Clase 5 Microeconomía I - Angel Garcia Banchs · de riesgo en lugar de incertidumbre? ¿Cuál es...
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Doctorado en Economía, yMaestría en T. y P. Económica AvanzadaFACES, UCV
Microeconomía I
Prof. Angel García [email protected]
Clase/Semana 5
Decisiones bajo condiciones de riesgo
¿Qué es el riesgo y qué es la incertidumbre?
¿Cuál es el supuesto (condición matemática) que nos permite hablar de riesgo en lugar de incertidumbre?
¿Cuál es la diferencia fundamental?, y
¿Cuál es su implicación para la ciencia económica y, en particular, para la teoría neoclásica, la contratación de mercancías para entrega a futuro, los seguros, etc.?
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Los individuos pueden tomar decisiones diferentes a las que tomarían bajo condiciones de certidumbre, y tales diferencias se deberían a las preferencias en relación al riesgo
ocurra resultado el que de
adprobabilidla siendo ,1 y para todo 0 con ),...,(lista una es simplelotería La
F Bsde términosen expresado esté que menosa distintos, beneficio) o ión(satisfacc utilidad de nivelesa conducir no o puede
por tanto, y,bienes de ncombinacióuna implica cada
,...,1 de vanque premios ocias)(consecuen posibles resultados los todosde finito conjunto el es
1
n
ppnpppLL
n
n
NnC
nn n
nN
∑ =
≥=
=
Decisiones bajo condiciones de riesgo
)1,0,0(3p
)0,1,0(2p
)0,0,1(1p
),,( 321 pppL =
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Loterías compuestas
kk
kkk
kk
kN
kk
L
,...,KkL
,...,KkppLK
α
α
αα
adprobabilid con simplelotería
la a equivale queriesgosa a alternativla es )1:,(
compuestalotería una ,1 con 0 adesprobabilidy
1 con ),...,( simples loterías de número un Dado 1
=
=≥
==
∑
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Loterías compuestas
)4/1,41,21(),,(
)83,81,21(),,(
)0,41,43(),,(
)83,83,41(),,(
)0,0,1(),,(:asociadas loterías 5
y )3,2,1( iasconsecuenc 3 con caso un eConsidéres :Ejemplo
... donde ),,...,(
simplelotería una existe )1:,(compuesta lotería cada Para
53
52
51
5
43
42
41
4
33
32
31
3
23
22
21
2
13
12
11
1
111
==
==
==
==
==
=
++==
=
pppL
pppL
pppL
pppL
pppL
C
pppppL
,...,KkLKn
knnN
kk
αα
α
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Loterías compuestas
)163,163,85()163,161,41()0,81,83(
)83,81,21(21)0,41,43(21
compuestalotería segunda la de caso el eny
)163,163,85()163,163,83()0,0,41(
)41,41,21(43)0,0,1(41
21 y 21 srespectiva adesprobabilid con y de
compuesta segunda la y 43 y 41 srespectiva adesprobabilid con
y decompuesta primera La .compuestas loterías 2 seconsidérenAhora
4433
5511
4343
51
51
=+=
×+×=+=
=+=
×+×=+=
==
==
LLL
LLL
LL
LL
IIC
IC
αα
αα
αα
αα
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Loterías compuestas
simples loterías a) reducirse mismo, lo es que lo (o, de términosen expresarse pueden lineales) nescombinacio (o
compuestas loterías las inclusive que es punto El
des)posibilida mismas las asignan que tantoen esequivalent (son
ejemplo, el En
IIC
IC LL =
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Preferencias sobre loterías
LLLLLLLLL
LLLLLL
LLL
C
′′+′≥′′+
′≥∈∈′′′≥
′+≥′′∈
′′≥′+∈
∈′′′≥
≥
)-(1)-(1 si sólo si que tienese (0,1), y , ,,toda
para si ntesindependie son sobre Las:ntesIndependie .2
})-(1:[0,1]{})-(1:[0,1]{
:cerrados conjuntos son conjuntos siguientes los , ,,cualquier para si continuas son sobre Las:Continuas 1.
