Circuitos Electricos I

CIRCUITOS ELCTRICOS I

1

UNIVERSIDAD TECNOLGICA DEL PER Vicerrectorado de Investigacin

TEORA DE CIRCUITOS ELCTRICOS I

TINS INGENIERA ELECTRNICA, INGENIERA MECATRNICA

TEXTOS DE INSTRUCCIN (TINS) / UTP

Lima - Per


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TEORA DE CIRCUITOS ELCTRICOS I Desarrollo y Edicin : Vicerrectorado de Investigacin Elaboracin del TINS : Ing. Fernando Lpez A. Ing. Mercedes Zambrano O. Diseo y Diagramacin : Julia Saldaa Balandra Soporte acadmico : Instituto de Investigacin Produccin : Imprenta Grupo IDAT

Queda prohibida cualquier forma de reproduccin, venta, comunicacin pblica y transformacin de esta obra.


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El presente material contiene una compilacin de obras de

Circuitos Elctricos publicadas lcitamente, resmenes de los

temas a cargo del profesor; constituye un material auxiliar de

enseanza para ser empleado en el desarrollo de las clases en

nuestra institucin.

ste material es de uso exclusivo de los alumnos y docentes de

la Universidad Tecnolgica del Per, preparado para fines

didcticos en aplicacin del Artculo 41 inc. C y el Art. 43 inc.

A., del Decreto Legislativo 822, Ley sobre Derechos de Autor.


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5

Presentacin

El presente trabajo, es un enfoque terico-prctico de temas de Circuitos Elctricos, soporte temtico fundamental en el desarrollo de los silabo en los currculo de Ing. Electrnica, Ing. Mecatrnica y Ramas Afines; como complemento de los conocimientos impartidos en aulas en convergencia de las prcticas de laboratorio; en las formas real y virtual, con aplicacin de software de simulacin electrnica (Proteus, Circuimaker, Orcad, Spice y otros).

Pretende reforzar los conceptos, leyes, teoremas, mtodos de

solucin, va anlisis y razonamiento lgico, para estudiantes con apropiada preparacin de Fsica, Matemtica y Lenguajes de Programacin.

El texto aludido, contiene temas seleccionados de diferentes fuentes bibliogrficas, usadas para la formacin de Ingenieros Electrnicos y Mecatrnicos. Tambin ser til en Telecomunicaciones, Ingeniera Industrial e Ingeniera de Sistemas. La recopilacin de temas ha sido posible, gracias al denuedo acadmico de los profesores Fernando Lpez y Mercedes Zambrano; contiene los siguientes captulos: En el Captulo 1 se dan los conceptos fundamentales, definiciones de algunas terminologas y magnitudes. En el Captulo 2 se hace una introduccin y estudio de las leyes bsicas que rigen en todos los circuitos elctricos. Adems se discuten otros aspectos relacionados como reduccin de circuitos y transformaciones de grupos de elementos.


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En el Captulo 3 se analizan varias formas de resolver, aplicando diversos parmetros de las redes lineales. En el Captulo 4 se explican los diversos teoremas para la solucin de circuitos. Aplicando dichos teoremas se resuelven problemas a todo nivel. En el Captulo 5 se hace el estudio y anlisis de los cuadripolos o redes de dos pares de terminales. Adems se analiza el comportamiento de los elementos almacenadores de energa (Bobinas y Condensadores).

En el Captulo 6 se analiza el comportamiento transitorio de circuitos con elementos que almacenan energa: condensadores e inductores. Se hace el anlisis en el tiempo y en el dominio de la frecuencia usando la transformada de Laplace. Cerrando estas lneas de presentacin, el agradecimiento institucional a los profesores que han contribuido al acopio de los temas y al comentario del presente texto.

Ing. Lucio H. Huamn Ureta Vicerrectorado de Investigacin


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ndice

Pg. Capitulo I: CONCEPTOS FUNDAMENTALES.

1.1. Magnitudes elctricas ................................................. 11 1.2. Generacin de la Energa elctrica DC...................... 13 1.3. Definiciones Elctricas ............................................... 14 1.4. Elementos de Circuitos Elctricos ............................. 17 1.5. Linealidad .................................................................. 29 1.6. Terminologa de elementos para un circuito ............. 31

Capitulo II: LEYES, REDUCCIONES Y TRANSFORMACIONES.

2.1. Ley de Ohm .... 33 2.2. Las leyes sagradas de Kirchhoof ................................. 34 2.3. Asociacin de Elementos Pasivos............................... 40 2.4. Transformacin Delta-Estrella, y Viceversa................ 48 2.5. Asociacin de Elementos Activos .............................. 58

Capitulo III: METODOS SIMPLIFICADOS DE SOLUCIN.

3.1. Divisor de Tensin y Divisor de Corriente ................ 61 3.2. Puente Wheatstone .................................................... 67 3.3. Mtodo de Transformacin de Fuentes (MTF) ........ 73

Capitulo IV: MTODOS DE SOLUCIN EN REDES LINEALES.

4.1. Algebra Topolgica..................................................... 87 4.2. Mtodo de Mallas (Maxwell) ...................................... 92 4.3. Mtodo Nodal ............................................................ 100 4.4. Aplicaciones con Fuentes Controladas ...................... 110

Capitulo V: APLICACIN DE TEOREMAS.

5.1. Teorema de la Superposicin....................................... 113 5.2. Teorema de Reciprocidad ............................................ 121 5.3. Teorema de Thevenin ................................................. 126


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5.4. Teorema Norton .......................................................... 127 5.5. Teorema Mxima Potencia de Transferencia............... 139

Capitulo VI: REDES DE DOS PARES DE TERMINALES.

6.1. Cuadripolos................................................................ 157 6.2. Cuadripolos Simtricos .............................................. 168 6.3. Teorema de Bartlett.................................................... 168

Capitulo VII: CIRCUITOS TRANSITORIOS DE PRIMER Y SEGUNDO ORDEN

7.1. Funciones Singulares.................................................. 175 7.2. Comportamiento del Inductor y Condensador......... 178 7.3. Transitorios de Primer Orden.................................... 179 7.4. Transitorios de Segundo Orden................................. 188 7.5. Circuitos Acoplados ................................................... 196 7.6. Transformada de Laplace ........................................... 212

Bibliografa .................................................................................... 219


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Distribucin Temtica

Clase N Tema Semana

1 Introduccin, elementos de los Circuitos Elctricos sistemas lineales, variables y Parmetros elctricos. Curvas caractersticas y relaciones Volt-Ampere.

1

2 Leyes de Kirchohoff, conexiones de elementos activos y pasivos. Conexin de Resistencia en serie y paralelo.

2

3 Mtodos simplificados de divisores de tensin y de corriente. Transformaciones de circuitos en conexin. Delta y Estrella. Aplicaciones.

3

4 Puente Wheastone. lgebra Topolgica, mtodo de las 2b ecuaciones.

4

5 Mtodo de corrientes de malla, malla ficticia. 5

6 Mtodo de Potenciales de nodo, nodo ficticio. 6

7 Principio de Superposicin, teoremas de sustitucin y de reciprocidad. Teorema de Thevenin.

7

8 Teorema de Norton y el Teorema de la Mxima Transferencia de Potencia.

8

9 Repaso de la Teora, ejercicios y problemas. 9

10 E X A M E N P A R C I A L 10


10

11 Redes de dos pares de terminales, parmetros de los cuadrpolos, reduccin a tres terminales equivalentes.

11

Clase N Tema Semana

12 Conexiones en serie, en paralelo, en cascada, en serie paralelo y en paralelo-serie.

12

13 El enrejado simtrico como prototipo de red con simetra fsica completa. Teorema de Barlett.

13

14 Funciones Singulares. Generacin de Funciones, comportamiento en condiciones iniciales y finales. Potencia y energa de elementos almacenadores.

14

15 Circuitos transitorios de primer orden, ecuaciones diferenciales de Circuitos R-L y R-C, frmulas generales y variacin de excitacin.

15

16 Circuitos de transitorios de segundo orden, ecuaciones diferenciales de circuitos R-L-C. Anlisis de tipos de respuestas.

16

17 Introduccin a la aplicacin de la transformada de Laplace en circuitos transitorios. Circuitos acoplados e inductancia mutua.

17

18 Seminario Final. 18

19 EXAMEN FINAL 19

20 EXAMEN SUSTITUTORIO 20


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CAPITULO I

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

1.1. MAGNITUDES ELCTRICAS Amperio (A): Unidad de medida de la corriente elctrica. Un amperio es la corriente que fluye cuando 1 Coulumb de carga pasa por un segundo en una seccin dada.

segundocoulumbAmp 11 =

Coulomb (C): Unidad de medida de la carga elctrica que pasa por un punto en un segundo cuando la corriente es de 1 amperio.

1 Coulomb = 6.28x1018 electrones.

Faradio. (F): Unidad de medida de los capacitores (C) en donde la carga de 1 coulombio produce una diferencia de potencial de 1 voltio.

voltiocoulombF 11 =

Hertz. (Hz): Es la unidad de frecuencia igual a la cantidad de ciclos completos de una onda en una unidad de tiempo.

.11segcicloHertz =

Henry (H): Unidad de medida de la inductancia (L) en que 1 voltio es inducido por un cambio de corriente de 1 amperio por segundo. Joule (J): Es el trabajo producido por una fuerza de 1 newton, actuando sobre la distancia de 1 metro


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Ohm (): Es la resistencia que produce una tensin de 1 voltio cuando es atravesada por una corriente de 1 amperio.

ampervoltio=1 Siemens (S): unidad de medida de la conductancia (G) que produce una corriente de 1 amperio cuando se aplica una tensin de 1 voltio. Es la inversa del Ohmio. Voltio (V): Es la unidad de fuerza que impulsa a las cargas elctricas a moverse a travs de un conductor.

)()(

coulumbsQjuliosWV =

Watts o Vatio (W): Unidad de la potencia requerida para realizar un trabajo a razn de 1 julio (joule) por segundo.

)()(

. tiempoStrabajoJ

SegCoulomb

CoulombJoulesWatios ==

Tesla (T): Es la induccin magntica uniforme que, repartida normalmente sobre una superficie de 1 metro cuadrado, produce a travs de esta superficie un flujo magntico total de 1 weber. Weber (Wb): Unidad de medida del flujo magntico que, al disminuir de forma uniforme desde su valor hasta cero en un segundo, genera en una espira una fuerza electromotriz de 1 volt.


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1.2. GENERACION DE LA ENERGA DC

En el mundo la generacin, distribucin, transmisin se realizaba con energa continua, al transcurrir el tiempo la ingeniera evoluciona con la incursin de la energa alterna (tema que se tratara en elctricos II). Histricamente la energa elctrica se genera por medios del electrolito. El electrolito, una sustancia qumica que reacciona con los electrodos, de tal forma que a uno de ellos llegan los electrones liberados por la reaccin hacindose negativo, mientras que el otro, habindolos perdido, adquiere carga positiva. Esta diferencia de cargas entre los dos electrodos es la diferencia de potencial. Si se conecta un cable conductor externo que los comunique, la diferencia de potencial origina un camino por el que los electrones del electrodo negativo pasan al electrodo positivo. Precisamente, al desplazamiento de los electrones a travs de un conductor se le conoce con el nombre de corriente elctrica.

Otra forma de conseguir energa continua es utilizando dinamos (maquina elctrica rotatoria que genera en principio energa alterna, pero con el uso de escobillas y anillos deslizantes es convertida en energa continua). Actualmente la energa continua se obtiene aplicando la electrnica mediante dispositivos llamados rectificadores.

CORRIENTE CONTINUA. Es aquella que una vez conectada a un circuito esta circula con un valor constante en una sola direccin del polo negativo al polo positivo, y siempre mantiene la misma polaridad. Por convenio en ingeniera electrnica se establece que la corriente circule de polo positivo al polo negativo.


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CIRCUITOS ELCTRICOS. Es un conjunto de componentes elctricos que interactan entre si, para generar, transportar o modificar seales elctricas, adems son dispositivos usados para controlar la tensin y corriente. En el circuito elctrico, la energa se transfiere de un punto a otro travs de alambres de conexin, Se compone de fuente, conductor y resistencia.

1.3. DEFINICIONES ELCTRICAS

Puesta a tierra. Limita la corriente en caso de corto circuito, descargas provocados por tormentas, accidentes atmosfericos.


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Lo que se hace es conectar todas las partes metlicas de la planta industrial a tierra, de tal forma que entre lo que est conectado a tierra y tierra, no exista diferencia de potencial. Carga Elctrica (Q). Se define como carga elctrica a la cantidad de electrones almacenados en un cuerpo con exceso o defectos de electrones, su unidad es el coulumb. 1 Coulomb = 6.28x1018 electrones. Corriente elctrica (I). Es la cantidad de electrones que circula a travs de un conductor del circuito. Su unidad de medida es el amperio (A). La direccin de la corriente es en la direccin en la cual fluiran las cargas positiva (por convencin).

( )Adttdqti )()( =

Sentido de la corriente en un circuito elctrico (por convencin).

Voltaje (V). Es la cantidad de trabajo necesario para transportar una carga elctrica a travs del elemento de un punto a otro. Tambin se le conoce como diferencia de potencial, fem, tensin. Se mide en voltios (V).


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dqdwV =

Energa ( w ). Es la que determina que cantidad de trabajo que desarrolla un circuito, ejm. Determina cuanto puede llegar a iluminar un bombillo o cuanto tiempo se puede conectar una resistencia, etc. Su unidad es el Joule se mide en kilowatt-hora (kWh). Para circuitos con carga constante. .w p t= , donde potenciap = Para circuitos de Potencia variable con respecto al tiempo.

( ) ( )dwp w t p t dtdt

= = Potencia. Es la rapidez en que se ejecuta un trabajo en un determinado tiempo. Adems es el producto de la diferencia de potencial y la intensidad de corriente que pasa a travs del dispositivo.

dw dw dw dqP P VI P VIdt dt dq dt

= = = = =

La potencia se mide en joule por segundo j seg equivalente a 1 watts ,

por tanto, cuando se consume 1 joule de potencia en un segundo, estamos gastando o consumiendo 1 watt de energa elctrica. La potencia indica que tan rpido se esta aportando o consumiendo energa, esto es si:

0P VI= > El elemento absorbe potencia. Entonces la corriente fluye desde el potencial ms alto al ms bajo.


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.P V I=

0P VI= < El elemento entrega potencia.

.P V I=

Eficiencia in

out

PP

EntradadePotenciasalidadePotenciaEficiencia ===

____

%100(%)(%) ==in

out

PP

Eficiencia

1.4. ELEMENTOS DE CIRCUITOS ELCTRICOS

Los elementos de los circuitos elctricos son: Elementos Activos. Elementos Pasivos.


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ELEMENTOS ACTIVOS. Son elementos que generan tensin o corriente para entregar energa a la red, a estos elementos se les denomina FUENTES; estas son las Fuentes Ideales y Fuentes Reales.

1). FUENTES IDEALES:

Se utilizan en diseo de circuitos, para analizar el comportamiento de componentes electrnicos o circuitos reales. Pueden ser independientes o dependientes.

1.1. Independientes: Sus magnitudes son siempre constantes.

Fuentes Independiente de Tensin. Proporciona energa elctrica con una determinada tensin (V), independiente de la corriente que circula por l. La relacin V I es una recta horizontal en el que representa el valor de la tensin en sus bornes.

Fuentes Independiente de Corriente. Proporciona Energa con una determinada corriente (I), que es independiente de la tensin en sus bornes. La relacin V I es una recta vertical que representa el valor de la corriente suministrada.


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1.2. Dependientes: Son fuentes controladas por tensin o

corriente en otros puntos de la red.

a. Fuente Dependiente de tensin. El voltaje depende de la variable x, que puede ser una corriente o un voltaje en cualquier punto del circuito.

v mx= Donde m es constante.

Fuentes de tensin controlados por Tensin. Es

cuando la magnitud depende de la tensin entre otros puntos del circuito

cvbv .=

Donde b es constante, tiene unidades volts/volts y Cv es el voltaje de Control.

Fuentes de Tensin Controlados por Corriente. Es

cuando la magnitud depende de la corriente.

cirv .=


20

Donde r es constante, tiene unidades volts/amp e Ci es la corriente de control.

b. Fuentes Dependientes de Corriente.- La corriente depende de la variable x que puede ser una corriente o un voltaje en cualquier punto del circuito.

i nx= Donde n es constante

Fuente de Corriente Controlado por Tensin. Es

cuando la intensidad depende de la tensin entre dos puntos del circuito.

cvgi .=

Donde g es constante, tiene unidades amp/volts y Cv es el voltaje de control.

Fuente de Corriente Controlado por corriente.- Es cuando la intensidad es funcin de la corriente en otra parte del circuito.

ciki .=

Donde k es constante, tiene unidades amp/amp e

Ci es la corriente de control.


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2). FUENTES REALES:

a. Fuentes de Tensin.- Es la que tiene Resistencia interna ( intR ) en serie, donde hay una prdida de tensin. El resto de tensin va a la carga.

b.- Fuentes de Corriente.- Fuente de corriente real es la que tiene Resistencia interna ( intR ) en paralelo, donde hay una prdida de corriente. El resto de corriente va a la carga.

Independiente Dependiente

Fuente de Voltaje Controlada por Voltaje Controlada por Corriente

Fuente de Corriente


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ELEMENTOS PASIVOS. Son Consumidores y almacenadotes de energa, como son: 1. RESISTENCIA (R): Es la oposicin al flujo de la corriente elctrica, adems controla tensin y corriente. Se mide en ohmios (). Su funcin dentro de un circuito es de convertir energa elctrica a energa calorfica. Su resistencia depende de varios factores como son:

El material con que esta hecho. Su geometra

A = rea en (cm2) = Resistividad ( cm) l = Longitud en cm

TIPOS: Valor Variable.- los resistores variables tienen tres contactos, el eje es mvil cuyo valor ohmico puede ser ajustado o cambiado. Se usa para variar la cantidad de corriente en un circuito. Entre las variables tenemos:

AlR .=


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Potencimetro.- Son de carbn se usa cuando el flujo de corriente es bajo.

Restato.- Es de Hilo metlico enroscado alrededor de un ncleo. Se usa cuando el flujo de corriente es alto.

Potencimetro Parte Interna Smbolo elctrico

Fijos.- Los resistores fijos tienen dos contactos, su valor no puede ser alterado, son de baja potencia, los de mayor uso son los de carbn cuyos valores son en ohmios y megohmios su potencia de disipacin es de 1/8W hasta 2W.

I . R V =

Caractersticas de la Resistencia.- Potencia de Salida.- Indica la cantidad de calor que un resistor

puede dar sin peligro. Tolerancia.- Es la cantidad de diferencia que es aceptable entre el

valor medido y el valor indicado. Valor ohmico.


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Se identifican con bandas de colores que indican su valor. a. Cdigo de Colores:

Color Primer digito

Segundo digito

Multiplicador Tolerancia

Negro 0 0 100

Marrn 1 1 101 1%

Rojo 2 2 102 2%

Naranja 3 3 103

Amarillo 4 4 104

Verde 5 5 105 0.5%

Azul 6 6 106 0.25%

Violeta 7 7 107 0.1%

Gris 8 8 108

Blanco 9 9 109

Dorado - - 10-1 5%

Plateado - - 10-2 10%

Incoloro - - 20%

Los dos primero colores indican directamente un nmero, el tercero es el multiplicador y el cuarto la tolerancia. Ejemplo: Si.

primer digito Rojo : un 2 segundo digito Amarillo : un 4 multiplicador rojo : dos ceros tolerancia Dorado : 5%


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Unindolo todo nos queda: 2400 Ohmios o escrito de otra forma 2K4 Ohmios.

b. Por Cdigo De Nmero y Letras En este caso la posicin de la letra significa el punto decimal

Ejm. R22 = 0.22 R(ohmios) 3k3 = 3.3k 33k = 33k M22 = 0.22M M(megohmios)

R = , 1K = 103, M = 106 2. CONDENSADOR ( C ): Los condensadores tiene la habilidad de almacenar carga elctrica en forma de campo elctrico. La corriente fluye hasta que el condensador alcance una carga igual a la tensin de la fuente. Su unidad de medida es el faradio (F). Su capacidad se mide en F = 10-6, nF = 10-9, pF = 10-12

dq Cdv= Donde: dv es el cambio en el voltaje entre las placas. dq es el cambio en la carga. La corriente que fluye a travs del condensador esta dada por:

1 ( )CV id tC= C dvi C dt=


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La Energa almacenado en el capacitar es:

2

2CCVW = Se expresa en Joules

TIPOS: Condensadores fijos.- tienen una capacidad fija, y determinada por el fabricante. Se dividen de acuerdo al dielctrico que poseen como son: No polarizados (cermicos y polister) estos capacitares tienen

una corriente de fuga muy baja. Bloquea seales no deseadas, y producen formas de onda, son osciladores. Se usa para aislar un circuito del otro.

