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CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA UNIDAD Nº IV

Teoremas eléctricos en corriente continua.

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Introducción

En esta sexta y última semana veremos algunas técnicas que nos permitirán estudiar a

fondo las características de un circuito eléctrico puramente resistivo, verificar sus

conexiones, comparar sus valores y con todo ello plantear una estrategia para poder

encontrar los parámetros desconocidos que se requiera saber dada alguna problemática

específica, es decir analizar un circuito eléctrico.

SEMANA 6

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Ideas Fuerza

1. Análisis de redes eléctricas por resistencia equivalente

La idea de esta acción es poder aplicar los conceptos de resistencia equivalente para

poder resolver un circuito eléctrico, hasta llegar a tener el circuito más simple, que es

una fuente y una resistencia (si la configuración circuito lo permite) y a través de esto,

poder encontrar los demás parámetros de la red. Esto específicamente no tiene un

nombre establecido dentro de la literatura, pero es una estrategia de análisis muy común

entre los especialistas del área.

2. Análisis de redes eléctricas por aplicación de leyes y teoremas eléctricos

En forma tácita, ya algo se utilizado está técnica, pues se ocuparon algunos teoremas,

para poder desarrollar otros, pero la idea es básicamente utilizar o acomodar el circuito,

a través de conversión de circuitos, cálculo de resistencias equivalentes u otras técnicas,

para poder llevar una configuración a otra que se asemeje a algunos de los teoremas

estudiados y desde allí, simplemente aplicar el teorema o relación matemática

correspondiente.

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Desarrollo

Análisis de redes eléctricas por resistencia equivalente

Para poder aplicar este tipo de análisis es necesario tener algunos conceptos muy claros

de los resultados que podemos obtener al realizar los cálculos de la resistencia

equivalente.

Por ejemplo:

La resistencia equivalente serie siempre dará como resultado un valor MAYOR que

la MAYOR de las resistencias.

Esto es fácil de ver, ya que en serie se suman los valores resistivos de cada resistor en

serie, por lo tanto, en una suma, el valor obtenidos siempre será un valor numérico mayor

que cada valor por separado y eso incluye al valor más grande.

Además, recordemos que la resistencia equivalente en serie la podemos representar

como:

𝑅𝐸𝑞 = 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + ⋯ + 𝑅𝑁

Donde N representa un valor entero finito.

Es decir, si N=3, significa que tengo la suma de tres resistencias, si N=5, significa que

tengo la suma de 5 resistencias y así sucesivamente.

Ahora, si el valor resistivo de estas N resistencia fuera el mismo, es decir tienen el mismo

valor óhmico, la expresión anterior sería equivalente a sumar el valor R, N veces, es

decir:

𝑅𝐸𝑞 = 𝑅 + 𝑅 + 𝑅 … + 𝑅 (N veces)

Por lo tanto, esto sería:

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𝑅𝐸𝑞 = 𝑁 ∙ 𝑅

Donde N es las veces que se repite la resistencia.

Es decir, si tengo dos resistencias iguales, la resistencia equivalente será 2R, si tengo

tres resistencias iguales, la resistencia equivalente será 3R, si tengo 20 resistencias

iguales, la resistencia equivalente será 20R.

Por lo tanto, en palabras simples, podemos decir que, si tengo varias resistencias del

mismo valor en serie, la resistencia equivalente será el valor resistivo, multiplicado por

las veces que se repite la resistencia.

Por lo tanto, si tenemos un circuito como el siguiente:

Podemos notar que existen siete resistencias de 10 Ohms en serie, por lo tanto, el circuito

equivalente será:

Que es lo mismo que haber dicho:

𝑅𝐸𝑞 = 7 ∙ 10 = 70 Ω

Ahora, observemos el siguiente circuito:

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Claramente los valores no son iguales, por lo que no podemos aplicar el criterio anterior.

Sólo nos queda sumar cada valor, pero como existen sufijos distintos, debemos llevarlos

todo a la unidad base, es decir expresar todo en Omhs, por ende, tendríamos:

𝑅𝐸𝑞 = 120 + 2200 + 2 + 1 + 3400000 + 100 + 3 = 3402426 Ω

Si expresamos esto en Megas, se tiene que el valor será:

𝑅𝐸𝑞 = 3,4 𝑀Ω

Si el lector se fija, la resistencia equivalente, al sumar todo en Ohms, fue mayor que la

mayor de las resistencias, pero al expresar en el sufijo correspondiente a los Mega, todos

los valores pequeños desaparecieron.

