Circunferencia y Círculo II

CLASE Nº 7

Aprendizajes esperados:

• Aplicar los teoremas fundamentales relativos a Círculo y Circunferencia en la resolución de ejercicios.

1. Teoremas fundamentales - Ángulos

Contenidos

1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

1.2 Igualdad de ángulos inscritos

1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia

1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

1.5 Teorema del ángulo exterior

1.6 Teorema del ángulo interior

2.3 Teorema de las tangentes

2.4 Teorema de las cuerdas

2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia

2. Teoremas fundamentales - Trazos

2.1 Teorema de las secantes

2.2 Teorema de la tangente y la secante

1. Teoremas fundamentales (ángulos)

1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.

Ejemplo:

Si el arco AB = 40º, entonces = 40º

O: centro de la circunferencia

40°

Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.

Ejemplo:

Si el arco AB = 50º, entonces = 25º

50°

Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito.

2

Además, se cumple que:

Ejemplo:

En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°.

70°

O: centro de la circunferencia

1.2 Igualdad de ángulos inscritos

Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales.

1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia

Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.

180°

O: centro de la circunferencia

1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.

Ejemplo:

1.5 Teorema del ángulo exterior

Si es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:

1.6 Teorema del ángulo interior

Si es ángulo interior de la circunferencia, entonces:

2. Teoremas fundamentales (trazos)

2.1 Teorema de las secantesSean PA y PB dos secantes, entonces:

PA ∙ PD = PB ∙ PC

Ejemplo:

12

20

6

x

12 ∙ PD = 20 ∙ 6

12 ∙ PD = 120

PD= 10

PA ∙ PD = PB ∙ PC

En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.

PA y PB secantes.

2.2 Teorema de la tangente y secanteSean PA una tangente y PC una secante, entonces:

(PA)2 = PC ∙ PD

2.3 Teorema de las tangentes

PA = PC

Sean PA y PC dos tangentes, entonces:

2.4 Teorema de las cuerdasSean AB y CD dos cuerdas, entonces:

AP ∙ PB = CP ∙ PD

2.5 Cuadrilátero circunscrito

a + c = b + d

5 + c = 7 + 8

c = 10

Ejemplo:

Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces: