Hay circuitos complejos en el corazón detodos los dispositivos electrónicos moder­nos. Las sendas conductoras de este circui­to impreso son películas finas (en colorazul verdoso) depositadas sobre una tarjetaaislante. El funcionamiento de cualquierade estos circuitos, no impona cuán com­plejo sea. se comprende por medio de lasreglas de Kírchhoff, un tema medular deeste capítulo.

¿Es posible conectar varios

resislores con diferentes resistencias de

modo que todos tengan la misma

diferencia de potencial? De ser as!, ¿será

la corriente la misma en todos los

resistores?

980

CIRCUITOSDE CORRIENTECONTINUA

Si examinamos el interior de nuestro televisor, de la computadora o del receptorestereofónico, o miramos bajo la cubierta de un automóvil, hallaremos circuitos

muchísimo más complejos que los circuitos sencillos que estudiamos en el capítulo25. Ya sea que estén conectados mediante alambres o integrados en un chip semicon­ductor, estos circuitos suelen incluir varias fuentes, resistores y otros elementos decircuito, como capacitores, transformadores y motores, interconecmdos en una red.

En este capitulo estudiaremos los métodos generales para analizar estas redes;esto incluye cómo encontrar voltajes, corrientes y propiedades de elementos de cir­cuito desconocidos. Aprenderemos a determinar la resistencia equivalente de variosresistares conectados en serie o en paralelo. En el caso de redes más generales ne­cesitaremos dos reglas que se conocen como reglas de Kirchhoff. Una de ellas sefundamenta en el principio de conservación de carga aplicado a una confluencia dedos o más vías; el otro se deduce de la conservación de energía de una carga que setraslada alrededor de una espira cerrada. Analizaremos instrumentos para mcdir di­ferentes cantidades eléctricas; además examinaremos un circuito con resistencia ycapacitancia en el que la corriente varia con el tiempo.

Nuestro interés principal en este capímlo se centra en los circuitos de corrien­te continua (cc), en los que el sentido de la corriente no cambia con el tiempo.Las linternas de mano y los sistemas de cableado de automóvil son ejemplos decircuitos de corriente continua. La energia eléctrica doméstica se suministra cnforma de corriente alterna (ca), donde la corriente oscila en un sentido y otro. Seaplican los mismos principios para el análisis de redes a ambas clases de circui­tos, y este capítulo concluye con un vistazo a los sistemas de cableado doméstico.Estudiaremos detenidamente los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31.

«

26.1 1 Resistores en serie y en paralelo

26.1 I Resistores en serie y en paraleloLos resistores aparecen en todo tipo de circuitos, desde secadoras de cabello y ca­lentadores de espacios hasta circuitos que limitan o dividen la corriente o reduceno dividen un voltaje. Estos circuitos suelen contener varios resislores, por 10 queresulta apropiado considerarlos como combinaciones de resistores. Un ejemplosimple es una serie de focos de [as que se usan como adornos navideños; cada fo-­co actúa como un resistor, y desde la perspectiva del análisis de circuitos la seriede fo~s es sencillamente una combinación de resistores.

Supóngase que se tienen treS resistores con resistencias R]> R2 Y R). La figura26.1 muestra cuatro maneras diferentes en que podrían estar conectados entre lospuntos a y b. Cuando varios elementos de circuito, como resistores, baterías y mo-­tares, están conectados en sucesión como en la figura 26.1a, con un solo caminode corriente entre los puntos, se dice que están conectados en serie. Estudiamoslos capacitares en serie en la sección 24.2; hallamos que, en virtud de la conser­vación de la carga, los capacitares en serie tienen todos la misma carga si inicial·mente están descargados. En los circuitos nos suele interesar más la corriente, quees el flujo de carga por unidad de tiempo.

De los resistores de la figura 26.\ b se dice que están conectados en paraleloentre los puntos a y b. Cada resistor ofrece un camino diferente entre los puntos.En el caso de elementos de circuito conectados en paralelo, la diferencia de pOlell­cia/ es la misma entre los bornes de cada elemento. Estudiamos los capacitores enparalelo en la sección 24.2.

En la figura 26.lc, los resistores R2 y Rl están en paralelo, y esta combinación es­tá en serie con R1• En la figura 26.1d, R2 YRJ están en serie, y esta combinación estáen paralelo con RI .

Con respecto a cualquier combinación de resistores, siempre se puede hallar lUlsolo resistor que podria tomar el lugar de la combinación y dar por resultado la mis­ma corriente y diferencia de potencial totales. Por ejemplo, se podria sustituir unahilera de focos navideños por lUl solo foco e!ecmoo, correctamente elegido, que to­maría la misma corriente y tendria la misma diferencia de potencial entre sus bornesque la hilera original de focos. La resistencia de este único resistor se conoce comola resistencia equivalente de la combinación. Si cualquiera de las redes de la figu­ra 26.1 sc sustituyese por su resistencia equivaleme R~, podríamos escribir

V"Vd/> = IR.... o R =-" ~ 1

donde V"" es la diferencia de potencial entre los bornes a y b de la red e I es la co­rriente en el punto a o b. Para calcular lUla resistencia equivalente, supondremoslUla diferencia de potencial V.. entre los bornes de la red real y calcularemos la co­rriente ¡ correspondiente y la proporción V,,¡jT.

Resistores en serie

Podemos deducir las ecuaciones generales de la resistencia equivalente de unacombinaci6n de resistores en serie o en paralelo. Si los resistores estan en serie,como en la figura 26.1a, la corriente I debe ser la misma en todos ellos. (Como co­mentamos en la sección 25.4, la corriente /lO se "gasta" al pasar a través de un cir­cuito). Aplicando V = iR a cada resiSlor se tiene

Va.< = IR 1 Vol)' = IR1 V).¿,·= IR j

Las diferencias de potencial entre los extremos de cada resistor no son necesaria­mente las mismas (excepto en el caso especial en el que las tres resistencías son

981

R, x R, R,b• ,

.- .-I I

<a) R1• R1 YR) en serie

R,

R,b•

'7 .-R, I

(bIRI.R~) RjeDp:uaJodo

R,

• R,b

'7 .-R, I

(c)R1en serie concombinación en

paralelo de R2 YR)

R, R,

• b

'7 R, '7

(d) R1en paralelo concombinación enserie de R1 y RJ

26.1 Cuatro fonnas diferentes de concelartres resistorcs.

982 CA PfTU LO 26 I Circuitos de corriente continua

Act¡vPhyscs12.1 Circuitos de e,en serie (cualitativo)

iguales). La diferencia de potencial V<lb entre los extremos de la combinación ensu totalidad es la suma de estas diferencias de potencial individuales:

Vab = VIU + V.oy + Vyb = ¡(R I + R2 + RJ )

Y. por tanto,

Por defmición, la proporción V."jl es la resislencia equivalente~. En consecuencia,

Rcq = RI + R~ + R)

Es fácil generalizar eslo a cualquier número de resistores:

Rcq = RI + R2 + RJ +... (resislores en serie) (26.1)

(26.2)(resistores en paralelo)

o bien, I 1 I l-=-+-+­Vab R] R2 R)

Pero por definición de la resistencia equivalente Req, l/Val> = J/Req, de modo que

1 I I I-=-+-+-Req R] R2,. R)

También en este caso es fácil generalizar a cualquier número de resistores en pa­ralelo:

La resistencia equinlente de cualqllier número de resistores en serie es iguala la suma de sus resistencias individuales. La resistencia equivaleme es mayorque cualquiera de las resistencias individuales.

Comparemos este resultado con la ecuaci6n (24.5), referente a los capacitores enserie. Los resistores en serie se suman directamente porque el voltaje entre los extre­mos de cada uno es directamente proporcional a su resistencia y a la comente co­mún. Los capacitares en serie se swnan recíprocamente porque el voltaje entre losbornes de cada uno es directamente proporcional a la carga común pero inversamen­te proporcional a la capacitancia individual.

Resistores en paraleloSi los resistores están en paralelo, como en la figura 26.1 b. la corrieme l! través decada resistor no es necesariamente la misma. Pero la diferencia de potencial entrelos bornes de cada resistor debe ser la mísma e igual a V<lb (Fig. 26.2). (Recuerdeque la diferencia de; potencial entre dos puntos cualesquiera no depende del cami­no seguido entre los puñtos.) Sean las corrientes en los tres resistores 11, 12 el).Entonces, dado que I = VIR,

Vab Val> Val>1,=- 12=- 1)=-

R, R2 R)

En general, la corriente es di rerente a través de cada resistor. Puesto que no seacumula ni se pierde carga por el punto a, la corriente total 1 debe ser igual a lastres corrientes de los resistores:

1 = 1, + 12 + 1) = Vab(-.!.- + -.!.- + -.!.-)R, R2 R)

I 1 1 I-=-+-+-+ ...Req Rf R2 R)

En el caso de cualquier nlÍmero de resistores en paralelo, el recíproco de la re­sistencia equivalente es igual a la suma de los recíprocos de sus resistencias in-

2i.Z Los faros de un auto están conecla­dos ce panJe:1o. Por lanlo. cada faro estác'iJ"es;a· alOdlla diferencia de pCllencialque i". d sistema eleclrico del ve­lricu10 y x dJI:icDe .. máxima brillanlez.0mI ,;aItaja es que.. sise funde uno de losfaros., el 0Ir0 COIIIIiDiia iluminando (véaseel ejemplo 26.2).

\

26.1 l Resistorcs en serie y en paralelo

dividuales. La resistencia equivalente siempre es menor que cualquiera de las re·sistencias individuales.

Comparemos este resultado con la ecuación (24.7), referente a los capacitaresen paralelo. Los rcsistores en paralelo se suman recíprocamente porque la corrien­te en cada uno es proporcional al voltaje común entre sus extremos e inversamenteproporcional a la resistencia de cada uno. Los capacitares en paralelo se suman di­rectamente porque la carga de cada uno es proporcional al voltaje común entre susbornes y directamente proporcional a la capacitancia de cada uno.

En el caso especial de dos resiSlores en paralelo,

I 1 1 RI + R,-=-+-= .R«¡ Rl R1 R]R2

ActjVPhyscs12.2 Circuitos de ce en paralelo

983

y

(dos resistores en paralelo) (263)

(26.4)

Puesto que Vah = /IRI = ¡2R2, se sigue que

~ = R2 (dos resistores en paralelo)/2 R 1

Esto demuestra que las corrientes transportadas por dos resistores en paralelo soninversamente proporcionales a sus resistencias respectivas. Pasa más corrientepor el camino que ofrece menos resistencia.

Estrategia pararesolver problemas Resistores en serie y en paralelo

IDENTIFICAR los conceplos pertinentes: Muchas redes de rc­sistores se componen de resistores en serie, en paralelo, o unacombinación de los dos. El concepto clave es que una red de es­te tipo se puede sustituir por un solo resistor equivalente.

PLANTEAR el problema utilizando las etapas siguientes:1. Haga un dibujo de la red dc resistores.2. Establezca si los resistores están conectados en scrie o en

paralelo. Adviena que suele ser posible considerar las re­des como las de las figuras 26.1c y 26.ld como combina­ciones de arreglos en serie y en paralelo.

3. Determine cuáles son las variables que se buscan. Podrianincluir la resistencia equivalente de la red, la diferencia depotencial entre los extttmos de cada m;istor o la corrien­te a traves de cada resistor.

EJECUTAR la solución como sigue:1. Con basc en la ecuación (26.1) o la (26.2), halle la resis­

tencia equivalente para una combinación en serie o en pa­ralelo, respectivamente.

2. Si la red es más compleja, intente reducirla a combinacio­nes en serie y en paralelo. Por ejemplo, en la figura 26.lc

. se sustituye primero la combinación en paralelo de Ni y R3

por su resistencia equivalente; ésta forma entonces unacombinación en serie con RI • En la figura 26.1d, la com-

binación de NI y R3 en scrie forma una combinación enparáÍelo con RI .

3. Al calcular diferencias de potencial recuerde que, cuandolos resistores están conectados en serie, la diferencia deporencialtotal entre los extremos de la combinación esigual a la suma de las diferencias de potencial individua­les. Cuando están conectados en paralelo, la diferencia dcpotencial es la misma en todos los resistores y es igual a ladiferencia de potencial entre los extremos de la combina·ción en paralelo.

4. Tenga en mente las expresiones análogas de la corriente.Cuando los resistores están conectados en serie, la co­rriente es la misma a traves de cada resistor y es igual a lacorriente a través de la combinación en serie. Cuando losresislores están conectados en paralelo, la corriente lotal através de la combinación es igual a la suma de las corrien­tes a través de los rcsistores individuales.

EVALUAR la respuesta: Compruebe si sus resultados son con­grucntes. Si los resistores están conectados en serie, la resisten­cia equivalente debe ser mayor que la de cualesquiera de losresis!ores individuales; si están conectados en paralelo, la resis­tencia equivalente debe ser menor que la de cualesquiera de losresistores individuales.

•

984

Ejemplo26.1

e A pí TUL o 26 I Circuitos de corriente continua

Resistencia equivalente

Calcule la resistencia equivalente de la red de la figura 26.3a, y en­cuentre la corriente en cada resistor. La resistencia interna de lafuente de [cm es insignificante.

lE!!l3l!llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: La red de tres resistores es una com­binación de conexiones en serie y en paralelo, como en la figura26.lc. Primero se determina la resistencia equivalente R'Q de estared en conjunto. Una vez definido este valor, se halla la corriente enla rem, que es igual a la corriente en el resistor de 4 !l Esta mismacortiente se divide entre los resistorcs de 6 fl Y3 fl; se determinacuánta pasa por cada resistor aplicando el principio de que la dife­rencia de potencial debe ser la misma entre los extremos de estosdos resistores (porque están conectados en paralelo).

EJECUTAR: Las figuras 26Jb y 26.3c muestran etapas sucesivas de lareducción de la red a una sola resistencia equivalente. De acuerdo conla ecuación (26.2), los resistores de 6 O y 3 n en parnlc10 de la figura26Ja son equivalentes al único resistor de 2 O de la figura 26.3b:

1 1 1 I-~-+-~-

R<q 60 30 20

(Se halla el mismo resultado aplicando la ecuación (26.3).) Deacuerdo con la ecuación (26.1), la combinación en serie de este re­sistor de 2 O con el resislOr de 4 O es equivalente ,,-1 único resistorde 6 n dc la figura 26.3c.

Para hallar la corriente en cada resistor de la red original, se in­vicrtc el ordcn de las etapas seguidas para reducir la red. En el cir­c\lilO de la figura 26.3d (idéntico al de la figura 26Jc), la corrientees 1 = VaJR = (18 V)/(6 O) = 3 A. Por tanto, la corriente en los re­sistores de 4 O y 2 O de la figura 26.3e (idéntica a la figura 26.3b)también es de 3 A. La diferencia de potencial Vcb entre los extremosdel resistor de 2 O es, por consiguiente, Vcb = IR = (3 A)(2 O) =

6 V. Esta diferencia de potencial también debe ser de 6 V en la figu­ra 26.3f(idcntica a la figura 26.3a). Como 1 = V<¡jR, ias corricntesen los resistores de 6 fl: Y3 O de la figura 26.3f son de (6 V)/(6 O)= 1A Y(6 V)/(3 O) =2 A, respectivamente.

EVALUAR: Dése cuenta que, en el caso dc los dos rcsistores en pa­ralelo entre los puntos e y b de la figura 26.3f, hay dos veces máscorriente a través del resistor de 3 fl: que a través del resistor de6 fl; pasa más corricnte por el camino de menor resistencia,de acuerdo con la ecuación (26.4). Dése cuenta además que la co­rriente total a través de estos dos resistores es de 3 A, la misma quea través del resistor de 4 fl entre los puntos a y c.

•

" 4 O

E= 18V,r= O

60

]0(.) VvW'-'

h

(6)

¡1~~

(o)

,.

~(1 60 b

Jt(d)

+ E=18V,r=O

6012V

~O Jta 4 c~b

]0

([)

r---"j+1, 18 V

12v 1

1

6V~a 40 e 20 h

(,)

/

• 18V

26.3 Etapas para reducir una combinación de resistores a un 5010 resistor equivalente yencontrar la corriente en cada resistor.

Combinaciones en serie versus combinaciones en paralelo

Se \"311 a coacc:rar dos foros idénticos a una fuente con E = 8 V Yresislencia Imcma insigniflC3D.te. Cada foco tiene una resistencia deR = 1 n.~ b CIDIlimIe a lnlves de cada foco, la diferencia

de potencial entre los bornes de cada uno y la potencia entregada a ca­da foco y a la red en conjunto si los focos están coneclados a) en se­rie, como en la figura 26.4a; b) en paralelo, como en la figura 26.4b.

26.1 I ResislOres en serie y en paralelo 985

-11 t'=8V.r-OR=2n

d 1-+ ,R-2n

c) Supanga que uno de los focos se funde; es decir, su filamento serompe y deja de pasar comente a través de el. ¿Qué le ocurre al otrofoco en el caso en serie? ¿Yen el caso cn paralelo?

mmmIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Las redes de resistores son cone.xio­nes simples cn serie y en paralelo. Se halla la potencia entregada acada resistor con base en la ecuación (25.18): P = I!R = JftIR.

EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.1), la resistenciaequivalente de los dos focos entre los puntos a y c de la figura 26.4aes la suma dc sus resistencias individuales:

Roq = 2R = 2(20) = 40

La corriente es la misma a través de uno u otro foco en serie:

li l'

(.)

1-+(')

v.... 8 V1~-~-=2A

Roq 40

l1esto que los focos tienen la misma resislencia, la diferencia depalencial es identica entre los bornes de cada foco:

v... = Vio<" = IR = (2 A)(2 O) = 4 V

Esto es la mitad de la lensión de bornes de la fuente (8 V). De acuer­do con la ecuación (25.18), la patencia entregada a cada foco es

P=I!R={2'A)~(20)=8W o

V.i V,,,? (4 vFP=R=R=~=8\V

La palcncia tolal entregada a los dos focos es P_ = 2P = 16 W.Tambien se puede encontrar la potencia total con base en la resiSlen­cia equivalente~ =4 O, a través de la cual la coniente es / =2 A,Yentre cuyos extremos la diferencia de patencial es V<OC = 8 V:

P,wJ = PR<q = (2A)l(40) = 16W o

V,,} (8V)lp.oW = -~ --= 16W

t Roq 40

b) Si los focos están en paralelo, como en la figura 26.4b, la dife­rencia de potencial V.." entre los bornes de cada foco es la misma eigual a 8 V, la tensión de bornes de la fuente. Por tanto, la conientea lraves de cada foco es

V", 8V1~-~-=4A

R 2 ny la potencia entregada a cada uno es

P=PR=(4A)l(20)=32Wo

V",l (8 vFP=R= 20 =32W

Tanto la diferencia de potencial entre los bornes de cada foco y lacorriente a través de cada uno son dos veces más grandes que en elcaso en serie. Por tanto, la potencia que se entrega a cada foco escllalro veces mayor, y la incandescencia de ellos es más brillanleque en el caso en serie. Si la meta es obtener la máxima cantidad de

26.4 Diagramas de circuilo de dos focos eléctricos (a) en serie y(b) en paralelo.

luz de cada foco, una configuración en paralelo es mejor que unaconfiguración en serie.

La potencia lotal entregada a la red en paralelo es P_ = 2P = 64\'1. cualro veces mayor que en el caso en serie. Esta mayor polenciaen comparación con el caso en serie no se obtiene ~gratuitameDte~:seextrae energía de la fuente con rapidez cuatro veces mayor en el casoen paralelo quc en el caso en serie. Si la fuente es una bateria, esta seagotará en la cuarta parte del tiempo.

Tambien se puede hallar la polencia tOlal con base en la resisten­cia equivalente~ dada por la ecuación (26.2):

~ = 2(210) = I 0-

1• o R<q = I O

La corricnte total a través del resislor equivalente cs I''''al = 21 =2(4A)= SA, y la diferencia de potencial entre los bornes del resis­tar equivalente es 8 V. Por lo tanlo el potencial total es

P"",oJ = I<Req = (8 A)"(I O) = 64 w o

V",1 (8 V)lPon! = -- ~ --- = 64W

R 10

La diferencia de potencial entre los bornes de la resislencia equi­valentes la misma en ambos casos. tanlo en serie como en para­lelo, pero en este uhiffiO el valor de Rcq es menor Y. por tanto.P_ = V21Roq es más grande.c) En el caso en serie fluye la misma corriente a traxes de los dosfocos. Si uno de ellos se funde. no habrá corriente en todo el circui­to y ninguno emitici luz.

