Clase 3
101
La complejidad del sistema económico: herramientas matemáticas para su análisis. Dr. Juan E. Nápoles V. Facultad de Ciencias Económicas UNNE 2015
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Los fractales
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La complejidad del sistema económico: herramientas
matemáticas para su análisis.
Dr. Juan E. Nápoles V.
Facultad de Ciencias EconómicasUNNE2015
LOS FRACTALES
EL INFINITO AL ALCANCE DE LA MANO
En pasos de 100 Km el resultado es 2.400 Kms
En pasos de 50 Km el resultado es 3.050 Kms
En pasos de 25 Km el resultado es 3.625 Kms
En pasos de 10 metros el resultado es 45.500 Kms
En pasos de 5 metros el resultado es 54.000 Kms
(como dato de comparación: el ecuador terrestre mide 40.000 Kms)
Término acuñado por Mandelbrot en 1975 por la fusión (?) de las palabras fractus (romper) y fracture (fractura), dando una función doble (sustantivo/adjetivo) a su creación.
Un fractal es un conjunto de puntos, cuya dimensión no necesariamente es entera, es decir, puede tener dimensión fraccionaria y puede ser caracterizado por las siguientes propiedades:
Infinitud o nulidad. Autosimilitud. Compleja estructura a cualquier escala.
La autosimilitud es un concepto que se puede entender de una forma muy intuitiva; a grandes rasgos, visualicemos un objeto geométrico, o una figura, ahora imaginemos que esta figura está compuesta de figuras más pequeñas, cada una de las cuales se ve idéntica a la figura original excepto por el tamaño; y a su vez cada una de estas figuras más pequeñas se compone de figuritas todavía más pequeñas y así sucesivamente...
,)(inf)(1)(
k
pk
Xdp XdextX
i
Sea p un número real no negativo arbitrario, 0p< y dado >0, definamos
Cuando 0, el número p
Tiende de manera monótona creciente a un determinado límite (finito o infinito) que depende de p, y que sirve para definir la dimensión de conjunto, debido a que el límite toma um valor finito y no nulo, a lo sumo, para um valor de p.
D
p
0
Dimensión de Hausdorff
p
Dimensión de Hausdorff-Besicovich
K. Weierstrass (1815-1897) G. Cantor (1815-1897)
A. M. Lyapunov (1857-1918) G. Peano (1858-1932)
N. Von Koch (1815-1897) W. Sierpinski (1882-1969)
G. Julia (1893-1978) B. Mandelbrot (1924-2010)
Los fractales matemáticos, Los fractales naturales (árboles, montañas, nubes, etc.), y Los fractales humanos.
CLASIFICACIÓN• Fractales como límites de poligonales. • Fractales como límites de areas. • Fractales como límites de volúmenes.
La Curva de Von Koch se construye recursivamente
k=1
k=2
k=3
k=4
……………… …..
k infinito
La Curva de Von Koch es autosemejante, es más . . .
. . . Si la ampliamos con un zoom x3…
. . . obtenemos 4 copias de la curva original…
Triángulo de Sierpinski
Este triángulo es uno de los pocos fractales que se puede dibujar sin ayuda de una computadora bajo las siguientes instrucciones:
La escalera del diablo. El helecho Orbitas caóticas.
La escalera del diablo
Agregar alturas al Conjunto de Cantor.
…Hay objetos que son “más que una curva” pero sin llegar a ser una superficie…
Por ejemplo, la Curva de Peano
Podría pensarse que es unidimensional por ser una curva, pero es bidimensional porque el límite cubre todo el cuadrado.
Otra quimera matemática es la extensión del Triángulo de Sierpinski:
El helecho
Michael Barnsley tomó un camino diferente; en vez de generar los fractales iterativamente, él convirtió el azar en el bloque fundamental de los fractales, y a esta nueva técnica la denominó "EL JUEGO DE CAOS"
El Conjunto de Mandelbrot
Zn+1 = (Zn)2 + Zo
Se construye en el plano complejo, recursivamente, partiendo de un valor inicial Zo y calculando los siguientes valores como
(Z0) Z1 Z2 ... Zn Zn+1 ...
¿Para qué valores Zo esta sucesión se va a infinito?
¿Con qué rapidez se va a infinito?
Si pintamos los puntos que se van a a infinito de blancoobtenemos el siguiente gráfico
El Conjunto Mandelbrot M, consiste de todos aquellos valores (complejos) de c cuyas órbitas de 0 bajo z2 + c correspondientes, no escapan al infinito
{c / órbita de 0 en Z2+c converge}
El Mundo Mandelbrot
El conjunto de Mandelbrot es, como dijo James Gleick, “el objeto más complejo de las Matemáticas”
CONJUNTOS DE JULIA
En el plano complejo, la sucesión
Zn+1=Zn2+C,
determina, para cada valor de C, un Conjunto de Julia, que está formado por los Z0 cuyas órbitas convergen.
