cinematica uc3

TEORA DE MECANISMOS 3.- CINEMTICA DE MECANISMOS

Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

1

Cinemtica de mquinasEstudio cinemtico: determinacin deTrayectorias Velocidades Aceleraciones

Mtodos analticos y grficos Pares elementalesRotacin TraslacinUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

2

Rotaciones (Vectores deslizantes) Vectores deslizantes FUERZA Vectores deslizantes ROTACINReduccin del sistema de vectores deslizantes en un punto dado.

(Resultante de las fuerzas, Momento de las fuerzas) (Rotacin, Momento de la rotacin)

Velocidad NOTA: los vectores deslizantes se aplican sobre un slido rgido3


Fuerzas (Vectores deslizantes)

La reduccin del sistema de vectores Deslizantes FUERZA en un punto cualquiera P, consiste en : Posicionar el vector Resultante de las Fuerzas, en dicho punto P. Posicionar el vector Suma de los Momentos de las fuerzas respecto a dicho punto P.

Vectores deslizantes FUERZA


4

Reduccin sistema de fuerzas en un puntoEn el punto de contacto P El slido rgido superior Acta mediante un sistema Equivalente de vectores, Consistente en: - una resultante de las fuerzas Actuantes. - un momento suma de los momentos de cada una de las fuerzas en el punto P.Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

5

Rotaciones (Vectores deslizantes) Vectores deslizantes ROTACIN

La reduccin del sistema de vectores deslizantes ROTACIN en un punto cualquiera P, consiste en :

Posicionar el vector Resultante de las Rotaciones, en dicho punto P. Y Posicionar el vector Suma de los Momentos de las rotaciones respecto a dicho punto P. (VELOCIDAD DE P)


6

Rotaciones (Vectores deslizantes)El slido rgido afectado por un sistema de rotaciones, puede representarse por el esquema de la figura. Cada bastidor est bajo el efecto de una rotacin. Estando todos los ejes de rotacin de cada bastidor apoyados en el siguiente. Cualquier punto P del slido rgido est afectado por una rotacin suma de las de cada bastidor. Cualquier punto P del slido rgido est afectado por el momento suma de todas las rotaciones, es decir su velocidad.Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

w2

w1

SLIDO RGIDO

w3

w47

Movimiento general de un slido rgido

El sistema de referencia (SF) es fijo

VP = V0 + OP


8

Movimiento general en el planoSlido rgido

VP = V0 + OP

VI = 0

VP = VI + I P


9

CinemticaEcuaciones Mecnica (dado un SF, SM) Relaciones vectoriales (A, B a un slido rgido SR)

r ABS =rARR +rREL v ABS =v ARR +v REL aABS = aARR + aREL + aCOR IOLIS

r A =rAB +rB v A =v AB +v B + v REL aA = aAB + aB + aREL + aCOR IOLIS v REL = 0, aREL = 0, aCOR IOLIS = 0(Dado un SF, y un SM asociado al SR)


10

CinemticaEcuaciones Mecnica (dado un SF, SM)

Relaciones vectoriales (A, B a un slido rgido SR)r A =rAB +rB v A =v B + rAB + v AB

r ABS =rARR +rREL v ABS =v ARR +v REL aABS = aARR + aREL + aCOR IOLIS

d aA = aB + ( rAB ) + rAB dt+ aAB + aCOR IOLIS

= 0, aCOR IOLIS = 2 v rel = 0(Dado un SF, y un SM asociado a un punto del SR y // al SF)Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

11

Cinemtica de un eslabnPegados al eslabn en estudio en el punto C y paralelos al sistema fijo en todo momento Movimiento absoluto M 31 del eslabn 3 respecto a los ejes (absoluto) fijos ligados al eslabn 1

Velocidad de un punto genrico del eslabn 3

v31 = v3C + vC1Rotacin de 3 sobre C

Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

(arrastre)

M C1

Movimiento del punto C del eslabn 3 respecto a los ejes fijos ligados al eslabn 1

Movimiento absoluto del eslabn 3 (relativos) respecto a los ejes fijos ligados al Rotacin eslabn 3 alrededor de C

M 3C


12

Aceleracin en un eslabn (1)Si localizamos los ejes mviles pegados a un punto C del propio eslabn, y mantenemos el SM paralelo al SFa 31 = a 3C + a C1 + a COR IOLIS eslabna 31 = a 3C + a C1 + 0

