CIRCUITOS ELÉCTRICOS. VOL. I

CIRCUITOS ELCTRICOS Volumen 1

Antonio Pastor Gutirrez Jess Ortega Jimnez Valentn M. Parra Prieto ngel Prez Coyto

U lVERSlDAD NACIO AL DE EDUCAcrON A DISTANCIA

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Antonio Pastor Gutirrez Catedrtico de Ingeniena Flmnca Departamento de Ingenjerfa Flmnca, UPM

Jess Ortega Jimnez Catedrtico de Ingenierla F1mrica Departamento de Ingenierfa Elmnca, UPM

Valentln M. Parra Prieto Profesor Emrito, Catedrtico de Ingeniera Elctrica Departamento de Ingeniera Elctrica, UPM

ngel Pra Coyto Catedrtico de Ingeniena Elctrica Deparramcmo de lngenierla elctrica. UPM

UNIVERSIDAD DE l ARAGO. BIBL/OTECA DE CAMPUS DE l

LAITl

CIRCillTOS ELCTRICOS Volumen 1

UNIDADES DIDCTICAS

UNIVERSIDAD BIBLIOTECA DE ( DE ZAR4G02

AMPUS DEL Arruo Antonio Pastor Gutirrez

Jess Ortega Jimnez Valentn M. Parra Prieto

ngel Prez Coyto

CIRCUITOS ELCTRICOS Volumen 1

BIBLIOTECA O 'Hypatia EdCeA~ieUJ.aS DdEL ACTUR

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o 9 JULo 2D07 DONACIN 01:""'

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA

UNIDADES DIDCTICAS (52212UDllAOI) CIRCUITOS ELCTRICOS. Volumen 1

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIN A DISTANCIA - M.drid, 2003 Librera UNED: Bravo Murillo, 38; 28015 Madrid Tels.: 91 398 75 60/73 73, e-mallo [email protected]

Antonio Pastor Gutirrez, Jess Ortega Jimnez, Valentin M. Parra Prieto y Angel Prez Coyto

ISBN: 84-362-4957-7 (O. C.) ISBN: 84-362-4981-X (V. 1) Depsito legal: M. 20.044-2006

Primera edicin: octubre de 2003 Tercera reimpresin: abril de 2006

Impreso en Espaa - Printed in Spain Imprime: Fernndez Ciudad, S. L. Coto de Dofiana, 10. 28320 Pinto (Madrid)

UNIVERSID4D DE lARIlG! BIBLIOTECA DE CAMPUS DELA~'

RELACIN DE AUTORES

Antonio Pastor Gutirrez Catedrtico de Ingeniera Elctrica Departamento de Ingeniera Elctrica, UPM

Jess Ortega Jimnez Catedrtico de Ingeniera Elctrica Departamento de Ingeniera Elctrica, UPM

Valentn M. Parra Prieto Profesor Emrito, Catedrtico de Ingeniera Elctrica Departamento de Ingeniera Elctrica, UPM

ngel Prez Coyto Catedrtico de Ingeniera Elctrica Departamento de Ingeniera Elctrica, UPM

NDICE

UNIVERSIDAD DE ZARAGO BIBLlOTEC~ DE ~AMPUS DEL ACTUr,

Presentacin .. .. .... ... ... ............ .. .. .... ... .. .. .. .. .. .... .. ............... ............... .. .. .... .. ................... .. ..... .. 15

UNIDAD DIDCTICA 1 Captulo 1

FUNDAMENTOS

1. Circuito elctrico ..... ... .. .. .. .. .... .. .. .... ................ ... .. .. ... .... .. .. .. .. .... ....... ............................... 21

2. Smbolos literales ........ .... ... .. .. .... .... .... .... .... ...................... .... ... ... .. .... ..... .. ...... .. .. ... ... .... ... 21

3. Convenios para el sentido de referencia de la corriente elctrica .. .... .. ... ... .... ... .. ........... 23

4. Convenios para la polaridad de referencia de la tensin elctrica ................... .... .......... 24

5. Leyes de Kirchhoff ....... .. ...... .. .. .. .. ....... .. .. ... ... .... .. ... ... ... .. .. .. .. .. ... .. .. ... . ... ......... .... ............ 25

5.1. Primera ley de Kirchhoff .... .... .... ... .... .... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .... .... .. .. .... .... ..... .. ................... 25 5.2. Segunda ley de Kirchhoff .......... .. ...... .... ....... ....................................... .... ............... 28

6. Problemas fundamentales en la teora de circuitos ............................................ .... ........ 29

7. Clases de circuitos ................ .... .. ... ... ... .. .. ... .. .......... " ... ... .... .. .. ........ .... .. ... .. .. .. .. .......... .. ... 30 /

Problemas ...... .. ..... ....... .......... ... ....... ........... ........ .. ...... .... ........ ... .... .... .. ............ .. .... ........ .... . 31

Soluciones de los problemas ... .. ... .. .. .. .. ... .. .. .. ..... ... ... .. ....... .. .. .. ....... .. ... .. ...... .. ...... .. ............ 33

8 CIRCUITOS ELCTRICOS (1)

Captulo 2

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS

1. Elementos ideales de los circuitos .. ....................... ... .. ... ... .. .. .. .. ..................................... 39

2. Dipolos .... ... .. .... ... ................ ... .. .. .. .. .. .. ... .. .. .................... .... . : ... .. ...................................... 39

2.1 . Resistencia .. .. ... .. .. ... .. .. ........................... ... .. .. .... ....................................... ..... ... ... 39 2.2. Fuentes independientes ......................... .. ...... .... ................ ....... .. .. ........ .... ... ........ 41

2.2.1. Fuente ideal de tensin .. .. ................... .. .... .. .......................................... .. ... 41 2.2.2. Fuente ideal de intensidad ... .. ... ... ................... ... .... ... ... .. .. .. ... .. .. .. ...... .. ....... 43

2.3. Condensador ...................... .. .. .. ..................... ..... .. .. ...... .. .. .. ................................ .. 47 2.4. Bobina .......... .... .. .. .. ...................... ... .. ... ... .. .. ............................ .. .. .. ........ .. ............ 53

3. Cuadripolos .. .... ... ... ..................... ... ... .. .. .. .. ....................... .. .. .. ... .................................... 58

3.1. Bobinas acopladas magnticamente .................. .... .... ... ....................................... 58 3.2. Transformador ideal ......... ............... .... .. .... ..... .. ................. ... .. .. ... .... .. .. .. ..... ....... ... 64 3.3. Fuentes dependientes ....... ............... .... .. .. .. .. ... .................... .. .... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ... 67 3.4. Amplificador operacional ideal ... .. .... .. .. .. ................. .... ... .. .................................. 69

Problemas ............ ... ... .. .. .................... .... ... .. .. .. .. ....................... .... ... .. .................................. 75

Soluciones de los problemas ..... ... ................... .. .. .. ...... .... ................... .. .. .... ... .. ... ... .. .. .... .... . 81

Captulo 3

POTENCIA Y ENERGA

l . Introduccin .. .. ... .. .. ... ..................... ...... .. .. .. ............................. .. .. .. ................................. 95

2. Dipolos ................... ... .. .... .............................. ... .. .. .......................... .. .. ...... .. .. .. .. .. .. .. ........ 96

;:;: ~:~~::~~:or::::::: : :::::: :: :: :: :: :: : ::: :: : :: :: ::: : :: :: :: :: : :::::::::::::: :: :: : ::: :: :::::: : : ~: : :::: : :::::: : ::: : :::: ~~ 2.3. Bobina ..... ... .. ... ....... .. .......... ........... .. ...... .. ..... ............ ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... .... ... .. .. lOO 2.4. Fuentes ideales independientes .... .. ...... ....... ........ .............................................. 101

3. Multipolos ... .. ..... ... .. .. .. .. .. .. .. .. ............. ... ... .. ... .... ... ....................................................... 106

3.1. Bobinas acopladas magnticamente .................................. ....... .... ..................... 108 3.2. Transformador ideal ............................ .... ... .. .. .... .. .. .... ... .. .. .. ... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... ... 110 3.3. Fuentes dependientes .. .. .. .... .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. ......... .. ............................................... 110 3.4. Amplificador operacional ideal .... .... .. .. .. .. .. .. .. ... ... .... .... ... .. .................. .. .. .... ... .. . 112

Problemas .. .. .. .. .. .. .. .......................................................... .... ... .. .. .. .... .. .... ... .. ... .... .. ....... .. ... 115

INDICE 9

Soluciones de los problemas ..................... .... ....... ... .. .... ... ........ .... ... .... ............... .. .. .. .. .. ... . 117

Captulo 4

ANLISIS DE CIRCUITOS. CONCEPTOS BSICOS

l. Impedancia y admitancia operacional ...... .. .. .. .... .... .. .. ........ ... ........ .... ....... .. .. .... .... .... .... 127

2. Trminos relativos a la topologa de los circuitos ' .... ..... ...... .. ...... .... ... ........ .... ........ ..... 130

3. Mtodo general de anlisis de circuitos ... .... ....... .... .. ......... ............ ....... ...... .. .. .. .. .. .. .. .. 134

4. Regla de sustitucin. Equivalencia entre ramas ... ... ..... .. .. .. .. ..... .. .... .. .... .. .. .. .. ...... .. ..... .. 145 ~

Problemas .. ...... ... .. .. ... .. .. ....... ... ........ .. .. ........ ....... .. ......................... ................ ....... .. .. ........ 153

Soluciones de los problemas .... ... ... .. .. .... ... ... ... .. ........ ........................... .... ... ...... .. .. .... .. .. ... 157

Captulo 5

MTODOS DE ANLISIS DE CIRCUITOS

l. Introduccin .................................... ................ ......... ... ............ ........ ............................. 171

2. Mtodo de anlisis por nudos ................. .... ....... .... .... ..... ...... ..... ... ............................... 171

3. Mtodo de anlisis por mallas .... ... .. .. .... .. .... .. .... ... .. .. ........ ... .. ...... .. .. .. .. .. .... .. .. .... ... .. .. .. .. 174

4. Mtodo de anlisis por conjuntos de corte bsicos ............ ................... .. ... ... .... .. .. .. .. .. 179 5. Mtodo de anlisis por lazos bsicos .. .... .. .. .. ... ... ... .. .. .. .. .. .. .... .. ... .. .. .. .... .... ................... 182

6. Modificacin de la geometra de los circuitos ......................... ........ ..... .............. .. .. .. ... 185

6.1 Circuito con fuente ideal de tensin entre dos nudos ... .. ... .. .. .. .. .. ...................... 185 6.2 Circuito con fuente ideal de intensidad entre dos nudos .. ... .. .. .. ......................... 189

7. Circuito con fuentes dependientes ............................ ... ...... ...... .. ...... ............ ..... .. .. .. .. .. . 194

8. Circuito con amplificadores operacionales ... ..... .... .. .. ... ... ... .. .. .. .... .. ............. .. ... ...... ... . 197

Problemas ...... .... ... ... .. .. .. ....... ........ ....... ....................... ....... ...... .. ...... .. ............ ... .. .. .. .. .. ... ... 203

