REPORTAJE

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CIRCUNFERENCIA

del latín circumferentĭa que a su vez deriva de circumferre, que significa llevar alrededor. Dedicamos

este número 30 de nuestro boletín a las circunferencias. Empezamos con un teorema.

Dados cinco círculos cuyos centros están en un sexto círculo, si además cada círculo de los primeros corta a sus vecinos sobre el sexto, las líneas que unen los segundos puntos de intersección forman un pentagrama cuyas puntas se encuentran en los propios círculos.

BOLETÍN

DE M

ATEMÁTIC

AS DEL I.E.S. M

ATARRAÑA – Número 30 -

JUNIO

2.011

REPORTAJE

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TAMBIÉN PODRÍA HABER SIDO PORTADA

Dado el pentágono regular de la figura, demostrar que, desde cualquier punto de la circunferencia, se

tiene que: a +b + c = m + n

Obtenido de http://geometri-problemleri.blogspot.com

REPORTAJE

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(SANGAKU)

No, sangaku no es un héroe de cómic, ni tampoco de la realidad. No es un plato de arroz. Si

pensáramos que se trata de un pasatiempo japonés de reciente creación, nos estaríamos acercando a la

verdad. Sangaku es una palabra japonesa que, literalmente, significa “tablilla matemática” y tiene

derecho a protagonizar este número de Materraña dedicado a círculos y circunferencias.

Desde 1.603 hasta 1.857 Japón vivió el período Edo, en ese tiempo el país estaba aislado de occidente –solo un barco holandés al año llegaba al puerto Nagasaki-. Contrariamente a lo que pueda parecer, Japón experimentó un gran florecimiento cultural. Las ideas científicas occidentales cesaron de llegar y, en particular, las matemáticas se desarrollaron sin conexión con el resto del mundo, conociendo un florecimiento y una elegancia difíciles de creer. Los japoneses apasionados por las matemáticas, en aquellos tiempos, resolvían problemas geométricos, escribían los resultados sobre tablillas de madera y los colgaban en paredes y tejados de templos y santuarios como ofrendas a las divinidades o como planteamiento de desafíos a los visitantes.

El sangaku más antiguo que se conoce, descubierto en la prefectura de Tochigi data de 1.683 y la primera recopilación de problemas sangaku fue publicada en 1.789. Escritos a mano o impresos a partir de matrices en madera, estas ofrendas son muy hermosas y más de 880 tablillas se conservan hoy en día. La mayoría de los sangaku están decorados con colores brillantes. Los teoremas son generalmente escritos sin demostración. Junto al resultado figuran el nombre del autor y la fecha de la ofrenda. La mayoría de sangakus muestran problemas de geometría euclídea protagonizados por círculos y elipses y su grado de dificultad varía desde

problemas elementales hasta otros que necesitan técnicas más avanzadas como las actuales de integración o de la geometría afín.

Actualmente los sangaku se consideran dentro de la matemática recreativa, pero hubo resultados descubiertos en occidente, como el teorema de los círculos de Descartes, que posteriormente se hallaron recogidos en las tablillas japonesas.

Para acabar esta presentación, y antes de pasar a mostrar algunos ejemplos de estas tablillas, es obligatorio mencionar a Hidetoshi Fukagawa, profesor de secundaria, que desde hace treinta años estudia la historia de las matemáticas japonesas y, además, ha recorrido todo el país buscando y estudiando las mencionadas tablillas. Una complicación adicional para los estudiosos de los sangaku, es que están escritos en kanbun, una forma de chino que, de una manera análoga al latín en occidente, era el lenguaje culto en Japón.

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Pero vayamos ya con algunos ejemplos, comencemos por el mencionado problema de los círculos inscritos encadenados, se trata de hallar la relación entre los radios del círculo verde y los siguientes, data de 1.788 en la prefectura de Tokio y es el equivalente japonés de la "fórmula de los círculos tangentes de Descartes".

