Clase 6 Campo Magnético filemagnetitas, un extraño mineral con el poder de atraer el fierro....
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TEORIA ELECTROMAGNETICA Clase 6 Campo Magnético
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TEORIA ELECTROMAGNETICA
Clase 6Campo Magnético
Magnetismo
La experiencia y análisis con campos magnéticos, data de tiempos tan tempranos como la cultura Griega, donde Tales de Mileto figura como uno de los primeros en describir tales fenómenos, pero sus estudios se restringieron simplemente a la observación de los fenómenos que presentaban muestras de minerales tales como la magnetita.
Magnetismo
Los antiguos Griegos conocieron las magnetitas, un extraño mineral con el poder de atraer el fierro. Algunas piezas fueron encontradas cerca de la ciudad de Magnesia en Asia Menor (ahora Turquía). Esa ciudad heredó su nombre a todas las cosas que tienen que ver con el magnetismo.
Magnetismo
También conocida como mineral de fierro
magnético, es un mineral de oxido de
fierro cuya fórmula química es FeFe2O4, o
Fe3O4 . Es el principal miembro de una
serie de minerales conocida como "el
grupo Espinal".
MagnetismoLa serie de las magnetitas también comprenden los minerales:
Magnesioferritas, óxidos magnesio ferrosos
MgFe2O4.
Franklinitas, oxidos zinco-ferrosos ZnFe2O4.
Jacobsitas, óxidos mangano ferrosos MnFe2O4.
Trevoritas, óxidos niclo-ferrosos NiFe2O4.
Todos esos minerales son MAGNETICOS , aunque la Franklinita y la Jacobsita lo son
débilmente.
Magnetismo
En 1600, hace 400 años William Gilbert, principal físico de la Reyna Isabel I de Inglaterra, publicó su gran estudio del magnetismo "De Magnete" ("Sobre el magnetismo"), que abrió la era de la Física y la Astronomía en su forma moderna e inició el siglo marcado por los grandes logros de Galileo, Kepler, Newton y otros.
Magnetismo
Antes de 1820, el único magnetismo
conocido era el de los imanes de hierro y
de las magnetitas.
Esto fue cambiado por un profesor de
ciencias poco conocido de la Universidad
de Copenhagen, Dinamarca, HansChristian Oersted.
Electromagnetismo
En 1820 Oersted montó en su casa un
experimento demostrativo para amigos y
estudiantes.
Planeaba demostrar el calentamiento de un
alambre por el paso de una corriente eléctrica, y
también para demostraciones del magnetismo,
para lo cual el llevó una brújula montada sobre
un marco de madera.
Electromagnetismo
Mientras que llevaba a cabo su demostración eléctrica, Oersted notó para su sorpresa que, en todo momento en que la corriente estuvo conectada, la brújula se movió.El se detuvo y terminó las demostraciones, pero los meses siguientes continuó trabajando ardorosamente tratando de darle sentido al nuevo fenómeno.
Electromagnetismo
Experimento de Oersted
No obstante, el no pudo explicar el fenómeno satisfactoriamente, la aguja no fue ni atraída ni repelida. En lugar de ello, la aguja tendió a formar ángulos rectos. Al final, el publicó sus investigaciones ( ¡en latín!) sin ninguna explicación.
Electromagnetismo
André-Marie Ampère en Francia estableció que:
“si una corriente en un alambre ejercía una fuerza magnética sobre una brújula, dos de tales alambres deberían interactuar magnéticamente”.
En una serie de experimentos ingeniosos el mostró que esta interacción era simple y fundamental:
corrientes paralelas rectas se atraen, corrientes antiparalelas se repelen.
Electromagnetismo
La fuerza entre dos corrientes largas rectas paralelas fue inversamente proporcional a la distancia entre ellasy proporcional a la intensidad de las corrientes fluyendo en cada una.
Electromagnetismo
En consecuencia, fue hasta el siglo XIX, cuando se encontró una relación entre la electrodinámica y el campo magnético.
Se puede asegurar que el experimento de Oersted, fue la puerta de entrada a una nueva ciencia: EL ELECTROMAGNETISMO.El experimento de OERSTED, pone de manifiesto la influencia que tiene una corriente sobre una brújula
Campo Magnético
Se estableció que el espacio alrededor de un imán, queda influenciado por la presencia del mismo, de forma tal que, ese espacio queda afectado, y entonces, pequeños imanes se alinean en direcciones bien definidas alrededor del imána ese espacio afectado se le denomina Campo Magnético.