En el caso en paralelo la difereocia de palencial enlre los bomesdecualquiera de los focos sigue siendo de 8 V aunque se funda unode ellos. Por tanto, la corriente a través del foco que funciona semantiene en 4 A, Y la potencia que se enfrega a ese foco sigue sien­do de 32 W, la misma que antes de fundirse el otro foco. Esta es unade las ventajas de la configuración de focos en paralelo: si uno sefunde, este hecho no influye en los otros. Este principio se aplica en

986 CAPíTULO 26 I Circuitos de comente conlinua

los sistemas de cableado doméstico, que analizaremos en la secoción 26.5.

EVALUAR: Nuestro cálculo no es dc1 todo exacto, porque la resisten­cia R = VII de los focos reales no es una constante independiente dela diferencia de potencial Ventre los bornes del foco. (La resistenciadel filamento aumenta con la temperatura de funcionamiento cre­ciente y, por tanto, con V I'n aumento). Pero si es efectivamente cier­lO que la incandescencia de los focos conectados en serie entre losbornes de una fuente es menos brillante Que cuando están conecta­dos en paralelo entre los bornes de la misma fuente (Fig. 26.5).

26.5 Cuando están conectados a la misma fuente, dos focos enserie (izquierda) consumen menos polencia y brillan meDOS inten­samente que cuando están en paralelo (lkrecha).

Suponga que los tres resistores de la figura 26.1 tienen la misma resistencia, demodo que R, = R2 = R) = R. Clasifique las cuatro configuraciones que se mues­tran en las partes de la (a) a la (d) de la figura 26.1 en orden de su resistencia equi­valente, de menor a mayor.

26.2 I Reglas de Kirchhoff

,

+''------''''dd

(b)

26.6 Dos redes que no se pueden reducir acombinaciones simples de resistores en se­rielparnlelo.

En la practica, muchas redes de resistores no se pueden reducir a combinacionessimples en serie o en paralelo. La figura 26.6a muestra una fuente de energía eléc·trica de cc con fem f:1que carga una batería con una fcm más pequeña f:2 yalimen­ta corriente a un foco con resistencia R, La figura 26.6b es un circuito de"pucnte", que se utiliza en muchos tipos distintos de sistemas de medición y con­trol. (En el problema 26.77 se describe una aplicación importante de un circuitode ''puente''). No es necesario recurrir a ningún principio nuevo para calcular lascorrientes en estas redes, pero hay ciertas técnicas que facilitan el manejo sistemá­tico de esle tipo de problemas. Describiremos las técnicas ideadas por el fisicoaleman Guslav Roben Kirchhoff (1"824-1887).

En primer lugar, he aquí dos términos que utilizaremos oon frecuencia. Una un.iÓnde un circuito es un punto donde se encuentran tres o más conductores. Las uni~nes también se conocen como n.odos o plintos de derimción.. Una espira es cualquiercamino conductor cerrado. El circuito de la figura 26.00 tiene dos uniones: a y b. Enla figura 26.6b, los puntos a, b, c y d son uniones, pero los puntOS e yf no lo son. Al­gunas de las espiras posibles de la figura 26.6b son los caminos cerrados acdba, acde­fa, abdefa yabcdefa.

Las reglas de Kirchhoff consisten de los dos enunciados siguientes:Regla de Kirchhoff de las uniones: La suma algebraica de las corrientes encualquier unión es cero. Es decir,

(regla de las uniones, valida en cualquier unión) (26.5)

,

26.2 1 Reglas de Kirchhoff

Regla de Kirchhoff de las espiras: La suma algebraica de las diferencias de po­tencial en cualquier espira, incluso las asociadas con las fem y las de elementoscon resistencia, debe ser igual a cero. Es decir,

(regla de las espiras, válida en cualquier espira) (26.6)

La regla de las espiras se basa en la conservación de la carga elecfrica. No sepuede acumular carga en una uni6n; de este modo, la carga lotal que entra en launión por unidad de tiempo debe ser igual a la C3Jg3 total que sale del empalme porunidad de tiempo (Fig. 26.7). La carga por unidad de tiempo es corriente; así que,si se consideran las corrientes que entran en una unión como positivas., y las que sa­len, como negativas, la suma algebraica de las corrientes en una unión debe sercero. Es como un ramal T de un tubo de agua; si entra un litro por minuto en un tu­bo, no pueden salir tres litros por minuto de los otros dos tubos. Más vale confesarahora que en la secci6n 26.1 utilizamos la regla de las uniones (sin mencionar el he­cho) en la deducci6n de la ecuación (26.2) de las resistencias en paralelo.

La regla de las espiras es una aseveración de que la fuerza electrostática es con·servativa. Suponga que se recorre una espina, midiendo de paso las diferencias depotencial entre los extremos de elementos sucesivos del circuito. Al regresar alpunto de partida, es preciso que la sl/ma algebraica de estas diferencias sea cero;de lo contrario, no se podria afirmar que la diferencia de potencial en este puntotiene un valor definido.

Para aplicar la regla de las espiras son necesarias ciertas convenciones en cuantoa signos. La estrategia para resolver problemas que viene a continuación describe endetalle cómo utilizarlas, pero un panorama general es el siguiente. Primero se supo­ne un sentido de la corriente en cada ramal del circuito y se marca sobre un diagra·ma de éste. En seguida, a partir de cualquier punto del circuito, se realiza unrecorrido imaginario de la espira sumando las fem y los términos IR conforme sellega a ellos. Cl:!.ando se pasa a través de una fuente en el sentido de - a +, se consi·dera la fem como positiva; cuando se pasa de + a -, se considera la fem comonegativa. Al pasar a través de un resistor en el mismo sentido de la corriente supuesta,eITérmino IR es negativo porque la corriente avanza en el sentido de potencial decre­ciente. Cuando se pasa a través de lU1 resistor en el sentido opuesto al de la corrientesupuesta, ellérmino IR es positivo porque representa una elevación del potencial.

Las dos reglas de Kirchhoff son todo lo que se necesita para resolver una ex­tensa variedad de problemas de redes. Por 10 regular se conocen algunas de lasfem, corrientes y resistencias, y otras son inc6gnitas. Siempre debemos obtener apartir de las reglas de Kirchhoffun número de ecuaciones independientes igual alnúmero de inc6gnitas, a fin de poder resolver las ecuaciones de forma simultánea.La parte más dificil de la resolución suele ser, no la comprensión de los principiosbásicos, ¡sino seguir la pista de los signos algebraicos!

987

Unión

26.7 La regla de Kirchhoffde las unionesestablece que fluye tanta corrienle haciauna unión como la que sale de ella.

Estrategia pararesolver problemas Reglas de Kirchhoff

IDENTIFICAR los COnceptos pertinentes: Las reglas de Kirch­hoff son herramientas importantes para analizar cualquier cir­CUilO más complicado que uoa espinl individual.

PLANTEAR el problema utilizando las elapas siguientes:l. Dibuje un diagrama de circuito gronde para que tenga es­

pacio sobrado parn rótulos. Ideotifique todas las canrida-

des, conocidas ydesconocidas, incluso un senlido supues­to de cada corriente y fem desconocidas. En muchos casosno se conoce por adelantado el sentido real de una co­rriente o fem, pero eso no importa. Si el sentido real deuna canlidad en particular es opuesto al que se supuso, seobtendrá el resultado con signo negativo. Si se aplican co­rrectamente las reglas de Kirchhoff, le proporcionarán los

988 e Al' fT ULo 26 I Circuitos de corriente continua

"E," . .

'1. .¡.

" "1, <-

11+/2t ~ 1,R,

1, 1,-"> <-

E," .

'1. +!.

"

l'

1, <- I,t ~ 1,R,

1, 1,-"> <-

R, R,

('l (bl

26.8 La aplicación de la regla de las uniones al punto (l reduce de tres a dos el númerode corrientes desconocidas.

26.9 Al aplicar las reglas de KirchhofT, siga estas convencio­nes de signos al recorrer la espira de un circuito.

EVALUAR la respuesta: Compruebe todas las ctapas algebrai­cas. Una estrategia útil consiste en considerar una espira distin­ta de las utilizadas para resolver el problema; si la suma de lascaídas de potencial alrededor de esta espira no es cero, se come­tió un error en algilli punto de los cálculos. Como siempre, pre­gúntese si las respuestas son razonables.

mento de circuito haya sido incluido en al menos una delas espiras elegidas.

5. Resuelva simultáneamente las ecuaciones para hallar lasincógnitas. Este paso requiere álgebnl. no fisica, pero pue­de llegar a ser bastante complejo_ Tenga cuidado con lasmanipulaciones algebraicas; un error de signo resultarianefasto para la solución en su totalidad.

6. Puede aplicar este mismo sistema de contabilidad para ha­llar el potencial Vab de cualquier punto a con respecto acualquier otro punto b. Inicie en b y sume los cambios depotencial quc encuentre al ir de b a a, aplicando las mis­mas reglas de signos que en la etapa 2. La suma algebrai­ca dc estos cambios es Val> = Va - Vb•

,

Recorrido)

Recorrido,

E

---=ji-=- -E

R

~+!R<--

1

Recorrido)

Recorrido,

R. ­~-!R

---->1

sentidos y también las magnirudes de las corrientes y femdesconocidas.

2. Al rotular corrientes, por lo regular es mejor aplicar la re­gia de las uniones de inmediato para I;:xpresar las corrien­tt;:s en témlinos del menor numero posible de cantidades.Por ejemplo, la figura 26.8a muestra un circuito rol~'lado

correctamente. La figura 26.8b muestra el mismo circuitoreetiquetado aplicando la regla de las uniones al punto apara eliminar ¡Jo

3. Establezca cuáles cantidades son las variables que se bus­can.

EJECUTAR la solución como sigue:1. Elija una espira cerrada cualquiera de la red y designe un

sentido (el de las manecillas del reloj o el contrario) pararecorrer la espira al aplicar la regla de las espiras. El sen­tido no debe ser necesariamente el mismo que el sentidosupuesto de la comente.

2. Recorra la espira en el sentido designado, sumando las di­ferencias de potencial conforme las cruce. Recuerde queuna diferencia de potencial positiva correspondc a un au­mento de potencial, y una diferencia de potencial negati­va, a una disminución de potenciaL Una fem se cuentacomo positiva cuando se cruza de (-) a (+), y negativacuando se eruza de (+) a (-). Un término IR es negativo sise pasa por el resistor en el mismo sentido de la corrientesupuesta, y positivo si se pasa en el sentido opuesto. La fi­gura 26.9 resume estas convenciones de signos. En cadaparte de la figura el '"recorrido" es el sentido en el que su­pongamos circular por la espira al aplicar la regla deKirchhoff de las espiras, no necesariamente el sentidode la corriente.

3. Iguale a cero la suma de la etapa 2.~. Si es necesario, elija otra espira para obtener otra relación

entre las incógnitas, y continúe hasta tener tantas ecuacio­nes independientes como incógnitas, o hasta que el ele-

26.2 I Reglas de KirchhoIT 989

f JPmplo16 J Circuito de una sola espira

y la potencia de salida de la fem dc la batería de 4 V es

p= &/= (-4V)(O.5A) = -2W

En estc caso los lerminos IR son negativos porque nuestro caminosigue el sentido de la corriente, con reducciones de potencial al pa­sar por los resistores. El resultado es el mismo que con el caminoinferior, como dcbe scr para que el cambio total de potencial aire·dedor de la espira completa sea cero. En cada caso, las subidas depotcncial se tornan como positivas. y las caidas, como negativas,e) La poleneia de salida de In fem de la bateria de 12 V es

p = t:I = (12V)(Ü.5A) = 6W

da uno representa un aumento de potencial al ir de b hacia a. Si encambio se sigue el camino superior. la ecuación resultante es

V. ~ 12 V - (0.5 A)(2 fi) - (0.5 A)(3 fi) ~ 9.5 V

8V=/(160) e 1=0.5A

-1(4 fi) - 4 V - 1(7 fi) + 12 V - 1(2 fi) - 1(3 fi) ~ O

El circuito que se muestra en la figurn 26. lOa contiene dos baterias.cada una con una fem y una ~sistencia inlema. y dos resislores.Halle a) la corriente en el circuito. b) la diferencia de pOlencial Y.­Yc) la potencia de salida de la fem de cada balería.

EJECUTAR: a) Iniciando de (J y avanzando en sentido contrario a lasmanecillas del reloj, se SUlllan los aumentos y disminuciones de po­tencial y se iguala la suma a cero, como en la ecuación (26.6). Laecuación resultante es

El punto a está a un potencial 9.5 más alto que b. Todos los térmi­nos de csta suma, incluso los términos IR, son positivos porque ca·

El signo negalivo de [ de la batería de 4 V aparece porque la co­rriente fluye en realidad del lado de mayor potencial de la batería allado de menor potencial~'81ornegativo de P significa que esta­mos al",aCf'nalldo energia en esa baleria, la cual eS{¡l siendo recar·gaJii por la baleria de 12 V...---

El resultado de 1 es positivo. lo que demuestra que el senlido su- EVALUAR: Aplicando la expresión P = 11Ra cada lUlO de los cuatropu~to ~ el correcto. Como ejercicio. pruebe a supo~r que lliene resiSIDre5 de la figura 26.103.. usted debe poder demostrar que la po-el sentido opuesto; deberá obtener I = -0.5 A. lo que indica que la tencla 10Ia1 que se disipa en los cuatro resiSlores es de 4 W. De los 6 WcorrieDle real es opuesta a ~ta suposición. que suministra la fcm de la OOler1a de 12 V. 2 W se emplean en alma-b) Para cncontrar V"", el potencial de a con respecto a b, se inicia en cenar energía en la batería de 4 W Y4 W se disipan en las resislencias.b y se suman los cambios de polencial conforme se avanza hacia a. El circuilo de la figura 26. lOa es muy parecido al que se utilizaHay dos caminos posibles de b a a: tomando primero el inferior ha· cuando se emplea un acumulador de automóvil para recargar unallamos que bateria descargada de otro aUlotnÓvil (Fig. 26.1 Ob). Los l1\Iiistores

V"" = (0.5 A)(7 0.) + 4 V + (0.5 A)(4 0.) = 9.5 V de 3 o. y7 n de la figura 26. lOa representan las resistencias de loscables de puentes y del camino conductor a lraves del automóvilcon la batería descargada. (Los valores de las resistencias de los au­tomóviles y cables de puentes reales son diferentes de los que seutilizan en este ejemplo).

E!l!!l!r:1IIDENTIFICAR YPLANTEAR: Este circuito de una sola espirn no tie­ne uniones: así que, no se necesita la regla de Kirchhotr de las unio­nes. Para aplicar la regla de las espims a la única espira, primero sesupone un sentido de la corriente; supongamos un sentido contrarioa las manecillas del reloj, como se muestra en la figura 26.IOa.

Juntando los términ¡no.que conlicoen I y se resuelve para I se obtiene.

20 12v

.1,

l'

-,-30 !I E3<lj

• -4.1,

ol'

40 4V•('1

b

70

(b)

26. tO (a) En este ejemplo se recorre la espira en el mismo sentido que se ha supuestorespecto a la corricnte: por tanto, todos los términos IR son negalivos. El polencial dismi­nuye al recorrer el circuito de + a - a traves de la fem inferior, pero aumenta al ir de - a+ a través de la fem superior. (b) Un ejemplo de la vida real de un circuito de este lipo.

990

Ejemplo26.4

e APfT UL o 26 I Circuitos de corriente continua

Carga de una batería

En el circuito que se muestra en la figura 26.11, una fuente de ener­gía eléctrica de 12 V con resistencia interna r desconocida está co­nectada a una batería recargable descargada con fem edesconociday resistencia interna de 1n, y a un foco indicador con resistencia de3 n que transporta una corriente de 2 A. La corriente a traves de labatería desca~ada es de I A en el sentido que se muestra. Encuen­tre la corriente desconocida 1, la resistencia interna,. y la fem S.

l'lll!!millIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se supone que el sentido de la co­rriente a través de la fuente de energía eléctrica de 12 V es como semuestra. Este circuito tiene más de una espira, por lo que es nece­sario aplicar tanto la regla de las uniones como la regla de las espí-

I2V ,

•

~I

(11 (3DE 10

• b"<-¡-¡-

'O30

E2A

26.11 En esle circuito una fuente de energía eléctrica carga unabalería agotada y enciende un foco. Se ha hecho una suposiciónacerca de la polaridad de la fem de la batería agotada; ¿es correctaesta suposición'!

ras. Son tres las variables quc se buscan; por tanto, se necesitan tresecuaciones.

EJECUTAR: Primero se aplica la regla de las uniones [ccuación(26.5)] al punlo a. Se encuentra que

-[+ lA+2A=0 por tanto 1=3A

Para hallar r se aplica la regla de las espiras (ecuación (26.6)] la es­pira exteríor marcada como (1); se encuentra que

12V- (3A)r- (2A)(3n) =0 de modo que r=20

Los téoninos que contienen las resistencias r y de 3 O son ncgalÍ­vos porque nuestra espira pasa por cstos elementos en el mismosentido de la corriente y, por tanto, se encuentran caídas dc poten­cial. Si hubiésemos optado por recorrer la espira (1) en el sentidoopueslO, todos los téoninos habrían tenido el signo opuesto, y el re­sultarlo de r habria sido el mismo.

Para determinar [se aplica la regla de las espiras a la espira (2):--E.+(IA)(10)-(2A)(3fl)=ü portanto E.·=-SV

El término que (;orresponde al resistor de lOes positivo porque alrecorrerlo en el sentido opuesto al de la corriente encontramos unasubida de potencial. El valor negativo de E. demuestra que la pola­ridad real de esta fem es opuesta a la que se supuso en la figura26.1 1; el borne positivo de esta fuente está en rcalidad del ladOde­

- recho. Como en el ejemplo 26.3. se está recargando la batería.

EVALUAR: Podemos comprobar nuestro resultado de [empleandola espira (3) para obtener la ecuación

12V ~ (3A)(2n) ~ (1 A)(I O) + &~ O

de laque se obtiene nuevameille que [= -S A.Como comprobación adicional de congruencia, advertimos que

V.... = Vh - t/4 es igual al voltaje entre los extremos de la resistenciade 3 fl, que es (2 A)(3 fl) = 6 V. Al irtle a hacia b por el ramal su­perior, encontramos diferencia." de potencial de + 12 V ~ (3 A)(2 O)= +6 V, y por el ramal intermedio hallamos que -{-S V) + (1 A)(1 n) = +6 V. Las tres maneras de obtener V/la dan los mismos re­sultados. Asegúrese de entender todos los signos de estos cálculos.

•Ejemplo

26.5 Potencia en un circuito de carga de batería

En el circuito del ejemplo 26.4 (Fig. 26. I 1), encuentre la potcncia en­negada por la fuente de energía eléctrica de 12 Vy por la bateria quese está recargando, 'j encuentre la potencia disipada en cada resistor.

l'lll!!millImornRCAR Y PLANTEAR: Utilizaremos los rcsultados de la sec­ó3a3..5. doode hallamos que la potencia entregada desde una fem

a un circuito es [1, 'j la potencia entregada a un reslstor desde uncircuito es V,,¡) = [2R.

EJECUTAR: La potencia de salida de la fem de la fuente de energíaeléctrica es

26.2 I Reglas de Kirchhoff 991

, La potencia disipada por la resistencia interna r de la fuente deenergia eléctrica es

macenando energía en la bateria al cargarla. Se disipa mas p<)[enciaen la resistencia interna de la batería; esta potencia es

P'"'-=Il_r,..= (3A)l(20) = 18W

de modo que la salida de potencia neta de la fuente de energía elec­triea es P_ "" 36 W - 18 W "" 18 W Como otra solución. según elejemplo 26.4 la tensión de bornes de la batería es Y"" = 6 Y; asique, la potencia de salida neta es

En estos u~rminos. la potencia de alimentación total a la batcría es,I W + 1--5 WI = 6 w. De esto, 5 W represenlaIt cnergía Íltil almace­nada en la batería; el resto.se desperdicia en su resistencia interna.

La potencia que se disipa en el foco es

p_ = V... /_ = (6V)(3A) = 18W

La potencia de salida de la fem Ede la bateria que se está cargando es

Pr... = E/bourl> = (-5 V)( 1A) = -5 W

Esta es negativa porque la corriente de I A fluye a tnl.ves de la baoteria de lado de mayor potencial aliado de menor potencial. (Comomencionamos en el ejemplo 26.4, la polaridad supuesta con respec­to a esta batería en la figura 26.11 estaba equivocada). Estamos al-

EVALUAR: Como comprobación, advierta que se ha descrito todala potencia de la fuentc. De los 18 W de potencia ncta de la fuentede energia eléctrica, 5 W se emplean en recargar la balería, I W sedisipa en la resistencia interna de la batería, y 12 W se disipan en elfoco.

• Ejemplo266 Red compleja

La figura 26.12 muestra un circuito de "puente" del tipo descrito alprincipio de esta sección (v6!se la Fig. 26.6b). Halle la corriente encada resistO!" y la resistencia equivalente de la red de cinco resistores.

