SERIES DE NUMEROS REALES CRITERIOS DE CONVERGENCIAEscuela de Ingenierıa Industrial, UNMSM. Profesora: Nancy Moya Lazaro.5 de Febrero del 2013.

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0.1. Serie de Numeros Reales:∑∞

k=1 ak

Definicion 1. La sucesion de sumas parciales .s1 = a1.s2 = a1 + a2. .sn = a1 + a2 + .....+ an ”Suma parcial de los n- primeros terminos”

Definicion 2. La serie∑+∞

k=1 ak converge ⇐⇒ ∃limn→+∞ sn = A .En este caso

+∞∑k=1

ak = limn→+∞ sn (1)

Definicion 3. La serie∑+∞

k=1 ak diverge ⇐⇒{sn}n≥1 es divergente. En este caso

+∞∑k=1

ak = lim→+∞sn =∞ (2)

Propiedad de linealidad de la Serie Convergentes.

Teorema 4. Sean∑∞

k=1 ak y∑∞

k=1 bk series convergentes de terminos complejos y α, βconstantes complejas. Entonces

∞∑k=1

(αak + βbk) converge y su suma es (3)

∞∑k=1

(α ak + β bk) = α∞∑k=1

ak + β∞∑k=1

bk (4)

Criterios utiles de divergencia

Teorema 5. Si∑∞

k=1 ak converge y si∑∞

k=1 bk diverge entonces

∞∑k=1

(ak + bk) diverge (5)

2

Ejemplo 6.∑∞

k=1(1k + 1

3k)diverge.

Pues∑∞

k=11k es divergente es la serie armonica, y

∑∞k=1

13k

es la serie geometrica.

Teorema 7. Si∑∞

k=1 ak diverge y si∑∞

k=1 bk diverge entonces

∞∑k=1

(ak + bk) puede converger o no. (6)

Ejemplo 8.∑∞

k=1 1 es divergente y la serie∑∞

k=1(−1) es divergente , sin embargo∑∞k=1[1 + (−1)] =

∑∞k=1 0 es convergente.

Serie Telescopica∑∞

k=1(bk − bk+1) = b1 − L

Teorema 9. Si la sucesion {bk}k≥1 es convergente con limk→+∞bk = L. Entonces la serieTelescopica es convergente y su valor es

∞∑k=1

(bk − bk+1) = b1 − L (7)

Observacion 10. Si la sucesion {bk} es divergente entonces la serie Telescopica diverge.

Ejemplo 11.∑∞

k=11

9k2−3k−2∑∞k=1

19k2−3k−2 =

∑∞k=1

1(3k+1)(3k−2) .

Lo ultimo lo expresamos en fracciones parciales

∞∑k=1

1

(3k + 1)(3k − 2)=

A

3k − 2+

B

3k + 1(8)

A = 13 B = −1

3

∞∑k=1

1

(3k + 1)(3k − 2)=

1

3

∞∑k=1

[1

3k − 2+

1

3k + 1] =

1

3[1− limbk ] =

1

3(9)

aquı bk = 13k−2 bk+1 = 1

3k+1 .

Ejemplo 12.∑∞

k=12

4n2−1 Converge a 1 hacerlo

Ejemplo 13.∑∞

k=1 log[ kk+1 ] Diverge

Serie Geometrica∑∞

k=1 rk, r = razon

Teorema 14.∑∞

k=1 rk =

{1

1−r , si |r| < 1

diverge, si |r| ≥ 1

Criterio de Convergencia util para la divergencia

Teorema 15. Si∑∞

k=1 ak converge entonces limk→+∞ak = 0

0.1. SERIE DE NUMEROS REALES:∑∞

K=1AK 3

Utilidad del Teorema

Teorema 16. Si limk→+∞ak 6= 0 Entonces∑∞

k=1 ak diverge

Ejemplo 17.∑∞

k=1

√k

1+√k

Solucion. Dea acuerdo al teorema es suficiente tomar el limitelimk→∞

√k

1+√k

= 1 6 = 0 entonces por el teorema∑∞

k=1

√k

1+√k

diverge.

Otro ejemplo

Ejemplo 18.∑∞

k=1 2n

Aquı Limn→+∞2n = +∞ 6 = 0 entonces por el teorema la serie∑∞

k=1 2n diverge.Atencion:

Con la serie∑∞

k=11k

El limk→+∞1k = 0, entonces no se puede aplicar el teorema, pues el teorema vale

cuando el limite es diferente de cero; cuando es cero no dice nada.Criterios de Convergencia para series de terminos no negativos

Criterio de Comparacion para la convergencia.