Líneas de Inducción
En especial, pequeñas agujas imantadas
(que en realidad constituyen brújulas), son
alineadas en direcciones tangentes a
curvas que se conocen como "líneas de inducción"
son el análogo magnético a la "líneas de
fuerza" de los campos eléctricos.
"los polos magnéticos son inseparables"
no se pueden separar las cargas magnéticas de un imán
"los polos magnéticos son inseparables"
El concepto de inseparabilidad de polos no se restringe a imanes.
torcemos dos alambres en forma circular, y los mantenemos con separación constante
Al tener sus corrientes en el mismo sentido, ellos se atraen como si se tratara de dos imanes que se mantienen frente a frente con sus polos opuestos.
"los polos magnéticos son inseparables"
un "electroimán", uno de sus extremos puede considerarse como elpolo norte y el otro como el polo sur, demostrando de nueva cuenta la inseparabilidad de los polos.
Inducción Magnética B
El campo magnético se representa por el "VECTOR DE INDUCCIÓN MAGNETICA" , en realidad este vector de inducción magnética es el análogo magnético del Vector de Intensidad de Campo Eléctrico .
si existen cargas magnéticas en el espacio, existe el vector de inducción magnética en cada punto del espacio.
Por razones históricas del estudio del Campo Magnético, se desarrolló primero la cantidad FLUJO DE CAMPO MAGNÉTICO.
Unidades B
Esta cantidad no es otra cosa que la Integral de Flujo sobre una superficie S, del vector de inducción magnética
El Flujo de campo magnético tiene unidades primitivas (webers)
La Inducción magnética tiene unidades derivadas
∫ ⋅=ΦS
B SdBrr
[ ] [ ][ ] [ ][ ] WeberLBSdBB ===Φ 2rrr
[ ][ ]
Teslam
weberL
weberB === 22
r
Flujo de Campo MagnéticoUna propiedad importante del Flujo del Vector de Inducción Magnética aparece cuando la superficie de integración es una superficie Gaussiana:
Como las cargas magnéticas son inseparables, al encerrar por ejemplo un imán dentro de una superficie gaussiana, parte de la superficie gaussianasiente que el flujo del campo magnético "sale a través de ella", mientras que otra parte de esa superficie gaussianasiente que el flujo "entra por ella".
0=⋅∫GaussianaSuperficie
SdBrr
Flujo de Campo Magnético
La diapositiva anterior clarifica como penetra o sale el flujo de campo magnético de una superficie gaussiana que encierra a un imán.
Cuando la superfice gaussiana no encierra a las cargas magnéticas, sucede lo que se representa en la figura siguiente:
0=⋅∫GaussianaSuperficie
SdBrr
El experimento de Oersted
Las líneas de inducción (líneas
de dirección del vector de
inducción magnética y que son
tangentes el vector de
inducción), forman círculos
cerrados que están centrados
en el eje del cilindro, en planos
perpendiculares al eje del
conductor.
El experimento de Oersted
El sentido de las líneas
de inducción, que dan el
sentido de los vectores
de inducción magnética,
cumplen la "regla de la
mano derecha"
El experimento de Oersted
experimentalmente la magnitud B del vector de inducción magnética es directamente proporcional a la corriente que circula en el conductor, e inversamente proporcional a la distancia perpendicular entre el punto donde se mide el campo magnético y el eje del conductor
el análisis estadístico de datos, da el valor de la constante deproporción entre B, I y r. El valor encontrado es:
donde
La magnitud del vector de inducción magnética alrededor de un conductor con corriente eléctrica de intensidad I es dada por laconocida expresión:
rIB∝
πµ
20
70 104 −×= πµ
rI
Bπµ2
0=
Conducta de constantes en ecuaciones análogas
Esta expresión es análoga a la que da el campo eléctrico generado por una carga puntual
Observamos que la constante de permitividad y la análoga de permeabilidad se colocan en posiciones “imágenes” una multiplicando y otra dividiendo:
Comportamiento que es común en las expresiones análogas de Campo Eléctrico y de Campo magnético
rI
Bπµ2
0=
204
1rqE
επ=
mAmpèreweber
−×= −7
0 104πµ
fuerza magnética sobre una carga eléctrica
comportamiento de la fuerza que obra sobre la carga eléctrica es el siguiente:
La fuerza sobre la carga eléctrica es proporcional a la
magnitud de la carga eléctrica.
