2

2. Proporcionalidad

2.1. Proporcionalidad directa

Las magnitudes que varan de forma que su razn permanece constante son directamente proporcionales.Las magnitudes de los segmentos a y b son directamente proporcionales a c y d.

a/b =c/d = k2.2. Teorema de thales

Los segmentos determinados por un haz de rectas paralelas sobre un par de rectas concurrentes son directamente proporcionales, y ricproco. (Fig. 5)Basndonos en este teorema podemos dividir un segmento en partes iguales. Trazamos una recta concurrente con el segmento dado. Tomamos n partes iguales sobre la recta a partir del extremo A del segmento, siendo n el nmero de partes en las que queremos dividir el segmento. Unimos el extremo B con la ltima divisin de la recta y trazamos paralelas por las dems divisiones. (Fig. 6)

Fig. 5

Fig. 6

2.3. Aplicaciones

Tercero proporcional

Sean los segmentos a y b, se llama tercero proporcional al segmento que verifica que:

a/b = b/c Para hallarlo se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se dibujan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento b. Uniendo los extremos de los segmentos a y b, y trazando una paralela por el extremo del otro segmento b, se obtiene el segmento c. (Fig. 7)

Fig. 7

Fig. 8

Cuarto proporcional

Sean los segmentos a, b y c, se llama segmento cuarto proporcional al segmento d que verifica que:

a/b = c/dPara hallarlo, se dibujan dos rectas concurrentes. Sobre una de ellas se sitan consecutivamente los segmentos a y b, y sobre la otra el segmento c. Uniendo los extremos de los segmentos a y c, y trazando por el extremo de b una paralela, obtenemos el segmento d. (Fig. 8)Medio proporcional

Sean los segmentos a y b, se llama medio proporcional el segmento c que verifica que:

a x b = cSi nos fijamos, nos daremos cuenta que se trata de un caso de tercero proporcional, puesto que la expresin anterior tambin se puede escribir como:

a/c = c/bPara su construccin podemos aplicar tanto el teorema de la altura como el del cateto, cuyos enunciados son los siguientes:

Teorema de la altura.- En un tringulo rectngulo, la altura es media proporcional entre los segmentos en que divide la hipotenusa.Teorema del cateto.- En un tringulo rectngulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyeccin de dicho cateto sobre ella.Si aplicamos el teorema de la altura, situamos los segmentos a y b consecutivamente. Por el extremo comn levantamos una perpendicular. Trazamos el arco capaz del ngulo de 90 para el segmento suma (a+b). La interseccin de la perpendicular con el arco capaz es el vrtice del tringulo rectngulo de hipotenusa (a + b) y de altura c. (Fig. 9)

Fig. 9

Fig. 10

Aplicando el teorema del cateto, situamos los segmentos a y b sobre la misma recta con un extremo comn. Por el extremo no comn del segmento menor levantamos una perpendicular, y seguidamente, trazamos el arco capaz del ngulo recto para el segmento mayor a. El cateto c, cuya proyeccin es el segmento b, es la media proporcional entre a y b. (Fig. 10)2.4. Escalas

La razn de proporcin entre las medidas de un dibujo y las magnitudes correspondientes del objeto real que representa, se llama escala. Se representa por una fraccin cuyo numerador se corresponde con las medidas del dibujo y el denominador con las medidas de la realidad.

E = Dibujo / RealidadEscala natural es la que se ha aplicado a un dibujo que tiene las medidas de la realidad. Se representa con la fraccin E = 1:1.

Escala de ampliacin es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son mayores que en la realidad. Por ejemplo, E = 7:2Escala de disminucin es la aplicada a un dibujo cuyas medidas son menores que las de la realidad. Por ejemplo, E = 1:25.000.

Para aplicar una escala podemos multiplicar todas las medidas de la realidad por la escala, puesto que de la frmula de la escala se deduce que

Dibujo = E x RealidadTambin podemos utilizar los escalmetros que existen en el mercado, que son reglas graduadas segn las escalas de uso ms frecuentes. No obstante, podemos contruir cualquier escala grficamente.

Fig. 11

Supongamos que queremos construir la escala E = 7/5. Tomamos un segmento de 7 cm reales y lo dividimos en 5 partes iguales aplicando el teorema de Thales. Dividiendo una de las unidades obtenidas en 10 partes obtenemos la contra escala para medir las dcimas.