Polarizados (Electrolticos). Tiene polaridad determinada. Se

usan como filtros, eliminacin de rizado, redes RC de alta constante de tiempo. Mal comportamiento en frecuencias medias altas.

Smbolo elctrico


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Condensadores Variables.- Su capacidad es modificable a voluntad del usuario. Se usa como sensor de desplazamiento, en transmisores y receptores.

Propiedades del Capacitor. Corriente continua (DC).- el condensador se comporta como

circuito abierto.

Corriente alterna (CA).- Su comportamiento depende de la

frecuencia de la seal, para frecuencias muy altas se comporta como un corto circuito.

Parmetro de un condensador. Constante de Tiempo (t).- Es el tiempo en el cual el condensador se carga o descarga al 69% del valor del voltaje dado. Reactancia Capacitiva (Xc).-es la oposicin que ofrece el condensador al paso de la corriente alterna. Su unidad es el ohmio.

12c

Xf c=


28

3. INDUCTORES O BOBINA ( L ): La bobina almacena energa en su campo magntico y luego lo devuelve a la red del circuito. Las bobinas se oponen a los cambios bruscos de la corriente que circula por ellas. Se mide en henrys (H). La Relacin diferencial lineal entre tensin-corriente ( v i ) es:

Ld iV Ld t

=

( )1 . ( )ti v d tL

= La energa almacenada en el inductor, es cuando aumenta la intensidad de corriente y esta dada por:

2

2LLiW = Se expresa en Joules

El valor que tiene una bobina depende de: El nmero de espiras que tenga la bobina (a ms vueltas mayor

inductancia) El dimetro de las espiras (a mayor dimetro, mayor

inductancia). La longitud del cable de que est hecha la bobina. El tipo de material de que esta hecho el ncleo, si es que lo

tiene.


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Propiedades del Inductor: Corriente continua (DC). La bobina se comporta como un

corto circuito.

Corriente alterna (CA). Su comportamiento depende de la frecuencia de la seal, para frecuencias muy altas se comporta como circuito abierto.

Parmetros de la bobina. Constante de tiempo.- Es el tiempo que la bobina tarda en cargarse o descargarse el 69% de voltaje que se autoinduce.

( .) LsegR

=

Reactancia inductiva.- es la dificultad que ofrece la bobina a la corriente alterna.

flLX L 2=

1.5. LINEALIDAD. En un sistema lineal, el voltaje y la corriente guardan una relacin proporcional. Una red elctrica es lineal cuando cumple los principios de Homogeneidad y superposicin.


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Principio de Homogeneidad. La magnitud de salida del sistema es proporcional a la magnitud de la entrada del sistema.

Principio de Superposicin. El sistema maneja dos entradas simultneas cuya respuesta es la suma de las individuales a la vez.

Los elementos que responden en estos principios son: Resistencia, Capacitancia e inductancia. DIPOLOS PASIVOS Se llama dipolo a todo circuito elctrico o red elctrica que presenta dos polos, por donde se pueden realizar ensayos elctricos, es pasivo porque dentro encontramos puras resistencias, condensadores y bobinas.


31

.abV R cteI=

.abI G cteV

= 1.6. TERMINOLOGA DE ELEMENTOS PARA UN

CIRCUITO.

Conexin. Punto donde se unen dos terminales de elementos

Tierra.- un nudo del circuito que se toma de referencia

para medir todas las tensiones del circuito. Red: Conjunto de elementos unidos mediante conectores. Nudo. Punto donde se unen ms de dos terminales de

elementos Rama: Conjunto de todos los elementos de un circuito

comprendidos entre dos nudos. Lnea cerrada: Conjunto de ramas que forman un bucle

cerrado. Son lneas cerradas. Malla.- camino cerrado formado una o ms ramas que

comienza y termina por un nudo.


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Elemento bilateral: Aquel que tiene las mismas caractersticas para polaridades opuestas. Por Ejemplo una resistencia.

Elemento unilateral: Aquel que tiene diferentes

caractersticas para diferentes polaridades, como ocurre con el diodo.

Circuito equivalente: Aquel que puede remplazarse por

otro ms complejo proporcionando el mismo resultado.


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CAPITULO II

LEYES, REDUCCIONES Y TRANSFORMACIONES

2.1. LEY DE OHM. La ley de ohm establece la relacin entre tres cantidades elctricas como son tensin, corriente y resistencia. Segn la ley de Ohm, la corriente es directamente proporcional a la tensin e inversamente proporcional a la resistencia. Una manera de recordar las formulas que definen la ley de ohm es mediante el siguiente triangulo.

V I R=

VIR

=

IVR =

Un conductor cumple con la ley de Ohm slo si su curva V I es lineal; esto es, si R es independiente de la tensin (V) y de corriente (I) que existen en el conductor.


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)(=IVR

1tg GR

= =

Donde G se conoce como conductancia.

Segn la ley de ohm, la potencia disipada en una resistencia se puede obtener de dos formas:

2

( )( )

vatiosV V VP VIR R

= = =

2 ( )

Ley de julios Ley de w atts

. ( . ). . vatiosP V I R I I I R= = =

2.2. LAS LEYES SAGRADAS DE KIRCHHOFF. Las Leyes sagradas de Kirchhoff son:

1. Ley de Corrientes Kirchhoff 2. Ley de Tensiones Kirchhoff.

1. Primera Ley de Corrientes Kirchhoff ( LKC ).- La suma de las

corrientes entrantes a un nodo es igual a la suma de las corrientes salientes del nodo.

entran salenI I=


35

1 2 3I I I I= + +

Ejemplo # 1: Calcular las corrientes I , I1 e I2 en el circuito mostrado, si conocemos las intensidades que se indican en el grafico.

Solucin: Si nos fijamos en el nodo M obtendremos:

1 80 30entran salenI I I= = + 1 50 . I amp=


36

Ahora, considerando toda la barra de conexin:

entran salenI I= 240 80 30 30 I+ = + +

De donde:

2 60 . I amp= 2. Segunda Ley de Tensiones Kirchhoff ( LKT ).- la suma algebraica

de la cada de tensiones en los componentes de un circuito cerrado es igual a cero.

= 0V

subida potencial caidas potencialV V= Donde: Subida de potencial representa un incremento de voltaje

de ( - ) a (+) en el sentido de recorrido de la malla. Caida de potencial es cuando el voltaje en el elemento va

decreciendo de (+) a ( - ) en el sentido en que se recorre la malla.

1 2 3 4 0V V V V V+ + + =

1 2 3 4V V V V V+ + + =


37

Ejemplo # 1: En la red mostrada, calcular el voltaje 4V si las dems tensiones son las que se indican.

Solucin: Aplicando la segunda ley de kirchhoff tenemos: Primer mtodo:

4 18 10 2subida potencial caidas potencialV V V= + = +

4 6 V V = Segundo mtodo:

0V = 4 418 10 2 0 18 10 2V V + + = = + +

4 6 V V =


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El signo negativo indica que la polaridad asumida sobre 4V es la inversa en cuanto al punto de mayor potencial (+).

Ejemplo # 2: Determinar cuales son los elementos pasivos y activos de la red y calcular su correspondiente potencia.

Solucin: Como las fuentes pueden ser pasivas o activas mientras que las resistencias solo pasivas, comenzaremos por determinar la tensin por la ley de ohm:

2(6) 12 VRV IR= = = ( )12(2) 24R R wattsP V I += = =

La corriente circulante atraviesa la fuente de tensin como elemento pasivo, por tanto:

( )10(2) 20fuente wattsP VI += = = Para determinar la tensin en la fuente de corriente tenemos que utilizar la 2da ley de kirchhoff:

10 12 22 fuente corriente IV V V = = + =

(-)22(2) 44 fuente corriente I I wattsP P V I = = = =


39

Como se observa la suma de potencies generadas es igual a la potencias disipadas.

20 w 24 w 44 w f R IP P P+ = + = Ejemplo # 3: En la red mostrada, calcular la potencia de los elementos activos y pasivos.

Solucin: La fuente de tensin esta determinado el potencial en todos los elementos, por lo que:

14 7 A2R

VIR

= = = watts (+)14(7) 98 R RP I V= = =

(-)14(5) 70 I wattsP IV= = =


40

Para demostrar la corriente por la fuente de tensin aplicamos la 1era ley en el nudo A.

7 5 2 Af R fI I I I+ = = = ( )14(2) 28 f f wattsP VI = = =

Corroboramos nuevamente que la suma de potencias generadas ( - ) es igual a la potencia disipada ( + ).

Elemento Potencia (-) Potencia (+) I 70w --------

R --------- 98w

V 28w ---------

total 98w 98w

2.3. ASOCIACIN DE ELEMENTOS PASIVOS.

RESISTENCIA. a. Conexin en Serie. Se reconoce un circuito en serie cuando la corriente que circula por ellos es la misma y la tensin vara en cada una de las resistencias.


41

Para hallar la resistencia equivalente ( eqR ) es igual a la sumatoria de de los valores de cada una de ellas.

1R eq n

nR

==

1 2 3 1 2 3, , eq TR R R R V V V V I I= + + = + + = Ejemplo: Hallar R equivalente en los bornes a b.

