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SOLUCIÓN CLÁSICA DE CIRCUITOS

CIRCUITOS ELÉCTRICOS II – INGENIERÍA ELÉCTRICA

Solución Clásica de circuitos.

Las relaciones entre tensión y corriente de inductores y de inductores y capacitores envuelven a diferenciales e

integrales, con eso las ecuaciones de tensión y corriente de circuitos eléctricos que involucran tales componentes

son ecuaciones integro diferenciales, necesitándose para su solución conocimientos matemáticos de solución de

ecuaciones diferenciales aplicadas a circuitos eléctricos.

Circuitos RL Y RC – Respuesta Libre y Constante de Tiempo.

Capacitores e inductores son elementos almacenadores de energía eléctrica y magnética, respectivamente, la

tensión y la corriente en esos elementos dependen de la energía almacenada en los mismos antes de ser

conectados al circuito.

Llamemos de t=0 al instante inicial en que el elemento es conectado al circuito; t=0+ al instante inmediatamente

posterior a t=0 y t=0- al instante inmediatamente posterior a t=0.

En circuitos en que la tensión y la corriente son finitas, la tensión en un capacitor y la corriente en un inductor no

pueden variar instantáneamente, y son iguales, en valor, en los instantes 0-, 0 y 0+. Como prueba, vamos a

escribir la energía almacenada en un capacitor.

MirianG

Resaltado

MirianG

Resaltado

MirianG

Nota adhesiva

anterior

MirianG

Nota adhesiva

ESTÁ DEMÁS



En un inductor.

La potencia proveída a cualquier elemento es:

Como e son finitos, también lo es, lo que significa que con , debemos tener también . Si la

energía no esta variando instantáneamente, consecuentemente e también no lo hacen.



Respuesta Libre de un capacitor.

Vamos a suponer un capacitor previamente cargado con una tensión , si en t=0 conectamos un resistor a este

capacitor fig. 1, la tensión del capacitor puede ser determinada aplicando Kirchoff.

Vc

Vc(0-)=E

t=0

R

Fig. 1

Por nodos:



Integrando:



Para determinar k, reemplazamos el valor de .

O

Como el circuito no posee fuente de energía activa, la respuesta obtenida es denominada “respuesta libre del

circuito”, provocada apenas por las condiciones iníciales del circuito.



τ 4τ t

Vc(t

)

E

E x 0.37%

Fig. 2

La tensión en el capacitor es una exponencial decreciente. Al tiempo para el cual la exponencial se vuelve es

denominado “constante de tiempo” del circuito, y es dado por:

Para la respuesta alcanza 63% del total de la variación en , tenemos o sea la

respuesta falta cumplir solamente 1.8% de su variación total, razón por la cual se considera el circuito en régimen

permanente en . La constante de tiempo es dada en segundos si .



Constante de tiempo: en un sistema con respuesta exponencial, la constante de tiempo es el valor de “t” que hace

que el exponente de igual a la unidad, indicando el tiempo en que la respuesta alcanzo 63% de su variación total:

genéricamente se puede escribir la exponencial como:

Observación: otra forma de escribir la ecuación es



Respuesta libre de un inductor.

Ejemplo: para el circuito de la figura 3, en que por algún medio se hace la corriente , determine:

a. La respuesta natural del circuito .

b. La constante de tiempo del circuito.

t=0

RIL(0-)=I

iL

Fig. 3

Solución:



Integrando



La figura 4 muestra el grafico de .

0 τ 2τ 3τ 4τ t

I L(t

)

I

Fig. 4

Si tenemos y , entonces



Circuitos RL y RC – Respuesta a funciones singulares.

Para la solución de circuitos conteniendo capacitores e inductores, los siguientes teoremas son utilizados.

Teorema 1: si las tensiones y corrientes en un circuito son finitos, la tensión en un capacitor y la corriente en

un inductor no pueden variar instantáneamente.

Teorema 2: Un impulso unitario de corriente aplicado a un capacitor, altera su tensión instantáneamente de

; un impulso unitario de tensión aplicado a un inductor, altera su corriente instantáneamente de

.

Teorema 3: La tensión en un capacitor y la corriente en un inductor poseen siempre valores finitos.

El teorema 3 es simplemente consecuencial del lado que toda energía es limitada (finita).