Interpretacin:

a 31 = ROT + TRASTIERRA

a CORIOLIS = 2 SM V3C 00



13

Aceleracin en un eslabn (2)

eslabna 31 = a 32 + a 21 + a COR IOLISCinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

a ABS = a ARR + a REL + a COR IOLIS v ABS = v ARR + v RELUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

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Tcnicas de determinacin de velocidades

1. Mtodo de proyeccin o componente axial 2. Mtodo de las velocidades giradas 3. Cinema de velocidades 4. Mtodo de las velocidades relativas


15

1. Mtodo de proyeccin

A, B AB = cte v AB = 0

vASF Dado

AB

= vB

AB

vA

y la direccin de

vB

conocemos

vB16


2. Mtodo de las velocidades giradas (I) Tcnica grfica de clculo de velocidades Datos: C, v C y AEslabnVC C A'ISCAB

Incgnita: v Ac a

VA

A

S

B

VB

Cinema de velocidades de ABC (abc)

C'

sIs

B'

o b

1. 2. 3.

Giramos 90 sentido ESLABON

Giramos 90 en sentido contrario a ESLABON el segmento A A' obteniendo v A Universidad Carlos III de MadridDepartamento de Ingeniera Mecnica

vC obtenemos C Obtenemos A, siendo CA || C'A'

17

2. Mtodo de las velocidades giradas (II)v A A' Clculo de v N N' N'' v N NN'' v A A' Clculo de v M M ' M '' v M MM''

Cnema de velocidades de los eslabones:O 2 A oa O 4 B obCinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

AB ab18


3. Cnema de velocidades (I)Sea un eslabn y su CIR en un instante dado.rp

P

P eslabn:

v P = rP si = 1

k Vector unitario al plano v = k r P P Luego el vector velocidad se obtiene girando el vector posicin 90 en el sentido de la rotacin del eslabn y haciendo una expansin o contraccin de factor . Si lo realizamos para todos los puntos eslabn se obtendr, posicionando los vectores velocidad en el CIR, el cinema de velocidades (puntos homlogos de los del eslabn).

CIR

P eslabnUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

HOMOLOGA 90

P cnema19

3. Cinema de velocidades (II)Ejemplo de trazado del cinema de velocidades del mecanismo articulado plano para cada eslabn



20

4. Mtodo de velocidades relativasSean A, B Eslabn

v A = v AB + v BRotacin de B sobre A Traslacin de B

vBBCinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

AB

vB v AB vA vA21

A


Cinema de velocidades del eslabn BCDEslabn (4)

Datos: v A

Tcnica del punto auxiliar: obtencin de la v x , a partir del esquema de velocidades del eslabn (4)

v X = v XB + v B v B = v BA + v A v X = v XB + v BA + v A Encontrar X (4) tal queLocalizar un punto de 4, por ejemplo C con velocidad de direccin conocida, de modo que X (4) est localizado de manera queUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

(2)

(1)

v XB || v BA BAX

v XC || v C


Cinema del punto auxiliar x22

Velocidades relativas. Mecanismo de correderaEslabn (deslizadera) (4)

Anlisis del punto C (C3 y C2 )Dato

v C3 = v C3C2 + vC2Dir. Dir. Tg. gua

Conocido el centro de curvatura de la gua por donde se desliza el eslabn (4), podemos sustituir el mecanismo por el cuadriltero articulado: O 2 , C0 , C, O3 en C se hace el clculo de

v C0Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera MecnicaCinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

v C3 = v C3C0 + v C0

Dir.

23

Polo de velocidades de un eslabnI13CIR del eslabn (3). es un punto mvil

La rodadura de la curva C m sobre la Cf define el movimiento del eslabnEslabn biela

Cm Cf

describe la curva polar

P3

A VA

3

B VB

2CIR del eslabn (2). Es un punto fijo

4O4

de los puntos de la biela posicionados en el sistema fijo a tierra

Cf Lugar geomtrico

Cm Lugar geomtrico

O2 CIR permanentes

1

1

de los puntos de la biela posicionados en el sistema mvil de la biela24


CIR del eslabn (4). Es un punto fijo

Curvas polaresVelocidad de cambio de polo

u

tangente a la curva polar (PROPIEDAD)

