Clase 6a problemas complementarios LIK
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Clase 6
10-Febrero-2015
El método de análisis de mallas simplemente elimina la necesidad desustituir los resultados de la ley de corriente de Kirchhoff en lasecuaciones derivadas a partir de la ley de voltaje de Kirchhoff. Esto secumple ahora en la escritura inicial de las ecuaciones. El enfoquesistemático descrito a continuación deberá seguirse al aplicar estemétodo.
1.- Asigne una corriente diferente en el sentido de las manecillas delreloj a cada lazo cerrado e independiente de la red. No esabsolutamente necesario elegir el sentido de las manecillas del relojpara cada corriente de lazo. De hecho es posible elegir cualquierorientación para cada corriente de lazo sin perdida de precisión;siempre y cuando los pasos restantes se sigan de forma adecuada. Sinembargo al elegir el sentido de las manecillas del reloj como unestándar, es posible desarrollar un método abreviado para escribir lasecuaciones requeridas que ahorrar el tiempo y posiblemente contribuiráa evitar algunos errores.
2.- Indique las polaridades dentro de cada lazo para cada resistor segúnlo determine la dirección asumida para la corriente de lazo en ese lazo.Advierta el requisito de que las polaridades se coloquen dentro de cadalazo.
3.- Aplíquela ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de cada lazo cerradoen el sentido de las manecillas del reloj para establecer uniformidad ycomo preparación para el método que se esta trabajando ahora.
3a.- Si un resistor cuenta con dos o mas corrientes asumidas a través deel la corriente total por el será la corriente asumida del lazo en el quese este aplicando la ley de voltaje de Kirchhoff, mas las corrientesasumidas de los otros lazos que lo cruzan en la misma dirección, menoslas corrientes asumidas que van en dirección opuesta.
3b.- La polaridad de la fuente de voltaje no se ve afectada por ladirección asignada a las corrientes de lazo.
4.- Resuelva las ecuaciones lineales simultaneas resultantes para lascorrientes de lazo asumidas.
Problema 1
Encuentre la corriente a través de cada rama de la red de la siguiente figura:
Solución
Paso 1
Las polaridades de las corrientes ya están asignadas, así como las caídas de tensión encada elemento.
Paso 2
La ley de voltaje de Kirchhoff se aplica alrededor de cada lazo cerrado en el sentido de lasmanecillas del reloj.
Lazo 1 : +𝐸1 − 𝑉1 − 𝑉2 − 𝐸2 = 0 (en el sentido de las manecillas del reloj comenzando en elpunto a)
+5𝑉 − 1Ω 𝐼1 − 6Ω
𝐼1 − 𝐼2
𝐼2 𝑓𝑙𝑢𝑦𝑒 𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 6Ω𝑒𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑎 𝐼1
− 10𝑉 = 0
Solución
Lazo 2 : 𝐸2 − 𝑉2 − 𝑉3 = 0 (en el sentido de las manecillas del reloj comenzando en elpunto b)
+10𝑉 − 6Ω 𝐼2 − 𝐼1 − 2Ω 𝐼2 = 0
Las ecuaciones se vuelven a escribir como:
5 − 𝐼1 − 6𝐼1 + 6𝐼2 − 10 = 010 − 6𝐼2 + 6𝐼1 − 2𝐼2 = 0
−7𝐼1 + 6𝐼2 = 5+6𝐼1 − 8𝐼2 = −10
Solución
Paso 4
𝐼1 =5 6
−10 −8−7 66 −8
=−40+60
56−36=
20
20= 1𝐴
𝐼2 =−7 56 −10−7 66 −8
=70−30
56−36=
40
20= 2𝐴
Solución
Debido a que 𝐼1 𝑒 𝐼2 son positivas y fluyen en direcciones
opuestas a través del resistor de 6Ω y la fuente de 10V, la
corriente total en esta rama es igual a la diferencia de las dos
corrientes en la dirección de la mas grande.
𝐼2 > 𝐼1 2𝐴 > 1𝐴
Solución
Por tanto
𝐼𝑅2 = 𝐼2 − 𝐼1 = 2𝐴 − 1𝐴 = 1𝐴 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝐼2
Problema 2
Encuentre la corriente a través de cada rama de la red de la siguiente figura:
Solución
Las polaridades ya esta indicadas .
Paso 1 La ley de voltaje de Kirchhoff se aplica alrededor de cada lazo cerrado
Lazo 1:
−𝐸1 − 𝐼1𝑅1 − 𝐸2 − 𝑉2 = 0 (𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑎)
−6𝑉 − 2Ω 𝐼1 − 4𝑉 − 4Ω 𝐼1 − 𝐼2 = 0
Lazo 2:
−𝑉2 − 𝐸2 − 𝑉3 − 𝐸3 = 0 (𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑐𝑖𝑙𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑙𝑜𝑗 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑏)
− 4Ω 𝐼1 − 𝐼2 + 4𝑉 − 6Ω 𝐼2 − 3𝑉 = 0
Solución
Lo cual se puede escribir como
−10 − 4𝐼1 − 2𝐼1 + 4𝐼2 = 0−1 + 4𝐼1 − 4𝐼2 − 6𝐼2 = 0
−6𝐼1 + 4𝐼2 = +10+4𝐼1 − 10𝐼2 = −1
O mediante la multiplicación superior por -1, se obtiene
6𝐼1 − 4𝐼2 = −104𝐼1 − 10𝐼2 = −1
Solución
Paso 2
𝐼1 =−10 −4−1 −106 −44 −10
=100−4
−60+16=
96
−44= −2.182𝐴
𝐼2 =6 −104 −16 −44 −10
=−6+40
−60+16=
34
−44= −0.733𝐴
Solución
La corriente en el resistor de 4Ω y en la fuente de 4V para el lazo 1 es:
𝐼1 − 𝐼2 = −2.182𝐴 − −0.773𝐴 = −2.182𝐴 + 0.773𝐴
𝐼1 − 𝐼2 = −1.409𝐴
Mostrando que son 1.409A en dirección opuesta (debido al signo menos)
a 𝐼1 en el lazo 1.
