Clase 1
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CURSO DE POST GRADO: 2014 MATERIA: DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
PROFESOR: Dr. Roberto Aguiar Falconí
ASISTENTE: Ph.D. (c ) Enrique Morales
Universidad de Buffalo
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DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LAB DR. ROBERTO AGUIAR
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NOTAS COMPLEMENTARIOAS DE CURSOS SIMILARES, A SEGUIR
• Constantinou M. (2013), Structural Dynamic and Earthquakes Enginnering. University at Buffalo, USA.
• Jerome P. (2004), Structural Dynamic, University of Michigan, USA
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DINÁMICA DE ESTRUCTURAS
CON CEINCI-LAB DR. ROBERTO AGUIAR
CLASE 1
VIBRACIONES LIBRES EN
SISTEMAS DE UN GRADO DE
LIBERTAD
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EQUILIBRIO ESTÁTICO
FR = k*d
k
P.I.
d P.E.E.
m
M*g
(1) (2)
SF = 0
m*g = k*d
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ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO
SF = 0
P.E.E.
(3)
m
c
𝑞0, 𝑞0
K*(q+d)
m
m*g
FA = c ∗ q
m ∗ q
(4)
k ∗ q + δ + c ∗ q − m ∗ g + 𝑚 ∗ q = 0 k ∗ q + k ∗ δ + c ∗ q − m ∗ g + m ∗ q = 0
𝐦 ∗ 𝐪 + 𝐜 ∗ 𝐪 + 𝐤 ∗ 𝐪 = 𝟎 7 04/02/2014
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VIBRACIÓN LIBRE
𝐦 ∗ 𝐪 + 𝐜 ∗ 𝐪 + 𝐤 ∗ 𝐪 = 𝟎
Definiciones:
Wn =k
m T =
2π
Wn ξ =
c
2 𝑚 ∗ 𝑘
Al dividir para “m”
𝐪 +𝒄
𝒎∗ 𝐪 +
𝒌
𝒎∗ 𝐪 = 𝟎 c
m =
c ∗ 2 m ∗ k
2 m ∗ k ∗ m= 2ξWn
𝐪 + 𝟐𝛏𝐖𝐧 ∗ 𝐪 + 𝐖𝐧𝟐 ∗ 𝐪 = 𝟎
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SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝐪 + 𝟐𝛏𝐖𝐧 ∗ 𝐪 + 𝐖𝐧𝟐 ∗ 𝐪 = 𝟎
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SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL
𝐪 + 𝟐𝛏𝐖𝐧 ∗ 𝐪 + 𝐖𝐧𝟐 ∗ 𝐪 = 𝟎
q t = a ∗ 𝑒𝜆.𝑡
𝜆 = −𝜉𝑊𝑛 ±𝑊𝑛 𝜉2 − 1
• Vibración Libre sin Amortiguamiento x = 0
• Vibración Libre Sub Amortiguada 0 x 1
• Vibración Libre Sobre Amortiguada x 1
• Vibración Libre Críticamente Amortiguada x = 1
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VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO
𝐪 𝐭 = 𝐀 𝐂𝐨𝐬 𝑾𝒏 ∗ 𝒕 + 𝑩 𝑺𝒆𝒏 𝑾𝒏 ∗ 𝒕
q t = 𝐶 ∗ 𝑆𝑒𝑛 𝑊𝑛 ∗ 𝑡 + 𝛾
𝛾 = 𝑡𝑔−1𝐵
𝐴 𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2
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VIBRACIÓN LIBRE SUB AMORTIGUADA
q t = 𝑒−𝜉𝑊𝑛𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑊𝑎𝑡 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑎𝑡
Primera forma:
q t = 𝑒𝑥𝑝 −𝜉𝑊𝑛𝑡 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝑊𝑎𝑡 + 𝐵 𝑐𝑜𝑠 𝑊𝑎𝑡
Segunda forma:
q t = 𝐶 𝑒𝑥𝑝 −𝜉𝑊𝑛𝑡 𝑠𝑒𝑛 −𝜉𝑊𝑎𝑡 𝐶 = 𝐴2 + 𝐵2
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VIBRACIÓN LIBRE SOBRE AMORTIGUADA
𝐪 𝐭 = 𝑨 𝒆𝒙𝒑 −𝝃𝑾𝒏 +𝑾𝒏 𝝃𝟐 − 𝟏 𝒕 + 𝑩 𝒆𝒙𝒑 −𝝃𝑾𝒏 +𝑾𝒏 𝝃𝟐 − 𝟏 𝒕
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VIBRACIÓN LIBRE CRITICAMENTE AMORTIGUADA
𝐪 𝐭 = 𝑨𝒕 + 𝑩 𝒆𝒙𝒑 −𝑾𝒏 𝒕
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IMPORTANCIA DE ESTUDIAR VIBRACIÓN LIBRE SIN AMORTIGUAMIENTO
• ENERGÍA QUE INGRESA A UNA ESTRUCTURA.
