Circuitos Eléctricos en Corriente Continua Unidad 4 ...

Circuitos Eléctricos en Corriente Continua

Verano 2018-2019

Ing. Sergio Arriola-Valverde. M.Sc

Escuela de Ingeniería Electrónica

Instituto Tecnológico de Costa Rica

Unidad 4

Técnicas de Análisis para circuitos eléctricos complejos

Contenidos y Cronograma

2

• Cronograma

• Técnicas de análisis para circuitos eléctricos simples

3

Cronograma del CursoDía Fecha Tema / Actividad

1 L 10-12-2018 1. Definiciones fundamentales

2 K 11-12-2018 2. Introducción a los circuitos eléctricos

3 M 12-12-20183. Técnicas de análisis para circuitos eléctricos simples

4 J 13-12-2018

5 V 14-12-2018

4. Técnicas de análisis para circuitos eléctricos complejos6 L 17 -12-2018

7 K 18 -12-2018

8 M 19-12-2018

9 J 20-12-2018 5. Dispositivos de almacenamiento de energía eléctrica

Receso de Navidad y Fin de Año

10 M 02-01-20196. Circuitos eléctricos simples RL y RC

11 J 03-01-2019

V 04-01-2019 Examen 1 (Temas 1,2,3 y 4)

12 K 08-01-2019

7. Circuitos RL y RC con excitación13 M 09-01-2019

14 J 10-01-2019

15 K 15-01-2019

8. El circuito RLC16 M 16-01-2019

17 J 17-01-2019

M 21-01-2019 Examen 2 (Temas 5,6,7 y 8)

18 J 24-01-2019 Entrega de actas

Contenidos y Cronograma

4

• Cronograma

• Técnicas de análisis para circuitos eléctricos complejos

5

4.1 Análisis de nodos

Es una técnica para el análisis de circuitos complejos basada en

identificar los nodos de un sistema y escribir ecuaciones a partir de

ellos. Es importante recalcar que se puede aplicar a cualquier red

eléctrica.

6


Para este método es importante tomar atención en los siguientes

puntos:

1. Debe saberse que se deben identificar todos los nodos del circuito.

2. Al menos debe establecerse un nodo como referencia, por ejemplo

el nodo de tierra.

3. Luego se debe asignar a cada nodo restante un dirección de

corriente por consecuencia a ello un tensión eléctrica

4. Escribir en cada nodo la ecuación de LCK.

5. Finalmente para N nodos se tendrán (N-1) incógnitas y luego se

escriben (N-1).

7


Ejemplo

Determine las tensiones eléctricas para los nodos A y B.

8


En este redibujo, hicimos los pasos 1,2 y 3.

Nodo de referencia

9


Por LCK, para el nodo A

𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖3

1 =𝑉𝑎2+𝑉𝑎 − 𝑉𝑏

3

𝑉𝑎1

2+1

3−𝑉𝑏3= 1

𝟓

𝟔𝑽𝒂 −

𝟏

𝟑𝑽𝒃 = 𝟏

10


Por LCK, para el nodo B

𝑖3 = 𝑖4 + 𝑖5

𝑉𝑎 − 𝑉𝑏3

=𝑉𝑏4+ 2

𝑉𝑎3− 𝑉𝑏

1

3+1

4= 2

𝟏

𝟑𝑽𝒂 −

𝟕

𝟏𝟐𝑽𝒃 = 𝟐

11


Finalmente𝟓

𝟔𝑽𝒂 −

𝟏

𝟑𝑽𝒃 = 𝟏

𝟏

𝟑𝑽𝒂 −

𝟕

𝟏𝟐𝑽𝒃 = 𝟐

𝑽𝒂 =−𝟐

𝟗𝑽

𝑽𝒃 =−𝟑𝟐

𝟗𝑽

12


Ejemplo

Determine las tensiones eléctricas para los nodos A, B y C.

