Clases de Cálculo II
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8/12/2019 Clases de Clculo II
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Semestre2-2009
Jos Luis QuinteroJulio - Agosto 2009
CLASES DECLCULO
II(0252)
Universidad Central de VenezuelaFacultad de Ingeniera
Ciclo BsicoDepartamento de Matemtica Aplicada
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8/12/2019 Clases de Clculo II
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Semestre2-2009
Jos Luis QuinteroJulio 2009
TEMA 1INTEGRAL
INDEFINIDA O
ANTIDERIVADA
Clculo II (0252)Semestre 2-2009
-
8/12/2019 Clases de Clculo II
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GUIA TERICA - PRCTICA
TEMA 1
INTEGRALINDEFINIDA OANTIDERIVADAU.C.V. F.I.U.C.V.
Jos Luis Quintero 1
1.1. INTRODUCCIN
Hasta este momento se ha estudiado la rama del Clculo llamada Clculo Diferencial,
en la que se estudia la derivada. En este tema se iniciar el estudio de la otra rama del Clculo
denominada Clculo Integral. Estas dos ramas estn relacionadas mediante los teoremas
fundamentales del Clculo, descubrimiento culminante en el siglo XVII realizado por Newton y
Leibniz, quienes trabajaron en forma independiente. Fue Arqumedes el precursor del clculo
integral. Arqumedes calcul reas y volmenes aplicando un mtodo similar al actual. Leibniz
y Newton descubrieron el clculo tal como hoy se le conoce. Gauss hizo la primera tabla de
integrales. Cauchy aplic las integrales a los nmeros complejos. Riemann y Lebesgue dieron a
las integrales una base lgica firme. Hermite encontr un algoritmo para integrar funciones
racionales.
1.2. PRIMITIVA DE UNA FUNCIN
En temas anteriores se aprendi a obtener, va definicin y regla de derivacin, la
funcin derivada de una funcin. Adems se prob que es nica, es decir, una funcin tiene
una sola funcin derivada. Se considera ahora el problema inverso de la derivacin: Dada una
funcin f(x), determinar otra funcin F(x) tal que F '(x) f(x)= .
Definicin 1. Una funcin F(x) es la primitiva de una funcinf(x) en un intervalo I si y slosi F '(x) f(x)= , para cada x I .
1.3. INTEGRAL INDEFINIDA
Como ya se dijo anteriormente, una funcin tiene una nica derivada; sin embargo la
primitiva no es nica. De modo que si F(x) es primitiva de f(x) en el intervalo I entonces la
expresin F(x) C+ describe todas las primitivas de f(x) y es llamada primitiva general de
f(x). La primitiva general F(x) C+ representa una familia de funciones que dependen de la
constante C y sus grficas guardan entre s una relacin geomtrica de traslacin vertical (ver
figuras 1 y 2).
Ejemplo 1.La derivada de la funcin2
f(x) x= es la funcin g(x) 2x= . Sin embargo, cuandose quiere encontrar una funcin tal que su derivada corresponda a g(x) se tiene que no es
nica.
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GUIA TERICA - PRCTICA
TEMA 1
INTEGRALINDEFINIDA OANTIDERIVADAU.C.V. F.I.U.C.V.
Jos Luis Quintero 3
La familia o conjunto de todas las primitivas de f(x), recibe el nombre de integral
indefinida de fy tiene una notacin que fue introducida por Gottffried Leibniz: f(x)dx .
El smbolo de integral (sigma) proviene del griego y significa suma, cuando se tratela integral definidase hablar de la razn de ello.
Definicin 3. (Integral indefinida). f(x)dx F(x) C= + si y slo si F '(x) f(x)= .
La funcin f(x) recibe el nombre de integrando, dx indica que la variable deintegracin es x y C se llama constante de integracin.
Vale la pena destacar dos aspectos:
a. La integracin es el proceso inverso a la derivacin.
b. La integracin es una suma (el signo de integral surgi como deformacin del signo
sumatorio).
Algunos autores utilizan los trminos antidiferenciacin o antiderivacin como
sinnimos de integracin; mientras que otros hacen referencia al trmino antiderivada,
como el resultado de aplicar el proceso de integracin.
La diferencia entre integracin y antiderivada, se pone de manifiesto mediante la
siguiente afirmacin: la integracines el proceso que permite obtener antiderivadas.
