Clase N_ 01 MI _ 547
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CURSO:ANALISIS DE SISTEMAS MINEROS MI-547
PRESENTADO POR :
ING. EDMUNDO CAMPOS ARZPALO
ABRIL 2015
HISTORIA
La primera actividad de Investigacin de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaa, donde la Administracin Militar llam a un grupo de cientficos de distintas reas del saber para que estudiaran los problemas tcticos y estratgicos asociados a la defensa del pas.
El nombre de Investigacin de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares).
Continua.HISTORIA
Al trmino de la guerra y atrados por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigacin de Operaciones a la resolucin de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamao y la complejidad de las industrias.
Investigacin de operaciones
Enfoque cientfico y objetivo a la toma de decisiones y solucin de problemas gerenciales
Implica:
Construccin de un modelo simblico
Analizar las relaciones entre las decisiones, consecuencias y objetivos
Desarrollar una tcnica de decisin
Principales factores que facilitaron el desarrollo de la investigacin de operaciones
Intuicin
Aplicacin de tcnicas cientficas durante la Segunda Guerra Mundial
Desarrollo y mejora de las ciencias y tcnicas disponibles
Desarrollo del computador
Beneficios del enfoque cientfico para la toma de decisiones
Provee herramientas lgicas
Mayor precisin y cuantificacin
Visin mejorada
Formalizacin
Mejores sistemas de planificacin, control, organizacin y operacin
Caractersticas de la Investigacin de operaciones
Enfoque
reas de Aplicacin
Enfoque metodolgico
Objetivo
Interdisciplinariedad
Computador
Proceso de la investigacin de operaciones
Formulacin y definicin del problema
Construccin de un modelo
Solucin del modelo
Validacin del modelo
Implementacin de los resultados
TEORA DE DECISIONES
Naturaleza de las decisiones
Decisiones bajo certeza vs. incertidumbre
Decisiones estticas vs. Decisiones dinmicas
Decisiones donde el oponente es de naturaleza vs. oponente racional
Elementos de una decisin
Unidad de toma de decisin
Posibles acciones
Posibles estados
Posibles efectos
Relacin entre acciones y efectos
Tipos de decisiones
Decisiones bajo certeza (donde todos los hechos son conocidos con seguridad) versus incertidumbre (donde el evento que ocurrir no es conocido con seguridad), pero se puede asignar una probabilidad a su ocurrencia.
Decisiones estticas ( decisiones que se tomas una y una sola vez) versus decisiones dinmicas (donde se toman una secuencia de decisiones interrelacionadas, bien simultneamente o sobre varios periodos de tiempo).
Decisiones donde el oponente es la naturaleza (el estado del tiempo, el estado de la economa) o un oponente que piensa (racional, desarrollo de una poltica nacional minera, donde tenemos que considerar las acciones de las comunidades). Se consideran todas las posibles combinaciones de estos factores, has 8 tipos de decisiones que puede enfrentar un decisor
CIERTA
ESTATICA
NATURALEZA
OPONENTE RACIONAL
DINAMICA
INCIERTA
ESTATICA
NATURALEZA
OPONENTE RACIONAL
NATURALEZA
OPONENTE RACIONAL
NATURALEZA
OPONENTE RACIONAL
ARBOL DE DECISIONES
DINAMICA
1
2
3
4
5
6
7
8
EJEMPLO DE ARBOL DE DECISIN
TEORIA DE MARKOV
Introduccin
Las cadenas de markov son modelos probabilsticos que se usan para predecir la evolucin y el comportamiento a corto y a largo plazo de determinados sistemas.
Ejemplos: reparto del mercado entre marcas; dinmica de las averas de mquinas para decidir poltica de mantenimiento; evolucin de una enfermedad,
1. Definicin de Cadena de Markov
Una Cadena de Markov (CM) es:
Un proceso estocstico
Con un nmero finito de estados (M)
Con probabilidades de transicin estacionarias
Que tiene la propiedad markoviana
Proceso estocstico:
Es un conjunto o sucesin de variables aleatorias: {X(t)C} definidas en un mismo espacio de probabilidad.
Normalmente el ndice t representa un tiempo y X(t) el estado del proceso estocstico en el instante t.
El proceso puede ser de tiempo discreto o continuo si G es
discreto o continuo.
