“Circuitos de Corriente Alterna” - tamarisco.datsi.fi...

Fundamentos Físicos y Tecnológicos de la Informática

Agustín Álvarez Marquina

Departamento de Arquitectura y Tecnología de Sistemas Informáticos

Universidad Politécnica de Madrid

- Tensión y corriente alterna. Funciones sinusoidales. Valores medio y eficaz. - Relación tensión corriente en los elementos de un circuito. Representación vectorial.

“Circuitos de Corriente Alterna”

Tensión y corriente alterna

Introducción. En este capítulo se va a estudiar la respuesta de los

circuitos lineales en régimen permanente sinusoidal (RPS).

Las fuentes de excitación tienen forma sinusoidal. Se puede considerar que llevan funcionando un tiempo

suficiente como para que el circuito esté en régimen permanente.

– Debe transcurrir un tiempo de funcionamiento hasta que la respuesta del circuito es debida exclusivamente a la excitación de los generadores sinusoidales.

» Las bobinas y condensadores son elementos capaces de almacenar energía.

2 Facultad de Informática, U.P.M.


Introducción. Las funciones sinusoidales constituyen la forma de

excitación más importante en los circuitos eléctricos. Ejemplos:

La energía eléctrica que llega a nuestras casas lo hace en la forma de una función sinusoidal.

En los sistemas de comunicaciones las señales portadoras son también sinusoides.

Pero además, en muchos otros casos las señales que aparecen pueden representarse como una combinación de funciones sinusoidales:

El movimiento de los planetas, la vibración de una cuerda, la propagación de la luz o del sonido, el movimiento de las mareas, etc.



Funciones sinusoidales. Representación de las funciones sinusoidales.

Las funciones sinusoidales están acotadas al rango [-1, +1] y se repiten cada t=2π/ω segundos (o equivalentemente cada ωt= 2π radianes).


)cos()()(sen)(

ttyttx

ωω

==

0 π/2ω

-1

-0.5

0

0.5

1

tπ/ω 3π/2ω 2π/ω−2π/ω −3π/2ω −π/ω −π/2ω

sen(ωt)

cos(ωt)

Figura. Representación de las funciones sinusoidales sen(ωt) y cos(ωt)


Funciones sinusoidales. Representación de las funciones sinusoidales.

Podemos comprobar que ambas funciones son realmente la misma pero desplazada en el tiempo:

– Es decir, el coseno está adelantado (ocurre antes), π/2 radianes (π/2ω segundos) respecto al seno.


)2/cos()(sen πωω −= tt

)2/(sen)(c πωω += ttos


Funciones sinusoidales. Expresión general de una función sinusoidal.

donde

A0, B0: valor de pico o valor máximo de la función.

ω : pulsación o frecuencia angular en rad/s. t: variable independiente (tiempo en s).

φ, ϕ : fase inicial en radianes.

(ωt+φ), (ωt+ϕ): fases instantáneas en radianes. 6 Facultad de Informática, U.P.M.

)(sen)( 0 ϕω += tAtx

)(c)( 0 φω += tosBty


Funciones sinusoidales. Diferencia de fases entre dos funciones sinusoidales.

Decimos que la función x(t)=sen(ωt+φ1) está adelantada (ocurre antes) respecto de la función y(t)=sen(ωt+φ2) cuando la diferencia entre las fases de x(t) e y(t) está comprendida entre 0 y π.

– Si la diferencia de fases obtenida es un valor entre -π y 0, entonces es la función y(t) la que está adelantada respecto a x(t).

– En el caso de que la diferencia de fases que obtengamos sea superior a π (o inferior a -π), bastará con restar (o sumar) a esa diferencia de fases un número entero de veces 2π de modo que esa diferencia esté comprendida entre -π y π.



Funciones sinusoidales. Simetría de las funciones sinusoidales.

Si nos desplazamos ωt=π radianes en cualquiera de las funciones sen(ωt) y cos(ωt), aparece esa misma función invertida.