13

4.1 Análisis de nodosEn este redibujo, hicimos los pasos 1,2 y 3.

Nodo de referencia

14



𝑖1 + 𝑖2 = 1


+𝑉𝑎 − 𝑉𝑐

2= 1

𝟑

𝟐𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 −

𝟏

𝟐𝑽𝒄 = 𝟏

15



𝑖1 = 𝑖3 + 𝑖4 + 2 → 𝑖1 − 𝑖3 − 𝑖4 = 2


−𝑉𝑏3−

𝑉𝑏 − 𝑉𝑐4

= 2

𝑽𝒂 −𝟏𝟗

𝟏𝟐𝑽𝒃 +

𝟏

𝟒𝑽𝒄 = 𝟐

16


Por LCK, para el nodo C

𝑖4 + 2 + 𝑖2 + 3 = 𝑖5

𝑉𝑏 − 𝑉𝑐4

+𝑉𝑎 − 𝑉𝑐

2−𝑉𝑐5= −5

𝟏

𝟐𝑽𝒂 +

𝟏

𝟒𝑽𝒃 −

𝟏𝟗

𝟐𝟎𝑽𝒄 = −𝟓

17


Finalmente𝟑

𝟐𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 −

𝟏

𝟐𝑽𝒄 = 𝟏

𝑽𝒂 −𝟏𝟗

𝟏𝟐𝑽𝒃 +

𝟏

𝟒𝑽𝒄 = 𝟐

𝟏

𝟐𝑽𝒂 +

𝟏

𝟒𝑽𝒃 −

𝟏𝟗

𝟐𝟎𝑽𝒄 = −𝟓

𝑽𝒂 = 𝟕, 𝟗𝟒 𝑽, 𝑽𝒃 = 𝟓, 𝟒𝟕 𝑽, 𝑽𝒄 = 𝟏𝟎, 𝟖𝟖 𝑽

18


Supernodo

Cuando aparece una fuente de tensión en el circuito, el análisis por

nodos se puede hacer de forma vista antes, donde alguna de las

tensiones de nodo ya estará definida.

No obstante que definir una corriente de fuente desconocida que no se

puede definir en términos de la tensión, es por ello que complica el

cálculo.

Ante esta situación se puede definir un “supernodo” suponiendo que

la fuente está dentro de un nodo.

19


Ejemplo

Determine la tensión eléctrica en el nodo A y B.

20


Nodo de referencia

Supernodo

21



𝑖1 = 𝑖2 + 𝑖𝑠 → 𝑖1 − 𝑖2 = 𝑖𝑠

𝟏 −𝑽𝒂𝟐

= 𝒊𝒔

22



𝑖3 = 𝑖4 + 𝑖𝑠 → 𝑖3 − 𝑖4 = 𝑖𝑠

𝑽𝒃𝟑− 𝟐 = 𝒊𝒔

23


Igualando las ecuaciones anteriores

𝑖1 − 𝑖2 = 𝑖3 − 𝑖4

𝟏 −𝑽𝒂𝟐

=𝑽𝒃𝟑− 𝟐

𝑽𝒂𝟐+𝑽𝒃𝟑= 𝟑

24


Del Supernodo se sabe que:

𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 = −𝟏

Finalmente𝑽𝒂𝟐+𝑽𝒃𝟑= 𝟑

𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 = −𝟏

𝑽𝒂 =𝟏𝟔

𝟓𝑽, 𝑽𝒃 =

𝟐𝟏

𝟓𝑽

25


Ejemplo

Determine la tensión eléctrica en el nodo A y B.

26


Nodo de referencia

Supernodo

27



1 = 𝑖2 + 𝑖𝑓

𝟏 =𝑽𝒂𝟐+ 𝒊𝒇

28



𝑖𝑓 + 2 = 𝑖3

𝒊𝒇 + 𝟐 =𝑽𝒃𝟑

29


Despejando a 𝒊𝒇 e igualando ambas ecuaciones se tiene que

𝟏 −𝑽𝒂𝟐

=𝑽𝒃𝟑− 𝟐

Pero:

Del Supernodo se sabe que:

𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 = 𝟐𝑽𝟐

𝑽𝟐 = 𝑽𝒂 → 𝑽𝒂 − 𝑽𝒃 = 𝟐𝑽𝒂𝑽𝒂 + 𝑽𝒃 = 𝟎

30


Finalmente𝑽𝒂𝟐+𝑽𝒃𝟑= 𝟑

𝑽𝒂 + 𝑽𝒃 = 𝟎

𝑽𝒂 = 𝟏𝟖 𝑽, 𝑽𝒃 = −𝟏𝟖 𝑽

31

4.2 Análisis de mallas

El método del análisis de nodos es un método muy general que se

puede aplicar a cualquier circuito eléctrico.

No obstante el método de análisis de mallas es un método muy valioso

pero que solo se puede aplicar a un circuito plano.

32


Se define un circuito plano como aquel cuyo esquema se puede

dibujar sobre una superficie plana de tal manera que ninguna rama pase

por encima o debajo de cualquier otra rama.

Circuito no plano

33


Circuito plano

34


Una malla es un lazo que no contiene ningún otro lazo dentro de él.

No obstante las mallas se definen para circuitos planos.

Con base en el circuito mostrado anterior es posible inferir lo siguiente:

1. Hacen una malla 𝑅1, 𝑅2, 𝑅3 y 𝑅4 , 𝑅3, 𝑅4, 𝑅6, 𝑅7 ,también

𝑅4, 𝑅10, 𝑅11 y fuente y 𝑅7, 𝑅8, 𝑅9, 𝑅10.

2. Trayectorias como 𝑅3, 𝑅5, 𝑅6, 𝑅8, 𝑅9 y 𝑅10 hacen una supermalla.

35


Mallas

36


Supermalla

37


Para esta técnica se usará la corriente de malla, es aquella que fluye

solo alrededor del perímetro de una malla.

Donde 𝑖1 e 𝑖2 son

corrientes de malla.

𝒊𝟑 = 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐

38


Ejemplo

Determine la corrientes de malla 𝑖1, 𝑖3 e 𝑖5

39


Resolviendo las malla del circuito se tiene que:

Determinan las relaciones de las 𝑖2 e 𝑖4

𝒊𝟐 = 𝒊𝟏 − 𝒊𝟑

𝒊𝟒 = 𝒊𝟑 − 𝒊𝟓

Con base a lo anterior se plantearán las ecuaciones de malla

40


Malla 1, aplicando LVK

−𝑉1 + 𝑖1 ∙ 1 + 2 𝑖1 − 𝑖3 = 0

𝑖1 ∙ 1 + 2 𝑖1 − 𝑖3 = 𝑉1

3𝑖1 − 2𝑖3 + 0𝑖5 = 𝑉1

𝟑𝒊𝟏 − 𝟐𝒊𝟑 + 𝟎𝒊𝟓 = 𝟏

41



2 𝑖3 − 𝑖1 + 3𝑖3 + 4 𝑖3 − 𝑖5 = 0

−𝟐𝒊𝟏 + 𝟗𝒊𝟑 − 𝟒𝒊𝟓 = 𝟎


4 𝑖5 − 𝑖3 + 5𝑖5 + 𝑉2 = 0

0𝑖1 − 4𝑖3 + 9𝑖5 = −𝑉2

𝟎𝒊𝟏 − 𝟒𝒊𝟑 + 𝟗𝒊𝟓 = −𝟐

42


Finalmente, resolviendo

𝒊𝟏 = 𝟑𝟎𝟖, 𝟏𝟕𝟔𝒎𝑨, 𝒊𝟑 = −𝟑𝟕, 𝟕𝟑𝟓𝟖𝒎𝑨, 𝒊𝟓= −𝟐𝟑𝟖, 𝟗𝟗𝟒 𝒎𝑨

43


Supermalla

Se utiliza cuando en la red se tiene una fuente de corriente, que puede

complicar el análisis.

Ahora bien, el circuito y las corrientes de malla plantean igual, solo

que se escogen lazos que no involucren a la fuente de corriente para

escribir las ecuaciones.

44


Ejemplo

Determine las corrientes de malla 𝑖1, 𝑖4 y 𝑖5

45


En la fuente de corriente se ve que:

𝑖5 − 𝑖4 = 1

𝟎𝒊𝟏 − 𝒊𝟒 + 𝒊𝟓 = 𝟏

En la fuente de corriente dependiente se tiene que:

𝑖1 = 2𝑉3

46


Ahora se puede redefinir 𝑉3 en términos de las corrientes.

𝑽𝟑 = 𝟑 𝒊𝟏 − 𝒊𝟓

Recordemos que:

𝑖1 = 2𝑉3 → 2 3 𝑖1 − 𝑖5

𝟓𝒊𝟏 + 𝟎𝒊𝟒 − 𝟔𝒊𝟓 = 𝟎

47


Ahora aplicamos la supermalla 𝑅2, 𝑅4, 𝑅5 y 𝑅3:

2 𝑖4 − 𝑖1 + 4 𝑖4 + 5 𝑖5 + 3 𝑖5 − 𝑖1 = 0

−𝟓𝒊𝟏 + 𝟔𝒊𝟒 + 𝟖𝒊𝟓 = 𝟎

Resolviendo el sistema de ecuaciones

𝒊𝟏 = 𝟗𝟎𝟎𝒎𝑨, 𝒊𝟒 = −𝟐𝟓𝟎𝒎𝑨, 𝒊𝟓= 𝟕𝟓𝟎𝒎𝑨

48

4.3 Linealidad y Superposición

Para definir linealidad, es necesario definir que es un elemento lineal.

Un elemento lineal es aquel elemento pasivo que tiene una relación

lineal tensión-corriente.

49


Relación lineal Relación no lineal

El resistor es claramente un elemento lineal

50


Una fuente dependiente lineal es aquella fuente dependiente de

corriente o tensión, cuya corriente o tensión es proporcional sólo a la

primera potencia de la variable de corriente o tensión controladora, o a

la suma o resta de algunas cantidades.

Lineales

𝑽𝒔 = 𝟎. 𝟔𝒊𝒙𝒊𝒔 = 𝒊𝒙 − 𝟐𝒊𝒚

No Lineales

𝑽𝒔 = 𝟎. 𝟔𝒊𝒙𝟐

𝒊𝒔 = 𝑽𝒙 ∙ 𝒊𝒙

51


El circuito lineal es el que esta compuesto en forma completa por

fuentes independientes, fuentes dependientes lineales y elementos

lineales.

De aquí, se tiene que la respuesta de todos los elementos es

proporcional a la fuente.

Si hay mas de una fuente independiente, si todas se multiplican por una

constante “k”, todas las respuestas se incrementan k veces.

52


Función forzada Respuesta

𝐾 𝐴

𝐾𝑡 𝐴𝑡 + 𝐵

𝐾𝑡2 𝐴𝑡2 + 𝐵𝑡 + 𝐶

𝐾𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 𝐴𝑠𝑒𝑛 𝜔𝑡 + 𝐵𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡)

𝐾𝑒−𝛼𝑡 𝐴𝑒−𝛼𝑡

Según la excitación de un circuito eléctrico, si al menos se garantiza

que cumple el criterio de linealidad es posible inferir los siguiente:

53


Pensando en un sistema más genérico se tiene que:

Donde ℎ 𝑡 es la respuesta al impulso

Se asume que 𝑥 𝑡 = 0; 𝑡 < 0 y que el sistema es casual de modo que

h 𝑡 = 0; 𝑡 < 0Para nuestro análisis debemos contemplar que el circuito es lineal e

invariante en el tiempo o sistema “LTI” (Linear Time-Invariant)

54


Podemos ver que:

Linealidad

𝑘 𝑥 𝑡 → 𝑘 𝑦 𝑡 Invariante en 𝑡

𝑥 𝑡 − 𝜏 → 𝑦 𝑡 − 𝜏LTI

𝑘 𝑥 𝑡 − 𝜏 → 𝑘 𝑦 𝑡 − 𝜏

Sí específicamente 𝑥 𝑡 = 𝛿 𝑡 y y 𝑡 = ℎ 𝑡

𝑘 𝛿 𝑡 − 𝜏 → 𝑘 ℎ 𝑡 − 𝜏

55


Superposición

El teorema de la superposición establece que en cualquier red resistiva

lineal, la tensión o la corriente a través de cualquier resistencia o fuente

se calcula mediante de la suma algebraica de todas las tensiones y

corrientes individuales ocasionadas por el efecto de las fuentes

independientes actuando por si solas.

56


Ahora bien, es importante considerar que las fuentes independientes que no

se utilizan deben de apagarse.

En relación a las fuentes de tensión se cortocircuitan y las de corriente se

abren.

En resumen

• Al apagar fuente de corriente → no hay paso de corriente → ABIERTO.

• Al apagar fuente de tensión → no hay diferencia de potencial →CORTOCIRCUITO.

57


Fuente de Tensión Apagada Fuente de Corriente Apagada

58


Ejemplo

Determine la corriente 𝑖𝑥 .

R/ 𝒊𝒙 = 1 A

59


Ejemplo

Determine la corriente 𝑖𝑥 .

R/ 𝒊𝒙 = 1.4 A

60


En relación a los ejemplos realizados aplicando el método de

superposición, vemos que se utilizaron elementos lineales.

Además aplicamos técnicas básicas de análisis de circuitos por

ejemplos LCK y LVK.

Finalmente en términos de potencia nos hacemos la siguiente pregunta

¿Es posible calcular la potencia por superposición?

NO es posible, no es una relación lineal

𝑷𝜶 𝒗𝟐 → 𝑷𝜶 𝒊𝟐 → 𝑵𝑶 𝑳𝑰𝑵𝑬𝑨𝑳

61

4.4 Transformación de fuentes

La transformación es otra técnica comúnmente utilizada para hacer

reducción de circuitos eléctricos en términos de sus componentes. Esta

técnica generalmente ayuda en veces a simplificar los cálculos.

Ahora bien, consideremos primero que las fuentes reales tiene ciertas

limitaciones. En general, conforme se le pida más corriente, una fuente

de tensión disminuye su valor; y para el caso de una fuente de corriente

disminuye su valor conforme entrega más tensión eléctrica.

62


El comportamiento expuesto anteriormente se puede modelas mediante

la adición de “resistencias internas”. Consideremos los siguientes

casos:

𝑉𝐿 = 𝑉𝑠 − 𝑅𝑠𝑖𝐿

Fuente de tensión

Aplicando una LVK al

circuito se tiene que:

63


𝑉𝐿 = 𝑉𝑠 − 𝑅𝑠𝑖𝐿

Fuente de tensión

Aplicando una LVK al


Hay un dependencia de 𝑅𝐿

64


Fuente de tensión

𝒊𝑳

𝒗𝑳

𝒊𝑳𝑺𝑪 =𝒗𝑺

𝑹𝑺

𝒗𝑳𝑶𝑪 = 𝒗𝑺

𝒊𝑳𝑺𝑪𝟐

𝒗𝒔𝟐

𝑹𝑳 = 𝑹𝒔

Cada punto del gráfico corresponde a un valor de 𝑅𝐿

65


Ahora bien analizaremos el caso de una fuente de corriente

Aplicando una LCK al


Hay un dependencia de 𝑅𝐿Fuente de

corriente

𝑖𝐿 = 𝑖𝑠 −𝑉𝐿𝑅𝑝

66


𝒊𝑳

𝒗𝑳

𝒊𝑳𝑺𝑪 = 𝒊𝒔

𝒗𝑳𝑶𝑪 = 𝑹𝒑𝒊𝒔

𝒊𝒔𝟐

𝒗𝑳𝑶𝑪𝟐

𝑹𝑳 = 𝑹𝒑

Cada punto del gráfico corresponde a un valor de 𝑅𝐿

Fuente de

corriente

67


Fuentes Equivalentes

Dos fuentes son equivalente si producen valores idénticos de 𝑉𝐿 e 𝑖𝐿cuando se conectan a valores idénticos de 𝑅𝐿, sin importar el valor de

𝑅𝐿.

La idea es que una carga 𝑅𝐿 “no se de cuenta” si tiene una fuente de

tensión o su equivalente en corriente conectada.

68


Fuente de tensión

Fuente de

corriente

𝑉𝐿 =𝑉𝑠𝑅𝐿

𝑅𝑠 + 𝑅𝐿𝑉𝐿 =

𝑖𝑠𝑅𝑝

𝑅𝑝 + 𝑅𝐿𝑅𝐿

69


Como la idea es que ambas expresiones sean igual, se tiene que dar lo

siguiente:

𝑅𝑠 = 𝑅𝑝

𝑉𝑠 = 𝑖𝑠𝑅𝑠 = 𝑖𝑠𝑅𝑝

𝑖𝑠 =𝑉𝑠𝑅𝑠

=𝑉𝑠𝑅𝑝

70


Entonces se puede decir que:

→

𝑰𝒔 =𝑽𝒔𝑹𝒔

𝑹𝒑 = 𝑹𝒔

71


Entonces se puede decir que:

→

𝑽𝒔 = 𝒊𝒔𝑹𝒑 𝑹𝒔 = 𝑹𝒑

72


Ejemplo

Reduzca el circuito al máximo utilizando transformación de fuentes.

73


Se cambia el equivalente en tensión para 𝑖1

74


Se reduce las fuentes de tensión 𝑉𝑠1 con 𝑅1𝑖𝑠1

75


Se reduce las fuentes de corriente a una sola

76


Transformar a una única fuente de tensión

77


Finalmente se tiene:

78


Ejemplo

Determine el valor de I

79


Simplificando fuentes de corriente y tensión por sus equivalentes

80


Simplificando a fuente de corriente

81


Simplificando todo el circuito

82

4.5 Teoremas de Thèvenin y Norton

En circuitos complejos compuestos por muchos componentes, a

menudo es de interés conocer los valores de tensión y corriente en una

parte muy especifica del circuito.

Además es importante conocer como reacciona la tensión o corriente

ante un cambio en la carga.

83


Para evitar análisis complejos cada vez que se hace un cambio en la

carga, se puede tener una versión muy simplificada del circuito

mediante circuitos que proporcionan los teoremas de Thèvenin y

Norton.

84


Teorema de Thèvenin

Se dice que un circuito es posible sustituir todo, excepto la carga, por

una fuente de tensión independiente (tensión de Thèvenin) como una

resistencia en serie (resistencia de Thèvenin).

85


Teorema de Norton

Es similar al teorema de Thèvenin pero con una fuente de corriente

(corriente de Norton) en paralelo con una resistencia de Norton.

