Circuitos RL y RC.

Curso 2006/07. 2º de I. T. Industrial, esp. Electrónica1

Tema 2 El Circuito Transitorio de Primer Orden.

1.- Introducción.

2.- Circuitos RC y RL sin fuentes. Respuesta natural de un circuito.

3.- Respuesta al escalón. Respuestas forzada y completa.

4.- Respuesta completa para excitaciones de tipo senoidal.

5.- Análisis de circuitos de primer orden.


1.- Introducción.

• Al cambiar la topología de un circuito con elementos almacenadores de energía, evoluciona de un régimen permanente (o estacionario) a otro. El periodo de tiempo intermedio es el régimen transitorio.

• Se distinguen dos términos en la respuesta completa:

• Respuesta natural: tensión (o intensidad) debida a la energía almacenada en las bobinas y/o condensadores del circuito.

• Respuesta forzada: tensión (o intensidad) debida a las fuentes conectadas al circuito (respuesta en régimen permanente o estacionario)

• Para resolver el circuito en el dominio del tiempo, hay que plantear las LKI ó LKT, resultando ecuaciones diferenciales.

• Se resolverán la primera vez y se aprenderá a plantear la solución directamente a partir de valores del circuito en cuestión.



• Resulta:

Circuito RL:

Se calcula i(t) a partir de la energíainicial almacenada en la bobina, i(0) = I0.

( )LRteItiso

tLRIi

/0

0

)(

0 lnln

−=

−−=−

⇒⇒⇒⇒

∫∫ ′−=′′

−=

=+

+=+

tti

t

tdLR

iid

dtLR

idi

iLR

dtdi

dtdiLRivRi

0

)(

L

0

0

=i 0

i(0)

Respuesta natural



• La descarga de la energía almacenada inicialmente en la bobina es según una exponencial.

τ = L / R

τ- teIti /0)( =

Respuesta natural

Constante de tiempo



Circuito RC:

El análisis es análogo. Se calculav(t) a partir de la energía inicialalmacenada en el condensador, v(0) = V0.

óR CteVtv /

0)( −=

τ = R C

teVtv /0)( −= τ



• Ejercicio: La figura representa un circuito conmutador electrónico. Antes de t=0, el interruptor lleva mucho tiempo en la posición A. En t=0, pasa a la posición B. Calcular v(t) e I(t), tomando el elemento X como un condensador de 5µF.



• Función escalón unitario, u(t) • Escalón en t=t0, u(t-t0)

• Equivalencia entre conexión con interruptores y función escalón.

Red

generalRed

general


Resulta:

Respuesta forzada



• Si hay fuentes en el circuito, i(t) evolucionará desde un valor inicial, i(0+), hasta uno final, i(∞∞∞∞).

• Respuesta completa = respuesta natural + respuesta forzada

Respuesta forzada (por la fuente) para t >3ττττ

• Condiciones iniciales:

• Respuesta completa:


( ) ( ) ( ) τ/0 teiiiti −∞−+∞= +

i en reg. perm. previo

i en reg. perm. final

Cte. de tiempo


• Cálculo de la respuesta completa i(t) en el circuito de la figura.

( )

( ) ( ) 2/502550

25,1

3RL

τ

50,250

eq

eq

teti

ii

−−+=⇒

===

=∞=+

( ) ( ) ( ) τ/0 teiiiti −∞−+∞= +

• Se calcula i(0+) e i(∞) de los regímenes permanente inicial y final. Para calcular la constante de tiempo, se obtiene Req del circuito pasivo.

• Solución propuesta:



• Ejercicio: calcular i(t) y vC(t) en el circuito RC de la figura a.

Se calculai(0+) =i(0-) y vC(0+)=vC(0-)

Se calculai(∞∞∞∞ ) y v(∞∞∞∞ )

Se anula la fuente y se calcula Req en los extremos de C, (ττττ=ReqCeq)



• Respuestas transitorias conmutadas en secuencia.

• Circuito en 0s<t<1s.

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( )

( ) V73,91

V1212

06,0/

/

−=⇒

+−=

∞−+∞=−

−+

v

etv

evvvtvt

t τ



• Circuito en t>1s.