Soluciones de los problemas ... .... ....................................... .... .. .. .... .... .. .. .. ............ .... ..... .. . 207

Captulo 6

MTODOS AVANZADOS DE ANLISIS DE CIRCUITOS

l . Introduccin ... .. .. ... .. ... .. .. .... .. .... .................... .......... .. .. .... .. ... ... .. .. .... ......... ...... .. .... .... .. .. . 22 1


2. Matrices de impedancias y de admitancias de rama .. .. .... ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. ...... .. .. ............. 221

3. Matriz de incidencia nudos-ramas ...... .... .... .... .... ....... .. .. ... ... ... .. .. .. .. ... ... ....................... 224

4. Mtodo de anlisis por nudos ......... .. .. .... ..... ....... .............. .... .... ............ .... ... .. ... ... .... .... 227

5. Matriz de conexin mallas-ramas .. .... ........... .. .. .. ... .. .... .... .... .... .................................... 230

6. Mtodo de anlisis por mallas .............................. .... .... ........... ... .. .. .. ........ .. .. ... .... .... ... .. 232

7. Matriz de conexin lazos bsicos-ramas .... ... ...................... ........... .... .. .. .... .... .. ...... .. ... . 234

8. Mtodo de anlisis por lazos bsicos ........... .... ... .. . : .. .... .. ..... ... ... .. .................. .... ... ....... 237

9. Mtodo de anlisis de la tabla ...... .... ... .. ...... .. .. .... ... ...................................................... 239

10. ~todo de anlisis nodal modificado .. .. .. .. .. .. ...... ... ...... ..................................... ........ 243 Problemas .. .... .... ................... ... .. .. ...... .. ........... .. .. ....................... .... .... ........... ..... ... .... .... .... 253

Soluciones de los problemas .............. .. .. ..... .. ...... .. ........ ............ ............ ....... ........ .... ... .... . 257

UNIDAD DIDCTICA 2 Captulo 7

ASOCIACIONES DE DIPOLOS

1. Asociacin de dipolos ..... .. .. .. .. ....... ... ....... ............ .... ....... ..... ... ....... ........ .... ...... .. ..... .. .. . 275

2. Asociacin serie ........... .... .... .. ...... .... .... ... ........................... .... ... ..... ....... .. .. .... .. .. .. .... ... .. 275

3. Asociacin paralelo ... .. .......... ...................... ... .... .... ... .. .... ... ... ........ ............................... 28 1

4. Configuracin tipo puente ... .... ............... ........ .. .. .. ... .. .. .. .. .... .. .... .... ............................... 286

5. Configuraciones estrella y polgono ......... .... .. .. .. .. ......... .. ..... .. .. .................. ........ .. ....... 289

5.1. Configuraciones estrella y tringulo .. ............... .... ... .. .. .... .................... .... ... .... ... 290 5.2. Eliminacin de nudos ...................................................................... .... .... ...... ..... 293 5.3 . Conversin estrella-polgono. Teorema de Rosen .............. .... ......... ... ............... 295 5.4. Conversin polgono-estrella ........ .. .. ... ... .... .... ........... .. .... .. .. .. .... ..... ... .... ... .. ...... . 300

5.4.1. Caso particular: paso de tringulo a estrella ... ................ ......................... 302

Problemas .... ........ ... ........................... .... ..... .. ..... ....... ........ .. .. ........ ........... .... ... .. ... .. ... .... .. .. 307

Soluciones de los problemas .................... ... ........................ ........................... .... .. .. .. .... .... 31 1

NDICE 11

Captulo 8

TEOREMAS

l. Introduccin .. ... ..... ...................................... .. .. ............................. .. .... ... .... .. ................ . 321

2. Teorema de superposicin ........ ........... ............................. .. .................... ................. .. .. 321

3. Proporcionalidad ............................ .... ......... .......................... ... .. ... ........... .... ............... . 327

4. Teoremas de Thvenin y Norton ............ ......................................... .. ......................... .. 329

4.1. Teorema de Thvenin ................. ...... .. .. .. .. .. ... ... .. ... .. .. ....................... ...... .. .. .. .. .. . 329 4.2. Teorema de Norton ............... .. .. .. ........ ............................................................... 334

5. Teorema de Millman ...................................... .. ... .. .. .. .. .. .. ..... .. .................. .. .. .. .. .. .. ........ 340

6. Teorema de compensacin ......... .... ..... ... ..... ... ..... .. .... .. .. .. ......................... .... ....... .. .. ..... 343

7. Teorema de reciprocidad ....... .. .. .. ........................... ... .. ................ .. .. .. ....... .. .. ...... ...... .. .. 347

8. Teorema de Tellegen ..... ........ .... ...................... .. .. .. .. .. .... ........ ... .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. ........ ... ... 355

Problemas .. .. ... ... .... ........... .. .. .... .... .... .... ... .. .... .. ..... .. .. .. .... .. .. .. .. .... ............ ........... .... .. .. .. ..... 359

Soluciones de los problemas ..... .. .... ........... .. .. .. .. .. .. .... ... .. .. .. .. .. .. ........ .... ..... ... .... .... ... .. ...... 363

Captulo 9

ANLISIS DE CIRCUITOS EN RGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL

1. Formas de onda peridicas .... .. .... ...... .. ....... ..................................... .. ........................... 377

2. Inters del estudio de circuitos con formas de onda sinusoidales ... .. .. .. .. .. .. ................. 383

3. Rgimen permanente y rgimen transitorio ............................ .. .. .. .. .. .. ....... .................. 384

4. Rgimen estacionario o permanente sinusoidal ..... .. .. ......................... ...... .. .. .. .. ....... .... 387

5. Mtodo simblico ... .............. .. .. ...... .... ............ ... .. ...... .................. ........ ... .... .. ........... ... 392

6. Impedancias y admitancias de entrada de los dipolos sin fuentes independientes ... ... 398

7. Mtodos de anlisis .................... .......... ... .................. .. .. ............. .. .. ........................... ... 404

Problemas .. .. ... ... .. .. ... .. .... .. .. .. .. ...... ........... .. ..... ... ...... ... ....... ... .... ........ ... .. .. .. .. .... .. .. ............. 415

Soluciones de los problemas ..... ....... .. ................. .. .......... .. ...... .... .... ... .. .. ......... ................. 421

12 CIRCUITOS ELCfRICOS (1)

Captulo 10

POTENCIA EN CIRCUITOS EN RGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL

l. Potencia instantnea .... ..... ... ............. .. .. ...... .. .. .... .... .... ... .... ... .. ........... ... .. .. .. ... ... .... .... .... 439

2. Potencia compleja. Potencia reactiva ... .......... ...... ..... ... ..... .............. ........ .... ........... .... .. 442 3. Teorema de Boucherot ..... ....... ... .......... ... ............ .. .......... .... ....................... .. .. ... .. ...... .. . 448

4. Factor de potencia ... ................ ........ ............................... ....... .................... .... .... ... .. .. .... 451

5. Medida de potencia .... .... .. ... ....... .... .............................................................. ... ............ . 459

Problemas ... ..... ... ................ ... .... ...... .. ......... .. .... .... .... ......... .. .... ........ ........ ......... .......... ...... 465

Soluciones de los problemas ........ ..... .. .. .. .. .. ........ .... ........ ... .. ... ... ........ ..... ...... .. ... ....... ...... . 473

Captulo 11

ASOCIACIONES DE DIPOLOS Y TEOREMAS EN RGIMEN ESTACIONARIO SINUSOIDAL

l . Introduccin ....... ....... .. .. .. .. .. .. .. .. .... ........ ..... .. ...... .. .... .. .. .. .. ............ ..... .. .... .. .... ... .. .. .. .. ... . 491

2. Asociacin de dipolos .. .. .. .. ... ....... .... ..... .. .... .. .. .. .. .. ... ... .. ....... .. .. .... .. .. .... .... .... .. .... ... .. .. .. . 491

2.1. Asociaciones serie y paralelo. Divisores de tensin e intensidad .. ............ .... .... 491 2.2. Configuracin tipo puente ... ... .. .. .... ................................... ................................ 494 2.3. Configuraciones estrella y polgono. Teorema de Rosen ... ...... .... ........ ..... ... ..... 496

3. Teoremas . ... ....... ... .... .. .. .. .. ..... .... ... . ........ .. . ..... .. .. .. . ... . ..... .. . .... ... . ........... .... ....... . ... ... .. ... .. 503

3.1. Teorema de superposicin ........................... ......... .. .... ...... .. ........ ..... .. ...... ...... .. .. 503 3.2. Proporcionalidad ...... .. .. .... ................ .......................... .. .. .. .. .. .. .. ........ .................. 506 3.3. Teoremas de Thvenin y Norton ...... .. .... ... .. .. .. .. .. .... ....... ... ... .. .. ................ .... .... . 507 3.4. Generalizacin del teorema de Thvenin a un multipolo ..... .... ..... ................... . 512 3.5. Teorema de Millman .. .. .......... .... ........... .. .. .... .... ........ ....... ...... .. .. .. .. .................... 515 3.6. Teorema de compensacin ......... ... ... ...... ... .... .... ..... .. .. .. .. .. ...... .. .. .. ...................... 518 3.7. Teorema de Tellegen ........................ ............... ... .... .... .. .. .... .. .. ..... ... ................... 520 3.8. Teorema de reciprocidad ......... .. .. .... .. .. ........ ... .. .. .. .. .. .... .... .. .. .................. .... ... .. .. 520 3.9. Teorema de la mxima transferencia de potencia ... ... .. .. ... .. .. .... ........ .... .... ..... ... 523

Problemas ........... .... ... ............ .... ... ...... .... .. .... .... .... .... ... ................ ............ .... .... .... ............ . 531

Soluciones de los problemas ..... ...................................... ... .. .. .. .. .. .. .. ........ .. ...................... 537

NDICE 13

UNIDAD DIDCTICA 3

Captulo 12

CIRCUITOS TRIFSICOS l . Introduccin .. ............. ... .... .... .... ................... ....... .. ....... ... .... .... .... .. .. .... ... .. ... ........... .... .. 551

2. Generacin de un sistema trifsico de tensiones equilibradas .... ....... .... .... .. .... ... .. .. .... . 551

3. Conexin de fuentes en estrella y en tringulo ... .. ...... ... .... ........ ....... ............ ........ ....... 555

4. Anlisis de un sistema estrella-estrella ..... ....... .. .. .... ..... ................... ... ..... ..... ........... ... . 560

4.1. Anlisis de un sistema estrella-estrella, equilibrado ... ... ..... ........... ... .... ... .. .. ..... . 562

5. Sistema equivalente estrella-estrella ... ... .. ... .... ....... .. .. .. ...... .... ............ ........ .... .............. 564

5.1. Conversin de fuentes ........... ... .... .... ..... .... .. ...... ... ..... .. .. ... .... ........ ........... .... .... ... 564 5.2. Conversin de cargas en sistemas a tres hilos .. ... .... .... .. ..... ........... ..... ........... .... 567 5.3 . Conversin de cargas en sistemas con hilo neutro .... ......................... ... ... .... ..... 569