Este hecho se refleja en las siguientes igualdades:


)(sen)(sen tt ωπω −=±

)(c)(c tostos ωπω −=±


Funciones sinusoidales. Propiedades de periodicidad.

Las funciones sinusoidales tienen una propiedad muy importante: son funciones periódicas.

– Si se desplaza la función un cierto valor de la variable independiente, se vuelve a observar exactamente la misma función.

De forma general podemos decir que la función y=f(t) es periódica de periodo T si:


enteronytnTtftf ∀∀+= )()(


Funciones sinusoidales. Periodo de una señal T.

Es el desplazamiento en el tiempo que debemos realizar para observar los mismos valores de la señal.

– Al menor valor positivo de T que cumple la condición anterior se le denomina periodo fundamental.

– En el caso de las funciones sinusoidales tendremos:


( )

)(22

)(2)(c)(c 00

sTT

TttTtosAtosA

ωπωπ

ϕωπϕωϕωϕω

=⇒=

++=++++=+


Funciones sinusoidales. Frecuencia de una señal f.

Es el número de veces por segundo que se repite la función.

Es la inversa del periodo y se mide en ciclos por segundo (hercios o Hz).

» Es habitual referirse a la pulsación ω como frecuencia, si

bien, en sentido estricto, la pulsación se mide en radianes por segundo y la frecuencia en hercios.

» Relación: ω=2πf


)(1 HzT

f =

πω2

1==

Tf


Funciones sinusoidales. Valor medio una señal y(t)=A0 sen(ωt+φ).

Valor eficaz de una señal y(t)=A0 sen(ωt+φ).


0=y⇒∫=T

dttyT

y0

)(1

[ ]∫=T

ef dttyT

y0

22 )(1 ⇒20Ayef =


Funciones sinusoidales. Corriente y tensión sinusoidales.

Uno de los casos más frecuentes que nos podemos encontrar en un circuito lineal es aquél en el que los generadores tienen una expresión sinusoidal.

– En este caso, lo más habitual será caracterizarlos a través de su pulsación ω (rad/s), además de por el valor de la amplitud de la tensión o corriente que proporcionen y de la fase de la señal que estén generando.

Sabemos que la pulsación y la frecuencia están relacionadas de la siguiente forma:


fπω 2=


Funciones sinusoidales. Corriente y tensión sinusoidales.

Por tanto, la expresión de una tensión o corriente de tipo sinusoidal será:

– Donde V e I son los valores máximos de la tensión y de la corriente, ω es la pulsación del generador y φ es la fase.

» En este ejemplo hemos utilizado la función seno, pero podríamos haber empleado la función coseno, ya que como acabamos de ver ambas son la misma función desplazada π/2 radianes (90º).


)(sen)( ϕω += tVtv

)(sen)( ϕω += tIti


Funciones sinusoidales. Otras propiedades de las funciones sinusoidales.

Las funciones sinusoidales tienen además otras dos propiedades que van a facilitar el estudio de los circuitos lineales:

» Tanto la derivada como la integral de una función sinusoidal son otra función sinusoidal de la misma frecuencia.

» La suma de dos funciones sinusoidales de la misma frecuencia es otra función sinusoidal de igual frecuencia.



Funciones sinusoidales. Integración de una función sinusoidal.

El efecto que se produce al integrar una función sinusoidal es el de dividirla por la pulsación ω y desfasarla un ángulo φ=-π/2 radianes.


( ) )2/(sen1)cos(1)(sen πωω

ωω

ω −=−=∫ ttdtt

( ) )2/cos(1)(sen1)cos( πωω

ωω

ω −==∫ ttdtt


Funciones sinusoidales. Diferenciación de una función sinusoidal.

El efecto que se produce al derivar una función sinusoidal es multiplicarla por la pulsación ω y desfasarla un ángulo φ=π/2 radianes.