86


Procedimiento para aplicar el teorema de Thèvenin:

1. Identificar claramente la carga a la cual se le hará el análisis de

Thèvenin.

2. Desconectar la carga y determinar los puntos de interconexión y

asignar una tensión de circuito abierto.

3. Apagar todas las fuentes independientes de las red, por su

equivalente.

4. Determinar la resistencia equivalente de la red pasiva vista desde la

terminarles de interconexión.

5. Dibujar el circuito equivalente de Thèvenin compuesto por la fuente

de tensión y la resistencia equivalente.

87




Thèvenin.




equivalente.





88



Thèvenin.

RED ARED B

89




Thèvenin.




equivalente.





90




Circuito Carga

91




92




93



Thèvenin.

94




Thèvenin.




equivalente.





95



equivalente.

96




Thèvenin.




equivalente.





97




𝑹𝒕𝒉 = (𝟒//12) +1

𝑹𝒕𝒉 = 𝟒 Ω

98




Thèvenin.




equivalente.





99




100


No necesariamente todos los circuitos tienen fuente independiente, si

cualquier red contiene una fuente dependiente, su variable de control

deberá quedar en la misma red.

Con base a lo anterior estudiaremos un caso de ejemplo con fuente

dependiente, usando el misma metodología.

101




Thèvenin.




equivalente.





102




Thèvenin.




equivalente.





103



Thèvenin.

RED A

RED B

104




Thèvenin.




equivalente.





105




Circuito

Carga

106




107



asignar una tensión de circuito abierto.𝑖1 = 5 𝐴

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 2

4 𝑖2 − 𝑖1 + 2 𝑖2 − 𝑖3 + 6𝑖2 = 0−4𝑖1 + 12𝑖2 − 2𝑖3 = 0

12𝑖2 − 2𝑖3 = 20𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 3

−8 𝑖1 − 𝑖2 + 2 𝑖3 − 𝑖2 = 0−8𝑖1 + 6𝑖2 + 2𝑖3 = 0

6𝑖2 + 2𝑖3 = 20

𝑣𝑥 = 4 𝑖1 − 𝑖2

108




Thèvenin.




equivalente.





109



equivalente. Para el calculo de 𝑅𝑡ℎ se debe utilizar una fuente de

prueba

𝑅𝑡ℎ =1

𝑖𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎

𝑅𝑡ℎ =𝑣𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎

1

110



equivalente. Para el calculo de 𝑅𝑡ℎ se debe utilizar una fuente de

prueba𝑣𝑥 = −4𝑖2 𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 2

−𝑣𝑥 −2𝑣𝑥 +6(𝑖2 − 𝑖3) = 06𝑖2 − 2𝑖3 = 0

𝑀𝑎𝑙𝑙𝑎 3

6 𝑖3 − 𝑖2 + 2𝑖3 + 1 = 0−6𝑖2 + 8𝑖3 = −1

111




Thèvenin.




equivalente.





112




𝑹𝒕𝒉 = (𝟒//12) +1

𝑹𝒕𝒉 = 𝟒 Ω

113




Thèvenin.




equivalente.





114




115


Procedimiento para aplicar el teorema de Norton:


Norton.


asignar una corriente de corto circuito.


equivalente.




de corriente y la resistencia equivalente en paralelo.

116




Norton.




equivalente.





117



Norton.

RED ARED B

118




Thèvenin.




equivalente.





119




Circuito Carga

120




121




122




Thèvenin.




equivalente.





123



equivalente.

124




Thèvenin.




equivalente.





125




126




Thèvenin.




equivalente.



5. Dibujar el circuito equivalente de Norton compuesto por la fuente


127




128


No necesariamente todos los circuitos tienen fuente independiente, si

cualquier red contiene una fuente dependiente, su variable de control

deberá quedar en la misma red.

Con base a lo anterior estudiaremos un caso de ejemplo con fuente

dependiente, usando el misma metodología.

129




Norton.




equivalente.




de corriente y la resistencia equivalente en paralelo.

130




Norton.




equivalente.





131



Norton.

RED ARED B

132




Thèvenin.




equivalente.





133




Circuito Carga

134




135




𝑖𝑥 =10

4= 2,5 𝐴

𝑖𝑁 =10

5+ 2𝑖𝑥 = 2 + 2(2,5) 𝐴

𝑖𝑁 = 7𝐴

136




Thèvenin.




equivalente.