6. Potencia en los sistemas trifsicos equilibrados ..... ........................... ......... ......... ....... 576

6.1. Potencia instantnea .......... ... ..... .. ...... ........ ........... ........ ....... .... ........ ................ .. 579

Problemas ....... ....... .... ........... ... ... ..... ....... ......... .... ................ ........ .. .... .. .. ........ ..... .......... .. .. 587

Soluciones de los problemas .............. ... .... .. .................................. ........ .... .... .... ........... .... 595

Captulo 13

MEDIDA DE POTENCIA EN CIRCUITOS TRIFSICOS l . Introduccin ...... ............... .... .. ... ... .. ...... ............ ............ ... .. .. .. .. .... .... ........... .. ...... .... ...... 607

2. Medida de potencia activa .......... ........ .... ...................................... .. .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .... . 610

2.1. Circuito trifsico con hilo neutro ..... ... ..... ........ .. .... ..... ........... ... .. .. ..... ................ 610 2.2. Circuito trifsico a tres hilos (sin hilo neutro) .. .... .... ....................... .... ........ .... .. 610

2.2.1 . Fases accesibles ... .... .... ... .... .. .. ........ ........... .. .. ........ ...... ........ ... ... ....... ...... . 610 2.2.2. Fases no accesibles ..... ... .. .. .... .. .. .... ........ .. .......... ........ ...... ... .. ........ .... ... ... . 611

2.2.2.1. Caso equilibrado .. ......... ...... .. ... ........................... ... .. ... ... .. ...... .... .... 611 2.2.2.2. Caso desequilibrado ... ......... ... ........ ........... ........ ...... .. ........ ... .. .. ...... 612

2.3 . Mtodo de los dos valnetros en sistemas equilibrados ..... ........ ...... .. .. ... .......... 617 3. Medida de potencia reactiva con vatmetros ............. ... ...... .... .. .. .. .... .. ... ......... ....... ....... 622

3.1 Circuito equilibrado .. .. .. ... ........... ..... ... .... .... ..... .... ... ........... .... ....... .. ........ .. .... ...... 622 3.2 Circuito desequilibrado, sin hilo neutro y equilibrado en tensiones de lnea .. ... 623


4. Determinacin del orden de secuencia .. .. .. .. .. .. .. .. ........................................................ 625

Problemas ..... ........ ... .. ... .. .. ... ... .. .. .. .............................. ... .. .. .. .. .. .. .. ...... ............ .... ...... .. ....... 629

Soluciones de los problemas .. .. .. .... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .... .... ..... ... ....................................... 635

Captulo 14

CIRCUITOS EN RGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE PRIMER ORDEN

1. Circuitos en rgimen transitorio .. .. .. ................ .................. .... ................ ....................... 651

2. Circuitos de primer orden. Introduccin ............................................................ .... ..... 651

3. Circuitos de primer orden. Caso general .. .. ...... .. .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .... .... ........ .............. 659

3.1. Obtencin de la constante de tiempo ................................................................. 661 3.2. Obtencin de las condiciones iniciales, x(O+) .................................................... 662 3.3. Obtencin de la solucin particular, xp(t) ................................................ .. .. .. .. .. 664

4. Respuesta a entrada cero y respuesta a estado iuicial cero ...................................... u .. 674

5. Circuitos de primer orden con ms de un elemento almacenador de energa ...... .... .... 680

5.1 . Respuestas que contienen un impulso de tensin o de intensidad ............ .. .. .... . 683

6. La funcin impulso como creadora de condiciones iniciales en bobinas y condensadores ... ... .... .. .. .. .. .. .. .... ..... ... ... ..... ... .. .. .. .. ........ .... .......... .. ..... ... ...................... 698

Problemas ................... .... ........ ............................... .... ........ ... .. .. .... ........ ........................ .... 703

Soluciones de los problemas ..... ... .. .. .. .. .... .... .... ........... .. ... ....... .. .... .. .. .......... ..... ... ..... ... ... .. 709

PRESENTACIN Nuestro libro de Teora de Circuitos de la UNED se viene utilizando como texto, tanto

en la UNED como en Escuelas de otras Universidades, desde el ao 1976. La actualizacin de los planes de estudios, que sitan a la asignatura de Electrotecnia en los cursos segundo y tercero de la carrera de Ingeniero Industrial, haca imprescindible, mas que una revisin del libro, la escritura de un nuevo texto que se adaptase a los nuevos programas de las asignaturas Electrotecnia I y Electrotecnia II.

Se presenta aqu el volumen I de este texto, Circuitos Elctricos, orientado principalmente a la asignatura Electrotecnia 1, por lo que no se tratan temas como el anlisis del rgimen transitorio en circuitos de segundo orden o superior o el anlisis de circuitos no lineales, que corresponden al programa de Electrotecnia II. En general, el desarrollo de los temas es mas amplio de lo que exigira su adaptacin al tiempo disponible en la asignatura de Electrotecnia L Se ha preferido dejar un texto ms completo y que sea el profesor de la asignatura quien decida sobre los recortes a efectuar. Por ejemplo, algunos de los mtodos de anlisis, como el de la tabla o el nodal modificado, pueden dejarse para la asignatura de Electrotecnia II y se puede prescindir de demostraciones como las de los teoremas de superposicin y de reciprocidad. Tambin, como se pone de manifiesto en el texto, se pueden abreviar algunas demostraciones con el uso oportuno del concepto de dualidad. A continuacin se indica, de forma resumida, la materia cubierta por cada captulo y la parte de la misma que, a juicio de los autores, debera impartirse como mnimo en la asignatura de Electrotecnia L

La Unidad Didctica I incluye los fundamentos y los mtodos de anlisis. Los tres primeros captulos contienen material bsico. En el captulo I se presentan, como axiomas, las leyes de Kirchhoff. En el captulo 2 se establecen las ecuaciones caractersticas de los elementos ideales fundamentales . Dada la gran importancia que los amplificadores operacionales tienen en los circuitos electrnicos, se introduce tambin el amplificador operacional ideal. Los conceptos de potencia y energa, aplicados a los diversos elementos, se presentan en el captulo 3. En los captulos 4, 5 Y 6 se desarrollan diferentes mtodos de anlisis de circuitos. De acuerdo con el tiempo disponible, puede que sea necesario prescindir del estudio de alguno de estos mtodos, aunque, como mnimo, es bsico estudiar con detalle el mtodo de los nudos y el mtodo de las mallas.

16 CIRCUITOS ELCTRICOS (I)

En la Unidad Didctica 2 se estudia el rgimen estacionario sinusoidal, la asociacin de dipolos y los teoremas de la teora de circuitos. En el capItulo 7 se trata la asociacin de dipolos de forma general, en el dominio del tiempo. Se considera bsico estudiar la asociacin de dipolos en serie y en paralelo y la asociacin de tres dipolos en estrella y en tringulo. En el captulo 8 se presentan los teoremas fundamentales, en el dominio del tiempo. Los teoremas de superposicin y los teoremas de Thvenin y Norton constituyen el material fundamental de este captulo. En los captulos 9, 10, Y I1 se aborda el anlisis de circuitos lineales en rgimen sinusoidal permanente. En general, toda la materia cubierta por estos captulos es bsica. En lo que respecta a los mtodos de anlisis y a la asociacin de dipolos, la seleccin de materia debe de ser coherente con la que se haya efectuado en los captulos anteriores, pero en lo que respecta a los teoremas, tratados en el punto 3 del captulo 11, se recomienda verlos todos aunque, si se careciese de tiempo, puede prescindirse del teorema de compensacin y dejar el teorema de reciprocidad para la asignatura de Electrotecnia TI. Tanto el teorema de Millman como la generalizacin del teorema de Thvenin resultan especialmente tiles para el anlisis de sistemas trifsicos.

La Unidad Didctica 3 incluye los circuitos trifsicos y el anlisis en rgimen transitorio de circuitos de primer orden. Los captulos 12 y 13 estn dedicados al anlisis de sistemas trifsicos. Si es preciso eliminar materia, los puntos 3 y 4 del captulo 13, referentes a la medida de potencia reactiva con vatmetros y a la determinacin de la secuencia de fases , son claros candidatos. Por ltimo, todo el material cubierto en el captulo 14, relativo al anlisis en rgimen transitorio de circuitos de primer orden, es bsico.

UNIDAD DIDCTICA 1

Captulo l. Fundamentos

Captulo 2. Elementos ideales de los circuitos

Captulo 3. Potencia y energa

Captulo 4. Anlisis de circuitos. Conceptos bsicos

Captulo 5. Mtodos de anlisis de circuitos

Captulo 6. Mtodos avanzados de anlisis de circuitos

Captulo 1

FUNDAMENTOS

1. Circuito elctrico

2. Smbolos literales

3. Convenios para el sentido de referencia de la corriente elctrica

4. Convenios para la polaridad de referencia de la tensin elctrica

5. Leyes de Kirchhoff 5.1. Primera ley de Kirchhoff 5.2. Segunda ley de Kirchhoff

6. Problemas fundamentales en la teora de circuitos

7. Clases de circuitos

Problemas

Soluciones de los problemas

1. CIRCUITO ELCTRICO Se defIne como circuito elctrico un conjunto de dispositivos o de medios por el que

pueden circular corrientes elctricas.

La teora de los circuitos elctricos consiste en el estudio de sus propiedades. Para ello se desarrollan unos modelos matemticos de los elementos constituyentes, cuyo comportamiento queda defInido mediante ecuaciones que relacionan entre s diferentes magnitudes elctricas. Junto a las' ecuaciones de los elementos se dispone de ecuaciones adicionales, procedentes de leyes fsicas que constituyen los axiomas fundamentales de la teora de circuitos.

Con el fIn de plantear las ecuaciones de los circuitos de manera precisa se hace necesario establecer unos convenios, tanto al designar las diferentes magnitudes como al interpretar fsicamente los valores que adquieren.

2. SMBOLOS LITERALES Los smbolos de las magnitudes elctricas, as como los de sus unidades en el Sistema

Internacional (SI), estn normalizados y se encuentran en la norma UNE 21405-1: Smbolos literales utilizados en Electrotecnia. En la tabla 1.1. se muestran dichos smbolos para las magnitudes que se manejan ms frecuentemente. Es importante notar que para los smbolos de las magnitudes se utiliza el tipo de letra itlica (inclinada) y para los smbolos de las unidades se emplean caracteres romanos (verticales).

Los smbolos de las magnitudes estn constituidos por una sola letra de los alfabetos latino o griego y, a veces, con subndices u otros signos complementarios.

