Cinemática en dos dimensiones
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Cinemática
MECANICA
CINEMATICA DINAMICA
Campo de la Física que estudia el movimiento de los objetos y conceptos afines de
fuerza y energía.
Es la descripción de cómo se mueven los
objetos
Estudia la fuerza y las causas que provocan
que los objetos de muevan como lo hacen
En este capitulo trataremos:
La descripción de un objeto que se mueve SIN ROTACION (movimiento de traslación) a lo largo de una trayectoria en línea recta.
Se escogerá un marco de referencia. Elegiremos el eje x como línea a lo largo del cual se llevara a cabo el movimiento. Si el movimiento es vertical, como para los objetos que caen, escogeremos el eje y.
POSICION
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante una función x=f(t).
La posición de la partícula en cada instante está determinada por un vector que la señala. A medida que la partícula cambia de posición en el tiempo, el vector se desplaza con ella. La dependencia de r en el tiempo, se indica r = f (t).
DISTANCIA.- Longitud de la trayectoria recorrida por un objeto.
DESPLAZAMIENTO.- Es el cambio de posición de un objeto, es decir, que tan lejos esta el objeto de su punto de partida o referencia.
La distancia es un ESCALAREl desplazamiento es un VECTOR.
DISTANCIA ≠ DESPLAZAMIENTO
DESPLAZAMIENTO
La posición del objeto está definida por su desplazamiento medido desde un punto O, u origen.
El desplazamiento Δx puede relacionarse con el tiempo mediante una relación funcional Δ x = f ( t )
El desplazamiento de la partícula cuando se mueve de P a Q en
t = tf -ti P, ti
Q, tf
rf
ri
r
x
y
Trayectoria de la partícula
O
es igual al vector:
r = rf - ri.
¿Es importante conocer la trayectoria del móvil para hallar el vector desplazamiento?
B
t1
t2
No es necesario conocer la trayectoria para determinar el vector desplazamiento en el intervalo de tiempo deseado, solo es necesario conocer las posiciones en dichos instantes de tiempo
A
r
Una persona camina 70 m hacia el este y luego da la vuelta y camina de regreso (oeste) una distancia de 30 m.¿Cuál es la distancia total recorrida ? y ¿Cuál es el desplazamiento?
XEste
y
oOeste
70m
30m40 m
Distancia Total = 100 m
Desplazamiento = 40m
Ejercicio № 2Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 10m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=30m. ¿ Cual es el desplazamiento del objeto?
X (m)
y
o
X₁ X₂
10 20 30
∆X = X₂- X₁ DESPLAZAMIENTO
∆x = 30 – 10 = 20 m
Ejercicio № 3Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 30m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=10m. ¿ Cual es el desplazamiento del objeto?
X (m)
y
o
X₂ X₁
10 20 30
∆X = X₂- X₁ DESPLAZAMIENTO
∆x = 10 – 30 = -20 m
RAPIDEZ. MEDIA- Es la distancia total recorrida por un objeto a lo largo de su trayectoria, dividida por el tiempo que le toma recorrer esa distancia.
VELOCIDAD MEDIA- Es el desplazamiento de un objeto dividido para el tiempo transcurrido durante el mismo.
La Rapidez es un ESCALARLa Velocidad es un VECTOR.
RAPIDEZ ≠ VELOCIDAD
Vector velocidad media
Se define el vector velocidad media en el intervalo de tiempo [t1 , t2] como:
sm
tt
rr
tr
V12
ttm
12
y
x
t1
t2
A
B
rmV r//Vm
)(t1r
)(t2r
La velocidad media apunta en la misma dirección del vector desplazamiento
Rapidez mediaLa rapidez media es igual a la distancia total recorrida entre el tiempo total empleado.
tl
empleadotiemporecorridadistancia
v~m
• La rapidez media NO es un vector.
• La rapidez media NO es igual al modulo del vector velocidad media (para el mismo intervalo de tiempo).
mm Vv
Y(m)
x(m)
t1
t2Δl
:Δl Distancia total recorrida en el intervalo de tiempo [t1 , t2]
r
Ejemplo № 4Una persona camina 70 m hacia el este y luego da la vuelta y camina de regreso (oeste) una distancia de 30 m. Asumir que la caminata tardó 70s en completarse.¿Cuál es la rapidez promedio ? y ¿Cuál es la velocidad promedio?