• ENERGÍA DISIPADA
• INTODUCCIÓN A DISIPADORES DE
ENERGÍA QUE TRABAJAN A FRICCIÓN Dr. Roberto Aguiar 16 04/02/2014
ENERGÍA QUE INGRESA A UNA ESTRUCTURA
𝐪 𝐭 = 𝐀 𝐂𝐨𝐬 𝑾𝒏 ∗ 𝒕 + 𝑩 𝑺𝒆𝒏 𝑾𝒏 ∗ 𝒕
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ENERGÍA QUE INGRESA A UNA ESTRUCTURA Dr. Roberto Aguiar
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ENERGÍA DISIPADA
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VIBRACIÓN LIBRE EN SISTEMAS DE 1GDL SIN AMORTIGUAMIENTO PERO CON FRICCIÓN
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SOLUCIÓN DE PRIMERA ECUACIÓN DIFERENCIAL
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CONDICIONES EN t = T/2
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SOLUCIÓN DE SEGUNDA ECUACIÓN DIFERENCIAL
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Dr. Roberto Aguiar
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IMPORTANTE COLOCAR DISPOSITIVOS DE FRICCIÓN
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SOLUCIÓN PARTE SUPERIOR
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SOLUCIÓN PARTE INFERIOR Y TOTAL
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APLICACIÓN DE RESORTES EN SERIE AISLADORES SÍSMICOS
2
2
1
1R
Wk
R
Wk DD ==
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RESORTES EN SERIE
21
21
12
21
21
21
**
RR
W
RR
WRWR
R
W
R
W
R
W
R
W
R
W
R
W
kD
=
=
=
KF
KF*q
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
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ENERGÍA DISIPADA
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
ED
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ENERGÍA ELÁSTICA
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
KF*q
EL
KF
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DISIPADORES DE ENERGÍA VISCOELÁSTICOS
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DISIPADORES DE ENERGÍA VISCOELÁSTICOS
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FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO x
Δ𝜉 = 𝑙𝑛𝑞 𝑡
𝑞 𝑡+𝑛𝑇𝑎=
2 𝜋 𝑛 𝜉
1−𝜉2
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FACTOR DE AMORTIGUAMIENTO
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MATERIAL Y/O SISTEMA
ESTRUTURAL
NIVEL DE ESFUERZOS O DEFORMACIONES x (%)
Columnas aisladoras de porcelana Deformaciones elásticas 0.5 a 1
Sistemas de tuberías que pueden vibrar
libremente
Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 1 a 2
Cercanos a sy, sin excederlo 2 a 3
Sistemas estructurales de acero soldado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3
Cercanos a sy, sin excederlo 5 a 6
Concreto Pretensado Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 2 a 3
Cercanos a estados últimos, sin perdida de pretensión. 5 a 7
Sin pretensión residual 7 a 10
Sistemas estructurales de Hormigón
Armado
Esfuerzos admisibles sin agrietamiento visible 2 a 3
Agrietamiento visible generalizado 3 a 5
Cercanos a estados últimos 7 a 10
Estructuras de acero apernadas Esfuerzos admisibles; < 0,5 sy 5 a 6
Esfuerzos a nivel de cadencia 8 a 12
Sistemas estructurales de madera, con
elementos clavados o apernados
Esfuerzos admisibles 5 a 7
Cercano a estados últimos, con juntas apernadas 10 a 15
Estado de agotamiento con juntas clavadas 15 a 20
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Factor de amortiguamiento equivalente
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
ED
Ff1
ueW
Ff2
2Ff1
2Ff2
F
WRef1+Ref2
q* 2q*
q
WRef1
KF*q
EL
KF
L
Deq
E
E
x
4=
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