5.1.1 Contenido: 1. Elementos y Conjuntos. 2. Operaciones con conjunto. 3. Subsistemas de los números reales.

N: el conjunto de los números naturales. Es el conjunto de los números enteros no negativos. Existe una controversia acerca de la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. De ahí que no exista acuerdo en la literatura y coexistan definiciones contradictorias de los números naturales. De hecho, algunos matemáticos (especialmente los de la Teoría de Números) prefieren no reconocer el cero como un número natural; otros, especialmente los de Teoría de conjuntos, Lógica e Informática, sostienen la postura opuesta. Históricamente el cero no se consideraba número natural. Entre otros motivos porque no tenía una representación natural: cero dedos, cero vacas, etc. podrían considerarse puros constructos mentales. Más recientemente, desde el punto de vista de los fundamentos lógicos de las matemáticas y de algunas aplicaciones, la situación adquirió una perspectiva nueva que hizo más natural la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales. Por ejemplo, desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, el cero se relaciona con el número de elementos del conjunto vacío. Y en informática, con un estado de la memoria en que todos los bits se encuentran en estado off. De ahí que la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales sea cuestión de contexto y de convenio, observándose una tendencia creciente a considerarlo parte de él Z: el conjunto de los números enteros. Los números enteros son una generalización del conjunto de números naturales que incluye números enteros negativos (resultados de restar a un número natural otro mayor), además del cero. El hecho de que un número sea entero, significa que no tiene parte decimal. Los números enteros negativos pueden aplicarse en diversos contextos, como la representación de profundidades bajo el nivel del mar, temperaturas bajo cero, o deudas, entre otros. Q: el conjunto de los números racionales. En sentido amplio, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente (división) de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común). El término «racional» alude a «ración» o «parte de un todo», y no al pensamiento o actitud racional. Representación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónico de dicho número racional a la fracción irreducible, la de términos más sencillos.

Definimos un número racional como un decimal finito o infinito periódico (por ejemplo, el número decimal finito 0,75 es la representación decimal del número racional 3/4. El número decimal infinito periódico 0,333... es la representación decimal del número racional 1/3 Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. R: el conjunto de los números reales. En matemáticas, los números reales son aquellos que poseen una expresión decimal e incluyen tanto a los números racionales (como: 31, 37/22, 25,4) como a los números irracionales, que no se pueden expresar de manera fraccionaria y tienen infinitas cifras

decimales no periódicas, tales como: log2, . Tipos de números reales Un número real puede ser un número racional o un número irracional. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que los irracionales son todos los demás. Los números racionales también pueden describirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmente periódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimal aperiódica: Ejemplos 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285).

¿Qué es un conjunto?

Es la agrupación en un todo de objetos bien diferenciados en el la mente o en la intuición, por lo tanto, estos objetos son bien determinados y diferenciados.

Es la reunión, agrupación o colección de elementos bien definidos que tienen una propiedad en común Cardinalidad de un conjunto Se refiere a la cantidad de elementos que contiene un conjunto Ejemplo: La cardinalidad de A = { x / x es una vocal } es 5 Un conjunto puede contener infinitos elementos. En base a la cantidad de elementos que tenga un conjunto, estos se pueden clasificar en conjuntos FINITOS: Tienen un número conocido de elementos, es decir, se encuentran determinados por su longitud o cantidad. El conjunto de días de la semana INFINITOS: Son aquellos en los cuales no podemos determinar su longitud o cantidad. El conjunto de los números reales.

TIPOS DE CONJUNTOS CONJUNTO VACIÓ O NULO: Es aquel que no tiene elementos y se simboliza por _ o { }. CONJUNTO UNIVERSAL: Es el conjunto de todos los elementos considerados en una población o universo, en un problema en especial. No es único, depende de la situación, y es denotado por U. UNITARIO: Que tiene un solo elemento. DISYUNTO: no tienen ningún elemento en común . -conjuntos iguales -conjuntos homogéneos: todos poseen las mismas características -conjuntos heterogéneos: todos poseen características individuales y diferentes -conjunto complemento: es aquel conjunto que contiene a los elementos que le faltaban al conjunto A para ser el conjunto universal.