XEste
y
oOeste
70m
30m40 m
Rapidez promedio = 100 m/70s = 1.4 m/s
Magnitud velocidad promedio = 40m/70s= 0.57m/s
Ejercicio № 5Para un tiempo t₁ un objeto se encuentra en la posición x₁= 10m. En un tiempo posterior t₂ el objeto se encuentra en la posición x₂=30m. ¿ Cual es la velocidad promedio del objeto, si ∆t = 10s?
X (m)
y
o
X₁ X₂
10 20 30
X₂- X₁
VELOCIDAD PROMEDIO
V = 2 m/s hacia el Este
t₂- t₁ ṽ =
La dirección de la velocidad promedio es siempre la misma que la dirección del desplazamiento
La velocidad instantánea, v, se define como el límite de la velocidad media, r/t, conforme t tiende a cero.
dt
d
tt
rr
lim
0
VDirección de Velocidad
Instantánea:
El vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria que describe la partícula en el punto P.
Q
Q’Q’’
r1
r3 r2
P
Dirección de v en P
x
y
O
La velocidad instantánea es la derivada del vector posición respecto del tiempo
Rapidez instantánea
La rapidez instantánea es igual al modulo de la velocidad instantánea
dtdr
tr
limv~ 0t(t)
)t((t) vv~
rt1
t2
Δl
tl
v(t) 0
~tlim
Si 0Δt rt1
t2
Δl
rl dr
vtd
dr
La distancia que falta por recorrer para llegar a Durham es de 18 km La distancia que falta por recorrer para llegar a Durham es de 18 km medida a lo largo de la carretera, desde el punto en que aparece el medida a lo largo de la carretera, desde el punto en que aparece el letrero.letrero.
El odómetro de un auto registra la rapidez instantánea que lleva el El odómetro de un auto registra la rapidez instantánea que lleva el vehículo en un instante de tiempo.vehículo en un instante de tiempo.
Ejemplo: Un muchacho se desliza con su patineta sobre la pista circular, desde O hasta B, como se indica en la figura 2.29. Si le toma 1,41 s recorrer su trayectoria, determine la velocidad media hasta este punto y la longitud de la trayectoria recorrida durante este tiempo OB
O
B
R = 3 m
O
B
3 m
r = 3 i - 3 j. m
ji41.1
3
41.1
3
t
rv
m2
3
2
r
S
ACELERACION MEDIASe denomina aceleración media entre los instantes t y t' al cociente entre el cambio de velocidad v=v'-v y el intervalo de tiempo t=t'-t.La aceleración de un cuerpo es una función del tiempo.
2
12
12m s
m
tt
)(tV)(tVa
La aceleración instantánea, a, se define como el límite de la razón, v/t, cuando t tiende a cero:
dt
d
tt
vva
lim0
La aceleración se produce por:1.- Cambio en la magnitud del vector velocidad.2.- Cambio en la dirección del vector velocidad.3.- Cambio en la magnitud y dirección del vector velocidad.
dtˆd
vdtdv
ˆa
La aceleración instantánea es igual a la derivada del vector velocidad instantánea respecto del tiempo t.
(t)a dt
ˆvddtdV
nv
v
ˆdtdv
anaˆaa n
dtdv
a
2
nv
a
2n
2 aaa
Se denomina movimiento rectilíneo, aquél movimiento cuya trayectoria es una línea recta.
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t.
MOVIMIENTO RECTILINEO
Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
Un automóvil se mueve con una velocidad media de 10 km/h durante los primeros 30 min de su trayectoria recta; luego aumenta su velocidad de tal manera que, en los siguientes 30 s, su velocidad media es 12 km/h; pero encuentra un obstáculo, por lo que retrocede 100 m en 30 s y se detiene. Encontrar su velocidad media desde el inicio de su movimiento hasta que se detiene.
hmin
hminmint
2
1
60
1 30 301
kmm
kmmmx
10
1
10
1100100
3
hs
hsst
120
1
3600
1 30 302
hs
hsst
120
1
3600
1 30 30
totaltiempo
totalentodesplazami
t
x
v
tttxtvtv
v
21
2211
hkm
hv / 7.9
h 120
1h
120
1 h
2
1km 10/1h 1/120 12 2/1 10 h
kmh
km
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
La posición x del móvil en el instante t lo podemos ver en la representación de v en función de t.