1.4. CLCULO DE PRIMITIVAS
Las siguientes afirmaciones son equivalentes:
a. Calcular la familia de primitivas de f(x)
b. Integrar la funcin f(x)
c. Resolver la integral f(x)dx
Estas afirmaciones intentan dar respuesta al problema de encontrar la funcin F(x)
cuya derivada es f(x). A continuacin se puede encontrar un conjunto de frmulas de
integracin. Es probable que la integral que se tenga que resolver est en una de esas
frmulas. Slo se deben saber las integrales mas elementales (las que se derivan directamentede las frmulas de las derivadas equivalentes), las dems se obtienen aplicando mtodos muy
variados. Invirtiendo las columnas de una tabla de derivadas se puede construir la siguiente:
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TEMA 1
INTEGRALINDEFINIDA OANTIDERIVADAU.C.V. F.I.U.C.V.
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1.5. FRMULAS DE INTEGRACIN INMEDIATA
1.5.1.1x
x dx C con 11
+ = +
+ 1.5.2. x xe dx e C= + 1.5.3.
xx aa dx C (a 0 y a 1)
ln(a)= + > 1.5.4. 1 dx ln x Cx = +
1.5.5. sen(x)dx cos(x) C= + 1.5.6. cos(x)dx sen(x) C= + 1.5.7. tg(x)dx ln cos(x) C= + 1.5.8. ctg(x)dx ln sen(x) C= + 1.5.9. sec(x)dx ln sec(x) tg(x) C= + + 1.5.10. csc(x)dx ln csc(x) ctg(x) C= + + 1.5.11. 2sec (x)dx tg(x) C= + 1.5.12. 2csc (x)dx ctg(x) C= + 1.5.13. sec(x)tg(x)dx sec(x) C= + 1.5.14. csc(x)ctg(x)dx csc(x) C= + 1.5.15. 1
2 21 x xdx arcsen C arccos C (a 0)
a aa x = + = + >
1.5.16. 12 21 1 x 1 x
dx arctg C arcctg C (a 0)a a a aa x
= + = +
+ 1.5.17. 1
2 2
1 1 x 1 xdx arc sec C arc csc C (a 0)
a a a ax x a= + = +
1.5.18. 1 2 2 1
2 2
1 xdx senh C ln(x x a ) C (a 0)
ax a
= + = + + + > +
1.5.19. 1 2 2
12 2
1 xdx cosh C ln(x x a ) C (a 0)
ax a
= + = + + >
1.5.20.
1 2 2
12 2-1 2 2
xtgh C si x a
a1 1 a xdx ln C (a 0)
2a a x xa xctgh C si x a
a
+
1.5.21.2 2
11
2 2
1 1 x 1 a a xdx sech C ln C (0 x a)
a a a xx a x
+ = + = + <
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1.5.25.2
sec h (x)dx tgh(x) C= +
1.5.26.
2
csc h (x)dx ctgh(x) C= +
1.5.27. sech(x)tgh(x)dx sech(x) C= + 1.5.28. csch(x)ctgh(x)dx csch(x) C= +
No hay otra forma de aprender las integrales que haciendo muchas. Con la ejercitacin
constante, se adquiere una habilidad para reconocer la mejor forma de resolver una integral.
Por otra parte, se debe tener presente el manejo correcto de identidades y frmulas
algebraicas vistas en cursos anteriores.
Programas de software como Derive, Maple, Mathcad o Mathematica, entre otros, son
capaces de efectuar integracin indefinida. En siguientes apartados se ampliar un poco sobre
esto.
Para comprobar si el resultado obtenido al resolver una integral es o no correcto basta
con aplicarle el proceso de derivacin a dicho resultado. La respuesta se considera correcta si
la derivada coincide con el integrando, resultando incorrecta en caso contrario.
1.6. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL
El proceso de integracin es lineal respecto de la suma algebraica y multiplicacin por
una constante, esto significa:
a. cf(x)dx c f(x)dx , c= b. ( )f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx =
1.7. CONDICIONES INICIALES Y SOLUCIONESPARTICULARES
Ya se dijo que la ecuacin y f(x)dx= tiene muchas soluciones, que difieren unas deotras en una constante. Eso quiere decir que las grficas de dos primitivas de f son traslacin
vertical una de la otra. As, la figura 3, muestra varias primitivas
2 3y (3x 1)dx x x C= = + (Solucin general)
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para varios valores enteros de C. Cada una de estas primitivas es solucin de la ecuacin
diferencial
2dy 3x 1dx
= .