Se trata de un conjunto de tres ecuaciones simultáneas con tres co­rrientes incógnitas. Se pueden resolver por diverws metodos; unprocedimiento directo consíste en resolver la tereera ecuación para

/2 para obtener /2 = /1 + IJ y en seguida sustituir esta expresión enlas primeras dos ecuaciones para eliminar 12, Al terminar, nos que­dan las dos ecuaciones siguientes:

,

):¡ O·(3) Pi.1 n 1!1

In"~--JYvy'---~b

(1)

+13V

26.12 Circuito dc red con varios resistores.

/"-------->(2)---------..

13VR~--=1.20

eq 11 A

EVALUAR: Los resultados l. = 6A,1z = 5 A e /J = -1 A se puedencomprobar sustituyendo estos valores en las tres ecuaciones (1), (2)y (3). ¿Qué encuentra usted?

Se sustituye cste resultado de nuC\'o en la ecuacion (1) para obtcnerh = -1 A, Yfinalmente, de acuerdo con la ecuación (3), se encuen­tra que /2 = 5 A. El valor negativo de /J nos indica quc su sentido esopuesto al que supusimos inicialmente.

La corriente total a través de la red es /¡ + /2 = 11 A, Yla caidade potencial entre sus eJltremos es igual a la fem de la bateria, estocs. 13 V. La resistencia equivalente de la red es

(1')

(2')

13V=/.(20)-/J(10)

13V=/1(3n) -/J(50)

EJECUTAR: Se aplica la regla de las espiras a tres espiras que semuestran, y se obtienen las tres ecuaciones siguientes:

13V-/,(IO)-(II-h)(ln)=O (1)

-/1(ln)-(i2+/J)(2n)+13V=O (2)

-/¡(I n) - IJ{I O) + /2(1 n) = O (3)

ln!IllmilIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Esta red no se puede representar entérminos de combinaciones en serie y en paralelo. Soo cinco las co­mcntes por determinar, pero aplicando la regla de las uniones a losnodos a y b, es posible representarlas en términos de tres corrientesdesconocidas, como se muestra en la figura. La corriente en la ba­

tcría es /. + /2'

,,

,

•

1Ahora se puede eliminar /J multiplicando la ecuación (1') por 5 ysumando las dos ecuaciones. Se obtiene

992

Ejemplo267

e A Pí T U LO 26 I Circuitos de corriente continua

Diferencia de potencial dentro de una red compleja

Halle la diferencia de potencial Vab en el circuito del ejemplo 26.6(Fig.26.12).

lE.l!m!llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Par" encontrar Va/> = Va - Vb se par­te del punto b y se sigue un camino hacia el punto n, sumando lassubidas y caidas al avanzar. Se pueden seguir varios caminos de b aG; el valor de Voh dcbe ser independiente del camino que se elija, locual proporciona un medio natural para comprobar el resultado.

EJECUTAR: El camino más simple es el quc pasa por el resistorccntral de I n. Hemos hallado que!) = -1 A, lo cual indica que elsentido real de la corriente en este ramal es de derecha a izquierda.Por tanto, al ir de b hacia a hay una caida de potencial de magnitud

va ue s co

IR = (1 A)(\ 11) = 1 V, Y Val> = -1 V. Es decir, el potencial en elpunto a es 1 V menor que en el punto b.

EVALUAR: Para poner a prueba nuestro resullado, ensayemos uncamino de b a a que pase por los dos resistores inferiores. Las co­rrientes a través de éstos son

/2 + IJ = 5 A + (-1 A) = 4 A e

11 - 13 = 6 A - (-) A) = 7 A

y, dc este modo,

V•• ~ -(4A)(20) + (7 A)(J O) ~ -J V

Le sugerimos ensayar algunos otros caminos de b a a para verificarque mmbién dan este resultado.

Reste la ecuación (1) de la ecuación (2) del ejemplo 26.6. ¿A cuál espira de la fi­gura 26.12 corresponde esta ecuación? ¿Habria simplificado esta ecuación la re­solución del ejemplo 26.6?

26.3 I Instrumentos de medición eléctrica

26.13 Esle amperímetro (arriba) y el vol­timelro (abajo) son ambos galvanómetrosde d'Arsom"3.l.. la diferencia tiene que vercon sus conexiones internas (veasc la Fig.26.15).

Hemos venido hablando acerca de diferencia de potencial, corriente y resistencia alo largo de dos capítulos, así que ya es tiempo de mencionar algo respecto a cómomedir estas magnitudes. Muchos dispositivos comunes, como tableros de instru-•mentas de automóvil, cargadores.de baterias e instrumentos eléctricos económicos,miden diferencias de potencial (voltajes), corrientes o resistencia mediante un gal­vanómetro de d'Arsonval (Fig. 26.13). En la exposición que sigue lo llamaremos amenudo simplemente un medidor. Una bobina de pivote de alambre fino está colo­cada en el campo magnético de un imán permanente (Fig. 26.14). Acoplado a la bo­bina hay un resorte, semejante a la espiral del volan.te de un reloj. En la posición deequilibrio, sin comente en la bobina, el indicador está en el cero. Cuando hay unacorriente en la bobina, el campo magnético ejerce sobre la bobina un momento detorsión proporcional a la corriente. (Examinaremos detenidamente esta interacciónmagnética en el capítulo 27). Cuando la bobina gira, el resorte ejerce un momentode torsión de recuperación que es proporcional al desplazamiento angular.

Así que la desviación angular de la bobina y el indicador es directamente pro­porcional a la corriente de la bobina, y se puede calibrar el dispositivo para medircorriente. La desviación máxima, que típicamente es de 90° más o menos, se co­noce como desviación de escala completa. Las características eléctricas funda­mentales del medidor son la corriente le<; necesaría para una desviación de escalacompleta (típicamente del orden de 10 ¡.tA alOmA) y la resistencia Re de la bo­bina (típicamente del orden de 10 a 1000 O).

La desviación del medidor es proporcional a la corriente en la bobina. Si la bo­bina obedece la ley de Ohm, la corriente es proporcional a la difá"encia de poten­cial entre los bornes de la bobina, y la desviación también es proporcional a estadiferencia de potencial. Por ejemplo, considérese un medidor cuya bobina tieneuna resistencia Re = 20.0 O y que se desvía la escala completa cuando la corrieo-

26.3 I Instrumentos de medición el&uica 993

l') ~)

l

26.14 (a) Galvanómetro de d'Arsonval. Se muestra la bobina articulada con indicadoracoplado, el imán permanente que suministra un campo magnético de magnitud uniformey el resorte que proporciona el momento de torsión de recupc1'lIción, opuesto al momentode torsión del campo magnético. (h) Bobina articulada alrededor de un núcleo de hierrodulce. Se han quitado los soportes.

te en la bobina es Ir. = 1.00 mA. La diferencia de potencial que corresponde a ladesviación de escala completa es

V ~ I"R, ~ (l.OO X 10-' A)(20.0 n) ~ 0.0200 V

AmperimetroEl nombre que se da habitualmente a un instrumento que mide corriente es el deamperímetro (o miliamperimetro, microamperímetro, y así sucesivamente, se­gún su esc~la). Un amperímetro siempre mide la cor:-ieme quepas~ a ')Ovés ~e él.Un ampenmetro ideal, como se coment6 en la seccl6n 25.4, tendria una reststen·cia de cero, por lo que su inclusión en un ramal de un circuito no influye en la co­rriente de ese ramal. Los amperimetros reales siempre lienen cierta resistenciafinita, pero en todos los casos es deseable que el amperímetro tenga tan poca re­sistencia como sea posible.

Cualquier medidor se puede adaptar para medir corrientes mayores que su lec­tura de escala complelh conectando un resistor en paralelo con él (Fig. 26.15a), afin de que parte de la corriente se desvíe de la bobina del medidor. El resistor enparalelo recibe el nombre de resistor de derivación o simplemente derivación. yse denota como R"".

--+I

l')

v. emenlo v"do

--+ circuito --+I I

(b)

26.15 (a) Conexiones internas de un am­perímetro de bobina móvil. (h) Conexionesinternas de un voltímetro de bobina móvil.

994 e A P f T U LO 26 I Circuitos de corriente continua

Suponga que se desea convertir un medidor con corriente de escala completa Ir.y resistencia de bobina Re en un amperímetro con lecrura de escala completa lo' Pa­ra determinar la resistencia de derivación Rsh que se necesita, dése cuenta que, condesviación de escala completa, la corriente total a través de la combinación en pa­ralelo es la. la corriente a traves de la bobina del medidor es lfu y la corriente a tra­vés de la derivación es la diferencia l. -lec' La diferencia de potencial V<lb es lamisma en ambos caminos; por tanto,

Ejemplo26.8 Diseño de un amperímetro

(en un amperimetro) (26.7)

¿Qué resistencia de derivación se necesita para convertir el medidorde 1.00 mA Y20.0 n antes descrito en un amperímetro con una es­cala de OA a 50.0 mA?

l'lll!!ImllIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Se busca que el ampcrimetro sea ca­paz de manejar W\3 corriente máxima l. = 50.0 mA = 50.0 X urJ

A. La resistencia de la bobina es Re = 20.0 n y el medidor mucstn!la desviación de escala completa cuando la corriente a troVes de labobina es 1,.= 1.00 X l¡r! A. La variable que se busca es la resisten­cia de derivación~ la cual se halla mediante la ecuación (26.7).

EJECUTAR: Despejando R"" de la ecuación (26.7) se obtiene

I,.R. (l.OO X 10-3 A)( 20.0 n)R~ = l. _ 1,. = 50.0 X 10-3A-l.OO X 10 lA

= 0.4080

Voltímetros

EVALUAR: Resulta útil considerar la resistencia equivalente~ delamperimetro en conjunto. De acuerdo con la ecuación (26.2),

l 1 1 I I-=-+-:--+---~ R~ R.. 20.0 n 0.408 n... : 0.4000

La resistencia de derivación es tan pequeña en comparación oon laresistencia del medidor, que la resistencia equivalente es casi iguala la resistencia de derivación. El resultado es un instrumento de ba­ja resistencia oon la escala deseada de Oa 50.0 mA. Con desviaciónde escala completa, 1= l. = 50.0 mA, la corriente a través del galva­nómetro es de 1.00 mA, la corriente a tJ'8vés del resistor de deriva­ción es de 49.0 mA YV06 = 0.0200 V. Si la corriente es menor que50.0 mA, la corriente de bobina y la desviación son proporcional­mente más pequeñas, pero la resistencia Req sigue siendo de 0.400 n.

:.

Act¡"vPhyscs12.4 Cómo utilizar amperfmetros

y voltlmetros

Este mismo medidor básico sirve también para medir diferencia de potencial o vol­laje. Un dispositivo que mide voltaje recibe el nombre de voltímetro (o mílivoltíme­tro, y así sucesivamente, según la escala). Un voltímetro s:empre mide la diferenciadc potencial entre dos puntos, y sus bornes deben estar conectados a esos puntos. (Elejemplo 25.7 de la sección 25.4 describe lo que puede ocurrir si se conecta un vol­tímetro incorrectamente). Como comenlamos en la sección 25.4, un voltímetro idealtendría una resistencia infinita, por lo que al conectarlo entre dos puntos de un cir­cuito no alteraria ninguna de las corrientes. Los voltímetros reaJes siempre tienenuna resistencia fmita, pero ésta debe ser 10 suficientemente grande para que al co­nectar el voltimetro a un circuito no altere las otras corrientes en grado apreciable.

Con respecto al medidor descrito en el ejemplo 26.8, el voltaje entre los bornesde la bobina del medidor con desviación de escala completa es de sólo lr/?= (1.00X 10-3 A)(20.0 fi) = 0.0200 V Esta escala se puede ampliar conectando un resis­tor~ en serie con la bobina (Fig. 26.15b). En estas condiciones sólo una fracciónde la diferencia de potencial total aparece entre los bornes de la bobina misma, yel resto aparece entre los exttemos de R,. En el caso de un voltimetro con lecturade escala completa Vv, se necesita un resistor en serie ~ e-n la figura 26.15b talqu<

(en un voltímetro) (26.8)

Ejemplo26.9

26.3 1 Instrumentos de medición el&:trica

Diseño de un voltímetro

995

EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (26.8),

¿Cómo se puede convenir un galvanómetro con Rc = 20.0 O e 1ft=­1.00 mA en un voltímetro con una escala máxima de 10.0 V?

llE!!Iil!JlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: El voltaje máximo permisible entrelos bornes del voltimetro es Vv =- 10.0 V. Se desea que esto ocurracuando la corriente a través de la bobina (de resistencia Ro=- 20.0O) sea 1,.= 1.00 X IO-J A. La variable que se busca es la resisten­cia en serie Ro> la cual se bal1a a partir de la ecuación (26.8).

V,R =---R• Ir. o

10.0 V- 20.0 n = 99800

0.00100 A

EVALUAR: Con desviación de escala completa, V... = 10.0 V; el vol­taje entre los borncs del medidor es de 0.0200 V; el voltaje entre loscxtremos de R. es de 9.98 V, Yla corriente a través del voltímetro esde 0.00100 A. En este caso, la mayor parte del voltaje aparece entrelos extremos del rcsistor en serie. La rcsistencia equivalente del me·didor es R<q = 20.0 n + 9980 n =- 10 000 f.l:. Un medidor comoéste se describe como un "medidor de 1000 ohm por voh", en refe·rencia a la proporción de la resislertcia respecto a la desviación deescala completa. Durante el funcionamiento nonnalla corriente através del elemento de circuito que se mide (1 en la Fig. 26.l5b) esmucho mayor que 0.00100A, y la resistencia entre los puntos a y bdel circuilo es mucho menor que 10000 f.l:. Por consiguiente, elvoltímetro torna sólo una pequeña fracción de la corriente y alteramuy poco el circuito que se mide.

Amperímetros y voltímetros en combinación

Se pueden utilizar un amperímetro y un voltímetro juntos para medir resistencia ypotencia. La resistencia R de un resistor es igual a la diferencia de potencial V<lb

entre sus bornes dividida entre la corriente 1; es decir, R = V«JI. La potencia dealimentación P a cada elemento de circuito es el producto de la diferencia de pa­tencial entre sus bornes por la corriente que pasa a través de él: P = V..,J. En prin­

cipio, la manera más directa de medir R o P es medir V.. e I simultáneamente.Con los amperimetros y voltímetros practicas esto no resulta tan simple como

parece. En la figura 26.16a, el amperimetro A lee la corriente I en el resistor R.No obstante, el voltímetro V lee la suma de la diferencia de potencial V<Jo entre losextremos del resistor y la diferencia de potencial Vbe entre los bornes del amperi­

metro. Si se transfiere el borne del voltímetro de e a b, como en la figura 26.l6b,entonces el voltímetro lee correctamente la diferencia de potencial Vah, pero aho­ra el amperímetro lee la suma de la corriente I en el resistor y la corríente Iv en elvoltímetro. De una u otra manera, es necesario corregir la lectura de un instru·

mento o del otro a menos que las correcciones sean lo suficientemente pequeñas

para ser insignificantes.

R,, R b ,

A~

I

v

R,

(.)

"R b ,

A

7

(b)

26.16 Mélodo de amperimerro-voltimetropara medir la resistem;ia.

Ejemplo2610 Medición de resistencia I

Supóngase que se desea medír una resistencia desconocida R me­diante el circuito de la figura 26.100. Las resistencias de los medi·dores son Rv = 10000 f.l: (en el voltímetro) y RA = 2.00 n (cn elamperímetro). Si el voltímetro indica 12.0 V, Yel amperímetro,0.100 A, ¿cuáles son la resistencia R y la potencia que se disipa enel resiSlor?

llE!!Iil!JlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: El amperímetro lee la corriente I =

0.100 A a través del resistor y el voltímetro lee la diferencia de po­tencia! entre ay c. Si el amperimetro fuera ideal (esto es, si RA = O),

habría una diferencia de potencial de cero entre b y c, la lectura delvoltimetro V = 12.0 V seria igual a la diferencia de potencial V..entre los extremos del resisto!. Y la resistencia seria simplementeigual a R = V:¡ = (12.0V)l(O.IOOA) = l20n. Sin embargo, el am­perímetro no es ideal (su resístencia es RA = 2.00 n); por tanto, lalectura Vdel voltimetro es en realidad la suma de las diferencias depotencial V... (entre los bornes del amperímetro) y Voh (entre los ex­tremos del resistor). Relacionaremos estos valores con la corrienteconocida mediante la lcy de Ohm, y resolveremos para VoJb Yla re­sistencia R. Una vez conocidos eSlOS valores, podremos calcular lapOtencia P que se alimenta al resistor.

996 e A P í T U LO 26 I Circuitos de corriente continua

EVALUAR: Se puede confirmar este resultado de la potencia apli­cando la fórmula P = ¡lR. ¿Obtiene usted la misma respuesta?

EJECUTAR: De acuerdo con la ley de Ohm, VI><; = IR" = (0.100A)(2.00 O) = 0.200 Vy Vab = IR. La suma de éstos es V= 12.0 Y;por tanto, la diferencia de potencial entre los extremos del resistores V..., = V - Vbe = (J 2.0 V) - (0.200 V) = J 1.8 V. Así pues, la re­sistencia es

Vab [I,SVR~-~--=1180

1 O.IOO A

La potencia que se disipa en este resistor es

P = Vobi = (11.8 V) (0.100 Al L18W

Ejemplo26.11 Medición de resistencia 11

1.l9W

1210

p= V,,¡,I= (12.0 V)(O.0988 A)

La potencia que se disipa en el resistor es

EJECUTAR: Se tiene Iv = VIR v = (12.0 \1)/(10 000 O) = 1.20 mA.La corriente real I en el resistor es I = lA -Iv = 0.100 A - 0.00 12A = 0.0988 A, Yla resistencia es

R ~ _Vo_o ~ ;C;;;J2;;:,O",V.,-[ 0.0988 A

EVALUAR: Nuestros resultados de R y P no dificren exccsivamen~

te de los resultados del ejemplo 26.10, donde los medidores estánconectados de otra manera. Esto es porque el amperímetro y el vol­tímetro son casi ideales: en comparación con la resistencia R en cx­perimentación, la resistencia RA del amperimetro es muy pequeña yla rcsistencia Rv del voltimetro es muy grande. No obstante, los re­sultados de los dos ejemplos son diferentes, 10 cual demuestra quees necesario tener en cuenta cómo se utilizan los amperimetros yvol!ímetros al interpretar sus lecturas.

Suponga que los medidores del ejemplo 26.\ Ose conectan a un re­sistor diferente, en el circuito de la figura 26.16b, y que las lecturasque se obtienen en los medidores son las mismas que en el ejemplo26.10. ¿Cuál es el valor dc csta nucva resistcncia R, y cuál cs la po­tencia que se disipa en el resistor?

lIli'l!.!DlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: En el ejemplo anterior, el amperime­Ira leía la corriente real a través del resistor, pero la lectura del vol­tímctro no era igual a la difcrencia de potcncial cntre los clltrcmosdel rcsistor. Ahora se ha invertido la situación: la lectura del voltí­metro V = 12.0 V mucstra la difcrencia de potencial real Val> entrelos extremos del resistor, pero la lectura del amperímetro 'A =0.100 A no es igual a la corriente I a través del resistor.

La aplicación de la regla de las uniones a b de la figura 26.16bmuestra que lA = I + Iv, donde Iv es la corriente a través del voltíme­tro. Se obliene Iv a partir de los valores conocidos de Vy la resisten­cia Rv del voltímetro, y se utiliza este valor para hallar la corriente delresistor l. Después se detennina la resistencia R a panir de I y la lec­tura del voltímetro, y se calcula la potencia como en el ejemplo 26.10.

Ohmiómetros

R

26.17 Círeuito de ohmiómetro. El resistorRo tiene resistencia variab-le, como lo indi­ca la flel;ha qne atraviesa el símbolo de re­sistor. Para utilizar el ohmiórnelrO, primerose conecta.le directamente a y y se ajusta R,asa que la recruca del medidor es de cero.J:JapJes se conectan x y y a los extremos.Id;c:sistor R Yse lee la escala.

Otro método para medir resistencia consiste en emplear un medidor de d'Arsonvalen una configuración conocida como ohmiÓmetro. Consta de un medidor, un re­sistor y una fuente (suele ser una bateria de linterna) conectados en serie (Fig.26.17). La resistencia R que se va a medir se conecta entre los bornes x y y.

La resistencia en serieR, es variable; se ajusta de modo que, cuando los bornes xy y estén en cortocircuito (es decir, cuando R = O), el medidor muestre una desvia­ción de escala completa. Cuando nada está conectado a los bornes x yy, de modo queel circuito entre x y y está abierto (es decir, cuando R ---+ 00), no hay corriente ni des­viación. Con cualquier valor illlermedio de R la desviación del medidor depende delvalor de R, y se puede calibrar la escala para leer directamente la resistencia R. Unacorriente mayor corresponde a una resistencia más pequeña; por tanto, esta escala selee hacia atrás en comparación con la escala que muestra la corriente.