Si el proceso es de tiempo discreto, usamos enteros para
representar el ndice: {X1, X2, ...}
Ejemplos de procesos estocsticos:
Serie mensual de ventas de un producto
Estado de una mquina al final de cada semana (funciona/averiada)
N de clientes esperando en una cola cada 30 segundos
Marca de detergente que compra un consumidor cada vez que hace la compra. Se supone que existen 7 marcas diferentes
N de unidades en almacn al finalizar la semana
Un conjunto finito de M estados, exhaustivos y mutuamente excluyentes (ejemplo: estados de la enfermedad)
Ciclo de markov (paso) : periodo de tiempo que sirve de base para examinar las transiciones entre estados (ejemplo, un mes)
Probabilidades de transicin entre estados, en un ciclo (matriz P)
Distribucin inicial del sistema entre los M estados posibles
ELEMENTOS DE UNA CADENA
DE MARKOV
Tres laboratorios farmacuticos (A,B y C) que compiten en un principio activo (mismo conjunto homogneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente
EJEMPLO 1: EL REPARTO DEL
MERCADO A LARGO PLAZO
EN UN OLIGOPOLIO
Matriz de transicin en un paso (ciclo)
Ciclo: Mes
Las filas suman 1
Cmo se repartirn el mercado dentro de 1 mes, 6 meses, 1 ao?, A largo plazo?
EJEMPLO 2: LA EVOLUCIN CLNICA DE LOS
PACIENTES CON VLVULA CARDIACA
SOMETIDOS A TRATAMIENTO ANTICOAGULANTE
BIEN
CON
SECUELAS
MUERTO
3 estados (1 absorbente, 2 transitorios)
Ciclo=mes
Utilidades = Nivel salud
Distribucin inicial de la cohorte (N=10.000): todos bien
EJEMPLO 2: LA EVOLUCIN CLNICA DE LOS
PACIENTES CON VLVULA CARDIACA
SOMETIDOS A TRATAMIENTO ANTICOAGULANTE
BIEN
CON
SECUELAS
MUERTO
3 estados (1 absorbente, 2 transitorios)
Ciclo=mes
Utilidades = Nivel salud
Distribucin inicial de la cohorte (N=10.000): todos bien
EJEMPLO 2: LA EVOLUCIN CLNICA DE LOS
PACIENTES CON VLVULA CARDIACA
SOMETIDOS A TRATAMIENTO ANTICOAGULANTE
BIEN
CON
SECUELAS
MUERTO
0.6
0.6
0.2
0.2
3 estados (1 absorbente, 2 transitorios)
Ciclo=mes
Utilidades = Nivel salud
Distribucin inicial de la cohorte (N=10.000): todos bien
Tres laboratorios farmacuticos (A,B y C) que compiten en un principio activo (mismo conjunto homogneo en la orden de precios de referencia). Hoy sus cuotas de mercado son 30%, 20% y 50% respectivamente
EJEMPLO 1: EL REPARTO DEL
MERCADO A LARGO PLAZO
EN UN OLIGOPOLIO
Matriz de transicin en un ciclo (P)
Ciclo: Mes
Las filas suman 1
Cmo se repartirn el mercado dentro de 1 mes, 6 meses, 1 ao?, A largo plazo?
Este es un ejemplo de cadena de Markov irreductible y ergdica. Todos los estados son recurrentes y estn comunicados entre s, formando una sola clase.Hay solucin de estado estable (reparto del mercado a largo plazo, independiente de la situacin inicial)
EJEMPLO 1: EL REPARTO DEL
MERCADO A LARGO PLAZO
EN UN OLIGOPOLIO
Reparto del mercado despus de n ciclos = P0*Pn
1 mes.....P1= [0.3350 0.2540 0.4110]
2 meses ....p2 =[ 0.3595 0.2911 0.3494]
6 meses ...... p6 =[ 0.4030 0.3543 0.2427]
1 ao ....... p12 = [ 0.4150 0.3704 0.2146]
2 aos ...... p24 =[ 0.4165 0.3722 0.2113]
3 aos ....... p36 =[ 0.4165 0.3722 0.21131]
Solucin de estado estable
EJEMPLO 3: EL HBITO TABQUICO
DE LOS JVENES
5 estados (1 transitorio, 4 recurrentes)
Ciclo= un ao
Distribucin inicial de la cohorte (N=1.340): (0.58 0.28 0.05 0.03 0.06)
Qu es un Modelo?
Segn una de las definiciones ms simples de modelo es la propuesta por Colin Lee (1972)
Un modelo es una representacin de la realidad
Pidd (1996) propone la siguiente definicin mucho ms completa:
Un modelo es una representacin explcita y externa de parte de la realidad
como la ven las personas que desean usar el modelo para entender, cambiar,
gestionar y controlar dicha parte de la realidad
Para qu sirve un modelo?
En atencin a lo anterior se pueden definir tres mbitos de utilidad de los modelos en la Investigacin
de Operaciones:
Aprender / Entender
Implementar en un ordenador
Tomar decisiones
El Problema, y el Concepto de Solucin
Ciclo de Vida de la construccin de Modelos
No existe un mtodo para construir un modelo perfecto de modo directo. En cualquier caso se puede decir que en la definicin de cualquier modelo hay tres etapas o hitos bsicos que se concretan en:
1. Definir el Problema. Esta fase incluye entender el problema y acordar con el cliente los resultados a obtener.
2. Modelar y Construir la Solucin. Esta fase incluye definir el tipo de tcnica a utilizar, generar el modelo (implementarlo informticamente si es el caso) y por ltimo validarlo.