El fractal de Mandelbrot
Es una de esas curvas que desafía nuestra capacidad de entendimiento "geométrico", muy habituada a las estructuras euclídeas, simples y prácticas.
Característica fractal de Mandelbrot
Una de las características más espectaculares de estos fractales, es que son no derivables en todos sus puntos. En lenguaje menos matemático: una curva cualquiera es no derivable en un punto cuando, aun existiendo ese punto, forma un pico o esquina.
La figura muestra una zona del fractal de Mandelbrot bastante parecida a la figura de la diapositiva anterior.
Pero al ampliar la zona del punto A, observamos que las cosas se complican: aparecen más y más picos por todos sitios...
Modelando la Naturaleza
¿La geometría clásica sirve para representar la Naturaleza?
¿podemos representar una nube con rectas, circunferencias y curvas?
Árboles, foto del autor
Helechos, foto del autor
Imagen de la página de Paul Bourke http://local.wasp.uwa.edu.au/~pbourke/fractals/selfsimilar/
Patrones de autosemejanza en una hoja, foto del autor
Formas fractales vegetales, foto del autor
Formas fractales vegetales, foto del autor
Formas fractales vegetales, foto del autor
Formas fractales animales, foto del autor
Formas fractales inanimadas, foto del autor
Formas fractales inanimadas, foto del autor
La Curva de Von Koch aparece en la Naturaleza…
¿Cómo son los anillos de Saturno?
Desde su descubrimiento por Galileo se pensó que era un único anillo…
Con la evolución de los telescopios se probó que había muchos…
…y que se distribuían como el Conjunto de Cantor…
Algunas de estas ideas, se usan en la tecnología, por ejemplo, en el diseño de circuitos y antenas.
3<5<7<9<11<...<3.2<5.2<...<3.22<5.22<...<23<22<2<1
Teorema. Si una función continua f:RR tiene un punto periódico con período k, entonces también tiene un punto con período n, para cada k<n (en (1)).
xn+1 =.xn (1-xn ),
A medida que crece de 3 a 4 existen grandes variaciones en la estructura del sistema.
Resumiendo los resultados experimentales para 3 en una tabla se tiene
n incremento en
Cociente entre
incrementos sucesivos
12345678
3,0000003,4494993,5440903,5644073,5687593,5696923,5698913,569934
-0,4494990,0945910,0203130,0043520,0009330,0001990,000043
--
4,7520271484,6566730674,6675091914,6645230444,6884422114,627906977
A partir de una transformación geométrica sencilla realizada en un anillo, Steve Smale, en
Berkeley, elaboró un atractor extraño, el “solenoide”, que traza una especie de ovillo de
hilos enrollados alrededor de un eje.
Representación esquemática de un atractor general, denotado aquí por una A negra: las regiones próximas
(sombreadas) se contraen hacia el atractor a medida que pasa el tiempo.
Aplicaciones Fractales y…Algo más¡¡¡¡¡
Fractales en Medicina - Neurociencias
Simulación de una imágen del Cerebro Humano
Iteración de la fórmula: Zn+1 = Z0 + CDiferencia con el Conjunto de Mandelbrot, se colorean TODOS los puntos y no solo los convergentes.
Modelo de Neurona con el que trabaja la Medicina Actual
Primeros pasos para desarrollar un modelo Neuronal Fractal.
Se elige un generador (A), se propone un algoritmo (B) se comienza a desarrollar el fractal (C y D).
Se puede llegar a diferentes modelos dependiendo el generador y algoritmo elegido.
Mas Fractales en Medicina
Imagen de un Pulmón humanocon características fractales
Imagen de un Pulmón animalcon las mismas características
Fractales, Estadística y Medicina
El análisis de autosimilitud y patrones, no necesariamente tiene que estudiarse desde imagenes, puede hacerse tambien desde ecuaciones o curvas como en este caso de EEG o Series de Tiempo
Imagen de aumentada con detallesde un pulmón humano
Cardiología FractalECG visto como una serie de tiempo.
Se realiza un análisis Fractal para determinar la DF de ECG de pacientes sanos y de pacientes con determinadas patologías.
Problema:Diversos estudios de ECG mostraban una inconsistencia entre el tamaño de la arteria izquierda en relación con la fibrilación arterial.
Hipótesis:Mediante un Análisis de la Dimensión Fractal de una fibrilación arterial proveniente de un ECG se puede predecir el tamaño de la arteria izquierda.
Método: Se estudian 53 pacientes con fibrilación arterial.
