Circuitos de Corriente Continua

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CAPITULO 1 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA La ingeniería eléctrica se preocupa de la conversión de otras formas de energía en energía eléctrica, de su transmisión y distribución y de su control y reconversión para su utilización última. La energía eléctrica no es generalmente útil al final por sí misma; más bien, para su utilización es convertida en energía mecánica por motores y relays; en energía calórica por hornos y estufas; en energía acústica por parlantes; en energía luminosa por lámparas y ampolletas; o en energía química por procesos electrolíticos. La energía eléctrica es fácilmente convertible, es fácil de controlar y económicamente conveniente para su transmisión a largas distancias. El estudio de la ingeniería eléctrica es el estudio de los dispositivos usados en la conversión y transmisión, con particular énfasis en las características internas requeridas para obtener los comportamientos externos deseados. En este capítulo definiremos los conceptos básicos necesarios introduciéndonos a la teoría de circuitos, a través de los circuitos de corriente continua. 1.1. UNIDADES ELECTRICAS BASICAS La unidad más elemental de electricidad es la Carga Eléctrica. Las cargas pueden ser positivas (un protón) o negativas ( como un electrón) En el sistema mks la carga se mide en Coulomb. Por ejemplo, la carga de un electrón es igual a 1,591*10 -10 coulomb. En consecuencia, se requieren alrededor de 6,2*10 18 electrones para llegar a tener una carga de 1 coulomb. La presencia de cargas eléctricas da lugar de la aparición de fuerzas en la región que las rodea. Específicamente, dos cargas de igual signo se repelen y dos cargas de distinto signo se atraen, con una fuerza JGL 1

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CAPITULO 1CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

La ingeniería eléctrica se preocupa de la conversión de otras formas de energía en energía eléctrica, de su transmisión y distribución y de su control y reconversión para su utilización última. La energía eléctrica no es generalmente útil al final por sí misma; más bien, para su utilización es convertida en energía mecánica por motores y relays; en energía calórica por hornos y estufas; en energía acústica por parlantes; en energía luminosa por lámparas y ampolletas; o en energía química por procesos electrolíticos.

La energía eléctrica es fácilmente convertible, es fácil de controlar y económicamente conveniente para su transmisión a largas distancias.

El estudio de la ingeniería eléctrica es el estudio de los dispositivos usados en la conversión y transmisión, con particular énfasis en las características internas requeridas para obtener los comportamientos externos deseados. En este capítulo definiremos los conceptos básicos necesarios introduciéndonos a la teoría de circuitos, a través de los circuitos de corriente continua.

1.1. UNIDADES ELECTRICAS BASICAS

La unidad más elemental de electricidad es la Carga Eléctrica. Las cargas pueden ser positivas (un protón) o negativas ( como un electrón) En el sistema mks la carga se mide en Coulomb. Por ejemplo, la carga de un electrón es igual a 1,591*10-10 coulomb. En consecuencia, se requieren alrededor de 6,2*1018 electrones para llegar a tener una carga de 1 coulomb.

La presencia de cargas eléctricas da lugar de la aparición de fuerzas en la región que las rodea. Específicamente, dos cargas de igual signo se repelen y dos cargas de distinto signo se atraen, con una fuerza que es directamente proporcional al producto de la magnitud de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de su separación. (Ley de Coulomb). Este efecto se describe diciendo que existe un campo de fuerza en la vecindad de la carga; a este campo de fuerza se le llama Campo Eléctrico.

Expresado en forma cuantitativa

(1-1)

Donde: k = Constante del medio donde se encuentren las cargas (Si el medio es el vacío, su valor es 9*109)

r = Distancia en metros, entre las cargas. Q1 y q2 = Cargas eléctricas en [Coulomb]

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En todo caso, estamos más interesados en el movimiento de cargas que en cargas

estacionarias, ya que las cargas deben moverse para producir la transferencia de energía. Particularmente estamos interesados (aunque no exclusivamente) en aquellas situaciones donde el movimiento está confinado a un camino definido formado por materiales tales como cobre y aluminio, que son buenos conductores de electricidad. Por el contrario, otros materiales, tales como la porcelana, la mica, el vidrio, el aire bajo ciertas condiciones, son muy pobres conductores. Ellos son llamados Aisladores y son usados para confinar la electricidad a un camino específico. Estos caminos son llamados Circuitos.

Se define como la intensidad de corriente o simplemente corriente eléctrica, a la cantidad de carga que pasa por una sección transversal de un material por unidad de tiempo. La unidad de corriente es el Amper; un amper es el paso de una carga de 1 coulomb en 1 segundo. Expresada cuantitativamente:

amp

(1-2)

Entonces

coulombs (1-3)

donde q es la carga que fluye en t segundos

La corriente tiene dirección y sentido. La dirección de la corriente es la dirección en que fluyen las cargas positivas, es decir opuesta a la dirección del flujo de los electrones.

El movimiento de las cargas eléctricas está relacionado con el cambio de energía. La Diferencia de Potencial entre dos puntos a y b en un circuito, es el trabajo o energía asociada con la transferencia de una unidad positiva de carga (1 coulomb), desde un punto al otro. En unidades mks, el trabajo o energía por unidad de carga es medida en volts. La energía asociada con el movimiento de una carga q a través de una diferencia de potencial de e volts es

joules, o watt – seg (1-4)

Si se ha realizado trabajo en una unidad de carga y consecuentemente su energía potencial aumenta al ir desde a a b, entonces existe una subida de tensión (voltaje) en la dirección de a a b. En el sentido inverso, existe una caída de tensión (voltaje) en la dirección de b a a cuando una unidad de carga positiva pierde energía potencial al ir de b a a. Una diferencia de potencial asociada con una fuente de energía eléctrica (como por ejemplo una batería) se le llama fuerza electromotriz. ( abreviada fem).

Cuando hay corrientes en un circuito, aparece otro tipo de campo de fuerzas en la vecindad del circuito. Este campo, llamado, campo magnético, existe simultáneamente con el campo eléctrico causado por las cargas. Es capaz de producir fuerzas en otros elementos que llevan corriente o en pedazos de fierro. Cuando la corriente que lo causa cambia en el tiempo, crea voltajes en circuitos vecinos, que son llamados tensiones o voltajes inducidos,.

La Potencia, o la razón a la cual la energía es transferida, es el cambio de energía por unidad de tiempo. Es decir

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Si la corriente y la tensión son funciones del tiempo, la energía total transferida en un intervalo de tiempo t, puede ser expresada como

watts – seg, o joules

(1-6)

Cuando e e i son constantes, con valores E e I (independientes del tiempo), la energía transferida en un intervalo de tiempo t es

joules (1-7)

La tabla 1-1. Resumen de unidades eléctricasVariableEléctrica

Símbolo Unidad(Sistema mks)

Ecuación Relacionada

Carga q, Q CoulombCorriente i, I Amper i = dq/dtDiferencia de Potencial, Voltaje o Tensión

e, E o v, V

Volt e = W/q

Potencia p, P Watt p = eiEnergía o Trabajo W Joule o watt – seg W = eq ,o

1.2 ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS

Los circuitos eléctricos pueden definirse como caminos cerrados o continuos, en las que quedan confinadas las corrientes eléctricas, que puedan hacerse circular. En los circuitos eléctricos la corriente circula solo por conductores. Esto contrasta con los campos eléctricos, que dan lugar a fenómenos eléctricos distribuidos en el espacio y el medio que los rodea.

Los circuitos eléctricos pueden descomponerse en partes o elementos, que constituyen entidades independientes y poseen dos terminales y un camino conductor. Los elementos de circuito pueden clasificarse de numerosas formas. A veces es útil clasificarlos, según si convierten o inducen energía eléctrica en el circuito o no. Un elemento activo es el que suministra energía eléctrica al circuito (Baterias y Generadores) . Un elemento pasivo, no suministra energía eléctrica al circuito. Un elemento activo es un transductor. Convierte la energía mecánica, luminosa, calórica, etc., en energía eléctrica. En los circuitos se precisa al menos un elemento activo si la corriente ha de circular por él de modo indefinido.

