Clase 17

CLASE 17: CONSTRUCCIÓN DE MATRICES DE AMORTIGUAMIENTO Y EJEMPLO PRACTICO

Profesor:LUIS AUGUSTO LARA VALENCIA

Medellín: Noviembre – 2014

Universidad Nacional de Colombia sede Medellín Departamento de Ingeniería CivilPostgrado en EstructurasDINAMICA DE ESTRUCTURAS

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES DE AMORTIGUAMIENTO

Hasta ahora se han determinado lasfrecuencias naturales y los modosnormales de vibración en estructuras sinamortiguación.

Utilizando superposición modal

Ecuaciones diferenciales desacopladas,transformando coordenadas mediante lapropiedad ortogonal de los modosnormales.

Considerar amortiguamiento significa complicar el problema. Esto debido a que lasecuaciones diferenciales del movimiento tienen términos adicionales.

Para conseguir que estas ecuaciones se desacoplen, se hace necesario imponer ciertasrestricciones o condiciones en la expresión funcional de los coeficientes de amortiguación.

A pesar de esto, la amortiguación quenormalmente existe en una estructura esrelativamente pequeño.

Prácticamente no afecta el cálculo de lasfrecuencias naturales.


Es por estos motivos que el efecto de la amortiguación se desprecia en el momentodedeterminar las frecuencias naturales y los modos normales de sistemas estructurales.

Así, el problema característico seresuelve omitiendo la amortiguación.

Utilizando la misma metodología quefue empleada en las estructuras sinamortiguamiento.

Cuales son las condiciones bajo las cuales las ecuaciones acopladas del movimiento conamortiguamiento pueden ser transformadas en ecuaciones independientes?

Construcción de matrices de amortiguamiento

Amortiguamiento de Rayleigh

Generalmente, no hay necesidad de expresar el amortiguamiento de un SVGL amortiguadopor medio de una matriz de amortiguamientoC, ya que es mejor en muchos casos emplearlos radios de amortiguamiento.


Sin embargo, en al menos dos tipos deanálisis dinámicos específicos, larespuesta no puede ser obtenida por elmétodo de la superposición modal, ypor tanto se hace necesario conocer lamatriz de amortiguamiento del sistema.

* Sistemas no lineales, en que los modosson variables.

* Análisis de sistemas lineales en queexista amortiguamientos no-proporcionales.

En ambas circunstancias, la manera más efectiva para definir la matriz de amortiguamientoes evaluar una o más matrices de amortiguamiento proporcionales.

Cuando se desarrolla un análisis no lineal, es aconsejable definir la matriz deamortiguamiento proporcional para el estado inicial elástico del sistema yasumir que estas propiedades de amortiguamiento permanecen constantes.

Esto a pesar de la perdida de energía debida a la histéresis causadapor cambios en la rigidez del sistema.


Para los casos en que elamortiguamiento se considera noproporcional.

Se puede construir una matriz deamortiguamiento global apropiadaensamblando un conjunto de matrices deamortiguamiento proporcionales.

La forma más simple de formular una matriz proporcional de amortiguamiento es hacer estaproporcional a la matriz de masa o a la matriz de rigidez del sistema estructural estudiado.

Esto se puede realizar debido a la propiedad de ortogonalidad

De esta manera, la matriz de amortiguamiento puede ser definida como:

0a====C M 1a Κ====CO (1)

Donde las constantes de proporcionalidada0 y a1 tienen unidades de s-1 y s, respectivamente.


Las anteriores ecuaciones son llamadas de matrices de amortiguamiento proporcionales a lamasa y a la rigidez, respectivamente. El amortiguamiento generalizadoutilizando estasmatrices de amortiguamiento será:

{{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}T

n n nc φ φ= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅C {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}T

o n na φ φ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅M {{{{ }}}} [[[[ ]]]] {{{{ }}}}1

T

n na φ φΚ⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅O

Recordando que:

cr

c

cξ ====

crc cξ==== 2c mωξ====

2

2 04

c k

m m− =− =− =− = 2 crc km c= == == == =

k

mω ==== 2crc mω====

2n

nn n

c

mξ

ω====


Combinando esta serie de ecuaciones, es posible concluir que:

2 n n n o nm a mω ξ = ⋅= ⋅= ⋅= ⋅

De donde se obtiene:

(2)

2o

nn

aξω

====

12 n n n nm a kω ξ = ⋅= ⋅= ⋅= ⋅O

1

2n

n

aωξ ====O (3)

Para el amortiguamiento proporcional ala masa el radio de amortiguamiento esinversamente proporcional a lafrecuencia.

