovimiento se conserva. ( La energía NO ).Elijo sentido positivo para las velocidades para allá →. La cosa entonces queda :

( ) 2 f B A2

1 f c v mmE ⋅+=

( ) ( )2

2 1

f c s m9 Kg 1 Kg 5 E ⋅+=⇒

Energía perdidaen el choque.

% 8 ,5 100 J 258

J 15 E de % Pérdida =×=

Eje dereferencia.



92

.J 5 ,67 E 0 c =⇒

Analicemos esto: ¿ Qué significa el signo menos ?

Rta: Significa que la velocidad es negativa, es decir que apunta ← así.El estado final es éste:

b) - Energía perdida durante el choque.La energía inicial vale:

La energía cinética al final, cuando los cuerpos quedan pegados, vale:

La energía perdida en el choque es la diferencia entre estas dos energías:

f 0 P P =

( ) f B AB B AA v mmv mv m ⋅+=⋅+⋅⇒

( ) ( ) f v Kg 5 Kg 10 s m5 Kg 5 s m1 Kg 10 ⋅+=−⋅+⋅⇒

Velocidad final.

Situación finaldespués de que loscuerpos chocan.

2 B B 2

1 2 AA2

1 0 c v mv mE ⋅+⋅=

( ) ( )2 2 1 2

2 1

0 c s m5 Kg 5 s m1 Kg 10 E −⋅+⋅=⇒

Energía cinética inicial.

( ) 2

f B A2

1

f c v mmE ⋅+=

( ) ( )2 2 1

f c s m1 Kg 5 Kg 10 E ⋅+=⇒

.J 5 ,7 E f c =⇒

Energía cinética final.

s m1 v f −=⇒



93

J 5 ,7 J 5 ,67 E Perdida c −=

El porcentaje de la energía inicial que se perdió es:

Es decir, alrededor del 90% de la energía se pierde en el choque.

a) - Repetir los cálculos para vA = 2,5 m/s.

Veamos que es lo que pasa acá:

La cantidad de movimiento se conserva, de manera que la inicial tendrá que serigual a la final. Esto significa que:

La velocidad final después de choque dio cero. Ahora... ¿ Qué significa esto ?Bueno, simplemente quiere decir que los cuerpos después del choque se quedanquietos. Chocaron y ahí quedaron.¿ Por qué pasa esto ?

Joule 60 E Perdida c

=⇒Energía cinética

perdida en el choque.

100 E

E E de %

c

Per c Perdida ×=

0

% 8 ,88 100 J 5 ,67

J 60 E de % Perdida =×=

( ) f B AB B AA v mmv mv m ⋅+=⋅+⋅

( ) f v Kg 15 s m5 Kg 5 s m5 ,2 Kg 10 ⋅=−⋅+⋅

f v Kg 15 0 ⋅=⇒

0 v f =⇒ Velocidad final.



94

RTA: Porque los 2 venían inicialmente con la misma cantidad de movimiento y consentidos contrarios, de manera que al chocar las dos se anulan.¿ Qué cantidad de energía se perdió ?. Bueno, la energía cinética al principio era:

Al final los tipos quedan pegados y quietos, de manera que la energía cinética

final es cero.¿ Cuánta energía se perdió en el choque entonces ?RTA: Toda. Toda la energía que los tipos tenían al principio se perdió. De los93,75 Joule que había antes del choque no quedó nada.El 100% desapareció.

¿ Pero qué quiere decir que desapareció ?Quiere decir que ya no está más en forma de energía cinética. Toda esa energíase transformó... ¿ en qué ?.

RTA: En calor.Fin Teoría de Choque Plástico.

2 B B 2

1 2 AA2

1 0 c v mv mE ⋅+⋅=

( ) ( )2 2 1 2

2 1

0 c s m5 Kg 5 s m5 ,2 Kg 10 E −⋅+⋅=⇒

.J 75 ,93 E 0 c =⇒ Energía cinética inicial.



95

CHOQUE ELASTICOTengo un choque elástico cuando los cuerpos chocan y no se pierde energía en elchoque. Es decir, en los choques elásticos SE CONSERVA LA ENERGÍA. ( Atento conesto porque es el concepto fundamental de choque elástico ).

En los choques elásticos los cuerpos NO QUEDAN PEGADOS DESPUES DELCHOQUE. Se separan y se va cada uno por su lado. ( Es decir, chocan y rebotan ).