Esa fuerza también es proporcional a la magnitud del
vector de Inducción magnética.
fuerza magnética sobre una carga eléctrica
Si la partícula al introducirse en el campo magnético está en reposo, la partícula no siente la acción del campo magnético, es decir la fuerza es nula.
Si la partícula penetra en la región del campo magnético con una velocidad , la partícula siente la presencia de una fuerza cuya magnitud es proporcional a la velocidad de penetración en el campo de la partícula.
Si el campo magnético es uniforme, la carga eléctrica desvía su dirección de desplazamiento, pero la magnitud de la velocidad no se vé incrementada ni disminuida.
fuerza magnética sobre una carga eléctrica
La relación entre la fuerza que actúa sobre una carga, la velocidad de la misma, el vector de inducción magnética del campo, y la magnitud de la carga eléctrica: BvqFm
rrr×=
Fuerza sobre conductor con corriente
Fuerza sobre conductor con corriente no rectilíneo
∫∫ ×==b
a
b
a
BldIFdFrrrr
ANALISIS DE UNA ESPIRA CON CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO
ANALISIS DE UNA ESPIRA CON CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO
BlIFda
rrr×= 1 BlIFab
rrr×= 2
ANALISIS DE UNA ESPIRA CON CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO
dabc
cdab
FFFFrr
rr
−=
−=
ANALISIS DE UNA ESPIRA CON CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO
( ) ( )θθτ sinBllIsinBlIlFr ab 2221
21
11 ===
abFrrrr ×= 11τ
cdFrrrr ×= 22τ
( ) ( )θθτ sinBllIsinBlIlFr cd 2221
21
22 ===
21 τττ rrr +=
( ) ( )θθτττ sinBllIsinBllI21
2121 2
2 =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=+=
( )θτ sinBAI=
Vector de momento de dipolo magnético de una espira con corriente.
Buscamos una expresión vectorial alternativa para el momento de fuerza total sobre la espira.
debemos utilizar la regla de la mano derecha para encontrar el vector de momento de dipolo magnético de una espira con corriente.
Vector de momento de dipolo magnético de una espira con corriente.
El momento de dipolo magnético de una espira con corriente lo definiremos como el producto de tres cantidades que caractericen a la espira con corriente:
El área encerrada por la espira
La corriente circulante
La magnitud del vector de inducción magnética a la que se sujete
BAI=µ
ESPIRA CON CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO
La magnitud del momento de fuerza total sobre la espira tiene como ya vimos, la magnitud:
A partir de la figura siguiente es posible darse cuenta que el momento de fuerza total sobre la espira es admisible escribirlo en términos del producto vectorial del momento de dipolo magnético de la espira y del vector de inducción magnética
( )θτ sinBAI=
Brrr ×= µτ
ESPIRA CON CORRIENTE EN UN CAMPO MAGNÉTICO
En el caso de campo eléctrico se demuestra que la energía potencial de un dipolo eléctrico dentro de un campo eléctrico es dada por
Un análisis completamente análogo se puede realizar para el caso de campo magnético y se llega a la expresión:
A partir de esa ecuación es posible encontrar las unidades del momento de dipolo magnético:
EpUrr ⋅−=
BUrr ⋅−= µ
[ ] [ ][ ]BUrrµ= [ ] [ ]
[ ] TeslasJoules
BU
== rrµ
LEY DE BIOT-SAVART
¿cómo evaluar el campo magnético en un punto "P" del espacio debido a la presencia de un conductor con corriente "I" de geometría cualquiera?
Cuando se tiene un conductor de geometría cualquiera, conduciendo una corriente I, un elemento diferencial de conductor produce un campo magnético diferencial en un punto cuya posición desde el elemento diferencial es dada por el vector de posición .