Todos hemos visto probablemente medidores de varias escalas, o "multímetros",que emplean galvanómetros de d'Arsonva1. Un dispositivo de este tipo utiliza unmedidor de bobina móvil de escala única; se obtienen diversas escalas conmutandodiferentes resistencias en paralelo y en serie con la bobina del medidor. Mediante eluso de resistencias apropiadas, un multímetro sirve como voltímetro o como ampe­rimetro. Los multímetros también incluyen una batería, la cual, colocada en seriecon la bobina, consigue que el medidor funcione como ohmiómetro.

26.4 I Circuilos R-e

En situaciones que exigen gran pra:isión, los instrumentos que contienen me­didores de d'Arsonval han sido sustituidos por instrumentos electrúnicos de lectu­ra digital directa. Estos son más precisos, estables y mecánicamente resistentesque los medidorcs de d'Arsonval. Se pueden construir voltímetros digitales conuna resistencia interna extremadamente grandc, del orden de 100 MO.

El potenciómetroEl potenciómetro es un instrumento con el que se puede medir la fem de una fuen­te sin que tome corriente alguna de ella; además, tiene otras aplicaciones útiles.En esencia, el potcnciómetro compensa una diferencia de potencial desconocidacontra una diferencia de potencial mensurable y ajustable.

En la figura 26.18 se muestra esquematicameme el principio del potencióme­tro. Un alambre de resistencia ab con resistencia total R. está conectado perma­nentemente a los bornes de una fuente dc fem conocida El' Un contaclO corredizoe esta conectado a través del galvanómetro G a una segunda fuente cuya fem t; seva a medir. Conforme el contacto e se desliza a lo largo del alambre de resisten­cia, la resistencia Rcb entre los puntos e y b varia; si el alambre de resistencia esuniforme, Rcb es proporcional a la longitud del alambre emre e y b. Para medir elvalor de &2' se desliza el contacto e hasta que se halla un punto en el que el galva­nómetro no muestra desviación; esto corresponde a una corriente nula a través deE2• Con /2 = 0, la regla de Kirchhoff de las espiras da

&2 = /Rrb

Con /2 = 0, la corriente 1 que produce la fem [. tiene el mismo valor cualquieraque sea el valor de la fem &2' Se calibra el dispositivo sustituyendo &2 por unafueme de Cem conocida; en estas condiciones se puede hallar cualquier fem &2desconocida midiendo la longitud del alambre eb con la cual/2 = °(véase el ejer­cicio 26.31). Dése cuenta que, para que esto funcione, V. debe ser mayor que t;.

El término potenciómetro se aplica además a cualquier resistor variable, quepor lo regular tiene un elememo de resistencia circular y un contacto corredizocomrolado mediante un eje giratorio y una perilla. El simbolo de circuito de unpotenciómetro se muestra en la figura 26.18b.

Se desea medir la corriente a través del resistor de 2 n de la figura 26.12 (cjcm­plo 26.6 de la sección 26.2), asi como la diferencia de potencial entre sus extre·mos. ¿Cómo conectaría un amperímetro y un voltimetro para hacer esto? ¿Quéresistencias deben tener estos medidores?

26.4 I Circuitos R-eEn los circuitos que hemos analizado hasta aqui, hemos supuesto que todas las femy resistencias son constantes (independientes del tiempo), por lo que todos los po­tenciales, corrientes y potencias también son independientes del tiempo. Pero en elsimple acto de cargar o descargar un capacitor nos topamos con una situación en laque las corrientes, voltajes y potencias cambian con el tiempo.

Muchos dispositivos importantes incluyen circuitos en los que se carga y descar­ta alternativamente un capacitar. Entre ellos se cuentan los marcapasos cardiacos(Fig. 26.19), los semáforos intennitentes, las señales direccionales de los automóvi­les y las unidades de destello eleclTÓnico (Fig. 24.9). Por consiguiente, es de granimponancia práctica comprender 10 que ocurre en los circuitos de este tipo.

997

E,•

!I <--¡- li-4" b,

12 = o-(.)

(b)

26.18 (a) Circuito de potenciómetro.(b) Simbolo de circuito de un potencióme­tro (resistor variable).

26.19 Esta imagen coloreada de rayos Xmuestra un marcapaso implantado quirur.gieamente en un paciente con mal funcio­namiento de un nódulo auriculoventricular,la parte del corazón que genera la señalcléctrica que ponc en marcha los latidos.Para compensar, un marcapaso (situadocerca de la clavícula) envía una señal eléc­trica pulsante a lo largo dcl conductor has­ta el corazón para mantener un latidoregular.

998 CAPiT ULO 26 I Circuitos de corriente continua

(a) Capacitor inicialmente sin carga

InternlplOri abieno+~

Interruptorcerrado

i=Q q=O

I

Carga de un capacitor

La figura 26.20 muestra un circuito simple para cargar un capacitor. Un circuitocomo éste, con un resistor y un capacitor en serie, se denomina circuito R-C. Seidealiza la batería (o fuente de energía eléctrica) de modo que tenga fem [; cons­tante y resistencia interna nula (r = O), Yno se tiene en cuenUl la resistencia de to­dos los conductores de conexión.

Inicialmente, el capacitor está descargado (Fig. 26.20a); después, en ciertotiempo inicial t = Ose cierra el interruptor para completar el circuito y permitirque la corriente alrededor de la espira comience a cargar el capacitor (Fig.26.20b). Para toda consideración práctica, la corriente comienza en el mismo ins­tante en todas las partes conductoras del circuito, y en cada instante la corriente esla misma en todas las partes.

,e

bR

+

(b) Carga del capacitor

R

+q -q

rb 1

e

IlIDl!lll!l!l Hasta este punto hemos trabajado con diferencias de potencial(voltajes), corrientes y cargas constantes, y hemos utilizado las letras mayúscu­

las V.!y Q, respectivamente, para denotar estas magnitudes. A fin de distinguirentre las magnitudes que varían con el tiempo y las que son constantes, utiliza­remos las letras minúsculas v, i y q, respectivamente, para representar los volta­jes, corrientes y cargas que varían con el tiempo. Le sugerimos atenerse a estamisma convención en su propio trabajo.

(26.9)

26.20 Carga de un capacitor. (a) Inmedia­tamente antes de cerrar el interruptor, lacarga q es cero. (b) Cuando se cierra el in­terruptor (en t = O), la corriente salta decero a E/R. Conforme pasa el tiempo, qtiende a Qr, y la corriente i tiende a cero.

Ya que inicialmente el capacitor de la figura 26.20 está descargado, la diferenciade potencial ubcentre los extremos es cero en t = O. En ese momento, de acuerdo conla regla de las espiras de Kirchhoff, el volUlje V.b entre los extremos del resistor Resigual a la fem &de la batería. La corríente inicial (t = O) a través del resistor, a la quellamaremos lo, está dada por la ley de Ohm: lo = va¡jR = E/R.

A medida que el capacitor se carga, su voltaje Vbc aumenta y la diferencia depotencial Vah entre los extremos del resistor disminuye, lo que corresponde a unareducción de la corríente. La suma de estos dos voltajes es constante e igual a E.Al cabo de un largo tiempo el capacitar se carga totalmente, la corriente disminu­ye a cero y la diferencia de potencial val> entre los extremos del resistor se hace ce­ro. En ese momento aparece la totalidad de la fem &de la batería entre los bornesdel capacitar, y Vbc = E.

Sea q la carga del capacitar e i la corriente en el circuito al cabo de cierto tiem­po Idespués de cerrar el interruptor. Asignamos el sentido positivo a la corriente encorrespondencia al flujo de carga positiva hacia la placa izquierda del capacitor,como en la figura 26.20b. Las diferencias de potencial instantáneas Vah Y ViJe son

qVal> = iR Ubc = -e

Utilizando éstas en la regla de Kirchhoff de las espiras, se obtiene

E-iR-!i=Oe

Act'¡VPhyscs

El potencial cae una cantidad iR al pasar de a a b y q/C al pasar de b a c. Resol­viendo para i de la ecuación (26.9) se tiene

. E q,~--- (26.10)

R Re

12.6 Capacitancia En el tiempo t = O, cuando se cierra inicialmente el interruptor, el capacitar estádescargado y, por tanto, q = o. Sustituyendo q = Oen la ecuación (26.10) resultaque la corriente inicia! 10 está dada por 10 = EIR, como ya lo habiamos señalado.

26.4 I Circuitos R-e 999

Carga de un capacitor:q carga en función del tiempo

Carga de un capacitor:corriente en Función del tiempo

(ol

Qf --~t---~~--------

Qfle

___ 'L_

(26.11)Qf= CE

Si el capacitar no estuviera en el circuito, el último término de la ecuación (26.10)estaría ausente; entonces la corriente sería constante e igual a E/R.

Confonne la carga q aumenta, elténnino q/RC crece y la carga del capacitortiende a su valor final, al que llamaremos Qf. La corriente disminuye y terminapor desaparecer. Cuando i = O, la ecuación (26. IO) da

E Q,~

R RCDése cuenta que la carga final Qfno depende de R.

En la figura 26.21 se muestran la corriente y la carga del capacitar en funcióndel tiempo. En el instante en el que se cierra el interruptor (t = O), la corriente sal­ta de cero a su valor inicial lo = E/R; a partir de ese punto, se aproxima gradual­mente a cero. La carga del capacitar comienza en cero y poco a poco se aproximaal valor final dado por la ecuación (26.11): Qf = CE.

Se pueden deducir expresiones generales de la carga q y la corriente i en fun­ción del tiempo. Por haber asignado el sentido positivo a la corriente (Fig.26.20b), i equivale a la rapidez con la que llega carga positiva a la placa izquierda(positiva) del capacitor; por tanto, i = dq/dt. Haciendo esta sustitución en la ecua­ción (26.10) se obtiene

Re(b)

o

26.21 La corriente i y la carga q del capa­citar en función del tiempo en el circuitode la figura 26.20. La corriente inicial es loy la carga inicial del capacitor es cero. Lacorriente tiende asinlóticamente a cero y lacarga del capacitor tiende asintóticamentea un valor final Qf.

RC

1--(q - CE)

RC

dI

RC

E q-~-

R RCdq

dI

q CE

Esto se puede reordenar a

dq

para luego integrar ambos lados. Se cambian las variables de integración a q' y l' pa­ra poder fijar q y tcomo limites superiores. Los limites inferiores son q' = OYt' = O:

iq

,dq' = -it~oq-CE oRC

Después de integrar se obtiene

ln(q -C~E) =

q - CE = e-,IRece

Exponenciando ambos lados (es decir, tomando el logaritmo inverso) y resolvien­do para q se encuentra que

q = CE(1 ~ e-tlRC) = Qf(1 ~ e-tIRC) (26.12)

(circuito R-C, capacitar en carga)

La corriente instantánea i es simplemente la derivada de la ecuación (26.12) conrespecto al tiempo:

i = dq = !:..e ~,'RC = loe -tiRe

dI R(circuito R-C, capacitor en carga)

(26.13)

Tanto la carga como la corriente son funciones exponenciales del tiempo. La figu­ra 26.21a es una gráfica de la ecuación (26.13), y la figura 26.2Ib, de la ecuación(26.12).

,

1000 e A P í TUL o 26 I Circuitos de corriente continua

itI

Aet¡"vPhyscs12,7 Capacitares en serie y en paralelo

12.8 Constantes de tiempo de circuitos

Constante de tiempo

Al cabo de un tiempo igual a Re, la corriente en el circuito R-C ha disminuido al/e (alrededor aproximadamente de 0.368) de su valor iniciaL En este momento,la carga del capacitor ha alcanzado una fracción (l - l/e) = 0.632 de su valor fi­nal Qf = CE. El producto RC es, en consecuencia, una medida de la rapidez decarga del capacitor. Llamaremos a Re la constante de tiempo, o tiempo de rela­jación, del circuito, y la representaremos como r:

• T = RC (constante de tiempo del circuito R-C) (26.14)

Cuando Tes pequeña, el capacitor se carga rápidamente; cuando es más grande, elproceso de carga toma más tiempo. Si la resistencia es pequeña, la corriente fluyecon más facilidad y el capacitor se carga más pronto. Si R está en ohm y C en fa­rad, T está en segundos.

En la figura 26.2la el eje horizontal es una asíntota de la curva. En términos es­trictos, i nunca llega a ser exactamente cero. Sin embargo, cuanto más tiempotranscurre, más se acerca a ese valor. Al cabo de un tiempo igual a 10 Re. la co­rriente ha disminuido a 0.000045 de su valor inicial. De manera análoga, la curvade la figura 26.21b se aproxinia a la línea discontinua horizontal marcada como Qfcomo una asíntota. La carga q nunca alcanza exactamente cste valor, pero al cabode un tiempo igual a 10RCla diferencia entre q y Qrcs de sólo 0.000045 de Qr. Leinvitamos a comprobar que las unidades del producto RC son de tiempo.

(a) Capacitor inicialmente cargado

Interruprorcerrado

(26.15)

Descarga de un capacitor

Supóngase ahora que, cuando el capacitor de la figura 26.20b ya ha adquirido unacarga Qo, quitamos la bateria del circuito R-C y conectamos los pWltos a y e a un in­terruptor abierto (Fig. 26.22a). En seguida cerramos el interruptor y en el mismo ins­tante reajustamos nuestro cronómetro a t = O; en ese momento, q = Qo. Por 10 que elcapacitor se descarga a través del resistor, y su carga disminuye finalmente a cero.

Sean una vez más i y q la corriente y la carga que varian con el tiempo, en ciertoinstante después de efectuar la conexión. En la figura 26.22b se asigna el mismosentido positivo a la corriente, como en la figura 26.20b. En estas condiciones la re­gla de Kirchhoff de las espiras da la ecuación (26.10), aunque con E = O; es decir,

. dq q1=-=--

dt RC

lmuruprorabierto

b

+(10 -Qo

R

i=O

II

Ahora la corriente i es negativa; esto se debe a que sale carga positiva q de la pla­ca izquierda del capacitor de la figura 26.22b, de modo que la corriente tiene elsentido opuesto al que se muestra en la figura. En el tiempo t = O, cuando q = Qo,la corriente inicial es Jo = -QrlRC.

Para hallar q en función del tiempo, debemos reordenar la ecuación (26.15),cambiar de nuevo los nombres de las variables a q' y t', e integrar. Esta vez los li­mites de q' son de Qo a q. Se obtiene

s,dq' - 1 i' ,-- -- dr00 q' Re o

q rln-= --

Qo RC

----4 +q -q

I,R b ,

e(b) Descarga del capacitor

26.22 Descarga de un capacitar. (a) Antesde cerrar el interruptor en el tiempo t = 0,la carga del capacitor es Qo y la corrientees cero. (b) En el tiempo I después de ce­rrar el interruptor, la carga del capacitor esq y la corriente es i. El sentido de la co­rriente real es opueslO al que se muestra;i es negativa. Al cabo de un lÍempo largo,tamo q como i tienden a cero.

q = Qoe -IIRe (circuito R-C, capacitor en descarga) (26.16)

26.4 I Circuitos R-C 1001

La corriente instantánea i es la derivada de esto con respecto al tiempo:RC

En la figura 26.23 se han graficado la corriente y la carga; ambas magnitudestienden exponencialmente a cero con el tiempo. Si comparamos estos resultadoscon las ecuaciones (26.12) y (26.13), advertiremos que, aparte del signo de lfh lasexpresiones de la corriente son idénticas. La carga del capacitor tiende de maneraasintótica a cero en la ecuación (26.16), en tanto que, en la ecuación (26.12), la di­ferencia entre q y Q tiende asintóticamente a cero.

Las consideraciones energéticas nos ofrecen una visión más clara del comporta­miento de un circuito R-C. Cuando se está cargando el capacitar, la rapidez instan­tánea a la que la batería entrega energía al circuito es P = &i. La rapidez instantáneaa la que se disipa energía en el resistor es IR, y la rapidez a la que se almacena ener­gia en el capacitar es iU/J<: = iq/C. Multiplicando la ecuación (26.9) por i se obtiene

Ei = i 2R + iq/C (26.18)

Esto significa que, de la potencia suministrada ti por la batería, una parte (i2R) sedisipa en el rcsistor, y otra (iq/C) se almacena en el capacitor.

La energía total suministrada por la batería durante la carga del capacitor esigual al producto de la fem Ede la batería por la carga total Qr, o EQf. La energíatotal almacenada en el capacitar, según la ecuación (24.9), es Q,E!2. De este mo­do, de la energía swninistrada por la batería, exactamente la mitad se almacena enel capacitor, y la otra mitad se disipa en la resistencia. Resulta un poco sorpren­dente que esta división de la energía por mitades no dependa de C. R ní E. Este re­sultado también se puede verificar ponnenorizadamente tomando la integral conrespecto alliempo de cada una de las cantidades de polencía de la ecuación (26.18).Le dejamos esle calculo como diversión (véase el problema 26.87).

o

q

JoI~ ------­/,12

(b)

RC

Desca!ga de un c:apacilOl':carp en función del tiempo

Descarga de un capacitor:corriente Cll

lo función del tiem

(o)

o

26.23 La corriente i y la carga q dcl capa­citor en función dcl tiempo en el circuitode la figura 26.22. La corriente inicial es loy la carga inicial del capacitor es Qll; tanto¡como q tienden asintóticamenle a cero.

(26.17)i = dq = _ Qo e-dRC = loe-úRC

dt Re(circuito R·C. capacitar en descarga),

I

Elemplo26.12 Carga de un capacitor

Un resistor cuya resistencia es de 10 Mn se conecta en serie con uncapacitor cuya capacitancia es de 1.0 ¡.loF Yuna batería con una (emde 12.0 V, como en la figura 26.20. Antes que se cierre el inlerrup­lor en elliempo I = O, el capacitar eslá descargado. a) ¿Cuál es laconstante de tiempo? b) ¿Qué fracción de la carga final está en lasplacas en el tiempo t = 46 s1 c) ¿Qué fracción de la corriente ini­cial queda en t = 46 s?

lE!.!I3mlIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Con respecto a un capacitor que seestá cargando, la carga está dada por la ecuación (26.12), y la co­rriente, por la ecuación (26.13). La ecuación (26.14) proporciona laconstante de tiempo.

EJECUTAR: a) De acuerdo con la ecuación (26.14), la constante detiempo es

1 = Re = (10 x Icfin)(I.O x 1O-6 F) = lOs

b) La fracción dc la carga final del capacitor es q/Qf. Según lu ecua­ción (26. l2),

:L. = I _ e-rJRe = l _ e-(46,)I{10,) = 0.99Q,

El capacitar está cargado al 99% después de un tiempo igual a 4.6RC, o 4.6 constantes de tiempo.c) De acuerdo con la ecuación (26.13),

i- = e-~.6 = 0.0101,

Al cabo de 4.6 constantes de tiempo la corriente ha disminuido al1.0"/0 de su valor inicial.

EVALUAR: La constante de tiempo es relativamente grande porquela resistencia es muy grande. El circuito cargar.i con más rapidez sise utiliza una resistencia más pequeña.

1002

Ejemplo2613

CA pfTULO 26 I Circuitos de comente continua

Descarga de un capacitar

El resistor y el capacitor que se describen en el ejemplo 26.12 seconectan ahora como se muestra en la figura 26.22. Al capacitorse le proporciona originalmente una carga de S.O ¡Le, en seguida sedescarga cerrando el interruplor en t = Q. a) ¿Al cabo de cuantotiempo será la carga igual a 0.50 ¡.¡.C! b) ¿Cuál será la corriente enese momento?

l'Iil!!mmIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: En este caso el capacitar se está des­cargando; por tanto, la carga está dada por la ecuación (26.16), y lacorriente, por la ecuación (26.17).

EJECUTAR: a} Resolviendo para 1de la ecuación (26.16) se obtiene

t = -RCln.!LQ,

0.50 ¡Le= -(IOX ¡<J'in)(1.0x 1O-'F)In =235

5.0j.lC

Esto equivale a 2.3 veces la constante de tiempo 7' = Re = lOs.b) De acuerdo con la ecuación (26.17), con Qo = 5.0 p'e = 5.0 XJO-6 e,

Qo 5.0 x 10-' ei = __e-rlM: = - e-u = -5.0 x lO-a ARe lOs

Cuando se descarga el capacitar, la corriente tiene el signo opuestoque cuando se carga.

EVALUAR: Nos podríamos haber ahorrado el esfuerzo de calculare-;l.'« advirtiendo que, en el tiempo en cuestión, q = 0.10 Qo; deacuerdo oon la ecuación (26.16) esto significa que e-l.'K: = 0.10.