:de además ivas, y transitcompletas son loterías las sobre )(a preferenci de relaciones las que Asumiremos . iasconsecuenc de
conjunto al asociadasescoger a simples loterías las de conjunto el Sea
ααααα
αααααα
LL
LL
L
$1.000 $0 $0$0 $0 $10$0 $0 $0
$1.000 muerte $10
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Contraejemplo: C = ($1.000, $10, muerte) con L ≥ L' ≥ L ' '
Experimento 1Lotería L Lotería L' Lotería L''
Premio Chance Premio Chance Premio Chance$1.000 100% $1.000 0% $1.000 0%
$10 0% $10 0% $10 100%muerte 0% muerte 100% muerte 0%
≥ ≥
¿Escogerían L ' ? Sin embargo, continuidad implica: LLL ′′≥′+ )-(1 αα
Valor $825 $0 $825 $0Esperado $1.584 $2.400 $0 $816
$0 $0 $0 $0$2.409 $2.400 $825 $816
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Paradoja de Allais – Maurice Allais – Ejemplo: C = ($2.500, $2.400, 0)
Experimento 1 Experimento 2Lotería 1A Lotería 1B Lotería 2A Lotería 2B
Premio Chance Premio Chance Premio Chance Premio Chance$2.500 33% $2.500 0% $2.500 33% $2.500 0%$2.400 66% $2.400 100% $2.400 0% $2.400 34%
$0 1% $0 0% $0 67% $0 66%
> >
¿Cuál escogerían? ¿Por qué sería inconsistente con la teoría de la utilidad esperada?
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Paradoja de Allais – Maurice Allais – Ejemplo: C = ($2.500, $2.400, 0)
Teoría de la utilidad esperada ¿Y, en la práctica?Lotería 1A ≥ Lotería 1B Lotería 1B ≥ Lotería 1ALotería 2A ≥ Lotería 2B Lotería 2A ≥ Lotería 2B
Si en la práctica la mayoría prefiere L1B (+ certeza) a L1A (+ rend.), entonces, para que se cumpla el principio de independencia, la mayoría también debería preferir L2B (+certeza) a L2A (+ rend.). Pero, sucede lo contrario: la mayoría prefiere L2A a L2B
Matemáticamente:
Entonces, aquí no se cumple la independencia
)2500($%33)2400($%34)0($%1)2400($%66)2500($%33)2400($%100
UUUUUU
×≥××+×+×≥×
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Teorema (utilidad esperada von Neumann-Morgenstern (v.N-M)):
),...,1:( también de lineal cióntransformacualquier Entonces,
. sobrea preferenci de relaciónuna representa ),...,1:(
si sólo si ),,...,( y ),...,(cada que talasociado
),..,(escalar un existe ,...,1 resultadocada para decir, es esperada; utilidad tipodel las de utilitaria ciónrepresentauna posible es
Entonces,cia.independen e dcontinuida de supuestos los satisfacenivasy transitcompletas)(a preferenciderelacioneslas que Supóngase
11
1
NnbauvVU
NnuU
upup
LLppLppL
uuuNn
nn
n
nn nnn n
NN
Nn
=+==
≥==
′≥
′≥′′=′=
==≥
≥
∑∑
L
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Teorema (utilidad esperada von Neumann-Morgenstern (v.N-M)):
?)0,...,0,1,0,...,0()0,...,0,,0,...,0(certeza con de se resultado
el quegarantiza quelotería la es si ),( de valor el es ¿Cuál
...)(
:que tenga se ),...,(cada para queforma tal de ),,...,1( resultadocada a asociada nsatisfacióla reflejan que ),...( escalares de asignaciónuna existe siesperada utilidad como expresiónuna tiene : Entonces
2211
1
==
+++=
∈=
==
ℜ→
nn
n
n
NN
N
Nnn
ppn
LU
upupupLU
ppLNn
uuuU
L
L
nn uLU =)(
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
Normalmente, consideraremos resultados monetarios, de forma tal que claramente más es preferido a menos y los problemas de comparar manzanas y peras no están presentes. En este contexto, el escalar (nivel de utilidad o satisfacción) asociado a un resultado depende de una función del dinero o riqueza.