3Cm Cf

A

VA

B VB

CIR 3 CIR 3 Pt + t Pt en t + t en tPt Pt + t lim t t

I13

uA ud u uB u'd||AA0

Detalle:P

Componentes de Euler-Savary

||BB0

Cmu = ua + ud = = u b + u'd25

BUniversidad Carlos III de Madrid 0

A0

Cf

CIR del eslabn (3)

Departamento de Ingeniera Mecnica

Frmula de Euler-Savary (I)La componente de la velocidad de cambio de polo en la direccin paralela a la velocidad de un punto cualquiera del eslabn en estudio guarda relacin con la velocidad del punto segn las distancias del punto y del CIR al centro de curvatura de la trayectoria desarrollada por el A punto. vA Sea A el punto A perteneciente al eslabn CIR Sea A el centro de v A ACCA uA = curvatura de A IC uA

C CAUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

CA

26

Frmula de Euler-Savary (II)Relaciona: Velocidad de cambio de polo:d CIR i CIR i' t dS dS d B d A B vA = A = A A vB = B = B dt dt dt dt u=

u, , v, CIR

Vector unitario tangente Componentes de CIR i CIR i' dSCIR ,B = CC d B BVectores paralelos a d SA , d SBi B

dSCIR i ,A = CCA d A A

PROY. u dSA = u A = PROY. u dSB = u B =Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

dSCIR i ,A dt dSCIR i ,B dt

= =

CCA CIR i B CCB CIR i A

vA vB27

Velocidad de cambio de poloObtencin grfica. Aplicacin a la biela 3 de un cuadriltero articulado de la Frmula de Euler-SavaryA , v A , CIR 3 u A B , v B , CIR 3 u B u = u A + (u d ) u = u B + ' (u 'd )Velocidad cambio de poloUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

I13

Velocidad del punto B de la biela 3 Velocidad del punto A de la biela 3Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

28

Teorema de Kennedy (I)I13

I14 I23 I24 I21 I14

CIR relativo es el punto en el que la velocidad relativa entre dos eslabones dados se anula CIR A|B = CIR B|A Sea un mecanismo articulado plano: Sean 3 los eslabones: A, B, C. Los 3 CIR relativos 2 a 2 ESTN ALINEADOS

Teorema de los tres centros o teorema de Cinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Kennedy Corral, UPM, Madrid 1992Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

I AB , I BC , ICA Alineados29

Teorema de Kennedy (II)Sean: A, B, C los eslabones Sea Sea Sea

el CIR relativo de A|Bel CIR relativo de A|C

O el CIR relativo de C|B

v OA |B = v OA |C = rad

Al calcular las velocidades relativas respecto al eslabn B o C, se observa que son iguales, pues O es un punto CIR relativo

O

Para que sean iguales v OA |B , v OA |C ,O los tres CIR relativos , deben estar alineados30


Clculo de los CIR relativos usando el teorema de KennedyN eslabones N ( N 1) (CIR relativos) 2

1. Se calculan los CIR absolutos (N,1). 2. Se calculan los CIR relativos en las articulaciones (N,N-1). 3. Se calculan los CIR relativos en las deslizaderas ( guia ) 4. Se aplica el teorema de KennedyCinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992


31

Escalas grficasEscala de longitudes Escala de velocidades Escala de aceleraciones cm grafi cos cm real

cm grafi cos cm seg real 2 =


32

Clculo de la aceleracin en puntos pertenecientes a un mismo eslabn (mismo SM)

d d

rB = rA + rBAdt dt

v B = v A + v BA a B = a A + a BAslido rgido B rota sobre A

Si A, B pieza

AB cte

rBA v BAUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

Posicin de B respecto de A velocidad de B respecto de A aceleracin de B respecto de A33

a BA

Posicin velocidad y aceleracin de arrastreP, se mueve respecto al sistema mvil El sistema mvil est parametrizado por la posicin del origen del sistema mvil (O) y el vector de rotacin ( ) del triedro mvil respecto al triedro fijo.SM O

rM vM aM

Posicin relativa velocidad relativa aceleracin relativa

Posicin, velocidad y aceleracin de arrastre

rarr = r0

SFUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

v arr = v 0 + rM

a arr = a 0 + rM + rM

(

)34

Estudio de la aceleracin (I)Pto A eslabn i Pto B eslabn i Pto C eslabn i+1SF i SM A B C i+1

SM pegado al eslabn i que rota con irespecto al SF

B i, rB = rBA + rA v B = v BA + v A a B = a BA + a A

C i + 1, rC = rCA + rA vC = vCA + v rel + v A a C = a CA + a rel + a A + a CORIOLIS