( )2/sen)cos()(sen πωωωωω+== tt

dttd

( )2/c)(sen)cos( πωωωωω+=−= tost

dttd

Relación tensión corriente en circuitos de corriente alterna

Circuito puramente resistivo. Consideremos que la tensión de la fuente es:

Aplicando las leyes de Kirchhoff

Por la ley de Ohm, la tensión en la resistencia será:

Por tanto:

Siendo:


R

+ V vR

+

-

i(t)

tVtv ωcos)( 0=

tVtvvR ωcos)( 0==

iRvR = ⇒ tItR

VRvi R ωω coscos 0

0 ===

tIti ωcos)( 0=

RV

I 00 = RvRIV == 00⇒


Circuito puramente resistivo. Representación gráfica

La corriente y la tensión están en fase.


3π 2ω

2π ω

vR(t)

π ω

t

V0 I0

π 2ω 0

Diagrama vectorial

ωt

i(t)

V0 I0 ω

vR(t)


Circuito puramente capacitivo. Tomamos:

Sabemos que:

Derivando respecto al tiempo:

– Donde:


tVtv ωcos)( 0=

)(1 tqC

vC =

dtdq

CdtdvC 1

= ⇒

+ V vC

+

-

i(t) C

dtdvCti C=)(

vvC =


Circuito puramente capacitivo. La corriente que se establecerá en el circuito será:

Por tanto:


( ) )2/cos(cos)( 000 πωωωωω +=−== tCVtsenCVtVdtdCti

)2/cos()( 0 πω += tIti

CIVX C ω

1

0

0 ==

CC XIVV 00 ==⇒

+ V vC

+

-

i(t) C

Definiremos como reactancia capacitiva a:


Circuito puramente capacitivo. Representación gráfica

La corriente se adelanta π/2 respecto a la tensión (o la tensión se retrasa π/2 respecto a la corriente).


Diagrama vectorial

3π 2ω

2π ω

vC(t)

π ω

V0 I0

π 2ω 0 t

ωt

i(t)

V0= I0 XC= vC I0

vC(t)

ωt+π/2 ω


Circuito puramente inductivo. Tomamos: En todo momento se cumplirá:

La relación entre la corriente y la tensión en una

inductancia es:

Integrando:


tVvvL ωcos0==

dtdiLvL =

L +

V vL +

-

i(t)

⇒ didtvL L =1

∫=t

dttVL

ti0

0 )cos(1)( ω

tVtv ωcos)( 0=


Circuito puramente inductivo.

Finalmente:


)2/cos()( 0 πω −= tIti

LIVX L ω==

0

0

LL XIVV 00 ==⇒

Definiremos como reactancia inductiva a:

L +

V vL +

-

i(t)

)2/cos()()( 00 πωω

ωω

−== tL

VtsenL

Vti


Circuito puramente inductivo. Representación gráfica

La corriente se retrasa π/2 respecto a la tensión (o la tensión se adelanta π/2 respecto a la corriente).


Diagrama vectorial

ωt i(t)

V0= I0 XL= vL

I0

vL(t) ωt-π/2

ω

3π 2ω

2π ω

vL(t)

π ω

V0 I0

π 2ω 0 t


Circuito RLC. Tomamos: La corriente que se establecerá en el circuito tendrá la

forma de:

Las tensiones que provocará esta corriente en los elementos pasivos será:

– En la resistencia:

» donde:


)cos()( 0 θω −= tIti

tVtv ωcos)( 0=

iRvR = ⇒ )cos(0 θω −= tRIvR

RIvR 0=

L +

V vL +

-

i(t)

vC + -

C

R

vR + -


Circuito RLC. – En la inductancia:

» donde:

– En la capacidad:

» donde: Observando el circuito , sabemos que en todo momento

se deberá de cumplir:


dttdiLvL)(

= ⇒ )2/cos(0 πθω +−= tXIv LL

LL XIv 0=

∫= dttiC

vC )(1 ⇒ )2/cos(0 πθω −−= tXIv CC

CC XIv 0=

LCR vvvv ++=


Circuito RLC. Diagrama vectorial.