Para el amortiguamiento proporcional ala rigidez el radio de amortiguamiento esdirectamente proporcional a lafrecuencia.


Es importante notar que la respuesta dinámica generalmente incluye la contribución detodos losN modos de la estructura, así en realidad se incluyan algunos pocos modos en lasecuaciones de movimiento desacopladas.

De esta manera, ninguna de las matrices de amortiguamiento analizadas anteriormente(proporcional a la masa o a la rigidez) es adecuada para utilizar con SVGL enel que lasfrecuencias de los modos significativos abarquen un amplio rango, esto debido a quelasamplitudes relativas de los diferentes modos se verán seriamente distorsionadas por radiosde amortiguamiento inapropiados.

Como superar este obstáculo?Combinando el efecto de las matrices deamortiguamiento proporcionales a la masa y a larigidez.

Sumando las expresionesmostradas en (1)Amortiguamiento de Rayleigh


De esta manera se obtiene:

0 1a a Κ= += += += +C M (4)

Empleando las expresiones mostradas en (3), es posible determinar que:

1

2 2o n

nn

a aωξω

= += += += + (5)

Las relaciones entre radio de amortiguamiento y frecuencia pueden ser vistas, gráficamente,en la Figura 1.

Figura 1. Relaciones entre radio de amortiguamiento y frecuencias

*Modificado de Clough y Penzien, 2003


Como puede ser visto, los dos factores de amortiguamiento de Rayleigh (a0 y a1) pueden serevaluados si se soluciona un sistema de ecuaciones simultaneas. Esto es valido siempre ycuando se conozcan los valores de radio de amortiguamientoξm y ξn asociados a dosfrecuencias especificasωm y ωn.

Escribiendo la ecuación (5) para dos valores de radio de amortiguamiento se obtiene:

1

1

1

12

mmm o

nn

n

a

a

ωωξ

ξ ωω

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

(6)

Despejando los valores dea0 y a1 de la ecuación (6) es posible obtener :


2 21

2 1 1n m

mo m n

nn mn m

a

a

ω ωξω ωξω ω ω ω

−−−− = ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ −−−−−−−−

(7)

Una vez evaluados estos factores, la matriz de amortiguamiento que proporcionará losvalores requeridos de radios de amortiguamiento en las frecuencias especificas (ωm y ωn)estará dada por las expresiones de amortiguamiento de Rayleigh (ecuación (4)).

Debido a que raramente se dispone de información detallada de la variación de losradios deamortiguamiento en relación a la frecuencia, generalmente se asume que elmismo radio deamortiguamiento aplica para las dos frecuencias de control. Esto es:

m nξ ξ ξ= ≡= ≡= ≡= ≡ (8)


Así, los factores de proporcionalidad estarían dados por una simplificación de la expresión(7):

Para aplicar este procedimiento en la practica se recomienda:

1

2

1o m n

m n

a

a

ω ωξω ω

==== ++++

(9)

ωm debe tomarse generalmentecomo la frecuencia fundamental delSVGL.

ωn debe tomarse la frecuencia del modomás alto que contribuya de manerasignificativa a la respuesta dinámica.

De esta forma, se asegura que el radio de amortiguamiento deseado sea obtenidopara esosdos modos.


De esta forma, los modos que seencuentran entre esas dosfrecuencias especificas tendrán losvalores de radio deamortiguamiento mas bajos

El resultado final de esta situación es que la respuesta de los modos masaltos es eliminada debido a sus altos radios de amortiguamiento.

Por otra parte, los modos confrecuencias mayores aωn tendránradios de amortiguamiento que seincrementan por encima deξn demanera monótona con la frecuencia.

Ejercicio

Para la estructura mostrada en la Figura 2, se definirá una matriz de amortiguamiento talque el radio de amortiguamiento del primer y tercer modo será 5% del amortiguamientocritico. Asumiendo un amortiguamiento de Rayleigh, evalué los factores deproporcionalidad y calcule la matriz de amortiguamiento del sistema.