La función desplazamiento es el área bajo la curva de la función velocidad
Por tanto el desplazamiento será
x ( t ) = x0 + v . t
Donde x0 será la posición inicial del móvil.
El gráfico adjunto representa el movimiento de una partícula en línea recta. Si al tiempo t=0, la partícula se encuentra en la posición x= -100 m, ¿cuál es la posición de la partícula a los 15 s?
Los gráficos mostrados representan el movimiento de una partícula en línea recta. ¿Cuál es la posición de la partícula a t=0?
PROBLEMA
Un auto A realiza un viaje de 200km a una rapidez media de 40 km/h. Otro auto B sale una hora mas tarde y llega al mismo lugar y al mismo tiempo que el auto A, Calcule la rapidez media del segundo Auto.
SOLUCION
t = DISTANCIA / VEL.
tA =200/40= 5h
tB = 5h - 1h= 4h
VB = 200 / 4= 50 km/h.
Un ciclista cruza un semáforo con una velocidad constante de 15 km/h. Después de 15 minutos un segundo ciclista pasa por el mismo semáforo pero a una velocidad de 40 km/h, en dirección a la meta situada a 10 km en línea recta a partir del semáforo. ¿Después de qué tiempo los dos ciclistas se encontrarán?. ¿Después de qué tiempo a partir de la llegada del primero que arribe a la meta llegará el siguiente?
hvv
vttt
hkm
hp
5
2
15-40
40h 4/1 km
12
2
hv
xt
h
m
3
2
15
km 10km
11 h
v
tvxt pm
2
1
40
h 4/1 40km 10
hkm
hkm
2
22
t = t1 - t2 = 0,67 h - 0,50 h = 0,17 h = 10 min
Movimiento Uniformemente Movimiento Uniformemente AceleradoAcelerado
tvv o(t) a
at
tt
Pendiente =
a
xo
x(t)
t
Pendiente = v0
pendiente = v(t)
2
oo(t) t21
tvxx a
O t
a
aPendiente = 0
a
Movimiento Rectilíneo Movimiento Rectilíneo Uniforme MRUUniforme MRU
datoa :0
atVV 0
0
2
2
00
attVxx
0
aa
VV
xx
tt
tt
tt
xx00
VV00
Movimiento ParabólicoMovimiento Parabólico0xa
xx VV 0
tVxx x00
MRU MRU
Eje xEje x
gay gtVV yy 0
2
2
00
gttVyy y
MRUV MRUV
Eje yEje y
av
x
t t
t
v0
-v0-g
tvtv/2
tv
H
jga
gtvv0
2gt21
tvyy00
M.R.U.A.M.R.U.A.Movimiento en línea recta en donde se produce un cambio del vector velocidad.
M.R.U.A.M.R.U.A.Movimiento en línea recta en donde se produce un cambio del vector velocidad.
Calculo de distancia recorrida, desplazamiento, rapidez y velocidad media en un MRUA
v (m/s)
t (s)
v1
-v2
t1
t2t3
Distancia recorridaDistancia recorrida
d =d = Áreas Áreas (sin considerar signos)(sin considerar signos)
A1 A2
A3
d= Ad= A11 + A + A22 + A + A33
d= vd= v11tt11 + + ½(t½(t22 –t –t11)v)v11 +½(t +½(t33 –t –t22)v)v22
Desplazamiento resultanteDesplazamiento resultante
D =D = Áreas Áreas (considerar signos)(considerar signos)
D= AD= A11 + A + A22 - A - A33
D= vD= v11tt11 + + ½(t½(t22 –t –t11)v)v11 -½(t -½(t33 –t –t22)v)v22
Rapidez mediaRapidez media r = d/t =r = d/t = Áreas Áreas (sin considerar signos)(sin considerar signos) tt
Velocidad mediaVelocidad media v = D/t =v = D/t = Áreas Áreas (considerar signos)(considerar signos) tt
3.-Dos cuerpos se mueven de acuerdo a la siguiente gráfica, 3.-Dos cuerpos se mueven de acuerdo a la siguiente gráfica, partiendo desde el origen, encuentre que tiempo transcurre para partiendo desde el origen, encuentre que tiempo transcurre para que la separación entre ellos sea de 60 metros. que la separación entre ellos sea de 60 metros.