Figura 3. La solucin particular que satisface la condicin inicial F(2)=4 es 3F(x)=x -x-2
En muchas aplicaciones de la integracin se da suficiente informacin para determinar
una solucin particular. Para ello basta el valor de y F(x)= en un valor de x. Por ejemplo, en
la figura 3 slo una de las curvas pasa por el punto (2,4). Para determinar esa curva se utiliza
la siguiente informacin:
3F(x) x x C= + Solucin general
F(2) 4= Condicin particular
Usando la condicin particular en la solucin general se puede hallar que
F(2) 8 2 C 4= + = ,
lo cual implica que
C 2= .
Por tanto, se obtiene
3F(x) x x 2= Solucin particular
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1.8. MTODOS DE INTEGRACIN
Integrar ( f(x)dx ) es buscar una funcin F(x) tal que su derivada sea f(x). Nosiempre la bsqueda es trivial, de modo que existen algunos mtodos para integrar con xito.
1.9. INTEGRACIN INMEDIATA
Como su nombre lo indica, el mencionado mtodo consiste en la aplicacin inmediata de
una o varias reglas de integracin ya establecidas y que son de fcil aplicacin, aunque en
algunos casos ser necesario el desarrollo de operaciones algebraicas bsicas.
A continuacin se presenta un conjunto de ejemplos, cuya funcin es ilustrar la teora
expuesta hasta el momento, e introducir este primer mtodo de integracin.
Ejemplo 2. Resuelva la integral2 2
42 x 2 x dx
4 x+
.
Solucin.2 2 2 2
4 4 4 2 2
2
2 x 2 x 2 x 2 x dx dxdx dx dx
4 x 4 x 4 x 2 x 2 x
x arcsen ln(x x 2) C
2
+ + = =
+
= + + +
Ejemplo 3.Resuelva la integral2x x
xe e dx
e+
.
Solucin.2x x x x x
x xx x
e e e .e edx dx (e 1)dx e x C
e e
+ += = + = + +
Ejemplo 4.La velocidad mnima requerida para que un objeto lanzado desde la Tierra escape
de la atraccin gravitatoria de sta se obtiene como solucin de la ecuacin
2
1vdv GM dx
x
=
,
donde v es la velocidad, y la distancia al centro de la Tierra, G la constante de la gravitacin y
M la masa de la Tierra.
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Demuestre que v y x estn relacionadas por la ecuacin
2 20
1 1v v 2GM
x R
= +
,
donde 0v es la velocidad inicial del objeto y R el radio de la Tierra.
Solucin.
Calculando la integral de cada miembro de la ecuacin2
2
1 v GMvdv GM dx C
2 xx= = +
Incorporando la condicin que implica que 0v v= cuando x R= se tiene
2 2
0
1 1v v 2GM
x R
= +
.
Ejemplo 5. Resuelva la integral4( a x)
dxax
.Solucin.
4 2 2 2
2 2
2 2
2 2
( a x) (( a x) ) (a 2 ax x)dx dx dx
ax ax ax
(a 2 ax) 2x(a 2 ax) x
dxax
a 4a ax 4ax 2ax 4x ax xdx
ax
a 4a ax 6ax 4x ax xdx
ax
+= =
+ +
=
+ + +=
+ +=
3 31 1 1 12 2 2 2 2 2
22
32
a x dx 4a dx 6a x dx 4 xdx a x dx
2x x2a ax 4ax 4x ax 2x C
5 a2x
2a ax 4ax 4x ax 2x C5 ax
= + +
= + + +
= + + +
Ejemplo 6.Resuelva la integral2
2
1 tg (x)dx
sen (x)
.Solucin.
22 2
2 2 2
1 tg (x) 1 1dx dx (csc (x) sec (x))dx ctg(x) tg(x) C
sen (x) sen (x) cos (x)
= = = +
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Ejemplo 7.Resuelva la integral
(x 1)(x 2)dx
x
.Solucin.
2 2(x 1)(x 2) x 3x 2 2 xdx dx x 3 dx 3x 2ln x C
x x x 2
+ = = + = + +
Ejemplo 8.Resuelva la integral
2
sen(x)dx
cos (x) .Solucin.