Si la magnitud es variable con el tiempo, y son apropiadas tanto las letras maysculas como las minsculas para designar la magnitud, se emplean letras minsculas. Por ejemplo, u. Si se desea hacer constar explcitamente la dependencia con el tiempo se escribe u(t) . El empleo de la letra mayscula correspondiente se reserva para el caso de que

22 CIRCUITOS ELCfRlcos (1)

la _ ; 7 2 del tiempo o para expresar algn tipo de valor relacionado coa_ iiIitpIilUd dependiente del tiempo (por ejemplo, un valor medio). Tabla 1.1. Simbolos de magnitudes y unidades

MAGNITUDES UNIDADES

Simbolo Nombre Nombre Smbolo Q culombio e weber Wb I am erio A V voltio V U voltio V P W

E', W 'ulio J E' voltio or metro V/m D induccin elctrica, densidad de e /m2 flu'o elctrico H Alm

B tesla T

Si se quiere indicar el carcter vectorial de una magnitud se recomienda utilizar caracteres itlicos en negrita (por ejemplo, H). Cuando se trata de una magnitud compleja se subraya el smbolo de la magnitud (por ejemplo,l).

Los sfmbolos de las unidades del SI deben escribirse en minsculas (por ejemplo, metro: m, segundo: s, etc.), salvo la primera letra cuando el nombre de la unidad derive de un nombre propio (por ejemplo, culombio: C, weber: Wb, etc.). Permanecen invariables en plural y deben escribirse sin punto final .

Tabla 1.2. Prefijos de mltiplos y submltiplos

MLTIPLO PREFIJO SiMBOLO 10'2 tera T 10 giga G 10 mega M 103 kilo k 102 hecto h 10 deca da

10.1 deci d 10.2 centi c 10" mili m 10" micro 1.1 10" nano n 10.12 pico p

FUNDAMENTOS 23

Tambin estn normalizados los prefijos que indican los mltiplos o submltiplos decimales de unidades, de acuerdo con lo indicado en la tabla 1.2. En Electrotecnia, los prefijos comprendidos entre 10-2 y 102 se utilizan poco.

Los smbolos de los prefijos deben escribirse en caracteres romanoS sin espacio entre el prefijo y el smbolo de la unidad (por ejemplo, kW). No se recomienda el uso de prefijos compuestos (por ejemplo, se escribir lA en lugar de mmA).

3. CONVENIOS PARA EL SENTIDO DE REFERENCIA DE LA CORRIENTE ELCTRICA

Se define como corriente elctrica por una seccin, al movimiento neto de cargas elctricas a travs de dicha seccin. La intensidad de la corriente elctrica, i, es el cociente entre la carga diferencial, dq, que atraviesa la seccin en un tiempo diferencial, di, y dicho tiempo:

dq di

[l.l]

Cuando no hay riesgo de confusin, en circuitos elctricos, se utiliza abreviadamente el trmino intensidad al referirse a la intensidad de la corriente elctrica. Tambin, al referirse a una corriente elctrica cuya intensidad es i se habla, de forma simplificada, de una corriente (elctrica) i.

La unidad de la intensidad de corriente elctrica es el amperio (A).

Con el fin de precisar de qu se est hablando al referirse a una corriente elctrica, se establecen unos convenios sobre el sentido de dicha corriente (norma UNE 21 336: Convenios relativos a los circuitos elctricos y mJJgnticos). En primer lugar, se entiende como sentido de una corriente el correspondiente al del movimiento de las cargas positivas. A continuacin, se define un sentido de referencia, de forma que si la corriente circula en ese sentido se considera positiva, y si circula en sentido contrario se considera negativa.

En la figura l.l se representan dos formas equivalentes de indicar el sentido de referencia de la corriente en un elemento de un circuito:

a) Mediante una flecha dibujada sobre el smbolo del elemento o de la lnea que representa dicho elemento en un esquema simplificado del circuito (figura 1.1 a).

b) Mediante una flecha dibujada junto al smbolo del elemento o de la lnea que representa dicho elemento en un esquema simplificado del circuito (figura 1. lb).

Se prefieren las notaciones dadas en la figura l.l a.


a a

'~ '1 a a 'j ~ 'j I b b b b

a) Figura 1.1

b)

Tambin puede utilizarse el smbolo literal de la corriente con un doble subndice, de forma que el sentido de referencia sea el correspondiente a desplazarse desde el punto indicado por el primer subndice hasta el punto indicado por el segundo. As, los casos expuestos en la figura 1.1 son equivalentes a referirse a una corriente abo

4. CONVENIOS PARA LA POLARIDAD DE REFERENCIA DE LA TENSIN

Se define la tensin entre dos puntos de un circuito a y b como la diferencia de potencial entre ellos:

Uab = va - Vb [1.2]

La polaridad de una tensin es la indicacin de cul de los dos puntos, a o b, est a mayor potencial (tiene un potencial positivo respecto del otro). Al igual que se utiliza un sentido de referencia para la corriente, se establece una polaridad de referencia para la tensin, de forma que, si una tensin tiene una polaridad coincidente con la de referencia, se considera positiva y, si tiene una polaridad opuesta a la de referencia, se considera negativa. La unidad de la tensin elctrica es el voltio (V).

La forma de indicar la polaridad de referencia de una tensin Uab puede hacerse, tal como se muestra en la figura 1.2, de las tres formas equivalentes siguientes:

a) Mediante la notacin de doble subndice, con el significado indicado por la ecuacin [1.2]. El smbolo literal se coloca junto a una lnea, recta o curva, dibujada entre los dos puntos cuya tensin se designa. Esta lnea puede omitirse si no hay ambigedad para entender de qu puntos se trata (figura 1.2a).

b) Con una lnea, recta o curva, entre los puntos a y b pero, en lugar del doble subndice en el smbolo literal, se sita un signo (+) en el extremo de la lnea correspondiente al primer punto indicado en el subndice. Si es necesario, para mayor claridad, se puede poner un signo (-) en el otro extremo de la lnea (figura 1.2b).

FUNDAMENTOS 25

e) Con una flecha, de trazo recto o curvo, dirigida del punto del primer subndice al del segundo (figura 1.2c).

a a a a a o 0+ 0+ o ~l" u U.b u U o o 0- o b b b b b

a) b) c) Figura 1.2

En el caso c) se ha representado tambin la forma de indicar la polaridad de referencia de la tensin en un elemento. De manera anloga puede hacerse en los casos a) y b).

En este texto se utilizarn preferentemente las notaciones dadas en la figura 1.2c.

5. LEYES DE KIRCHHOFF

Las leyes de Kirchhoff son los axiomas sobre los que se asienta la teora de circuitos.

5.1. Primera ley de Kirchhoff

La primera ley de Kirchhoff se puede enunciar, en una primera forma, como:

"La suma algebraica de las intensidades de las corrientes que circulan por el conjunto de todos los elementos concurrentes en un punto, consideradas como entrantes en ese punto, es, en todo momento, cero".

En el ejemplo mostrado en la figura 1.3 se obtiene, al aplicar la primera ley de Kirchhoff, la ecuacin siguiente:

[1.3]

i,

Figura 1.3


Se ha puesto signo menos a las intensidades de los elementos 2 y 3 ya que, al considerarlas entrantes al punto P, tienen un sentido contrario al de referencia. Es decir, se est hablando de las intensidades -i2 y -iJ.

Es muy importante resaltar el hecho de que la suma anterior es cero en cualquier instante, aunque de un instante a otro las intensidades puedan adoptar diferentes valores.

Una alternativa al enunciado anterior sera considerar las corrientes salientes del punto P. En este caso, la ecuacin que resulta es

[l.4]

que, como puede verse, es equivalente a la ecuacin [1.3].

Asimismo, se puede dividir el conjunto de todos los elementos concurrentes en el punto P en dos subconjuntos, A y B, Y enunciar la primera ley de Kirchhoff como:

"La suma algebraica de /as intensidades de las corrientes que circulan por uno de Js subconjuntos, consideradas como entrantes al punto P, es igual, en todo instante, a la suma algebraica de las intensidades de las corrientes que circulan por Js elementos del otro subconjunto, consideradas como salientes del punto P".

En el ejemplo de la figura 1.3, si se toman los elementos 1, 3 y 5 para el primer subconjunto y los elementos 2 y 4 para el segundo, se obtiene la ecuacin

[1.5]

que es equivalente a las ecuaciones [1.3] y [1.4] ya escritas.

Un caso interesante resulta cuando se deja un solo elemento en uno de los subconjuntos, ya que, entonces, en la ecuacin que se obtiene, queda despejada la intensidad en ese elemento en funcin de las restantes intensidades. Por ejemplo, si en uno de los subconjuntos se deja el elemento 1, se obtiene

[1.6]

La primera ley de Kirchhoff expresa que en un punto de unin (de elementos) la carga ni se crea ni se destruye, es decir, es la expresi6n del principio de conservaci6n de la carga.

Otra forma ms general de enunciar la primera ley de Kirchhoff, y que se designa a veces como la primera ley de Kirchhoff generalizada, es la siguiente:

"La suma algebraica de las intensidades de /as corrientes que circulan por el conjunto de todos Js elementos que alraviesan una superficie cerrada, consideradas cotrUJ entrantes a la supetficie, es, en todo instante, cero ".

FUNDAMENTOS 27

Para el caso representado en la figura 1.4 se obtiene la ecuacin siguiente:

[1.7)

Tambin aqu caben las dos alternativas, mencionadas anteriormente, de considerar las intensidades como salientes, en cuyo caso resulta

- il - i2 + i3 - i4 + i5 = O } 1.8)

o bien considerar dos subconjuntos, uno de intensidades entrantes y otro de inten~dades salientes, obtenindose, por ejemplo, si se deja en un subconjunto el elemento 1

[1.9)

Figura 1.4

Esta forma de la primera ley de Kirchhoff resulta de sumar las ecuaciones que se obtienen al aplicar dicha ley a todos los puntos de unin de elementos situados dentro (o fuera) de la superficie, y expresa que el principio de conservacin de la carga se cumple para el circuito formado por el subconjunto de elementos contenidos en cualquiera de los dos espacios delimitados por dicha superficie. Se supone que esta superficie corta a los elementos por sus conductores de unin y no por el propio elemento.

Esta forma generalizada facilita el estudio de algunos circuitos. Por ejemplo, en la figura 1.5 se representan dos circuitos encerrados en sendos recintos A y B, que se conectan mediante un conductor. La intensidad que circula por este conductor, aplicando la primera ley de Kirchhoff generalizada al recinto A, o al B, es i = O.

Figura 1.5

28 CIRCUITOS ELCTRICOS (I)

5.2. Segunda ley de KirchhotT

La segunda ley de Kirchhoff se puede enunciar de la fonna siguiente:

"lA suma algebraica de las tenswnes a /o /orgo de una lnea cerrada, contabiUwdas de acuerdo con un determinado sentido de circu/ocin, es, en \ 0 instante, cero ".

A ttulo de ejemplo, en el caso representado en la figura 1.6, supuesto un recorrido ABCDEA, se obtiene

Ao U B _ o

U5 ~ E O D~ --o U4

Figura 1.6

[1.10]

o C

La segunda ley de Kirchhoff simplemente expresa que si se desplaza una carga por puntos de diferente potencial para volver al punto de partida, la suma de las diferencias de potencial experimentadas ha de ser nula, al igual que, por ejemplo, si se tiene una masa situada en un punto y se la desplaza por puntos de diferente nivel para volver al punto de partida, la suma de los desniveles recorridos es nula.