3. Utilizar la Solucin. Un modelo perfecto que no se utilice es un modelo perfectamente intil.
Ser capaz de implementar el modelo de tal manera que el cliente lo utilice, y mantener
un concreto sistema de actualizacin son los dos elementos bsicos de esta fase.
CICLOS EN LA CONSTRUCCIN DE MODELOS
Terminologa de la construccin de modelos
TIPOS DE MODELOS DE IO
El enfoque de la Investigacin de Operaciones es el modelaje.
Un modelo es una herramienta que nos sirve para lograr una visin bien estructurada de la realidad.
La ventaja que tiene el sacar un modelo que represente una situacin real, es que nos permite analizar tal situacin sin interferir en la operacin que se realiza, ya que el modelo es como si fuera un espejo de lo que ocurre.
TIPOS DE MODELOS DE IO
Para aumentar la abstraccin del mundo real, los modelos se clasifican como
1) icnicos,
2) anlogos,
3) simblicos.
MODELOS
Los modelos icnicos son la representacin fsica, a escala reducida o aumentada de un sistema real.
Los modelos anlogos esencialmente requieren la sustitucin de una propiedad por otra con el fin de permitir la manipulacin del modelo. Despus de resolver el problema, la solucin se reinterpreta de acuerdo al sistema original.
Los modelos ms importantes para la investigacin de operaciones, son los modelos simblicos o matemticos, que emplean un conjunto de smbolos y funciones para representar las variables de decisin y sus relaciones para describir el comportamiento del sistema.
MODELO MATEMATICO
Un modelo matemtico comprende principalmente tres conjuntos bsicos de elementos. Estos son:
1. Variables y parmetros de decisin. Las variables de decisin son las incgnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parmetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisin con las restricciones y funcin objetivo. Los parmetros del modelo pueden ser determinsticos o probabilsticos.
2. Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnolgicas, econmicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implcitas o explcitas) que restrinjan las variables de decisin a un rango de valores factibles.
3. Funcin objetivo. La funcin objetivo define la medida de efectividad del sistema como una funcin matemtica de las variables de decisin.
La solucin ptima ser aquella que produzca el mejor valor de la funcin objetivo, sujeta a las restricciones.
Construccin de un modelo
Qu es un modelo?
Una abstraccin o representacin simplificada de la realidad.
Pueden ser:
Icnicos
Anlogos
Simblicos
El proceso de construccin de modelos
FORMULACIN DE UN MODELO
Naturaleza y estructura de los modelos matemticos
Variables y parmetros de decisin
Restricciones
Funcin Objetivo
Principales herramientas de la investigacin de operaciones
Anlisis de decisiones
Programacin lineal
Teora de inventarios
Modelos de pronstico
Modelos de lneas de espera Teora de colas
Operacin con redes PERT / CPM
Simulacin
Ejemplo de la construccin de un modelo matemtico
Una empresa produce dos juguetes: los osos Bobby y Teddy.
Cada juguete requiere ser procesado en dos mquinas diferentes.
La primer mquina tiene 12 horas de capacidad disponible y la otra tiene 8 horas de capacidad disponible por da.
Nota: Este problema fue tomado de Moskowitz, Investigacin de Operaciones. Prentice Hall, 1982.
Ejemplo de la construccin de un modelo matemtico
Cada Bobby requiere 2 horas en cada mquina.
Cada Teddy requiere 3 hrs. en la 1er mquina y 1 hr. en la otra.
La ganancia incremental es de 6 por cada Bobby y de 7 por cada Teddy.
Si puede vender toda su produccin, Cuntas unidades diarias de cada uno debe producir?
Ejemplo de la construccin de un modelo matemtico
Se requiere formular:
Variables de decisin y parmetros
Restricciones
Funcin Objetivo
Ejemplo de la construccin de un modelo matemtico
Variables de decisin:
Cantidad de Bobbies a producir por da: B
Cantidad de Teddy a producir por da: T
Parmetros:
1 Mq.2 Mq.CapacidadB2212T318Gananc. Increm.67Ejemplo de la construccin de un modelo matemtico
Restricciones
Capacidad de la 1er. mquina
2B + 3T 12
Capacidad de la 2da. mquina
2B + T 8
Restricciones de no negatividad
B 0, T 0
Ejemplo de la construccin de un modelo matemtico
Funcin Objetivo:
Maximizar: Z = 6B + 7T
Cul es la solucin ptima?