Ese campo magnético cumple:
ldr
Bdr
Prr
30
4 rrldI
Bdrr
r ×=
πµ
LEY DE BIOT-SAVART
gráficamente los elementos que participan en la expresión anterior son:
LEY DE BIOT-SAVART
Para encontrar el vector de inducción de campo magnético es necesario realizar la integración de la expresión anterior sobre todo el conductor, llegando a la integral de línea:
∫∫×
=b
aC rrldIBd 3
0
4
rrr
πµ
ACTIVIDAD
Demostrar que la aplicación de la Ley de
Biot-Savart permite obtener la expresión
del vector de inducción magnética cuando
se aplica a un conductor rectilíneo infinito
que conduce una corriente “I”
Recordar que Oersted no obtuvo la relación sino simplemente el comportamiento del
campo magnético
Ley de Ampère simple
La integral de circulación del vector de inducción B es igual al producto de la permeabilidad del vacío por la corriente estacionaria neta “I”:
Se compara con la Ley de Inducción de Gauss de la que es “el analogo magnético”
De nueva cuenta percibimos la posición de las constantes en esas ecuaciones “analogas”
IrdBC
0µ=⋅∫ rr
Ley de Ampère simple
IrdBC
0µ=⋅∫ rr
CAMPO ALREDEDOR E INTERIOR DE UN SOLENOIDE
Un solenoide es un arrollamiento de un conductor en forma espiral de tal forma que lo hace equivalente a una colección de "n" espiras idénticas ocupando una longitud determinada, conduciendo una misma corriente.
CAMPO ALREDEDOR E INTERIOR DE UN SOLENOIDE
La deducción del campo en el interior del solenoide es una aplicación clásica de la ley de Ampère
CAMPO ALREDEDOR E INTERIOR DE UN SOLENOIDE
Se realiza la integral de línea:
Que se reduce a:
en consecuencia, la aplicación de la ley de Ampère nos conduce a:
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅p
a
b
p
c
b
q
c
d
q
a
dde
atrayectorisobre
rdBrdBrdBrdBrdBrdBrdB rrrrrrrrrrrrrr
int
hBrdB
deatrayectorisobre
=⋅∫int
rr
IhnhB 0µ=InB 0µ=
AUTOINDUCCION
Cuando se tiene un dispositivo generador de campo magnético como es un solenoide, un toroide, o una espira, ellos generan en ciertas regiones del espacio la presencia de un Campo Magnético cuando circula por ellos una corriente eléctrica.
Si se tiene un solenoide en las cercanías de otro, el primero genera un campo magnético cuando circula a través de él una corriente, ese campo magnético tiene influencia sobre el segundo solenoide.
Ese campo magnético genera un flujo de campo magnético sobre cada espira del segundo solenoide.
AUTOINDUCCION
Si la corriente en el primer solenoide es variable, en el segundo solenoide se generará un flujo de campo magnético variable sobrecada una de sus espiras.
Esta variación de flujo de Campo Magnético en cada espira del segundo solenoide, generará a su ves un fuerza electromotriz inducida, según la Ley de Inducción de Faraday.
el fenómeno de fuerza electromotriz inducida no es privativo de un solenoide sobre otro
también se presenta cuando se tiene un solo dispositivo generador de campo magnético
en este caso la fuerza electromotriz inducida actúa sobre el mismo dispositivo
Es decir, la inducción de una fuerza electromotriz también se presenta sobre el mismo dispositivo generador del campo variable.
AUTOINDUCCION
La Autoinducción es el resultado de la circulación de una corriente variable generadora de campo magnético variableEste a su ves produce sobre cada espira del dispositivo generador de campo, un flujo de campo magnético variableEse flujo tiende oponerse a la variación del flujo de campo magnético original, por medio de la inducción de una fuerza electromotriz de dirección adecuada para ese fin.
Autoinductancia de un solenoide
Estudiemos este fenómeno para el dispositivo más simple: “un solenoide”
el campo magnético generado dentro de ese dispositivo depende de la intensidad de la corriente que circula en su arrollamiento.
como primera buena aproximación, supondremos que el flujo de campo magnético calculado sobre cada vuelta del arrollamiento es el mismo para todas las espiras que constituyen el dispositivo.
Autoinductancia de un solenoide
Sea el flujo de campo magnético en cada vuelta dado por:
el flujo sobre todo el dispositivo es la suma del flujo en cada vuelta
Si el dispositivo tiene en total N vueltas, el flujo que está presente en el dispositivo es dado por la cantidad:
A esta cantidad se le denomina “ENCADENAMIENTOSDE FLUJO”
BΦ
BNΦ
Autoinductancia de un solenoide
Los “ENCADENAMIENTOS DE FLUJO” deben considerarse como el flujo total en el dispositivo.