La energía almacenada en un capacitor es igual a tille. Cuando se_descarga uncapacitor, ¿qué fracción de la energía inicial pennanece cuando ha transcurridoun lapso equivalente a una constante de tíempo? ¿Depende la respuesta de cuántaenergía había almacenada inicialmente?

26.S I Sistemas de distribución de energía

Concluiremos este capitulo con un breve análisis de los sistemas prácticos de distri­bución de energía eléctrica en hogares y automóviles. Los automóviles utilizan sis­temas de corriente continua (cc), en tanto que casi todos los sistemas domésticos,comerciales e industriales emplean corriente alterna (ca) debido a la facilidad con laque se eleva y reduce el voltaje por medio de transformadores. En su mayor parte,se aplican los mismos conceptos básicos de cableado a ambos tipos. Hablaremoscon más detenimiento acerca de los circuitos de corriente alterna en el capítulo 31.

Las diversas lámparas, motores y otros aparatos que se van a utilizar siempre seconectan en paralelo a la fuente de energía eléctrica (los cables de la compañía deelectricidad cuando se trata de casas, o de la batetia y el alternador en el caso de unautomóvil). Si los aparatos se conectasen en serie, al apagar uno de ellos se apaga­tian todos los demás (véase el ejemplo 26.2 de la sección 26.1). En la figura 26.24se muestra el concepto básico del cableado doméstico. Un lado de la "línea", co­mo se le llama al par de conductores, se designa como el lado neutro; siempreestá conectado a "tierra" en el tablero de servicio. En el caso de los hogares, la tie­rra es un electrodo real insertado en el suelo (que nonnalmente es un buen con­ductor) o, a veces, conectado a la tuberia de agua de la vivienda. Los electricistashablan del lado con corriente y del lado "neutro" de la línea. Casi todos los siste­mas modemos de cableado tienen dos líneas con corriente de polaridad opuestarespecto a la neutra. Regresaremos a este detalle más adelante.

El voltaje doméstico es nominalmente de 120 V en América del Norte, y sueleser de 240 V en Europa. (En el caso de la corriente alterna, que varia sinusoidal­mente con el tiempo, estas cifTas representan el voltaje medio cuadrático, o volta-

26.5 I Sistemas de distribución de energía 1003

Fusible

Fusible

Lfu<.r-"--"-"'--+-....-+-------O-----~~

r-<f'\..t---r--r--,.---r-------- LiDCOl concorrienteDe la a)I1Ipai'iíade: electricidad

Fl1.'libleprincipal

í~~Ji--1@~JLi~~t_--I-I-,--,--__==__;:=_- Linea concnnicn!c

Tomas de___r-__---<>---_--="omo'o'c"=-'-_'- ------....-- Uneaneutra

Medidor

26.24 Diagrama esquemático de parte del sistema de cablcado dc una casa. Sólo semuestran dos circuitos de ramal; un sistema real podría tcncr de cuatro a treinta circuitosdel ramal. Se pueden conectar lámparas y aparatos en las tomas dc corriente. No se mues­tTan los alambres de conexión a tierra, quc normalmente no transportan corriente.

je eficaz, que es 1IV2 del voltajc máximo. Analizaremos eslO más a fondo en lasección 31.1.) La cantidad de corriente {que toma un dispositivo en particular es­tá detenninada por su potencia de alimentación P, dada por la ecuación (25.17):P = VI por tanto, {=P/V. Por ejemplo, la corriente en un foco de 100 W es

P IOOW1=- = -- = 0.83A

V 120V

La potencia de alimentación a este foco eslá determinada de hecho por su resistenciaR. Con base en la ecuación (25.18), la cual establece que P = VI = 12R = V 2R en elcaso de un resistor, la resistencia de este foco a la tempernlUnl de funcionamiento es

V 120V V' (120V)'R=-=--=I44fi o R=-= =1440

I 0.83 A P IOOW

De modo análogo, una waflera de 1500 W toma una corriente de (1500 W)/(120V) = 12.5 A Ytiene una resistencia, a la temperatura de funcionamiento, de9.6 n. Debido a que la resistividad depende de la temperarura, las resistcnciasde estos aparatos son considerablemente menores cuando están frios. Si se midela resistencia de un foco de 100 W con un ohmiómetro (cuya pequcña corrienteeleva muy poco la temperatura), es probable que se obtenga un valor dc alrededorde 10 n. Cuando se enciende un foco, esta baja resistencia da lugar a una oleadainicial de corriente hasta que el filamento se calienta. Es por cStO que un foco queya está cerca de fundirse casi siempre 10 hace en el momento de encenderlo.

La corriente máxima disponible dc un circuito individual cstá limitada por laresistencia de los alambres. Como señalamos en la sección 25.5, la pérdida de po­tencia ¡lR en los alambres eleva la temperatura de éstos, y en casos extremos pue­de provocar un incendio o fundir los alambres. Para el cableado ordinario deiluminación y tomas de corriente de las casas se utiliza normalmente alambrede calibre 12, el cual tiene un diámetro dc 2.05 mm y puede transponar como má­ximo una corriente de 20 A sin peligro (sin sobrecalentarse). Se utiliza alambremás grueso, por ejemplo de calibre 8 (3.26 mm) o 6 (4.11), para aparatos que to­man mucha corriente, como esrufas eléctricas y secadoras de ropa, y de calibre 2(6.54 mm) o más grueso en las líneas eléctricas principales de entrada en una casa.

los circuitos se protegen contra sobrecarga y sobrecalentamiento mediante fu­sibles o conacircuitos. Unfllsible contiene un enlace de aleación de plomo y esta­ño que funde a una temperatura muy baja; el enlace se funde y rompe el circuito

26.25 Juego de fusibles electricos. Unalambre fino de aleación de plomo y esta­ño se extiende a 10 largo de cada rusible,adentro del estuche transparente.

•

i1

t

1004 CAPÍTULO 26 I Circuitos de corriente cOnlinua

cuando se excede su comente nominal (Fig. 26.25). Un cortacircuitos es un dis­posilivo electromecánico que realiza la misma función mediante un electroiman ouna lira bimclálica que "dispara" el ruptor e interrumpe el circuito cuando la co­rriente excede un valor especifico. Los cortacircuitos tienen la ventaja de que sepueden reconectar después de que se han disparado, mientras que un fusible fun­dido debe ser sustituido. De cualquier modo, algunas veces los fusibles son másfiables en operación que los cortacircuitos

Si el sistema tiene fusibles y se conectan a una misma toma demasiados apara­tos que toman mucha corriente, el fusible se quema. No se debe sustituir el fusiblepor uno de mayor capacidad, pues se corre el riesgo de sobrecalentar los alambrese iniciar un incendio. La única solución que no ofrece peligro es distribuir los apa­ratos entre varios circuitos. Las cocinas modernas suelen tener tres o cuatro cir­cuitos individuales de 20 A.

El contacto entre los lados con corriente y neutro de la línea provoca un conocir­cuito. Esta situación, que puede ser debida a un aislamiento defectuoso o a diversasfallas mecanicas, ofrece un camino de muy poca resistencia a la corriente y permiteque fluya una corriente muy grande que rápidamente fundiria los alambres y haria ar­der su aislamiento si un fusible o conacircuitos no interrumpiese la corriente (véaseel ejemplo 25.11 de la sección 25.5). Una situación igualmente peligrosa es un alam­bre roto que interrumpe el trayecto de la corriente y crea un circuito abierto. Esto espeligroso porque se producen chispas en el punto de contacto intermitente.

En la práctica de cableado autorizada, se coloca un fusible o cortacircuitos só·lo en el lado con corriente de la línea, nunca en el lado neutro. De otro modo, sillegase a haber un conocircuito debido a un aislamiento defectuoso u otra falla, elfusible del lado de tierra podría quemarse. El lado con corriente todavía estaríavivo y representaría un peligro de choque electrico si se toca el conductor vivo yun objeto conectado a tierra, como un tubo de agua. Por razones analogas, el inte·rruptor de pared de un elemento de iluminación siempre esta en el lado cargado dela linea, nunca en el neutro.

Un tercer conductor, llamado alambre de conexión a tierra, que se incluye entodo el cableado moderno, ofrece protección adicional contra el peligro de descar­gas electricas. Este conductor corresponde a la punta larga y redonda o con formade U de la clavija de tres puntas de un aparato o de una herramienta eléctrica. Seconecta aliado neutro de la linea en el tablero de servicio. Normalmenle, el alam·bre de conexión a tierra no conduce corriente, sino que conecta a tierra la carcasao el bastidor metalico del dispositivo. Si un conductor del lado con corriente de lalínea entra en contacto accidentalmente con el bastidor o la carcasa, el conductorde conexión a lierra proporciona un camino para la corriente y entonces el fusiblese quema. Sin el alambre de conexión a tierra, el bastidor quedaría "cargado", esdecir, a un potencial de 120 V más alto respecto a la tierra. En estas condiciones,si una persona toca el bastidor y un tubo de agua (o incluso el piso húmedo de unsótano) al mismo tiempo, podría recibir una descarga peligrosa (Fig. 26.26). Enciertas situaciones, especialmente en tomas situadas al aire libre o cerca de un su·midero u otros tubos de agua, se utiliza un tipo especial de cortacircuitos conoci­do como internlptordeJalla de tierra (GFI o GfCl, por sus siglas en inglés). Estedispositivo percibe la diferencia de corriente entre los conductores con corrientey neutro (que normalmente es cero) y se dispara cuando esta diferencia excedecierto valor muy pequeño, típicamente de 5 mA.

De hecho, casi todos los sistemas de cableado doméstico se basan en un peque­ño refinamiento del sistema que hemos descrito. La compañía de electricidad su·ministra tres conductores (Fig. 26.27). Uno de ellos es neutro; los otros dos estána 120 V con respecto al neutro pero son de polaridad opuesta, 10 que da un volta·

26.5 I Sistemas de distribuci6n de energía 1005

(a) Clavija de dos puntas

¡(b) Clavija de tres puntas

26.26 (a) Si se conecta un taladro eléctri­co que funciona mal a un enchufe de paredpor medio de una clavija de dos puntas, lapersona puede recibir una descarga eléctri­ca. (b) Cuando el taladro funciona mal ha­llándose conectado por medio de unac1avij3 de tres puntas, la persona que lo fO­ca no recibe una descarga, porque la cargaeléctrica fluye por el alambre de conexióna tierra (verde) a la tercera punta y hacialierra, en vez de entrar en el cuerpo de lapersona. Si la corriente hacia tierra esapreciable, el fusible se quema.

je de 240 V entre ellos. La compañia de electricidad llama a esto una línea de treshilos, en contraste con la linea de 120 V de dos hilos (más uno de conexión a tie­rra) antes descrita. Con una linea de tres hilos, las lámparas y aparatos de 120 Vse pueden coneclar entre el conductor neutro y cualesquiera de los cargados, y losdispositivos de aila potencia que requieren 240 V, como las estufas eléctricas y lassecadoras de ropa, se conectan entre los dos alambres cargados.

A fin de evitar erroreS de cableado, los sistemas domésticos emplean un códigoestandarizado de colores en el que el lado con corriente de una linea tiene aislamien­to negro (negro y rojo para los dos lados de una linea de 240 V), el lado neutro tieneaislamiento blanco y el conductor de conexión a tierra esta desnudo o tiene aislamien­to verde. Sin embargo, en los dispositivos y equipos electrónicos los lados de las lineasa tierra y neutro por lo general son negros, ¡cuidado! (Las ilustraciones no siguen es­te código estándar, sino que muestran en rojo la línea cargada y en azul la neutra).

Todo lo que acabamos de exponer se aplica directamente al cableado de un au­tomóvil. El voltaje es de aproximadamente 13 V (corriente continua); la potenciaes suministrada por la bateria y el alternador, que carga la batería cuando el motorestá funcionando. El lado neutro de cada circuito está conectado a la carroceria yal bastidor del vchiculo. Con este bajo voltaje no se requiere un conductor adicio­nal de conexión a tierra como medida de seguridad. La disposición de los fusibleso cortacircuitos es la misma, en principio, que en el cableado doméstico. A causadel bajo voltaje (menos energía por carga), se requiere más corriente (mayor mi-

11

Lám¡MIa{t211

, ."

""" V)-

Eorufo e BlII"""'O Lo......jiIIas-:;:- Tom1prif11:ipaI (2.lOV) (l:!(lV) (l20V) (l1OV)

26.27 Diagrama de un sistem3 de cableado tipico de 120-240 V de una cocina. No se muestran losalambres de conexión a tierra. En cada línea, dIado con corriente se muestra en rojo, y la linea neutrase muestra en azul. (En d cableado doméstico real se utilizan otros colores).

1006 CAPíTULO 26 I Circuítosdeconienteconlinua

mero de cargas por segundo) para obtener la misma potencia; un foco de faro de100 W requiere una corriente de alrededor de (100 W)/(l3 V) = 8 A,

Aunque hemos hablado de potencia en los párrafos precedentes, 10 que adqui­rimos de la compañía de electricidad es energía. Potencia es energía transferidapor unidad de tiempo; en estos términos, energía es potencia promedio multipli­cada por tiempo. La unidad habirual de la energía que vende la compañía de elec­tricidad es el kilowatt-hora (1 kWh):

1 kWh = (103 W)(3600s) = 3.6 X 106 W's = 3.6 X lOóJ

El costo tipico de un kilowatt-hora es de 2 a 10 centavos de dólar, según la localidady la cantidad de energía consumida. El funcionamiento continuo de una waflera de1500 W (1.5 kW) durante una hora requiere 1.5 kWh de energía; a 10 centavos porld­lowatt-hora, el costo de la energía es de 15 centavos de dólar. El costo de tener encen­dida una lámpara o aparato durante un tiempo determinado se calcula de la misma

manera si se conoce su potencia nominal. No obstante, muchos utensilios eléctricosde cocina (incluso las wafleras) se encienden y apagan cíclicamente para manteneruna temperatura constante, de modo que la potencia promedio puede ser menor quela potencia nominal indicada en el dispositivo.

_ Circuito de cocina

Una tostadora de ISOO W, una sartén eléctrica de 1.3 kW y una lám­para de 100 W están conectadas a un mismo circuito dc 20 A Y 120V. a) ¿Cuánta corriente toma cada dispositivo, y cuál es la resistenciade cada uno? b) ¿Hará esta combinación que se queme el fusible?

f = 1,,,,wJon + 'sartén + f lámpan = 15 A + 11 A + 0.S3 A = 27 A

Esto excede la capacidad nominal de 20 A de la línea, y el fusiblese quemará sin lugar a dudas.

ISOOW + 1300W + lOOW

120V= 27 A

P,,,,,.w.o + p~" + P1ómpua

I ~ -=-=-=--==V

1 1 1 I-~---+--+--

R<:<¡ R,,,,,,,,,,,,,, R''''én Rlómpan

1 1 I -= SO + 11 0+ 1440 = 0.220-

1

R<:<¡=4.5n

De tal modo que la corriente total es I = V/R<:<¡ = (120 V)/(4.5 O)= 27 A, como antcs. Una tercera manera de hallar I es emplear J =

P/V y simplemente dividir la potencia total entregada a los tres dis­positivos entre el voltaje:

Demandas de corricnte como ésta se presentan cotidianamente en lascocinas, y es por esto quc las cocinas modernas tienen más de un cir­cuito de 20 A. En la práctica, la tostadora y la sartén eléctrica se de­ben conectar a circuitos diferentes; en estas condiciones la corrienteen cada circuito estaría por debajo de la capacidad nominal de 20 A.

EVALUAR: Tambié.n se podría hallar la corriente encontrando pri­mero la resistencia equivalente de los tres dispositivos en paralelo:

(120 V)2R~= =SO

ISOOW

(120V)2R~n = -'-c-,-,---'- = 11 n

1300W

RI,,"p>rO. = ,(_12_0_V_l,--2 = 144 OlOOW

IIA

15 A

100W11,,,,,,,,,,, = -- = 0.S3 A

120V

ISOOWIto>tll<loco = 120 V =

1300Wf'onI:n = 120 V =

Con voltaje constante el dispositivo con menos resistencia (en estecaso la losladora) toma la mayor cantidad de corriente y recibe lapotclKia más grande.

) la corriente total a través de la linea es la suma de las corrientes~ bIJaD. los tres dispositivos:

lE!!lil!llIIDENTIFICAR Y PLANTEAR: Cuando están conectados al mismocircuito, los tres dispositivos están en paralelo. El voltaje entre losbornes de cada uno es V = 120 V La corriente I que cada dispositi­vo toma se halla mediante la relación P = VI, donde P es la poten­cia de alimentación del dispositivo. Para hallar la resistencia R decada dispositivo se emplea la relación P = VI/R.

EJECUTAR: a) Para simplificar el cáleulo de la corriente y la resis­tencia conviene advertir que I = P/Vy R = V 2/p. Por tanto,

Para evitar que se queme el fusible del ejemplo 26.14, un electricista sustituye el

fusible por uno de 40 A. ¿Es razonable hacer esto?

Resumen

RESUMEN

1007

Cuando se coneclaD en serie varias resis­tencias R¡, R~, R], . .. ,la resistencia equi­valente R"{ es la suma de las resistenciasindividualcs. La misma corrienle fluye atrnvés de todos los resistores en una cone­xión en serie. Cuando se coneclan variosresistores en paralelo, el reciproco de la re­

sistencia equivalente R"{ es la suma de losreciprocas de las resistencias individuales.Todos los resistores de una conexión en pa­ralelo tienen la misma diferencia de poten­cial entre sus bornes. (Véanse los ejemplos

26. I Y26.2).

R"{ = R, + R2 + R] + ... (26.1)

(resistores en serie)

I I I 1-=-+-+-+ ... (26.2)R"{ R1 R2 R]

(resislores en paralelo)

o R, x R, , R, b- -1 IRl,R2 yR,eoscrie

R,

oR,

b- R, -I I

R1•Rl YR, en paralelo

En un galv3.nómerro de d'Arsonval, la desviación es proporcional a la corriente en la bobina.Para lener una escala de corriente mas amplia, sc agrega un resistor de derivación a fin de quepane de la corriente se desvie de la bobina del medidor. Un instrumemo de este tipo recibe el ....

nombre de amperimerro. Si la bobina y loda resistencia adicional en serie obedecen la ley deOhm, lambién se puede cnlibrar el medidor para leer diferencia de potencial o vahaje. Por lotanto el instrumcnto se llama voltímetro. Un buen amperímetro tiene muy baja resistencia; unbuen voltímetro tiene una resistencia muy grande. (Véanse los ejcmplos del 26.8 al 26.11).

La regla de Kirchholf de las uniones se basa en la conserva­ción de la carga. Eslablcce que la swna algebraica de las co­rrientes en cualquier unión empalme debe ser cero. La reglade Kirchholf de las espiras se fundamenta en la conserva­ción de la enCJgia y en la nanualeza conservativa de loscampos cIectrOS!áticos. Establece que la suma algebraica delas diferencias de potencial en tomo a una espira cualquie­ra debe ser cero. La aplicación minuciosa de reglas de sig­IlOS congruentes es indispensable para aplicar las reglas deKirchhoff. (V6anse los ejemplos del 26.3 al 26.7).

LI ~ O (26.5)

(regla de las uniones)

L V ~ O (26.6)

(regla de las espiras)

7

1,-- -1,~11·1,

20 12V

'+~f-'.•

~O 4V

--7

Cuando se carga un capacitar por medio deuna batería en scrie con un resistor, la corrien­te y la carga del capacitar no son constantes.La carga ticnde asintóticamente a su valor fi­nal, y la corriente tiende asintóticamente a ce­

ro. La carga y la corricnte del circuito estándadas por las ecuaciones (26.12) y (26.13). Alcabo de un tiempo 'T = RC, la carga se haaproximado a menos de lIe de su valor fmal.Este tiempo se llama constante de tiempo otíempo de relajación del circuito. Cuando elcapacitar se descarga, la carga y la corriente

estin dadas en función del tiempo por lasecuaciones (26.16 y 26.17). La constante detiempo es la misma en la carga y en la descar­

ga.. (Véanse los ejemplos 26.12 y 26.13).

q = CE( I - e-'IRe)

= Qr( I - t-tlRe)

(capacitar en carga)

dq E¡=_=_t-I/Red, R

= loe-l/Re

(capacitar tn carga)

q = Q(ll!' -IIIIC

(capacitar en descarga)

i = dq = _.fke-otRedi Re

= loe-tiRe

(capacitar en descarga)

Carga de un capacitor:(26.12) 1, corriente en función

del tiempo

1of2101'

(26.13)O Re

(26.16)

(26.17)

1008 e A pí T u LO 26 I Circuitos de comente cofuinua

En los sistemas de cableado doméstico, los diversos dispositivos eléctricos se co·nectan en paralelo entre los extremos de la línea de energía eléctrica, que consisteen un par de conductores, uno con corriente y el otro "neutro". Se incluye unalambre de conexión a "tierra" como medida de seguridad. La corriente máximapermisible en un circuito está determinada por el tamaño de los alambres y la tem­perarura máxima que toleran. Se proporciona protección contra una corriente exce­siva y el consiguiente peligro de incendio mediante fusibles o cortacircuitos.(Véase el ejemplo 26.14).

