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Universidad Central de Venezuela

Facultad de Ingeniera

Preparaduras de Clculo I (0251)

Preparador: Ernesto A. Contreras A. (ernestoc_a@hotmail.com)

PREPARADURA INTRODUCTORIA

Contenidos:

Alfabeto Griego. Propiedades de los Nmeros Reales. Demostraciones bsicas. Funcin Valor Absoluto. Inecuaciones polinmicas y racionales. Induccin Matemtica y Miscelneas.

Mayscula Minscula Espaol A Alfa B Beta Gamma Delta psilon Dseta Eta Zeta Kappa Lambda Mi Ni Xi Omicron Pi Rho Sigma Tau psilon Fi Ji Psi Omega

mailto:ernestoc_a@hotmail.com

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1. Propiedades de los Nmeros Reales () Conmutatividad de la suma: + = + Existencia del inverso aditivo: + () = Conmutatividad del producto: . = .

Existencia del inverso multiplicativo:

= . 1 Si y solo si 0

2. Demostrar, que para toda ecuacin de la forma 2 + + = 0 con la

condicin de que 0, su solucin ser: = 24

2

Demostracin:

Existen muchas formas de llegar a la solucin, una forma muy atractiva es considerando el cambio de variable = + , sustituyndolo en la ecuacin:

(2 + 2 + 2) + ( + ) + = 0

2 + (2 + ) + 2 + + = 0

Una vez hecho el cambio de variable, podramos transformar la ecuacin en la que su solucin sea la de un caso conocido, y tomando en cuenta que solo una variable jugara el rol de la variable , que en este caso dicho rol lo jugara la variable .

Esto significa que obtendremos la solucin de una forma directa como si fuera un despeje comn y corriente, sin embargo para ello necesitamos que 2 +

= 0, obteniendo =

2 . Gracias a esto procedemos a sustituir en

nuestra ecuacin y con unas cuantas simplificaciones obtendremos:

2 + (

2)

2

+ (

2) + = 0 2 +

2

4

2

2+ = 0

2 2

4+ = 0

Haciendo uso de una propiedad muy famosa del valor absoluto:

|| =

Para todo que sea par, se cumplir que tiene dos races, una positiva y una negativa.

=

2

4

=

2 4

42 =

2 4

2

Para concluir la demostracin, basta con devolver el cambio de variable = + , donde despejaremos a la variable para obtener la solucin.

= 2 4

2 =

2 4

2+

3

Recordando que =

2 , lo sustituimos en la ecuacin anterior, obteniendo:

= 2 4

2 =

2 4

2

Tenga en cuenta las siguientes consideraciones:

Si es par, tendr dos races y entonces se cumple: 24

2 0

Si es impar, tendr una sola raz sin importar que signo tenga. Adicionalmente a todos estos casos, si se quiere llegar nica y

exclusivamente a soluciones reales, se tiene que cumplir 2 4 0. Si quiere obtener la ecuacin de segundo grado convencional, solo haga

= 1.

El clculo de la comprobacin lo dejo de tarea al lector.

(Fin de la demostracin)

3. Demostrar el Teorema de Pitgoras.

Demostracin (China - el Chou Pei Suan Ching, y el Chui Chang Suang Shu):

Para demostrarlo, tomemos en consideracin un cuadrado de lado + , y dentro del otro cuadrado de lado , siendo este ltimo el cuadrado de la regin sombreada, como lo muestra la figura:

Fig. 1

Si el rea de un cuadrado, es la longitud de su lado al cuadrado, para un cuadrado de lado su rea ser =

2 , anlogamente ocurrir con el de lado + , es decir, + = ( + )

2. Para concluir, basta con restarle 4 veces el rea un tringulo blanco de los que estn en la figura, cuyos catetos son y . Eso analticamente se escribe.

4

2 = ( + )2 4

2 2 = 2 + 2 + 2 2 2 = 2 + 2

Entonces, nuestra relacin geomtrica ha dado resultado tal como se quera demostrar.

(Fin de la demostracin)

4. Demuestre que 2 es un nmero irracional.

Demostracin:

Para demostrar esto, podemos utilizar el mtodo de Reductio ad absurdum.

