Clase 3.1 Anualidades y Gradientes

8/16/2019 Clase 3.1 Anualidades y Gradientes

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INGENIERÍA ECONÓMICA



UNIDAD TEMATICA III

FORMAS DE PAGO DE UNPRÉSTAMO

• Relación prestamista - prestatario.• Formas de pago de un préstamo.

•Pago único.

• Serie uniforme.

• Amortización constante.



UNIDAD TEMATICA III

FORMAS DE PAGO DE UNPRÉSTAMO

• Serie gradiente.

• Serie gradiente porcentual.

• Equialencias para formas de pago.



RELACIÓN PRESTAMISTA - PRESTATARIO

• Prestamista! persona natural o "ur#dicaque concede dinero en préstamo.

• Prestatario! persona que reci$e dineroen préstamo.

Elementos de un préstamo! %agnitud o monto. &alor de la tasa de interés. Plazo.




Forma de pago. 'arant#a o fiador. Requisitos de capacidad de pago. Periodo de gracia! tiempo durante el cual se

pueden pagar únicamente los intereses o

tam$ién puede ser el tiempo durante el cuallos intereses se capitalizan( pero no )a*desem$olso alguno por el prestatario.



Amortización del préstamo original! todacuota o pago de un préstamo la podemos

descomponer en dos partes! unacorrespondiente a la disminución o a$onoque )agamos al préstamo original( la otraser+ el componente de interés. Laamortización nunca será negativa y cuandono hay amortización se entenderá que todala cuota corresponde a intereses.


,/A0 Amortización 1 2ntereses



FORMAS DE PAGO DE UN

PRÉSTAMO

• SER2E 32FR%E!

Se )ace un préstamo auna tasa de interés por periodo * se paga encuotas e4actamenteiguales.

P

A A A A A

5

6 7 8 9 n




PRÉSTAMO• SER2E :E PA'S :E A%R/2;A,2<3

,3S/A3/E!El préstamo se paga encuotas periódicas de las

cuales el contenido deamortización del principalsiempre es igual.

A2AnA3

P

6 7 8 n

A1

5




PRÉSTAMO

• SER2E 'RA:2E3/E!

El préstamo se paga encuotas que puedenaumentar o disminuir un

monto uniforme cada periodo =sucesiónaritmética>.

6 7 n

A1 A2

An

P

8

A3

5




PRÉSTAMO

• SER2E 'RA:2E3/E

PR,E3/A?!El préstamo se paga encuotas que pueden

aumentar o disminuir un porcenta"e cada periodo=sucesión geométrica>.

A1

A2

An

P

6 7 n5



PAGO ÚNICO

F = P(1+i)n

P

F

6 7 n5



PAGO ÚNICO

D!"#$%&'in *& "%!,*& &*"%,$,%". "n/P! préstamoi! tasa de interésn! plazoF! pago único

S0 ! saldo o deuda al final de cualquier per#odo @

/otal intereses! 2 0 /otal pagado-/otal prestado

2 0 F-P =1)



PAGO ÚNICOFIN DE

PERÍODOINTERESES DEL PERÍODO

SALDO AL FINALDEL PERÍODO

5 5 P

6 i.P P 1 iP 0 P=6. 1 i>

7 i.P=61i>

P=6 1 i> 1 iP=6 1 i>

0 p=6 1 i>7

8 2P=6 1 i>7 P=6 1 i>7 1 iP=6 1 i>7

0 P=6 1 i>8

-- -- --

-- -- --

-- -- --@ -- S = P(1 + i) (2)-- -- --

-- -- --

-- -- --

n -- F = P(1 + i)n (3)



PAGO ÚNICO

EE%P?!

Se a)orran 6B555.555 de euros el 6 de marzo del 7567( en una

entidad que reconoce el 6C efectio mensual.D,u+l es el alor futuro el 86 de diciem$re de 7568 D,u+l era elsaldo después de pagar la cuota del 85 de "unio de 7567

&alor futuro! F 0 P=61i>n =3)Para ta$las! F 0 P=FP(i(n> =3)&alor futuro 86677568! 6B555.555=615.56>77 0 G6B799.H6I(JKSaldo! SL 0 P=61i>L =2)

Saldo 855K7567! 6B555.555=615.56>90 G6B595.K59(56



SERIE UNIFORMEP

A A A A A

56 7 8 9n

A = P i (1+i)n (1+i)n -1



SERIE UNIFORME

D!"#$%&'in *&# %!,*&# 4&%& #%i,ni"%!. "n/

A/ cuota uniforme.& / a$ono o parte de la cuota que amortiza la deuda.