Esto quiere decir que, si tenemos una resistencia en la serie que supera a la suma del

resto de las resistencias por 10 o más veces, entonces, ésta absorbe al resto y nos

podemos quedar sólo con la más grande. Ojo que para valores cercanos no aplica, debe

ser sobre 10 veces más grande, para que, al pasar al sufijo correspondiente, los

decimales se pierdan y se absorba el valor.

Para comprender este concepto, haremos un ejemplo muy coloquial y tangible,

supongamos que tenemos 147.533 hormigas, más un elefante adulto en un prado.

Claramente si miramos el paisaje, sólo veremos al elefante, pues su tamaño es mucho

mayor a los miles de hormigas, que a lo más podremos divisar como una mancha negra.

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A este criterio se le denomina el criterio del 10%, es decir si un valor es menor al 10%

del número mayor, este se vuelve despreciable para efectos de la cantidad numérica

total.

Ahora, aplicaremos conceptos similares, pero para la resistencia equivalente en paralelo,

por lo tanto, debemos recordar que:

La resistencia equivalente en paralelo, siempre, es MENOR que la MENOR de las

resistencias.

Esto es un poco más complejo de comprender, pero recordemos que el en paralelo, se

suman las conductancias, que son el inverso o recíproco de las resistencias.

Por lo tanto, si calculamos la conductancia equivalente como la suma de todas las

conductancias, tenemos que:

1

𝑅𝐸𝑞=

1

𝑅1+

1

𝑅2+

1

𝑅3+ ⋯ +

1

𝑅𝑁

Pero como la resistencia es el recíproco de la conductancia, se tiene que:

𝑅𝐸𝑞 = [1

( 1

𝑅1 +1

𝑅2 +1

𝑅3 + ⋯ +1

𝑅𝑁)

]

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Donde N representa la N ésima resistencia del paralelo. Ahora, existe un caso específico

que es el cuándo N vale 2 y esta expresión quedaría como:

𝑅𝐸𝑞 = [1

( 1

𝑅1 +1

𝑅2)] = [

1

𝑅1 + 𝑅2𝑅1 ∙ 𝑅2

] =𝑅1 ∙ 𝑅2

𝑅1 + 𝑅2

Por lo tanto, para dos resistencias en paralelo de valor R1 y R2, se tiene que su expresión

será:

𝑅𝐸𝑞 =𝑅1 ∙ 𝑅2

𝑅1 + 𝑅2

Como se ve en la relación anterior se extrae el mínimo común múltiplo para hacer la

suma de fracciones y luego se invierte el valor, para obtener la resistencia equivalente.

Por ende, se puede ver que aquí se justifica el hecho de que tener tres resistencias en

paralelo no es agregar una R3 arriba y abajo en la relación anterior, pues esto viene de

sumar tres fracciones cuyos denominadores son R1, R2 y R3, por lo que se complica un

poco más la fórmula.

Es por eso que se recomienda ingresar los valores a la calculadora y aplicar la relación

general de la resistencia equivalente en paralelo y no calcular una fórmula para 3

resistencia, para 4, para 5 y así, es más fácil, tomar cada valor de resistencia e invertirlo,

sumar todos los valores invertidos (conductancias) y volver a invertirlo, para obtener la

resistencia equivalente.

Ahora, analizando la expresión general se puede ver que la suma de conductancias

siempre dará un valor de conductancia más grande que cada uno de los valores, pero

como este valor se invierte para encontrar la resistencia equivalente, entones el valor

resistivo será más pequeño que el más pequeño de los valores resistivos.

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Si pensamos que tenemos 2 resistencias en paralelo, ambas del mismo valor R y

tomamos la relación calculada anteriormente, tendremos que:

𝑅𝐸𝑞 =𝑅 ∙ 𝑅

𝑅 + 𝑅=

𝑅2

2 ∙ 𝑅=

𝑅

2

Por lo tanto, si hay dos resistencias de igual valor (R), en paralelo, la resistencia

equivalente será la mitad.

Se puede demostrar que, si hay 3 resistencias de valor R en paralelo, la resistencia

equivalente será R/3, si hay cuatro, la resistencia equivalente será R/4 y así

sucesivamente…

Por lo tanto, si hay N resistencia en paralelo de valor R, la resistencia equivalente será:

𝑅𝐸𝑞 =𝑅

𝑁

Dónde N es las veces que se repite la resistencia.