Tanto en el caso de la masa como en el de la carga, la vuelta al punto inicial implica que la energa potencial de las mismas no ha variado. Por tanto, la segunda Ley de Kirchhoff expresa la conservacin de la energa.

Otra fonna de enunciar la segunda ley de Kirchhoff, equivalente a la anterior, es la siguiente:

"lA tensin entre dos puntos es /o misma independientemente del camino seguido para ir de un punto al otro ".

En la figura 1.6 la tensin entre los puntos B y D se puede escribir, siguiendo el trayecto BCD, como

USO =- U2 + U3 [1.11]

Si el trayecto seguido es el BAED, se obtiene

USD =-u) + Us - U4 [1.12]

FUNDAMENTOS 29

De las ecuaciones [1.11) y [1.12] se obtiene finalmente

[1.13)

que es equivalente a la ecuacin [1 .10). ~ Esta forma de aplicar la segunda ley de Kirchhoff permite escribir directamente una

tensin en funcin de otras que, con ella, correspondan a una lnea cerrada. Por ejemplo, la tensin entre los puntos B y C, - U2, se puede poner en funcin de las que corresponden al trayecto BAEDC

- U2 = - U +US- U4 -U3 [1.14]

6. PROBLEMAS FUNDAMENTALES EN LA TEORA DE CIRCUITOS

El estudio de los circuitos admite diferentes enfoques, segn los datos de partida y las incgnitas buscadas. Como todo sistema fsico, un circuito est sometido a unos estmulos o excitaciones, A., que hacen que se comporte de determinada manera. Este comportamiento se observa en determinadas variables que reciben el nombre de respuestas, Aro En la figura 1.7 se representa esquemticamente un circuito, indicando las excitaciones como entradas y las respuestas como salidas.

Circuito Elctrico Ar

Figura 1.7

Se pueden distinguir dos tipos de problemas: el anlisis y el diseo de circuitos.

El anlisis de un circuito consiste en obtener las respuestas conocidas las excitaciones yel circuito (tanto en su estructura como en los valores de sus parmetros).

La sntesis o el diseo de un circuito consiste en obtener el circuito que da lugar a unas determinadas respuestas ante unas determinadas excitaciones. La dificultad en este caso es mayor que en el anlisis. Puede ocurrir que haya varios circuitos que satisfagan las especificaciones impuestas o que no haya ninguno. Es muy importante la experiencia de la persona que realiza el diseo para orientar la bsqueda de la estructura del circuito, as como para dar una estimacin inicial de alguno de sus parmetros. En general, se sigue una tcnica iterativa, a base de sucesivos anlisis, hasta que se logra la aproximacin deseada al objetivo buscado.

En este volumen se exponen las tcnicas bsicas de anlisis de circuitos.


7. CLASES DE CIRCUITOS

En funcin del tipo de ecuaciones que caracterizan el comportamiento de los circuitos elctricos, stos pueden ser lineales O no lineales.

Se dice que un circuito es lineal cuando ante una combinacin lineal de excitaciones, kAe + k2Ae2 + ... + knAen, se obtiene una respuesta que es la misma combinacin lineal de las respuestas debidas a las correspondientes excitaciones, kAd + k2Ar2 + ... + knAm. En caso contrario el circuito es no lineal.

En este volumen se analizan circuitos lineales cuyos parmetros no dependen del tiempo.

FUNDAMENTOS 31

Problemas

PI.I En el circuito de la figura Pl.la. hallar la intensidad i3 a partir de las intensidades ;1 e ;2. cuya evolucin en el tiempo es la representada en la figura PI.I b.

[A,lV t O 1 [s]

;3 [A] h

t O [s]

a) -1 b)

Figura PI.l

P1.2 Obtener. si es posible. cada una de las intensidades i2. i4. is. i6 e is. a partir. exclusivamente. de las intensidades i l. i3. i7 e i9. para el circuito cuyo esquema simplificado se representa en la figura PI .2. Con las expresiones obtenidas para las intensidades i4. is. e i6 verificar que se cumple la relacin

/" i,

i. is

i, is '-~------~-

Figura Pl.2

P1.3 En el circuito representado en la figura P 1.2 las referencias de tensin tienen sentido coincidente con las de intensidad. Se pide:

a) Es posible elegir arbitrariamente los valores de las tensiones U2. U4. Us. us Y U9?

)

I l

32 CIRCUITOS ELCTRICOS (l)

b) Se pueden obtener las tensiones UI, U3, U7 Y U9, a partir, exclusivamente, de las tensiones U2, U4, us, U6 Y ug?

Pl.4 En el circuito de la figura Pl.4 se conocen las tensiones Siguientes~ UAF = 2 V, UBD = 3 V, UEC = l V, UFB = -2 V, UDE = 5 V. Determinar las tensiones UAC, UCB, UEF Y UBE.

1---- A I----B I---- C I----D

~--- E 1---- F

Figura PI.4

P1.5 En el circuito de la figura Pl.5 se conocen las intensidades siguientes: i2 = 2 A, i6 = 7 A, i7 = -4 A, i8 = 3 A. Hallar, a partir de ellas, los valores de las intensidades restantes.

i i,

A h i. B

i6 ;, i,

FiguraPl.5

RJNDAMENTOS 33

SolucioDes de los problemas

SP 1.1 Al aplicar la l' ley de Kirchhoff a! recinto cerrado se ti~

En la figura SP 1.1 se muestra la forma de obtener grficamente ;3 a partir de - ;1 e ;2, de acuerdo con la ecuacin anterior.

[A] -;1

o

[A]

o - 1

[A] ;3

o - 1

- 2

[s]

3 [s]

2 3 [s]

Figura SP 1.1

SP 1.2 En la figura SP 1.2 se muestra una serie de recintos cerrados: A, B, C, D y E, seleccionados de ta! forma que, en cada uno de ellos, hay un solo elemento, de los que atraviesan el contorno, cuya intensidad es desconocida.

Se han marcado con trazo ms grueso los elementos de intensidad desconocida. Las ecuaciones que resultan a! aplicar la primera ley de Kirchhoff a cada recinto cerrado, en las que se ha despejado la intensidad desconocida, son

Recinto A: Recinto B: Recinto C: Recinto D:

;4=;7 - ;9 ;2 = - ti - ;7 + ;9 i5 = - ji - i) - h + ;9 ;8= - ;1-;3+;9

34 CIRCUITOS ELCfRJCOS (1)

Recinto E:

i

B i2

i4 is

i, is D

A F

e

Figura SP 1.2

De las ecuaciones anteriores se puede escribir

Este resultado es previsible, ya que las tres intensidades: i4, is e i6, son las nicas que atraviesan el contorno cerrado F de la figura SP 1.2. Al aplicar a este contorno la primera ley de Kirchhoff, se deduce la relacin pedida.

SP 1.3 U U

-- ~

-- ~ o o o o

U4 l

U2

usl U)

U6 U4l u,

usl U)

U6l U, ug U, ug

o o o o o o ~ .---

::---'

U9 U9

a) b) Figura SP 1.3

a) Las tensiones U4, U2, us, u g Y U9 corresponden a una trayectoria cerrada, tal como puede verse en la figura SP 1.3a, donde las referencias de estas tensiones se han marcado con trazo ms grueso. Si se escribe para esta trayectoria la ecuacin correspondiente a la segunda ley de Kirchboff, se verifica la relacin

Esto significa que todas las tensiones anteriores no pueden tomar valores arbitrarios, ya que una cualquiera de ellas queda definida a partir de los valores de las restantes.

FUNDAMENTOS 35

b) En la figura SP 1.3b, se han marcado con trazo ms grueso las referencias de las tensiones conocidas. Puede comprobarse qUepara cualquier tensin desconocida hay un conjunto de tensiones conocidas que, con ella, corresponden a una trayectoria cerrada. Si se aplica a estas trayectorias cerradas la segunda ley de Kirchhoff se obtiene:

SP 1.4

Ul = U2 + U5 + ug - U6

l/3 = l/s + l/8 - l/6 U7 =- U4 + U2 + Us l/9 =- l/8 - l/S - l/2 + l/4

A

E

Figura SP 1.4

En la figura SP 1.4 se representa el circuito, en el que se han indicado con trazo ms grueso las referencias de las tensiones que son dato y, junto a ellas, su valor numrico. Si se aplica la segunda ley de Kirchhoff, se obtiene para las ensiones pedidas, cuyas referencias se representan con trazo fino.

l/AC = l/AF + l/FB + l/BO + l/DE + l/EC = 2 - 2 + 3 + 5 + l = 9 V l/CB = l/CE + l/EO + l/OB = - l - 5 - 3 = - 9 V l/EF = "EO + l/OB + "BF = - 5 - 3 + 2 = - 6 V l/BE = l/BO + lIOE = 3 + 5 = 8 V

SP 1.5 Mediante la aplicacin sucesiva de la primera ley de Kirchhoff se obtiene:

i1 =-i6 =-7 A i3= - i6- i7 = - 3A i4= i2-i7=6A i5 = - i2 - i8 = - 5 A

(

Captulo 2


1. Elementos ideales de los circuitos

2. Dipolos 2.1. Resi~tencia 2.2. Fuentes independientes

2.2.1. Fuente ideal de tensin 2.2.2. Fuente ideal de intensidad

2.3. Condensador 2.4. Bobina

3. Cuadripolos 3.1. Bobinas acopladas magnticamente 3.2. Transformador ideal 3.3. Fuentes dependientes 3.4. Amplificador operacional ideal

Problemas

Soluciones de los problemas

1. ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS

Cuando se estudia un circuito que corresponde a un sistema fsico real, se sustituyen sus componentes por ciertos elementos ideales, caracterizados por unas ecuaciones determinadas, con los que se intenta representar la realidad.

Es habitual agrupar los elementos ideales de los circuitos segn el nmero de terminales (un terminal es un punto de un circuito elctrico destinado a realizar una conexin). En el caso general, un circuito que tiene varios terminales recibe el nombre de multipolo.

2. DIPOLOS

El caso ms sencillo de multipolo, representado en la figura 2.1, corresponde a los elementos de dos terminales o dipolos. En un dipolo se cumple que la intensidad que entra en un instante dado por uno de los terminales sale por el otro. En general, cuando una pareja de terminales cumple con esta propiedad recibe el nombre de puerta.

1 '

Figura 2.1

2.1. Resistencia

Se puede definir, inicialmente, el elemento resistencia como aquel que verifica la ley de Ohm, es decir, que al circular a travs de l una corriente elctrica, i, aparece una tensin, u, con el mismo sentido y proporcional a ella:

40 CIRCUITOS ELCfRlCOS (1)

u = R.i [2.1]

R es una constante de proporcionalidad que se conoce, asimismo, con el nombre de resistencia y tiene como unidad el ohmio (smbolo: O).

Tambin se puede expresar la relacin entre u e i despejando la intensidad de la ecuacin [2.1] con lo que se tiene:

i = (l/R).u = e.u [2.2]

En este caso la constante de proporcionalidad e recibe el nombre de conductancia y tiene como unidad el siemens (smbolo: S).