Solucin:

300 10 100 33 20 30

93.4eq

eq

R k k k kR k

= + + + + +=


42

b. Conexin en Paralelo. Se reconoce un circuito en paralelo cuando 2 o mas resistencias soportan la misma tensin, sin embargo por cada rama circula una intensidad de corriente diferente. Para hallar eqR de dos ramas se halla con las siguientes formulas:

1 2

1 2 1 2

1 1 1 eq eqT eq

R RVR RI R R R R R

= = = ++

1 2 , TI I I V V= + =

CONDUCTANCIA (G). Se dice conductancia a la facilidad con que la corriente puede atravesar un material. Es la inversa de la resistencia. Se mide en siemens o mhos ( -1). Recomendable para varias ramas en paralelo.

1 IG GE R

= =

1 21........ eq n eqeq

G G G G RG

= + + + =


43

Para hallar la corriente en una rama individual de un circuito en paralelo es por:

VIR

=

Ejemplo # 1: En la red calcular la resistencia equivalente.

Solucin:

2121

RRRRRequiv +

=

kk

kkkkRequiv 25

15015101510 2=+

= kR equiv 6= O tambin se puede hallar mediante la Conductancia:

RRGeq

11

1

+= Reemplazando tenemos

1 1 0.1 0.067 0.16710 15eq

G ms ms msk k

= + = + =

Entonces eqR Ser: === KmsGR eqeq6

167.011


44

Ejemplo # 2: para 3 o mas resistencias

1 2 1 3 2 3

1 2 3

1 1 1 11 2 3e q

R R R R R RR R R R R R R

+ += + + =

323121

321

RRRRRRRRRR eq ++=

Sustituye los valores de las resistencias

5 10 2 1.25(5 10 ) (5 2 ) (10 2 )eq

k k kR kk k k k k k

= = + + Tambin se puede resolver por conductancias (recomendable) Ejemplo # 3: Para resistencias de igual valor

1 5 3

5e qR KR kn

= = =


45

c. Conexin serie paralelo: Es un circuito que combina una o mas circuitos en serie con una o mas circuitos paralelos.

Ejemplo:

Solucin:

5 6 46 6( ) 36 6a ak kR R R R R kk k= + = =+&

3 2( ) b aR R R R= + &

4 12 34 12bk kR kk k = =+


46

R1 y Rb estn en serie entonces tenemos:

kkkR eq 431 =+=

CAPACITANCIA: a. Conexin en Serie: El valor del capacitor equivalente eqC se

halla por el mismo mtodo que las resistencias en paralelo.

54321

111111

CCCCC

Ceq++++

=

b. Conexin en Paralelo: El valor del condensador equivalente eqC de n condensadores es igual

a la suma de los valores individuales. La tensin en los extremos de cada capacitor es la misma.


47

4321 CCCCCeq +++=

INDUCTANCIA. a. Conexin en Serie.

1 2 3e qL L L L= + + b. Conexin en Paralelo.

eqL se halla por el mismo mtodo que las resistencias en paralelo.

1 2 3

1 2 1 3 2 3eq

L L LLL L L L L L

= + +


48

2.4. TRANSFORMACIONES DELTA ESTRELLA Y VICEVERSA

Delta a Estrella ( ). Para simplificar el anlisis de un circuito, a veces es conveniente transformar un circuito de tipo estrella (Y) a delta ( ), o viceversa, pero sin que cambie su funcionamiento general. No es slo asunto de cambiar la posicin de las resistencias si no de obtener los nuevos valores que estas tendrn. Hay una manera sencilla de convertir estas resistencias.

1 3 2 31 2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

. .. , , R R R RR RX Y ZR R R R R R R R R

= = =+ + + + + + Si el valor de la resistencia son iguales entonces la transformacin - Y ser R/3.


49

Estrella a Delta ( ).

1 2 3, , XZ ZY YX XZ ZY YX XZ ZY YXR R R

Z Y X+ + + + + += = =

Estas dos configuraciones tienen una importancia fundamental ya que son dos posibilidades de conexin de cargas trifsicas.


50

Ejemplo # 1: Hallar la resistencia equivalente en b: Req.______

Solucin: Transformamos de Y - en los bornes a-b-c


51

(2 1.71)(1.71) 1.17(2 1.71) (1.71)eq

R += = + +

Ejemplo # 2: Calcular L equivalente en los bornes ab.

Solucin: Transfrmanos Y - aplicando el mismo mtodo de la resistencia porque ambos son homlogos.


52

(18)(4.37) 5.5218 4.37eq

L = = +

Ejemplo # 3: Calcular R equivalente en a-b:


53

Solucin: Aplicamos transformaciones estrella-delta


54

(3)(2 1.71)4 5.66(3) (2 1.71)eq

R += + =+ +

Ejemplo # 4: Calcular en a Ceq.__________

Solucin: Lo convertimos en un circuito anlogo (resistivo) lo cual es la inversa de su valor.

Por delta estrella tenemos:

2 3 0.552 3 6

a = = + + 2 4 0.73

2 3 6b = = + +

3 4 1.12 3 6

c = = + +


55

Luego hacemos transformacin delta estrella.

Se obtiene:

Regresando a su forma original tenemos:


56

Ejemplo # 5: Calcular la capacidad equivalente del circuito mostrado, C1 = 100 nF, C2 = 2 F, C3 = 0.82 F.

Los condensadores C2 y C3 estn en serie su equivalente es:

61

6 62 3

1 1 1 11 1 1 1 1.72 10

2 10 0.82 10eqC

C C = = = + +

6

1 0.58 10 581.4eqC nF= =

El equivalente eqC esta en paralelo con el condensador 1C , entonces la

capacidad equivalente total es:

9 91 1 100 10 581.4 10 581eq eqC C C nF

= + = + =


57

Ejemplo # 6: Calcule la resistencia equivalente entre a y b.

Solucin: Reduciendo: Para 1R asociamos las resistencias en serie y paralelo

1 16 126 (4 4 4) 4

18R R = + + = = & Para R2 asociamos seis resistencias en serie y paralelo


58

2 24 124 12 3

16R R = = = & Para Req asociamos las resistencias en serie:

4 4 3 11eqR = + + =

2.5. ASOCIACIN DE ELEMENTOS ACTIVOS Indicaremos la forma de determinar la fuente equivalente de un circuito respecto a dos puntos, tanto ideales como reales. 1. FUENTES IDEALES: a. Fuentes de Tensin.

Conexin en serie: Es cuando la tensin resultante es igual a la suma de cada una de las fuentes. Cuando es con igual polaridad se suman cada una de las fuentes, con distinta polaridad se suman los valores de las fuentes y la polaridad resultante ser a la polaridad de la suma mayor.

1 2 3abV V V V=


59

Ejemplo: Si 1 2 315 , 2 , 12 V V V V V V= = =

15 2 12 1 ab abV V V= = Conexin en paralelo: En este caso no se pueden conectar en

paralelo, salvo que sean de la misma tensin.

No cumple con la segunda ley de Kirchhoff

b. Fuentes de Corrientes:

Conexin en Paralelo: La corriente resultante es la suma de cada una de las corrientes.

1 2 3eqI I I I= + Conexin en serie: No se pueden conectar en serie, si es

que fuere as, los valores de las corrientes tendrn que ser iguales.


60

No cumple con la primera ley de kirchhoff

2. FUENTES REALES:

En este tema es conveniente utilizar el mtodo de transformacin de fuentes (capitulo que se ve mas adelante).

a. Fuentes de Tensin. Conexin en Serie: Para hallar la fuente equivalente se

suman las tensiones y su resistencia interna de cada una de ellas.

1 2 1 2 ab abV V V R R R= = + Conexin en Paralelo: La fuente de tensin se transforma

en fuentes de corriente y se opera como fuentes de corriente en paralelo. (MTF)

b. Fuentes de Corriente

En serie: La fuente de corriente se transforma en fuentes de tensin y se opera como fuentes de tensin en serie. (MTF)

En paralelo: Para hallar su equivalente se suma las corrientes.

1 2 1 2 eq eqI I I G G G= = +


61

CAPITULO III

METODOS SIMPLIFICADOS DE SOLUCIN

3.1. DIVISOR DE TENSIN Y DIVISOR DE CORRIENTE 1. DIVISOR DE TENSIN Se aplica a todo circuito en serie, de modo que el voltaje total aplicado a las resistencias es dividido en voltajes fraccionados. El proposito es repartir la tensin aplicada en una o mas tensiones bajas.

f

eq

VI

R= 1 21 1 2 2, f f

eq eq

R RV IR V V IR VR R

= = = =

nn n feq

RV IR VR

= =


62

Ejemplo: Hallar V =_____

Solucin: Ojo: Veamos un potencimetro P. Se sabe que el potenciometro tiene 3 contactos, 2 son fijos y uno variable, si su valor es 10k y tomamos el 50% entonces tenemos 5k como se observa en el grafico.

Se observa que el cable cortocircuita el tramo F-V

entonces rinceamos la resistencia.


63

36 12 24 totalV V= = Por divisor de tensin tenemos:

324 6.54

11volts

kVk

= = 2. DIVISOR DE CORRIENTE. Un divisor de corriente se presenta cuando hay dos o ms resistencias en paralelo, de modo que la corriente que circula por cada resistencia es una parte de la corriente total. Para dos resistencias en paralelo:


64

2 11 2

1 2 1 2

; T TR RI I I I

R R R R= =+ +

Para n resistencias en paralelo se tiene:

cuando tenemos n resistencias es mas conveniente trabajar con

conductancias y para ello sabemos que 1GR

= , entonces la corriente en la resistencia ser:

1 2 3

......

n Tn

n

G IIG G G G

= + + + + Ejemplo: calcular A = _______, IFuse =________.


65

Solucin: Se rinsea las resistencias 1 3 5 7, , , R R R R .


66

Como es un circuito con resistencias en paralelo, la corriente se suman y trabajaremos con conductancias cuyas resistencias van a ser el inverso de su valor.

3 415 5 15 6.6 2 3 4 9fuse

amp ampA y I = = = = + +

Corto circuito.- Es una resistencia de cero ohmios, en otras palabras, es un conductor que lleva cualquier cantidad de corriente sin sufrir una cada de voltaje por donde pasa. Dos puntos pueden ser cortocircuitados juntndolos con un cable.