Fijate como es el asunto: Inicialmente los objetos se acercan con velocidadesiniciales V0A y V0B . Después chocan y salen con otras velocidades finales VfA yVfB . Lo que es importante que entiendas es lo siguiente: el cuerpo A tieneinicialmente cierta velocidad, quiere decir que tiene energía cinética.

Supongamos que yo hago la cuenta ½ mA . V0A2 y me da 30 joules. Ahora hago la

misma cuenta para B y me da 40 joules.

LOS CUERPOS ESTANPOR CHOCAR .

CHOCAN.

REBOTAN Y CADA UNOSE VA PARA SU LADO.

EL OBJETO A TIENE

INICIALMENTE UNA Ec

QUE VALE ½ mA. V0A2



96

Eso quiere decir que la energía cinética inicial del sistema vale 70 joules. Lo quequiero decir cuando digo que en el choque se va a conservar la energía, es quedespués del choque el sistema también va a tener 70 joules.Es decir, no es que después del choque A va a seguir teniendo 30 joules y B va aseguir teniendo 40 joules. A podrá tener cualquier cosa y B podrá tenercualquier cosa, pero la suma tendrá que seguir siendo 70 joules.¿ Entendés cómo es el asunto ?

¿ COMO RECONOCER SI UN CHOQUE ES PLASTICO O ELASTICO ?

A uno le toman en un parcial un problema de choque... ¿ Cómo sabe uno si elproblema que le están tomando es de choque plástico o elástico ?.Rta: Muy fácil. Si el choque es elástico, el enunciado tiene que aclarar que loscuerpos chocan de manera tal que no se pierde energía en el choque. Esto elenunciado podrá decirlo de manera directa o indirecta. Pero de alguna formatendrá que aclararlo. Es la forma que uno tiene de saber que el choque fueelástico.

Otras pistas :Hay otras maneras que uno tiene de diferenciar un choque plástico de unoelástico. Por ejemplo, en la gran mayoría de los choques plásticos los cuerpos

quedan pegados después del choque. En cambio en los choques elásticos loscuerpos se separan después del choque. En realidad estas 2 cosas no prueban deltodo que un choque sea plástico o elástico. Sin embargo, repito, en la mayoría delos casos es así. Es decir, te podrían tomar una situación rara donde los cuerposno queden pegados después del choque y sin embargo el choque sea plástico. Seríaun caso raro, pero podría pasar.

Repito, no hay que complicarse. Si en el problema te aclaran que la energía seconserva durante el choque, el choque es elástico. Si no te aclaran nada, el choque

es plástico.Eso es todo.

CONSERVACION DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO EN LOS CHOQUES ELASTICOS.

En los choques elásticos no se conserva solamente la energía.También se conservala cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento se conserva en cualquier



97

tipo de choque, sea plástico o elástico.Quiere decir que si antes del choque el sistema tiene una cantidad de movimientode 50 N.S, después del choque también tendrá que haber una cantidad demovimiento de 50 N.S .Es decir, la suma de las cantidades de movimiento antes del choque tiene que serigual a la suma de las cantidades de movimiento después del choque. Este planteoes el mismo que se hace cuando el choque es plástico.

CHOQUE ELASTICO, CONCLUSION

Voy a tener un choque elástico cuando el problema me aclare que en el choque seconserva la energía. Puedo darme cuenta también porque los cuerpos no quedan

juntos sino que rebotan y se separan después del choque.Ejemplo: 2 bolas de billar que chocan.

Supongamos que tengo el siguiente choque elástico.

SITUACION INICIAL SITUACION FINAL

Para resolver este tipo de situaciones se hace lo siguiente:

1 – Se plantea la conservación de la cantidad de movimiento.

Es decir, se plantea que la cantidad de movimiento total antes del choque tiene

que ser igual a la cantidad de movimiento total después del choque.

A la larga este planteo te va a llevar a una Ecuación de este tipo:

mA.VAo + mB.VBo = mA.VAf + mB.VBf

Repito: Este planteo es el mismo que se hace para los choques plásticos. Tantoen los choques plásticos como en los choques elásticos se conserva la cantidad

Pf = P0 Planteo de la conservación de

La cantidad de movimiento.



98

de movimiento.2 - Se plantea la conservación de la energía.

Es decir, se plantea que la energía total antes del choque tiene que ser igual a la

energía total después del choque

A la larga este planteo te va a llevar a una Ecuación de este tipo:

½ mA.VAo2 + ½ mB.VBo

2 = ½ mA.VAf2 + ½ mB.VBf

2

Este planteo, el de conservación de la energía es lo nuevo comparado con lo dechoque plástico. En choque plástico solo había que plantear una cosa que era laconservación de la cantidad de movimiento. Ahora hay que plantear 2 cosas:conservación de la cantidad de movimiento y conservación de la energía.