Para representar el elemento resistencia en un esquema se utiliza el smbolo nonoalizado dado en la figura 2.2a (Nonoa UNE 60617- 4). El smbolo de la figura 2.2b ha quedado suprimido y se muestra aqu a ttulo infonoativo, ya que aparece frecuentemente en la bibliografa.

R R

l' a) b)

Figura 2.2

Es importante tener en cuenta que, de acuerdo con la ley de Ohm, las ecuaciones [2.1] y [2.2] tienen un signo ms (+) cuando las referencias de tensin e intensidad tienen sentidos coincidentes a travs del elemento, como en el caso mostrado en la figura 2.2, y signo menos (-) cuando las referencias tienen sentidos opuestos.

Cuando el valor de R es cero, la resistencia recibe el nombre de cortocircuito. En este caso la tensin u es cero independientemente de la corriente que circule a travs de la resistencia. El cortocircuito se representa mediante el smbolo indicado en la figura 2.3a, como un conductor ideal que enlaza los terminales 1-1'.

Cuando el valor de e es cero, la resistencia recibe el nombre de circuito abierto. En este caso la intensidad i es cero independientemente de la tensin que exista a travs de la resistencia. El circuito abierto se representa mediante el smbolo indicado en la figura 2.3b, como un conductor discontinuo entre 1 y l' que impide la circulacin de corriente por el mismo.

) ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS

;

u=~O R=O l'

a) Figura 2.3

;=0 1--

u~ G=O 1'0--

b)

4 1

De fonna ms general, se define una resistencia como un elemento de dos terminales tal que, en cualquier instante, t, su tensin e intensidad satisfacen una relacin de la fonna

f(u, ;) = O [2.3)

que puede representarse por una curva en el plano u-i. Tanto la funcin como la curva se denominan caracter(stica de la resistencia en el instante t.

Cuando la caracterstica es una lnea recta que pasa por el origen, como la definida por la ecuacin [2.1) o por la [2.2), la resistencia es lineal; en caso contrario, la resistencia es no lineal.

Si la caracterstica es la misma en cualquier instante t, la resistencia es invariable con el tiempo. Por el contrario, si la caracterstica depende del tiempo, la resistencia es variable con el tiempo. Una resistencia lineal y variable con el tiempo est definida por

u = R(t).i [2.4)

o bien por

i = G(t).u [2.5)

Cualquiera que sea el tipo de resistencia, es importante notar que se establece una relacin entre el valor instantneo de la tensin y el valor instantneo de la intensidad.

La resistencia definida por la ecuacin [2.1) es una resistencia lineal e invariable con el tiempo.

2.2. Fuentes independientes

2.2.1. Fuente ideal de tensin

Una fuente ideal independiente de tensin (nonnalmente, si no hay lugar a confusin, se le llama simplemente fuente de tensin) es un elemento de dos tenninales que establece la tensin que existe entre ellos, de acuerdo con una funcin temporal determinada, us(t),

42 CIRCmTOS ELCTRICOS (l)

independientemente del resto del circuito. La intensidad que circula a travs de la fuente de tensin depende del resto del circuito (y de la propia fuente) .

a) Figura 2.4

~-0u, I'~ b)

Para representar este elemento est normalizado el smbolo de la figura 2.4a, pero se utiliza poco. Ms extendido est el uso del smbolo de la figura 2.4b que es el que se adopta en este texto. La polaridad puede indicarse con dos signos, tal como se ha hecho en la figura o solo con el signo +. El terminal marcado con el signo + es el que se encuentra a mayor potencial cuando us(t) > O. Por tanto, de acuerdo con el concepto de referencia de tensin, se tiene para la figura 2.4b

u = Us [2.6]

Cuando la funcin temporal us(t) se reduce a una constante se dice que es una fuente de tensin continua. Un caso particular, ya mencionado, es el cortocircuito, en el que Us = O y, por tanto, se puede tratar como una resistencia nula o una fuente de tensin nula.

Ejemplo 2.1

Deducir la expresin de la tensin u en los dipolos representados en la figura 2.5.

U, I

:'-cp ""p ~ l' Us2

l' b) a)

Figura 2.5

Una conexin de elementos como la mostrada en la figura 2.5a se conoce como asociaci6n serie y tiene la propiedad de que todos los elementos, en este caso fuentes de tensin, estn recorridos por la misma intensidad. Aplicando la segunda ley de Kirchhoff se obtiene

u = Us I + Us2 [2.7]

ELEMENTOS IDEALES DE LOS CIRCUITOS 43

En general, se obtendr una suma algebraica, dependiendo los signos de los sumandos del sentido de las referencias de u, U, l Y Us2. En cualquier caso, el resultado de la ecuacin [2.7] es una funcin u que es independiente del resto del circuito. Es decir, se puede pensar en una fuente ideal de tensin equivalente, de valor us, en la que

Us = Us l + Us2 [2.8]

Una conexin de elementos como la mostrada en la figura 2.5b recibe el nombre de asociacin paralelo y tiene la propiedad de que todos los elementos, en este caso fuentes de tensin, estn sometidos a la misma tensin. El cumplimiento de la segunda ley de Kirchhoff obliga a que

u = - Ust = - Us2 [2.9]

De la ecuacin [2.9] se deduce que slo pueden conectarse en paralelo fuentes de tensin si todas ellas definen la misma tensin comn, u. Por ejemplo, no puede admitirse la conexin de un cortocircuito en paralelo con una fuente ideal de tensin, salvo que en sta u,(t) = O.

2.2.2. Fuente ideal de intensidad

Una fuente ideal independiente de intensidad (nonnalmente, si no hay lugar a confusin, se le llama simplemente fuente de intensidad) es un elemento de dos terminales que establece la intensidad que circula entre ellos, de acuerdo con una funcin temporal determinada, is(t), independientemente del resto del circuito. La tensin entre los terminales de la fuente de intensidad depende del resto del circuito (y de la propia fuente).

a) b) Figura 2.6

El smbolo nonnalizado para la fuente de intensidad independiente es el representado en la figura 2.6a. Ms extendido est el uso del smbolo de la figura 2.6b que es el que se adopta en este texto. El sentido indicado por la flecha es el de circulacin de la corriente a travs de la fuente cuando is(t) > O. Por tanto, de acuerdo con el concepto de referencia de intensidad, se tiene para la figura 2.6b

i = is [2.10]

Cuando la funcin temporal is(t) se reduce a una constante se dice que es una fuente de intensidad continua. Un caso particular, ya mencionado, es el circuito abierto, en el que


i, = O y, por tanto, se puede tratar como una conductancia nula o como una fuente de intensidad nula.

Ejemplo 2.2

Deducir la expresin de la intensidad i en los dipolos representados en la figura 2.7.

i

:~i~ I'~ a) b)

Figura 2.7

En el caso de la figura 2.7a se trata de una conexin en paralelo de dos fuentes de intensidad. Aplicando la primera ley de Kirchhoff se obtiene

i = si + 52 [2.11]

En general, se obtendr una suma algebraica, dependiendo los signos de los sumandos del sentido de las referencias de i, is1 e is2. En cualquier caso, el resultado de la ecuacin [2.11] es una funcin i que es independiente del resto del circuito. Es decir, se puede pensar en una fuente ideal de intensidad equivalente, de valor is, en la que

is = isl + 52 [2.12]

En el caso representado en la figura 2.7b, el cumplimiento de la primera ley de Kirchhoff obliga a que

= si = s2 [2.13]

Es decir, slo pueden conectarse en serie fuentes de intensidad si todas ellas defmen la misma intensidad comn, i. Por ejemplo, no puede admitirse la conexin en serie de un circuito abierto con una fuente ideal de intensidad, salvo que en sta i,(I) = O.

Ejemplo 2.3

Obtener las tensiones e intensidades en los elementos de los circuitos representados en las figuras 2.8 y 2.9.


Figura 2.8

En el circuito de la figura 2.8 se tiene la conexin en paralelo de una fuente ideal de tensin, dos resistencias y una fuente ideal de intensidad, con lo que la tensin en todos los elementos es la misma e igual a la de la fuente de tensin

Ul = u2 = U= Us

A partir de las tensiones se obtiene la intensidad en cada una de las resistencias

i = u,IR i2 = u,IR2

y, por ltimo, aplicando la primera ley de Kirchhoff se deduce la intensidad que circula por la fuente de tensin

Es importante observar que la tensin en cada uno de los elementos queda definida por la funcin u,(t), independientemente del resto del circuito. Esto implica que si se elimina (se sustituye por un circuito abierto) alguno de los elementos conectados en paralelo con la fuente de tensin, por ejemplo, R 1. el resto no nota el cambio (la intensidad en la resistencia R2 y la tensin en la fuente de intensidad son las mismas que antes). Sin embargo, la fuente de tensin se ve recorrida por distinta intensidad segn los elementos conectados en paralelo con ella.

En el circuito de la figura 2.9 se tiene la conexin en serie de una fuente de intensidad, dos resistencias y una fuente de tensin, con lo que la intensidad en todos los elementos es la misma, e igual a la de la fuente de intensidad

i,

-u u,

Figura 2.9

46 CIRCUlTOS ELCTRICOS (1)

Conocidas las intensidades se determinan las tensiones en las resistencias

u = R.is u2 = R2i,

y, finalmente, mediante la aplicacin de la segunda ley de Kirchhoff, se obtiene la tensin en la fuente de intensidad

En este circuito la intensidad que pasa por cada uno de los elementos queda definida por la funcin i,(I), independientemente del resto del circuito. Esto implica que si se elimina (se sustituye por un cortocircuito) alguno de los elementos conectados en serie con la fuente de intensidad, por ejemplo, R2. el resto no nota el cambio (la tensin en la resistencia R, y la intensidad en la fuente de tensin son las mismas que antes). Sin embargo, la fuente de intensidad est sometida a distinta tensin segn los elementos conectados en serie con ella.

Ejemplo 2.4

Hallar las intensidades i, e i3 y la tensin U2 en el circuito de la figura 2.10

u" = 6 V

. R,= 1 n 1,

Figura 2.\0

U,2 = 3 V

La fuente de tensin u,2, al estar en paralelo con la fuente de intensidad, define directamente la tensin en la misma. Se tiene U2 = -3 V.

Para determinar la intensidad i, basta aplicar la segunda ley de Kirchhoff a la lnea cerrada formada por la fuente de tensin u, , la resistencia y la fuente de intensidad. Se puede escribir:

- 6 + l.i, + U2 = O

Si se despeja i, y se sustituye U2 por su valor, se obtiene i, = 9 A.


La intensidad i3, que circula por la fuente de tensin u,2, se obtiene al aplicar la primera ley de Kirchhoff al punto donde concurren dicha fuente, la resistencia y la fuente de intensidad:

Al sustituir il por el valor obtenido recientemente resulta i3 = 11 A.

2.3. Condensador

Se define como un condensador a todo par de electrodos separados por un dielctrico. Si se considera que el dielctrico es un aislante perfecto, se tiene un condensador ideal.

En la figura 2.11 se representa el smbolo del condensador.

i

:~q I'~ Figura 2.11

En un condensador lineal se cumple la propiedad de que al aplicar una tensin, u, entre los electrodos, se acumulan en eUos cargas elctricas de distinto signo, pero del mismo valor absoluto, q, proporcional a dicha tensin u. Las cargas positivas se sitan en el electrodo que est a mayor potencial.

Independientemente de la polaridad de referencia de la tensin en el condensador, puede asociarse una referencia a la carga q, situando un signo + junto a uno de los electrodos del condensador para indicar que el valor de q es positivo cuando dicho electrodo es el que est a mayor potencial. Parece lgico elegir esta referencia de q de forma que se cumpla q > O cuando u > O, tal como se ha hecho en la figura 2.11, por lo que resulla

q= c'u [2.14]

donde e es una constante de proporcionalidad, que recibe el nombre de capacidad del condensador, siendo su unidad el faradio (smbolo: F).

Mientras no se advierIa lo contrario, se supone que la referencia de la carga est asociada a la de la tensin de la forma antedicha y se prescinde del signo + junto al electrodo (y del smbolo q).


En circuitos elclricos se maneja normalmente como variable la intensidad, en lugar de la carga. La relacin entre estas dos magnitudes se dio en la ecuacin [1.1), que se repite para las referencias de la figura 2.11

; = dq dt

[2.15)

de donde se obtiene para el valor de la carga en cualquier instante, supuesto que q(-oo) =0

q(t) = f!~


que es otra forma de la ecuacin de defmicin de un condensador lineal e invariable con el tiempo, para las referencias dadas en la figura 2.11.

Ejemplo 2.5

Verificar el signo de la ecuacin [2.18] para las referencias de la figura 2.11.

Sea un instante en el que u(t) > O, por ejemplo u = U,. Esto significa que el terminal I est a mayor potencial que l' y, por tanto, que el electrodo del condensador conectado al terminal I tiene una carga positiva q = Q, y el electrodo conectado al terminal l' una carga negativa de ese mismo valor. A continuacin, se supone que la tensin u(t) aumenta (du/dt > O), pasando a un valor U2, (U2 > U,). Dada la relacin de proporcionalidad expresada por la ecuacin [2.14] se tendr una nueva carga Q2 en los electrodos del condensador, siendo Q2 > Q,. Por tanto, ha habido un aporte de carga positiva hacia el condensador, desde el resto del circuito, a travs del terminal 1, y un aporte de carga negativa a travs del terminal l' (lo que es equivalente a una salida de carga positiva por este terminal). Es decir, es como si se hubiera producido una circulacin de corriente a travs del condensador, en el sentido de I al', esto es, i > O. Por consiguiente, para este caso, cuando duldt > O se tiene i > O, luego el signo de la ecuacin [2.18] es (+).

De forma ms general, se define un condensador como un elemento de dos terminales tal que, en cualquier instante, t, su carga y su tensin satisfacen una relacin de la forma

f(q, u) = O [2.19]

que puede representarse por una curva en el plano q-u. Tanto la funcin como la curva se denominan caracterstica del condensador en el instante t.

Anlogamente a lo dicho para la resistencia, segn sea la caracterstica f(q, u) y su dependencia del instante t se tienen diferentes tipos de condensadores: lineales o no lineales, variables o invariables con el tiempo. As un condensador cuya caracterstica sea una recta que pasa por el origen como la definida por la ecuacin [2.14] es un condensador lineal. Si e es constante a lo largo del tiempo se trata de un condensador lineal e invariable con el tiempo.

Cualquiera que sea el tipo de condensador, es importante notar que la ecuacin [2.19] establece una relacin entre el valor instantneo de la carga y el valor instantneo de la tensin.

La ecuacin [2.18] indica que en un condensador ideal lineal e invariable con el tiempo una discontinuidad en la tensin da lugar a una intensidad infinita. De forma ms general, para cualquier tipo de condensador, la ecuacin [2.15] indica que una discontinuidad en la carga elctrica da lugar a una intensidad infinita. En la realidad las tensiones o intensidades de un circuito no puedan adoptar valores infinitos y, por tanto, en


los condensadores reales la carga elctrica es una funcin continua del tiempo. Tambin lo es la tensin, cuando estos condensadores son lineales e invariables con el tiempo.

Ejemplo 2.6

Escribir las ecuaciones correspondientes a las [2.15] y [2.16] para un condensador con las referencias de la figura 2.12.

a) b) Figura 2.12

a) La relacin entre intensidad y carga es

de donde

. dq l;--

dt

q(t) = -i(r)]dr = f :J-i(r)]dr +

= q(to) + f l [- i(r)]dr lO

b) La relacin entre intensidad y carga es

de donde

Ejemplo 2.7

i= dq dt

q(t) = f li(r) dr = q(to) + f li(r) dr - IX) lO

fl [- i(r)]dr = lO

Escribir las ecuaciones correspondientes a las [2.14], [2.17] Y [2.18] para el condensador de la figura 2.12, supuesto que es lineal e invariable con el tiempo.

a) q = - c'u

y, a partir de los resultados del ejemplo 2.6 se tiene


b)

i=_ dq =C du di di

-Cu(t) = -C-u(to) + r ' [-i(r)]dr J.o I l' u(t) = u(to) + - i( r) dr C 'o

q =- c'u

y, a partir de los resultados del ejemplo 2.6, se tiene

i = dq = _C du di di

-Cu(t) = -C'U(lo) + r 'i(r)dr J,o u(l) = u(to) + ~ r ' [-i(r)]dr

C J,o

51

Como se ha indicado, la referencia habitual para la carga es la contraria a la indicada en la figura 2.12, en cuyo caso no se indica el signo + junto al electrodo correspondiente. Comprubese que si se toma esta referencia acorde con la de tensin, solo cambia el signo de las ecuaciones donde aparece la carga de forma explcita. Como es lgico, el signo de las ecuaciones que relacionan la tensin con la intensidad no depende de la referencia de la carga.

Ejemplo 2.8

Hallar la forma de onda de u(t) en el condensador de la figura 2. 13, a partir de la forma de onda de (t) que se muestra en ella, con la condicin u(Q) = Q V.

[A] i(l) 2

o

- 1

2: , , , ,

3: [s] , , , ,

Figura 2.13

i

lt1 -uU C - 2F

52 CIRCUJ.TOS ELCfRICOS (1)

La funcin i(t) es discontinua a tramos por lo que el estudio se va a hacer por separado en cada uno de ellos.

Intervalo (0. 1): i(t) = 2t A.

Mediante la ecuacin [2.17], teniendo en cuenta las referencias de tensin e intensidad, se puede escribir

I J' I JO I l' I l' u(l)=-- i(r)dr=-- i(r)dT--. i(r)dr=u(O)-- i(r)dr e -00 e -00 e o e o

y, sustituyendo valores, se tiene

Al final del intervalo la tensin en el condensador es u(l) = -0,5 V. Este resultado se obtiene, tambin, calculando el rea encerrada por la funcin i(t) en el intervalo (O, 1) Y multiplicndola, en este caso, por - l/e = - l/2.

Intervalo (1.2): i(t) = O A.

Ahora se tiene

I l' I 1 l' 1 u(l) = u(I)- - i(r)dr =- --- Odr = -- V. 2 1 2 2 1 2

Es decir, la tensin permanece constante en todo el intervalo. Este resultado era de esperar ya que el condensador, al ser nula la intensidad, mantiene su carga y, por tanto, la tensin.

Intervalo (2,3): i(t) = - 1 A

En este caso se puede escribir

Para t = 3 s, u(3) = -3/2 + 3/2 = O V.

En la figura 2.14 se representa grficamente el resultado obtenido para u(t).


(V] u(t) t

o 1.5 2 3 [s] -0.2

-0.4

-0.6

Figura 2.14

1.4. Bobina

Cuando se habla de una bobina surge inmediatamente la imagen de un conductor IIJOllado en forma de hlice, tal como se muestra en la figura 2.15. La circulacin de cauiente por el conductor da lugar a un campo magntico cuyo flujo es recogido por la propia bobina.

El flujo magntico concatenado por una bobina de N espiras, A, conocido tambin como enlaces de flujo, se puede poner en funcin del flujo medio recogido por cada espira, cP, como

). = N.t/J

i 1 o ..

Figura 2.15

En la figura 2.16 se representa el smbolo de la bobina.

l' 0-----' t/J > O,i > O

Figura 2.16

[2.20]

54 CIRCillTOS ELCTRICOS (1)

Para dar referencia al flujo se fija un sentido arbitrario a una lnea de campo magntico y se conviene que el flujo creado por lneas de campo con ese sentido sea positivo (o negativo). As se hace en la bobina representada espacialmente en la figura 2.15 .. Otra posibilidad, ms cmoda de utilizar en la prctica, consiste en dar la referencia al flujo apoyndose en la intensidad de la bobina, diciendo, por ejemplo, para el caso de la figura 2.16, se considerar tP> O, cuando i > O.

En el caso de una bobina lineal los enlaces de flujo son proporcionales a la intensidad que los ha creado. Para las referencias de la figura 2.16 se tiene

[2.21]

donde L recibe el nombre de coeficiente de auto induccin (o inductancia) de la bobina, siendo su unidad el henrio (smbolo: H).

En circuitos elctricos se maneja normalmente como variable la tensin, en lugar de los enlaces de flujo. La relacin entre estas dos magnitudes viene dada por la ley de Faraday, que para las referencias de la figura 2.15, se escribe

dA u =-

dI [2.22]

de donde se obtiene para el valor de los enlaces de flujo en cualquier instante, supuesto que A(-oo)=O

A(t) = L~( r )dr = L~( r )dr + =A.(to) + tu(r)dr JIO

tu(r)dr = Jlo [2.23]

La ecuacin [2.23] indica que los enlaces de flujo en un instante 1, A (/), son iguales a los enlaces de flujo en un instante anterior lo, A (lo) , ms la integral de la tensin entre lo Y l.

Si se excluye la posibilidad de que la tensin adquiera valor infinito, los enlaces de flujo son una funci6n continua del tiempo.

Para una bobina lineal, cuya inductancia no dependa del tiempo, al sustituir [2.21] en [2.23] se tiene

1 Slo l J' i(t) = - u(r)dr + - u(r)dr L - 00 L lO

. 1 JI = i(to) + - u(r)dr

L 'o

[2.24]


que es la ecuacin de definicin de una bobina lineal e invariable con el tiempo, para las referencias dadas en la figura 2.16, y en donde se pone de manifiesto que, si se excluyela posibilidad de que la tensin adquiera valor infinito, la intensU/ad en una bobina lineal e invariable con el tiempo es una funcin continua del tiempo.

Ntese que los enlaces de flujo son una funcin continua del tiempo an cuando la bobina no sea lineal.

Al sustituir [2.21] en [2.22] se tiene

di u=L -

dt [2.25]

que es otra forma de la ecuacin de definicin de una bobina lineal e invariable con el tiempo, para las referencias dadas en la figura 2.16.