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watts, o joules/seg (1-5)

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Los elementos activos de circuitos son fuentes de energía eléctrica y los elementos

pasivos o bien la almacenan o la convierten en otras formas de energía. Los elementos pasivos, son entonces dispositivos que almacenan la energía o transductores.

El principio de la conservación de la energía debe cumplirse también en los circuitos eléctricos. Toda la energía que se convierta en eléctrica debe almacenarse como energía eléctrica o convertirse en otra forma de energía.

ELEMENTOS ACTIVOS. FUENTES IDEALES

Fuentes ideales de voltajeUna fuente ideal de voltaje es un dispositivo eléctrico que genera un voltaje prescrito entre sus terminales. La capacidad de una fuente de voltaje ideal para generar su voltaje de salida no se afecta por la corriente que debe suministrar a otros elementos del circuito. Otra forma de presentar la misma idea, se muestra a continuación:

Una fuente ideal de voltaje suministra un voltaje prescrito a través de sus terminales, independientemente de la corriente que fluye por ella. El circuito conectado a la fuente determina la cantidad.de corriente que suministra la fuente. i

La figura 2.9 muestra los símbolos con los cuales se representan las fuentes de voltaje que se utilizan a través del libro. Obsérvese que el voltaje de salida de una fuente ideal puede ser una función del tiempo. En general, las notaciones de la figura se emplearán en este libro, si no se indica lo contrario. Una fuente de voltaje genérica se denominará por la letra minúscula v. Si es necesario enfatizar que el voltaje producido por la fuente varía con el tiempo entonces, se utilizará la notación v(t). Finalmente, una fuente de voltaje constante, corriente directa o CC, se indicará con la letra en mayúscula V. Nótese que por medio de esta convención la dirección de una corriente positiva es la de salida de ésta, de la fuente de voltaje por el terminal positivo.

La noción de una fuente ideal de voltaje se aprecia mejor dentro del contexto de la representación fuente-carga de los circuitos eléctricos, lo cual se mencionará frecuentemente en este libro. La figura 2.10 presenta la conexión de una fuente de energía con un circuito pasivo (un circuito que puede absorber y disipar. Las tres diferentes representaciones permiten ilustrar el significado conceptual, simbólico y físico del concepto fuente-carga.

En el análisis de los circuitos eléctricos, se escoge la aproximación suministrada por los elementos ideales del circuito de la figura 2.10(b) para representar la realidad física de la figura

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2.10( c).

Fuentes ideales de corrienteUna fuente ideal de corriente es un dispositivo que puede generar una corriente prescrita, independientemente del circuito al cual está conectada. Para lograrlo, debe generar un voltaje arbitrario entre sus terminales. La figura 2.11 es el símbolo utilizado para representar las fuentes ideales de corriente. Por analogía con la definición de la fuente de voltaje ideal establecida en la sección anterior, se puede escribir:

Una fuente ideal de corriente suministra una corriente prescrita a cualquier circuito conectado a ella. El circuito conectado a la fuente determina el voltaje generado por ella.

Para denominar las fuentes de corriente se usará la misma convención de mayúsculas y minúsculas utilizada en las fuentes de voltaje.

Fuentes dependientes ( controladas)

Hasta el momento se han descrito fuentes con la capacidad para generar un voltaje prescrito o una corriente prescrita, independientemente de cualquier otro elemento en el circuito. Por eso, se denominan fuentes independientes. Sin embargo, existe otra categoría de fuentes cuya salida (corriente o voltaje) es una función de otro voltaje o de otra corriente en el circuito. Éstas se llaman fuentes dependientes (o controladas). Se utiliza un símbolo diferente, en forma de diamante, para representar las fuentes dependientes y así distinguidas de las fuentes independientes. La figura 2.12 presenta los símbolos típicos para representar las fuentes dependientes; la tabla ilustra la relación entre el voltaje o la corriente de la fuente y el voltaje o lacorriente de la cual depende -vx o ix respectivamente - las cuales pueden ser cualquier voltaje o corriente en el circuito.

Las fuentes dependientes son muy útiles para describir cierto tipo de circuitos electrónicos.

ELEMENTOS PASIVOSEn un circuito eléctrico existen tres tipos de elementos pasivos, según la forma como se

interrelacionan la tensión y la corriente en ellos

1. En un tipo de elemento de circuito, la corriente que fluye a través de él es directamente proporcional a la tensión entre sus extremos. A la constante de proporcionalidad se le llama Resistencia. Esta constante de circuito, o parámetro, está íntimamente relacionada con la disipación de energía del circuito en forma de calor.

2. En otro tipo de elemento la tensión entre sus terminales es directamente proporcional a la velocidad de variación de la corriente por unidad de tiempo. A la constante de

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proporcionalidad se le llama Inductancia. Este parámetro de circuito está íntimamente relacionado con el campo magnético del circuito.

3. En el tercer tipo de elemento de circuito la tensión es proporcional a la integral en el tiempo de la corriente. Al recíproco de la constante de proporcionalidad se le llama Capacidad. Este parámetro de circuito está íntimamente relacionado con el campo eléctrico del circuito.

En la figura 1.2 se representan diversos circuitos eléctricos. Como elemento activo, es decir como fuente de energía eléctrica en el circuito, se indica una batería. Cada uno de los rectángulos representa un elemento del circuito a través del cual circula la corriente. La fig. 1.2.a indica un circuito que se denomina circuito serie, ya que la corriente circula sucesivamente a través de cada uno de los elementos completando un circuito cerrado. La fig.1.2.b indica un circuito paralelo; la corriente I de este circuito se divide en las corrientes I1 e I2 que circulan a través de las dos ramas en paralelo. Los circuitos pueden estar constituidos por combinaciones de elementos, tanto serie, como paralelo. Tales circuitos se denominan normalmente Redes. La fig.1.2.c, es un ejemplo de una red, con una fuente de energía eléctrica y varias ramas de elementos en serie y en paralelo. La unión entre dos o más ramas se llama nudo; las uniones señaladas con a en las fig.1.2 a, b y c, son ejemplos de nudos.

Cuando una tensión es aplicada repentinamente a un circuito, la corriente tomará un valor final después de un tiempo y el circuito alcanzará una situación estable llamada Estado Estacionario. El estado estacionario no es alcanzado inmediatamente, existiendo un período a la partida en que la corriente se va ajustando. Este periodo inicial de ajuste se llama Período Transiente. Estudiaremos primero el comportamiento de los circuitos en estado estacionario.

1.3 RESISTENCIA; LEY DE OHM’S.

En el primer tipo de elemento de circuito mencionado en la sección anterior, la corriente que circula por él es directamente proporcional a la tensión entre sus terminales. Expresado cuantitativamente

volts (1-8)

donde i es la corriente en amperes. La constante de proporcionalidad R es la Resistencia del elemento y es medida en ohms. El elemento toma su nombre y es llamado Resistencia. La relación expresada en la ecuación (1-8) es conocida como la ley de Ohm.

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Ya que una carga eléctrica entrega energía al pasar por la resistencia, la tensión e de la

ecuación (1-8) es una caída de tensión en la dirección de la corriente. Alternativamente, e es una subida de tensión en la dirección opuesta a la corriente. El diagrama convencional de representación de la resistencia, junto con la designación de la dirección de la corriente y la polaridad de la tensión se muestran en la figura 1.3. Los signos más y menos indican una caida de tensión desde la izquierda a la derecha; en sentido contrario indica una subida de tensión desde la derecha a la izquierda.

La potencia disipada por la resistencia puede ser determinada por la Ec. (1-5) combinada con la Ec.(1-8).

watts (1-9)

o, wats

La perdida de energía en un tiempo t está dada por la ecuación (1-6).