Desde el punto de vista conceptual no tengo nada más que decirte. Esto es todocon respecto a choque elástico. Pero sí hay una aclaración que quiero hacerte:De estos 2 planteos que uno hace, va a obtener 2 ecuaciones parecidas a las que

yo puse. Con esas 2 ecuaciones hay que resolver el problema.Lo que quiero decir es que te va a quedar un sistema de 2 ecuaciones con 2

incógnitas. En principio resolver este sistema de ecuaciones no tendría querepresentar mayor inconveniente. Pero no es así. Quiero decir, puede llegar a noser así.¿ Por qué pasa esto ?.

Rta: Pasa por que en la Ecuación de la energía la velocidad está al 2 . Esto va a

traer bastantes problemas cuando quieras despejar alguna de las velocidades.Por este motivo es que cuando ellos toman choque elástico en un examen,generalmente alguna de las velocidades iniciales es cero. Esto lo hacen para queno te sea tan hipercomplicado resolver el terrible sistema de ecuaciones que te

quedó.

Vamos a un ejemplo de un choque elástico:

EJEMPLOEL CUERPO A DE MASA 10 kg VIENE CON VELOCIDAD 20 m/s

Y CHOCA AL CUERPO B DE MASA 5 kg QUE INICIALMENTE SEENCUENTRA DETENIDO. LOS CUERPOS CHOCAN Y REBOTAN.CALCULAR LAS VELOCIDADES DE CADA CUERPO DESPUES DE LA

Ef = E0

Planteo de la

conservación

De la energía.



99

COLISION.SUPONER QUE NO SE PIERDE ENERGIA EN EL CHOQUE.

Bueno, veo que es un choque elástico por que el problema me aclara que se

conserva la energía durante el choque.

Entonces planteo la conservación de la cantidad de movimiento y la conservaciónde la energía. Veamos . Después del choque lo que tengo es esto :

EJE

Tomo un sistema de referencia positivo hacia la derecha y planteo la conservaciónde las 2 magnitudes fundamentales.

1 – Conservación de la cantidad de movimiento. P0 = Pf ==>

mA.VAo + mB.VBo = mA.VAf + mB.VBf

En este caso la velocidad inicial de B es cero. Así que reemplazando por los datosme queda :

1 10 kg . 20 m/s + 0 = 10 kg . VAf + 5 kg . VBf

2 – Conservación de la energía. Em0 = Emf =>

½ mA.VAo2 + ½ mB.VBo

2 = ½ mA.VAf2 + ½ mB.VBf

2

2 ½ 10 kg.( 20 m/s )2 + 0 = ½ mA.VAf2 + ½ mB.VBf

2

Tengo un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Estas ecuaciones son :

CONSERVACION

DE LA CANTIDAD

DE MOVIMIENTO

CONSERVACION

DE LA ENERGIA

ANTES

DEL

CHOQUE

DESPUESDEL

CHOQUE



100

200 kg.m/s = 10 kg . VAf + 5 kg . VBf 1

2000 kg. m2

/s2

= ½ 10 kg.VAf

2

+ ½ 5kg .VBf

2

2

Como ves, este sistema es un poco feo para resolver. ( Pero peor hubiera sido si lavelocidad inicial de B no hubiera sido cero ).

Para resolverlo creo que me conviene despejar VAf de la 1ra ecuación y reempla-

zarlo en la 2da. Probemos :

10 kg . VAf = 200 kg.m/s - 5 kg . VBf =>

VAf = 20 m/s – 0,5 VBf

Reemplazo esto en la otra ecuación y me queda :

2000 kg. m2/s2 = ½ 10 kg. ( 20 m/s – 0,5 VBf ) 2 + ½ 5 kg.VBf

2

VAf

El kg sale factor común y lo puedo simplificar. Haciendo algunas cuentas :

2000 m2

/s2

= 5. ( 400 m2

/s2

– 2. 20 m/s . 0,5 m/s. VBf + 0,25 VBf

2

) + 2,5 VBf

2

2000 m2/s2 = 2000 m2/s2 – 100 m2/s2 VBf + 1,25 VBf2 + 2,5 VBf

2

==> 3,75 VBf2 = 100 m2/s2 . VBf

VBf = 26,66 m/s

Esta es la velocidad que tiene el objeto B después del choque. El signo positivo me

indica que esta velocidad va en el mismo sentido que el sistema de referencia, esdecir, hacia la derecha.Reemplazando esta velocidad en cualquiera de las 2 ecuaciones que tenía alprincipio, saco la velocidad del cuerpo A. Me da :

VAf = 20 m/s – 0,5 . ( 26,66 m/s )

VBf

VELOCIDAD FINAL

DEL CUERPO B

VELOCIDAD FINAL

DEL CUERPO A .



