Respuesta en frecuenciaMxico D.F. a 23 de Octubre de 2006Departamento de Control, Divisin de Ingeniera Elctrica Facultad de Ingeniera UNAM

La forma ms natural de observar y analizar el comportamiento y desempeo de los sistemas dinmicos, es a travs del dominio del tiempo. Respuesta en frecuenciaMotivacin:Ejemplos de esto es cuando se dice que un sistema responde ms rpido que otro, o cuando se dice que el tiempo de establecimiento de tal sistema es de 0.25 segundos. Entre otros ejemplos. Sin embargo a medida que los sistemas se presentan ms complejos (en dimensin, parametrizacin, identificacin, etc), sus comportamientos son ms difciles de determinar analticamente. Una forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar tales sistemas complicados con tcnicas de respuesta en frecuencia

Respuesta en frecuenciaLos mtodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control, proveen un conjunto de anlisis y herramientas grficas que no estn limitadas por el orden del sistema o por otras complejidades. El anlisis de respuesta en frecuencia:

Se puede utilizar en funciones con alto grado de incertidumbre.

Se puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones racionales.

Las pruebas de respuesta en frecuencia son fciles de realizar.

Se pueden determinar fcilmente funciones de transferencia complejas.

Es un mtodo alternativo para el diseo y control de sistemas lineales.

Casi siempre existe una correlacin entre la respuesta en frecuencia y la respuesta transitoria en el tiempo.

Respuesta en frecuenciaLa respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario de un sistema ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo, si es afectado por una entrada senoidal de amplitud R y frecuencia , su salida seguir siendo senoidal de la misma frecuencia pero probablemente con otra magnitud C y fase Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.

Respuesta en frecuenciaLa transformada de Laplace de la salida del sistema de la figura 1 es: como es un anlisis senoidal, se cambia la variable compleja s por donde cada componente tiene magnitud y fase, ejemplo La relacin de la salida entre la entrada en el rgimen senoidal permanente se llama funcin de transferencia senoidal:

Respuesta en frecuenciaGrficas polaresEs una representacin de la magnitud y ngulo de fase de en coordenadas polares al variar el valor de de cero a infinito. La funcin de transferencia senoidal puede ser vista:

En su representacin de magnitud y fase: En expresarse en trminos de sus parte real e imaginaria. ReImFigura 2. Grfica polar de .

Respuesta en frecuenciaEjemplos de grficas polares:Obtener la grfica polar de Solucin. Como primer paso se cambia a variable compleja s por El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo para facilitar el clculo). Para esto se multiplica y divide por el complejo conjugado del denominador de y se tiene para plasmar este resultado en la grfica polar, es necesario evaluar

Respuesta en frecuenciaen diferentes frecuencias desde hasta . Se evaluarn solo para algunas de las frecuencias.Si entonces:SiSiSi

Respuesta en frecuenciaSiDependiendo de la experiencia y de lo complicado de la grfica polar, se necesitarn ms o menos frecuencias a evaluar. ReImFigura 2. Grfica polar de .

Respuesta en frecuenciaCriterio de estabilidad de Nyquist

Respuesta en frecuenciaFundamentos: Transformacin de contornos en el plano sSuponga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s, donde todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno ( ), utilizando la funcin 3-11 21-1Plano sPlano F(s)Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representacin en el plano F(s). Se evalan todos los puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva la misma forma que el contorno del plano s, (Transformacin conforme).Ambos contornos se consideran que tienen un sentido positivo.Criterio de estabilidad de Nyquist

Respuesta en frecuenciaAhora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra funcin de transformacin:1-1Plano sPlano F(s)En este caso la transformacin es no conforme pero conserva el sentido positivo. Existe una caracterstica muy interesante que ocurre cuando el contorno del plano s encierra a ceros o polos la funcin:1.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la funcin, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano s

Respuesta en frecuencia2.- Si el contorno en el plano s no encierra a ningn cero o polo de la funcin, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen.1-1Plano sPlano F(s)3.- Si el contorno en el plano s encierra a algn polo de la funcin, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en sentido contrario.-3Plano sPlano F(s)

Respuesta en frecuencia4.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo de la funcin, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen.-3Plano sPlano F(s)Todos estos resultado son consecuencia del principio del argumento (teorema de Cauchy).

Respuesta en frecuenciaEl criterio de NyquistSea la ecuacin caractersticaSin embargo es ms comn utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por ser relativamente ms sencillo, entonces:Con este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el puntodel plano F(s)

Respuesta en frecuenciaF(s) -1Contorno de Nyquist.Grfica polar de P(s).Plano sPlano F(s)Criterio de estabilidad de NyquistUn sistema de retroalimentacin es estable si y solamente si, el contorno . en el plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el nmero de polos de P(s) en la parte derecha del plano s es cero.