2
sen(x) sen(x) 1dx . dx tg(x).sec(x)dx sec(x) C
cos(x) cos(x)cos (x)
= = = +
1.10.CAMBIO DE VARIABLE O SUSTITUCIN
Es uno de los procedimientos ms usuales en integracin y su finalidad es reducir laintegral dada a una de integracin inmediata y est basado en la derivacin de una
composicin de funciones:
(F g)'(x) F(g(x)) ' F'(g(x)).g'(x) f(g(x)).g'(x)dx (F'(x) f(x))= = = =
De manera que:
f(g(x)).g'(x)dx F(g(x)) C= +
Cuando se observe que el integrando tiene la forma:
f(g(x)).g'(x) ,
se puede efectuar el cambio de variable u g(x),= de donde
dug'(x)
dx= ,
o sea
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du g '(x)dx= ,
de manera que se reduce la integral a una ms sencilla:
f(g(x))g'(x)dx f(u)du F(u) C F(g(x)) C= = + = +
Luego de hacer efectivo el cambio de variable, por lo general, se obtienen integrales
ms sencillas que la original, las cuales se resuelven aplicando lo aprendido en el mtodo
anterior (integracin inmediata).
Es importante sealar que el resultado de la integracin, debe estar en funcin de las
variables originales por lo que se acostumbra a emplear el trmino devolviendo el cambio
de variable para resear el proceso mediante el cual la variable auxiliar desaparece de la
respuesta definitiva.
A continuacin se presenta un conjunto de ejemplos, cuya funcin es ilustrar la teora
expuesta hasta el momento, e introducir este segundo mtodo de integracin.
Ejemplo 9. Resuelva la integral
4
sen(x)cos(x)dx
2 sen (x) .Solucin.
2
4 2
2
sen(x)cos(x) 1 du 1 u 1 sen (x)dx arcsen C arcsen C
2 2 22 22 sen (x) 2 u
(u sen (x) du 2sen(x) cos(x)dx)
= = + = +
= =
Ejemplo 10. Si se hace el cambio de variable u tg(x)= se obtiene
2 2112
sec (x)tg(x)dx tg (x) C= + .Por otra parte, si se hace el cambio de variable 2u sec (x)= resulta
2 2122
sec (x)tg(x)dx sec (x) C= + .Sern correctos ambos resultados? Justifique su respuesta.
Solucin.
Si son correctos ambos resultados. Se tiene que2 2 2 21 1 1 1 1
2 2 2 12 2 2 2 2sec (x) C 1 tg (x) C tg (x) C tg (x) C + = + + = + + = +
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Ejemplo 11. Resuelva la integral
+
dx)xsec(
e)x(sec )x(sen3.
Solucin.
Ce)x(tgdx)e)xcos()x((secdx)xsec(
e)x(sec )x(sen)x(sen2)x(sen3
++=+=+
Ejemplo 12. Resuelva la integral
2x 3dx
2x 1
+
+ .Solucin.
2x 3 2x 1 2 2x 1 2 2 dudx dx dx dx dx dx
2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 u
(u 2x 1 du 2dx)
+ + + + = = + = + = + + + + + +
= + =
x ln u C x ln 2x 1 C= + + = + + +
Ejemplo 13. Resuelva la integral
+dx
)xcos(1
)x(sen1 3.
Solucin.
+++= ++=+ dx)x(sen )xcos()x(sen)x(sen)xcos(1dx)x(cos1 ))xcos(1))(x(sen1(dx)xcos(1 )x(sen1 233
2
33
C2
)x(sen)xcos()xcsc()x(ctgdx)xcos()x(sen)x(sen
)x(sen
)xcos()x(csc
2
22 ++=
+++
Por lo tanto:
C2
)x(sen)xcos()xcsc()x(ctgdx
)xcos(1
)x(sen1 23++=
+
Ejemplo 14. Resuelva la integralln 2x 1
dxxln 4x
.
Solucin.ln 2x ln(2) ln x1 1
dx dxx xln 4x ln(4) ln x
+= +
Haciendodx
u ln(4) ln x , dux
= + = .
Sustituyendo en la integralLn(2) u Ln(4) u Ln(2) Ln(2)
du du 1 duu u u
+ = =
=
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1
du Ln(2) du u Ln(2) Ln u Cu= + = +
donde C es una constante real
Devolviendo el cambio de variable u ln(4) ln x ln 4x= + = se obtiene:
Ln(2x) 1dx
Ln(4x) x
= Ln|4x|+ Ln(2) Ln(Ln|4x|) + C
Ejemplo 15. Resuelva la integral3
8
xdx
1 x+ .Solucin. 3
4
8 2
4 3
x 1 du 1 1dx arctg(u) C arctg(x ) C
4 4 41 x 1 u
(u x du 4x dx)
= = + = ++ +
= =
Ejemplo 16. Resuelva la integral
x 2x 3x2 3 e dx .Solucin.
x 2x 3xx 2x 3x
2 3 2 3 2 3
x 2x 3x 2 3 x 2 3 2 3 x
1 z 2 3 e2 3 e dx dz C Cln(2.3 .e ) ln(2.3 .e ) ln(2.3 .e )
(z 2 3 e (2.3 .e ) dz ln(2.3 .e ).(2.3 .e ) dx)
= = + = +
= = =
Ejemplo 17. Resuelva la integral4 3
5 4
3x 12x 6dx
x 5x 10x 12
+ +
+ + + .Solucin.