101

VAf = 6,66 m/s

Ojo. El la velocidad final del cuerpo A después del choque me dio POSITIVA.Eso significa que A también se mueve para la derecha después del choque.

A mi me daba la impresión de que la VAf tendría que haber dado para la izquierda.

( Así la marqué yo en mi dibujo ). Por lo visto me equivoqué. Dió para la derecha.Los problemas de choque elástico son así. Son medio tramposos.Ojo.

OTRO EJEMPLO:

EL CARRITO DE LA FIGURA DE MASA mA = 3 kg QUE SE MUEVE CON VELOCIDADINICIAL V0 = 4 m/s GOLPEA CONTRA EL PENDULO B DE MASA mB = 5 kg yLONGITUD 1 m. COMO RESULTADO DE LA INTERACCION, EL PENDULO SE

APARTA UN ANGULO αααα DE SU POSICION DE EQUILIBRIO. CALCULAR EL VALORDEL ANGULO alfa SUPONIENDO QUE EL CHOQUE FUE TOTALMENTE ELASTICO.

V0A = 4 m/s SITUACION SITUACIONINICIAL FINAL

Lo que tengo que calcular en este problema es la velocidad con la que sale la bolaB después del choque. Para eso tendría que plantear un choque elástico. Eso esexactamente la situación del ejemplo anterior a este. Las cuentas son un pocolargas y no las pongo. Pero las hice acá en un papelito que tengo al lado mío y medio que la velocidad de B después del choque va a ser :

VBf = 3 m/s

Dicho sea de paso, la velocidad final para el cuerpo A después del choque medió - 1 m/s. Es decir, acá SÍ el carrito A sale en sentido contrario después delchoque.

Conclusión: después del choque la bola del péndulo se empieza a mover con una

VELOCIDAD FINAL

DEL CUERPO B .

3 kg



102

velocidad de 3 m/s hacia la derecha. Veamos hasta que altura llega un objeto queviene con esa velocidad. Hago un planteo por energía :

Después del choque la energía mecánica se conserva. Quiere decir que la Energíamecánica al principio tendrá que ser igual a la energía mecánica al final.Entonces :

B EMB = EMA A

EpB = EcA => mB g hB = ½ mB.VB2

=> hB = VB2 / 2g => hB = ( 3 m/s )

2 / 2 . 10m/s2

hB = 0,45 m

Ahora teniendo esta altura, puedo calcular el ángulo alfa. Fijate. Voy a dibujar untriangulito. Por favor aprendete este truco porque es importante. Va a aparecervarias veces en otros problemas.

h = l – l cos α

Entonces:0,45 m = 1 m – 1 m cos αααα

1 m cos αααα = 1 m - 0,45 m

cos αααα = 0,55

=> αααα = 56,63 °

Aclaración: A veces los chicos preguntan si al plantear la 1ra parte del choque

hB

ALTURA A LA QUELLEGA EL PENDULO.

ANGULO DEINCLINACIONDEL PENDULO.



103

elástico no hay que tomar en cuenta la tensión de la cuerda.La respuesta es no. Se supone que el choque dura una décima o una centésimade segundo. El efecto que puede llegar a producir la tensión de la cuerda en eseintervalo de tiempo tan chico no se toma en cuenta.

CHOQUE PLASTICO EN 2 DIMENSIONES

Los choque que vimos hasta ahora eran choques en una dimensión. Esto quieredecir que los cuerpos venían moviendose sobre una misma linea recta.

Pero uno podría llegar a tener un choque en donde los cuerpos vinieranmoviéndose en forma perpendicular. ( Por ejemplo ). Es decir, algo así:

Y

SITUACIONX INICIAL

SITUACIONFINAL

Para resolver este tipo de choques lo que se hace es dividir el problema en dos.Por un lado se analiza lo que pasa en el eje equis y por el otro lo que pasa en eleje Y. Después lo que se hace es plantear conservación de la cantidad de

movimiento en cada uno de los ejes.

Fijate. Lo vas a entender enseguida con un ejemplo.

EJEMPLO UN AUTO Y UN CAMION QUE VIENEN MOVIENDOSE EN DIRECCIONES

PERPENDICULARES, CHOCAN AL LLEGAR A LA ESQUINA. CALCULAR

LA VELOCIDAD FINAL LUEGO DEL CHOQUE Y SU DIRECCION.