67

Circuito abierto.- Es una resistencia de infinito ohmios, es un aislante que soporta cualquier voltaje sin permitir que fluya corriente a travs de el. Es decir, una resistencia infinita o un cable roto.

3.2. PUENTE WHEATSTONE El puente Wheatstone es un Circuito Pasivo, formado por 4 resistencias opuestas 2 a 2, es la mas utilizada para medir resistencias de gran exactitud, de rango medio (1 y 1M).


68

La resistencia variable 3R se ajusta hasta que ninguna corriente fluya por el galvanmetro (G) 0I = , lo cual implica que a bV V= y 1 3 yR R se comportan como si estuvieran en serie, lo mismo hacen 2 XyR R , quedando un divisor de tensin de dos ramas, por divisor de tensin tenemos:

3

1 3 2

, Xac bcX

R RV V V VR R R R

= =+ + Donde:

bcac VV = Por lo tanto:

3

1 3 2

X

X

R RR R R R

=+ + Y aplicando la propiedad de proporcin.

33 2 1

1 2

X XR R R R R RR R

= =


69

Galvanmetro: Sirve para medir intensidades de corrientes pequeas. Es un aparato muy sensible, para su uso se conecta en serie con la resistencia. FACTORES DE LOS QUE DEPENDE LA EXACTITUD DEL PUENTE. La exactitud y precisin con la que determinemos el valor de Rx de una resistencia con un puente de Wheatstone dependen de los siguientes factores: 1.- La exactitud y precisin de las otras tres resistencias que

constituyen el puente. 2.- Los valores de las resistencias de precisin 1 2 yR R . Cuanto

menores sean los valores nominales de dichas resistencias, mayores sern las corrientes en el circuito, y ser ms simple detectar variaciones de las mismas.

3.- El valor de la fuente V. Cuanto mayor sea dicho valor, mayores

sern las corrientes en el circuito, por lo que ser ms simple detectar variaciones en sus valores.

4.- La sensibilidad del galvanmetro. Cuanto mayor sea dicha

sensibilidad se podr apreciar mejor la corriente y por lo tanto se podrn ajustar las resistencias con ms precisin para que la corriente sea cero.


70

Ejemplo # 1. En el circuito mostrado, determine la potencia de la fuente de corriente.

Solucin: Vemos que en el circuito mostrado, existe triple puente Wheatstone equilibrado; por tanto se rincea R1 y R2.


71

e(5.14)(15) 3.835.14 15q

R = = +

e .. 6(3.83) 22,97q wattsP I R= = = Ejemplo # 2: 1 2I I= Hallar P(fuente) =_________ I1 =_____ , I2=_______________

Solucin: Observamos que el puente esta equilibrado ( el producto de las resistencias en aspa son iguales) entonces la rama central se rincea.


72

1 26 60.75 , 0.5

8 12mA mAI I

k k= = = =

e(8 )(12 ) 4.88 12qk KR kk k

= = +

3 3 31 2 A0.75 10 0.5 10 1.25 10 I I I

= + = + =

3 3( ) 6(1.25 10 ) 7.5 10fuente wattsP

= =


73

3.3 MTODO DE TRANSFORMACIONES DE FUENTES

(M.T.F.) Una transformacin de fuentes son procedimiento para sustituir una clase de fuente por otra, conservando las caractersticas de la fuente original. 1. FUENTE DE VOLTAJE: Una fuente de tensin se define como una fuente ideal de voltaje en serie con una resistencia interna existiendo perdidas a travs de ella.

2da ley de kirchoff:

in L in LV R I V R I V V= + =

2. FUENTE DE CORRIENTE: Una fuente de corriente se define como una fuente ideal de corriente en paralelo con una resistencia interna, existiendo prdida de corriente a travs de ella.


74

1ra ley de Kirchoff:

R L R L in in LVI I V V R I R IR

= + = = Conclusin:


75

TRASLACIN DE UNA FUENTE DE CORRIENTE: En este caso esta permitido, porque no afecta para las leyes de kirchhoff:


76

TRASLACIN DE UNA FUENTE DE TENSIN:

y', ' 'a b c son nodos equipotenciales, entonces podemos hacer el

conocido salto del tigre.


77

Varias fuentes en paralelo equivalen a una sola fuente con el mismo valor. Ejemplo # 1: En el circuito mostrado encontrar I.

Solucin: La fuente de corriente transformamos a fuente de tensin.

1 6(2) 12 V V= =


78

Luego la fuente de tensin V1 transformamos a fuente de corriente.

112 4 A3

I = =

y1(3)12 4 8 0.75

4I A R= = = =


79

Ahora por divisor de voltaje: 0 .7 58 2 .1 8 .

2 0 .7 5a m pI = =+

Ejemplo # 2: Hallar la corriente I:

Solucin: Por traslacin de fuente de corriente tenemos:

Transformando fuente de corriente a fuente de tensin tenemos:


80

La rama central esta en paralelo con la fuente de 12 V, lo cual no afecta en nada si lo rinceamos:


81

Entonces quedara:

por ley de ohm:

VIR

= .

2 0.33 (1 2)

ampI = =+

Ejemplo # 3: Calcular el voltaje abV :


82

Solucin:


83

Para 1V :

144( ) 2.67

4 2V V= =+ Entonces aV respecto a tierra es:

2 .6 7 1 2 9 .3 3 aV V= + = Para 2V :

221( ) 0.67 3

V V= = Entonces aV respecto a tierra es: 0.67 4 3.33 bV V= + = Ahora el abV : respecto a tierra

.9.33 3.33 6 ab a b

ab volt

V V VV

= = =


84

Ejemplo # 4: En el circuito mostrado calcular I:

Solucin: Hacemos doble salto de fuentes de Tensin.


85

Aplicando transformaciones de fuentes tenemos:

Ahora sumamos las corrientes y por divisor de corriente tenemos:

.

1(7.53)2 3.75

1 1 1 112 4 6 2

ampI = = + + +


86


87

CAPITULO IV

MTODOS DE SOLUCIN EN REDES LINEALES

4.1. ALGEBRA TOPOLGICA. El lgebra topolgica o topologa elctrica es una herramienta grafica-matemtica mediante la cual se determina el nmero de incgnitas que representa un circuito y de ese modo, poder determinar el nmero de ecuaciones necesarias que los circuitos requieran. Conceptos de Topologia de redes: Nodo ( n ): Es un punto de unin entre dos o ms elementos

del circuito. Rama ( b ): Es un elemento o grupo de elementos conectados

entre dos nudos. Red Plana: Es una red que puede dibujarse sobre una superficie

plana sin que se cruce ninguna rama Lazo ( l ): Viene a ser toda trayectoria cerrada formada por

nodos y ramas topolgicas, de forma que si se elimina cualquier rama del lazo, el camino queda abierto.

Malla: Este concepto se aplica normalmente a circuitos planos y es un lazo que no contiene ningn otro en su interior.

PROCEDIMIENTO: 1.- Hacemos red muerta al circuito, es decir las fuentes de tensin

se cortocircuitn, y las fuentes de corriente se abren. 2.- Bosquejo el grafo topolgico.

b = # ramas topolgicas n = # nodos topolgicos l = # lazos topolgicos independientes

( 1)b l n= +


88

Grafo topolgico

b: R1, R2, n: 3 1 = 2 l: 1

Ejemplo # 1:

Solucin: Hacemos Red muerta, cortocircuitando la fuente de tensin y abriendo la fuente de corriente.


89

Grafo topolgico

Se tiene la siguiente igualdad: a = c,

Como se observa tenemos 3 nodos de las cuales se consideran 2, uno es tierra. Ejemplo # 2: Determinar el grafo topolgico.


90

Solucin: Red muerta, cortocircuitando la fuente de tensin y abriendo la fuente de corriente.

Grafo Topolgico

Se tiene la siguiente igualdad: a = d = c (Son nodos topo lgicamente iguales).


91

Ejemplo # 3: Trazar el grafo topolgico.

Solucin: Red muerta, cortocircuitando la fuente de tensin y abriendo la fuente de corriente.

Grafo topolgico:

Se tiene la siguiente igualdad topolgica: a = b = c = d (Super Nodo)


92

4.2. MTODO DE MALLAS ( MAXWELL): 0V = Basado en la segunda Ley de Tensiones de Kirchhoof, llamado tambin Mtodo maxwell, las incgnitas del sistema de ecuaciones son las corrientes de mallas del circuito, que nos permite formular y resolver ecuaciones. Para desarrollar en forma eficaz este mtodo pasaremos a explicar paso a paso: 1. Planteamos el diagrama topolgico del circuito, lo cual nos

permite determinar el nmero de ecuaciones que vamos a utilizar en el circuito.

2. Asignamos las corrientes respectivas a cada malla. (sentido horario)

3. Aplicamos la ley de Tensiones de kirchhoff (LVK) en cada malla en funcin de las corrientes de mallas asignadas y planteamos las ecuaciones.

4. Luego resolverlo por matrices o por sistema de ecuaciones.

[ ] [ ][ ] 1 1 11 12 132 2 21 22 233 3 31 32 33

V I r r r

V I R V I r r rV I r r r

= =

5. Con las corrientes de mallas obtenidas, se retorna a la red original y se determina las incgnitas de la red por procedimientos algebraicos.

6. Para obtener los voltajes, aplicamos la ley de ohm. Nota: Se recomienda al seor alumno se sirva utilizar mallas horarias


93

Ejemplo: Hallar las corrientes 1 2 3, , I I I por el mtodo de mallas

Solucin: 1. Primero veamos su diagrama topolgico:

n = 3 b = 5 l = 3; por lo tanto tenemos 3 ecuaciones de mallas.


94

3. Asignemos dichas corrientes.

4. Planteando las ecuaciones de las corrientes asignadas y polarizamos

cada elemento:

Malla 1:

1 2 3

1 2 3 (1)

10 (2 2 4) 2 4 08 2 4 10.........................

I I II I I

+ + + = =

Malla 2:

1 2

1 2 (2)

5 2 (2 4) 02 6 5 ........................

I II I

+ + = + =


95

Malla 3:

1 3

1 3 (3)

5 4 (2 4) 04 6 5 ...................

