CIRCUNFERENCIA:

La palabra circunferencia proviene del latín circunferencia, que significa periferia.

La circunferencia es una curva plana cerrada formada por todos los puntos del

plano que equidistan de un punto interior, llamado centro de la circunferencia. Esta

distancia común se llama radio.

La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unitaria.

Una circunferencia sólo posee longitud.

LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA La longitud de la circunferencia es igual al producto de su diámetro por el número π.

Como resulta:

1. Calcula: a) La longitud de las siguientes circunferencias.

b) El diámetro de una circunferencia de 12,56 m de longitud. c) El diámetro de una circunferencia de 47,1 cm de longitud. d) El radio de una circunferencia de 69,08 cm de longitud.

2. Calcula: a) El diámetro que tienen las ruedas de un coche si al dar 20 vueltas el coche avanza 37,68 m. b) El número de vueltas que dan las ruedas cuando el coche avanza 47,1 m.

3. Diez bomberos sujetan por el borde una lona circular. Cada bombero abarca 1,57 m del borde de la lona. ¿Cuánto mide el radio de dicha lona?

4. Sandra y David están jugando con sus yo-yos. Los dos yo-yos tienen la cuerda igual, de 75,36 cm de longitud, pero el centro del yo-yo de Sandra tiene 2 cm de diámetro y el de David tiene 3 cm. Calcula cuántas vueltas dan el yo-yo de Sandra y el de David con esta longitud de cuerda.

CÍRCULO:

Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.

El círculo es la figura plana delimitada por la circunferencia; por lo que a los efectos geométricos equivale a un polígono regular con infinitos lados.

Un círculo contiene infinitas circunferencias, siendo la más característica aquella que lo delimita, la circunferencia de radio máximo

DIFERENCIA ENTRE CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

La circunferencia es una línea curva cerrada y plana en la que todos sus puntos están a igual distancia del centro, mientras que el círculo es la parte del plano limitada por la circunferencia.

El círculo es una superficie, por lo cual podemos calcular su área, la circunferencia es una línea a la cual podemos calcular la longitud.

La circunferencia (línea curva), es el perímetro del círculo, mientras que el círculo es la superficie que describe la circunferencia.

CÍRCULO

CIRCUNFERENCIA

EL CÍRCULO COMPARTE CON LA CIRCUNFERENCIA QUE LO DELIMITA LOS SIGUIENTES ELEMENTOS:

Centro del círculo, que corresponde también al centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta. Radio: es el segmento que une el centro y un punto de la circunferencia perimetral. Es el equivalente al radio de los polígonos regulares, y

también a la apotema.

Diámetro: es el mayor segmento inscrito; pasa por el centro y divide al círculo dos semicírculos; es la mayor de las cuerdas de la circunferencia perimetral. Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.

Arco: es un trozo de circunferencia.

Sector circular: Un sector circular es la parte del círculo limitada por

dos radios y su arco correspondiente.

Segmento circular: Es la superficie limitada por un arco y su cuerda.

POSICIONES RELATIVAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS Y RECTAS: Si se tienen una circunferencia y una recta en un mismo plano, pueden ocurrir tres casos:

1. Que la recta no tenga ningún punto común con la circunferencia, en este caso se dice que la recta es exterior a la circunferencia. 2. Que la recta corte la circunferencia en dos puntos, en este caso se dice que la recta es secante.

3. Que la recta corte la circunferencia en un solo punto, en este caso se dice que la recta es tangente. La recta tangente

es perpendicular al radio cuyo extremo es el punto de

tangencia.

Cuerda

a) b) c)

ÁNGULOS EN UNA CIRCUNFERENCIA

Ángulo Central: Es un ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia. Su medida es igual a la del arco que abarca.

Arco =

Ángulo inscrito: Es un ángulo que tiene un vértice sobre la circunferencia y sus lados son secantes o cuerdas. Su medida es igual a la mitad del arco

que abarca.

Ángulo semiinscrito: Es un ángulo cuyo vértice está sobre ésta, uno de sus lados es secante y el otro es tangente. Su medida es igual a la mitad del

arco que abarca.

Ángulo interior: Es aquel que tiene el vértice en el interior de la circunferencia. Su medida es igual a la semisuma de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

Ángulo exterior: Su vértice esta fuera de la circunferencia. Con respecto a un ángulo exterior puede |pasar que:

a) Los lados sean secantes a la circunferencia.

b) Los lados sean tangentes a la circunferencia (ángulo circunscrito)

c) Un lado sea secante y el otro tangente.