La resistencia de un conductor eléctrico es directamente proporcional a su largo, inversamente proporcional a su sección transversal y es función del material del que está hecho. La Resistividad del material conductor, es la resistencia de un volumen de sección y largo unitarios. En el sistema mks la resistividad esta expresada en ohms por metro cuadrado por metro. La resistencia de un conductor de resistividad ρ, largo l y área A es

(1-10)

La resistencia del material conductor es dependiente también de la temperatura del material. Puede ser demostrado experimentalmente que la resistencia R2 de un conductor a la temperatura centígrada t2, en términos de su resistencia R1 a la temperatura t1, está dada por

(1-11)

siendo α1 el coeficiente de temperatura de la resistencia del material a la temperatura t1. Para cobre anódico estándar, una ecuación empírica conveniente es

(1-12)

Las ecuaciones (1-11) y (1-12) son usadas frecuentemente para determinar el aumento de temperatura con medidas de la resistencia en caliente y fría.

Para el cobre anódico estándar, la resistividad ρ a 20° C es 0,017241 μohms-m (1 μohm = 10-6 ohm). El coeficiente de temperatura α a 20° C es 0,00393.

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Todos los conductores eléctricos disipan calor cuando llevan corriente. La cantidad de

calor que puede disipar con seguridad está determinada por la temperatura máxima permitida para el conductor.

1.4 LA INDUCTANCIA

Consideremos ahora el elemento de circuito caracterizado por presentar una tensión entre sus terminales proporcional a la velocidad de variación de la corriente. Esta característica puede expresarse como

volts (1-13)

donde K es una constante independiente del valor de la tensión o de la corriente. En ciertas condiciones (presencia de hierro en las proximidades del elemento de circuito), K es una función de i (o v) y no es constante.

Como ejemplo de elemento de circuito representado por la Ec.(1-13), consideremos una inductancia constituida por una bobina de alambre con núcleo de aire y resistencia cero. La bobina tiene dos terminales y la tensión en ellos está dada por la citada ecuación, con K independiente de la corriente i que circula por la bobina Si la corriente de la Ec.(1-13) circula a través de los terminales entre los que se observa una diferencia de potencial v, la constante se denomina coeficiente de autoinducción utilizándose para K el símbolo L. La relación entre la tensión y la corriente será entonces

volts (1-14)

siendo v e i los indicados en la Fig.1.4a . La Ec.(1-14) da el valor de la tensión entre los terminales de la inductancia, pero se precisa más información para determinar el sentido de la tensión. A la Ec.(1-30) debemos añadir la ley de Lenz, que establece que el sentido de la tensión inducida es tal que tiende a oponerse a la variación de la corriente. Así, en la Fig.1.4a, si la corriente i aumenta, la tensión v tendrá la polaridad indicada por los signos + y -, a fin de oponerse a que aumente la corriente en la inductancia.

La tensión y la corriente de la Ec.(1-13) no necesitan ser comunes a un único par de terminales, como indica la Fig.(1.4a). Si entre dos circuitos existe inducción mutua, la tensión v de la Ec. (1-13) es debida a la variación de la corriente en la otra rama del circuito. Esto está indicado en la Fig. 1.4b, en que la tensión v1 entre los terminales de la izquierda es debida a la corriente i2 que circula entre los terminales de la derecha. Este efecto, conocido como inducción mutua, está expresado por la siguiente ecuación

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volts

(1-15)

Las Ecs.(1.14) y (1.15) definen la autoinducción y la inducción mutua en función de las variables tensión y corriente. En estos casos está presente un campo magnético. Recuerde que una carga eléctrica en movimiento lleva asociado un campo magnético. Si consideramos ahora que la corriente cambia, el campo magnético cambiará también y el flujo magnético variable que rodea las espiras de la bobina induce en esta forma una fuerza electromotriz. Esta es la tensión v que figura en las Ecs.(1-14) y (1-15) expresada en función de la corriente.

El coeficiente de autoinducción L es una función de las características y las dimensiones de la bobina. Si no está presente ningún material magnético como hierro, cobalto o níquel, una ecuación empírica que da el valor de la inductancia es

henrios (1-16)

en la que N es el número de espiras, A la sección recta en metros cuadrados, l la longitud de la bobina en metros, d su diámetro en metros y la constante 410-7, denominada permeabilidad del espacio libre. Esta ecuación es bastante exacta para bobinas largas, pero su exactitud disminuye rápidamente cuando la longitud de la bobina es inferior a la mitad del diámetro. La Fig. (1.5) define las magnitudes l, d y A de la Ec. (1-5).

Hagamos ahora algunas consideraciones sobre la energía almacenada en una inductancia. Una inductancia perfecta no tiene resistencia y, por lo tanto, cualquier energía que fluya en ella será almacenada en el campo magnético que la rodea. Como la energía es la integral de la potencia respecto al tiempo, durante el intervalo desde t = 0 hasta el instante t, la variación de energía será

(1-17)

Sustituyendo la Ec.(1-14) en la Ec.(1-17) se obtiene, con i = 0 para t = 0.

(1-18)

1.5 LA CAPACIDAD

Si la tensión entre los terminales de un elemento de circuito es proporcional a di/dt, el elemento es una inductancia ideal. Por el contrario, si la tensión entre los terminales es proporcional a la integral de la corriente respecto al tiempo, el elemento de circuito es un

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condensador ideal. Más específicamente, la tensión entre los terminales de un condensador en instante t esta dada por

volts (1-19)

Siendo V0 la tensión para t = 0. La constante C se denomina Capacidad.

Si derivamos los dos miembros de la Ec. (1-19) respecto al tiempo y despejamos i, se obtiene

amp (1-20)

Como expresiones de la relación de dependencia entre la tensión y la corriente en una capacidad, las Ecs. (1-19) y (1-20) son equivalentes.

Recordando que según la Ec. (1-2),

amps

podemos despejar q multiplicando los dos miembros por dt e integrando; la ecuación resultante es

coulombs (1-21)

siendo Q0, la constante de integración, igual a la carga existente en el condensador en el instante t = 0. Sustituyendo la Ec. (1-21) en la Ec. (1-19), se obtiene

volts (1-22)

siendo q la carga total instantánea y v la tensión instantánea en el condensador. La tensión para t = 0 es

volts (1-23)

En el sistema de unidades mks, con v en volts y q en coulombs, la unidad de capacidad es el faradio. Unidades menores y más prácticas son el microfaradio (10-6 faradios), abreviadamente F, y el micromicrofaradio o picofaradio (10-12 faradios), abreviadamente F o pF.

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Un condensador constituido por dos placas conductoras planas y paralelas separadas una

pequeña distancia d por un aislador (dieléctrico), tiene una capacidad de

faradios (1-24)

siendo A el área de las placas en metros cuadrados, d la separación entre ellas en metros, que es igual al espesor del aislador y es una constante, llamada constante dieléctrica, que depende del tipo de aislador utilizado.

La energía almacenada en un condensador puede calcularse integrando la potencia respecto al tiempo. Suponiendo que la carga es cero para t = 0,

joules o Watts-seg

Sustituyendo i dada por la Ec. (1-20), se obtiene que

joules

Si se cambia la variable de integración de tiempo a tensión,

joules

con lo que,

joules (1-25)

Por lo tanto, la energía almacenada en un condensador es proporcional al producto del cuadrado de la tensión por la capacidad C.

1.6 LEYES FUNDAMENTALES DE LOS CIRCUITOS; LEYES DE KICHHOFF

Dos leyes establecidas por Kirchhoff son extremadamente útiles en la resolución de los problemas sobre circuitos eléctricos:

Ley de las corrientesEn cualquier instante, la suma algebraica de todas las corrientes que concurren en un nudo de un circuito es cero. O, en cualquier instante, la suma de las corrientes que llegan al nudo de un circuito es igual a la suma de las que salen.

Ley de las tensionesEn cualquier instante, la suma algebraica de las tensiones alrededor de un camino cerrado de un circuito eléctrico es cero. En otras palabras, la suma de las subidas de tensión alrededor de cualquier camino cerrado, debe ser igual a la suma de las caídas de tensión.