Teorema 19. 1.- Si 0 ≤ uk ≤ vk, k = 1, 2, 3....2.- Si

∑∞k=1 vk <∞ Entonces

∞∑k=1

uk <∞(Converge) (10)

Criterio de Comparacion para la divergencia.

Teorema 20. 1. Si 0 ≤ vk ≤ uk, k = 1, 2, 3, . . .2. Si

∑∞k=1 vk =∞ Entonces

∞∑k=1

uk =∞(Diverge) (11)

Criterio del Cociente.1. uk > 0, k=1,2 . . .

2. lımk→+∞uk+1

uk= L < 1

(1 < L ≤ ∞

).

Entonces

∞∑k=1

uk es convergente

(∞ Diverge

). (12)

Nota. Si L = 1 el criterio no dice nada.

Criterio de la Raız1. uk > 0, k=1,2. . .

4

2. lımk→+∞√uk = L < 1

(1 < L ≤ ∞

).

Entonces∑∞

k=1 uk es convergente

(∞ Diverge

).

Nota. Si L = 1 el criterio no dice nada.

Criterio de la Integral.1. f(x) ≥ 0, continua, decreciente en 1 ≤ x <∞

2. lımk→+∞∫ +∞1 f(x) dx = A <∞ (=∞.)

Entonces

∞∑k=1

fk <∞ (=∞.) (13)

Este Criterio nos permite probar que la Serie ((p)) es convergente

La Serie p

∑∞k=1

1kp =

diverge, si 0 < p < 1diverge, si p = 1converge, si p > 1

Nota. Cuando p = 1,∑∞

k=11k se denomina la serie Armonica

Convergencia Absoluta, Series Alternantes

1.- Consideramos series cuyos terminos no estan restrictos a ser positivosintroduciendo la nocion de convergencia absoluta

Definicion 21. La serie∑∞

k=1 uk converge absolutamente ⇐⇒∑∞

k=1 |uk| converge.

Definicion 22. La serie∑∞

k=1 uk converge condicionalmente ⇐⇒∑∞

k=1 uk converge, y∑∞k=1 |uk| =∞.

Con estas definiciones previas podemos extender el Criterio de la Raız y de larazon vistas antes, restrictivas solo a terminos positivos, ahora son para cualquier

termino.Extension del Criterio de la Razon y de la Raız

Criterio de la Razon

Teorema 23. 1. uk > 0, k = 1, 2 . . .

2. lımk→+∞ |uk+1

uk| = L < 1

(1 < L ≤ ∞

).

Entonces∑∞

k=1 uk converge absolutamente

(∞ Diverge

).

Nota. Si L = 1 el criterio no dice nada.

0.1. SERIE DE NUMEROS REALES:∑∞

K=1AK 5

Ejemplo 24.∑∞

k=1kk

k!

Clculo limk→+∞|(k+1)k+1

(k+1)!

kk

k!

| = limk→∞(k+1k )k = limk→+∞(1 + 1

k )k = e > 1

Criterio de la Raız

Teorema 25. 1. uk > 0, k=1,2. . .

2. lımk→+∞√|uk| = L < 1

(1 < L ≤ ∞

).

Entonces∑∞

k=1 uk converge absolutamente

(∞ Diverge

).

Nota. Si L = 1 el criterio no dice nada.

Ejemplo 26.∑∞

k=1k2k

Aplicando el criterio de la raız:

limk→+∞k2k

1k = 1

2 limk→+∞k1k = 1

2 < 1 entonces como L = 12 por el Criterio de la raız la

serie propuesta converge absolutamente, entonces es convergente.

Teorema de Leibniz para series Alternantes:∑∞

k=1(−1)k vk

Teorema 27. 1. Sea {vk}k∈IN una sucesion monotona decreciente.2. lımk→+∞ vk = 0.Entonces

∞∑k=1

(−1)k vk converge. (14)

Ejemplo

lımk→+∞

(−1)klogk√k

(15)

Solucion.vk = logk√

kes una sucesion monotona decreciente.

para ello pruebe que la funcion real f(x) = logx√x

, es decreciente en x ≤ 1.

Ademas el limk→+∞logk√

k= 0. Por tanto lımk→+∞

(−1)klogk√k

, es convergente por el criterio de

Leibniz.