Ejemplo 2.9

Comprobar el signo de las ecuaciones [2.22] y [2.25] para la bobina de la figura 2.16.

Sea un instante en el que i > O Y di/dI> O. Hay, por tanto, una circulacin de corriente desde I a 1', a travs de la bobina, con tendencia a crecer de valor. Si se considera como referencia para el flujo que $ > O cuando i > O, en ese instante se tiene $ > O Y d O. La variacin del flujo hace que se induzca en la bobina una tensin que, segn la ley de Lenz, intentar oponerse a la causa que la ha creado. Como la causa ltima es el crecimiento de la intensidad que circula de I al', la bobina reaccionar haciendo que el punto I se ponga a mayor potencial que 1', para que esta barrera de potencial intente frenar el crecimiento de i. Es decir, para las referencias de la figura 2.16, se tiene u > O y el signo de ambas ecuaciones, [2.22] y [2.25] , es (+).

De este ejemplo se deduce, como regla prctica, que el terminal de una bobina por el que entra la corriente con tendencia a crecer es el que est a mayor potencial.

Tambin se puede afirmar que si los sentidos de las referencias de tensin e intensidad son coincidentes, a travs de la bobina, el signo de la ecuacin [2.25] es (+).

Es interesante observar que, segn la referencia adoptada para $, puede haber un signo u otro en la ecuacin [2.21] . Signo (+) si $ > O para i > O, y viceversa. Asimismo esta .ecuacin, con su signo, permite pasar de una a otra de las ecuaciones [2.22] y [2.25].

De forma ms general, se define una bobina como un elemento de dos terminales tal que, en cualquier instante, 1, se establece una relacin funcional entre el flujo magntico concatenado por ella,.


que puede representarse por una curva en el plano A-i. Tanto la funcin como la curva se denominan caracter{stica de la bobina en el instante t.

Alogarnente a lo dicho para la resistencia y para el condensador, segn sea la caractestica f(J.., i) Y su dependencia del instante t se tienen diferentes tipos de bobinas: lineales o no lineales, variables o invariables con el tiempo. As, una bobina cuya caractestica sea una recta que pasa por el origen como la definida por la ecuacin [2.21] es una bobina lineal. Si L es constante a lo largo del tiempo, se trata de una bobina lineal e invariable con el tiempo.

En la prctica es frecuente tener que estudiar circuitos en los cuales las bobinas estn arrolladas sobre un ncleo de material ferromagntico, con lo que la funcin caractestica de la bobina no es lineal. En estos casos no se puede aplicar la ecuacin [2.25], debiendo utilizarse la ecuacin [2.22] junto con la ecuacin caractestica [2.26] correspondiente.

La ecuacin [2.25] indica que en una bobina ideal lineal e invariable con el tiempo una discontinuidad en la intensidad da lugar a una tensin infinita. De forma ms general, para cualquier tipo de bobina, la ecuacin [2.22] indica que una discontinuidad en los enlaces de flujo da lugar a una tensin infinita. Como ya se ha dicho, en la realidad las tensiones o intensidades de un circuito no puedan adoptar valores infinitos y, por tanto, en una bobina real los enlaces de flujo son una funcin continua del tiempo y, tambin lo es la intensidad, cuando esta bobina es lineal e invariable con el tiempo.

Ejemplo 2.10

Para las bobinas de la figura 2.17 dibujar el esquema equivalente sin mostrar el sentido del arrollamiento, asociando la referencia de flujo a la de intensidad, y escribir las ecuaciones correspondientes a las [2.22) y [2.23) para las referencias dadas.

i lo ..

a) Figura 2. 17

El esquema equivalente es el de la figura 2.18

100---

b)


1'0---'

58

dA. di u= --=L-

di di

b) A.=-L.i

y, a partir de los resultados del ejemplo 2.1 Ob, se tiene

3. CUADRIPOLOS

- Li(t) = - Li(to) + flu( r )dr Jlo i(t) = i(to) + .!.. fl [-u(r)]dr

L Jlo dA. di

u=-=-L-di di

CIRCillTOS ELCTRICOS (1)

Reciben este nombre aquellos circuitos que tienen cuatro terminales. Es muy frecuente que los terminales puedan agruparse en dos puertas, 1-1' y 2-2', como en el caso representado en la figura 2.19, con lo que el cuadripolo recibe el nombre de bipuerta. En general, si no se dice lo contrario, cuando se hable de un cuadripolo se entender que se trata de un cuadripolo bipuerta.

l' 2'

Figura 2.19

3.1. Bobinas acopladas magnticamente

Cuando el comportamiento de una bobina se ve afectado por el campo magntico creado por otra, se dice que ambas estn acopladas magnticamente. Aunque, a continuacin, solo se va a tratar este tipo de acoplamiento, puede haber otros tipos de influencias mutuas, por ejemplo a travs del campo elctrico (acoplamiento capacitivo), o por alguna conexin elctrica entre ellas (acoplamiento galvnico).

En la figura 2.20 se muestra una pareja de bobinas acopladas magnticamente. Se supone que los flujos indicados atraviesan todas las espiras de la bobina correspondiente (flujo medio por espira).


Cuando circula por la bobina l (de terminales 1-1 ') una corriente elctrica, se crea en ella un campo magntico que da lugar a un flujo en la propia bobina,


(1) = (1) 11 + (1) 2 [2.32] (1)2= (1)22 + (1)2 [2.33]

o bien,

(1) = (1), + (1)m [2.34] (1)2= (1)'2 + (1)m [2.35]

Si se supone que el campo magntico se establece en un medio lineal, se puede plantear una relacin de proporcionalidad entre los flujos y las intensidades que los han creado. El signo en estas relaciones depende de las referencias adoptadas. En el caso de la figura 2.20 se verifica que (1) > O, cuando i < O, o i2 > O, con lo que se obtiene:

N.(1)ll = -L.i N2(1)2 = - M2.i N.(1), = -S.i N2 (1)22 = L2.i2 N (1)2 = M2.i2 N2(1),2 = S2.i2

[2.36] [2.37] [2.38] [2.39] [2.40] [2.41]

En estas ecuaciones se introducen los coeficientes de dispersin de las bobinas, S y S 2, y los coeficientes de induccin mutua, M2 y M2, junto con los coeficientes de autoinduccin. Todos ellos tienen como unidad el henrio. En un medio magntico lineal se verifica, adems, que M2 = M 2, por lo que se sustituyen ambos por un nico smbolo: M .

En la prctica se emplea una representacin plana para las bobinas. Para evitar una prdida de informacin, disponible en la representacin espacial de stas, se introduce el concepto de terminales correspondientes. Se dice que dos terminales, uno por cada bobina, de una pareja de bobinas acopladas magnticamente son correspondientes, cuando al entrar (o salir) simultneamente la corriente por cada uno de ellos se crean lneas de campo magntico comn con el mismo sentido. Por ejemplo, en las bobinas representadas en la figura 2.20 son terminales correspondientes el I y el 2 (o el l' Y el 2'). Obsrvese que los terminales correspondientes son independientes de las referencias adoptadas para las intensidades de las bobinas.

il iz I 2

". " l' 2'

(1) > O. i,


En la figura 2.21 se hace una representacin plana de las bobinas mostradas en la figura 2.20, en la que se han marcado con un punto los terminales correspondientes y, a la vez, se indica la referencia de los flujos a travs de la intensidad i. Mediante los terminales correspondientes indicados puede comprobarse que t!J > O cuando i2 > O. Tambin se han aadido las referencias de las tensiones de las bobinas.

Para establecer los signos adecuados en las ecuaciones que relacionan tensin con enlaces de flujo en cada bobina, es vlido todo lo que se dijo respecto a la ecuacin [2.22] , ya que sta es general, independientemente del origen de dichos enlaces. As, como la relacin de U con i vendra afectada de signo (+) y se ha supuesto que t!J< O cuando i > O se tiene

[2.42]

Anlogamente, como la relacin de U2 con i2 vendra afectada de signo (-) y se ha supuesto que t!J> O cuando i2 > O se tiene

Sustituyendo en las ecuaciones [2.42] y [2.43] las [2.32] y [2.33] se obtiene

U = - N.dt!J /dt -N.dt!J 2/dt U2 = - N2.dt!J2 /dt - N2 .dt!Jnldt

[2.43]

[2 .44] [2.45]

Y si se ponen los flujos en funcin de las intensidades, mediante las ecuaciones [2.36] a [2.41] , el resultado, para el caso de bobinas lineales, es:

U = L.di /dt - M.di2/dt U2 = M.di /dt - L2.di2/dt

[2.46] [2.47]

Las ecuaciones [2.46] y [2.47] se pueden obtener directamente, atendiendo tan slo, como es lgico, a las referencias de las tensiones e intensidades. Para ello se interpreta cada uno de los sumandos de dichas ecuaciones como la contribucin de cada una de las intensidades a cada una de las tensiones.

Por ejemplo, el trmino en L se puede interpretar como la parte de la tensin U debida a la circulacin de i , suponiendo que no circula corriente por la bobina 2. Es decir, es como si para la bobina l no existiera la bobina 2 y, por tanto, el signo es el que se pondra para la ecuacin de la bobina 1: U = L.di /dt. Un razonamiento anlogo en la bobina 2 justifica el signo del trmino en L2.

Los trminos en M definen la relacin entre la tensin en una bobina y la intensidad que circula por la otra. Por ejemplo, en la ecuacin [2.46] el trmino en M es la parte de la tensin de la bobina l debida a la circulacin de corriente en la bobina 2. Para razonar el signo se imagina, a travs del concepto de terminales correspondientes, una corriente

62 CIRCillTOS ELCTRICOS (1)

(ficticia) en la bobina 1 que de lugar al mismo efecto en dicha bobina que la corriente que, de hecho, circula por la bobina 2. Se observa que la referencia de 2 es saliente del terminal 2. La relacin entre U y una intensidad ficticia que saliese del terminal 1, correspondiente del 2, llevara el signo menos, luego el trmino M.diz/dt tiene un signo (-)

U = - M.diz/dt [2.48]

De manera anloga se deduce el signo del trmino en M de la ecuacin de Uz.

Ejemplo 2.12

Escribir las ecuaciones que relacionan las tensiones y las intensidades de las bobinas acopladas de la figura 2.22.

i i2 i 2 l 2 l 2

U ! 1 U2 U U2

l' 2' l' 2' a) b)

Figura 2.22

Para escribir el signo de los diferentes trminos de las ecuaciones, para el caso de la figura 2.22a, se puede seguir el procedimiento indicado anteriormente: As, los trminos en L llevan un signo (+), al ser coincidentes los sentidos de las referencias de tensin e intensidad en ambas bobinas. Para el trmino M.diz/dt se observa que la referencia de iz es saliente del terminal 2. La relacin entre U y una intensidad ficticia que saliese del terminal 1, correspondiente del 2, llevara el signo menos, luego el trmino M.diz/dt tiene un signo (-).

CIRCUITOS ELÉCTRICOS. VOL. I

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