B = 2, T = 2
B = 3, T = 2
B = 4, T = 4
EJERCICIOS
Una vez presentado el problema
cmo plantearlo cientficamente?
Formulacin matemtica del problema
Formulacin matemtica bsica en un problema de I.O.
Ejemplo: Dos empresas Mineras extraen dos tipos diferentes de minerales, los cuales son sometidos a un proceso de trituracin, con tres grados: alto , medio y bajo. Las compaas han firmado un contrato para proveer de mineral a una planta de fundicin, cada semana, 12 toneladas de mineral de grado alto, 8 toneladas de grado medio y 24 toneladas de grado bajo. Cada una de las empresas tiene diferentes procesos de fabricacin.
MinaCoste por da (miles de Euros) Producci(toneladas/da)
Alto MedioBajo
X180634
Y160116
Cuntos das a la semana debera operar cada empresa para cumplir el contrato con la planta de fundicin?
Formulacin matemtica bsica en un problema de I.O.
Debemos buscar una solucin que minimice el coste de produccin de las empresas, sujeta a las restricciones impuestas por el proceso productivo as como el contrato con la planta de fundicin.
Traduccin del problema en trminos matemticos
definir las variables
las restricciones
el objetivo
Formulacin matemtica bsica en un problema de I.O.
Variables
Representan las decisiones que puede tomar la empresa:
Dx = nmero de das a la semana que la empresa X produce
Dy= nmero de das a la semana que la empresa Y produce
Notar que Dx0 y Dy0
Restricciones
Se recomienda primero plantear las restricciones con palabras antes de pasar a su formulacin matemtica
Restriccin 1. refleja el balance entre las limitaciones productivas de la fbrica y el contrato con la plante de fundicin
Grado
Alto6Dx+1Dy12
Medio3Dx+1Dy8
Bajo 4Dx+6Dy24
Restriccin 2. das de trabajo disponibles a la semana
Dx5 y Dy5
Objetivo
Como objetivo buscamos minimizar el coste
Formulacin matemtica bsica en un problema de I.O.
La representacin completa del problema tomara la siguiente forma:
Minimizar 180Dx+160Dy
S.a.
6Dx+1Dy12
3Dx+1Dy8
4Dx+6Dy24
Dx5, Dy5
Dx0, Dy0
Algunas reflexiones
Hemos pasado de la definicin del problema a su formulacin matemtica.
Error de especificacin, el error ms frecuente consiste en descuidar las limitaciones (restricciones, caractersticas de las variables, etc,)
En el ejemplo anterior:
Todas las variables son continuas (admitimos fracciones de da)
Existe un nico objetivo (minimizar los costes)
El objetivo y las restricciones son lineales
Las tres consideraciones anteriores nos llevan a lo que denominamos un problema de Programacin Lineal PL
Algunas reflexiones
El ejercicio anterior plantea un PROBLEMA DE DECISIN
Hemos tomado una situacin real y hemos construido su equivalente matemtico MODELO MATEMTICO
Durante la formulacin del modelo matemtico nosotros consideramos el mtodo cuantitativo que (esperanzadamente) nos permitir resolver el modelo numricamente ALGORITMO
El algoritmo es un conjunto de instrucciones que siguiendo de manera gradual producen una solucin numrica
Llegamos a una nueva definicin de I.O.
Ciencia para la representacin de problemas reales mediante modelos matemticos que junto con mtodos cuantitativos nos permiten obtener una solucin numrica a los mismos
Dificultades
Dificultades de este tipo de enfoques:
Identificacin del problema (debemos ignorar partes o tratar el problema entero)
Eleccin del modelo matemtico adecuado as como el algoritmo adecuado para resolverlo (validacin del algoritmo)
Dificultades en la implementacin
Velocidad (costes) que supone llegar a una solucin
Calidad de la solucin
Consistencia de la solucin
EJEMPLO
https://www.youtube.com/watch?v=G-WC4odWeSU
GRACIAS
ABC
A0,80,10,1
B0,150,820,03
C0,130,120,75
Nunca lo ha
probado
Lo ha probado,
pero ahora no
fuma
Fuma menos de
una vez por
semana
Fuma los fines
de semana
Fuma diariamenteTotal
Nunca lo ha probado77.7%17.2%3.2%0.9%1.0%100.0%
Lo ha probado, pero ahora
no fuma0.0%75.0%12.2%4.7%8.1%100.0%
Fuma menos de una vez
por semana0.0%34.0%22.0%12.0%32.0%100.0%
Fuma los fines de semana0.0%26.5%17.6%26.5%29.4%100.0%
Fuma diariamente0.0%6.3%8.3%0.0%85.4%100.0%
Total50.4%31.8%6.7%3.0%8.1%100.0%