Resultados:
Si la DF es mayor a 1.14, el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es de 4,6 cm. o mayor.
Si la DF es menor que 1.09 , el tamaño de la arteria izquierda en TODOS los pacientes, es menor a 4,6 cm.
Si la DF se encuentra entre 1.09 y 1.14, no presenta una correlación con el tamaño de la arteria izquierda.
Series de Tiempo como Fractales Caóticos
Con el mismo procedimiento descrito anteriormente se genera un fractal lineal, con autosimilitud perfecta, que representa el gráfico de una serie de tiempo.
La evolución y dinámica de diferentes sistemas biológicos, sociales, económicos o médicos pueden ser vistos y representados como series de tiempo.
Gráfico de la evolución de precios en la Bolsa de Comercio de Canadá, la cual puede ser tratada y estudiada como una serie de tiempo.
Un ElectroEncefalograma también puede ser visto y tratado como una serie de tiempo
En ambos casos se realiza un Análisis Fractal para determinar el grado de autosimilitud que poseen estas series, y en base a eso se puede conocer más acerca de su dinámica, lo cual permite realizar inferencias sobre el sistema.
Fractales en Economía y Finanzas
Teoría Multifractal en elAnálisis de la Bolsa de
Comercio
A la izquierda modelos tradiconales en elAnálisis de charts. A la derecha el mismoAnálisis pero utilizando técnicas Fractales
Notar la diferencia en el detalle.
Enconomía FractalMercados Financieros vistos como series de tiempo.
Se realiza un Análisis para determinar la DF de la serie de tiempo con el objeto de conocer la dinámica del movimiento de precios dentro de la Bolsa de Comercio y poder inferir sobre valores futuros.
Se calcula la DF mediante el algoritmo denominado Exponente de Hurst.
Propiedades del exponente de Hurst (H):
Varía entre 0 y 1
Si H = 0,5 del exponente indica que la serie de tiempo es TOTALMENTE aleatoria por lo cual no se puede inferir en el futuro.
Si 0 < H < 0,5 existe una correlación inversa. Si la tendencia de la serie era decreciente, en intervalos posteriores será creciente, y por el contrario, si su tendencia era creciente, en el futuro será decreciente.
Si 0,5 < H < 1 existe una correlación directa. Si en un intervalo de tiempo la serie es creciente, lo seguirá siendo en el futuro, y viceversa.
Aplicación al Mercado Financiero.Si se estudia la evolución en el tiempo del precio de determinada acción mediante esta técnica se puede inferir:
Si el valor de H de la serie de tiempo es 0,5 no puedo decidir que hacer con mis acciones.
Si 0 < H < 0,5 && previamente creciente => VENDO (infiero que luego el valor disminuyendo) Si 0 < H < 0,5 && previamente decreciente => COMPRO (infiero que luego el valor aumentará)
Si 0,5 < H < 1 && previamente creciente => COMPRO (infiero que el valor seguirá aumentando) Si 0,5 < H < 1 && previemante decreciente = > VENDO (infiero que el valor seguirá disminuyendo)
Análisis Fractal de índices bursátiles
Análisis del índice de valores de las acciones de la empresa Google, perteneciente al indicador de acciones tecnológicas de EEUU NASDAQ.
Período: Desde el primer día de cotización hasta Setiembre de 2008 donde se produce el crash financiero.
El índice tiene un piso de 100 U$S y llegó a cotizar 780 U$S.
El índice fractal calculado de esta serie de tiempo (el Exponente de Hurst), tiene un valor de 0,58.
Lo cual indica que el movimiento de precios tuvo una dinámica cercana a la aleatoriedad.
Análisis del índice de valores de las acciones de la Bolsa de Comercio de Buenos Aires, MERVAL, del día 22 de Octubre de 2008.
Este día las acciones han tenido una caída del 10%.
El índice fractal calculado ha sido de 0.75%.
El mismo es significativamente superior a 0,5,. Lo cual indica una dinámica alejada de la aleatoriedad, esto significa que hubo coordinación en la compra y venta de acciones a lo largo de ese mismo día. Miles de mentes pensaron lo mismo al mismo tiempo.
Mediante este tipo de análisis es posible sacar patrones de comportamiento y comprender con mayor eficacia la dinámica de un sistema hiper-complejo como la Bolsa de Comercio
Fractales y Arquitectura
Arte Fractal
Estas tres imagenes de ArteFractal muestran Fractalesmatemáticos perfectamentereconocibles, el Conjunto de Mandelbro y el Conjunto deJulia
Fractales manipuladosmediante un softwarepara generar paisajesFractales, utilizados en el cine o videos para suplantarmaquetas.
¿Qué son los fractales?
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Aprecia el arte de la Naturaleza a tu
alrededor.