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Las leyes de Kirchhoff establecidas anteriormente se aplican a los valores instantáneos de la tensión y de la corriente y son ciertas tanto si las tensiones y las corrientes del circuito son constantes como si varían en el tiempo. Algunas veces se establecen en la forma

∑ i = 0(1-26)

∑ v = 0

que poseen el mismo significado que lo enunciado anteriormente con palabras.

Al aplicar las leyes de Kirchhoff, debe, debe asignarse un signo algebraico a cada tensión y a cada corriente para indicar su sentido. En cualquier instante, la corriente tiene tanto intensidad como sentido. Para escribir las ecuaciones correspondientes a la ley de corrientes de Kirchhoff, es preciso definir un sentido como sentido positivo de circulación de la corriente. Al establecer este sentido positivo, no se establece el sentido real de circulación de la corriente. Ciertamente, en algunos circuitos la corriente es periódica e invierte periódicamente en sentido. Lo que realmente se establece es que si la corriente circula en el sentido definido como positivo, su signo algebraico será positivo y si circula en sentido contrario, su signo algebraico será negativo.

La diferencia de potencial entre dos puntos lleva también asociados un valor absoluto y un sentido. Al escribir las ecuaciones correspondientes a la ley de tensiones de Kirchhoff, los signos reales de las tensiones no tienen que corresponderse necesariamente con el sentido positivo establecido arbitrariamente para la tensión.

1.7 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

Los circuitos de corriente continua son aquellos en que la tensión aplicada es constante respecto al tiempo. Entonces, la corriente producida por estas tensiones en el estado estacionario también será constante a través del tiempo. Bajo estas circunstancias el único elemento de circuito que requiere ser considerado es la resistencia. En efecto, de la Ec.(1-14) se deduce que, al ser constante la corriente que circula por una impedancia, la tensión producida entre sus terminales es cero ( es como si se tuviera un elemento con resistencia cero, o en corto circuito). En el caso de la capacidad, de la Ec. (1-20) se deduce que al ser constante la tensión entre sus terminales, la corriente que la circula es cero (es como un elemento de resistencia infinita, o circuito abierto).

El análisis de los circuitos de corriente continua dependen de la aplicación directa de la ley de Ohm y las leyes de Kirchhoff..

Ejemplo 1.1 Determine la magnitud y la dirección de la corriente producida por la fuente en el circuito de la Fig.(1.7). También determine la tensión V2 a través de la resistencia de 50 ohms y la potencia perdida en ella.

Solución. El circuito es de una sola malla; una sola corriente es común a cada elemento del circuito y sólo se requiere la aplicación de una ecuación de tensión de Kirchhoff. El primer

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paso es elegir una dirección para la corriente. Como se ha indicado anteriormente, esta elección es arbitraria.

Para ilustrar esta arbitrariedad, asumamos la dirección de la corriente que se indica en la Fig.(1.7). Las tensiones en cada resistencia toman la polaridad indicada ya que son caídas de tensión en el sentido elegido de la corriente. La Ley de tensiones de Kirchhoff, aplicada a la malla comenzando en la esquina inferior izquierda y yendo en el sentido del reloj, entrega la siguiente ecuación

+110 + V1 + V2 = 0

es decir

110 + 5 I + 50 I = 0 o, I = - 110/55 = -2 amps.

El signo negativo significa que la corriente tiene el sentido opuesto al elegido.

La tensión V2 será

volts

Lo que indica que la caída de potencial en esta resistencia es opuesta a lo indicado en la figura.

La potencia perdida en esta resistencia es

P = I2 R = (2)2 (50) = 200 watts

o, alternativamente

watts

Las resistencias del circuito del ejemplo 1.1 están conectadas en serie. Consideremos el circuito serie general de la Fig. 1.8, en que n resistencias están conectadas en serie. Supongamos la dirección de la corriente en el sentido de los punteros del reloj. La ley de tensiones de Kirchhoff da

(1-27)

Frecuentemente es deseable reemplazar un circuito (o parte de una circuito) por una simple resistencia por la que circulará la misma corriente que la malla que reemplaza. Este concepto de

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Resistencia Equivalente es útil para reducir el trabajo que demanda la resolución de circuitos. De la Ec. (1-14), se deduce que la resistencia equivalente que reemplaza a las resistencias en serie en los terminales a b del circuito es

(1-28)

Las resistencias en serie, entonces, se suman directamente.

Ejemplo 1.2 Determine la magnitud y dirección de la corriente total entregada por la batería en el circuito de la Fig. 1.9.

Solución. En el circuito serie del ejemplo 1.1 la corriente I es común a todos los elementos. En el circuito de la Fig. 1.9, la tensión de la batería es común. Las tres corrientes son

I1 = 24/48 = 0,5 amps

I2 = 24/12 = 2,0 amps I3 = 24/16 = 1,5 amps.

La dirección de estas corrientes son todas positivas en el sentido que se muestran. La corriente total I puede ser encontrada con la ley de las corrientes de Kirchhoff:

I – I1 – I2 – I3 = 0

o I = I1 + I2 + I3 = 0,5 + 2,0 + 1,5 = 4,0 amps

La dirección de ésta corriente es la mostrada en la figura.

Las resistencias del ejemplo 1.2 están conectadas en paralelo. En circuitos paralelos la cantidad eléctrica común es la tensión. Las características generales de una malla paralela pueden ser determinadas examinado el circuito de la Fig.1.10, en el cual n resistencias están conectadas en paralelo. La corriente Ix en cualquiera resistencia Rx es, por la ley de Ohm V/Rx. La corriente I entregada por la batería es

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(1-29)

La resistencia equivalente Req por la cual la combinación paralela puede ser reemplazada es

(1-30)

La resistencia equivalente es entonces el recíproco de la suma de los recíprocos de las resistencias individuales en paralelo. Para el caso especial de dos resistencias en paralelo,

(1-31)

1.8 CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA MAS COMPLEJOS

En casos más generales, un circuito eléctrico consistirá de múltiples mallas con una o más fuentes de tensión. Los métodos básicos de los circuitos serie y paralelo todavía son aplicables, pero debe tenerse mayor cuidado con el uso de los signos correctos, ya que estos pueden no ser tan obvios como en los ejemplos anteriores.

Las leyes de tensiones y corrientes de Kirchhoff para varios nudos y mallas deben producir el número necesario de ecuaciones independientes para encontrar las corrientes y tensiones desconocidas. El número de ecuaciones independientes de corriente es igual a uno menos que el número de nudos del circuito. El número de ecuaciones independientes de tensiones es igual al número de mallas independientes. Una ecuación de tensión será independiente de aquellas previamente escritas cuando el camino elegido para escribirla incluye al menos un nuevo elemento de circuito o fuente de poder.

Ejemplo 1.3 Calcular la tensión E en el circuito de la Fig. 1.11. Encuentre también el balance de potencia para demostrar que la potencia entregada al circuito por la fuente es igual a la potencia absorbida por las resistencias.

Solución. Suponga las corrientes de ramas I1, I2 e I3 en las direcciones que se muestran. La ley de corrientes en el nudo a entrega

I1 + I2 - I3 = 0

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La ley de tensiones a través de las mallas cabc y badb, yendo en el sentido de los punteros del reloj, nos entrega, respectivamente

Por resolución simultanea de estas tres ecuaciones

I1 = 4,0 ampsI2 = 6,0 ampsI3 = 10,0 amps

La tensión E se encuentra por la ley de Ohm

Determinemos el balance de potencia.

La potencia perdida en las resistencias está determinada por la Ec.(1-9) y la potencia entregada por las baterías es encontrada con la Ec.(1-5).

