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TEMA 5: CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

Matías Arce, Sonsoles Blázquez, Tomás Ortega, Cristina Pecharromán

1. INTRODUCCIÓN ......................................................................................... 1

2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO ....................................................... 1

3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS ............................................................................ 3

4. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA ........................................................ 4

1. INTRODUCCIÓN

Este capítulo está orientado a la medición de ángulos y para ello es necesario conocer con

amplitud las herramientas de medición. La fundamental es la circunferencia ya que ésta

proporciona un sistema de medición a través de su arco. Así pues, después de detallar las

características de esta línea cerrada y de las propiedades de elementos que se pueden

considerar en la misma estableceremos como se miden los ángulos centrales y las

relaciones angulares que se producen según sea la posición de éstos respecto de la

circunferencia.

2. LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO

Una circunferencia es una línea cerrada y plana cuyos puntos equidistan de uno fijo que se

llama centro. La distancia de cualquiera de sus puntos al centro se llama radio.

Definiciones

• La región interior a la circunferencia se denomina círculo .

• La parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de la misma se denomina

arco .

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• El segmento que determinan dos puntos cualesquiera de la circunferencia se

denomina cuerda .

• La cuerda que contiene al centro de la circunferencia se denomina diámetro .

• La porción de círculo comprendida entre una cuerda y el arco que determina se

denomina segmento circular .

• La porción de círculo comprendida entre dos radios y el arco comprendido se

denomina sector circular .

• Las posiciones de una recta

sobre una circunferencia son:

exterior (no tienen ningún punto

interior), secante (tienen dos

puntos en común) y tangente

(tienen un único punto en común).

Propiedades:

• Cada diámetro divide a la circunferencia en dos partes iguales llamadas

semicircunferencias (Ídem con el círculo).

• La mediatriz de cualquier cuerda contiene al centro de la circunferencia.

• La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio determinado por el

centro y el punto de tangencia.

• Tres puntos determinan una única circunferencia.

Tarea 1: Sitúa tres puntos y dibuja con precisión la circunferencia que pasa por ellos.

Posiciones de dos circunferencias

• Exteriores: Cada circunferencia está formada por puntos

exteriores de la otra.

• Interiores: Una circunferencia es

interior a otra cuando aquella está

formada por puntos del círculo de ésta. El radio de la interior

debe ser menor que el de la exterior.

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• Concéntricas: cuando ambas tienen el mismo centro. A la

región del plano que delimitan se le denomina corona circular.

• Secantes: Tienen dos puntos en común.

• Tangentes interiores: Sólo tienen un punto en común y el

resto de los puntos de una de ellas son puntos del círculo

de la otra. El radio de la

tangente interior debe ser menor que el de la

tangente exterior. Los centros de ambas son

interiores a una de ellas y ambos están alineados con

el punto de tangencia.

• Tangentes exteriores: Sólo tienen un punto en

común y el resto de los puntos de una de ellas son

puntos del exterior de la otra. El centro de una es

exterior a la otra y ambos están alineados con el

punto de tangencia.

Tarea 2: Estudia la relación entre los radios de las circunferencias y la distancia entre los

centros en cada una de las posiciones.

3. MEDICIÓN DE ÁNGULOS

La forma más sencilla de medir ángulos es trazar una circunferencia centrada en el vértice

y comparar la longitud del arco comprendido entre los dos lados del ángulo con la longitud

de la circunferencia que, como es sabido, es 2πr, siendo r la longitud del radio.

Se considera como unidad de medida el radián, que es la amplitud de un ángulo cuyo arco

es igual a la longitud del radio de la circunferencia centrada en el vértice del ángulo que

contiene a dicho arco. Con esta unidad de medida la circunferencia completa tiene 2π

radianes, el ángulo llano π radianes, el ángulo recto π/2 radianes,… etc.

Otra unidad de medida es el grado sexagesimal, que es la amplitud de un ángulo cuyo arco

es 2πr/360. Es decir, se divide a la circunferencia de centro el vértice del ángulo en 360

partes, que se denominan grados, y un ángulo que mida un grado tiene como arco una de

estas divisiones. En el sistema sexagesimal, heredado de los babilónicos, cada grado se

divide en 60 minutos y cada minuto en 60 segundos.

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El instrumento que se utiliza para medir un ángulo en grados se llama transportador. Se

coloca el transportador sobre el ángulo de

manera que el vértice coincida con el centro

de la circunferencia que constituye el borde

del transportador, A, y que uno de los lados

del ángulo este en el radio AC. El ángulo de la

figura mide 39 grados.