I II I + + =

+ = Ordenando las ecuaciones:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

(1)

(2)

(3)

8 2 4 10 ..........2 6 0 5 ....................4 0 6 5 ..................

I I II I II I I

= + = + =

5. Resolvemos por matrices:

[ ] [ ][ ]V I R=

1

2

3

10 8 2 45 2 6 05 4 0 6

III

=

Por cramer tenemos que:

1

1

10 2 45 6 0 2 4 10 2

5 65 0 6 6 0 5 6

8 2 4 2 4 8 24 6

2 6 0 6 0 2 64 0 6

5(24) 6(70) 120 420 300 1.784(24) 6(44) 96 264 168

I

I A

+ = = + + += = = =+ +


96

De la misma manera para 2I e 3I :

2 32 4 0 6 01 .4 2 , 0 .3 61 6 8 1 6 8

I A I A= = = = 6. Retornando al circuito original, las corrientes en las resistencias

queda de la siguiente forma:

7. Como conocemos la corriente, entonces por la ley de ohm

podemos conocer los voltajes. ***Algunas restricciones en el mtodo*** Primero: Si vemos una fuente de corriente tratemos de transformarlo a una fuente de voltaje.


97

Ejemplo: Calcule las corrientes por el mtodo de mallas:

Solucin:

Luego se siguen los pasos ya conocidos.


98

Planteando las ecuaciones: Malla 1:

18 6 12 0 I + + = Malla 2

212 8 10 0 I + + = Resolviendo Tenemos:

1 16 4 0.67ampI I= = 2 28 2 0.25ampI I= =

Segundo: Si notamos que no se puede transformar a fuente de voltaje, utilicemos ecuaciones auxiliares (mallas ficticias o variables ficticias). Ejemplo: Resolver el circuito por el metodo Maxwell.

Solucin: En este caso la fuente de corriente no podemos transformar a una fuente de voltaje, entonces hacemos la red muerta:


99

Luego analizamos el diagrama topolgico:

n = 3 b = 4 l = 2 (2 ecuaciones)

Del diagrama topologico vemos que tenemos 2 ecuaciones.


100

Escribamos las dos ecuaciones: Malla 1:

1 2 44 8 4 10I I I + = Malla 2:

1 3 48 10 2 0I I I + = Ecuaciones de restriccin

1

4

1 02 0

I AI A

= = son mallas ficticias. Resolviendo las ecuaciones tenemos: La mallas ficticias reemplazando en las primeras ecuaciones, obteniendo:

2 2

3 3

8 110 13.75 10 120 12

amp

amp

I II I= == =

4.3. MTODO NODAL: entran salenI I= Llamado Potencial de Nodos es aplicable a cualquier red, plana o no plana. Se basa en la primera ley de corrientes kirchoff, sus incognitas son los voltajes de nodo del circuito, que permiten formular y resolver los sistemas de ecuaciones que describen los circuitos complejos en forma ordenada. Pasos para desarrollar este mtodo: 1. Asignamos los voltajes en cada nodo y elijamos el nodo de

referencia o nodo de tierra. 2. Hacemos la red muerta y planteamos el diagrama topolgico,

deduciendo el nmero de ecuaciones. 3. Se aplica la ley de corrientes kirchhoff a cada nodo en funcion

de los voltajes asignados.


101

4. Ordenamos y resolvemos por matrices o sistema de ecuaciones.

[ ] [ ][ ]I G V= 1 111 1221 222 2

I Vg gg gI V

=

5. Se retorna a la red original y aplicamos la ley de ohm para obtener la corriente en cada elemento.

Nota: este mtodo funciona obligatoriamente con tierra y trabajan con conductancia. Ejemplo # 1: Aplique el mtodo nodal y calcular: ?, ?a bV V= =

Solucin: 1. Asignamos los voltajes a cada nodo. 2. Hacemos la red muerta y Analizamos su diagrama topolgico:

n = 3 1 = 2 ecuaciones b=3 l=1

Como se observa el diagrama topolgico tenemos 2 ecuaciones:


102

3. Aplicamos la ley de corrientes kirchhoff en cada nodo y planteamos la ecuacin.

(1)10 .................5 10a a bV V V= +

(2)20 .................10 5a b bV V V = +

Ordenando las ecuaciones:

(1)(0.3) (0.1) 10...........a bV V = ( 2 )(0 .1) (0 .3) 20.........a bV V + =

4. Resolvemos por matrices: [ ] [ ][ ]I G V=

10 0.3 0.120 0.1 0.3

a

b

VV

= Obteniendose:

12.5, 62.25a bV V= =

5. Volvemos a la red original y por ley de ohm hallamos la corriente en cada rama.


103

1 2 32.5 , 7.5 , 12.45I A I A I A= = =

***Algunas restricciones en el mtodo*** Primero: Si vemos una fuente de voltaje tratemos de transformarlo a una fuente de corriente. Ejemplo # 2: Calcular , a bV V .

Notamos la fuente de tensin no tiene forma de ubicarlo en la matriz final por lo que Sugerimos en ese caso hacer la respectiva transformacin.


104

La resistencia 0.5 esta en paralelo con 1/3.

Aplicando las observaciones generales en los nodos, obtenemos 2 ecuaciones:

(1)

(2)

(2 4) (2) (4) 18 6 6 18 ......................(2 4 5) (2) (4) 3 6 11 3............

a b b a b

b a a a b

V V V V VV V V V V

+ = =+ + = + =

Por matrices:

[ ] [ ][ ]I G V=

18 6 63 6 11

a

b

VV

=

6, 3a bV V= = Segundo: Si notamos que no se puede transformar a fuente de corriente, utilicemos ecuaciones auxiliares.


105

Ejemplo # 3:

Solucin: En este caso notamos que no podemos cambiar a una fuente de corriente, por lo que vamos a usar ecuaciones de restriccin: Escribiremos las ecuaciones para los nodos a, b, c: Nodo a

(1)1 (0.15) (0.05) 1............10 20a a b a b+ = =

Nodo b

(2)0 (0.05) (0.28) 0.17.....20 5 30b a b b c a b + + = + =

5 C V= (ecuacin de restriccin, C es un nodo ficticio) Aplicando la forma matricial tenemos:

1 0.15 0.050.17 0.05 0.28

ab

= Los resultados obtenidos son:

7.30 , 1.9 a V b V= =


106

Super Malla: Es cuando existe una fuente de corriente entre dos mallas Ejemplo: En el circuito mostrado hallar 0I , por el mtodo de mallas:

Solucin: Primero asignamos corriente a cada malla

Como se observa hay una corriente entre la malla 2 y malla 3, lo cual no indica que es una supermalla.


107

Para encontrar el numero de ecuaciones hacemos la red muerta.

Al hacer la red muerta observamos que tenemos 2 mallas, entonces planteamos las ecuaciones: Malla 1:

1 2 37 4 6I I I = Supermalla : ( 2 3 eI I )

1 2 35 6 4 12I I I + + = 2 3 3 23 3I I I I = = . Ecuacin de ayuda

Resolviendo por matrices o sistema de ecuaciones obtenemos:

1 21.33 , 3.06I A I A= =

Si: 0 1 2I I I= Entonces:

0 1.33 3.06 1.73I A= =


108

Sper nodos: Es un nodazo especial cuando se presenta una fuente de tensin entre dos nodos y cualquier elemento en paralelo a ella. Ejemplo # 4: Plantear las ecuaciones nodales.

Solucin:


109

Las siguientes ecuaciones en los nodos respectivos sern: Nodo a:

4 1.5 0.5 42 1

a b a d a b d + = = Supernodo:

0 1.5 1.5 02 2 1 2 1

b a b c d d a a b c d + + + + = + + + = Ecuaciones de restriccin:

12 12b c c b = =

6 6d c d c = = +


110

4.4. APLICACIONES CON FUENTES CONTROLADAS Ejemplo # 5: Tenemos un circuito formado por conductancias y fuente controladas, calcular las tensiones en cada nodo.

Solucin: Hacemos la red muerta.

Grafo topolgico:

n=3 n 1 = 2 nodos incgnitas Nodo a, b.

Nodo aV : (3 2) (2) 5 5 2 5a b ab a b abV V V V V V+ = =


111

Pero: ab a bV V V= Reemplazando tenemos:

(1)5 2 5( ) 10 7 0....................a b a b a bV V V V V V = = Nodo bV :

(2)(5 2) 2 2 2 7 2................b a a bV V V V+ = + = Resolviendo las ecuaciones 1 y 2 tenemos:

0.25, 0.36, 0.11a b abV V V= = = En el nodo cV tenemos: 4 5 2 0.6375c ab cV V V= + =


112


113

CAPITULO V

APLICACIN DE TEOREMAS

5.1. TEOREMA DE LA SUPERPOSICIN. Se utiliza en circuitos elctricos lineales, formados por resistencias, condensadores y bobinas en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de la tensin a sus extremos. En las figuras mostradas debemos observar, que al actuar una fuente vamos a tener una parte de la respuesta a cada excitacin; por tanto sumando todas las respuestas vamos a obtener lo mismo que al excitar con todas las fuentes empleadas.

Debe hacerse notar que para que deje de actuar una fuente de tensin se debe cortocircuitar en serie con su resistencia interna; mientras que para anular una fuente de corriente se debe sustituir por un circuito abierto en paralelo con su resistencia interna.


114

Nota: Cuando en un circuito, existen fuentes independientes mas los dependientes, solo se superponen las fuentes independientes; es decir, no se cancelan las fuentes controladas dependientes. Ejemplo # 1: Calcular los valores de las tensiones en los nodos a bV V , aplicando superposicin.

Solucin: Paso 1: En primer lugar anulamos la fuente de corriente.

Calculamos las tensiones en ' ' b cyV V , para ello planteamos la ley de kirchhoff en el nodo bV .


115

' ' ' '120 120 40 06 3 2 4 6

b b b bV V V V = =+ ' 120 30

4bV V= = Las resistencias 2 y 4 ohmios forman un divisor de tensin, por tanto

' '4 20 2 4c b

V V V= =+ Paso 2: Anulamos la fuente de tensin. El circuito resultante ser:

Calculamos los nuevos valores a las tensiones '' '' b cyV V . Aplicamos la ley de Kirchhoff en los nodos b y c.