La potencia entregada por las baterías es

Batería de 140 volts P = EI = (140)(4,0) = 560Batería de 90 volts P = (90)(6,0) = 540 Total = 1.100 watts

La potencia tomada por el circuito es

Resistencia de 5 ohms P = I2R = (6,0)2(5) = 180Resistencia de 6 ohms P = (10,0)2(6) = 600Resistencia de 20 ohms P = (4,0)2(20) = 320 Total = 1.100 watts

Ejemplo 1.4 Determinar las corrientes de mallas en el circuito de la Fig. 1.12

Solución. En este circuito hay cuatro mallas independientes y cinco nodos; se pueden escribir cuatro ecuaciones de tensión y cuatro ecuaciones de corriente. En todo caso la solución puede ser bastante más expedita, si definimos arbitrariamente las corrientes de malla I1, I2, I3 e I4 para las ramas ab, be, ce y de y escribimos las ecuaciones en función de ellas. Como resultado de esta operación, el número de variables es reducido de ocho a cuatro, simplificando la resolución algebraica del problema.

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Se pueden escribir cuatro ecuaciones de tensión considerando las cuatro mallas abea, ebce, decd y aeda. Tomando los recorridos en el sentido del reloj, se obtienen las siguientes ecuaciones, en el mismo orden en que los recorridos fueron nombrados.

La resolución de este sistema de ecuaciones simultaneas da

y

Los ejemplos anteriores ilustran el uso de las leyes de Ohm y de Kirchhoff para resolver problemas de circuitos de corriente continua. Estas leyes son suficientes en si para resolver cualquier circuito de corriente continua en estado estacionario. Para simplificar la resolución de circuitos más complejos se han desarrollado otros métodos de análisis basados en estas leyes. Algunos de estos métodos son solamente sistemas que reducen el número y complejidad de las ecuaciones requeridas. Otro grupo de herramientas de análisis son llamas más apropiadamente teoremas de circuitos. Además de reducir el esfuerzo matemático para resolver el problema, estos teoremas presentan una aproximación diferente a la filosofia de la teoría de circuito. Un ejemplo es el concepto de una resistencia equivamente que puede reemplazar a una grupo de resistencias en un circuito. Una de las desventajas de la aplicación directa de las leyes de Kirchhoff es la complejidad de las ecuaciones resultantes. Los teoremas de redes pueden clarificar algunas de estas complejidades. Muchos de estos teoremas son particularmente útiles cuando un simple elemento o grupo de elementos van a ser estudiados. Si por ejemplo es el generador el elemento que nos preocupa principalmente, el resto del sistema puede ser reducido a un circuito equivalente simple, con el resultado de que la atención será enfocada en el generador más que en el resto de la malla.

1.9 SIMPLIFICACION DE REDES

La simplificación de redes es un método de análisis muy útil para reducir la complejidad de un circuito. El concepto de resistencia equivalente para circuitos serie y paralelo ya ha sido presentado en secciones anteriores. La simplificación de redes solamente expande este concepto para incluir cualquier malla resistiva, tanto si es serie, paralelo, serie-paralelo u otra combinación. Los mismos métodos que han sido aplicados para casos serie y paralelo simples también aplican para circuitos serie, paralelo o una combinación de serie y paralelo.

Ejemplo 1.5 El circuito mostrado en la Fig 1.13 es una red de 2-terminales. Los terminales x e y están conectados a la fuente. Las cuatro cargas están conectadas a la fuente por medio de alimentadores. Las resistencias de las cargas y de los alimentadores están dadas en el diagrama. Para facilitar el estudio de los requerimientos de la fuente, se propone reemplazar el circuito de cargas-alimentadores por una simple resistencia equivalente. Determine el valor de esta resistencia equivalente.

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Solución. Para aplicar la simplificación de la red, las resistencias serán combinadas comenzando por el punto más alejado de la fuente trabajando hacia la fuente.

Las resistencias de 2 y 8 ohms a la derecha de la linea ab están en serie. La resistencia equivalente, mirando hacia la derecha de ab es entonces

Rab = 2 + 8 = 10 ohms

La resistencia equivalente Rab está en paralelo con la carga de 10 ohms justo a la izquierda de la linea ab. La resistencia equivalente a la derecha de la linea cd es, desde la Ec.(1-18)

La resistencia equivalente Rcd está ahora en serie con la resistencia de 1 ohms del alimentador; la resistencia equivalente mirando a la derecha de la linea ef es entonces

Ref = 1 + 5 = 6 ohms

La resistencia equivalente Ref está en paralelo con las resistencias de 4 y 12 ohms. La resistencia equivamente mirando a la derecha de la linea gh es, desde la Ec.(1-17),

o, Rgh = 2 ohms

La resistencia equivalente Rgh está en serie con la resistencia de 1 ohms. La resistencia equivalente Rxy que reemplazará a la malla completa en los punto xy es entonces

Rxy = 1 + 2 = 3 ohms

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Hay ciertas configuraciones de circuitos que no pueden ser resueltas sólo por

combinaciones serie-paralelo. Estas combinaciones pueden ser manejadas con el uso de Transformaciones Estrella-Triángulo ( Y-∆.). Esta transformación permite que tres resistencias que están conectadas en una configuración Y sean reemplazadas por tres resistencias conectadas en ∆ o viceversa.. Las mallas de las Fig. 1.14a y 1.14b están en ∆ (Triángulo) y en Y (Estrella),

respectivamente. Si estas mallas tienen que ser equivalentes, la resistencia entre cualquier par de terminales debe ser la misma tanto en Y como en ∆. Deben ser escritas tres ecuaciones simultaneas para expresar esta equivalencia de resistencias entre terminales.. Así, considerando los terminales x e y, la resistencia equivalente ∆ es la resistencia Rc en paralelo con la combinación serie de Ra y Rb y la resistencia equivalente Y es la combinación serie de R1 y R2. Expresado algebraicamente,

(1-32)

Ecuaciones similares pueden ser escritas para los otros dos pares de terminales. Las tres ecuaciones resultantes pueden ser resueltas simultáneamente para los valores Ra, Rb y Rc de la configuración en triángulo o para R1, R2 y R3 de la configuración estrella. Los resultados son

(1-33)

(1-34)

(1-35)

o,

(1-36)

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(1-37)

(1-38)

Ejemplo 1.6 Determine la resistencia equivalente que reemplazará la malla de la Fig (1.15), entre los terminales a y b

Solución. En el circuito de la Fig. 1.15 no hay resistencias directamente en paralelo o directamente en serie. Note, ahora, que la sección acd y bcd ambos están en la forma de configuración Triángulo; cualquiera de ellas puede ser convertida en una configuración equivalente en Estrella (mostrada en la Fig.1.15 en lineas punteadas). Los valores equivalentes son

La malla que resulta de reemplazar la configuración en Triángulo acd por su equivalente en Estrella, se muestra en la Fig.1.16. En esta malla Rec y Rcb están conectadas en serie, así como las resistencias Red y Rdb. Entonces

Recb = 143 + 180 = 323 ohmsy

Redb = 286 + 400 = 686 ohms

Las resistencias Recb y Redb están en paralelo y pueden ser combinadas usando la Eq.(1-31).

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La resistencia equivalente desde a a b es entonces la combinación serie de Rae y Reb, luego

Rab = 571 + 220 ohms

1.10 PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

En cualquier circuito eléctrico, las corrientes son los efectos producidos por las tensiones aplicadas. Si la malla tiene varias fuentes de tensión, cada corriente de rama puede ser considerada compuesta por varias componentes de corrientes, en que cada componente es producida por cada una de las fuentes de tensión individuales. El principio de superposición, cuando es aplicado a circuitos con resistencias constantes, establece que la corriente en cualquier rama, producida por varias fuentes de poder actuando simultáneamente, es la suma de las corrientes producidas en esa rama por cada fuente de tensión actuando separadamente.

Para aplicar el principio de superposición, cada fuente de tensión es considerada actuando separadamente. Se toma una fuente para el cálculo y el resto de fuentes de tensión son consideradas en cortocircuito (tensión igual a cero). Se efectúa el cálculo para cada tensión y finalmente se suman las corrientes.

Ejemplo 1.7 Calcule las corrientes en el circuito del ejemplo 1.3 por el principio de superposición.