I / parte de la cuota que cu$re intereses.P / alor presente equialente a la cuota del periodo L.



SERIE UNIFORME

P ser+ equialente a los pagos efectuadosconsiderando la tasa i( ello implica que P ser+igual a la suma de los alores presentes de las

cuotas.

P = A (1+i)- #56n "%!,*& (3)P =

∑

P 4"% 4%in'i4i" N72P = ∑ A (1+i)-

P = A ∑ (1+i)- P=A8(1+i)-1+(1+i)-2+ 999 +(1+i)-(n-1)+(1+i)-n: (1)

P(1+i)=A8(1+i);

+(1+i)-1

+(1+i)-2

+999+(1+i)-n+2

+(1+i)-n+1

: (2

)



SERIE UNIFORME

Si usted resta =7M> de =6M>( simplifica * despe"aA9

A = P i (1+i)n (<) (1+i)n -1

El factor de P en la formula (<) para uso deta$las se identificar+ as#! (AP.i.n)

Se podr+ escri$ir as#! A = P (AP.i.n) (<>)



SERIE UNIFORME

:espe"ando P de (<) tendremos!

Para las ta$las!

P = A (PA.i.n) (<>>>)

(1+i)n - 1 i (1+i)nP = A (<>>)



P

6 7

99999999 999

8 9

S0

L16 n

0 PAGADAS

=n-L>

PENDIENTES

5L

A A AA A A A A

SERIE UNIFORME

S&*" " ,&/



SERIE UNIFORME

Si P es el alor presente de todas las cuotas( sL ser+ el alor presente de las =n-L> restantes.

Aplicamos la =9NN> con n 0 =n-L>

S = A (1+i)n-

-1 i (1+i)n- (?)



SERIE UNIFORME

En la cuota A Dqué parte es a$ono al capital *

que parte corresponde a intereses

& = S-1 - S (@)

I = i S(-1) () I = A- &



C"!4"%$&!in$" * #&*" (S ) 4&%&

*& "%!& 4&5" #%i ,ni"%!

5 6 7 8 9 9 9 9 n

L

SL

P

En una serie uniforme el comportamiento delsaldo es decreciente siendo cero en el periodo

n.



SERIE UNIFORME

Ejemplo:Se hace un préstamo de un millón de

euros al 0.5% de interés mensual efectivo

para pagarlo en cuotas iguales de fin demes. ¿Cul es al valor de la cuota

mensual!

Solución:P

A A A A A

5

6 7 8 79



SERIE UNIFORME

A =6555555 5.55I =615.55I>79

=615.55I>79 -6= B<<932;.@1

•Resoler el e"emplo anterior si el tra$a"ador paga a principio de mes.

Solución!

Se de$e transladar el préstamo a un periodoantes con la formula de pago único * luegoaplicamos la formula de A.



SERIE UNIFORME

P

5

5B 6 7 8 9 78 79

A A A A A

F 0 P=61i>n0

6555555=615.55I>-6

0 OOI.579(JH

A 0 6555555 5.55I =615.55I>78 =615.55I>78 -6

0 B <<91;;



SERIE UNIFORME

•,u+l es la deuda del tra$a"ador en ele"emplo después de )a$er pagado la cuota6O.

Solución! S1

G6555.555

6 7 8

999999979

1 PAGADAS

(2<-1)

56O

A A A A A A A A

i!5.IC



SERIE UNIFORME

S6O 0 99.875(K6 =615.55I>79-6O -6 5.55I =615.55I>I =B21931.3

• En la cuota 6O Dqué parte es a$ono alcapiltal * que parte es interés

Solución!

a6O 0 S6J S6O

S6J 0 99.875(K6 =615.55I>79-6J -6

5.55I =615.55I>K0 [email protected]?



a6O0G98.568(O26O 0 7K6.886(8IM5.55I 0 G685K.KK

•Para ese tra$a"ador Dcu+l es el total deintereses pagados

Solución!