De la gran variedad de problemas sangaku hay tres (expresados en forma de teoremas) que tienen los nombres de dos matemáticos japoneses: Y. Mikami y T. Kobayashi. Veámoslos: Primer teorema de Mikami y Kobayashi. Sea un polígono convexo de n lados inscrito en una circulo de radio R. Hágase la triangulación del polígono trazando todas las diagonales a partir de uno de sus vértices. En cada triángulo así formado considérese el círculo inscrito, entonces la suma de los radios de dichos círculos es independiente de la triangulación elegida. Este teorema también es conocido con el nombre de "Antiguo Teorema Japonés". Demostración: Sin pérdida de generalidad, nos centramos en el caso de un polígono de seis lados y efectuemos la triangulación desde C. Sean r1, r2, r3, y r4, los radios de las circunferencias inscritas en cada triángulo y m1,

m2, m3, m4, m5, y m6, la distancias del centro de la circunferencia inicial, de radio R, a cada lado del polígono.

Para comenzar veamos que:

4R + r1 + r2 + r3 + r4 =

=m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6

Primero se trazan desde el centro O las perpendiculares de longitudes ma, mf, y me, a las diagonales CA, CF y CE. Usando el teorema de Carnot: En el triángulo ABC:

m1 + m2 - ma = R + r 1

En el triángulo ACF: m 6 + m a - m f = R + r 2

En el triángulo FCE: m f + m e + m 5 = R + r 3

En el triángulo ECD: m 3 + m 4 - m e = R + r 4

Sumando miembro a miembro 4R + r1 + r2 + r3 + r4 =

=m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6

Si tuviéramos la triangulación desde otro vértice, tendríamos otros círculos de radios: r’1, r’2, r’3, y r’4, pero se verificaría que:

4R + r' 1 + r' 2 + r' 3 + r' 4 =

= m1 + m2 + m3 + m4 + m5 + m6

Luego, como se buscaba: r 1 + r 2 + r 3 + r 4 = r' 1 + r' 2 + r' 3 + r' 4 .

Según el teorema de Carnot, si C es el circuncentro del triángulo y X, Y y Z los puntos medios de los lados a, b y c respectivamente, R y r los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita respectivamente, entonces

CX + CY + CZ = R + r

siendo CX, CY y CZ positivos si el circuncentro esta en el mismo semiplano respecto al lado correspondiente que el vértice opuesto, y negativo en caso contrario.

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Segundo Teorema de Mikami y Kobayashi: Al unir los incentros M, N, P y Q de los triángulos ABC, BCD, CDA y ABD formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia, se forma un rectángulo.

Demostración: Comencemos con algunos trazos auxiliares (de color rosa en la figura). En el punto Q:

∠MQP=∠x +∠y

En C el ángulo ∠BCA y en D el ángulo BDA son iguales porque están sobre la circunferencia y abarcan el mismo arco: AB, por tanto, llamando α a dicho ángulo:

α=∠=∠ BDABCA

Como M es el incentro del triángulo ABC, AM es bisectriz del ángulo ∠BAC y BM es bisectriz del ángulo en ∠ABC, luego, en el triángulo AMB se tiene

º18022

=∠+∠

+∠

BMAABCBAC

Pero º90222

=∠

+∠

+∠ BCAABCBAC

luego α+=∠

+=∠ º902

º90BCA

BMA

Análogamente como Q es el incentro del

triángulo ADB: α+=∠

+=∠ º902

º90BDA

BQA

Por tanto, como ∠BMA=∠BQA, el cuadrilátero ABMQ es cíclico (esto significa que se puede inscribir en una circunfernecia) y ∠x

=∠B/2, porque en dicha circunferencia, ∠B/2

junto a ∠180-x la abarcan por completo.

De la misma manera, el cuadrilátero AQPD también lo es y ∠y =∠D/2 Entonces, ∠x +∠y =∠B/2+∠D/2 Pero B+D=180º, (porque ambos están sobre la circunferencia y juntos abarcan un arco de 360º) entonces ∠x +∠y =90º. De manera análoga se ve que los ángulos en M, N y P son rectos.

Tercer Teorema de Mikami y Kobayashi: Considérese tres círculos tangentes entre sí y tangentes a una misma recta, donde: r1 < r2 < r3

Entonces

321

111

rrr+=

La demostración se basa en el Teorema de Pitágoras, considérese la siguiente notación:

Por construcción: DE=AC. Aplicando el Teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos O 2DO 1 y O 1EO 3:

212

122

121 2)()( rrrrrrDO ⋅=−−+=

312

132

131 2)()( rrrrrrEO ⋅=−−+=

Análogamente

232

232

23 2)()( rrrrrrAC ⋅=−−+=

Sumando las dos primeras se obtiene DE que por otra parte es igual AC. Por tanto:

131223 222 rrrrrr ⋅+⋅=⋅

Dividiendo cada término entre 1232 rrr ⋅⋅ se

obtiene el resultado buscado.