4 3 4 3 4 3
5 4 5 4 5 4
5 4
5 4 4 3
3x 12x 6 x 4x 2 3 5x 20x 10dx 3 dx dx
5x 5x 10x 12 x 5x 10x 12 x 5x 10x 12
3 du 3 3ln u C ln x 5x 10x 12 C
5 u 5 5
(u x 5x 10x 12 du (5x 20x 10)dx)
+ + + + + += =
+ + + + + + + + +
= + = + + + +
= + + + = + +
Ejemplo 18. Resuelva la integralxx ee dx+ .
Solucin.x x xx e x e u u e x xe dx e e dx e du e C e C (u e du e dx)+ = = = + = + = =
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INTEGRALINDEFINIDA OANTIDERIVADAU.C.V. F.I.U.C.V.
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Ejemplo 19. Resuelva la integral
x
dx
1 e+ .Solucin.
xx
x 1 xxe
x x
dx dx e dudx ln u C ln(e 1) C
u11 e e 1
(u e 1 du e dx)
= = = = + = + +
++ +
= + =
Ejemplo 20. Resuelva la integral
ln(ln(x))dxxln(x)
.
Solucin.2 2ln(ln(x)) u (ln(ln(x)))
dx udu C Cx ln(x) 2 2
(u ln(ln(x)) du dx (x.ln(x)))
= = + = +
= =
Ejemplo 21. Resuelva la integral
sen(ln(x))dx
x
.
Solucin.
sen(ln(x))dx sen(u)du cos(u) C cos(ln(x)) C
x
(u ln(x) du dx x)
= = + = +
= =
Ejemplo 22. Resuelva la integral
2
dx
1 cos (x)+ .Solucin. 2 2
2 2 2 2
2
dx sec (x) sec (x) du 1 udx dx arctg C
1 cos (x) 1 sec (x) 2 tg (x) 2 u 2 2
1 tg(x) arctg C
2 2
(u tg(x) du sec (x)dx)
= = = = +
+ + + +
= +
= =
Ejemplo 23. Resuelva la integral
3
dx
sen(x)cos (x)
.
Solucin.
-
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2
3 4
dx dx sec (x)
dx 2 tg(x) Ctg(x)sen(x)cos (x) tg(x)cos (x)= = = +
Ejemplo 24. Resuelva la integral
3 5
dx
sen (x)cos (x) .Solucin.
Manipulando algebraicamente la integral:1
22cos (x)
3 5 3 5 3 51 sen (x) cos (x)2cos (x) 3 cos(x)cos (x)
2 2 2 2
3 4 2 3 3
dx sec (x)dx dx
sen (x)cos (x) sen (x)cos (x) .
sec (x) sec (x) sec (x).sec (x) dx dx dx
tg (x)cos (x) cos (x) tg (x) tg (x)
= =
= = =
2 2
3
(1 tg (x)).sec (x) dx
tg (x)
+=
Sea 2u tg(x) , du sec (x)dx= =
2 23 /2 1 /2 3 /2 1 /2
3 /23
(1 u ) (1 u ) 2 2du du (u u )du u du u du u u C
3u uu
+ += = + + = + + De modo que:
3 5
dx 2 2tg(x) tg(x) C
3tg(x)sen (x)cos (x)= + +
Ejemplo 25. Resuelva la integralx
x
4 1dx
2 1
+
+ .Solucin.