NOTA: LOS VEHICULOS QUEDAN PEGADOS DESPUES DEL CHOQUE.

CHOQUE EN UNA

SOLA DIMENSION

CHOQUE EN 2

DIMENSIONES

LOS CUERPOS SIGUEN JUNTOS

FORMANDO UN ANGULO ALFA.



104

Planteo conservación de la cantidad de movimiento en cada eje. Después delchoque los 2 cuerpos quedan pegados y salen juntos con la misma velocidad.

αααα

Entonces, en el eje equis: P0x = Pfx

mA.V0A = ( mA + mC ). Vfx

1000 kg.20 m/s = ( 1000 kg + 5000 kg ). Vfx 1.

En el eje Y: P0y = Pfy

mC.V0C = ( mA + mC ). Vfy

5000 kg.10m/s = ( 1000 kg + 5000 kg ). Vfy 2.

Me quedó un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas. Las incógnitas son lasvelocidades finales en equis y en Y . Me queda:

20000 kg.m/s = 6000 kg . Vfx 1.

50000 kg.m/s = 6000 kg . Vfy 2.

Despejando Vfx y Vfy :

Vfx = 3,33 m/sY Vfy = 8,33 m/s

Componiendo estas 2 velocidades por Pitagoras saco la velocidad total.

SITUACION

DESPUES

DEL CHOQUE



105

VT = Vfx2 + Vfy

2

VT = 8,97 m/sPara sacar el angulo que forma la velocidad final con el eje Equis planteo:

Entonces, del triángulo:

Tg αααα = 8,33 / 3,33

Tg αααα = 2,5

αααα = 68 ° VALOR DEL ANGULO

Conclusión: Después del choque el auto y el camión siguen moviendose juntos conuna velocidad de 8,97 m/s formando un ángulo de 68 ° con el eje equis.

Pregunta 1: En este ejemplo los cuerpos venían inicialmente en formaperpendicular... ¿ Podría uno tener un choque donde inicialmente los cuerposvinieran pero formando un ángulo que no fuera 90 ° ?.Rta: Sí, claro. En ese caso el problema se resolvería de la misma manera, solo queinicialmente las velocidades formarían un determinado ángulo con el eje equis y deentrada habría que descomponerlas multiplicando por seno o por coseno.Cuando uno tiene una situación de este tipo lo que conviene hacer el adoptar eleje en la misma dirección de uno de los cuerpos que vienen.

VELOCIDAD FINALDESPUES DEL CHOQUE

3,33 m / s

8,33 m / s



106

De todas maneras este tipo de choque plásticos no es muy tomado porquegeneralmente hay que hacer muchas cuentas con senos y cosenos. Pero no es laidea que el alumno se pase 30 hs haciendo cuentas. La idea es ver si el tipo tieneel concepto de lo que es un choque en 2 dimensiones.

Pregunta 2 : ¿ Podían tomar un choque ELASTICO en 2 dimensiones ?Rta: como poder, podrían. Pero el asunto es más complicado que el que te expliqué

recién en la pregunta 1. Ahí si que es un lío de ecuaciones con senos y cosenos.Yo te diría que salvo casos muy particulares, muy difícil que tomen un choqueELASTICO en 2 dimensiones.

Fin teoría de choque

EJEMPLOS DE CHOQUES ENTRE CUERPOS QUE NO VIENEN

INCIALMENTE FORMANDO UN ANGULO DE 90 ° Y SISTEMA DEREFERENCIA QUE CONVIENE ADOPTAR PARA RESOLVER EL



107

INDICE

DINAMICA5 ..........Rozamiento

18 Dinámica del movimiento circular 29.......... Fuerzas elásticas.

36 Gravitación

TRABAJO Y ENERGIA

42 ..........Trabajo de una fuerza.48 Energía cinética

52 ..........Potencia

57 Energía potencial

58...........Energía elástica62 Energía mecánica

64...........Fuerzas conservativas.66 Fuerzas NO conservativas

68...........Teorema del trabajo y la Energ. Mecánica.

69 Conservación y no conservación de la energía.

CHOQUE 77 ..........Impulso ( J )

78 Cantidad de movimiento ( P )80 ..........Relación entre J y P

85 Conservación de la cantidad de movimiento.87 ..........Choque plástico

95 Choque elástico103.........Choque en 2 dimensiones

CINEMÁTICA, DINÁMICA, TRABAJO Y ENERGÍA - Asimov

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