Solucion
Primero se definen las corrientes de malla para la red, como se muestra en la figura A
. Luego la fuente de corriente se elimina mentalmente como se muestra en la figura B,
y se aplica la ley de voltaje de Kirchhoff a la red resultante. La trayectoria sencilla
que ahora incluye los efectos de las dos corrientes de malla se denomina trayectoria
de una corriente de supermalla.
En ocasiones existirán fuentes de corriente dentro de la red a la cual se aplicara el
análisis de mallas. En tales casos es posible convertir la fuente de corriente a fuente
de voltaje (si se encuentra presente un resistor en paralelo) y continuar como antes o
utilizar una corriente de supermalla y proceder de la siguiente forma.
Se empieza como antes y se asigna una corriente de malla a cada trayectoria (lazo)
independiente, incluyendo las fuentes de corriente, como si fueran resistores o fuentes
de voltaje. Luego mentalmente (se vuelve a trazar la red si es necesario) se eliminan
las fuentes de corriente (reemplazandolas con equivalentes de circuito abierto), y se
aplica la ley de voltaje de Kirchhoff a todas las trayectorias independientes restantes
de la red utilizando a las corrientes de malla que se acaban de definir.
Cualquier trayectoria resultante, que incluya dos o mas corrientes de malla, se dice
ser la trayectoria de una corriente de supermalla. Luego se relacionan las corrientes
de malla elegidas de la red con las fuentes de corriente independientes de la red, y se
resuelve para las corrientes de malla.
Problema 3
Utilizando el análisis de mallas, determine las corrientes de la red de la siguientefigura
Solucion
Figura A
Solucion
Figura B
Solucion
Al aplicar la ley de Kirchhoff
20𝑉 − 𝐼1 6Ω − 𝐼1 4Ω − 𝐼2 2Ω + 12𝑉 = 0
O bien
10𝐼2 + 2𝐼2 = 32
Solucion
El nodo a se utiliza entonces para relacionar las corrientes de malla y la fuente de
corriente por medio de la ley de corriente de Kirchhoff
𝐼1 = 𝐼 + 𝐼2
El resultado son dos ecuaciones y dos incógnitas
10𝐼2 + 2𝐼2 = 32𝐼1 − 𝐼2 = 4
Solucion
Al aplicar los determinantes
𝐼1 =32 24 −110 21 −1
=32 −1 − 2 4
10 −1 − 2 1=
40
12= 3.33𝐴
E 𝐼2 = 𝐼1 − 𝐼 = 3.33𝐴 − 4𝐴 = −0.67𝐴
Solucion
En el análisis anterior, podría parecer que 𝐼1 = 𝐼2 cuando la
fuente de corriente fue eliminada. Sin embargo, el método de
supermalla requiere que se siga la definición original de cada
corriente de malla y no se alteren esas definiciones cuando se
elimina las fuentes de corriente.
Problema 4
Utilizando el análisis de mallas, determine las corrientes de la red de la siguientefigura
Solucion
Las corrientes de malla se definen en la figura A. Las fuentes de corriente se
eliminan, y la trayectoria simple de supermalla se define en la figura B.
Solucion
Las corrientes de malla se definen en la figura A. Las fuentes de corriente se
eliminan, y la trayectoria simple de supermalla se define en la figura B.
Solucion Figura A
Solucion Figura B
Solucion
Al aplicar la ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de la trayectoria de la supermalla:
−𝑉2Ω − 𝑉6Ω − 𝑉8Ω = 0
− 𝐼2 − 𝐼1 2Ω − 𝐼2 6Ω − 𝐼2 − 𝐼3 8Ω = 0
−2𝐼2 + 2𝐼1 − 6𝐼2 − 8𝐼2 + 8𝐼3 = 0
2𝐼1 − 16𝐼2 + 8𝐼3 = 0
Solucion
Al introducir la relación entre las corrientes de malla y las fuentes de corriente:
𝐼1 = 6𝐴
𝐼3 = 8𝐴
Da por resultado las siguientes soluciones
2𝐼1 − 16𝐼2 + 8𝐼3 = 0
2 6𝐴 − 16𝐼2 + 8 8𝐴 = 0
Solucion
E 𝐼2 =76𝐴
16= 4.75𝐴
Entonces:
𝐼2Ω ↓= 𝐼1 − 𝐼2 = 6𝐴 − 4.75𝐴 = 1.25𝐴
𝐼8Ω ↓= 𝐼3 − 𝐼2 = 8𝐴 − 4.75𝐴 = 3.25𝐴
Solucion
Nuevamente, observe que debe seguir con las definiciones
originales de las distintas corrientes de malla al aplicar la
ley de voltaje de Kirchhoff alrededor de las trayectorias de
supermalla resultantes.