Separando en dos integrales: x x
x x x
4 1 4 dxdx dx
2 1 2 1 2 1
+= +
+ + + Resolviendo la primera integral: Sea
x x duu 2 1 , du 2 ln(2)dx dx(u 1)ln(2)
= + = =
x 2
x
4 1 (u 1) du 1 (u 1)dx . du
ln(2) u u 1 ln(2) u2 1
= =
+ Separando las integrales:
1 (u 1) 1 du 1du du (u ln(u)) Cln(2) u ln(2) u ln(2)
= = +
Devolviendo el cambio de variable:
-
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x x1 1
(u ln(u)) C (2 1 ln(2 1)) Cln(2) ln(2) + = + + +
Resolviendo la segunda integral: Sea
x x duu 2 1 , du 2 ln(2)dx dx(u 1)ln(2)
= + = =
x 2 2 21 1 1 14 4 2 4
dx 1 1 du 1 du 1 du 1 du.
ln(2) u (u 1) ln(2) ln(2) ln(2)2 1 u u u u (u )= = = =
+ + Sea 1
2z u , dz du= = .
12
2 2 2 11 1 1 122 4 4 4
z1 du 1 dz 1 dz 1.ln C
ln(2) ln(2) ln(2) ln(2) z(u ) z z
+= = = +
Devolviendo los cambios de variable:
1 x x21 x x2
z1 1 2 1 1 2 1.ln C .ln C .ln C
ln(2) ln(2) ln(2)z 2 2
+ + + + = + = +
De modo que:x x x 2
x x x
x x x
4 1 1 2 1 1 (2 1)dx 2 1 ln(2 1) ln C 2 1 ln C
ln(2) ln(2)2 1 2 2
+ + += + + + = + + +
Ejemplo 26. Resuelva la integral
2
1 tg(x) dx.1 tg(x) cos (x)
+
.
Solucin.Sea 2u tg(x) , du sec (x)dx= =
2 2 2
1 u 1 u 1 u 1 u 1 u du udu du . du du du
1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u 1 u
= = = =
+ + + Al resolver la primera integral se tiene:
1 12
duarcsen(u) C arcsen(tg(x)) C
1 u= + = +
Al resolver la segunda integral se tiene: Sea
2 dzz 1 u , dz 2udu , udu2
= = =
2 22 2 2
2
u 1 dzdu z C 1 u C 1 tg (x) C
2 z1 u= = + = + = +
De modo que:
2
2
1 tg(x) dx. arcsen(tg(x)) 1 tg (x) C
1 tg(x) cos (x)
= + +
+
-
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Ejemplo 27. Resuelva la integral
2 2 3
xdx
1 x (1 x )+ + + .Solucin.
Sea
2 duu 1 x , du 2xdx xdx2
= + = =
2 2 3
x 1 du 1 du 1 dudx
2 2 2u u u u(1 u) u 1 u1 x (1 x )
= = =+ + ++ + +
Seadu du
z 1 u , dz 2dz2 u u
= + = = ,1 du dz
2 z C2 zu 1 u
= = ++
Devolviendo los cambios de variable:
2dz 2 z C 2 1 1 x Cz
= + = + + + De modo que:
2
2 2 3
xdx 2 1 1 x C
1 x (1 x )
= + + +
+ + + .
Ejemplo 28. Resuelva la integral
+dx
1e
e
4 x
x2
.
Solucin.Haciendo la sustitucin x 2 xe 1 u e dx 2udu+ = = en la integral dada, se obtiene:
2x x x 25/2 1/2
4 4x x
7/2 3/2 7/2 3/2 x 7/4 x 3/4
7 32 2
e e .e (u 1)2udx dx du 2 (u u )du
ue 1 e 1
u u u u (e 1) (e 1) 2 C 4 C 4 C7 3 7 3
= = =
+ +
+ += + = + = +
Luego,2x x 7/4 x 3/4
4 x
e (e 1) (e 1)I dx 4 C
7 3e 1
+ += = +
+ donde C es la constante de integracin.
-
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-
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La regla I.L.A.T.E., se utiliza nica y exclusivamente para realizar la mencionada
eleccin, teniendo que recurrir al proceso de integracin por partes y los mtodos ya
expuestos, para resolver cualquier ejercicio relativo al presente tpico. Por esta razn, es
conveniente que el lector haya estudiado detalladamente los dos mtodos anteriores.
Para ilustrar como se usa I.L.A.T.E., se presenta la siguiente situacin:
Ejemplo 29.Resuelva la integral
xxe dx .Solucin.
Obsrvese que el integrando est compuesto por dos funciones, una Algebraica (x) y otra
Exponencial (e-x). Se buscan las iniciales A y E en la palabra I.L.A.T.E. Como en ella,
leyendo de izquierda a derecha, aparece primero la letra A, se elige como u la funcin
Algebraica, es decir, u= x. Por lo tanto, lo que queda dentro de la integral es dv. As:xdv e dx= .