Solución. La malla se muestra en la Fig. 1.11. Si la tensión de la fuente de 90 volts es reducida a cero, el circuito queda reducida al de la Fig. 1.17a; La Fig.1.17b muestra el circuito con la fuente de tensión de 140 volts reducida a cero. De estos circuitos, la ley de las corrientes en el nudo a entrega

I1’ + I2’ – I3’ = 0 I1” + I2” – I3” = 0

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La ley de tensiones aplicada a los recorridos bcab y badb entrega, respectivamente

140 – 20I1’ – 6I3’ = 0 -20I1” – 6I3” = 0 6I3’ + 5 I2’ = 0 6I3” + 5 I2” – 90 = 0

Resolviendo estas ecuaciones simultaneas, se llega a

I1’ = +6,16 amps I1” = -2,16 amps I2’ = -3,36 amps I2” =+9,36 amps I3’ = +2,80 amps I3” = +7,20 apms

Las tres corrientes, I1, I2 e I3 en el circuito de la Fig. 1.11son las sumas de las componentes de corrientes de los circuitos de las Fig 1.17a y b.

I1 = I1’ + I1” = +6,16 -2,16 = 4,0 amps I2 = I2’ + I2” = -3,36+9,36 = 6,0 amps I3 = I3’ + I3” = +2,80+7,20 = 10,0 apms

Estos valores son los mismos encontrados en el desarrollo del ejemplo 1.3

La

aplicación directa del principio de superposición no reduce el trabajo aritmético en la solución de problemas con circuitos, puesto que cada fuente debe ser considerada separadamente. Sin embargo, permite que nos concentremos en el efecto de una sola fuente a la vez, disminuyendo la complejidad en el pensamiento.

1.11 TEOREMA DE THEVENIN

Uno de los teoremas de circuitos extremadamente útil es el Teorema de Thévenin. Para circuitos de corriente continua queda expresado de la siguiente forma.

Cualquier red de dos terminales constituida por resistencias lineales y fuentes de tensión constantes es equivalente; a una fuente ideal de tensión V en serie con una resistencia R, siendo V la tensión a circuito abierto entre los dos terminales y R la resistencia equivalente vista en los dos terminales después de reemplazar las fuentes de tensión por resistencias iguales a cero (cortocircuito).

Para ilustrar el empleo de este teorema, consideremos el circuito de la Fig 1.18a , excitado por una única fuente de tensión E. El circuito equivalente de Thévenin se indica en la Fig.1.18b; El nuevo generador de tensión V se obtiene de la Fig.1.18a, en la que la tensión entre los terminales a y b , por la acción del divisor de tensión, es igual a

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y la Resistencia equivalente vista en los terminales a-b es

De este modo, un circuito de cuatro elementos ha sido reemplazado por un circuito de dos elementos. El comportamiento en los terminales a-b es el mismo para los dos circuitos, con independencia del valor de la resistencia RL conectada a ellos.

El circuito equivalente de Thévenin es especialmente útil cuando se desea estudiar el comportamiento específico de un elemento de la malla. Bajo esta condicion, comúnmente se sigue el siguiente procedimiento.

1. Se elige el elemento o grupo de elementos.2. Estos elementos son removidos de la malla, dejando los dos terminales en circuito

abierto.3. La tensión en circuito abierto es calculada usando las leyes de Kirchhoff y de Ohm.4. La tensión de la fuente en la malla se reduce a cero y se calcula la resistencia

equivalente.5. Se forma el circuito equivalente de Thévenin, los elementos removidos son

reemplazados y la malla resultante es analizada.

Ejemplo 1.8 En el circuito de la Fig 1.19, determine la resistencia R que absorberá la mayor potencia.

Solución. Para determinar la potencia, es necesario conocer tanto la corriente I como la resistencia R. Evidentemente es deseable encontrar una relación que de I en función de R. Ya que la resistencia R va a ser estudiada, ella será removida y se formará el circuito equivalente de Thévenin con el resto del circuito. El circuito con R removido se muestra en la Fig. 1.20a .

Para calcular la tensión de circuito-abierto E0, suponga una corriente I1 en la dirección mostrada.

La ley de tensiones alrededor de la malla externa da

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140 – 20I1 - 5 I1 – 90 = 0

o, I1 = 50 / 25 = 2 amps

La tensión en circuito-abierto E0 es entonces

E0 = 140 – (20)(2) = 100 volts

Para determinar la resistencia equivalente R0, la tensión de las fuentes son reducidas a cero y se calcula la resistencia equivalente entre los puntos a-b. La malla resultante de haber reducido a cero las tensiones se muestra en la Fig 1.20b. Las resistencias de 20 y 5 ohms están en paralelo entre los puntos a-b, luego la resistencia equivalente R0 es, aplicando la Ec.(1-31).

El circuito equivalente Thévenin, entre los terminales a-b de la malla de la Fig 1.20a es entonces, una fuente de 100 volts en serie con una resistencia de 4 ohms. Agregando la resistencia R se obtiene el nuevo circuito que se muestra en la Fig.1.21

La ecuación de tensión alrededor de la malla en la Fig.1.21 entrega

o,

La potencia absorbida por la resistencia es

Para encontrar la resistencia para la máxima potencia, diferenciamos la potencia respecto de la resistencia y la derivada la hacemos igual a cero; esto es

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lo que da R = 4 ohms

La corriente de la carga es entonces

y la máxima potencia es

Este ejemplo ilustra la facilidad con que las características de una malla, respecto de un simple elemento de circuito, puede ser determinada por el teorema de Thévenin. Este ejemplo también ilustra el hecho de que para una máxima transferencia de potencia, la resistencia R es igual a la resistencia equivalente de la fuente mirada desde los terminales de R. Esto no es una coincidencia sino una verdad general.

Ejemplo 1.9. La malla de la Fig.1.22 es un puente desbalanceado usado en la medición de resistencias. Con los parámetros de circuito especificados, determine la corriente en el ampérmetro A. La resistencia del ampérmetro es de 9 ohms.

Solución. La solución de este problema puede ser altamente simplificado a través del uso del circuito equivalente de Thévenin. El primer paso es remover el ampérmetro del circuito y calcular la tensión E0 (vea

la Fig.1.23). En esta figura

Por la ley de tensiones

La resistencia equivalente R0 es encontrada reduciendo la tensión a cero y evaluando la resistencia entre a y b (ver Fig.1.24).

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El circuito equivalente Thévenin es entonces una fuente de 30 volts en serie con una resistencia de 21 ohms. La Fig.1.25 muestra el circuito, incluido el ampérmetro. La corriente en el ampérmetro es

1.12 FUENTES REALES DE VOLTAJES Y CORRIENTES

Los modelos ideales de las fuentes de voltaje y de corriente analizados anteriormente fallan al considerar la resistencia interna de las fuentes reales de voltaje y de corriente. Considérese, por ejemplo, el modelo de la fuente de voltaje ideal de la figura 2.9; como la resistencia de la carga (R) disminuye, se requiere que la fuente suministre mayores cantidades de corriente para mantener el voltaje vil) entre sus terminales:

(2.24)

Este circuito indica que la fuente de voltaje ideal debe suministrar una cantidad infinita de corriente a la carga, en el límite cuando su resistencia tiende a cero. Naturalmente, es imposible; por ejemplo considérense las especificaciones de la batería de un auto: 12 V, 450 A-h (amperios-hora). Esto implica que existe un límite (grande) de la cantidad de corriente que la fuente práctica puede suministrar a la carga. Afortunadamente, no es necesario profundizar en la naturaleza física de cada tipo de fuente para describir el desempeño de una fuente real de voltaje: las limitaciones de una fuente real se pueden considerar muy sencillas mediante el uso de la noción de la resistencia interna de la fuente. A pesar que los modelos descritos en esta sección son sólo

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aproximaciones del desempeño real de las fuentes de energía, suministran una buena idea de las limitaciones de las fuentes de voltaje y de corriente reales. La figura 2.38 presenta un modelo para una fuente de voltaje real, compuesta de una fuente ideal de voltaje, vs, en serie con una resistencia, rs. La resistencia rs impone un límite a la corriente máxima que la fuente de voltaje puede suministrar:

(2.25)

Típicamente, rs es pequeña. Sin embargo, su presencia afecta el voltaje entre los terminales de la resistencia de carga: este voltaje, ahora, no es igual al voltaje de la fuente. Como la corriente suministrada por la fuente es

(2.26)

el voltaje de la carga se puede determinar por

(2.27)

Por tanto, en el límite cuando la resistencia interna de la fuente, rs, tiende a cero, el voltaje de la carga, VL, es exactamente igual al voltaje de la fuente. Una característica deseable en una fuente ideal de voltaje consiste en tener una resistencia interna muy pequeña, de tal forma que se puedan satisfacer los requerimientos de corriente de una carga arbitraria. Frecuentemente, la resistencia interna efectiva de una fuente de voltaje se estipula en las especificaciones técnicas de la fuente, de tal manera que el usuario tenga en cuenta este parámetro.

Una modificación semejante del modelo de la fuente ideal de corriente se puede usar para describir el desempeño de una fuente real de corriente. El circuito ilustrado en la figura 2.39 hace una represent<\.ción sencilla de una fuente real de corriente, la cual consiste en una fuente ideal en paralelo con un resistor. Cuando la resistencia de carga tiende a infinito (un circuito abierto), el voltaje de salida de la fuente de corriente tiende a su límite,

(2.28)

Una buena fuente de corriente debe aproximar su desempeño al de una fuente ideal de corriente. Por tanto, una característica deseable en una fuente de corriente consiste en tener una resistencia interna tan grande como sea posible.

1.13 APARATOS DE MEDICION

En esta sección, se deben adquirir los conocimientos básicos de las propiedades de los aparatos reales para la medición de los parámetros eléctricos. Las mediciones de mayor interés son las de corriente, voltaje, potencia y resistencia. En analogía con los modelos desarrollados para describir el desempeño no ideal de las fuentes de voltaje y de corriente, se presentarán modelos de circuitos adecuados de los instrumentos reales de medición para describir las propiedades no ideales de estos aparatos.

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El ohmímetro

El ohmímetro es un aparato que, cuando se conecta entre los terminales de un elemento de un circuito, puede medir la resistencia del elemento. La figura 2.40 presenta la conexión de un ohmímetro a una resistencia. Recuerde una regla muy importante:

La resistencia de un elemento se puede medir solamente cuando el elemento esté desconectado de cualquier circuito.

El amperímetro

El amperímetro es un aparato que, cuando se conecta en serie con un elemento del circuito, puede medir la corriente a través del elemento. La figura 2.41 ilustra esta idea y de ella se desprenden dos requisitos para obtener una medición correcta de la corriente:

1. El amperímetro se debe conectar en serie con el elemento cuya corriente se desea medir (por ejemplo, el resistor R2).

2. El amperímetro no debe restringir el flujo de la corriente (causar una caída de voltaje), de lo contrario no medirá la verdadera corriente en el circuito. Un amperímetro ideal tiene una resistencia interna igual a cero.

El voltímetro

El voltímetro es un aparato que puede medir el voltaje entre los terminales de un elemento del circuito. Como el voltaje es la diferencia de potencial entre dos puntos en un circuito, el voltímetro se debe conectar entre los terminales del elemento cuyo voltaje se desea medir. Un voltímetro debe satisfacer dos requerimientos:

1. El voltímetro se debe conectar en paralelo con el elemento cuyo voltaje se desea medir.

2. El voltímetro no debe tomar corriente del elemento cuyo voltaje se está midiendo, de lo contrario, no medirá el verdadero voltaje entre los terminales del elemento. Por tanto, un voltímetro ideal tiene una resistencia interna infinita.

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La figura 2.42 ilustra estos dos puntos.

De nuevo, las definiciones establecidas para el voltímetro ideal y para el amperímetro ideal se deben aumentar para considerar las limitaciones prácticas de los aparatos. Un amperímetro real introducirá alguna resistencia en serie en el circuito en el cual se está midiendo la corriente; un voltímetro real no actuará como un circuito abierto ideal, sino que tomará alguna corriente del circuito en el cual se hace la medición. Los problemas de la tarea verifican que estas restricciones prácticas no establezcan necesariamente un límite para la precisión de la medición que se obtiene con los aparatos de medición reales, siempre y cuando la resistencia interna del instrumento de medición sea conocida. La figura 2.43 muestra el modelo del voltímetro y el amperímetro reales.

Todas las consideraciones mencionadas para los voltímetro s y los amperímetros reales se pueden aplicar a la operación del vatímetro, un instrumento encargado de medir la potencia disipada por un elemento de circuito, ya que el vatímetro es una combinación de un voltímetro y de un amperímetro. La figura 2.44 ilustra la conexión típica de un vatímetro en el circuito en serie usado en los párrafos anteriores. En efecto, el vatímetro mide la corriente de la carga y, simultáneamente, el voltaje entre los terminales de ella y multiplica las dos para suministrar una lectura de la potencia disipada por la carga. En los problemas de la tarea, se analiza el consumo interno de potencia de los vatímetros reales.

1.14 Tierra

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La selección de la palabra tierra no es arbitraria. Este punto se puede ilustrar por medio de una analogía sencilla con la física del movimiento de un fluido. Considérese un tanque de agua, como el de la figura 2.51, localizado a una cierta altura sobre la tierra. La energía potencial debida a la gravedad causará que el agua fluya hacia afuera de la tubería a una cierta tasa de flujo. La presión que fuerza el agua hacia afuera de la tubería está directamente relacionada con la cabeza, (h1 - h2), de tal forma que esta presión es cero cuando h2 = h1. Ahora el punto h3, el cual corresponde al nivel de la tierra, se define como un punto que tiene una energía potencial igual a cero. Debe ser evidente que la presión que actúa sobre el fluido en la tubería es realmente causada por la diferencia de potencial, (h1 - h3) - (h2 - h3). Se puede ver, entonces, que no es necesario asignar un nivel energético preciso a la altura h3; en efecto, sería extremadamente complicado hacerlo, ya que las ecuaciones que describen el flujo del agua serían entonces diferentes, por ejemplo, en Denver (h3 = 1,600 m sobre el nivel del mar) de aquellos que se aplacarían en Miami (h3 = 0 m sobre el nivel del mar). Se ve, por tanto, que lo importante es la diferencia relativa de la energía potencial en el problema del tanque de agua.

En forma análoga, en todo circuito se puede definir un punto que se reconozca como "tierra", y se asigna por conveniencia el potencial eléctrico de cero voltios. Se debe notar que si no se conectan a propósito, las tierras en dos circuitos completamente separados no están necesariamente al mismo potencial.

PROBLEMAS CAPITULO I

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CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA

1-1. Los American Standards for Rotating, Machinery , patrocinados por la American Standards Association, especifican que las resistencias de una máquina serán las que se obtengan a 75 C°. Si la resistencia del inducido de un motor, medida a 20 C°, es 0,0537 ohms, ¿ cuál será el valor corregido a 75 C° ?

1-2. Para medir la elevación de temperatura en un gran turbo-alternador, se instala una bobina especial de hilo de cobre en las ranuras del devanado, que actúa como un detector interior. La resistencia de dicha bobina a la temperatura ambiente (21C°) es de 100 ohms; después de varias horas de funcionamiento, la resistencia se ha elevado hasta 110 ohms. Determinar la elevación de la temperatura en el devanado del generador.