137



equivalente. Para el calculo de 𝑅𝑁 se debe utilizar una fuente de

prueba

𝑅𝑁 =1

𝑖𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎

𝑅𝑁 =𝑣𝑝𝑟𝑢𝑒𝑏𝑎

1

138




Thèvenin.




equivalente.





139




140




Thèvenin.




equivalente.





141




142


Con base al teorema de superposición es posible decir que:

𝑉𝑡ℎ = 𝑅𝑡ℎ𝐼𝑛

A partir de ello consideremos el siguiente ejemplo

143


Determine el equivalente de Thèvenin y Norton

144


Determine el equivalente de Thèvenin y Norton

145


Nótese que 𝑅𝑡ℎ puede calcularse como:

𝑅𝑡ℎ = 𝑅𝑁 =𝑉𝑡ℎ𝐼𝑁

=𝑉𝑂𝐶𝐼𝑆𝐶

Cuando por la razón que sea, no se puede determinar 𝑅𝑡ℎ directamente,

se calcula 𝑉𝑂𝐶 e 𝐼𝑆𝐶 para encontrar 𝑅𝑡ℎ

Como vimos anteriormente esto es útil cuando hay fuente dependientes,

además que se puede usar el método de fuente de prueba.

146

4.6 Máxima transferencia de potencia

Generalmente, la carga de un circuito es la parte que realiza un trabajo

útil. Por lo tanto, nos interesa saber cuanta potencia absorbe la carga ya

que esto está relacionado directamente con la eficiencia del sistema.

𝜂 =𝑃𝐿

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙=

𝑃𝐿𝑃𝐿 + 𝑃𝑅𝑡ℎ

En un circuito equivalente de Thèvenin la potencia de la carga es

descrita como:

147


𝑃𝐿 = 𝑖𝐿2𝑅𝐿 =

𝑉𝑡ℎ𝑅𝐿 + 𝑅𝑡ℎ

2

𝑅𝐿

148


De la relación

No interesa encontrar la potencia máxima, para ello se puede hacer𝑑𝑃𝐿

𝑑𝑅𝐿=

0 con esta expresión se determina el valor de 𝑅𝐿 que maximiza el valor de

potencia.

𝑃𝐿 = 𝑖𝐿2𝑅𝐿 =

𝑉𝑡ℎ𝑅𝐿 + 𝑅𝑡ℎ

2

𝑅𝐿

149


150


Debe tenerse claro el hecho de que una máxima transferencia de

potencia a la carga no implica una máxima “extracción” de potencia de

la fuente.

Véase que en el caso del equivalente de Thèvenin la máxima potencia

que entrega la fuente es para una carga 𝑅𝐿 = 0 que hace una 𝑖𝐿 =máxima.

151


Según lo anterior, y considerando que toda fuente tiene una resistencia

interna.

¿Cuál es la eficiencia con 𝑹𝑳 = 𝑹𝒕𝒉?

Para el caso que 𝑹𝑳 = 𝑹𝒕𝒉 se tiene que la potencia que recibe la carga es

𝑷𝑳𝒎𝒂𝒙=

𝑽𝒕𝒉𝟐

𝟐𝑹𝒕𝒉𝟐𝑹𝒕𝒉 =

𝑽𝒕𝒉𝟐

𝟒𝑹𝒕𝒉

𝑷𝑳𝒎𝒂𝒙=

𝑽𝒕𝒉𝟐

𝟒𝑹𝒕𝒉

152


En relación a lo anterior pueden lograrse mejores eficiencias, pero cada

una, la potencia en la carga será menor que para el caso en el que 𝑹𝑳 =𝑹𝒕𝒉

Considere el siguiente ejemplo, determine el equivalente de Thèvenin

• Eficiencia 𝑹𝑳 = 𝑹𝒕𝒉 y 𝑹𝑳 ± 𝟐𝟓%

R/ 𝑹𝑳 = 𝑹𝒕𝒉 → 𝜼 = 𝟓𝟎%; 𝑹𝑳 − 𝟐𝟓%→ 𝜼 = 𝟒𝟐, 𝟖𝟕%; 𝑹𝑳 + 𝟐𝟓%→ 𝜼 = 𝟓𝟓, 𝟒𝟓%

153

4.7 Circuitos con amplificadores operacionales

Es un dispositivo electrónico que comúnmente se abrevia como op-

amp.

Este es un dispositivo complejo, pero de momento no interesa su

constitución interna, solo sus relaciones de corriente y tensión externa.

En general es un elemento activo

154


El op-amp se desempeña casi de forma ideal, por lo que se verán

algunas las siguientes características.

