Clase 4. 2.1.1 Ec. Dif Variables Separables 16-04-2015

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALEscuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Ecuaciones diferenciales

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y EléctricaEcuaciones diferenciales

Unidad II Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN.

OBJETIVOS PARTICULARES DE LA UNIDAD 2:

El alumno resolverá ecuaciones diferenciales de primer orden por diversos métodos.

2.1.- Variables separables y reducibles a éstas.2.2 .- Variables homogéneas y reducibles a éstas.

2.3.- Exactas. Factores integrantes.2.4.- Lineales.2.5.- No lineales a lineales.2.5.1.- Bernoulli.2.5.2.- Ricatti.2.5.3 .- Clairaut..






2.1.- Variables separables y reducibles a éstas.

2.1.1.- Variables separables Es una ecuación diferencial de primer orden, de la forma:

)()( yhxgdx

dy 1

La ecuación se resuelve separando las variables, colocando la variable dependiente a la izquierda del signo igual y la variable independiente a la derecha, de la siguiente forma

dxxgdyyh

)()(

1 2

La ecuación 2, se puede integrar; el lado izquierdo se integra con respecto

a y , y el lado derecho con respecto a x .

Cdxxgdyyh

)()(

1 3

La variable y es una función de x ; Solamente se considera una una

constante de integración.






Ejemplo 1: Resolver la siguiente ecuación separable

xdx

dy8







xdx

dy8

)()( ygxgdx

dy

xxg 8)( y 1)( yg

xdxdy 8

Cxdxdy 8 cxy 2

2

18

Cxy 24 Solución explícita







y

x

dx

dy







y

x

dx

dy

1.- xdxydy

2.- xdxydy +C

3.- Cxy 22

2

1

2

1

4.- Cxy 22 Solución implícita

5.- 21

2 cxy Solución implícita

6.- 21

21 Cxy Solución explícita

21

22 Cxy Solución explícita







04 xydx

dy






Ejemplo 3 Resolver la siguiente ecuación separable

04 xydx

dy

1.- xdxy

dy4

2.- xdxy

dy4

3.- cxy 2

2

4ln

4.- cxy ee

22ln

5.-

cx eey22 cec

6.-

22xcey







xedx

dy 21







xedx

dy 21

Se escribe la ecuación de la forma de variables separables:

)()( yhxgdx

dy )1)(1( 2xe

dx

dy

Se identifican g(x) = (1+e2x) y h(y)=(1), se despejando dy y la

función h(y)=(1), se tiene:

dxedy x )1( 2

Se integra ambos miembros, para obtener el valor de y

Cdxedy x )1( 2 Cdxedxy x

2

Ce

xyx

2

2

Ce

xyx

2

2






Ejemplo 5.- Resolver la siguiente ecuación separable

0)1( ydxdyx






Ejemplo 5.- Resolver la siguiente ecuación separable

0)1( ydxdyx

Se escribe la ecuación de la forma de variables separables,

yx

yhxgdx

dy

1

1)()( y

xdx

dy

1

1

Se identifica x

xg

1

1)( y yyh )( y se despeja

dx

dy:

0)1(

x

dx

y

dy

)1( x

dx

y

dy

Se integra la ecuación, el mimbro izquierdo con respecto a y y el lado

derecho con respecto a x , usando una sola constante C

Cx

dxdy

)1(y

1 Cxy 1lnln






Utilizando las leyes de los exponentes, la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente manera:

cxcxyeeee .

1ln1lnln ;

cexy 1

La ecuación anterior se puede escribir como:

)1( xey c

Haciendo eC=C, se tiene que:

)1( xCy

Esta solución implícita está definida por las dos soluciones explicitas siguientes:

)1(1 xCy xx 11 1x

)1(2 xCy )1(1 xx 1x






Ejemplo 6.- Resolver la siguiente ecuación separable, de valor inicial

y

x

dx

dy

para 3)4( y







y

x

dx

dy para 3)4( y

La ecuación se puede escribir de la siguiente forma, separando las variables:

xdxydx

Integrando se obtiene

cxdxydy cxy

22

22

Esta solución se puede escribir en la forma:

cyx 222

Si sustituimos 2C por C2 se puede observar que la solución representa una serie de circunferencias con centro en el origen.

222 cyx

Esta ecuación es una solución implícita Cuando x=4 y y=-3, se tiene: 42 + (-3) 2 = 16 + 9 = 25 = C2, con radio 5. La solución explicita que cumpla la condición inicial en el intervalo -5<x<5, es:

2/12 )25( xy







xydx

dy2 para 1)0( y

Se separan las variables:

xdxy

dx2

Integrando se obtiene

cxdxy

dy 2 cxy 2ln

Esta solución se puede escribir en la forma:

Cxey 2

cx eey

2

Si sustituimos Cec se puede observar que la solución representa una cuerva en forma de campana.

2xcey

Esta ecuación es una solución explicita, que cumple con lo siguiente:

CeC , cuando 0y ; y CeC , cuando 0y

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