Por ejemplo, en el siguiente circuito, la resistencia equivalente será:

𝑅𝐸𝑞 =8

4= 2

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Cómo la resistencia es de 8 Ohms y se repite cuatro veces, la resistencia equivalente

será 2 Ohms y me evito hacer el cálculo completo.

Ahora, pensemos en el siguiente circuito:

Para resolver este circuito, utilizaremos la regla general, pero expresaremos todos los

valores en su unidad básica, es decir en Ohms:

𝑅𝐸𝑞 = [1

( 13 +

11200 +

13000000 +

1120000)

]

𝑅𝐸𝑞 = [1

0,33415533] ≈ 2,99 Ω ≈ 3 Ω

Por lo tanto, efectivamente la resistencia equivalente fue menor que 3 Ohms, pero al

aproximar, nos quedamos con el valor más pequeño. Esto se debe a que se aplica el

mismo criterio del 10% visto anteriormente, pero en este caso, nos quedamos con el

valor más pequeño.

Esto quiere decir que, si tenemos una resistencia en el paralelo que es menor que todo

el resto de las resistencias por 10 o más veces, entonces, ésta absorbe al resto y nos

podemos quedar sólo con la más pequeña. Ojo que para valores cercanos no aplica,

debe ser sobre 10 veces más pequeña, para que, al invertir el valor, sea el número

dominante.

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Por ejemplo, supongamos que se desea analizar el circuito siguiente, en donde se

requieren saber los valores de las corrientes I1 e I2.

Primero que todo, se puede apreciar que aparentemente se ve un circuito estrella, pero

si reacomodamos las resistencias, podemos apreciar que sólo son resistores en serie y

paralelo.

Si vemos las resistencias R7 y R8, notamos que al estar en serie y ser del mismo valor,

este se duplica, por lo tanto, la resistencia equivalente es de 10K Ω.

Por lo tanto, ahora esta resistencia queda en paralelo con otra del mismo valor, por ende,

dos resistencias en paralelo de igual valor, implica que la resistencia equivalente vale la

mitad.

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Nuevamente vemos que han quedado dos resistencias de igual valor en serie, por ende

la nueva resistencia equivalente vale el doble, es decir 10K Ω.

Nuevamente, dos valores en paralelo del mismo valor, implica que la nueva resistencia

equivalente vale la mitad.

Otra vez enfrentamos lo mismo, por lo tanto…

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Ahora, recordemos este circuito, pues nos permitirá calcular la corriente I2, ya que para

ello se requiere el voltaje sobre R2, que, al ver el circuito, notamos que es el voltaje entre

el paralelo de R2 y la nueva Req4, el cual podemos obtener la calcular la resistencia

equivalente entre ellas, que será la mitad del valor, pues son dos resistencias en paralelo

de igual valor.

La corriente I1 la podemos determinar inmediatamente, sabiendo que la resistencia

equivalente es la suma de ambas resistencias o en otras palabras, se obtiene de la

resistencia equivalente en serie de ambas resistencias. Por lo tanto…

𝐼1 =𝑉𝑓

𝑅1 + 𝑅𝑒𝑞5

Donde Vf es el voltaje de la fuente y ahora, si reemplazamos por los valores numéricos:

𝐼1 =12

10000= 0,0012 𝐴 = 1,2 𝑚𝐴

En el mismo circuito, si aplicamos divisor de tensión, el voltaje del paralelo se obtiene

de:

𝑉𝑅𝑒𝑞5=

𝑉𝑓 ∙ 𝑅𝑒𝑞5

𝑅1 + 𝑅𝑒𝑞5

Donde Vf es el voltaje de la fuente y al reemplazar los valores se tiene:

𝑉𝑅𝑒𝑞5=

12 ∙ 5000

10000=

60000

10000= 6 𝑉

Ahora, si analizamos este valor, es bastante lógico, pues el voltaje de la fuente, por ley

de Kirchhoff de voltaje, se divide en las dos resistencias y como ambas resistencias son

iguales, el valor se divide en dos, es decir 6 V para cada resistor.