'' '' '' '''' ''

'' '' '''' ''

0 6 3 06 3 2

12 2 3 484 2

b b b cb c

c c bb c

V V V V V V

V V V V V

+ + = = = + =

Resolviendo por sistema de ecuaciones tenemos:

'' ''12 , 24 b cV V V V= =


116

Paso 3: Sumamos los valores:

' '' 30 12 18 b b bV V V V= + = =

' '' 20 24 4 c c cV V V V= + = = Ejemplo # 2: Determinar la tensin en V , por superposicin:

Solucin: a) Primero hacemos la fuente de corriente igual a cero y la fuente

de tensin activa, entonces tenemos que:

Por divisor de tensin tenemos:

166 3.6

10V V = =


117

b) Ahora hacemos la fuente de voltaje igual a cero y la fuente de corriente lo activamos, entonces tenemos que:

249 3.6 (6) 21.6

4 6I V V I V = = = = +

Por ultimo: 1 2 3.6 21.6 25.2 V V V V= + = + = Ejemplo # 3: Determinar la tensin V:

Solucin: Teniendo en cuenta el criterio de superposicin la fuente de 12V hacemos cero:


118

Por transformacin de fuentes:

Por divisor de tensin hallamos 1V

144 2 8

V V = = Ahora cancelemos la otra fuente, y calculemos 2V :


119

Transformando:

244 2 8

V V = = Luego Sumamos 1 2 yV V

1 2 2 2 4 V V V V= + = + = Ejemplo # 4: Tenemos un circuito con fuentes controladas, por superposicin hallar 0I .


120

Solucin: 1. Cuando trabaja la fuente de tensin:

Por el metodo Maxwell tenemos:

1 26 6 30I I+ =

' ' '1 2 0 2 0 1 0:8 9 0siI I I I I I I = = =

Resolviendo por sistema de ecuaciones: '0 0.5I A=

Nota: Cuando aplique el teorema de superposicin solamente debe hacerse con las fuentes independientes no se cancelan las fuentes controladas. 6. Cuando trabaja la fuente de corriente.


121

Si: ''

2 0I I= ''

1 2 1 06 6 12 6 6 12I I I I+ = + =

'' ''1 2 0 1 08 9 0I I I I I = =

Resolviendo por sistema de ecuaciones:

''0 0 .2I A=

Sumando las dos respuestas:

' ''0 0 0 0.7I I I A= + =

5.2. TEOREMA DE RECIPROCIDAD. Establece que si la excitacin de entrada, ya sea de voltaje o de corriente, se intercambia a la salida, la respuesta del circuito ser idntica en las terminales de entrada. Esta circunstancia, se pueden presentar dos casos: CASO I Afectado por dos fuentes de corriente:

I1: ON, I2: OFF I1: OFF, I2: ON


122

Se cumple que:

21 12

1 2

.V V cteI I= =

CASO II Afectado por fuentes de voltaje:

V1: ON, V2: OFF I1: OFF, I2: ON

Se cumple que:

2

12

1

21

VI

VI =

Ejemplo # 1: Verifique las ecuaciones con el siguiente circuito:


123

Solucin: Analicemos primero con fuente de corriente 1 1I A= .

Luego con 2 5I A=

Ahora veamos si se cumple la relacin del Caso I dada en teora:

21 12

1 2

.4 20 4 1 5

cteV VI I

= = = (si cumple!!) Analicemos con fuente de tensin 1 1 V V= :

e 3.67 0.27q TR I A= =


124

2140.27 0.09

12I A = =

e 8.8 0.57q TR I A= =

1240.57 0.4565

I = = Ahora veamos si se cumple la relacin del Caso II dada en teora:

21 12

1 2

0.09 0.456 0.09 .1 5

I I cteV V

= = = Ejemplo # 2: Verificar el teorema de reciprocidad:

Solucin:

1ro: e(3)(6) 4 63 6q

R = + = +

e

18 36T q

VI AR

= = =


125

Entonces, AII 2

36)6)(3(

366.1

2 =+=+= 2do: Ahora se verifica el Teorema de reciprocidad, excitando los

terminales de salida.

e(6)(4) 3 5.46 4q

R = + = +

e

18 3.33 .5.4T q

VI ampR

= = =

21

.6 (3.33)(6) 2 .6 4 10II amp= = =+

3ro. luego:

2 1

1 2

2 2. .18 18

I I cte cteV V = = = =

Lqqd.


126

5.3. TEOREMA DE THEVENIN. Establece que cualquier circuito lineal con dos terminales puede sustituirse por un circuito equivalente formado por una fuente de voltaje thV en serie con una resistencia thR , sin afectar la operacin del resto del circuito.

Pero veamos que significa equivalencia. Equivalencia.- Es cuando una red formada por fuentes de tensin, corriente y resistencias es reemplazada por otro circuito que tiene la misma relacin tensin corriente en sus terminales. * Para una corriente I dada, el voltaje abV es igual a la suma de los

voltajes de la fuente thV y de la resistencia thI R .

Si las terminales a b estn en circuito abierto ocV , ninguna corriente fluye entonces la tensin en los terminales a b deben ser iguales a la fuente de tensin thV . oc open circuitV =


127

0, ab ocI V V= =

Para redes que contienen slo fuentes independientes y resistencias, se apagan todas las fuentes, es decir fuente de voltaje en cortocircuito y fuente de corriente en circuito abierto, luego se calcula la resistencia equivalente entre los terminales. th eqR R= .

Para redes que contienen fuentes dependientes, en este caso se

apagan todas las fuentes independientes y se conecta una fuente de voltaje o de corriente de prueba. Luego calculamos la corriente o el voltaje por la fuente de voltaje o corriente de prueba.

pruebath

prueba

VR

I=

5.4. TEOREMA DE NORTON Establece que un circuito lineal de dos terminales es reemplazado por un circuito equivalente formado por una corriente NI en paralelo con una resistencia NR , la relacin V I son iguales en sus terminales y no afecta la operacin del resto del circuito.


128

Para determinar la resistencia equivalente NR desde sus terminales se anulan todas las fuentes, la fuente de corriente Norton NI , en sus terminales esta en cortocircuito. Se puede establecer una equivalente simple entre el equivalente de Thevenin y el equivalente de Norton, aplicando la transformacin de fuentes.

th

Lth L

VIR R

= + NL NN LRI I

R R= +

ocN th

sc

VR RI

= = thN scth

VI IR

= =

Los circuitos Thevenin y Norton son equivalentes solo para la misma frecuencia que han sido calculados en AC.


129

Mtodos para aplicar Teorema Thevenin-Norton Procedimiento para obtener los valores de la fuente de voltaje y la resistencia de Thvenin-Norton: Se desconecta la carga del circuito. Para encontrar el valor del voltaje de Thvenin se calcula el

valor del voltaje de circuito abierto, Voc, en las terminales de inters. Para encontrar la corriente Norton se cortocircuita los bornes de la carga y se calcula la corriente que circula por el circuito.

Para encontrar el valor de la resistencia de Thvenin se sustituyen todas las fuentes de voltaje por cortocircuitos y las fuentes de corriente por circuitos abiertos. Se calcula la resistencia equivalente entre las terminales de inters.

Ejercicios # 1: En la red mostrada hallar el equivalente de thvenin entre los terminales a-b.

Solucin: Primero hacemos corto circuito en los terminales c y d, retirando los elementos de carga que se encuentran a la derecha de c d en el cual ya no circulara corriente, entonces hallamos la tensin c dV a partir de un divisor de tensin. (triple thevenin)


130

22 1' 2 2V V voltcd th

= = =+

Luego hallamos la resistencia equivalente entre cd anulando la fuente de tensin de 2v.

2 2 4 5' 2 2R Req th

= = + = +

Por lo tanto, a b.

Luego calculamos el equivalente de thevenin del circuito en los terminales ' 'a b . Calculamos la tensin ' 'a bV por divisor de tensin.


131

51 0.5' ' '' 5 5V V volta b th

= = = +

Como en el caso anterior hallamos la resistencia equivalente eqR .

Entre a b anulando la fuente de tensin de 1v.

5 5 6 8.5' ' '' 5 5R Ra b th

= = + = +

El circuito queda:

Luego dejamos los terminales a b en circuito abierto y hallamos la cada de tensin abV como no hay una malla cerrada, por el circuito no circula corriente entonces tenemos


132

3 0.5 2.5V V v v vth ab= = + = La resistencia de thevenin es la resistencia entre a b, que es 8.5, el resultado ser:

Ejercicio # 2: En la red mostrada hallar el equivalente de Norton, entre los terminales a b.

Solucin: Primero cortocircuitamos los terminales a-b para hallar el valor de la fuente de corriente del equivalente de Norton.


133

Vemos que: 3c c NI I I= = Malla # 1:

1 24 2 2I I = Malla # 2:

1 2 32 11 5 0I I I + = Malla # 3:

2 35 11 3I I + = Resolviendo el sistema tenemos:

1 2 30.476 ; 0.047 ; 0.294cc NI A I A I I I A= = = = = Para hallar la resistencia equivalente entre los terminales a b anulamos las fuentes.

(2 2) 4 5 , (5 5) 6 8.5eq eqR R= + = = + = & &


134

8.5N eqR R= =

Comprobamos que N thR R= Entonces El circuito equivalente ser:

Ejercicio # 3: Determinar la tensin en 4LR = .

Solucin: Para calcular thevenin utilizaremos superposicin.


135

a). Respecto a la fuente de tensin

b). Respecto a la fuente de corriente.

' '' 10 2030 .

th th th

th

V V VV volts

= + = +=

Luego calculamos la Resistencia equivalentes eqR .

Entonces el circuito equivalente de thevenin es:


136

Donde se puede calcular.