¿Qué es un elemento?

Elemento es cada uno de los objetos por los cuales esta conformado un conjunto

Llamaremos elemento, a cada uno de los objetos que forman parte de un conjunto, estos elementos tienen carácter individual, tienen cualidades que nos permiten diferenciarlos, y cada uno de ellos es único, no habiendo elementos duplicados o repetidos. Los representaremos con una letra minúscula: a, b, k,... Los conjuntos se designan con letra mayúscula

De esta manera, si es un conjunto, y todos sus elementos, es común

escribir:

para definir a tal conjunto A. Esta notación empleada para definir al conjunto A se llama

notación por extensión.

Relación elemento conjunto

Para representar que un elemento pertenece a un conjunto A, escribimos

(léase "x en A", "x pertenece a A" o bien "x es un elemento de A"). La negación de

se escribe (léase " no pertenece a A").

Lenguaje gráfico

Los conjuntos se representan por un curva cerrada. Los elementos que pertenecen al conjunto se representan por puntos interiores

a la curva. Los elementos que no pertenecen al conjunto se representan por puntos

exteriores a la curva. Ningún punto se representa sobre la curva.

¿Cuáles son las formas de determinar o expresar un conjunto?

Un conjunto puede determinarse de dos formas:

Por extensión: escribiendo dentro de una llave los nombres de los elementos del conjunto.

Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos.

Ejemplo: El conjunto de los meses del año se nombra:

Por extensión: {Enero, febrero, marzo, abril, mayo, junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre, diciembre}

Por comprensión: {meses del año}, o bien, de esta otra forma: {x/x es un mes del año}, que se lee: conjunto de elementos x tales que x es un mes del año.

El orden en el cual se enumeran los elementos del conjunto es irrelevante, y los

elementos se consideran una sola vez.

EJEMPLO. {1, 2, 3}, {3, 2, 1} y {1, 1, 2, 2, 2, 3} describen al mismo conjunto.

En algunos casos no se listan todos los elementos, pero se nombran los suficientes y se

usan los puntos suspensivos “. . . ”para sugerir los elementos faltantes:

EJEMPLO B = {3, 5, 7, . . . }, C = {2, 4, . . . , 25}. Es decir enunciando una propiedad de los elementos que lo integran:

A = {x | x cumple la propiedad P}. Esto se lee: “el conjunto de los x tales que x cumple la propiedad P.

EJEMPLO

. El conjunto B = {x | x es natural e impar y x ≥ 3} Está formado por todos los números naturales impares mayores o iguales a 3. En este

caso se trata de un conjunto con un número infinito de elementos, y por lo tanto no

podemos definirlo por extensión.

Otros ejemplos:

Por extensión:

A=(a,e,i,o,u)

B=(0,1,2,3,4,5)

C=( -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5)

D=(-4,-2,0,2,4,6)

Por comprensión

A= ( las vocales)

B= ( x R / 0 x 5 )

C= ( x Z / -3 x 5 )

D= ( x R / -4 x 6 x es múltiplo de 2)

El conjunto

C = {x | x es natural y 2 ≤ x ≤ 26 y x es potencia de 2} Es el conjunto formado por los elementos 2, 4, 8, 16, 32 y 64. El conjunto C se define

también por extensión como

C = {2, 4, 8, 16, 32, 64}. OPERACIONES CON CONJUNTOS.

UNIÓN DE CONJUNTOS

EJEMPLO

INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

EJEMPLO

DIFERENCIA DE CONJUNTOS

También se conoce como complemento de B con respecto a A.

EJEMPLO

COMPLEMENTO

También se nota con A o con A.

AxyUxxA '

EJEMPLO