Ley de Lenz en el dispositivo:
Los encadenamientos de flujo, dependen del flujo sobre cada espira del dispositivo
Este a su vez es proporcional a la corriente que circula en el dispositivo
( )BNtd
dΦ−=E
iN B ∝Φ
Autoinductancia de un solenoide
Al utilizar una constante de proporción, que denominaremos “autoinductancia” o símplemente “inductancia” del dispositivorepresentando esa constante por la letra latina mayúscula “L”:
la fuerza electromotriz inducida en el solenoide es dada por:
iLN B =Φ
( )itd
dL−=E
Autoinductancia de un solenoide
A partir de esta ecuación puede despejarse la Inductancia dando como resultado:
de donde se pueden dar las unidades de la inductancia:
a la unidad derivada se le denomina
Son las unidades de la AUTOINDUCTANCIA
tdid
L E−=
[ ] [ ] [ ][ ][ ] Ampère
segVoltid
td
tdid
L −==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
EE
AmpèresegVolt − Henry
Autoinductancia de un solenoide
Dado un solenoide de “n” vueltas por unidad de longitud, podemos preguntarnos cual es la inductancia de una porción de longitud “l” del mismo colocada en el centro del solenoide.El vector de inducción magnética es uniforme para puntos alejados de los extremos de un solenoide, cuando la corriente tiene valor “i”.
para una porción de longitud “l” el número de vueltas de solenoide es determinado por la expresión:
inB 0µ=
lnN =
Autoinductancia de un solenoide
ese número “N” de vueltas, es el número de espiras del solenoide que tomaremos en consideración al evaluar la Inductancia.flujo de campo magnético que atraviesa cada una de las espiras
A es el área de sección transversal de solenoide
La integral que da el flujo es dada por:
∫ ⋅=ΦA
B SdBrr
ABdSBdSBSdBA AA
B ===⋅=Φ ∫ ∫∫rr
Autoinductancia de un solenoide
los enlaces de flujo son dados por :
La Ley de Lenz en este caso se escribe como:
como la expresión que da la inductancia en términos de la fem inducida es:
AilnAinlnABlnABNN ooB2µµ ====Φ
tdidAln
tdNd
oB 2)( µ−=Φ
−=E
tdid
L E−=
Autoinductancia de un solenoide
podemos inmediatamente deducir:
que indica que la inductancia depende de propiedades netamente geométricas del dispositivo (ANÁLOGO AL CASO DEL CAPACITOR DE PLACAS PARALELAS).
Se observa que la inductancia de un tramo de solenoide es proporcional al volumen encerrado por el arrollamiento en la porción de longitud “l” de solenoide.
AlnL o2µ=
Energía almacenada en un solenoide
La potencia disipada en un “elemento pasivo” es dada por:
pasivoodispositivdelextremoslosenpotencialdediferenciaV
odispositivelencorrienteIVIP
===
Energía almacenada en un solenoide
En un solenoide la potencia disipada es dada por:
pero la inductancia en una porción “l” de solenoide es dada por:
( ) ( )tdidLi
tdiLdi
tdNdiEiP B
L −=−=Φ
−==
AlnL o2µ=
Energía almacenada en un solenoide
en consecuencia, la potencia disipada en el solenoide (asociada con la “caida de potencial” en dirección de la corriente circulante en el dispositivo ) es dada por:
Esta potencia es la energía por unidad de tiempo que se entrega al solenoide para que se convierta en energía en forma de campo magnético.
tdidiAlnEiP oLL
2µ==
Energía almacenada en un solenoide
La energía almacenada en el solenoide cuando la corriente aumenta de cero al valor “i”, es dada por:
o
o
tii
io
tii
ioB
lABiAln
diiAln
dttdidiAlnU
µµ
µ
µ
22
222
)(
0
2
)(
0
2
==
==
=
∫
∫=
=
=
=
Energía almacenada en un solenoide
Como idealmente en un solenoide se considera que el campo es uniforme, podemos considerar que la energía esta uniformemente distribuida.
La densidad de energía en forma de campo magnético es uniformemente distribuida y dada por:
BBBlA
lABlA
Uvolumen
Uuooo
BBB
rr⋅=====
µµµ 21
21
22
2
Energía almacenada en un solenoide
Expresión que tiene una analogía matemática sorprendente con relación a la expresión de densidad de energía en un condensador:
Donde resalta de nuevo la propiedad de posición de εο y µο
BBBlA
lABlA
Uvolumen
Uuooo
BBB
rr⋅=====
µµµ 21
21
22
2
EEu oE
rr⋅=
2ε
Densidad de energía en campos B(x,y,z)
Evidentemente, si se tiene un campo magnético que en un cierto punto del espacio (x,y,z) tiene el valor
la segunda expresión da la densidad de energía en ese punto
( )
BBu
zyxBB
oB
rr
rr
⋅=
=
µ21
,,