• Formas de onda:

v(t)i(t) Análogamente

[ ]

( ) V73,2112)(

ten t circuitodelpermanenteregimennuevodel)(

anteriorsituacionlade))

)()()(

4,0/1

/)(

0

00

−−

−−

−=⇒

>∞

=

∞−+∞=−+

+

t

tt

etv

vv(tv(t

evtvvv(t)

00

τ

τ



• La función pulso: dos escalones consecutivos.

ττττ = t0/2ττττ = 2t0.



• La función impulso.

• Generación instantánea de condiciones iniciales.

f (t)

1/∆t

∆t t t

( )

( ) 11

1lim

0

0

∫∫∆∞

∞−

→∆

=∆

=

∆=

t

t

dtt

dtt

tt

δ

δδ (t)

A δ (t) R C

+

vC(t)

-

• En t=0-, el condensador está descargado, vC (0-)=0.

• En 0<t<∆t, C ofrece un camino de resistencia casinula, y la intensidad de la fuente puede considerarseque va toda por C. Así, C se carga a int. constante,

( )

A)0(C)0(CA)0(

CAA

C1)(

0

=⋅=⇒=

==∆

+++

∆

∫

CCC

t

C

vqv

dtttv δ



4.- Respuesta completa para excitaciones de tiposenoidal.• Ejemplo: respuesta transitoria en una señal de radio de AM

• Se tiene un circuito con fuente alterna conmutada.

( )015cos212

015cos26

>=

<=

tt

tttvS

• Se calcula i(0+)=i(0-), suponiendo régimen previo estacionario. El sistema evoluciona de una ii(t) inicial a if(t) final.

( )

( )

sRL

ttij

I

ittij

I

ff

ii

261

3015cos24,0)(,304,01526

12

245,0)0(,3015cos22,0)(,302,01526

6

==

−=−=+

=

=−=−=+

=

τ


4.- Respuesta completa para excitaciones de tiposenoidal.

• Resulta:

√2

√2

√2

√2

Análogamente, o derivando la intensidad



• Reparto de carga en las bobinas

0)0(,)0( 2 == +− iIi1

Se aplica la ecuación de conservación del flujo magnético

∑∑−− ==

=00 t

iit

ii iLiL

)0()()0()0( 212211+−− +=+ iLLiLiL

ILL

LiLL

Li21

1

21

1 )0()0(+

=+

= −+

L2I

t = 0

L1

L2I L1 L2I L1

i(0+)



• Reparto de carga en los condensadores

0)0(,)0( 2 == +− vVv1

Aquí se aplica la ecuación de conservación de la carga eléctrica

∑∑−− ==

=00 t

iit

ii vCvC

)0()()0()0( 212211+−− +=+ vCCvCvC

VCC

CvCC

Cv21

1

21

1 )0()0(+

=+

= −+

C2V

t = 0

C1



1.- Una batería de 60 V y resistencia interna 1,6 Ω está conectada a un condensador de 0,1 F, encontrándose todo en régimen permanente. Por error, un alumno conecta entre los bornes de la fuente un amperímetro de resistencia interna 0,4 Ω, creyendo que era un voltímetro. El amperímetro dispone de un fusible de protección que se funde cuando la intensidad que lo atraviesa es superior a 100 A durante 25 ms. No obstante el amperímetro se puede dañar si la potencia disipada en su interior es superior a 500 W en cualquierinstante de tiempo. Determinar si, como consecuencia de la negligencia del alumno, habrá que comprar un amperímetro o solo un fusible.



4.- En el circuito de la figura 3, el interruptor k pasa de la posición A a la B en t=0. A partir de ese instante la intensidad en la bobina vale:

Determinar el valor de R, sabiendo que el amplificador trabaja en la regiónlineal.

tL ei −⋅= 5


5.- Al circuito de la figura 4 se le aplica una tensión tipo impulso δ(t), generadorade condiciones iniciales. Determinar la tensión vo(t) para t>0. Considérense losamplificadores operacionales ideales y trabajando en la región lineal.


7.- En el circuito de la figura 6, determinar la tensión vo(t) para t>0. Considerarel amplificador operacional ideal trabajando en la región lineal.

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