Si volvemos al circuito anterior, se tiene que:

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De aquí se puede obtener I2, pues ya tenemos el valor de voltaje sobre R2, pues es el

valor del voltaje en paralelo, calculado recién, por ende:

𝐼1 =𝑉𝑅2

𝑅2=

𝑉𝑅𝑒𝑞5

𝑅2=

6

10000= 0,0006 𝐴 = 600 𝑢𝐴

Ahora, este valor también es deducible, pues la corriente que ingresa al nodo es de 1,2

mA y se divide entre dos resistencias de igual valor (R2 y Req4), por lo tanto, es lógico

que la mitad de la corriente pase por cada una, es decir 0,6 mA o, mejor dicho, 600 uA.

A continuación, veremos un circuito que ya es conocido por el lector, pues se desarrolló

a través de teoremas. Para este circuito, si se obtiene el Voltaje sobre R3, se puede

saber el valor de la corriente I3.

En esta ocasión utilizaremos la conversión de un circuito T a , o de estrella a triángulo,

utilizando la relación siguiente, pero sin tomar en cuenta el nombre de los resistores, sino

que la estructura de la relación, ya que en nuestro caso R1, R2 y R3, tienen otro orden

comparado al de la fórmula vista las semanas pasadas.

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Por lo tanto, al transformar el circuito se tiene:

De este circuito podemos saber la corriente que pasa por r1 y por r2, dado que:

𝐼𝑟1=

𝑉𝑟1

𝑟1=

5

3700= 1,35 𝑚𝐴

𝐼𝑟2=

𝑉𝑟1− (−𝑉𝑟3

)

𝑟2=

10

7800= 1,28 𝑚𝐴

Por lo tanto, la corriente por la fuente U1, será:

𝐼1 = 𝐼𝑟1+ 𝐼𝑟2

= 1,35 + 1,28 = 2,63 𝑚𝐴

Ahora, podemos volver al circuito original:

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El voltaje R1 será la corriente por la resistencia R1, es decir:

𝑉𝑅1 = 𝐼1 ∙ 𝑅1 = 0,00263 ∙ 1000 = 2,63 𝑉

Por lo tanto: 𝑉𝑅3 = 𝑈 − 𝑉𝑅1 = 5 − 2,63 = 2,37 𝑉

Y la corriente será:

𝐼3 =𝑉𝑅3

𝑅3=

2,32

2200= 1,077 𝑚𝐴

Valor similar al obtenido de los cálculos hechos en la semana 5, que, dependiendo el

método, daba 1,07 a 1,08 mA.

El lector, se puede percatar que, en palabras simples, sólo se utiliza la ley de Ohms y las

leyes de Kirchhoff para ir encontrando los valores desconocidos, luego de haber aplicado

alguna técnica de reducción, ya sea por resistencia equivalente o por conversión

delta/estrella.

Esta técnica se basa en verificar los datos conocidos del circuito y con ellos determinar

qué datos son los necesarios para calcular el parámetro que se requiere de la red y

reducir el circuito hasta poder encontrarlo. Es decir, me baso en que quiero, que tengo y

que me falta… cuando detecto lo que me falta, ese parámetro se convierte en mi nuevo

objetivo y aplico la misma regla, que tengo, que quiero y que me falta.

Por ejemplo, pensemos que se quiere calcular la corriente I del siguiente circuito.

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Lo que quiero es I, ¿Qué tengo? Los valores de las resistencias de las ramas, ¿Qué me

falta para saber I?, las corrientes de R1 y la corriente por la rama AB. Ya que con ello

aplico Ley de Kirchhoff de corriente y la corriente sería:

𝐼 = 𝐼𝑅1 − 𝐼𝐴𝐵

Y claramente para obtener la corriente IR1, debo reducir el circuito al punto de tener un

divisor de tensión con dos resistencias, pues saco también el voltaje VAB.

Comencemos, partiendo de la resistencia más lejana a la fuente:

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De aquí se puede calcular la corriente en R1,

como:

𝐼𝑅1 =𝑉𝑓

𝑅1 + 𝑅𝐸𝑞𝐴𝐵

=24

120 + 138=

24

258

𝐼𝑅1 = 0,09302 𝐴 ≈ 93,02 𝑚𝐴

El voltaje en los nodos A y B, se calcula del divisor de tensión como:

𝑉𝐴𝐵 =𝑅𝐴𝐵 ∙ 𝑉𝑓

𝑅1 + 𝑅𝐸𝑞𝐴𝐵

=138 ∙ 24

120 + 138

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𝑉𝐴𝐵 =3312

258= 12,84 𝑉

Por lo tanto, la corriente IAB, será:

𝐼𝐴𝐵 =𝑉𝐴𝐵

𝑅32=

12,84

194= 0,0661 𝐴 ≈ 66,1 𝑚𝐴

Y la corriente I, dijimos que será:

𝐼 = 𝐼𝑅1 − 𝐼𝐴𝐵 = 93,02 − 66,1 = 26,92 𝑚𝐴

Análisis de redes eléctricas por aplicación de leyes y teoremas eléctricos

Este tipo de análisis, en realidad, utiliza TODO lo sabido anteriormente, incluyendo lo

que se vio en el capítulo anterior.

Para esto, se aplica algún teorema o aplicación de éste para desarrollar una red eléctrica.

Por lo general se utiliza el teorema de superposición y los de conversión de fuentes, que

son aplicaciones de Thevenin y Norton.

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Por ejemplo, veamos un circuito ya conocido:

Esta vez, utilizaremos la conversión de fuentes, sabiendo que:

𝐼𝑛1 =𝑈1

𝑅1=

5

1000= 5 𝑚𝐴

𝐼𝑛2 =𝑈2

𝑅2=

5

4700= 1,06 𝑚𝐴

Ahora, simplificaremos el circuito para que se pueda aplicar el divisor de correinte, para

esto sumamos algebraicamente las corrientes, encontrando una In12, que será In1 menos

In2.

Por otro lado, dejamos una resistencia equivalente R12, que será la resistencia

equivalente en paralelo de R1 y R2.

De lo anterior se tiene:

Ahora, podemos aplicar el divisor de corriente y calcular directamente la corriente I3

como:

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𝐼3 =𝑅𝑒𝑞

𝑅3∙ 𝐼𝑛12 =

600

2200∙ 0,00394 = 0,00107 𝐴 = 1,07 𝑚𝐴

Mismo valor encontrado por los métodos anteriores.

Por lo tanto, hemos visto que una red eléctrica puede ser resuelta de muchas formas,

pero todas utilizan las leyes fundamentales, pero también se pueden usar teoremas o

configuraciones circuitales específicas, para simplificar los cálculos o saltarse pazos para

resolver la red en menos tiempo.

Conclusión

Como hemos visto en el texto de esta última semana, el conocimiento adquirido en el

curso, nos permite ver una red eléctrica de tal manera que podemos visualizar los valores

conocidos de las variables del circuito y de los valores desconocidos, podemos distinguir,

los que necesitamos obtener o queremos y los que nos hacen faltan para poder resolver

la red utilizando alguna de las leyes eléctricas.

De esta manera, podemos comenzar a analizar las redes eléctricas, tratando de

encontrar las variables que nos faltan para poder encontrar los valores que queremos

calcular. Por lo tanto, ahora, los parámetros que nos faltan se convierten en nuestras

nuevas incógnitas y para hallarlas, utilizaremos algún teorema eléctrico, alguna

reducción a través de la resistencia equivalente en circuitos mixtos o utilizando alguna

conversión de circuitos, ya sea por resistencia delta/estrella o conversión de fuente.

Por lo general estos métodos nos permiten visualizar siempre las variables del circuito,

de tal manera que fácilmente podemos volver a la red original y utilizar los valores

encontrados para poder resolver y encontrar el parámetro eléctrico que se requería.

La ventaja de realizar una análisis de una red eléctrica, empleando este tipo de técnicas,

es que no se pierde de vista el circuito original, la matemática utilizada es básica y se

limita a los más a resolver una regla de tres simple, ya que el realizar ecuaciones, puede

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ser complejo cuando hay muchas incógnitas y el uso de teoremas eléctricos genéricos

como superposición, Thevenin o Norton, implican también un análisis, que puede ser

bastante complejo y hacen que se pierda de vista la red original, lo que puede complicar

mucho a quien resuelve la red, por lo que los teoremas requiere de una expertica

bastante avanzada, que no se justifica, ya que con dicha pericia, es más fácil analizar la

red original.

.

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Bibliografía

Antonio Hermosa Donate (2000). Principios de Electricidad y Electrónica I. Barcelona:

Marcombo, S.A.

Albert Malvino, David J. Bates (2007). Principios de Electrónica. Madrid: McGraw-

Hill/Interamericana de Espña, S.A.U.

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