Clase 25 – Aplicacion: Graficacion de ecuaciones cuadraticas en 3DAlgebra Lineal Escuela de Matematicas - Facultad de CienciasCodigo 1000 003 Universidad Nacional de Colombia

1 Optimizacion restringida

Sea f (x) = xT Ax una forma cuadratica, donde A es una matriz simetrica n× n. La funcion f se puede optimizarsujeta a la a la restriccion ‖x‖ = 1 utilizando el siguiente teorema.

Teorema 1 Sea f (x) = xT Ax una forma cuadratica con matriz simetrica asociada A n× n. Sean λ1 ≥ · · · ≥ λn los valorespropios de A. Entonces lo siguiente es verdadero, sujeto a la restriccion ‖x‖ = 1.

1. λ1 ≥ f (x) ≥ λn

2. El valor maximo de f (x) es λ1 y ocurre cuando x es un vector propio unitario asociado a λ1

3. El valor mınimo de f (x) es λn y ocurre cuando x es un vector propio unitario asociado a λn

Ejemplo: Encontrar los valores maximos y mınimos de la funcion f (x, y) = 5x2 + 4xy + 2y2 sujeto a la restriccion‖x‖ = 1. Para esto notemos que f es una forma cuadratica cuya matriz asociada es

A =

[5 22 2

].

Los valores propios de A son λ1 = 1 y λ2 = 6. Por lo tanto el valor maximo de f (x) sujeto a la restriccion ‖x‖ = 1 esλ = 6 y el valor mınimo de f (x) sujeto a la restriccion ‖x‖ = 1 es λ = 1.

2 Graficacion de superficies en R3

Sea f (x) = xT Ax una forma cuadratica, donde A es una matriz simetrica n× n. Recordemos que como A es unamatriz simetrica entonces A es diagonalizable ortogonalmente. Por lo tanto podemos encontrar una matriz ortogonalQ y una matriz diagonal D tales que

A = QDQT.

Si hacemos el cambio de variables y = QTx, entonces la forma cuadratica se ve de la forma

xT Ax = yTDy = λ1y21 + · · ·+ λny2

n.

Este cambio de variables nos permite identificar superficies en R3 descritas por ecuaciones cuadraticas. En posicionestandar las graficas de las superficies cuadraticas se muestran al final de este archivo.

Ejemplo. Determinar que tipo de superficie en R3 corresponde a la ecuacion 5x2 + y2 + z2 + 6yz = 2.Para empezar notemos que el lado izquierdo de la anterior ecuacion corresponde a la forma cuadratica

f (x, y, z) = 5x2 + y2 + z2 + 6yz.

La matriz asociada a esta forma cuadratica es la matriz

A =

5 0 00 1 30 3 1

.

En otras palabras f (x, y, z) = xT Ax. Mediante un calculo directo se puede ver que los valores propios de A sonλ1 = 5, λ2 = 4 y λ3 = −2. Los espacios propios correspondientes son

E5 = gen

1

00

, E4 = gen

0

11

y E−2 = gen

0−11

.

1

De lo anterior podemos deducir que los vectores

x1 =

011

, x2 =

01√2

1√2

y x3 =

0− 1√

21√2

forman una base ortonormal de vectores propios de A. Por lo tanto si tomamos

Q =

1 0 00 1√

2− 1√

20 1√

21√2

y

5 0 00 4 00 0 −2

entonces obtenemos A = QDQT que es precisamente la diagonalizacion ortogonal de la matriz A. Notemos quedet(Q) = 1 y por lo tanto Q corresponden a una rotacion en R3. Para simplificar la forma canonica realizamos elcambio de variables x′

y′

z′

= QT

xyz

.

En las variables x′, y′, z′ la forma cuadratica f se ve de la forma

f (x, y, z) =[

x y z]

A

xyz

=[

x′ y′ z′]

D

x′

y′

z′

= 5(x′)2 + 4(y′)2 − 2(z′)2.

Por lo tanto la ecuacion5x2 + y2 + z2 + 6yz = 2

en las variables x′, y′, z′ se convierte en la ecuacion

5(x′)2 + 4(y′)2 − 2(z′)2 = 2,

es decir,(x′)2

2/5+

(y′)2

1/2− (z′)2 = 1.

Esta ecuacion corresponde a un hiperboloide con una sola rama. Como det(Q) = 1, entonces la ecuacion 5x2 + y2 +z2 + 6yz = 2 corresponde a un hiperboloide con una sola rama rotado cuyos ejes principales son

q1 = Q

100

=

100

,

q2 = Q

010

=

01√2

1√2

,

q3 = Q

001

=

0− 1√

21√2

.

2

Elipsoide

 

Hiperboloide de dos hoja

 

Hiperboloide de una hojaHiperboloide de una hojaHiperboloide de una hoja

 

 

Cono elíptico

3

Paraboloideelíptico

 

Paraboloidehiperbólico

 

4