Claro, entiendo que cuando usted lo vea, dir, se demuestra con un conjuro de Harry Potter, pero no, eso significa, Mtodo de reduccin al absurdo. Donde una hiptesis se supone falsa, de manera que llegaremos a una contradiccin dando por resultado que nuestra hiptesis es verdadera y por tanto la tesis de nuestra proposicin quedara demostrada.

Supongamos que 2 es un nmero racional, de forma tal que se puede

representar de la forma 2 =

, entonces de este razonamiento sin prdida de

generalidad, deducimos que y son enteros y que adems ambos son primos entre s, cabe destacar que por la propiedad del cociente de los nmeros reales 0 . Gracias a todas estas deducciones tenemos que:

2 =2

2

De ser as, 2 = 22, esto implicara que como 22 es par, entonces, 2 tambin lo es, y en consecuencia p tambin lo es, pudindose escribir de la forma:

= 2 (2)2 = 22 42 = 22 22 = 2

Como ambos miembros de la ecuacin se simplificaron con 2, significa que guardaban un factor en comn, tal que hemos llegado a una contradiccin por

lo tanto queda demostrado que 2 es irracional.

(Fin de la demostracin)

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5. Enuncie la funcin () = || , y determine las diferencias entre ( ) y () . Adems grafique la funcin valor absoluto y las funciones () =| 10| y () = || + 15 .

Solucin:

La funcin valor absoluto, siempre es positiva, dando como resultado lo siguiente:

|| = { , 0

, < 0

Las diferencias son las siguientes:

Si sumamos al argumento de la funcin, esta se trasladara unidades hacia la izquierda. Si restamos al argumento de la funcin, esta se trasladara c unidades hacia la derecha. En consecuencia de esto, la funcin se desplaza horizontalmente sobre el eje de las abscisas. ( ) = ()

Si sumamos directamente a la funcin, esta se trasladara unidades hacia arriba. Si restamos directamente a la funcin, esta se trasladara unidades hacia abajo. En consecuencia de esto, la funcin se desplaza verticalmente sobre el eje de las ordenadas. () = ()

Dibujos de las funciones:

6. Halle el conjunto de solucin a la siguiente inecuacin: 4 + 103 52 14 + 50 53 + 22 + 15 + 20 Solucin:

Hagamos un poco de simplificacin y algunas factorizaciones:

6

4 + 53 72 29 + 30 0 Recordando, que segn la Regla de Ruffini las races del polinomio deben ser mltiplo del trmino independiente, entonces factorizamos:

( 2)( 1)( + 3)( + 5) 0

Entonces los puntos crticos de nuestro polinomio son: : {5, 3, 1, 2 }

Obtenido ese resultado aplicamos el mtodo del cementerio.

(, 5] [5, 3] [3,1] [1,2] [2, +) ( 2) - - - - + ( 1) - - - + + ( + 3) - - + + + ( + 5) - + + + +

() + - + - +

De esta forma, el conjunto de solucin ser: (, 5] [3, 1] [2, +)

Recuerde que la anterior es notacin de intervalo, tambin se puede representar en notacin de conjuntos:

: { 5 3 1 2 }

Grficamente se representa as:

7. Halle el conjunto solucin para: 31

|2025+1| 0

Solucin:

Antes de proceder a hacer la inecuacin, verifique el discriminante de la ecuacin de 2do grado.

2 4 = 55 2 4 < 0 Esto implica que como es menor que 0, y es positivo, entonces siempre la ecuacin de 2do grado es positiva. En conclusin basta con hacer:

3 1 0 1

El conjunto de solucin en las diferentes notaciones: : { } y (, ]

7

Grficamente se representa as:

8. Halle el conjunto solucin para la siguiente inecuacin: |4241

65| < 1

Solucin:

Por propiedades de valor absoluto: || < < <

1 1

4241

65+ 1 > 0

42+26

65> 0

22+3

65> 0

Aplicamos, el mtodo del cementerio, y recuerde calcular siempre los puntos crticos.

(,

3

2) (

3

2,5

6) (

5

6, 1)

(1, +)

22 + 3 + - - + 6 5 - - + +

() - + - +

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Solucin Caso # 2: : (

,

) (, +)

La solucin total ser la siguiente: = 1 2

= 1 2 = {(,1

2) (

5

6, 2)} {(

3

2,5

6) (1, +)} = (

3

2,1

2) (1, 2)

Entonces el conjunto de solucin en las diferentes notaciones:

= (

,

) (, )

: {