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
)(
:así expresarse puede de finito osubconjuntun un sobre como loterías
sobre esindividual aspreferenci las que talforma de ,: utilidad defunción una de existencia la implica contexto este a aplicado
esperada utilidad la de teoremaEl o.subconjunt ese sobre lotería una ),...( Sea }. ,...{ , de finito osubconjuntun eConsidéres
(riqueza) dinero de niveles distintosen consisteselección de conjunto el decir, es;C
:menteMatemática
N1N1
nn n wup
LU
pp Lww
∑
+
+
+
+
ℜℜ→ℜ
=ℜ
ℜ=
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
ingreso o riqueza la de esperada utilidad la es )(y esperado ingreso o riqueza la de utilidad la es )( donde
)()( si en riesgo del amante (ii)
)()( si en riesgo al neutral (ii)
)()( si en riesgo al averso (i):es que dice se individuo el Entonces,
).()(con ,:como define se esperada riqueza la , simple lotería una Para
nn n
nn n
nn n
nn n
nn nnn n
wupEwu
wupEwuL
wupEwuL
wupEwuL
wpuEwuwpEwL
∑
∑∑∑
∑∑
<
=
>
==
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
21
2211
y entreescoger de hora la a eindiferentsintiría se riesgo al neutral fuese que individuoun que implica cual lo50 a igual es casos ambosen riqueza o ingreso del esperadoValor
1/2 adprobabilidcon 100 vscertezacon 50 )21,21(y )0,100( vs)0,1(y )0,50( :Ejemplo
LL
LwLw ====
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
2
2
2
2
la jugarse nodesistir para F) Bs 60 :(ej F Bs 50 amayor montoun aceptar a dispuesto está sólo si mismo lo es que lo o F, Bs 50 de
cierto pagoun recibir a la jugarse prefiere si riesgo del amante es
la jugarse o F Bs 50 de cierto pagoun a frente eindiferent es si neutral es
todoperderlo de riesgo al la jugarse de en vez certeza,con recibirlo de con tal F) Bs 40 :(ej
F Bs 50 amenor montoun aceptar a dispuesto está si riesgo al averso es
L
L
L
L
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
-17%)60)/60-(50 %en o averso, 60,-(50 riesgo del amante del riesgo de descuento o
25%)40)/40-(50 %en o averso, 40,-(50 averso del riesgo de prima la es ecertidumbr de eequivalent ely esperado valor el entre diferencia
lay amante) F Bs 60 averso, F Bs (40 ecertidumbr de eequivalentel es riesgosa apuesta lajugar no para aceptaría individuo
el que dinero de cantidad la F, Bs 50 es esperado valor el ejemplo elEn 2
=
=
L
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
0 prima unapagar a dispuesto está por tanto, y, cóncava
)( utilidad defunción una exhibe riesgo al averso sea que individuoUn
)()(
ecertidumbr de eequivalent el es por tanto,
)()(:que tal, dinero de cantidad la es riesgo de prima la mente,Matemática
>
=
=−
=−
∑
∑
P
wu
wupECu
ECPEw
wupPEwuP
n
nn n
nn n
)(wu
)(w
)(wu
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
wwuwuw
wuwuw
www
wu
)()(-)ARR(y
)()(-)AAR(
:por dadas vienen Pratt) John W.y Arrow(Kenneth Pratt -Arrow riesgo al ))(ARR( relativay
))(AAR( absolutaaversión de medida la ,0algún en continua, forma de blediferencia doblemente sea que )( una Para
′′′
=′′′
=
>
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
edecrecient pero relativa riesgo alaversión una exhibe individuo el
que afirma se entonces ,ARR(,con decrece )ARR( si
edecrecient pero absoluta riesgo alaversión una exhibe individuo el
que afirma se entonces ,AAR(,con decrece )AAR( si
dwwdww
dwwdww
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Aversión al riesgo:
0con
(AARC) creciente absoluta riesgo alaversión )( 3)(AARD) edecrecient absoluta riesgo alaversión )log()( 2)
(AARC) constante absoluta riesgo alaversión )( 1)
:funcionesdistintas de Ejemplos
2
>
−=
=
−= −
α
α
α
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ewu w
Decisiones bajo condiciones de riesgo
Fin clase de hoy…