X (m) a)14 s. b)1 min.c)0.5 min. 8 Ad) 2 min. Be) 50 s. 2 10 t(s)
dA –dB = AA – AB = ½t(hA) -½t(hB)= ½t[vAt –vBt]= ½t2[vA-vB]
=½t2[mA-mB] = 60
=½t2[8/10- 2/10] = 60
t =[60(2)(10/6)]½= 14.14 s
Aceleración en gráficas x vs t
La gráfica x vs t tiene La gráfica x vs t tiene forma parabólica cuando se forma parabólica cuando se trata de un movimiento trata de un movimiento aceleradoacelerado..
La velocidad de la partícula La velocidad de la partícula se calcula en base a la se calcula en base a la pendiente de la línea pendiente de la línea tangente a la curva para un tangente a la curva para un tiempo t.tiempo t.
La aceleración media de la La aceleración media de la partícula se calcula en base partícula se calcula en base a la expresión:a la expresión:Vmedia= v = vf –vo
t t
Lo cual corresponde a la diferencia de los valores de pendiente entre Lo cual corresponde a la diferencia de los valores de pendiente entre dos puntos de la curva.dos puntos de la curva.
Aceleración media vs aceleración instantáneaAceleración media vs aceleración instantánea
El área representa la velocidad media en El área representa la velocidad media en el intervalo de 0 a tel intervalo de 0 a t
xx = v= voot + t + ½at½at22
VVff = v = voo + at + at
Ecuaciones cinemáticas
x= vx= voot + t + ½at½at2 2 (1) (1)
VVf f = v= voo + at (2) + at (2)
vvff22= v= voo
22 + 2ax (3) + 2ax (3)
vvpp = (v = (voo + v + vff)/2 (4))/2 (4)
X = vX = vppt (5)t (5)
TIRO PARABÓLICOTIRO PARABÓLICO
v= vv= vxxî +vî +vyyĵĵ
v= vv= vooCosCos î +(vî +(voosensen - gt) ĵ - gt) ĵ
Vector Posición rVector Posición r
r= vr= voxoxt t îî + (v + (voyoyt - t - ½gt½gt22)ĵ)ĵ
r= (vr= (voocoscos)t )t îî + (v + (voosensen t - t - ½gt½gt22)ĵ)ĵ
Alcance y altura máximaAlcance y altura máxima
Tiempo de subida tTiempo de subida tss
ttss= V= Voyoy/g/g
VVyy =0 en el punto =0 en el punto máximomáximo
VVyy = v = voyoy -gt -gt
Altura máximaAltura máxima
VVyy22 =v =voyoy
22 – 2gh – 2gh
hhmaxmax= = vvoyoy22
2g2gTiempo de caída tTiempo de caída tcc
Es igual al tiempo de Es igual al tiempo de subida si el cuerpo llega subida si el cuerpo llega al mismo nivel desde al mismo nivel desde donde se lanzódonde se lanzó
Alcance Alcance R = vR = voxox t tvv
tiempo de vuelo tiempo de vuelo t tvv= t= tss + t + tc c = 2t= 2tss
Alcance máximo Alcance máximo
Ejercicio:Ejercicio: Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s sobre un blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una sobre un blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una distancia horizontal de 3600 m. Despreciando la resitencia del aire, distancia horizontal de 3600 m. Despreciando la resitencia del aire, determine el valor del ángulo de tiro determine el valor del ángulo de tiro ..
VVoxox = v = voo cos cos = 240 cos = 240 cos
x =x = (240 cos 240 cos ) t) t
3600=(240 cos 3600=(240 cos ) t) t
t= t= 3600 3600 = = 15 . 15 . 240 cos 240 cos cos cos
Movimiento horizontalMovimiento horizontal
Movimiento verticalMovimiento vertical Y = vY = voyoy t - t - ½gt½gt22 600= 240sen 600= 240sen t - t - ½(9.81)t½(9.81)t22
600= 600= 240sen 240sen (15) - (15) - ½(9.81) ½(9.81) (15)(15)22
cos cos cos cos22
1104 tg1104 tg22 - 3600tg - 3600tg + 1704 = 0 + 1704 = 0
tgtg = 0.575 y tg = 0.575 y tg = 2.69 = 2.69
= 29.9º y = 29.9º y = 69.6º = 69.6º