EJEMPLO PRACTICO CONSTRUCCIÓN DE MATRICES DE AMORTIG UAMIENTO

Figura 2. Sistema estructural discretizado


Solución

Determinación de las propiedades de rigidez y masa del modelo estructural:

[[[[ ]]]] 1 1

1 1

a k kK

k k

−−−− ==== −−−−

1

2

21

[[[[ ]]]] 2 2

2 2

b k kK

k k

−−−− ==== −−−−

2

3

32

[[[[ ]]]] 3 3

3 3

c k kK

k k

−−−− ==== −−−−

3

4

43


Matriz de masa de la estructura

[[[[ ]]]]

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

mM

m

m

====

21 3 4

1

2

3

4

[[[[ ]]]]1 1

1 1 2 2

2 2 3 3

3 3

0 0

0

0

0 0

k k

k k k kK

k k k k

k k

−−−− − + −− + −− + −− + − ==== − + −− + −− + −− + − −−−−

1

2

3

4

21 3 4

[[[[ ]]]]3000 1200 0

1200 1800 600

0 600 600

K

−−−− = − −= − −= − −= − − −−−−

[[[[ ]]]]2 0 0

0 1,5 0

0 0 1

M

====

Frecuencias del sistema

(((( ))))det 0K Mλ− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =

3000 1200 0 2 0 0

det 1200 1800 600 0 1,5 0 0

0 600 600 0 0 1

λ −−−− − − − ⋅ =− − − ⋅ =− − − ⋅ =− − − ⋅ = −−−−

3000 2 1200 0

det 1200 1800 1,5 600 0

0 600 600

λλ

λ

− −− −− −− − − − − =− − − =− − − =− − − = − −− −− −− −


(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))

3000 2 1800 1,5 600 1200 600 0

0 1200 600 3000 2 600 600 1200 1200 600

0 1800 1,5 0 0

iDet λ λ λ λ

λ λ

λ

− = − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅− = − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅− = − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅− = − ⋅ − ⋅ − + − ⋅ − ⋅

+ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ −+ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ −+ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ −+ ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ − ⋅ −

− ⋅ − ⋅ =− ⋅ − ⋅ =− ⋅ − ⋅ =− ⋅ − ⋅ =

K M


(((( )))) 3 2+3300 -2700000 432000000 =0iDet λ λ λ λ− = − +− = − +− = − +− = − +K M

La solución de esta ecuación algebraica de tercer grado tiene las siguientes raíces:

1 210,88λ ==== 2 963,96λ ==== 3 2125,16λ ====

Con esto, las frecuencias naturales pueden ser calculadas:

1 14,52 /rad sω ==== 2 31,05 /rad sω ==== 3 46,10 /rad sω ====

Los modos normales quedan determinados por la sustitución de los valores de lasfrecuencias naturales en la siguiente ecuación:


(((( )))) 0iλ φ− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =− ⋅ =iK M

1

2

3

3000 2 1200 0

1200 1800 1,5 600 0

0 600 600

i

i

i

λ φλ φ

λ φ

− −− −− −− − − − − ⋅ =− − − ⋅ =− − − ⋅ =− − − ⋅ = − −− −− −− −

(((( )))) 1 23000 2 1200 0i i iλ φ φ− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =− ⋅ − =

(((( ))))1 2 31200 1800 1,5 600 0i i i iφ λ φ φ− ⋅ + − − ⋅ =− ⋅ + − − ⋅ =− ⋅ + − − ⋅ =− ⋅ + − − ⋅ =

(((( ))))2 3600 600 0i i iφ λ φ− ⋅ + − ⋅ =− ⋅ + − ⋅ =− ⋅ + − ⋅ =− ⋅ + − ⋅ =

Escogiendo arbitrariamenteф1i =1,ф2i =1 yф3i =1, entonces se encontrará que:

11

21

31

1

2,15

3,32

φφφ

====

12

22

32

1

0,89

1,47

φφφ

==== −−−−

13

23

33

1

1,04

0,41

φφφ

= −= −= −= −


Ahora, se puede centrar en el problema de la matriz de amortiguamiento proporcional deRayleigh. El problema de coeficientes estaría definido por:

1

1

1

12

mmm o

nn

n

a

a

ωωξ

ξ ωω

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

1

114,52

0,05 14,521

0,05 1246,1

46,1

oa

a

= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅= ⋅ ⋅

0 10,0344 7,26 0,05a a+ =+ =+ =+ =

0 10,0108 23,05 0,05a a+ =+ =+ =+ = 1

1,1123

0,0016oa

a

====

Calculados los coeficientes de participación, se calcula la matriz de amortiguamiento delsistema.