1-3. La resistencia de un miliamperímetro de corriente continua es 20,0 ohmios.El desplazamiento de la aguja sobre la escala de medida es directamente proporcional a la corriente en el devanado de la bobina móvil; el recorrido total de la escala se produce por una corriente de 10 ma (0,010 amperes).

a. Se propone fabricar un voltímetro de corriente continua utilizando el miliamperímetro y la adecuada resistencia en serie (llamada multiplicador). La tensión para un recorrido completo ha de ser de 300 volts. Determinar la resistencia del multiplicador .

b. Si se coloca una baja resistencia en paralelo con el miliamperímetro, la combinación resultante puede utilizarse como un amperímetro de corriente continua. Determinar la resistencia en paralelo necesaria para que el miliamperímetro marque el máximo cuando la corriente total es de 10 amperes.

c. Determinar la energía requerida para hacer funcionar el voltímetro del apartado a y el amperímetro del apartado b, cuando cada uno de ellos marque el máximo.

1-4. En el circuito de la Fig. p1.1, E1 = 45 volts y E2 = 6 volts. Determinar:a. La magnitud y el sentido de la corrienteb. La elevación de tensión desde a hasta b. c. La caída de tensión desde a hasta c. c. La energía absorbida por la parte ad.

1-5. En la Fig. p1.1 la elevación de tensión de a a b es de 16,0 volts, y la de c a d es de 17 ,4 volts. Determinar: a. La magnitud de cada f.e.m. E1 y E2.

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b. La producción diaria de energía en watts-hora de la parte cb.

1-6. Una batería que tiene una resistencia interna de 1,0 ohms y una f.e.m. de 6,0 volts, alimenta dos cargas de 4,0 ohms, que están conectadas en paralelo a los bornes de la batería. a. Hallar la corriente suministrada por la batería a la combinación en paralelo. b. Hallar la energía suministrada a cada carga. c. Hallar la energía disipada en la batería.

1-7. El esquema del circuito de un óhmetro del tipo serie se ilustra en la Figura p1.2. El aparato de medida M es el miliamperímetro del Problema 1-3. La resistencia R2 se ajusta para que la corriente en el aparato sea 10 ma (recorrido máximo de la escala) cuando los bornes del óhmetro se hallan en cortocircuito (Rx = 0). a. Determinar el valor requerido de R2.

b. Determinar el valor de Rx necesario para producir media deflexión en el aparato cuando R2

se encuentre ajustada al valor hallado en el apartado a.

.

1-8. Determinar la corriente I en la resistencia de 4 ohms del circuito de la Fig. p1.3.

1-9. El circuito que aparece en la Fig. p1.4 es el de un shunt Ayrton utilizado para disminuir la sensibilidad de los instrumentos indicadores al efectuar medidas aproximadas. El aparato M es el miliamperímetro del Problema 1-3. La corriente I vale 10 ma.

a. Determinar la corriente en el miliamperímetro cuando el conmutador está en a.

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b. Determinar la corriente en el miliamperímetro cuando el conmutador está en b. c. Repetir los apartados a y b para un aparato que tenga una resistencia de 100 ohms. ¿Puede sacarse alguna conclusión considerando el efecto del shunt para diferentes aparatos?

1-10. En el sistema de tres hilos de la Fig. p1.5, las cargas R1, R2 y R3 llevan corrientes de 100, 200 y 500 amperes, respectivamente. ¿Cuáles son las tensiones ab, bc y ac?

1-11- En el sistema de distribución de corriente continua de tres hilos de la Fig. p1.6, cada uno de los equipos de lámparas tiene 50. Cada lámpara toma una potencia de 60 watts cuando la tensión es de 115) volts. Los tres conductores son de la misma sección.

a. Especificar el tipo de hilo de cobre que ha de utilizarse para que la tensión en cada equipo sea de 115 voltios con todas las lámparas encendidas.

b. Si se utiliza hilo con aislamiento de goma, ¿tendrá  la adecuada capacidad para llevar la corriente ?

c. Evaluar el rendimiento de la instalación (es decir, la razón entre la potencia tomada por las lámparas y la potencia de salida de la fuente), en las condiciones del apartado a.

d. Supongamos que cualquiera de las lámparas de uno y otro equipo puede ser encendida o apagada inesperadamente. Establecer la condición en la que se obtenga la mínima tensión en los equipos de lámparas y calcular dicha tensión. Para ello, considérese que una lámpara puede representarse por una resistencia constante.

1-12. Dos generadores de corriente continua alimentan una carga L por medio de la red que aparece en la Fig. p1.7. La resistencia de carga es de 3,5 ohms.

a. Determinar la energía, la tensión y la corriente de carga.b. Determinar la energía suministrada por cada uno de los generadores.

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c. Hallar el rendimiento del sistema (es decir, la razón entre la energía tomada por la carga y

la energía total de los generadores).

1-13. Las carga R1 y R2 (Fig. p1.8) toman corrientes de 1.000 y 1.500 amperes, respectivamente.

Hallar las tensiones en dichas cargas y la corriente en cada línea.

1-14. Determinar la corriente I en el circuito de la Fig. p1.9 por simplificación de la red.

1-15. El puente de resistencias abcd de la Fig. p1.10 recibe el nombre de divisor de tensión, porque permite disponer de diferentes tensiones para las distintas cargas A, C y D, todas ellas alimentadas desde una fuente común de 250 voltios. Por razones de conveniencia, el punto b

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puede considerarse arbitrariamente como un punto de potencial cero, o de referencia, desde el que se miden las tensiones. Primero, consideremos que las cargas A, C y D están en circuito abierto. La resistencia de b a d ha de ser de 15.000 ohmios, a ha de tener un potencial de - 3 volts, y c ha de tener un potencial de + 100 volts. a. Hallar las resistencias Rab, Rbc y Rcd.

Después, considérese que la carga D necesita 3 ma; la carga C, 0,8 ma; y la carga A, corricnte nula. (Por ejemplo, podrían ser, respectivamente, la placa, la rejilla pantalla y la rejilla de control de una válvula termoiónica.) Las resistencias son las halladas en el apartado a.

b. ¿Cuáles son los potenciales de los puntos a, c y d?.c. Debe especificarse el régimen de disipación de energía de las resistencias. ¿Cuál es la

energía disipada en la resistencia Rab y en la resistencia Rbc + Rcd ?.

1-16. En relación con el circuito de la Fig. p1.11.a. Determinar las corrientes I1, I2 e I3 con cl conmutador S en la posición b.b. Utilizando los resultados obtenidos en el apartado a y el principio de superposición,

determinar las corrientes I1, I2 e I3, con el conmutador S en la posición a

1-17Resolver el Problema 1-8 aplicando el teorema de Thévenin.

1-18 La carga L (Fig.p1.12) es alimentada desde dos generadores G1 y G2, de 50 y 25 kw nominales, respectivamente. La carga L necesita 35 kw, 1manteniendose una tensión de 220 vots cn sus bornes. ¿Cuáles deben ser las tensiones en bornes de G1, y G2, para que sus potencias de salida sean proporcionales a sus características nominales ?

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1-19 Aplicar el teorema de Thévenin para hallar la corriente I que hay en el circuito de la

Fig.p1-13, cuando el interruptor está  cerrado.

1-20. En el circuito de la Fig.p1-14, aplicar cl teorema de Thévenin para hallar:a. La corriente I en la resistencia de 10 ohmsb. La energía suministrada a la resistencia de 10 ohms.

1-21. Resolver el Problema 1-12a utilizando el teorema de Thévenin.

1-22. Dos generadores de corriente continua alimentan una carga con una corriente de 1.000 amperes; la tensión en bornes de cada generador se mantiene constante a 250 volts, por medio de reguladores de tensión. El generador A se encuentra situado a 5 kilómetros al oeste de la carga, a la que se halla conectado mediante un feeder, cuya resistencia (en ambos hilos) es de 0,015 ohms/km; el generador B está a una distancia de 2 kilómetros al este de la carga y conectado a ella por un feeder con una resistencia (en ambos hilos) de 0,020 ohms/km.

a. Dibujar el esquema del circuito para dicho sistema.b. Determinar la tensión de la carga y la resistencia equivalente de la carga sin utilizar el

teorema de Thévenin.c. Repetir el apartado b aplicando el teorema de Thévenin.

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