2 = total de intereses pagados total pagado

2= n × A-P 0 B@39@<<.<;

SERIE UNIFORME



CAPITALIADORAS

UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

A/ A"%%"

A A A A999999

F 0

5 6 7 8 n Periodos

2nterés 0 i



CAPITALIADORAS


:ados A. i n se de$er+ calcular F.

F/ ser+ el alor futuro en n equialente al alor presente de la serie uniforme.

F 0 P =61i>n aplicando =8>

Pero!=61i>n - 6i =61i>n

P 0 A aplicando =9NN>



CAPITALIADORAS


=61i>n - 6

i =61i>n

F 0 A M =61i>n

Entonces!

(1+i)n - 1

i

F = A ()

Para el uso de ta$las!

F = A (FA. i. n) ()



CAPITALIADORAS


E"emplo!

n ingeniero a)orra 755.555 euros al principio de mes en una entidad que lereconoce el 7C efectio mensual( esto lo )ace

durante I aQos.D ,ual es el alor acumulado al final delultimo mes



CAPITALIADORAS UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME

5B 5 6 7 IO K5 meses

755.555

F 0 i 0 7C ef. mensual



CAPITALIADORAS

UNA APLICACIÓN DE LA SERIE UNIFORME S"*,'in/

FIO

0 alor futuro de los K5 a)orros en elmes IO.FIO 0 755.555 =FA( 7C( K5>F

IO 0 755.555 =669.5I6I8O>

FIO 0 77NJ65.85H(JF 0 FIO =6.57>6

F 0 =77NJ65.85H(J> =6.57>>= >



AMORTIACIÓN CONSTANTE

6 7 8 n

A2

AnA3

P

A1

5

A = i P +1 - ( - 1) P n n




D!"#$%&'in *& "%!,*&# 4&%&&!"%$iH&'in '"n#$&n$. "n/

AL ! cuota al final del periodo L.SL ! saldo después de pagar la cuota AL .

,omo su nom$re lo indica( en esta forma de pago el a$ono a la deuda es igual( por lo tanto!

&1 = &2 = &3 = & = &n = Pn ()




A6 0 i P 1 =Pn>Si se a$onó =Pn>( entonces S6 0 P - =Pn>

S6 0 P 6 - 6n

A7 0 i S6 1 =Pn> i P 6 - 16

n

P

n

S7 0 P - 0 P 6 - 7n

7P n

Entonces!




A = i P 1 - +(-1) n

Pn

S = P 1 - n

I = i P 1 - (-1) n

(1;)

(11)

(12)




E!4*"/

Se tiene un préstamo de un millón de

euros al "% mensual so#re saldos. Si se

paga en $0 cuotas mensuales de

amortiación constante& ¿cul es el valor

de la primera ' tercera cuota! ¿Cul esel saldo una ve pagada la tercera cuota!




A3= ;9;3 1;;;;;; 1 - +(3 - 1) 1;;;;;; 1; 1;

A3=12<9;;;

S3 = 1;;;;;; 1 - = ;;;;;;3

1;

A1=;9;3 1;;;;;; 1 - +(1- 1) 1;;;;;; 1; 1;

A1=13;9;;;

S"*,'in/



SERIE GRADIENTE(PROGRESIÓN ARITMÉTICA)

6 7 8 n

A1

A2

An

P

A3

5

A0 = A1 + (0 - 1)5

−+

−−

−+

+=

6>6=

6

6>6=

>6=6 nn

n

i

n

i g

i

ii P A



SERIE GRADIENTE(PROGRESIÓN ARITMÉTICA) Esta forma de pago se compone por la suma de dos Esta forma de pago se compone por la suma de dos

seres! una "ue se comporta de manera unforme # otraseres! una "ue se comporta de manera unforme # otra"ue sufre un cam$o artm%tco para cada perodo&"ue sufre un cam$o artm%tco para cada perodo&

D!"#$%&'in *& "%!,*& 4&%& #%i5%&in$. "n/g ! aumento aritmético de la cuota.A

L seria!

A6 0 A6

A7 0 A6 1 gA8 0 A7 1 g 0 A6 1 g 1 g 0 A6 1 7g

A0 = A1 + ( - 1) 5 =en funcin de A6> (13)



SERIE GRADIENTE (PROGRESIÓNARITMÉTICA)

?a parte gradientese transforma en unaserie equialenteuniforme que sellama Ag( entonces(la serie gradiente

original ser+equialente a lasuma de las dosseries uniformes.