Ejercicio

Determina el valor de cada ángulo.

Ejemplos:

POLÍGONOS INSCRITOS

Se dice que un polígono está inscrito en un círculo, cuando todos los vértices coinciden con puntos de su circunferencia y todos sus lados están incluidos dentro del círculo que ésta define.

Todo polígono regular se puede inscribir en una circunferencia.

El centro de un polígono regular inscrito es el centro de la circunferencia circunscrita en él.

El radio del polígono regular inscrito es el radio de la circunferencia circunscrita en él.

POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS

Se dice que un polígono está circunscripto en un círculo, cuando los puntos medios de todos sus lados coinciden con puntos de su circunferencia.

El polígono se dice circunscrito en la circunferencia si, estando todos sus vértices situados fuera de la circunferencia, los lados son tangentes a la misma.

El polígono circunscrito es tocado en el punto medio de cada lado por la circunferencia inscrita.

El centro de la circunferencia inscrita equidista de todos los puntos medios de los lados del polígono circunscrito.

La apotema del polígono circunscrito es el radio de la circunferencia inscrita. Los polígonos regulares poseen una única circunferencia inscrita y otra circunscrita, y ambas son

concéntricas. El centro de ambas circunferencias se llama también centro del polígono regular.

LADO DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO INSCRITO

Ejerc ic io:

Calcu lar e l lado de un tr iángulo equi látero inscr ito en una c i rcunferencia de 10

cm de radio.

LADO DE UN CUADRADO INSCRITO

Ejerc ic io:

Calcu lar e l lado de un cuadrado inscri to en una c i rcunferencia de 5 cm de radio.

APOTEMA DEL HEXÁGONO INSCRITO

Ejerc ic io:

Calcu lar la apotema de un hexágono inscr i to en una c i rcunferencia de 4 cm de

radio.

ÁREAS Y PERÍMETROS

Se define área de un polígono como la medida de su superficie. Esta área se suele expresar en función

de la medida de los lados, las alturas o las diagonales, según el tipo de cuadrilátero.

Se define el perímetro de un polígono como la longitud de la línea poligonal que describe al polígono.

El perímetro de un polígono se halla sumando todos sus lados.

NOMBRE DIBUJO AREAS LONGITUDES PERIMETRO

RECTÁNGULO

CUADRADO

TRIÁNGULO

ROMBOIDE

TRAPECIO

ROMBO

POLÍGONO

REGULAR

CÍRCULO

CORONA

CIRCULAR

SECTOR

CIRCULAR

r: radio.

l: arco.

: ángulo (en grados

sexagesimales)

Ejercicios:

1. Calcula el perímetro y el área de un cuadrado de lado 4 m.

2. El área de un cuadrado es 5,76 cm2 . Calcula su perímetro.

3. La base de un rectángulo es 5 m. y la altura la mitad de la base. Calcula el área y el perímetro.

4. La base de un paralelogramo es 5 cm, y su altura es 2,8 cm. ¿Cuál es el área y el perímetro del paralelogramo?

5. La diagonal mayor de un rombo mide 5m, y la menor es la mitad. Calcula el área y el perímetro del rombo

6. Calcula el área de un cuadrado de 4 m. de diagonal.

a) Utilizando el teorema de Pitágoras para determinar el lado.

b) Utilizando la fórmula del área del rombo.

7. La base de un triángulo isósceles mide 5 cm. y los lados iguales miden 3,7 cm. Halla su área y su perímetro. 8. Halla el área y el perímetro de un trapecio de base mayor 5 cm., base menor 1,5 cm. y altura 2 cm.

9. Halla el área y el perímetro de un trapecio rectángulo de base mayor 4,5 cm., base menor 3 cm. y altura 1,2 cm.

10. Halla el área y el perímetro de un trapecio isósceles de base mayor 4 cm., base menor 2,4 cm. y lado L=2 cm.

11. Halla la apotema de un octógono regular de 1,61 cm. de lado y 2,11 cm. de radio. Halla también su perímetro y

su área.

12. Halla el área de un hexágono regular de 2 cm de lado. (Observa como son el radio y el lado en un hexágono

regular) 13. En un círculo de radio 1,71 cm, halla su área y la longitud de su circunferencia.

14. Halla el área de una corona circular cuyos círculos tienen de radio 2 cm y 1,37 cm, respectivamente.

15. En un círculo de radio 1,80 cm, halla el área de un sector circular de 60º y la longitud de su arco.