Términos clave

amperímetro,993circuito R-e, 998constante de tiempo (tiempo de

relajación),lOOOcorriente alterna, 980corriente continua, 980

Notas

espira, 986galvanómetro de d'Arsonval, 992ohmiómetro, 996paralelo, 981regla de Kirchhoff de las espiras, 987regla de Kirchhoff de las uniones, 986

resistencia equivalente, 981resistor de derivación, 993serie, 981unión,986voltímetro, 994

Preguntas para análisis 1009

Figura 26.28 PregunlaP26.4.

j•

Respuesta a la pregunta inicialdel capítulo

La difcrencia dc potcncial Ves la misma entre los extremos de losresislores concclados en parnlclo. Oc cualquier modo, pasa una co­rriente diferente la lravés de cada resistor si las resistencias R sondiferentes: I "" VIR.

Respuestas a las preguntas deEvalúe su comprensión

Sección 26.1 En orden de resistencia equivalente~ creciente, lasconfiguraciones son (b), (d). (e) y (a). Las rawnes son: (a) los tres re­sistores de la figura 26.1 a están en serie; por- tanto,~ = R + R + R

= 3R. (b) En la figura 26.1b los tres resistores están en paralelo; portanlO, IIR... = I/R + IIR + IIR = 31R. (e) En la figura 26.lc los re·sislom; segundo y tercero están en para1elo, por lo que su resistenciaequivalente RlJ está dada por IIRlJ = IIR + IIR = 2JR; por tanto. R]J= RIl. Esla combinación está en serie con el primer resistor; por tafl.

10. los tres resistoresjuntos tienen una resistencia equivalente R"'I = R+ RI2 = 3R12. (d) En la figura 26.ld los resistores segundo y lmeroestán en serie, por lo que su resistCttcia cquivalenle es Rll = R + R ::2R. Esla combinación está cn pantlclo con el primer resislor. por loque la resistcncia equivalcnlc dc la combinaciÓlt de tres resislOrcs cs·tá dada por 1I~ = IIR + IflR = 3n.R. Portaoto, R".¡ = 2R/3.Sección 26.2 La ccuación (2) menos la ecuación (1) da -/z( I fi)­(/l + hX2 fi) + (/1-/JXI fi) + /l(l fi) = O. Se puede oblener es-­ta ecuación aplicando la regla de las espiras alrededor del trayectode c a b a d a a a e de la figura 26.12. Esta ecuación no es nueva,por lo que no habría ayudado a resolver el ejemplo 26.6.Sección 26.3 El amperímetro se debe conectar en serie con el resis­tal' de 2 fi entre los puntos b y d , Ylos bornes del voltímetro se de­bcn concctar a los puntos b y d. Idealmente, la resistencia delamperímetro sería cero y la del voltímetro infinita, por 10 que su pre­sencia no innuiría ni en la corriente ni en el<Voltaje del resistor. Nin­guna de estas idealizaciones es posible, pero la resistencia delamperimctro dcbc ser mucho menor que 2 n, y la resistencia dcl vol­tímelro dcbe ser mucho mayor que 2 fi.Sección 26,4 Al cabo de una constante de tiempo, 1= RCy la car­ga inicial Qo ha disminuido a Qoe~rlRC = Qrf!-RC/RC = Qrf!-l = QJe.Por tanto, la energía almacenada ha disminuido de Qoznc a(Qrle)lI2C ,. Qol12C¿', una fracción 1I¿' = 0.135 de su valor ini·cial. Este resultado no depende del valor inicial de la energía.Sección 26.S EsIO es algo muy peligroso. El fusible permitirá ca·rrientes de hasla 40 A, el doble del valor nominal del cableado. Lacantidad de potencia P = /zR que se disipa en una sección delalambre puede ser, por tanto, de hasta cuatro veces el valor nomi­nal. y los alambres podrían calentarse mucho e iniciar un incendio.

Preguntas para análisis

P26.1 ¿En cuál foco de 120 V tiene mas resistencia el filamento;en uno de 60 W o en uno de 120 W? Si se conectan en serie los dosfocos a una linea de 120 V, ¿a tt:avés de cuál foco habrá la mayorcaída de vollaje? ¿Y si se conectan en paralelo? Explique su cazo.namiento.

P26.2 Se conectaron en serie dos focos dc 120 V, uno de 25 W yaIra de 200 W entre los bornes de una línea de 240 V. En principioeslO parecía una buena idea, pero uno de ellos se fundió casi instan­táneamenle. ¿Cuál se fundió y por qué?P26.3 Se conectan varios focos idénticos a una bateria de linternade mallO. ¿Qué le ocurre a la brillantez de cada foco a medida quese agregan mas al cireuito si se conectan: i) en serie, ii) en parnle.lo? ¿Durará más la batcría si los focos eslán en serie o en paralelo?Explique su razonamiento.P26.4 En el cireuitoque se mues­tra en la figura 26.28 hay tres fo­cos idénticos conectados a unabatería de linterna de mano. ¿Có­mo es la brillantez relativa de losfocos? ¿Por cuál pasa la mayorcantidad de corriente? ¿Cuál deellas tiene la diferencia de polen­cíal más grande entre sus bornes?¿Qué ocurre si se dcsenrosca elfoco A? ¿Y el foco B? ¿Y el foco C! Explique su razonamienlo.P26.5 ¿Por qué se atenúan las luces de un auto al accionar el mo­tor de arranque?P26.6 Los resistores Rl y Rz eslán conectados en paralelo a unafuente de fem con resistencia interna insignificante. ¿Qué le ocurrea la corriente que pasa por Rl cuando se quita Rz del circuilo? Ex­plique su razonamiento.P26.7 Los resistores Rl y Rzestán conectados en scrie a una fuen­te de fem con resistencia interna insignificante. ¿Qué le ocurre a lacorriente que pasa por Rl cuando se conecla un tercer resistor Rl enparalelo con Rz? Expliquc su razonamiento.P26.8 Compare las fórmulas referentes a resistores en serie y enparalelo con las correspondientes a capacitares en serie y en para­lelo. ¿Qué semejanzas y diferencias observa? A veces se cmplea enel análisis de cireuitos la magnítud conductancia, que se denota co­mo G y se define como el reciproco dc la rcsistencia: G = l/R. Ha­ga la comparación correspondiente entre conductancia y capaci.tancia.P26,9 ¿Es posible conectar resistores unos con arras de modo queno sc pucdan rcducir a alguna combinación de conexiones en seriey en paralelo? En caso afirmativo. cite ejemplos. En caso negativo.cxplique por qué.P26.10 Se pucdc ínvenir el sentido de la corriente en una baleríaconectando esta a una segunda batería de fem más grande, uniendolos bornes positivos de las dos baterías. Cuando se inviene el sentidode la corriente en una batería. ¿se imic:ne también la fcm? ¿Por qué?P26.11 En una linterna de dos baterias. éstas se conectan normal·mente en serie. ¿Por qué 00 conectarlas en paralelo? ¿Qué Posibleventaja se podria ganar conectando \'lIrias balerias idénticas en pa­ralelo?P26.12 Las mantaml)'llS elécuicas (género Torpedo) emiten descar­gas e1Cctricas para aturdir a sus presas y ahuyentar a los depredadores.(En la antigua Roma, los médicos prncticaban una fonna primitiva detaapia de electrochoque colocando maDtarrnyas e1Cctricas sobre suspacientes oon el propósito de curar las jaquecas y la gota). La figurn26293 muestra una Torpedo vista desde abajo. El voltaje es produci.do por unas células delgadas parecidas a obleas, llamadas electroeitos.

1010 CAPíTULO 26 t Circuitosciecorrientecontinua

(ol

('lJI R¡

!J..~~~

, f

Figura 26.31 Ejercicio 26.4.

Figura 26.34 Ejercicios 26.10y26.11.

E=60.QV. ,-0

5§6.000 4.000

Figura 26.32 Ejercicio 26.8.

E=48.0V, ,-0

~;\§7.000 5.000

Figura 26.33 Ejercicio 26.9.

guientes deben ser verdaderas? Justifique su respuesla en todos loscasos. a) /¡ ::: /] ::: /). b) La corriente es mayor en R1 que en R1.

c) El consumo de enorgía e1&trica es el mismo en ambos resisto­res. d) El consumo de energia eléctrica es mayor en R2 que en R,.e) La calda de potencial es la misma entre los extremos de ambosresistores. f) El polencial en el punto a es igual que en el puntó .:.g) El potencial en el punto b es menor que en el punto e, h) El po­tencial en el punto c es menor quc en el punto b.26.4 Si se conectan en paralelodos mistores R1 y R1 (R~ > R¡)como se mueslra en la figura26.31, ¿cuáles de las afirmacio­nes siguientes deben ser verda­deras? Justifique su respuesta entodos los casos. a) /1 == /~. b) /l :::I~. c) La corriente es mayor en R¡ que en R2. d) La rapidcz de con­sumo de energía eléctrica es la misma en ambos resislOres. e) La ra­pidez de conswno de energía eléctrica es mayor en R~ que en R,.f) V... = V",::: V,o/). g) El punto e esta a un potencial más alto que elpunto d. h) El puntofestá a un potencial más alto que el punto e.i) El punto e está a un potencial más alto que el punto e.26.5 Tres resistores con resistencias de 1.60 n. 2.40 n y 4.80 n secon«tan en paralelo a una bateria de 28.0 V cuya resistencia inter­na es insignificante. Halle a) la resistencia equivalcnte dc la combi­nación; b) la corriente cn cada resistor; c) la corriente total a travésde la bateriaj d) el voltaje entre los ex~mos de cada·resistor; e) lapotencia que se disipa en cada resistor. f) ¿Cuál resistor disipa másenergía: el que tiene mayor resistencia o el dc resistencia más pe­queña? Explique por qué debe ser así.26.6 Ahora los tres resistores del ejercicio 26.5 están conectadosen serie a la misma batcría. Responda las mismas preguntas conrespecto a esta situación.26.7 a) La potencia nominal deun resistor es la energía máximaque el resisl.Or puede disipar sinexcesiva elevación de su tempe­ratura. La potencia nominal deun resistor de 15 kn es de 5.0 W.¿Cuál es la máxima diferenciade potencial permisible entre losbornes del resistor? b) Se va aconeclar un resiSlOr de 9.0 kna través de una diferencia de po­tencial de 120 V. ¿Qué potencianominal se requiere?26.8 Calcule la resistencia equi­valente de la red de la figuro 26.32Y encuentre la corriente en cadaresistor. La resislencia interna dela batería es ins.ignificante.26.9 Calcule la resistencia equi­valente de la red de la figura 26.33y encuentre la corriente en cadaresister. La resistencia inlema de la batería es insígnifieal1te.26.10 Se ensamblan cuatro resistores y una balería con resistenciainterna insignificante para formar el circuito de la figura 26,34.

1, R, J~ R~ 1)..............aVfrbvr,c

Figura 26.30 Ejercicio 26.3.

figura 26.29 Pregunta P26.12.

Ejercicios

cada llila de las cuales actúa como una batcria con una fcm aplU.Jtima­da de 10'" V. Hay pilas de clectroeitos dispueslaS unas al lado de OIJ1lS

en la cara inferior de la Torpedo (Fig. 2629b); en estas pilas, la carapositiva de cada elcctrocito loca la cara negativa del electrocito si·guiente (Fig. 26.29c). ¿Cuál es la ventaja de apilar los e!ectrocitos? ¿Yde tener las pilas unas aliado de otras?P26.13 La fero de una balerla de linterna es casi constante al pasodel tiempo, pero su resistencia interna aumenta con el tiempo y conel uso. ¿Qué clase de medidor se debe utilizar para probar la anti­güedad de una bateria?P26.14 ¿Es posible tener un circuito en el que la diferencia de pcl(en·cial entre los bornes de una balerla incluida en el circuito sea cero? Encaso afirmativo, cite un ejemplo. En caso negativo, explique por qué.P26.15 Con resistencias muy grandes es fácil construir circuitos R­Ccon constantes de tiempo de varios segundos o minutos. ¿Cómo sepodria aprovechar este hecho para medir resistencias que son dema­siado grandes para ser medidas por medios más convencionales?P26.16 Cuando se conecta en serie un capacitar con una bateria y unresistor, ¿influye el resistoren la carga m.ixima que se almacena en elcapacitol1 ¿Por qué? ¿Qué propósito tiene la inclusión del resistol1P26.17 Cuanto más grande es el diámetro de alambre que se utilizaen el cableado doméstico, tanto mayor es la corrienle maxima que elalambre puede IIaJlsportar sin peligro. ¿A qué se debe esto? ¿Depen­de la corriente permisible de la longitud del alambre? ¿Depende delmaterial del que está hecho el alambre? Explique su razonamiento.

Sección 26.1 Resistores en serie y en paralelo26.1 Se conectan en paralelo un resistor de 32 nyuno de 20 n. yse conecta la combinación entre los bornes de una línea de ce de240 \~ a) ¿Cuál es la resistencia de la combinación en paralelo?b) ¿Cuál es la corriente tOlal a través de la combinación en parale­kJ? e) ¿Cuál es la corriente a través de cada resistol126.2 Pruebe que cuando dos resistores están conectados en paralc­kJ. la Te:SISletICia equivalente de la combinación siemprc es menorque la de cvalquiera de los resistoros.263 Si se CODCCtan en serie dosresistores R¡ ~. R: fR~ > R¡) co­mo se mucstt1l en b figura 2630.¿cuáles de las afirmaciones si-

Ejercicios 1011

E

100n

R

100n

6.00 nS.OOA

28.0V•

20.00 10.0 n 10.0 nAgua 5.0H 5.00

30.0 V 5.00

•

1.000 20.0 Y

• 6000

1.00 A ! LOO O E,400 O

" • b

1.00 A! t.oo n E,• 2.000

Figura 26.38 Ejercicio 26.18.

Figura 26.37 Ejercicio 26.17.

3.00 nFigura 26.39 Ejercicio 26.19.

Figura 26.40 Ejercicio 26.20.

R200A<-

" '\•1 3.00 n¡ ¡

4.00f3.00A

focos. b) Proporcione la energía.que se disipa en cada foco. e) Unode los focos se funde muy pronto.¿Cuál es? ¿Porqué?26.17 En el circuito de la figura26.37, un resistor de 20 n estásumergido cn 100 g de agua pumrodeada de espuma de poliestire­no aislantc. Si cl agua cstá inicial­mente a 1O.00 C, ¿cuánto tiempotomará para que su temperaturase eleve a 58.0°C?26.18 Encleireuitoquesemues­tra en la figum 26.38, la propor­ción a la que R] disipa energiaeléctrica cs dc 20.0 W. a) HalleR1 y R!, b) ¿Cuál es la fem de la bate­na? c) Encuentre la corriente a través de R! y del resistor dc 10.0 n.d) Calcule el consumo total de potencia eléctrica en todos los resisto­res y la potencia eléctrica entregada por la batena. Demuestre que susresultados son congruentes con la conservación de la energia.

Sección 26.2 Reglas de Kirc.hhoff26.19 En cl circuito de la figura26.39, encuentre a) la corrienteen el resistor R; b) la resistenciaR; c) la fem desconocida E. d) Sise interrumpe el circuito en elpunto x, ¿cuál es la corriente enel resistor R?26.20 Proporcione las fem Cl yE2 en el circuito de la figura26.40, y también la diferencia depotencial del punto b con respec­to al punto a.26.21 En el circuito de la figura26.41, halle a) la corriente en elresistor de 3.00 O; b) las femdesconocidas El y E2; e) la resis­tcncia R. Advierta que se dan trescorrientes.

Figura 26.41 Ejercicio 26.2l.

26.22 En el circuito de la figura 26.42, halle a) la corriente en ca­da ramal; b) la diferencia dc potencial Val> del punto a respecto alpunto b.26.23 La batería de 10.00 V de la figura 26.42 se quita del circuitoy se inserta de nucvo con la polaridad opuesta, de modo que ahorasu borne positivo cstájunto al punto a. El resto del circuito es comose muestra en la figura. Proporcione a) la corriente en cada ramal;b) la diferencia de potencial Vah del punto a respecto al punto b.

20.0 n

,Figura 26.35 Ejercicio 26.12.

Figura 26.36 Ejercicio 26.13.

Sean [ = 6.00 V, R¡ = 3.50 n, R2 = 8.20 n, R] = 1.50 n yR4 =

4.50 n. Halle a) la resistencia equivalente de la red; b) la corrienteen cada resistor.26.11 En el circuito de la figura 26.34 cada resistor representa unfoco. Sean R] = R"! = R] = R4 = 4.50 n y E = 9.00 V. a) Encuentrela corriente en cada foco. b) Proporcione la potencia que se disipaen cada foco. ¡,Cuál o cuáles bombillas iluminan con más brillantez?e) Ahom se quita del circuito la bombilla R4 y el alambre queda in­terrumpido en la posición que ocupaba. ¿Cuál es ahora la corrienteen cada uno de los focos restantes R 1, R, Y RJ? d) Sin el foco R4,

¿cuánta potencia se disipa en cada uno de los focos restantes?e) ¿En cuál o cuáles de los focos es más brillante la incandescenciacomo consecuencia de la elimi­nación de R4? ¿En cuál o cuáleses menos brillante? Comente porqué son diferentes los efectos enlos distintos focos.26.12 Considere el circuito quese muestra en la figura 2635, Lacorriente a través del resistor de6.00 fl es de 4.00 A, en el senti­do que se indica. ¿Cuáles son lascorrientes a través dc los resisto­res de 25.0 fl Y20.0 O?26.13 Ene1circuitoqucscmucs­tra cn la figura 26.36, el voltajecntre los extrcmos del resistor de2.00 fl es de 12.0 v: ¿Cuáles sonla fem de la bateria y la corriente a través del resistor de 6.00 D.?26.14 Foco de tres vías. Un foco de tres vias tiene tres ajustes debrillantez (baja, media y alta), pero sólo dos filamentos. a) Ciertabombilla eléctrica de tres vias conectada entre los extremos de unalinea de 120 V puede disipar 60 W, 120 W o 180 W. Describa cómoestán dispuestos los filamentos en el foco y calculc la resistcncia decada filamento. b) Suponga que el filamento de mayor resistenciase funde. ¿Cuánta potencia disipará el foco en cada uno de los ajus­tes de brillantez? ¿Cuál será la brillantez (baja, media o alta) en ca­da ajuste? e) Repita el inciso (b) con respecto a la situación dondeel filamento que sc fundc es el de menor resistencia.26.15 Focos en serie y en paralelo. Las resistencias respectivas dedos focos son de 400 fl y 800 fl. Si los dos focos están conectados enscric entre los extremos de una línea de 120 V, encuentre a) la corrien­te a través de cada foco; b) la energia que se disipa en cada foco y laenergia total que se disipa en ambos. Ahora se conectan las dos bom­billas en paralelo entre los extremos de la línea de 120 V. Halle e) lacorriente a través de cada bombilla; d) la potencia que se disipa en ca­da foco y la energia total que se disipa en ambos. e) En cada situación,¿cuál de los dos focos ilumina con más brillantez? ¿En cuál situaciónproduce más luz la combinación de ambos focos?26.16 Focos en serie. Un foco de 60 W y 120 V Yuno de 200 W y120 V se conectan en serie entre los extremos de una línea de 240 v:Suponga que la resistencia de los focos no varia con la corriente.(SOla: Esta descripción de un foco proporciona la potencia que di­sipa wando esta conectado a la diferencia de potencial señalada; esdecir. unabombi11a de25 W y 120V disipa 25 W cuando está conec­tada a UlUliDea de 120 V). a) Encucntre la corriente a través de los

•

1

•

,"

1012 CAPfTULO 261 Cirt:uitosdecorrienlecontinua

•10.00 n

1.00 o ~.OO V•.oo fl•

Figura 26.44 Ejercicio 26.34.

te la resistencia interna del galvanómetro? c) Suponga que [1 =9.15 V YI = 1.000 m. La lectura del galvanómetro G es cero cuan­dox = 0.365 m. ¿Cuál es la fem [2?26.32 Dos voltímetros de 150 V, uno con una resistencia dc 10.0 Oy el otro con una resistencia de 90.0 kO, están conectados en serieentre los extremos de una Imea de ce de 120 V. Encuentre la lectu­ra de cada voltimetro. (Un voltimetro dc 150 V sufre una desvia­ción de escala complela cuando la diferencia de potencial entre susdos bornes es de 150 V).26.33 En el ohmiómetro de la figum 26.16, la bobina del medidortiene una resistencia Ro = 15.0 O y la corriente necesaria para unadesviación de escala completa es ',.= 3.60 mA. La fuente es una ba­tería de lintcrna con [= 1.50 Vy rcsiSlencia interna insigJIificaDle. Elohmiómetro debe: mostrar una desviación del medidor de media esca­la completa cuando estD. conectado a un resistorcon R = 600 O. ¿Quéresistencia en serie R. se requiere?26.34 En el ohmiómetro de lafigura 26.44, Mes un medidordc2.50 mA con una resistenciade 65.0 O. (Un medidor de 2.50roA sufre una desviación de es­cala completa cuando la corrien­te a tra\'es de d es de 2.50 mAl. La batería B tiene una fem de 1.52V Ysu resistencia interna es insignificante. R se elige dc modo que,cuando se ponen en cortocircuito los bornes a y b (R, = O), la lec­tunI del medidor es la escala completa. Cuando a y b están abienos(R, = oc), la lectura del medidor es cero. a) ¿Cuál es la rc:sistenciadel resistor R? b) ¿Qué corriente indica una resistencia R, de 200O? c) ¿Qué valores de Rx corresponden a dcsviaciones del medidorde}, ty ~ de la escala completa si la desviación es proporcional a lacorrienlc que pasa por el galvanómetro?