A$=A1+A5 (1<)A1!serie parte uniforme.A5!serie uniforme equialente a parte

gradiente.A$ !serie uniforme total equialente a la serie

gradiente original.

P

6 7 8 n-6 n. . .. . .

5 A6

1Ag




Ag se )alla lleando cada uno de losaumentos =g( 7g( 8g(...> al presente *

sumandolos( después esta sumatoria sedistri$u*e en una serie uniforme * seo$tendr#a!

−+−=

6>6=6

n g in

i g A

Por ta$las ser#a! A5= 5(A5.i.n) (1?>)

(1?)




:e (1<) tenemos! A60 At - Ag

Por ta$la seria!

A1 = P(AP.i.n) - 5(A5.i.n) (1@>)

(1@)

−+−−

−++=

6>6=

6

6>6=

>6=6 nn

n

i

n

i g

i

ii P A




Para uso de ta$las!

P(AP.i.n) = A1 + 5(A5.i.n) (1>)

−+−+=

−++

6>6=

6

6>6=

>6=6 nn

n

i

n

i g A

i

ii P (1)

Partiendo de (1@) se o$tiene!




na ez pagada AL quedan pendientes n-Lcuotas( empezando por AL16 * terminando enAn. SL ser+ el alor presente en L de esas

cuotas pendientes.

P Sk = ?n - k

Pendientes1 2 3 4 k

k-1

k pagados Ak

0

Ak + 1

An

9

9 9 9 9 9




tilizando (1) con A6 0 AL16

T remplazando en =68> tenemos!

AL 1 6 0 A6 1 =L16-6>g( de donde

A6 0 A6 1 L ×g

:e lo anterior!

>((F=

>((F=6

k ni P A

k ni g A g g k AS k

−

−+×+= (1)




E!4*"/

Se tiene un préstamo de 6.555 euros( a unatasa de interés anual del 85C para pagarloen I cuotas anuales que se incrementan

755 euros . D,u+l es el alor de la primera* la última cuota



S"*,'in/

A6 0 6555=AP(85C(n> - 755=Ag(85I(I>

A6 0 6555=5.965IJ> - 755=6.9O586>

A6 0667.I6O

AI 0 A6 1 =I - 6>MG755AI 0667.I6O1 9MG755

AI 0 O67.I6O





•Para los datos del e"emplo( calcular elsaldo después de pagada la tercera cuota.

S"*,'in/

P 0 6.555( i 0 85C( n 0 I * A6 0 667.I6O

>8IC(85(F=

>8IC(85(F=7557558I6O.6678

−−+×+=

P A

g AS

S8

0 6.5JJ(5I




PARA LA SERIE RA!IE"#E PARA LA SERIE RA!IE"#E

!E$RE$IE"#E SE %#ILI&A" !E$RE$IE"#E SE %#ILI&A" LAS 'IS'AS ()R'%LAS *%E LAS 'IS'AS ()R'%LAS *%E

E" LA $RE$IE"#E+ PER, SE E" LA $RE$IE"#E+ PER, SE REE'PLA&A REE'PLA&A g g P,R P,R 'g 'g --



SERIE GRADIENTE PORCENTUAL(PROGRESIÓN GEOMÉTRICA)

A = A1 (1+ i5)-1

A1A2

An

P

6 7 n-6 n5

An-1




D!"#$%&'in *& "%!,*& 4&%& #%i5%&in$ 4"%'n$,&*. "n/

ig ! incremento porcentual en las cuotas.A6 0 A6 A7 0 A6 1 A6 M ig 0 A6=61 ig>

A8 0 A71A7Mig 0 A7=61ig> 0 A6 =61 ig>7

A9 0 A8 1 A8Mig 0 A8 =61 ig> 0 A6 =61 ig>8

A = A

1 (1+ i

5)-1 =en función de A

6> (1)




Al reemplazar en la fórmula (1). o$tenemos!PL 0 A6=61ig>L-6 =61i>-L

∑=

=

=nk

k

k P P

6

pero PL 0 AL =61i>-L

∑=

=

−−++=

nk

k

k k

g ii A P

6

6

6 >6=>6=

Para o$tener Al se de$e llear el alor de cadacuota al presente =PL > * después realizar la

sumatoria la cual es equialente al préstamo P.