RESPUESTA DINÁMICA DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD AMORTIGUADOS

1,1123 0,0016= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅= ⋅ + ⋅C M K

A manera de ejemplo, se calculará cual seria el radio de amortiguamiento del segundo modosi se utilizan los coeficientes de proporcionalidad de Rayleigha0 y a1. De esta manera esposible observar que:

2 0 0 3000 1200 0

1,1123 0 1,5 0 0,0016 1200 1800 600

0 0 1 0 600 600

−−−− = ⋅ + ⋅ − −= ⋅ + ⋅ − −= ⋅ + ⋅ − −= ⋅ + ⋅ − − −−−−

C

7,02 1,92 0

1,92 4,55 0,96 /

0 0,96 2,07

kip s in

−−−− = − − ⋅= − − ⋅= − − ⋅= − − ⋅ −−−−

C


1

2 2o n

nn

a aωξω

= += += += +2

1,1123 0,0016 31,05

2 31,05 2ξ ⋅⋅⋅⋅= += += += +

⋅⋅⋅⋅2 0,0428 4,28%ξ = == == == =

Así, es posible comprobar que a pesar de usar únicamente los radios de amortiguamiento delprimer y tercer modo para determinar los coeficientes de proporcionalidad, el valor del radiode amortiguamiento obtenido para el segundo modo mediante la expresión (5) es consistentecon lo que se esperaría de él (un valor del 5%).

Vale la pena aclarar que existen otros métodos de cálculo de la matriz de amortiguamientoproporcional de un sistema estructural. Mayores detalles de estas formulaciones pueden serencontradas enClough and Penzien, 2003.


Construcción de matrices de amortiguamiento no proporcional

Se han descrito procedimientos para elcálculo de matricesC para sistemas condistribución de amortiguamiento uniforme.

Son la mayor parte de lasestructuras usuales, pero que pasacon las estructuras compuestas?

Cuando se tiene mas de un tipo de material, generalmente se tienendiferentes mecanismos de perdida de energía en varias partes de laestructura.

La distribución de fuerzas deamortiguamiento no será similar a ladistribución de las fuerzas elásticas einerciales.

El amortiguamiento será no proporcional


Matrices de amortiguamiento no proporcional

Se construyen aplicando procedimientossimilares a los ya aplicados con las matrices deamortiguamiento proporcional.

Se calculan matrices de amortiguamiento proporcional para cada “sección” de la estructura,y después se combinan dentro de una matriz formada por ensamble directo.

La Figura 3 muestra un edificio de 10 pisos compuesto que servirá de ejemplo:

Figura 3. Sistema discretizado



Figura 4. Ensamble de las matrices*Modificado de Clough y Penzien, 2003

La Figura 4 presenta el ensamble de las matrices de propiedades combinadas del edificio

Para la mayoría de casos se recomienda utilizar el procedimiento de Rayleigh paradeterminar las submatrices de amortiguamiento proporcional de cada subestructura.


De esta forma, las submatrices de las subestructuras de acero y concretoseránrespectivamente:

0 1 acero acero aceroa a Κ= += += += +C M 0 1 concreto concreto concretoa a Κ= += += += +C M (10)

De donde las constantes de proporcionalidad de la subestructura de acero pueden serevaluadas por:

1

2

1oacero m nacero

acero m n

a

a

ω ωξω ω

==== ++++

(11)

Las constantes de proporcionalidad de la subestructura de concreto del ejemplo tomadoserán el doble de las de la subestructura de acero, esto debido a que el radio deamortiguamiento del sistema construido en concreto es el doble del sistemaconstruido enacero.


Las constantes de proporcionalidaddependen de las frecuencias (ωm yωn).

Estas frecuencias deben serdeterminadas solucionando elautoproblema del sistema combinado.

Debe usarse las matrices de masa y rigidez combinadas

ωm debe tomarse como la frecuenciafundamental del SVGL combinado.

ωn , para este edificio de 10 pisos, debeemplearse la séptima u octavafrecuencia.

Al determinar la matriz de amortiguamiento generalizado, se encontrara quela matrizresultante no es diagonal, esto debido a la no proporcionalidad del sistema.

No se puede usar superposición modal Usar métodos de integración paso a paso


Una solución aproximada puede ser obtenida ignorando los términos fuera de la diagonal dela matriz de amortiguamiento, y resolver las ecuaciones desacopladas comose ha mostradoen el método de superposición.

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