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Proponemos, ahora, al lector unos cuantos sangaku más.

El vaso y la servilleta doblada. Demostrar que en el cuadrado doblado de la figura, el radio del círculo es igual a la longitud AB.

Los dos pentágonos. Demostrar que el radio del círculo rojo mayor es el doble del radio del círculo rojo menor.

Cuatro circunferencias tangentes a un cuadrado y a una circunferencia. Un círculo grande de color azul y radio R esta dentro de un cuadrado. Éste determina otros cuatro círculos, en general de diferente radio entre ellos y con R, tangentes al círculo azul así como a las caras adyacentes del cuadrado.

¿Cuál es la relación entre R, los radios de los cuatro círculos pequeños y la longitud del lado del cuadrado? Tres cuadrados anaranjados se trazan según se muestra en el triángulo rectángulo grande de color verde. ¿Cómo se relacionan los radios de los tres círculos azules? Resp: r 2

2 = r 1 × r 3

La base de un triángulo isósceles descansa sobre el diámetro del círculo mayor. Este diámetro también biseca a otro círculo inscrito tangente interior del círculo verde y que toca un vértice del triángulo isósceles, como se muestra en la figura.

El círculo azul está inscrito de modo que sea tangente al círculo marrón, al triángulo e interiormente al círculo verde. Un segmento une el centro del círculo azul en el punto de intersección entre el círculo rojo y el triángulo isósceles. Demuestre que este segmento es perpendicular al diámetro del círculo verde. Dos esferas rojas son tangentes exteriormente y ambas son tangentes interiormente a la esfera grande de color verde. Un collar de esferas azules de diferentes tamaños rodea el "cuello" entre las esferas rojas. Cada esfera azul en el "collar" es tangente a sus vecinas próximas, a la vez que son tangentes a las dos esferas rojas y a la esfera verde. ¿Cuántas esferas azules conforman el collar? ¿Cómo los radios de las esferas azules se relacionan entre sí?

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El pentágono de la figura tiene radio 1cm., calcule la razón entre los radios de los dos tipos de círculos.

Resp: 2

553 −=

R

r

Encuentre la razón entre los radios del círculo menor y el mayor si los otros dos son iguales y sus centros están sobre el diámetro del mayor. Resp: R=3r

Si las figuras inscritas en el triángulo rectángulo son un triángulo equilátero –de lado l- un cuadrado y un círculo, todos ellos tangentes unos a otros, halle la relación entre l y el cateto

vertical. Resp: cl )·13( −=

Observe el círculo gris, de radio a, y los cinco amarillos. Los azules claros y los azules oscuros son tangentes entre sí, y de radios R>r. Halle la

relación entre R y r. Resp.: rR )·22·(2 −=

Halle la relación entre los tres radios R, r1 y r2 de los círculos inscritos entre la hipotenusa, los catetos y la circunferencia circunscrita.

Resp: 2121 ··2 rrrrR ++=

Los círculos inscritos entre el triángulo equilátero de lado a y los dos segmentos tienen el mismo radio, r. Halle la relación entre a y r.

Resp.: ( )

2

·23 ar

−=

Los dos círculos pequeños de la figura tienen el mismo radio, r. Si los otros dos radios son a<R,

halle la relación entre los tres radios.

Resp: ( )aRar −⋅= 2

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Los tres círculos entre las dos paralelas son tangentes entre sí, r1>r2>r3. Halle la relación entre sus radios. Resp: r1

2=4·r2·r3.

En un triángulo rectángulo de base un cateto de longitud a y de altura otro cateto de longitud variable, x, se traza un sector circular de radio x con centro en el vértice superior. Se inscribe un cuadrado de lado y , variable, entre el sector y el triángulo, como indica la figura. Halle el máximo valor de y.