De este modo se tiene entonces quex xu x du dx , dv e dx v e = = = = .
Por lo tanto:
x x x x xxe dx xe e dx xe e C = + = +
A continuacin se presenta un conjunto de ejemplos, cuya funcin es introducir este
tercer mtodo de integracin.
Ejemplo 30.Resuelva la integral
x ln(x)dx
.
Solucin.2
2 2 2
u ln(x) du dx x , dv xdx v x 2
x 1 x xx ln(x)dx ln(x) xdx ln(x) C
2 2 2 4
= = = =
= = +
Ejemplo 31.Resuelva la integral
2
x cos(x)dx
.
Solucin.
-
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2
2 2
2 2
u x du 2xdx , dv cos(x)dx v sen(x)
x cos(x)dx x sen(x) 2 xsen(x)dx
u x du dx , dv sen(x)dx v cos(x)
xsen(x)dx x cos(x) cos(x)dx x cos(x) sen(x) C
x cos(x)dx x sen(x) 2( x cos(x) sen(x)) C
= = = =
=
= = = =
= + = + +
= + +
Ejemplo 32.Resuelva la integralarcsen(x)dx .
Solucin.
2
2
2 2
dxu arcsen(x) du , dv dx v x
1 x
xarcsen(x)dx xarcsen(x) dx xarcsen(x) du
1 x
(u 1 x 2udu 2xdx udu xdx)
= = = =
= = +
= = =
2 xarcsen(x) u C xarcsen(x) 1 x C= + + = + +
Ejemplo 33.Resuelva la integral
arcsen(x)e dx .Solucin.
Integrando por partes:arcsen(x)
arcsen(x)
2
eu e du dx , dv dx v x
1 x= = = =
.
arcsen(x)arcsen(x) arcsen(x)
2
xee dx xe dx1 x
=
.
Resolviendo la integral auxiliar aplicando integracin por partes:arcsen(x)
arcsen(x) 2
2 2
e xu e du dx , dv dx v 1 x
1 x 1 x= = = =
.
De modo que:arcsen(x)
2 arcsen(x) arcsen(x)
2
xedx 1 x e e dx
1 x= +
.En consecuencia:
arcsen(x) 2 arcsen(x)1e dx (x 1 x )e C2
= + +
-
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Ejemplo 34.Resuelva la integral
sen(ln(x))dx .Solucin.
cos(ln(x))u sen(ln(x)) du dx , dv dx v x
x
sen(ln(x))dx xsen(ln(x)) cos(ln(x))dx
= = = =
=
sen(ln(x))u cos(ln(x)) du dx , dv dx v x
x
cos(ln(x))dx x cos(ln(x)) sen(ln(x))dx
sen(ln(x))dx xsen(ln(x)) x cos(ln(x)) sen(ln(x))dx
1sen(ln(x))dx x(sen(ln(x)) cos(ln(x))) C
2
= = = =
= +
=
= +
Ejemplo 35.Resuelva la integral
2
x.arctg (x)dx
.
Solucin.
Integrando por partes:2
22
2arctg(x) x(u arctg (x) du dx , dv xdx v )
21 x= = = =
+
2 2 22 2 2
2 2
22
2
x x arctg(x) x 1x.arctg (x)dx arctg (x) dx arctg (x) 1 arctg(x)dx
2 21 x 1 x
x arctg(x)arctg (x) arctg(x)dx dx
2 1 x
= =
+ +
= ++
Resolviendo cada integral auxiliar:
2
212
2 2
2 22
dx(u arctg(x) du , dv dx v x)
1 x
x 1arctg(x)dx x.arctg(x) dx x.arctg(x) ln(1 x ) C
21 x
arctg(x) u arctg (x)(u arctg(x)) dx udu C C
2 21 x
= = = =+
= = + ++
= = = + = ++
De modo que:2 2
2 2 2x 1 arctg (x)
x.arctg (x)dx arctg (x) ln(1 x ) C2 2 2= + + +
-
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Ejemplo 36.Resuelva la integral
xdx
1 sen(x)+ .Solucin.