Sección 26.4 Circuitos R-e26.3S Compruebe que el producto Re tiene dimensiones de tiempo.26.36 Un capacitor de 4.60 p.F que inicialmente esta sin carga se ro­nccla en serie con un resistor de 7.50 kO y una fuentc de fem conS = 125 V Yresistencia interna insignificante. Inmcdiatamentedespues de completar el circuito, ¿cuál es: a) la caida de voltaje en­tre los extremos del capacitar, b) la caida de voltaje entre los extre­mos del resistor, c) la carga del capacitar, d) la corriente a través delresistor? e) Mucho tiempo después de completado el circuito (al ca·bo de muchas constantes de tiempo), ¿cuáles son los valores de lascuatro cantidades antcriores?26.37 Se carga un capacilor de capacitancia e = 455 pF con unacarga cuya magnitud es dc 65.5 nC en cada placa. Después se co­necta el capacitar a un voltimetro con una resistencia interna de1.28 MO. a) ¿Cuál es la corriente a traves del voltimetro inmedia·tamente después de establecer la conexión? b) ¿Cuál es la constan·te de tiempo de este circuito R~C!

26.38 Se carga un capacitar a un potencial de 12.0 V Yluego se co­necta a un voltimetro con una resistencia interna de 3.40 MO. Alcabo de un tiempo de 4.00 s la lectura del voltímetro es de 3.0 V.¿Cuill es la capacitancia?26.39 Se conecta un capacitor de 12.4p,F, a través de un resislorde 0.895 MO, a una diferencia de potencial constante de 60.0 V.a) Calcule la carga del capacitor a los tiempos siguientes despues de

2.00 fl 10,00 V3 n• , 00

Figura 26.42 Ejercicios26.22, 26.23 Y26.24,

Figura 26.43 Ejercicio 26.29.

26.24 La batería de 5.00 V de lafigura 26.42 se quita del circuitoy se sustituye por una balería de20.00 V con su borne negativojunto al punto b. El resto del cir­cuito es como se muestra en lafigura. Encuentre a) la corrienleen cada ramal: b) la diferencia de

potencial V<IIl del punto a respec­to al punto b.26.25 Con base en la expresión P = 11R, calcule la potencia totalque se disipa en los cuatro resistores de la figura 26.1 Da.26.26 En el cin:uito de la figura 26.103 (ejemplo 26.3. sección 26.2),se quita la baleria de 12 VYse inserta de nuevo con la polaridad opucs­la. de modo que ahora su borne posith'O está jWlIo al punto b. El~del circuito es como se muestra en la figura. Halle a) la corriellle en el

circuito (magnitud y dirección); b) la diferencia de potencial Vo/y26.27 En el circuito que se muestra en la figura 26.12 (ejemplo 26.6,sección 26.2), se sustituye el resislor de 2 n por uno de 1 O, Ycl re­sistor ccntral de I O (por el quc pasa la corriente /l) sc cambia por unresistor de resistencia desconocida R. El resto del circuito es como semuestra en la figura. a) Caleule la corriente cn cada resistor. Dibujeun diagrama del circuito y marque cada resistor con la corriente quepasa por él. b) Calcule la resistencia equivalente de la red. c) Calculela diferencia de pOleneial V.. d) Sus respuestas de los incisos (a). (b)y (c) no dependen del valor de R. Explique por que.

Sección 26.3 Instrumentos de medición eléctrica26.28 La resistencia de una bobina de galvanómetro es de 25.0 O,y la corriente que se requiere para una desviación de escala comple­ta es de 500 ¡JA. a) Muestre en un diagrama cómo convertir el gal­vanómetro en un amperímetro con una lectura de escala completade 20.0 mA, Ycalcule la resistencia de derivación. b) Muestre có­mo transformar el galvanómetro en un voltímetro con una lecturade escala completa de 500 mV, y calcule la resistencia en serie.26.29 La resistencia de In bobina de un galvanómetro de bobina depivote es de 9.36 O, Yuna co­rriente dc 0.0224 A provoca unadesviación de escala completa.Se desea convertir este galvanó­metro en un amperimetro conuna lectura de escala completa de20.0 A. La única derivación dis-ponible tiene una resistencia de 0.0250 O. ¿Que resistencia R se de­be conectar en serie con la bobina (vease la Fig. 26.43)?26.30 La resistencia interna de cicrta bateria de 90.0 V es r = 8.23O. a) ¿Cuill es la lecrura de un voltímetro con una resistencia Rv =425 n cuando se conecta entre: los bornes de la batería? b) ¿Cuál esel valor máximo que la proporción r1Rv puede tener pa13 que el errarde la lectura de la fem de una batería no sea de más de un 4.0%?2631 Considere el circuito del potenciómetro de la figura 26.18.El resistor entre a y b es un alambre uniforme de longitud 1, con uncontacto corredizo c a uoa dislanciax de b. Se mide una fem deseo­DOCÍ.da ~ deslizando el contacto hasta que la lectura del galvanó­IIICU'O G es cero. a) Demuestre que en estas condiciones la femks 'lbXida~ dada por [1 = (xll)[l' b) ¿Por que no es importan-

••

Problemas 1013

,Figura 26.45 Ejercicios26.42 y 26.43.

Problemas

lo tiene ajustes de potencia de 600 W, 900 W, 1200 Wy 1500 W. Se ro­mienza a utilizar la secadora de cabello en el ajuste de 600 W y se au~

menta el ajuslC de potencia hasta que se dispara el cortacircuitos. ¿Cualfue el ajuste de potencia que provocó el disparo del cortacircuilos?26.46 ¿Cuántos focos de 90 W y 120 V se pueden cone<;tar a uncircuito dc lOA y 120 V sin que se dispare el cortacircuitos? (Véa­se la nota dcl ejercicio 26.16).26.47 El elemento calentador dc una estufa eléctrica consiste enun alambre calentador incrustado en un material eléctricamente ais­lante, que a su vez se encucntra denlro de una cubicrta metálica. Elalambre calenlador tiene una resistencia de 20 n a lemperatura am­biente (23.()"q y un coeficiente de lemperatura de la resistividad a= 2.8 x IO-)("q-l. El elemento calentador funciona coneelado auna linea de 120 V. a) Cuando se enciende inicialmente el elemen­to calentador, ¿cuánta comente toma y qué energia eléctrica disipa?b) Cuando el elemento calcntador ha alcanzado una temperatura defuncionamiento de 280"C (536"F), ¿cuánta corriente loma y cuán­ta energia eléctrica disipa?

26.48 a) Se tienc una resistencia R2 conectada cn paralelo con unaresistencia R¡. Deduzca una expresión de la resistcncia RJ que sedebe conectar en serie con la combinación de R¡ y R1 para que la re­sislencia equivalente sea igual a la resistencia R j • Mucslre el arre­glo de resistores en un diagrnma. b) Se tiene una resistencia R1

conectada en serie con una resislencia Rl • Deduzca una expresiónde la resistencia RJ que se debe conectar en paralelo con la combi­na¡;ión de R. YR1 para que la resistencia equivalente sea igual a Rl.Muestre el arreglo de resistores en un diagrama.26.49 Se necesita un resistor de 400 n y2.4 W, pero sólo se disponede varios resistores de 400 n y 1.2 W(vease el ejercicio 26.7). a) ¿CuiJ.­les serian dos combinaciones diferentes de las unidades disponiblesque dan la resistencia ypoteneia nominal que se requieren? b) Con res­pecto a cada una de las redes de resistores del inciso (a), ¿cuánta poten­cia se disipa en cada resistor cuando la combinación disipa 2.4 W?26.50 Un cable de 20.0 m de largo consiste de un centro cilíndricosólido de níquel de 10.0 cm de diámetro rodeado por una cubierta ci­¡indrica exterior sólida de cobre de 10.0 cm dc diámetro interior y 20.0cm de diámetro exterior. La resistividad del níquel es dc 7.8 x I~n· m. a) ¿Cuál es la resistencia de este cable? b) Si se piensa en estecable como en un solo material, ¿cuál es la resistividad equivalente?26.51 Dos alambres idénlicos de 1.00 n están colocados uno alia­do del otro y soldados.de modo que están en contacto a lo largo dela mitad de su longitud. ¿Cuál es la resistencia equivalente de estacombinación?26.52 Los dos focos idénticos del ejemplo 26.2 (sección 26.1) estánconectados en paralelo a otra fuente, con & = 8.0 Vy resistencia ínter­na de 0.8 O. Cada foco tiene una resistencia de R = 2.0 n (se supo­ne independiente de la corriente que pasa por el foco). a) Halle lacorriente a través de cada foco, la difcrencia de potencial entre los bor­nes de cada foco y la potencia cntregada a cada foco. b) Suponga queuno de los focos se funde, de modo que su filamento se rompc y ya nofluye corriente a través de él. Hallc la potencia que se entrega al focorestante. ¿Aumenta o disminuye la brillanlez de la incandescencia delfoco restante después que la otra bombilla se ba fundido?

establecer las conexiones: O, 5.0 s, 10.0 S. 20.0 s y 100.0 s. b) Calcu­le las corrientes de carga en los mismos instantes. e) Grafiquc losresultados de los incisos (a) y (h) con respecto a I entre Oy 20 s.26.40 Un resistor y un capacitar se conectan en serie a una fuentede fem. La constante de tiempo del circuito es de 0.870 s. a) Se agre­ga en serie un capacitar idéntico al primero. ¿Cuál es la constante detiempo de este nuevo circuito? b) Se conecta en el circuito originalun segundo capacitar, idéntico al primero, en paralelo con el primercapacitar. ¿Cuál es la constante de tiempo de este nuevo circuito?26.41 Una fuente de fcm con E. = 120 Y, un TeSistor con R = 80.0 fIYun capacitar oon e = 4.00 J.l.F están conectados en serie. Mientrasse carga el capacitOf. cuando la corriente en el resistor es de 0.900 A,¿cuál es la magnitud de la carga en cada placa del capacitor?26.42 En el circuito que se muestra en la figura 26.45, e = 5.90 p.F,& = 28.0 Vy la resistencia intemade la fem es insignificante. Ini­cialmente, el capacilor eslá des­cargado"y el interruptor S es­ro. en la posición l. Después se lle­va el interruptor a la posición 2para que el capacitor se comiencea cargar. a) ¿Cuál será la carga delcapacitor mucho tiempo despuésde que se ha llevado el interruptor a la posición 2? b) Cuando el inte­rruptor ha estado en la posición 2 durante 3.00 ms, se mide la cargadel capacitor y resulta ser de 110 p.C. ¿Cuál es el valor de la resisten­cia K? c) ¿Cuánto tiempo después de que se ha llevado el interruptora la posición 2 será la carga del capacitor igual al 99J)'%~ del valor fi­nal bailado en el inciso (a)?26.43 Un capacitO!" con e = 1.50 x lo-' F esta conectado oomo semuestm en la figura 26.45 a un resistor con R = 980 n y a una fuentede fem con &= 18.0Vy resistencia intema insignificante. inicialmen­te, el capacitO!" está descargado y el interruptO!" Sestá en la posición l.Después se lleva el ínterruplor a la posición 2 para que el capacitO!" secomience a cargar. Cuando el interruptor ha estado cn la posición 2durante 10.0 ms, se lleva de regreso el interruptor a la posición 1paraque el capacitor se comience a descargar. a) Calcule la carga del capa­citor inmediatamente ames de que se lleve de regreso el interruptor dcla posición 2 a la posición 1. b) Calcule las caidas de voltaje entre losextremos del resislor y entre los ex.lremos del capacitor en el instantedescrito en el inciso (a). e) Calcule las caidas de voltaje entre los ex­tremos del resistor y entre los extremos del capacilor inmediatamentedespués de llevar de regreso el interruplor de la posición 2 a la posi­ción l. d) Caleule la carga del capacitar 10.0 ms después de llevar de~ el intenuptor de la posición 2 a la posición l.

Sección 26.5 Sistemas de distribución de energía26.44 El elemento calentador de una seeadora elécuica tiene unapotencia nominal de 4.1 kW cuando está conectado a una línea de14{1 V. a) ¿Cuál es la corriente en el elemento calentador? ¿Es elalambre de calibre 12 suficientemente grande para suministrar estacorriente? b) ¿Cuál es la resistencia del elemento calentador dc lasoc:adora a su temperatura dc funcionamiento? c) A 11 centavos dedDb:r por kWh, ¿cuál es cl costo por hora de usar la sccadora?26.A5 Se enchufa un calentador eléctrico de I500 W a la toma de unara..de 120 Vque tiene un cortacircuitos de 20 A. Luego se enchu­fa _ ~déctrica de pelo en la misma toma. La secadora de pe-

r

T

1014 CAPfTULO 26 I Circuilosdecorrieotecontinua

Figura 26.48 Problema 26.55.

26.56 En la red de resistores de la figura 26.49, la lectura del ohm­iometro es de 20.2 íl. ¿Cuál es la resistencia del resistor X? ~

26.57 Calcule las tres corrientes /10 I~ e 1) indicadas en el diagramade circuilo de la figura 26.50.

Ohmiómclm

200 n

IS.o 11

1 11 lODO...n

...n

LOO n 12.0V,

1000 2000

60.00

60.0 n

Q e·~~l.oon1.00 n!.~2.oon

,

706mA-- ,.' ,

24.0 V30,0 n

10.on

b

2S.O 11 30.0 11

I2.~

; JO.OO s.ons.ov ,

Is.on E+10.0 V

s.on , I20.0 n

2.000

2.000

12.0 V

10.on

Figura 26.55 Problema 26.62.

Figura 26.54 Problema 26.61.

L-jJ----1SO.01l f---'

26.62 En el circuito de la figura 26.55: a) ¿Cuál dcbe ser la fem [dela bmeria para que Iluya una coniente de 2.00 A a tr.tvés de la bmeriade 5.00 V, como se muestra? ¿Es correcta la polmidad de la batena quese indica? b) ¿Cuánto tiempo toma producir 60.0 J dc energía ténnicaen el resistor de 10.0 O?

26.63 En el circuito que se muestnl en la figura 26.56, la conientemedida a través de la batería de 12.0 V resulta ser de 70.6 mA, enel sentido que se indica. ¿Cual es el voltaje de bornes V... de la ba­tena de 24.0 V?

26.61 a) Halle el polencial en el punto Q con respecto al punlo b dela figura 26.54. b) Si los punlos a y b están conectados mediante unalambre de resistencia insignificante. halle la eorrienle en la baterlade 12.0 V.

26.65 En el circuito de la figura 26.58, la corriente en la batería de20.0 V es de 5.00 en el sentido que se indica, y el voltaje entre los

Figura 26.57 Problema 26.64.

Figura 26,56 Problema 26.63.

26.64 En el circuito de la figura 26.57, lodos los resistores tienenuna potencia máxima nominal de 1.00 W. ¿Cuál es la (cm máxima[que la bateria puede tener sin quemar ninguno de los resislOres?

R, = t.ooo

800n

20.0 n8.0n

"'O n

1.00n"IO.OOb

¡;;;;;-¡~

45.00(b)

\ I /., - ~,

I'~~ 1.00 IJ LOO 9:~V n~n V

10.000

rn24.0 V E 7.0011

3.00 fI 2.00

Figura 26.47 Problema 26.54.

R1-I.OOfl

14.0Rj=I.ooO

VR. - 2.00 fI

Figura 26.51 Problema 26.58.

¡o.ov HIOll

67F~}m14.0 V

Figura 26.52 Problema 26.59.

Figura 2Ei.4Ei Problema 26.53.

Figura 26.50 Problema 26.57.

Figura 26.53 Problema 26.60.

~~40.0 n SIlO n

(.)

26.53 Cada uno de los tn:s re­sislares de la figura 26.% lieneuna resistencia de 2.4 n y puededisipar un maximo de 36 \V sincalentarse excesivamente. ¿Cuáles la energia máxima que el ciT­cuilO puede disipar?26.54 a) Calcule la resistenciaequivaleme del cin:uito de la fi­gura 26.47 entre x y y. b) ¿Cuál esel potencial del punto a respectoal punto.~ si la corriente en el re­sistor de 8,0 n es de 2.4 A en elsentido de izquierda a derecha de la figura?26.55 Si se conecta un ohmiómetro entre los puntos a y b de cadauno de los circuitos de la figum 26.48, ¿cuál será la lectura?

26.58 ¿Cuál debe ser la fem [de la figura 26.51 para que la co·rriente a traves del resistor de7.00 n sea de 1.80 A? Todas lasfuentes de fem tienen una resis­tencia inlerna insignificante.26.59 Halle [a corriente a tra\"esde cada uno de los tres resiSloresdel circuito que se muestra en lafigura 26.52. Las fuentes de (ero

tienen una resiSlencia interna in­significante.26.60 a) Halle la corriente alra\'c:s de la batería y de cada~istordel circuito de la figura~6.53. b) ¿Cuál es la resistenciaeqtID"3lenle de la red de resisto­",'

Figura 26.49 Problema 26.56.

n,o fI SSO O

8S.00

IIS.1H1

Problemas 1015

extremos del resistor de 8.00 n es de 16.0 V, con el extremo inferiordel mistor al potencial mas alto. Halle a) la fero (con su polaridad)de la batería X; b) la corriente ¡ a través de la batería de 200.0 V(COD su sentido); c) la resistencia R.

~+ 1O.0A ].OOA O.IOOA

V_18.0V

'.00 O8'·00,.F" s '3.000 13'00~f

IOOkfl 200tn• u.' • 'H' '1" ,vI b ff'

~+ 3.00V IS.OV ISOV

Figura 26.63 Problema 26.72.

Figura 26.64 Problema 26.73.

Figura 26.65 Problema 26.74.

Figura 26.62 Problema 26.71.

está abierto? b) ¿Cuál de los puntos, a o b, está al potencial más al­lO? e) ¿Cuál es el potencial final del punto b con respecto a tiemacuando el inlerruptor S está cerrado? d) ¿Cuánto cambia la carga decada capacitar cuando se eiem 5?26.71 (Véase el problema 26.69).a) ¿Cuál es el pOlencial en elpunto a respecto al punto b dela figura 26.62 cuando el inte­rruptor S está abierto? b) ¿Cuálde los puntos, a o b, está al po­tencial más alto? e) ¿Cuál es elpotencial final del punto b conrespecto a tierra cuando el inte­rruptor S está cerrado? d) ¿Cuánta carga fluye a través del interrup­tor S cuando éste se halla cerrado?26.72 Amperímetro de escalasmúltiples. La resistencia de labobina móvil del galvanómetroG de la figura 26.63 es de 48.0n, y el galvanómetro sufre unadesviación de escala completacon una corriente de 0.0200 A.Cuando se conecta el medidor al circuito que se \'a a medir, se esta­blece una cone;<ión con el posle marcado como + '/ la Otnl. con elposte marcado con la escala de corriente deseada. Halle las magni­tudes respectivas de las resistencias R]o Rl YRJ que se requieren pa­ra com'crrir el gal 'lanÓmetro en un amperímetro de escalas múlliplesque se desvíe la escala completa con corrienles de 10.0 A, 1.00 A YO.IOOA.26.73 Voltímetro de escalasmúltiples. La figura 26.64 mues­tnI. las conexiones imemas de unvoltímetro de "tres escalas" cu­yos postes de conexión estánmarcados como +, 3.00 V, 15.0V Y 150 V. Cuando se conecta elmedidor al circuito que se va a medir, se establece una conexióncon el poste marcado como + y la otra con el poste marcado con laescala dc voltaje deseada. La resistencia de la bobina móvil, Ro, esde 40.0 0, Y una corriente de 1.00 roA en la bobina provoca unadesviación de escala completa. Halle las resistencias Rl • R2 YRJ Yla resistencia global del medidor en cada una de 'rus escalas.26.74 El punto a de la figura26.65 se mantiene a un potencialconstante de 400 V mas alto res­pecto a la tierra. (Véase el pro­blema 26.69). a) ¿Cuál es lalectura de un voltimetto con la escala apropiada y con una resisten­cia de 5.00 x la' n cuando está conectado entre el punto b y la tie­m? b) ¿Cuál es la leclUJ'a de un voltimetto cuya resistencia es de5.00 x uf O? c) ¿Cual es la lectura de un '.'oltímetro con resisten­cia infinita?26.75 Cíerto voltímetro de 150 Vtiene una resistencia de 30 000 n.Cuando eslá coneclado en serie con una resistencia grande R entrelos extremos de una línea de 110 V, la lectura del medidor es de68 v. Halle la resistencia R.

e - ~.OOI'F

RJ -3.000

V-I8.0V

'.00 "on'OO"F~.bfb3.00 I'f 3.00 O

lOO.OV lo­,

T .:.42.0VR,-

6.000

Figura 26.59 Problema 26.68.

