Clase 2 - Ingenieria Economica 2011-1
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MBA Víctor Velásquez Mejía Periodo 2011-1 Ingeniería Económica
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MBA Víctor Velásquez Mejía
Periodo 2011-1
Ingeniería Económica
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Clase Semana # 2 Menú
Valor presente,
Valor Futuro y
otras fórmulas
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Que no debemos sumar dinero que se
encuentra en periodos de tiempo distintos.
La diferencia entre la tasa de interés
nominal y efectiva
Cómo convertir tasas de interés de un
periodo a otro periodo
Cómo graficar flujos de dinero (flujos de
caja)
La clase anterior aprendimos… Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Ud. quiere comprar un departamento en San Borja.
Cuota Inicial: US$ 10,000.
7 pagos anuales de US$ 5,000 (desde año 2, o sea 2 años de gracia)
Interés: 12% anual
El valor presente
Un ejemplo simple…
0 1 2 3 4
US$ 10,000
US$ 5,000
5 6 7 8
El total a pagar, sin considerar el valor del dinero en el tiempo es:
10,000 + 5,000 x 7 = US$ 45,000
Pero a cuánto equivalen todos los flujos en EL PRESENTE?
Menú
Años
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Compra de un departamento en San Borja.
Cuota Inicial: US$ 10,000.
7 pagos anuales de US$ 5,000 (1 año de gracia)
Interés: 12% anual
El valor presente
Un ejemplo simple…
0 1 2 3 4
US$ 10,000
US$ 5,000 cada año
5 6 7 8
Menú
Hay que llevar los
flujos futuros al
presente
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Veamos la cuota #2. ¿Cómo la traeríamos a valor presente?
¿Cuál es el valor que luego de 2 años es equivalente a US$ 5000?
El valor presente
Un ejemplo simple
Valor [año 0] x (1+ i) = Valor [año 1]
Valor [año 1] x (1+ i) = Valor [año 2] = 5000
O sea que: Valor [año 0] x (1 + i)2 = 5000
Valor [año 0] = 5000 / (1 + i)2
Interés 12%
Año 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Flujo 10.000 - 5.000 - 5.000 - 5.000 - 5.000 - 5.000 - 5.000 - 5.000 -
VP 10.000 - 3.986 - 3.559 - 3.178 - 2.837 - 2.533 - 2.262 - 2.019 -
VP Total 30.373,9 -
Menú
ni)(1
1 F P
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Una ancianita deposita US$ 1000 hoy, US$ 2000 en 2 años y US$ 6000 en 5 años.
a) ¿Cuánto valdrían los aportes de la ancianita HOY? (considerar i = 5% anual)
b) ¿Cuánto tendrá ahorrado dentro de 10 años (considerar i = 5% anual)
El valor presente
Otro ejemplo simple Menú
¿? 0 1 2 3 4
US$ 1,000
US$ 6,000
5 años
US$ 2,000
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
¿Cuánto sería el valor presente de los ahorros de la ancianita?
El valor presente
Otro ejemplo simple Menú
Y ahora cómo llevamos los US$ 7515 a
dentro de 10 años?
Dentro de 10 años la ancianita tendría US$
12,241 ahorrados (si sigue viva).
Tasa 5%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ahorros -1000 -2000 -6000
VP 1.000,0 - 1.814,1 - 4.701,2 -
VP 7.515 -
US$ 12,241!!!
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Hasta el momento la única fórmula que hemos aprendido ha sido:
El valor presente
La fórmula clave del curso Menú
En teoría, con dicha fórmula puede resolverse cualquier ejercicio de
Ingeniería Económica.