Con el transportador también se pueden

trasladar ángulos para ser sumados, pero conviene tener en cuenta, que por estar sujetas a

una escala, sus mediciones son siempre

aproximadas, mientras que con el compás,

teóricamente, se tomaría la amplitud exacta.

Cuando el ángulo sea mayor que uno llano

(cóncavo) se mide el exceso del llano y se suma a

180º o se mide el ángulo convexo correspondiente y

se resta a 360º dicha medida.

Tarea 3: Trazar varios arcos de circunferencia de distinto radio, todos con centro en el

origen de una semirrecta. Cortar unos cables finos de longitud igual a cada radio. Poner

sobre la circunferencia el cable de longitud su radio a partir de la intersección de la

circunferencia con la semirrecta. Comprobar que los extremos del cable determinan el

mismo ángulo. Este ángulo mide un radián.

4. ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA

Según la posición de un ángulo respecto de una circunferencia los ángulos se pueden

clasificar en:

• Central: El vértice del ángulo es el centro de la circunferencia.

• Inscrito: El vértice del ángulo está en la

circunferencia y los lados contienen a

sendas cuerdas.

• Semiinscrito : El vértice del ángulo está

en la circunferencia, uno de los lados

contiene a una cuerda y el otro está en la tangente a la

circunferencia en dicho punto.

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• Exterior: El vértice del ángulo

está en el exterior de la

circunferencia.

• Interior: El vértice del ángulo está en el interior de la

circunferencia, es decir, es un punto del círculo.

Teorema del ángulo inscrito: La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo

central correspondiente.

Demostración: La figura adjunta muestra las tres posibles posiciones del centro de la

circunferencia respecto a un ángulo inscrito. Por tanto, hay que demostrar el teorema para

cada una de las tres. Sólo lo haremos en la primera ya que las otras dos se obtienen

aplicando la primera a la suma α1+α2 y a la resta ϕ1−ϕ2.

En el primer caso: α=α' por ser los ángulos iguales de un triángulo isósceles (dos lados son

dos radios). Por otra parte, β=α+α’ ya que β+δ=α+α'+δ y, por tanto α=β/2.

Este teorema es un ejemplo muy claro de los que significa el aprendizaje significativo, ya

que para que el alumno pueda entender el teorema es absolutamente necesario que

conozcan la significación de todos los términos matemáticos que interviene en el

enunciado: amplitud, ángulo, inscrito, mitad, central y correspondiente. Además tiene que

ver cómo están relacionados estos términos en la figura y ver que sólo hay tres casos.

Consecuencia: Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco tienen la misma

medida.

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Otras relaciones angulares

El teorema anterior permite establecer relaciones de los ángulos anteriores con los

centrales correspondientes.

1. La amplitud del ángulo semiinscrito, α, es la mitad del ángulo central correspondiente.

Demostración:

La bisectriz del ángulo β (ángulo central del arco que

subtiende α) es mediatriz del segmento VD y por tanto ϕ es

recto, lo que implica que δ+β/2=π/2=90º. Análogamente

α+δ=π/2=90º y, en consecuencia, δ+β/2=α+δ y, finalmente,

α=β/2.

2. La amplitud del ángulo interior, α, es la semisuma de

los arcos que subtienden α y el ángulo opuesto por el

vértice,β, que se obtiene al prolongar los lados de α.

Demostración esquemática:

α=β=δ+ε=ϕ/2+θ/2= (ϕ+θ)/2

3. La amplitud del ángulo exterior, α, es la semidiferencia de arcos, β y δ, que subtiende.

Demostración esquemática:

ϕ =α+θ=α+δ/2

Como, por otra parte, ϕ=β/2, entonces,

α=β/2−δ/2=(β−δ)/2

El teorema del ángulo inscrito permite establecer uno de los teoremas básicos de la

geometría.

Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo c ualquiera es de 180º

(π π π π radianes o, lo que es lo mismo, un ángulo llano).

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Demostración: Es trivial, ya que, considerando la

circunferencia que pasa por sus vértices, los ángulos del

triángulo α, β y δ son inscritos a esta circunferencia y los

arcos de sus centrales correspondientes α1, β1 y δ1 son toda

la circunferencia. Por tanto:

α+β+δ= α1/2+β1/2+δ1/2= (α1+β1+δ1)/2=180º=π radianes

Arco capaz

Es el lugar geométrico de los puntos del plano desde los cuales se ve a un segmento dado,

AB, con un mismo ángulo, α. Es el arco formado por el lugar geométrico de los puntos tales

que su ángulo inscrito mide α.