ωt

V0 ω

VL=I0 XL

VC=I0 XC

ωt-θ θ I0 R

I0

I0 (XL–XC)= = I0 X= vL-vC


Circuito RLC. Si la anterior suma de tensiones la realizamos por

medio del diagrama vectorial, podemos destacar un triángulo rectángulo:

Donde X es la reactancia del circuito:

– Si X>0 predomina el carácter inductivo (XL>XC) – Si X<0 predomina el carácter capacitivo (XL<XC)


CL XXX +=C

LXω

ω 1−=⇒

V0

θ I0 R

I0 (XL–XC)= I0 X I0Z


Circuito RLC. Definamos como impedancia del circuito a:

Triángulo de la impedancia:

θ es el ángulo que se retrasa la corriente del circuito respecto a la tensión de la fuente.


22 XRZ +=

RC

L

RXX

RXtg CL ω

ωθ

1−

=−

==

⇒0

0

IVZ = ZIV 00 =

θcosZR =

θZsenXXX CL =−=

⇒ V0

θ R

(XL–XC)= X Z

Notación compleja

Un número complejo se puede representar de las siguientes formas: Forma algebraica:

Forma trigonométrica:

Forma polar:

Forma exponencial:

Siendo…


jbaA +=ˆ

( )θθρθρθρ jsensenjA +=+= coscosˆ

θρ∠=Aθρ jeA =ˆ

1−=j22 ba +=ρ

abtg =θ

θ a

ρ b

Eje real

Eje imaginario

j

Notación compleja

Fórmulas de Euler:

Para el caso de θ=π/2


je j +=2π

θ a

ρ b

Eje real

Eje imaginario

j

θθθ jsene j −=− cos

θθθ jsene j += cos

je j −=− 2π

Notación compleja

Para trabajar numéricamente con los circuitos de corriente alterna se utiliza la notación exponencial compleja.

Razones: Derivar una función exponencial equivale a la misma

exponencial multiplicada por jω (adelantar 90º).

Integrar una función exponencial equivale a la misma exponencial dividida por jω (retrasar 90º).


Notación compleja

Transformación de las expresiones de tensiones y corrientes a notación exponencial compleja.


Notación real Notación exponencial compleja

Notación fasorial

tVv ωcos0= º000ˆ jtjtj eeVeVv ⋅== ωω º0

00 º0ˆ jeVVV =∠=

)cos(0 θω −= tIi θω jtj eeIi −⋅= 0ˆ º

00ˆ θθ jeIII −=−∠=

)cos(0 θω −= tRIvR

)2cos(0 πθω +−= tIXv LL

)2cos(0 πθω −−= tIXv CC

iZiReIv Rjtj

RˆˆˆReˆ 0 ==⋅= θω

iZijXeeeIXv LLjjtj

LLˆˆˆˆ 2

0 =+=⋅⋅= +− πθω

iZijXeeeIXv CCjjtj

CCˆˆˆˆ 2

0 =−=⋅⋅= −− πθω

IRRIIV jR

ˆReˆ00 =−∠== − θθ

IjXIjXeIjXV LLj

LLˆˆ

00 =−∠== − θθ

IjXIjXeIjXV CCj

CCˆˆ

00 =−∠−=−= − θθ

20VVef = 2

0IIef =;

Impedancia compleja

Se define como:

Por tanto:

Siendo:


θθθθ

jZeZIV

IV

iv

IVZ =∠=∠=

−∠∠

=== ººº

º0ˆˆ

ˆˆˆ

0

0

0

0

( ) jXRjsenZZeZ j +=+== θθθ cosˆ

θcosZR =

θsenZX =

Impedancia compleja

Por tanto:

donde:


∑=++=−+=i

iCLRCL ZZZZjXjXRZ ˆˆˆˆˆ

RZR =ˆ

LjjXZ LL ω==ˆ

CjjXZ CC ω

1ˆ −=−=

“Circuitos de Corriente Alterna” - tamarisco.datsi.fi...

Documents

Transcript of “Circuitos de Corriente Alterna” - tamarisco.datsi.fi...