La solución clásica de circuitos consiste en una vez escrita la

ecuación diferencial que describe el circuito, hallar la solución

homogénea (s.h.) de la ecuación, o respuesta libre (excitación

nula) y la solución particular (s.p.) de la ecuación (función de

excitación dada).

Calcular la solución homogénea es calcular la solución de la

ecuación cancelando las excitaciones, el cálculo de la solución

particular es realizado teniendo en cuenta que como tratamos de

ecuaciones lineales, la solución para una excitación es similar a la

propia excitación.



Ejemplo: Para el circuito de la figura 5, calcular considerando que no existe energía inicial

almacenada.

t=0

R

L

U-1(t)

iL(t)

Fig. 5



Solución homogénea.

Utilizando el operador D (o r)

Solución particular.

Para la excitación es constante, entonces suponemos s.p.=A (una constante).

Solución total= solución homogénea + solución particular.



Gráfico:

0 τ=L/R 4τ t

I L(t

)

1

0.63

Fig. 6

Ejemplo: Para el circuito de la figura 7, determinar , no hay energía inicial almacenada.



U-1(t) R C Vc

Fig. 7

Ley de nodos.



Solución homogénea.

Solución particular.



Gráfico:

0 τ=1/RC 4τ t

VC(t

)

R

0.63R

Fig. 8



Ejemplo: Para el circuito de la figura 7, determinar , no hay energía inicial almacenada.

O



0 τ=1/RC t(s)

I R(t

)

1

0 τ=1/RC t(s)

I C(t

)

E

1

Fig. 9



Ejemplo: Para el circuito de la figura 7, determinar , para una excitación , considerando que no

hay energía inicial almacenada.

La solución homogénea es idéntica a la particular y es de la forma:

En la ecuación diferencial:



En inúmeros circuitos, donde trabajamos con sistemas lineales, la solución es fácilmente obtenida, aplicándose el

teorema siguiente.



Teorema 4: Cuando un circuito es lineal y no posee la energía inicial almacenada, la respuesta a una dada

excitación puede ser obtenida, derivándose (o integrándose) la respuesta a la integral (o derivada) de la

excitación.

En otros términos, denotándose respuesta al impulso unitario, respuesta al escalón unitario y

respuesta a la rampa unitaria, podemos decir:



Ejemplo: Para el circuito de la figura 7, determine para una excitación rampa unitaria, utilizando el teorema

4 y compare con la respuesta del ejemplo anterior.

Observación: Vemos que el resultado es idéntico al ejemplo anterior.



Aplicación practica.

Un auto posee una alarma que es accionada siempre que la tensión en sus terminales es mayor que 8 V. Para que

el conductor tenga tiempo de apagar la alarma antes de que esta dispare, queremos utilizar un circuito RC

(conforme la figura), si poseemos un capacitor de 10 , determinar el valor del resistor, para que la alarma sea

accionada 5 segundos después que el interruptor de la alarma sea conectado.

ALARMA

2in

≈

8Ω

Parlante

(Bocina)Vc12V

R=?

Llave

Interruptor encendido/apagado

Solución:



Solución homogénea:

Solución particular:

Para



Equivalente de Thevenin y Norton para elementos almacenadores de energía.

Un capacitor o inductor con energía inicial almacenada, presenta en sus terminales una tensión. En esas

condiciones, se pueden determinar sus respectivos equivalentes de Thevenin y Norton de acuerdo a las

siguientes figuras.

Vc(0+)

i(t)

V(t)=

Vc(0+)U-1(t)

i(t)

=V(t)

= CVc(0+)U-0(t) V(t)

i(t)

Equivalente de Thevenin y Norton para un capacitor con tensión inicial .



IL(0+)

i(t)

V(t)= iL(0+)U-1(t) V(t)

i(t)

L =

LiL(0+)U-0(t)

i(t)

= V(t)

Equivalente de Thevenin y Norton para un inductor con corriente inicial .



Ejemplo: Para el circuito de la figura 10, determinar , sabiendo que Utiliza el equivalente

de Thevenin.

1 A. 5 0,2 F. Vc

t=0

Fig. 10

Reconstruyendo el circuito para

50,2 F.

1 V.



Ejemplo: Para el circuito de la figura 11, en que no hay energía inicial almacenada, determine , sabiendo

que es la excitación en el ejemplo 1.1

Vc(t)V(t)

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