Respuesta en frecuenciaEstabilidad relativa y criterio de Nyquist Margen de ganancia =

Respuesta en frecuenciaMargen de fase (mf )

Respuesta en frecuenciaEjemplo:Realice la grfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:SolucinPara realizar el contorno primero se divide el contorno en cuatro tramos:Plano sTramo 1 (T1). Se evala la funcin desde la frecuencia hasta , (grfica polar).Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la funcin por donde representa un radio de valor infinito y es una evaluacin angular de 90 a -90. Contorno

Respuesta en frecuenciaTramo 4 (T4). Desde la frecuencia a la frecuencia . En este caso se cambia la variable s de la funcin por donde representa un radio de valor muy pequeo y es una evaluacin angular de -90 a 90. El tramo se disea para rodear a posibles ceros o polos en el origen de la funcin a evaluar. T1. Se cambia en la funcin la variable s por y se obtiene la grfica polar se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador

Respuesta en frecuenciaPara obtener la grfica polar se evala la ecuacin resultante desde hasta Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores muy pequeos para aproximar y valores muy grande de para aproximar cuando

Respuesta en frecuenciaEntonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la grfica polar.como a la frecuencia el valor es final es , se tiene que la grfica polar llega a cero por el cuadrante superior izquierdo. Como se inici en el cuadrante inferior izquierdo, existe un cruce por el eje real y su valor se obtiene al igualar a cero la parte imaginaria de la ecuacin resultante:y esta frecuencia se evala en la parte realSe obtiene otro punto para la grfica. Con ellos se dibuja de manera aproximada la grfica polar. (Nota: para una mejor aproximacin de la grfica, se pueden evaluar ms frecuencias)Figura. Grfica polar.

Respuesta en frecuenciaT2. Se cambia en la funcin la variable s por y se evala desde 90 a -90 InfinitoInfinitopequeopequeoPlano sContorno El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s). El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s). El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s). Se evalan todos los puntos posible hasta deducir que el tramo 2 forma en el plano F(s)

Respuesta en frecuenciatres medias vueltas de radio cero empezando en 90 con direccin antihoraria.Plano F(s), tramo 2.T3. Es el espejo de la grfica polar (tramo 1) Plano F(s), tramo 2.T4. Se cambia en la funcin la variable s por y se evala desde -90 a 90 muy muy pequeorelativ, grande

Respuesta en frecuenciaPlano sContorno El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s). El punto en el plano s mapea al punto . en elplano F(s). Plano F(s)Contorno . Tramo 4.

Respuesta en frecuenciaFigura. Grfica de Nyquist.T1T3T4T2

Respuesta en frecuenciaDiagramas de Bode

Respuesta en frecuenciaLos diagramas de bode son una representacin de la magnitud y fase de una funcin en estado senoidal permanente al variar la frecuencia de cero a infinito. Sea la ecuacin caractersticaPor ser estado senoidal permanente, se cambia s por .Como la variable s es compleja se tiene magnitud y fase.Estos valores cambian mientras se vara la frecuencia . Para graficar la magnitud de , se hace uso de la norma de magnitud: Por razones de sencillez se trabaja mejor con el polinomio en lazo abierto.Y el valor del ngulo de fase se obtiene dependiendo del elemento a analizar

Respuesta en frecuenciaLa principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento de una funcin de transferencia por separado y el efecto total del sistema, se obtiene simplemente sumando las magnitudes y ngulos de fase de todos ellos. La ventaja anterior resalta ms cuando es necesario agregar otros elementos al sistema. En estos casos para obtener la nueva grfica de Bode no es necesario recalcular todo el sistema, simplemente se suman a los elementos ya analizados.Elementos bsicos de una funcin de transferenciaElementos de valor constante (Ganancia)Elementos integrales y derivativosElementos de primer ordenElementos cuadrticos

Respuesta en frecuencia1. Elementos de valor constante (Ganancia)Magnitud en decibeliosngulo de fase2. Elementos derivativos e integralesDerivadoresIntegradores

Respuesta en frecuenciaSi existen ms de un derivador o integrador:DerivadoresIntegradores

Respuesta en frecuencia3. Elementos de primer ordenCero de primer ordenDe la figura:

Respuesta en frecuenciaPolo de primer ordenDe la figura:

Respuesta en frecuencia3. Elementos de segundo ordenCuando no se puedan descomponer en dos elementos de primer orden, se normalizan de la siguiente forma:Ceros de segundo orden

Respuesta en frecuenciaPolos de segundo orden

Respuesta en frecuenciaCeros de segundo orden

Respuesta en frecuenciaPolos de segundo orden

Respuesta en frecuenciaEjemplo: Obtener el diagrama de Bode del sistemaNormalizando:Se tienen 5 elementos, Una constante, un cero en -3, un doble integrador, un polo en -5 y polos cuadrticos. Se buscan la grfica de Bode de cada uno y despus se suman.

Respuesta en frecuenciaElementos ind.Aportaciones individuales en magnitud. y ngulo

Respuesta en frecuenciaDiagrama de Bode (Resultante)