Clase Volumen Civil Ppf
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ANLISIS MATEMTICO II
F.Q
.H
1
Horario A- B
VOLUMEN SOLIDOS
Lic. FLOR DE MARA QUISPERIMA
HUAMN
(2015- II)
UNIVERSIDAD SAN LUIS GONZAGA
DE ICA
FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL
-
VOLUMENES DE SLIDOS
DE REVOLUCIN
-
SOLIDOS
-
El cono es un slido que resulta al girar un
tringulo recto alrededor de uno de sus lados
VOLUMEN DE SOLIDO DE REVOLUCIN
-
VOLUMEN DE SOLIDO
ESFERA
-
Los slidos de revolucin son slidos
generados al girar una regin plana
alrededor de un eje.
DEFINICIN
-
MTODO DEL DISCO
Si giramos una regin del plano alrededor
del eje X obtenemos un slido
de revolucin.
b
adxxfV
2)(
dx
( )R f x2Area R
dV Adx
2 2( ( ))dV R dx f x dx
f(x)
x
dx
-
Si giramos una regin del plano alrededor del
eje Y obtenemos un slido de revolucin
MTODO DEL DISCO
-
Ejemplo 2: La regin limitada por la curva , la recta rotan alrededor del eje Y . Encontrar el volumen del slido obtenido
-
EJE DE GIRO :
CASO 1: EJE X
2
( )
b
a
V f x dx
CASO 2 : RECTA HORIZONTAL y = c
y = c
2
( )
b
a
V f x c dx
f(x)
f(x)
Y
Y
X
X
a b
a b
MTODO DEL DISCO
-
Ejemplo Sea la regin limitada por la parbolas = 4 2 . y la recta y=0.Hallar el volumen del solido generado
al girar la regin alrededor del eje X.
-
MTODO DEL ANILLO
a b x
f (x)
g (x)
y= f (x)
y = g (x)
X
y
2 22 2 ( ) ( )A R r A f x g x
R
r
2 2( ( )) ( ( ))
b
a
V f x g x dx
-
2 2
( ) ( )
b
a
V f x g x dx
CASO 1: EJE X
CASO 2 : RECTA HORIZONTAL y = c
y = c
2 2
( ) ( )
b
a
V f x c g x c dx
X
Y
a b
a b
f(x)
f(x)
g (x)
g (x)
X
Y
-
Ejemplo Sea la regin limitada por las parbolas = 2 , = 4 2 . Hallar el volumen del solido generado al girar la regin alrededor del eje X.
-
Ejemplo 1: Determinar el volumen del slido generado al hacer
girar, alrededor del eje X, las regiones acotada por
las curvas: 24 ; 2y x y x
-
Ejemplo Determinar el volumen del slido generado al hacer
girar, alrededor del eje Y, las regiones acotada por las
curvas: = ; = .
-
MTODO DE LA CORTEZA
-
b
a
dx)x(fxV 2
MTODO DE LA CORTEZA O DE LOS CAPAS CILNDRICAS.
2 ( )dV x f x dx
-
METODO DE LA CORTEZA
f(x)
a b
Y
X
x h
2 ( )dV x f x dx
= 2( )()()
2 ( )b
a
V x f x dx
-
Ejemplo
solucin
2 ( )dV x f x dx 2 ( )
b
a
V x f x dx
3
0
23 )134(2 dxxxxxV
-
MTODO DE LA CORTEZA
2 ( )b
a
V x f x dx
x = k
EJE DE GIRO: Y
EJE DE GIRO: RECTA VERTICAL x = k
2 ( )b
a
V x k f x dx
Y
Y
a x b
a x b
-
X
Y
a x b
f(x)
g (x) 2 ( ) ( )
b
a
V x f x g x dx
X
Y
a x b
f(x)
g (x)
x = k
EJE DE GIRO: RECTA VERTICAL x = k
2 ( ) ( )b
a
V x k f x g x dx
EJE DE GIRO: Y
-
Ejemplo 42 xySea la parbola Si R es l Regin limitada por la parbola, la recta y el eje Y. Hallar el volumen del solido
generado cuando R gira alrededor del eje Y.
542 xxy
-
Sea R la regin limitada por dos curvas y las rectas x=1 y x=3.
Hallar el volumen del solido que es generado cuando la regin gira
alrededor del eje Y
Ejemplo
solucin
3
1
223 )34(51262 dxxxxxxxV
-
SECCIN TRANSVERSAL
Es una regin plana de un slido obtenida
al interceptar al slido con un plano
perpendicularar este.
VOLMENES DE SLIDOS DE SECCIONES
TRANSVERSALES CONOCIDAS
-
L
a
x
b
S
Note que A(x) es un valor que depende de x, y que al
menos en el caso de la Fig. conforme x varia desde a
hasta b, el valor del rea A(x) tambin est variando
en funcin de x.
Seccin transversal tpica,
perpendicular al eje L y
de rea A(x)
SECCIONES TRANSVERSALES PLANAS PARALELAS
VOLMENES DE SLIDOS DE SECCIONES
TRANSVERSALES
-
x
dx
A(b)
A(a)
b a x
A(x)
El diferencial de volumen
A(x)
dx
dV = A(x) dx
CLCULO DE VOLMENES DE SLIDOS QUE
NO SON DE REVOLUCIN
( )b
aV A x dx
-
La base de cierto slido es la parbola y la
recta y=0. y las secciones transversales perpendiculares al
eje X son tringulos equilteros; encontrar el volumen del
slido.
Ejemplo
solucin
-
En la figura se muestra un slido con una base circular de radio 1. Las secciones transversales paralelas pero perpendiculares a la base son tringulos equilteros.
Determine el volumen del slido.
k
i
j
Ejemplo
Solucin
-
Las secciones transversales de cierto slido por planos
perpendiculares al eje son semicrculos con dimetros que
van desde la curva hasta la curva
el slido est entre los puntos de interseccin de las dos curvas;
encontrar el volumen.
Ejemplo
-
La base de un slido es la regin limitada por la
elipse b2x2 + a2y2 = a2b2.
Hallar el volumen del slido S suponiendo que las
secciones transversales perpendiculares al eje X
son:
a) Tringulos rectngulos issceles , cada uno con una
hipotenusa sobre el plano XY
b) Cuadrados
Ejemplo
-
b) Si la secciones transversales son cuadrados, el slido que
da descrito como la unin de los Sx, x [-a,a], tal que Sx es un cuadrado de lado:
2 222b
y a xa
Luego
2
2 2
2( ) 4
bA x a x
a
0 -a a
y
x
-y
Donde: a
-a
4b
a dx ab2 = ( )u3 V = (a2 x2)
-
c) Si la secciones transversales tringulos de altura 2 , el slido
es la unin de los Sx, x [-a,a], tal que Sx es un tringulo de lado:
2y = 2b
a (a2 x2)
y lado 2, por tanto
A(Sx) = y2 =
b2
a2 (a2 x2)
y
x
-y 0
-a a
Luego :