Características ideales

1. Nunca fluye corriente hacia ninguna terminal de entrada.

2. No existe diferencia de potencial entre las 2 terminales. (No están

en cortocircuito, solo al mismo potencial, lo cual es diferente.)

Una característica importante es que la tensión de salida siempre

depende de alguna forma de la entrada.

155


Amplificador Operacional Ideal

156


En relación a lo anterior analizaremos algunas configuraciones:

IDEAL NO IDEAL

157


Al aplicar un LVK se obtiene lo siguiente:

Despejando la tensión de salida 𝑉𝑜, mediante una LVK

𝑉𝑖 = 𝑖 𝑅1 + 𝑅𝑓 + 𝑉𝑜

𝑉𝑜 = 𝑉𝑖 − 𝑖 𝑅1 + 𝑅𝑓

158


Únicamente la corriente i

fluye por las fuentes y las

resistencias, y nada por el

amplificador.

Por lo tanto el circuito anterior es posible sintetizarlo de manera que:

159


Amplificador Inversor LCK

Utilizando condiciones ideales se tiene

que:

160


Ahora bien que implicaciones existen para𝑅𝑓

𝑅1

•𝑅𝑓

𝑅1> 1 →Amplificador → Ganancia → Inversor

•𝑅𝑓

𝑅1< 1 →Atenuador → Inversor

•𝑅𝑓

𝑅1= 1 → Inversor

Finalmente un amplificador inversor invierte la polaridad de la

señal mientras que la amplifica

161


Ejemplo

Considere el siguiente circuito eléctrico, determine la tensión y

corriente de salida. Si 𝑣𝑖 = 0,5 V

R/ 𝒗𝒐= -1,25 V, i = 50 𝝁A

162


Amplificador No Inversor LCK

Utilizando condiciones ideales se tiene

que:

163


Note que la ganancia únicamente depende de los resistores externos

• Si 𝑹𝒇 = 𝟎 y 𝑹𝒊 = ∞ la ganancia se convierte en 1.

Finalmente un amplificador no inversor es un circuito de

amplificador operacional diseñado para suministrar una ganancia en

tensión positiva.

164


Ejemplo

Considere el siguiente circuito eléctrico, determine la tensión de

salida.

R/ 𝒗𝒐= -1 V

165


Amplificador Seguidor Utilizando condiciones ideales se tiene

que:

166


La configuración de amplificador operacional se da cuando:

• Si 𝑹𝒇 = 𝟎 y 𝑹𝒊 = ∞ la ganancia se convierte en 1.

Finalmente un amplificador seguidor, es aquel donde la entrada es

igual a la salida.

Esta configuración es utilizada para acople de impedancias entre dos

sistemas o etapas.

167


168


Amplificador Sumador LCK

169


Amplificador Sumador Utilizando condiciones ideales se tiene

que:

170


Esta configuración es una variante del amplificador inversor. La

ventaja de esta configuración es que permite manejar muchas

entradas al mismo tiempo.

Finalmente un amplificador sumador, es un circuito del

amplificador operacional que combina varias entradas y produce una

salida que es la suma ponderada de las entradas.

171


Ejemplo


corriente de salida.

R/ 𝒗𝒐= -8 V, i = -4.8 𝒎A

172


Amplificador Restador LCK

Nodo a

Nodo b

173


Amplificador Restador Utilizando condiciones ideales se tiene

que:

174


Amplificador Restador Utilizando condiciones ideales se tiene

que:

175


Esta configuración es una variante del amplificador inversor. La

ventaja de esta configuración es que permite manejar muchas

entradas al mismo tiempo.

Finalmente un amplificador sumador, es un circuito del

amplificador operacional que combina varias entradas y produce una

salida que es la suma ponderada de las entradas.

176


Ejemplo


corriente de salida.

R/ 𝒗𝒐= -8 V, i = -4.8 𝒎A

177

Bibliografía

[1] Alexander, Charles K. y Sadiku, Matthew N. O. Fundamentos de

Circuitos Eléctricos. 5ª Ed. México: McGraw-Hill, 2013. (Imágenes)

Para más información pueden ingresar a: tec-digital ó

http://www.ie.tec.ac.cr/sarriola/

Esta presentación se ha basado parcialmente en compilación para semestre

anteriores de cursos de Circuitos Eléctricos en Corriente Continua y Teoría

Electromagnética I por Aníbal Coto-Cortés y Renato Rimolo-Donadio

http://www.ie.tec.ac.cr/sarriola/

Circuitos Eléctricos en Corriente Continua Unidad 4 ...

Documents

Transcript of Circuitos Eléctricos en Corriente Continua Unidad 4 ...