B rota sobre A con iUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

C rota sobre A con iRotacin SM

a C = a CA + a arr + a CORIOLIS35

Estudio de la aceleracin (II) Caso de movimiento circular 2 at = a n = Aceleracin de los puntos A y B piezaB A cte

d dt

v B = v A + v BAarrastre

Rotacin sobre A

BA

Rotacin

vAUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

a B = a A + a BA

a CORIOLIS = 0 v arr = 036

Ejemplos: Manivelaa A = a O + a AO CC O a AO = a t A + a n A

a AO = a t AO + a n AOCoincide el CIR = O Coincide el polo = O de aceleraciones En general, los puntos del slido con velocidad nula (CIR) y aceleracin nula (polo de aceleraciones) son distintos

CIR Polo aceleracionesUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

37

Aceleracin del polo del cnema de velocidadesI I ' I '' a 0a A = a I + a AII no es un punto singular en cuanto a aceleracionesI POLO VELOCIDAD

A

a

a A = a B + a BAUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

{, , a }A38

Polo de aceleraciones (I)

a A = a B + a BA ;a A = a I + a AI

A, B(a I 0 en general); A, I CIR

a P = 0 a A = a P + a AP a A = a APSi conocemos P, el cuerpo se comporta como un slido rgido en rotacin pura en ese instanteUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

P POLO DE ACELERACIONES

Modelo de comportamiento del eslabn en el instante t en cuanto a aceleraciones a XP39

Polo de aceleraciones (II)Polo aceleracin

P eslabon a P = 0a A = a AP a B = a BP

A

(

)

aAB

aB

a AP

Aceleracin relativa de A alrededor de P, con y del eslabneslabn

Cinema de aceleraciones

(A, B, C) (a, b, c)Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

40

Aceleracin normalConstruccin grfica del vector aceleracin normal relacionado con una rotacin (pura)Teorema del cateto Teorema de la altura

c m

h

n

h2 = m n c2 = m ( m + n )Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica


Centro de rotacin41

Obtencin de la aceleracinObtencin de la aceleracin de un punto cualquiera del eslabn a partir de la aceleracin en A:

a B = a B|A + a A

donde se obtiene la aceleracin a partir de la cinemtica relativa de B respecto de A



42

ejemploDatos: v A , a t A es decir, conocemos , 2 2 la secuencia grfica sera: 1. Obtencin grfica de a n A 2. Cinema del eslabn 2 3. Obtencin grfica de a n B|A 4. Obtencin grfica de a A a partir de a t A a nA y 5. Obtencin grfica de a n BCinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992


43

ejemplo

datos v A , a t ACinemtica y dinmica de Mquinas A. de Lamadrid, A. de Corral, UPM, Madrid 1992

Cinema de velocidades del eslabn 3

Cinema de velocidades del eslabn 5


Obtenemos a B conjuntamente con a A y tenemos el cinema de aceleraciones del eslabn 3 y obtenemos a C

44

Anlisis de aceleraciones (I) Piezas en contacto deslizanteEn piezas articuladasP 1 o 2articulacin

a P(1) = a P( 2)(1) ( 2)

P 1 2

vP = vP En piezas con contacto deslizante

v P(1) v P( 2 ) a P(1) a P( 2 )Universidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

Se conoce la direccin de la velocidad relativa

SM

P 1, 2345

1

2

Anlisis de aceleraciones (II)Considero A 1 y enclavo en l el SM 1 , 1

(

)

v A( abs ) = v A( arr ) + v A( rel )SM v A( 3) = v A(1) + v A(SM )v A( 3)3 1

v A(1)1 2

v A(SM )


46

Clculo de aceleraciones (III)

Clculo de a Adir arrt

a A = a O3 + a n A + a t Aa nA v2 = A O3 A

(1)a t A dir O3 A

a A = a arr + a rel + a cor (2)SM

a arr = a O1 + a narr + a t arr como si A 1dir arrn

a rel || O1P a cor = 2 1 v r ( O1P y v r )


47

Clculo de aceleraciones (IV)Secuencia de clculo (1) (2) (3) (4) (5)

|| O3Aa n arr(2) (3)

o(1)

(5)

a nA

a tA

a t arr

a cor(4)dir a rel || O1P

|| O1PUniversidad Carlos III de Madrid Departamento de Ingeniera Mecnica

dir a t A

48

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