430 15 .8L

V volt= = Ejercicio # 4: Calcular el valor de la tensin 0V en el circuito siguiente:

Solucin: Es posible simplificar el clculo de 0V en el circuito anterior, obteniendo el equivalente Thvenin en los terminales a b. Por tanto, a continuacin se realiza el clculo de dicho circuito equivalente:

thV : Tensin de circuito abierto


137

Por mallas tenemos: Malla # 1

1 13 2 2 0 0x xkI kI kI I+ = = Malla # 2

14 2 124 2(0) 12 3

x

x x

I II I mA

+ = + = =

Entonces

(2 ). (2 )( 3 ) 6 th xV k I k mA volt= = = IN: Corriente en cortocircuito

Al cortocircuitar los terminales, la corriente IX se anula, y por tanto la fuente de tensin tambin, y el circuito anterior se reduce al siguiente circuito:


138

La resistencia equivalente al conjunto de las resistencias en paralelo

kkkkkR eq 67.021

21 =+=

Por tanto:

mAk

I N 1867.012 ==

Y la resistencia thevenin:

6 0.3318

thth

N

VR kI

= = = Se sustituye el equivalente Thvenin en el circuito original y se halla V0 fcilmente mediante un divisor de tensin:

05( 6) 4.09

7.33V volt

k= =


139

5.5. TEOREMA MXIMA POTENCIA DE TRANSFERENCIA Cuando una red de c.c. est determinada por una resistencia de carga igual a su resistencia de Thvenin, se desarrolla la mxima potencia en la resistencia de carga.

th

eq L

VIR R

= + LRL th eq LRV V

R R= +

( )2

2.RL L

LR R th

e q L

RP I V VR

= =+

Para conseguir la condicin de mxima transferencia, hay que derivar e igualar a cero en funcin de la variable RL.

( ) ( )( )

2

22

2. 0L eq L L eq LR th

L eq L

R R R R RdPV

dR R R

+ += =+

( ) ( )2 2eq L L eq LR R R R R+ = + donde eq LR R=


140

Con esta condicin por Thevenin tenemos: 2

(m ax)4L

thR

L

VPR

=

* Si se desarrolla a partir de Norton equivalente, encontraremos:

2

(max)( )

4LN L

RI RP =

Como se observa la potencia mxima no implica que la tensin ni la corriente sean mximas.


141

Ejemplo # 1: en la red mostrada hallar:

a) RL = ___ para que

absorba la mxima

potencia

b) Pmax = ____

Solucin: a) Sabemos que para que absorba la mxima potencia: RL = Req.

6 .(3 ) 26 3eqk kR Kk k

= = +


142

Luego hallamos thV :

63 2 .9

V vo lt = = Entonces:

14 .thV volt=

b) La potencia maxima es:

214 7 4RLkV Vk

= = 2 2

3(max)(7) 24.5 102RL L

VP wattsR k

= = =


143

Ejemplo # 2: Hallar en bornes a y b: a) Req : b) Vth:

Solucin: a) Cancelamos todas las fuentes para hallar Req:

e(2 )(4 ) 6 7.32 4qk kR k kk k

= + = +

b) Ahora hallamos thV :

1

3 32

218 6 6

(4 10 )(6 10 ) 24

kV Vk

V V

= == =

24 6 30 abV V= =


144

Ejemplo # 3: Hallar: a) RL para que absorba la mxima potencia, b) Pmax:

Solucin: a) RL = Req

[ ](3 // 9 ) 4 // 4eqR k k k k= + [ ]2.25 4 // 42.44

eq

eq L

R k k kR k R

= += =

b) Pmax.

(8 //9 )16 9.37 .3 (8 //9 )

k kV voltk k k

= =+1

1

16 16 9.376.63 .

V VV volt= = =


145

19.376.63 11.32 .

2 2th ab thVV V V V volt= = + = + =

11.32thV volt= Entonces:

2 2

max(11.32) 13.13

4 4(2.44 )th

L

VP wattsR k

= = =

CASO: Con Fuentes dependientes: Cuando un circuito presenta Fuentes combinadas y se quiere determinar la resistencia equivalente, en 1er lugar se tiene que cancelar todas las fuentes independientes: Ejemplo # 4: Hallar RL para que absorba la mxima potencia:


146

Solucin: Req. Cancelamos solo Fuentes independientes. Recomendacin: Retiramos la carga y aplicamos una fuente de tensin externa V: Vemos que V = V2

Nodo a:

22

2 (1)588 ............................

10 50

VVVI Ix

= + + Malla 1:

2

2 (2)5 ...............................200 1000

VVIx

= =

(2) en (1):

2 22

0 .80 .1 8 81 0 0 0 5 0V VI V = + +

2 2 2 20.1 0.088 0.016 0.028I V V V I V= + =


147

Pero sabemos que: 2

.eqV RI=

2 1 3 5 .7 10 .0 2 8

VI

= = Tambien se sabe que:

e 35.71q LR R= = Ahora hallemos Vth:

Planteamos ecuaciones:

2 (1)5 2 0 0 .. . . . . . . . . . . . .5VIx= + 2da ley de kirchhoff

2 2 (2)0.80 88 ..................

50 10V VIx= + + 1ra ley de kirchhoff


148

De (2)

22 1.088016.00 VIxV ++=

2 (3)0.00131 ............................Ix V= (3) en (1):

22 2.0)00131.0(2005 VV += 2063.05 V=

.57.78.57.780636.0

52 voltVvoltV th ===

El circuito equivalente:

2

max(78.57) 43.21

35.71P watts= =


149

Ejemplo # 4: Hallar RL. Para que absorba la mxima potencia:

Solucin: Calculo de Req. Cancelamos la fuente independiente retiramos la carga y aplicamos una fuente externa V:

Nodo V:

(1)( )3 ..............................

30 22V V VoI Vo = +

Nodo Vo:

22)(

400

10VoVVVo =+


150

(2)( )5 0.26 ..............

22V VoVo Vo V= =

Reemplazando en (2)

+=22

26.0)26.0(330

VVVVI

0 .0336 0 .78 0 .0336 0 .713I V V V V= + = I en funcin de V.

== kIV 41.1

76.01

Pero sabemos que:

1 .41eqV R kI= =


151

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Calcular el valor de R en el siguiente circuito para que la

intensidad a travs tome los siguientes valores. a. 1A b. 0.5A

2. Calcular la potencia generada o consumida por la

fuente real de tensin conectada entre los terminales a y b del siguiente circuito.


152

3. Qu tensin marcar un voltmetro conectado entre los nodos a y b?.

4. Obtener la capacidad equivalente.


153

5. Si la siguiente conexin de fuentes es vlida, calcular la potencia total cedida/absorbida en este circuito. Si la conexin no es vlida, explicar por qu.

6. Obtener una representacin equivalente simplificada para los siguientes circuitos.


154

7. Hallar la lectura del voltmetro V=_______

8. Calcular V0 utilizando transformacin de fuentes.


155

9. Asignar los voltajes a cada nodo, conociendo las diferencias de voltajes en los elementos, y asumiendo el nodo de referencia en cada uno de los puntos indicados.

10. Empleando Mtodo de Mallas, encuentre las corrientes y tensiones en cada uno de los elementos del siguiente circuito. Indique polaridades y sentidos.


156

11. Empleando Mtodo de Mallas, encuentre las corrientes y tensiones en cada uno de los elementos del siguiente circuito. Indique polaridades y sentidos.

12. Empleando Teorema de Superposicin determine la corriente y

la tensin en el resistor de 50 Ohms. (Indique el sentido y la polaridad correspondientes).

13. Aplicar el teorema de superposicin para encontrar Vo en el

siguiente circuito.


157

CAPITULO VI

REDES DE DOS PARES DE TERMINALES

Al estudiar circuitos elctricos de cuatro terminales, deseamos conocer que ocurre cuando se alimenta con una seal a un par de terminales, luego de analizar el circuito, obtener la respuesta por el otro par de terminales. 6.1. CUADRIPOLOS.- Es una red con dos pares de terminales, en donde un par de terminales es el puerto de entrada y el otro par es el puerto de salida.

En el estudio de los cuadripolos se asumen las siguientes condiciones: a. No existe energa inicial almacenada en el circuito. b. El cuadripolo no contiene fuentes independientes de energa

(cuadripolo pasivo), pero puede contener fuentes dependientes (como en los circuitos equivalentes de dispositivos electrnicos).

c. Las corrientes que entran y salen de un puerto deben se iguales. d. Las conexiones externas deben hacerse al puerto de entrada o al

puerto de salida. No se permiten conexiones externas entre los puertos.


158

Clasificacin: Cuadripolos Pasivos: La potencia entregada a la carga nunca puede ser mayor que la potencia entregada a la entrada. Cuadripolos Activos: La potencia entregada a la carga puede ser mayor que la que la Potencia entrega a la entrada. ECUACIONES Y PARMETROS DE LOS CUADRIPOLOS. Las tensiones y corrientes de entrada y salida estn vinculadas por ecuaciones lineales, existiendo cuatro topologas posibles, que dan origen a cuatro conjuntos de parmetros del cuadripolo: 1. Tensiones en funcin de las corrientes:

Parmetros de Impedancia ( [ ]r [ ]z ): Tensiones de entrada y

salida en funcin de las corrientes de entrada y salida.

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

V r I r IV r I r I= += +

1 111 12

21 222 2

V Ir rr rV I

=

1V se obtiene de la superposicin de los componentes debidos a

1 2 eI I despejando se tiene que.

2

111

1 0I

VrI =

=

Resistencia de entrada con salida en circuito abierto.

1

112

2 0I

VrI =

=

Resistencia de Transferencia de salida a entrada con entrada en circuito abierto.


159

2

221

1 0I

VrI =

=

Resistencia de Transferencia de entrada a salida con salida en circuito abierto.

1

222

2 0I

VrI =

=

Resistencia de Salida con la entrada en circuito abierto.

Circuitalmente se representa por T equivalente, sistema lineal y bilateral.

Donde:

1 1 2 3

2 2 1 3

0 0

I V I RI V I R= == =

11 1 3

12 21 3

22 2 3

r R Rr r Rr R R

= += == +

1 11 12

2 22 12

3 12 21

R r rR r rR r r

= = = =


160

2. Corrientes en funcin de las Tensiones:

Parmetro de conductancia. Corriente de entrada y tensin de salida en funcin de tensin de entrada y corriente de salida.

Forma Cannica Forma Matricial

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

I g V g IV g V g I= += +

1 111 12

21 222 2

I Vg gg gV I

=

1I es la superposicin de dos componentes, una debido a 1V y otra debi

Circuitos Electricos I

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