Pero existen otras fórmulas que podrían sernos útiles…
Si en el ejemplo anterior, quisiéramos saber cuánto tendría que ahorrar
la abuelita de forma constante durante 10 años para tener el mismos
ahorro al final del año 10, ¿cómo haríamos?
ni)(1
1 F P
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
El flujo de ahorros de la ancianita sería ahora constante:
Series uniformes
A lo largo del tiempo Menú
Se puede hallar la anualidad “A” por tanteo… pero hay una fórmula
sencilla para ello:
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Ahorros A A A A A A A A A A
1i)(1
i)(1 i P A
n
n
Aplicando la fórmula, la ancianita tendría que ahorrar anualmente US$
973,25 cada año durante 10 años para tener el mismo nivel de ahorro al
final del décimo año (es decir, US$ 12,241)
US$973.2515%)(1
5%)(1 5% 7515 US$ A
10
10
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MS Excel tiene una fórmula para calcular la anualidad:
Series uniformes
Aplicando MS Excel Menú
= Pago(i ; n ; P)
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Fórmulas
y cálculos
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
a) Valor futuro dado un valor presente
0 1 2 3 4
P F
5 6 7 8
i)(1 P F n
Fórmulas Clave
Notación Simplificada: F = P(F/P, i%, n)
Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
b) Valor presente dado un valor futuro
0 1 2 3 4
P
F
5 6 7 8
ni)(1
1 F P
Notación Simplificada: P = F(P/F, i%, n)
Formulas Clave Menú
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c) Pago uniforme dado un valor presente
0 1 2 3 4
P
A
5 6 7 8
1i)(1
i)(1 i P A
n
n
A A A A A A A
Formulas Clave
Notación Simplificada: A = P(A/P, i%, n)
Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
d) Valor presente dado un pago uniforme
0 1 2 3 4
P
A
5 6 7 8
n
n
i)i(1
1i)(1 A P
A A A A A A A
Formulas Clave
Notación Simplificada: P = A(P/A, i%, n)
Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
e) Valor futuro dado un pago uniforme
0 1 2 3 4
A
5 6 7 8
F
i
1i)(1 A F
n
A A A A A A
Formulas Clave
Notación Simplificada: F = A(F/A, i%, n)
Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
f) Pago uniforme dado un valor futuro
0 1 2 3 4
A
5 6 7 8
F
1i)(1
i F A
n
A A A A A
Formulas Clave
Notación Simplificada: A = F(A/F, i%, n)
Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Gradientes: una variante adicional
0 1 2 3 4
A
5 6 7 8
A A A A A A A
+
Gn
+
Gn
+
Gn
+
Gn
+
Gn
+
Gn +
Gn
+
Gn
Factores de cálculo Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Gradientes: una variante adicional
Factores de cálculo
nn
n
i)(1
n
i)i(1
1i)(1
i
G P
ni
1i)(1
i
G F
n
1i)(1
n
i
1 G A
n
Valor presente dada una Gradiente
Valor futuro dada una Gradiente
Pago uniforme dada una Gradiente
P = G(P/G, i%, n)
F = G(F/G, i%, n)
A = G(A/G, i%, n)
Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
¿Cuál es la mejor manera de
entender las fórmulas?
a) Memorizarlas
b) Ponerlas en mi calculadora
c) Deducirlas
d) Hacer ejercicios
Menú
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Elección de Delegados
Menú
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Un ejecutivo aporta US$ 75 mensuales durante 20 años para su
fondo de pensiones. ¿Cuál será el valor presente de dichos
pagos?
Ejercicios
Ejercicio 1: Calculando el Valor Presente Menú
(considere que el banco ofrece una tasa de interés pasiva de 5% anual)
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Se tiene el siguiente flujo de caja:
Ejercicios
Ejercicio 2: Calculando series uniformes Menú
Hallar la serie uniforme anual equivalente, a 8 años y 20% de interés anual
0 1 2 3 4
US$ 1000
5 6 7 8
US$ 1200 US$ 1500
Años
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Menú Ejercicios
Una persona deposita US$ 1000 anuales durante 8 años, comenzando el próximo año. a) ¿Cuánto tendrá ahorrado al final de los 8 años, al 14% anual? b) ¿Cuánto sería ese dinero hoy?
Ejercicio 3
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Menú Ejercicios
¿Cuánto dinero debe depositar anualmente una persona, empezando dentro de un año al 5,5% anual con el objetivo de acumular US$ 6000 dentro de 7 años?