Resp.: ay ⋅−

=2

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En un sector de una corona circular, como aparece en la figura, con radios a y 2a se han inscrito varios tipos de círculos de forma simétrica respecto a un eje vertical por el centro de la corona. Halle la relación entre los radios de los dos tipos de círculo más pequeños.

Resp.: 382

31−=

r

R

Dados cinco círculos –de dos tipos- inscritos en una circunferencia de radio a, tangentes como muestra la figura, halle la relación entre a y el radio r de los círculos menores.

Resp.:

+⋅+=

7

24521

r

a

Si el triágulo es equilátero de lado l, hallar el

lado de los cuadrados. Resp.: al )·32( −=

La información para redactar este artículo ha salido, mayoritariamente, de:

• Un racó de matemàtiques, www.xtec.cat/~rnolla, página personal de Ramón Nolla.

• http://www.pourlascience.com/numeros/pls-249/rothman/rothmanbox1.htm

• Sangaku – Probleme. Aufgaben aus der japanischen Tempelgeometrie ein Beitrag von Ingmar Rubin, Berlin.

• http://www.wasan.jp/english/

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Pero hay más sencillos, aquí van algunos por si el lector se anima.

Fig. 1 Fig. 2

Fig. 1: Halle la relación entre el lado del cuadrado a y el radio del círculo r.

Resp: 2

22 −⋅= ar

Fig. 2: Halle la relación entre el lado del cuadrado a y el radio del círculo r.

Resp.: ( )32 −⋅= ar

Fig. 3 Fig. 4

Fig. 3: Halle la relación entre el lado del cuadrado exterior a, el interior b, y los radios de los círculos R y r.

Resp: 5

3

320

39

16

ab

aR

ar ===

Fig. 4: Halle la relación entre el lado del cuadrado a y los radios de los círculos R y r.

Resp: 616

aR

ar ==

Fig. 5 Fig. 6

Fig. 5: Halle la relación entre el lado del cuadrado a y los radios de los círculos R y r.

Resp: 8

3

6

aR

ar ==

Fig. 6: Halle la relación entre el lado del cuadrado a y los radios de los círculos r1 > r2 >

r3 > r4 > r5.

Resp.: ( )121 −⋅= ar ( )2232 −⋅= ar

2573

+=

ar

212174

+=

ar

229415

+=

ar

Fig. 7 Fig. 8

Fig. 7: Halle la relación entre el lado del cuadrado a y los radios de los círculos R> r

Resp.: 223

;223

2

+=

+

⋅=

ar

aR

Fig. 8: Halle la relación entre el lado del cuadrado a y los radios de los círculos r1 > r2 >

r3 .

2

83·;

25

4;

25

69· 321

−==

−= ar

arar

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Cinco problemas fáciles 1. Si un polígono tiene 20 diagonales, ¿cuántos lados tiene? 2. ¿Cuántos números del 1 al 200 no son divisibles ni entre 5, ni entre 9, ni entre 13?

3. Una novela tiene 511 páginas, ¿cuántas veces se ha utilizado la cifra “1” para numerar todas esas páginas? 4. Un gúgol es el número 10100, ¿cuántos gúgols son 1001000? 5. Un triángulo equilátero y un hexágono regular tienen igual perímetro, ¿cuál es la relación entre sus áreas?

El teorema de Ptolomeo.

En un cuadrilátero cíclico (es decir, inscrito en una circunferencia), el producto de las longitudes de las diagonales es igual a la suma de los productos de las longitudes de lados opuestos.

ADBCCDABBDAC ··· +=

Recuerda nuestras direcciones:

materranya@yahoo.es http://www.catedu.es/materranya

http://materranya.iespana.es

Cinco problemas menos fáciles. 1. Determine el resto de dividir entre 7 el número resultante de:

31+32+33+ … +32011 2. De la ecuación x2

-3ax+a2=0 se sabe que sus

soluciones cumplen x1·x2=1’75. Halle a y las soluciones. 3. El sistema

=⋅

−=

−+

−+

15

12

yx

yxyx

yxyx

tiene dos pares de soluciones, una es x=5 y= 3 , ¿puede hallar la otra? 4.

En la figura anterior, ¿cuál es la resta de las áreas no superpuestas? ¿Puede extraer alguna generalización? 5. Halle el ángulo BMN, preferiblemente sin hacer uso de la trigonometría. Resp: 30º