R

R

Va 36.0 V

'00"lS!I'300"" S b

3.00 n 6.00 O

Figura 26.60 Problema 26.69.

Figura 26.61 Problema 26.70.

2000

JO.on

18.00 8.00 n

2O.0V Lb-S.OOA

Figura 26.58 Problema 26.65.

26.66 Se conectan en serie tres resistores idénticos. Cuando scaplica cierta diferencia de potencial entre los cxtremos de la combi­nación, la potencia total que se disipa es de 27 W ¿Cuánta potenciase disiparía si los Ires resistores estuvieran conectados en paralelo através de la misma diferencia de potencial?26.67 Cierto resiSlor R, consume una potencia eléctrica PI cuandoestá conectado a una fem E. Cuando se conecta el mistor R, a lamisma fem, consume una potencia eléctrica P2. En términos de PI'/ P1, ¿cual es la potencia eléctrica total que se consume cuando am­bos resistores estan conectados a esta fuente de fem: a) en paralelo,b) en serie?26.68 loici~nte, el capacitorde la figura 26.59 está descafgado.Se cierra el interruptor en I = O.a) Inmediatamente después deeerrar el interruptor, ¿cuál es lacorriente a través de cada resis­tor? b) ¿Cuál es la carga final delcapacitor?26.69 En la figura 26.60 sc si­gue una convención que se sueleempicar en los diagramas de cir­cuito. La bateria (u otra fuentede potencia) no se muestra explí­citamente. Se sobreentiende queel punto de la parte superior,marcado como "36.0 V" está co­nectado al borne positivo de una batería de 36.0 V con resistenciainlema insignificante, '/ que el símbolo de "Iierra" de la parte infe­rior está conectado al borne ncgalivo de la batería. El circuito secompleta a tnl.vés de la hateria, no obstante que esta no se muestTaen el diagrama. a) ¿Cuál es la diferencia de potencial V... (el poten­cial del punto a respectO al punto b) cuando el interruptor S estáabierto? b) ¿Cual es la corrientea través del interruplor S cuandoéste se halla cerrado? c) ¿Cuál esla resistencia equivalente cuandoel interruptor S está cemdo?26.70 (Véase el problema 26.69).a) ¿Cuál es el potencial en el pun­to a respecto al punto b de la figu­ra 26.61 cuando el interruptor S

-,

1016 CAPiTULO 26 I CircuilOsdecorricntecontinua

1

d--;;t"E' I 3

.OO

l'F

~2.0V s.oon~.~n -- b6.00¡J.F

Figura 26.61 Problcma 26.86.

[. = 120 V Yresistcncia interna insignificanle. a) Inmediatamenledespués de efectuar la conexión, ¿cuál es: i) la rapidez a la que sedisipa energía eléctrica en el resistor. ií) la rapidez con la que au­menta la energia eléctrica almacenada en el capacitar, iii) la poten­cia de salida eléctrica de la fuente? ¿Cómo son comparativamentelas respuestas a los incisos (j), (ji) y (iii)? b) Responda las mismaspreguntas del inciso (a) luego de que ha transcurrido mucho liempodespués de efectuar la conexión. c) Responda las mismas preguntasdel inciso (a) respecto al inSlanle en que la carga del capacitor es dela milad de su valor final.26.81 Un capacitor de 3.40 ¡J.F que eSlá inicialmente cargado seconecta en serie con un resistor de 7.25 kO y una fuente de fcm conE = 180 Vy resistencia interna insignificante. a) Poco tiempo des­pués la carga del capacitor es de 815 ¡J.e. En cste instante, ¿cuál esla corricnte y cuál es su sentido: hacia la placa positiva del capaci­tor o hacia la placa negativa? b) Cuando haya transcurrido muchotiempo, ¿cuál será la carga del capacitor?26.82 Se conecta un resistor de 5.88 kO a las placas de un capaci­tor cargado cuya capacitancia es e :: 8.55 x 10 10 F. La corrienteinicial a través del resistor, inmediatamente despues de efecluar laconexión, es dc 0.620 A. ¿Cuál era la magnitud de la carga inicialen cada placa del capacitor?26.83 Un capacitor que inicialmente está descargado se conecta en

serie con un rcsistor y una fuente de fem con E:: 110 V Y resisten·cia interna insignificante. l.nmcdiatamente después de completar elcircuito la corriente a través del resistor es de 6.5 x 10-s A. La cons­tante de tiempo del circuito es de 6.2 s. ¿Cuáles son la resistencia delresistor y la capacitancia del capacitar?26.84 Un resistor con R = 850 n se conecta a las placas de un capa­citar cargado con capacitancia e = 4.62 ¡.ú'. Inmediatamente antes deefectuar la conexión, la carga del capacitor es de 8.10 me. a) ¿Cuántaenergía estaba almacenada inicialmente cn el capacitar? b) ¿Cuán­ta energia c1ectrica se disipa en el resistor inmediatamente después deefectuar la conexión? c) ¿Cuánta encrgía cléctrica se disipa en el resis­tor en cl instante en que la energia almacenada en el capacitor ha dis­minuido a la mitad del valor calculado en el inciso (a)?26.85 En términos estrictos, la ecuación (26.16) implica que se re­quiere una cantidad de tiempo infil/ita para descargar totalmente uncapacitar. Sin embargo, para fines prácticos, se puede considerarque un capacitor cstá totalmente descargado al cabo de un lapso fi·nito. Específicamente, considere que un capacitor de capacitanciae coneclado a un resistor R está totalmente descargado si su cargaq difiere de cero en no más que la carga de un electrón. a) Calculeel tiempo necesario para alcanzar este estado si e = 0.920 JtF, R =

670 kn y Qo = 7.00 ¡J.C. ¿A cuántas conStanles de tiempo equi"ale?b) Dada cierta Q" ¿es el tiempo nc:cesario para alcanzar este estadosiempre el mísmo número de constantes de tiempo, cualesquiera quesean los valores de e y Ir! ¿Por qué?26.86 Una batería de 12.0 V con una resistencia interna de 1.00 ncarga dos capacitares en serie.Hay un resistor de 5.00 n en se­rie entre los capacitores (Fig.26.67). a) ¿Cuál es la constantede tiempo del circuito de carga?b) Después que el interruptor hapermanecido cerrado durante el

K,

•E

VR

Explique por qué la resistencia verdadera R siempre es menor queVII. b) Cuando las conexiones son como en la figura 26.16b. de­muestre que

Explique por qué la resistencia verdadera R siempre es mayor queVII. e) Demuestre que la potencia entregada al rcsistor en el inciso(a) es IV - fR A , Yen el inci!>O (b) es IV - (V 1/R..,).26.77 Puente de Whealslonc.El circuito que se muestra en lafigura 26.66, conocido comopl/enle de WhealslOne, se utilizapara detenninar el valor de un re·sislor desconocido X por compa­ración con tres rcsistores M, N YP cuyas resistencias se puedenmodificar. Se conoce con precio Figura 26.66 Problema 26.77.sión la resistencia de cada resislOr que corresponde a cada posiciónde ajuste. Con los interruptores K 1 y K2 cemdos, se modifican es­tos resistores hasta que la corriente en el galvanómetro G es cero;se dice enlonces que el puente está equilibrado. a) Demuestre queen estas condiciones la resistenci3 desconocida está dada por X =MPIN. (Este método permite alcanzar un3 precisión muy grande alcomp3rar resistores). b) Si el galvanómetro G muestra una desvia­ción nula cuando M = 850.0 n, N = 15.00 n y P = 33.48 n, ¿cuáles la resistencia desconocida X?26.78 Cicrto galvanómetro tiene una resistcncia de 65.0 n y sufreuna desviación dc escala completa con una corricntc dc 1.50 roA ensu bobina. Esto sc va a sustituir por un segundo galvanómctro cuyaresistencia es de 38.0 n y surre una desviación de escala completacon una corriente de 3.60 pA en su bobina. Idee un cirCUito que in­cluya el segundo galvanómetro y cuya resistencia equivalente seaigual a la resistencia del primer galvanómetro, y en el que el segun­do galvanómetro sufra una desviación de escala completa cuando lacorriente a través del circuito sea igual a la corricnte de escala com­pleta del primer galvanómetro.26.79 Un resistor de 224 n yuno de 589 n se conectan en serieentre los bornes de una línea de 90.0 V. a) ¿Cuál es el voltaje entrelos c::<tremos de cada resistor? b) Un voltimetro conectado entre losextremos del resislor de 224 n muestra una lectura de 23.8 V. Hallela resistencia del voltimetro. c) Halle la lectura del mismo voltime-

• tro cuando está cODCctado entre los extremos del resislor de 589 n.d) En este \""Oltímetro las lecturas son menores que los voltajes ~ver·

daderos- (es decir, en ausencia del vollimetro). ¿Seria posible pro­yectar un \""Oltimetto que diese lecturas mayores que los voltajes"verdaderos'! Explique su respuesta.26.80 Un capacitor de 2.36 ¡J.F que inicialmente no ticne carga seconecta en serie con un resistor de 4.26 n y una fuente de fem con

26.76 Sean Ve /, respectivamente, las lecturas del voltímetro y delamperimeuo que se llluestran en la figura 26.16, y sean Rv YRAsusresistencias equivalentes. Debido a las resistencias de los medido­res, la resistencia R DO es simplemente igual a VI/. a) Con el circui­lO conectado como en la figura 26.100. demuestre que

VR "" - - RAI

,,1\\

Problemas de desafío 1017

Problema deFigura 26.69desafio 26.90.

de 92.0 V Y55.0 V por cortocircuitos y dejando intacta la fuente de57.0 V. d) Repita el inciso (b) sustituyendo las fuentes de 92.0 V Y57.0 V por cortocircuitos y dcjando intacta la fuente de 55.0V. e) Ve·rifique el teorema de sobreposición comparando las corrientescalculadas en los incisos (b), (e) y (d) con las comcntes calculadasen el inciso (a). f) Si se suslituye la fuente dc 57.0 V JXlr una fuente dc80.0 V, ¿cuáles scnln las nuevas corrientes cn lodos los ramales del cir­cuito? [Sugerencia: Con base en elleorema de sobreposición, calculede nuevo las corrientes parciales calculadas en el inciso (e) con baseen el hecho de que esas corrientes son proporcionales a la fuente quese sustituye. A continuación, sobreponga las nuevas corrientes par­ciales a las halladas en los incisos (b) y (d).]26.90 Alarma de capacitores contna robo. En la capacitancia deun capacitor puedc influir un material dieléctrico que, aunque noesté presente dentro del capaci- R

tor, se halle suficientemente cer­ca de éste para ser polarizado porel campo eléclrico pcslañeanteque existe cerca dc un capacitorcargado. Este efccto es por 10 re·guIar del ordcn de picofarad(pF), pero, con ayuda de circui­tos electrónicos apropiados, permitc dctectar un cambio en el matc­rial dieléctrico que rodea al capacitor. Este material dieléctricopuede ser el cuerpo humano, y el efcclo aOles descrito podria utili­zarse en el diseño de una alarma conlra robo. Considere el circuilosimplificado que se muestra en la figura 26.69. La fuente de volta­je tiene una fcm t::: 1000 V, y la capacitancia del capacitar es e::10.0 pF. Los cire:uitos electrónicos que detectan la corriente, repre·sentados como un amperimetro en el diagrama, tienen una resisten­cia insignificante y son capaces de detectar una corriente quepersisle a un nivd dc al menos 1.00 jJ.A durante al menos 200 1JSdespués que la capacitancia ha cambiado abruptamente de e a C.La alarma contra robo se proyecta de modo que se active si la capa­citancia cambia en un 10";". a) Determine la carga del capacitor de10.0 pF cuando cstá totalmeOle cargado. b) Si el capacitor está tootalmente cargado allles que se detecte el intruso, y suponiendo queel tiempo quc la capacitancia tarda en cambiar lOO;" es suficiente­mentc pequei'io para no tenerlo en cuenta, deduzca una ecuaciónque exprese la corriente a través del resistor R en función del tiem·po r a partir de que la capacitancia cambia. c) Delermine d interva­lo dc valores de la resistencia R que reunen las especificaciones dediseiio de la alarma contra robo. ¿Qué OCUrTe si R es demasiado pe­queña? ¿Y demasiado grande? (Sugerencia: No podrá resolvereste problema analíticamente: debe emplear métodos numéricos.Exprese R como una función logarítmica de R más cantidades cono­cidas. Utilice un valor tentativo de R y calcule un nue\"O valor a par­tir de la expresión. Continúe haciendo esto hasta que los valores dealimentación y salída de R concuerden con tres cifras significativas).26.91 Red infinita. Como se muestra en la figura 26.70, una red deresistorcs de resistencias R¡ y Rz se extiende al infinito hacia la de­recha. Pruebe quc la resistencia total Rr de la red infinila cs igual a

(Sugerencia: Dado que la red es infinila, la resistencia de la red a laderecha de los puntos e y d también es igual a RT).

tiempo determinado en el inciso (a), ¿cuál es el voltaje eDlre losbornes del capacitar de 3.00 J,tF126.87 En un capacitar en proceso de carga la corrientc está dadapor la ecuación (26.13). a) La potcncia instantánea que la bateriasuministra es &i. Integre: esto para hallar la energía total suminiSlra·da por la bateria. b) La potencia instantánea que se disipa en el re·sistor es ¡'-R. Integre csto para hallar la energía total disipada cn elresistor. e) Halle la encrgía final almacenada en el capacitar, y de­muestre que es igual a la energía total suministrada por la bateríamenos la energía disipada en el resistor, según se obtuvo en los in­cisos (a) y (b). d) ¿Qué fracción de la energía suministrada por labatería queda almacenada en el capacitar? ¿De qué forma dependede R esta fracción?26.88 A partir de la ecuación (26.17), que descnbe la corriente enun capacitar que se descarga, deduzca una expres.ión de la potenciainstantánea p:: ¡2R que se disipa en el resislor. b) Integre la expre­sión con respecto a P para hallar la energía total disipada en el re·sislor, y demueslre quc es igual a la energía total almacenadainicialmente en el eapacilor.

26.89 De acuerdo con el teore-ma de sobreposición, en un cir- 140.0 O 35.0 Ocuita la respuesta (corriente) espropon::ional al estimulo (voltaje)que la provoca. Esto se cumpleincluso cuando hay varias fuentesen un circuíto. Estc lcorema per­mite analizar un circuito sin recu·rrir a las reglas de Kirchhoff,considerando las corrienles del circuito como la sobreposición decorrientes generadas independientemente por cada fuente. De estemodo se puede analizar cl circuito calculando resistencias equiva­lentes en vez de utilizar el (a veces) más cngorroso método de las rc­glas de Kirchhoff. Adcmás, mediante el teorema de sobreposición esposible examinar la influencia que la modificación de una fucntc enuna parte del circuito tendrá en las corrientes de todas 135 panes delcircuito, sin tener que utilizar las reglas de Kircbhoff para calcularde nuevo todas las corrientes. Considere el circuito de la figura26.68. Si se dibujara de nuevo el circuito sustituyendo las fuentes de55.0 Vy 57.0V porconocircuitos. se podria analizar por el métodode resislcncias equivalentes sin recurrir a las reglas de Kirchhoff, yse podría hallar la comente en cada rama1 de una manera sencilla.Aruilogamente, si se dibujase de: nuevo el circuito sustituyendo lasfuentes de: 92.0 V Y57.0 V por conocircuilos, también se podria ana­lizar el circuito de un modo sencillo. Finalmente, reemplazando lasfuentes 92.0 V Y57.0 V con un cortocircuito, el circuito podria serde nuevo analizado simplemente. Sobreponiéndose las corrientesrespectivas halladas en cada uno de los ramales mediantc el uso detres circuitos simplificados, se puede hallar la corriente real en cadaramal. a) Con basc cn las reglas de Kircbhoff, halle las corrientes dc~ en los resiSlores de 140.0 n, 210.0 n y 35.0 n. b) Con baseea UD cirro.ito semejanle al de la figura 26.68, pero con un conocir­Cllllmen lugardc las fuentes de 55.0 V Y57.0 V; determinc la corrien­2 madi resistencia e) Repita el inciso (b) sUSlituyendo las fuenles

Problemas de desafio

•1018 CA PfT ULO 26 I Circuitos de corrienle continua

Figura 26.71 Problema dedesafio 26.92.

26.92 Suponga que se tiene un resistor R a lo largo de cada aristade un cubo (12 resislOres en total) eOIl cone¡¡;iones en los vértices.

:E~;-"·Rl d R1 Rl­'"

Figura 26.70 Problemas de desafio 26.91 y 26.93.

Halle la resistencia equivalenteentre dos vertices diagonalmen­te opuestos del cubo (punlos a yb de la figura 26.71).26.93 Cadenas atenuadoras)'axones. La red infinita de resis­lOres de la figura 26.70 se cono­ce como una cadena olenuadora, porque esta cadena de resistores~,o atenúa. la diferencia de potencial entre los alambres supe­rior e inferior a todo lo largo de la cadena. a) DemueslR que si la di­ferencia de pol:encial entre los puntos Q y b de la figura 26.70 es V.""

enlonces la diferencia de potencial entre los puntos e y d es Vcd =Y-'(1 + (3), donde fJ:: 2R1(RT + RlIRTR1 y RT, la resistencia lotalde la red, está dada en el problema de desafio 26.91. (Véase la su­gerencia proporcionada en ese problema). b) Si la diferencia de po­tendal entre los bornes a y b del extremo izquierdo de la red infinitaes Vo- demueslre que la diferencia de potencial enlre alambres supe­rior e inferior a n segmentos del extremo izquierdo es V. = Vo"( I +{J't. Si R[ = R2, ¿cuánros segmentos se necesitan para reducir la di­fcrenciade potcncial V.amenosdeIIJ)%dc VQ? c) Una cadena ate-

nuadora infinita constituye un modelo de la propagación de una pul­sación de vohaje a lo largo de una fibra nerviosa, o lI}(Ón. Cada seg­memo de la red de la figura 26.70 representa un segmento corto delaxón. de longitud 6:r. Los resistores R[ represcman la resistenciadel líquido por dentro y por fuera de la pared de membrana dellI}(ón. La resistencia de la membrana al flujo de corrieDle a ttavés dela pared está representada por R2• En un segmento de axón de longi­rud AT = 1.0 JUn, Rl = 6.4 X UY n y R2 "" 8.0 X lOS O (la paredde la membrana es un buen aislador). Calcule la resistencia total RT

Y fJ de un axón infinitamente largo. (Ésta es una buena aproxima­ción. porque la longirud del axón es mucho mayor que su anchura;los axones mas largos del sistema nervioso humano tienen mas de 1m de longirud pero sólo lIprmtimadamente 10-1 m de radio). d) ¿Enque fracción se reduce la diferencia de potenciaJ cn~ el inteO(H" y elexterior del axón a lo largo de una distancia de 2.0 uun? e) La ate­nuación de la diferencia de potencial calculada en el inciso(d) muestta que el axón no puede ser simplemente un cable electri­co pasivo que transporta corriente; es necesario reforzar periódica­mente la diferencia de potencial a lo largo de todo el axón. Estemecanismo de refuerzo es lento, por lo que una señal se propaga a lolargo del axón aproximadamente a 30 mis. En las siruaciones dondese requiere una respuesta mas rápida. los axones están cubiertos deuna vaina segmentada de mielina grasa. Los segmentos son de apro­ximadamente 2 mm de largo. separados por espacios Uamados 110­

dos de Ram;ier. La mielina aumenta la resistencia de un segmento dela membrana de 1.0 p.rn de largo a R2 =' 3.3 X 1012 O. En el casode un axón mielinndo de estc tipo, ¿en qué fracción disminuye la di­ferencia de potencial entre el interior y el exterjor del axón a lo lar­go de la distancia dc un nodo de Ranvier al siguiente? Esta menoratenuación significa que la rapidez de propagación aumenta.