Ejercicio 4
0 1 2 3 4
A
5 6 7
US$ 6000 A A A A A
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Menú Ejercicios
Ejercicio 5:
Ahorros incrementales en el tiempo
Una pareja está por tener un hijo y deciden empezar a ahorrar para sus estudios. (tasa de interés: 5% anual)
Se proponen empezar con un ahorro anual de US$ 500 a partir del próximo año y tienen como meta ir incrementando ese ahorro en US$ 100 cada año durante 10 años. ¿Cuál sería el valor presente de sus ahorros?
¿Cuánto tendrán ahorrado al final del año 10?
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Una metalmecánica compra una nueva
fresadora por US$ 15,000 con un valor de
salvamento de US$ 3,000 al final de su vida
útil (18 años).
Los gastos de operación de la máquina nueva
serán de US$ 1900 por año.
Adicionalmente, se requiere una revisión
general cada 5 años con un costo de US$
2,950 cada vez.
a) ¿Cuál sería el valor presente de todos los
costos y gastos incurridos? (tasa anual =
18%)
b) Si se decidiera alquilar la fresadora, ¿cuál
sería el máximo alquiler anual que se debería
pagar al dueño?
Ejercicios
Ejercicio 6: Una nueva máquina
Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Un restaurante solicita un préstamo para
remodelar el local por US$ 18,000 a una tasa
de interés nominal de 12% anual capitalizada
mensualmente.
La empresa quiere pagar la deuda en 14
pagos mensuales iguales.
a) ¿Cuál debería ser el monto de cada pago?
b) ¿Si luego de 8 pagos la empresa desea pagar
totalmente el saldo de la deuda en el noveno
mes, ¿cuánto deberá pagar? (asumir que no
hay penalidad por prepago).
Ejercicios
Ejercicio 7: Préstamo Comercial
Menú
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Menú Caso: Agente de Seguros
Un agente de seguros le ofrece a un joven ejecutivo
(quien acaba de ser padre) un seguro de vida con
una cobertura de hasta US$ 100,000 con reembolso
(es decir, parte de lo pagado retorna al final de un
lapso) .
Si aporta US$ 75 mensuales durante 20 años podrá
rescatar US$ 24,000 al final de esos 20 años
(obviamente, si fallece antes, su esposa cobrará los
US$ 100,000 del seguro de vida)
El agente le presenta el siguiente cuadro al ejecutivo
Suma Años de Retiro en Inversión Inversión Inversión Inversión Rescate Utilidad % Utilidad Utilidad
Asegurada Aportes el año Anual Semestral Mensual Total Total Total Total Por Año
$100.000,00 20 20 $900,00 $225,00 $75,00 $18.000,00 $24.000,00 $6.000,00 33,33% $300,00
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Menú
Usted, como alumno del curso de Ingeniería Económica,
debe responder las siguientes consultas del ejecutivo.
1. Grafique el flujo de caja para el ejecutivo.
2. ¿Cuánto tendría el ejecutivo si en lugar de contratar el seguro ahorra los US$ 75 a
una tasa de 6% anual?
3. ¿Cuál es la “tasa de interés” efectiva anual que daría el retorno indicado por el
agente (US$ 24,000 luego de 20 años)? ¿Cuál sería la tasa equivalente trimestral?
4. ¿Qué comentarios tiene respecto del cuadro presentado por el agente?
5. Qué le conviene hacer al ejecutivo, contratar el seguro o ahorrar en el banco dicho
dinero?
6. Si el ejecutivo le da la opción de pagar US$ 100 al mes (ya no US$ 75), y rescatar
US$ 30,000 (ya no US$ 24,000), ¿esta alternativa sería más conveniente? (la cobe
rtura se mantiene en US$ 100,000).
Caso: Agente de Seguros
MBA Víctor Velásquez Mej{ia
Menú Lo que se viene…
Examen Parcial 1a Práctica
Introducción + Tasa
de Interés Fórmulas de
Ing. Económica
Herramientas de
Evaluación de
Proyectos
Sem 1
Sem 2
Sem 3
Sem 4
Sem 5
Sem 6
Sem 7
Sem 8
Decisiones de la vida
real - CAUE
Repaso –
Preparación para el
ex. Parcial
Valor presente,
futuro y series uniform
es