E4pandiendo la sumatoria!P=A1(1+i5);(1+i)-1+(1+i5)1 (1+i)-2 +999+(1+i5)(n-1)-1 (1+i)-(n-1)

+ (1+iG)n-1 (1+i)-n (1)

%ultiplicando a am$os lados por! (1+i5)1 (1+i)-1

tendremos!

P(1+i5)(1+i)-1=A1(1+i5)1 (1+i)-2 + (1+i5)2 (1+i)-3 +999+

(1+i5)(n-1) (1+i)-n + (1+i5)n (1+i)-n-1 (2)

∑=

=

−− ++=nk

k

k k

g ii A P 6

6

6 >6=>6=




El factor del corc)ete solo ser+ +lido parai≠ig( pues el denominador no puede ser cero.

+

+

−

−=

n

g

g

i

i

ii P A

6

6

6

6 (2;)

Restar de =6M> a =7M>( simplificar * despe"ar para o$tener!




−

++−

= g

n

g

ii

i

i

A P 6

66

6

(2;>)

i

i5

:e la fórmula (2;) podemos despe"ar P/

Partiendo de esta fórmula se puede )allarSL .




P

A1 A2 A A+1

An

SL 0 Pnin$#

n- ',"$&#

6 7 L L16 n

5

P&5&&#

El saldo =SL > ser+ el alor presente en L delas cuotas pendientes =n-L>.




tilizando (2;>) con A6 0 AL16 * remplazandoen (1) tenemos!

AL 1 6 0 A6 =61ig>L16-6

( de dondeA6 0 A6=61ig>

L

:e lo anterior!

−

+

+−

+=

−

g

k n

g

k

g k ii

i

i

i AS 6

66

>6=6 (1)

i i5




E!4*"/

Se tiene un préstamo de 6.555 pesos a IaQos para pagarlo en I cuotas que se anincrementando el 75C anual. Si la tasa

de interés anual es del 85C( Dcu+l es elalor de la primera * ultima cuota.




S"*,'in/

6O.858G

8.56

7.566

7.58.5555.6

I6 =

+

+−

−= A

AI 0 858.6O=615.7>I-6 0 GK7J(KO




•Para el e"emplo anterior Dcu+l es el saldo unaez pagada la tercera cuota

S"*,'in/

ig 0 75C( P 0 6.555( n 0 I( i 0 85C * A6 0 858(6O

56J(HHIG7.58.5

8.56

7.566

>7.56=6O(858

8I

8

8 =

−

++

−+=

−

S



C"!4"%$&!in$" * #&*" (S0 ) 4&%& *&# "%!&# 4&5" Sere 5radente # gradente porcentual 9



An+lisis de los tres interalos.

In$%&*" I/El saldo es creciente! SL U SL-6 U P

3o )a* amortización! aL 0 5

?a cuota es totalmente intereses! AL 0 2L

?a cuota es inferior a los intereses generadosen el per#odo! AL 0 2L V i. SL-6




In$%&*" II/

El saldo es decreciente! PV SL V SL-6 3o )a* amortización! aL 0 5

?a cuota es intereses! 2L 0 AL

?a cuota paga intereses acumulados eintereses del per#odo! AL 0 2L U i × SL-6




In$%&*" III/

El saldo es decreciente pero inferior a P!

P U SL-6 U SL

Wa* amortización! aL U 5X aL 0 SL-6 - SL

?os intereses contenidos en la cuota son!

2L 0 AL - aL

,omo no se pagan intereses acumulados(entonces! 2

L 0 i × S

L-6




,uando eentualmente se pase del interalo 22

al interalo 222!SL-6 U P U SL ( entonces( la amortizacióncontenida en AL ser+! aL 0 P - SL

Recordemos que se amortiza sólo lo quea$onamos al principal. As# que! 2L 0 AL - aL

3o olidemos que siempre AL 0 aL 1 2L

C"!4"%$&!in$" * #&*" (S0 ) 4&%& *&# "%!&#

4&5" Sere 5radente # gradente porcentual 9



EJUIKALENCIAS PARA FORMAS DE

PAGO

Clase 3.1 Anualidades y Gradientes

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