Para representar el arco capaz se traza la mediatriz de AB y por uno de sus extremos, por

ejemplo A, se traza la perpendicular a

dicho segmento y a partir de esta

perpendicular se transporta el ángulo

dado. El corte del segundo lado de

este ángulo determina con la mediatriz

el centro de la circunferencia cuyo arco

δ es el arco capaz. Todos los ángulos

inscritos del arco capaz subtienden un

arco β.

Tarea 4: Comprueba con el transportador que un ángulo

que tenga su vértice en δ y sus lados pasen por A y B

mide lo mismo que α. Demuestra que el resultado se

cumple sea cual sea el ángulo inscrito con vértice en δ.

Tarea obligatoria: Resolver individualmente los siguientes problemas y poner en común en

el grupo de trabajo los cinco problemas que el profesor asigne al grupo. Habrá una sesión

de corrección en la que cada grupo explique la resolución de un problema en la pizarra (el

profesor elegirá el problema de entre los asignados al grupo y el miembro del grupo que

debe explicarlo).

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1. Calcula el menor de los dos ángulos que forman las agujas del reloj en cada uno de los

casos siguientes: a) 12h 30' b) 2h 15' c) 7h 23' d) 4h 52' e) 9h 45' f) 5h10´

2. El ángulo formado por un cateto y la prolongación de la hipotenusa en un triángulo

rectángulo es de 125º 3' 4”. Halla los ángulos del triángulo.

3. En la figura de la derecha, se sabe el valor de los

siguientes ángulos: AOP=80º, POC=70º, COM=40º y

AOR=45º. Halla la medida de los cuatro ángulos

(interiores) del cuadrilátero ABCD.

4. En una circunferencia se traza una cuerda BD

perpendicular a un diámetro AC y una cuerda DF

paralela a ese mismo diámetro. Se sabe que el arco BC

mide 60º. ¿Qué amplitud tienen los arcos DC, AB, y

FD?

5. Se sabe que, en la figura de la derecha, el ángulo

a mide 90º y el ángulo b, 30º. ¿Cuál es el valor de los

ángulos c y d?

6. Un ángulo de 64º tiene sus lados tangentes a una

circunferencia. ¿Cuánto mide el menor de los arcos en que los puntos de tangencia dividen

a la circunferencia?

7. De la figura de la derecha conocemos que a =80º y b

=44º. Calcula la amplitud del ángulo c. Se trazan las

cuerdas PA, PB, PD y PC. Calcula el valor de los ángulos

APB, BPC y CPD.

8. Se divide una circunferencia en 15 partes iguales y

se numeran los puntos de división consecutivamente. Halla el ángulo que forma la recta 1-7

(recta que pasa por los puntos 1 y 7) con la 1-9. Misma pregunta con las rectas 1-4 y 7-9.

9. En la figura de la derecha, AB es un diámetro y C un

punto cualquiera de la circunferencia. Indica de manera

razonada cuáles de las siguientes igualdades son ciertas:

a) 1 = 2 b) 3 = 4 c) 1 + 2 = 3 + 4

d) 2 + 3 = 90º e) 1 + 4= 2+3.

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10. Sabiendo que el ángulo α de la figura de la derecha

mide 34º 29´ 58", calcular razonadamente el valor de los

ángulos β y γ .

11. Se divide una circunferencia en 12 partes

iguales y se numeran consecutivamente los

puntos de división. Dibujando las cuatro rectas

(secantes o tangentes) que pasan por algunos de

esos puntos se obtienen los vértices del

cuadrilátero ABCD de la figura. Hallar

razonadamente las medidas de los cuatro ángulos

interiores del cuadrilátero.

12. En el gráfico de la derecha se

conoce que O es el centro de la

circunferencia, BDC=20º y BEC=50º.

Hallar la medida de los tres ángulos del

triángulo ABC.

13. Encontrar la medida en grados de los ángulos a,

b, c y d de la figura de la izquierda.

14. Sabiendo que BH es una altura del triángulo, que O

es el centro de la circunferencia, y que el ángulo 1

mide 72º 46´, calcula la medida de cada uno de los

demás ángulos numerados que aparecen en la figura

adjunta.

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2

4

6

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11 1

3

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A

B

C

D

A

B

CO

DE

F

A

B

COH

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23

4

6

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