Manipulando algebraicamente la integral:
2 2
x x 1 sen(x) x(1 sen(x)) x xsen(x)dx . dx dx dx
1 sen(x) (1 sen(x)) 1 sen(x) cos (x) cos (x)
= = =
+ + Separando:
2 2 2
x xsen(x) x xsen(x)dx dx dx
cos (x) cos (x) cos (x)
=
Resolviendo la primera integral:
2
2
xdx x sec (x)dx
cos (x)=
Aplicando integracin por partes:
2
u x du dx
dv sec (x)dx v tg(x)
= =
= =
21x sec (x)dx xtg(x) tg(x)dx xtg(x) ln cos(x) C= = + +
Resolviendo la segunda integral:
2
xsen(x)dx xtg(x)sec(x)dx
cos (x)=
Aplicando integracin por partes:u x du dx
dv tg(x) sec(x)dx v sec(x)
= =
= =
2xtg(x) sec(x)dx xsec(x) sec(x)dx xsec(x) ln sec(x) tg(x) C= = + + De modo que:
x dx xtg(x) ln cos(x) x sec(x) ln sec(x) tg(x) C1 sen(x)
= + + + ++
.
Ejemplo 37.Resuelva la integral2 2
4
x 1 ln(x 1) 2ln(x)dx
x
+ + .Solucin.
Aplicando propiedades de logaritmos:
( ) ( )
22 2x 1 12 2
2 2x x4 4 4
x 1.ln x 1.ln 1x 1 ln(x 1) 2ln(x) dx dx dx
x x x
++ + + + + = =
-
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2 x 2 x 2 x x x
x x
I3
2 x 2 x x
I3
1 1
x e sen(x)dx x e cos(x) x e sen(x) xe cos(x) xe cos(x)dx2 2
e cos(x)dx xe cos(x)dx
1 1 x x e cos(x) x e sen(x) e cos(x)dx
2 2
= + +
+
= + +
Resolviendo 3I se tiene:
x x x x x x
x x
x x
x x x x x x
e cos(x)dx e sen(x) e sen(x)dx e sen(x) e cos(x) e cos(x)dx
u e du e dx , dv cos(x)dx v sen(x)
u e du e dx , dv sen(x)dx v cos(x)
1 12 e cos(x)dx e sen(x) e cos(x) e cos(x)dx e sen(x) e c
2 2
= = +
= = = =
= = = =
= + = +
os(x) C+
Por lo tanto
2 x 2 x 2 x x x
2 x 2 x
2 x x
1 1 1 1x e sen(x)dx x x e cos(x) x e sen(x) e sen(x) e cos(x) C
2 2 2 2
1 1 1 1 x x e cos(x) x e sen(x) C
2 2 2 2
1 1 (x 1) e cos(x) (x 1)(x 1)e sen(
2 2
= + + +
= + + +
= + +
x
x) C
1 (x 1)e (x 1)cos(x) (x 1)sen(x) C
2
+
= + +
Ejemplo 40.Resuelva la integral2
2 2
x 1dx
x cos(x) sen(x) sen (x)cos (x)
+ .
Solucin.
Sean2
1
xI dx
x cos(x) sen(x)
=
y 2 2 2dx
Isen (x)cos (x)
= .De modo que:
2
1 22 2
x 1dx I I
x cos(x) sen(x) sen (x)cos (x)
+ = +
.Resolviendo 1I se tiene:
2
1 2x x x.sen(x)I dx . dx
x cos(x) sen(x) sen(x) x cos(x) sen(x)
= =
-
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Solucin.
Integrando por partes se tiene:2 2 n 2 2 n 1u (a x ) du n(a x ) 2xdx , dv dx v x= + = + = =
2 2 n 2 2 n 2 2 2 n 1
2 2 n 2 2 2 2 2 n 1
2 2 n 2 2 n 2 2 2 n 1
(a x ) dx x(a x ) 2n x (a x ) dx
x(a x ) 2n (a x a )(a x ) dx
x(a x ) 2n (a x ) dx 2na (a x ) dx
+ = + +
= + + +
= + + + +
As,
211n22
2n22n22 n,dx)xa(
1n2
na2
1n2
)xa(xdx)xa( +
++
+
+=+
Ejemplo 43.Resuelva la integral
dx)x1()x(arcsen.x
32.
Solucin.
Usando el mtodo de integracin por partes se tiene: Haciendo
u = arcsen(x) , du= xdx1
12
, dv =( )
xd
x1
x32
v = ( ) ( ) 12
121
223
2 Cx1
1Cx1xdx1x +
=+=
Luego,
( ) dx)x(senarcx1x
32
= dxx1
1C
x1
)x(senarc212
+
= [1]
Ahora la integral,
( )( )xd
x11
x11
21xd
x1x11dx
x11 2
+
+
=+
=
,
y por la propiedad de linealidad de la integral se tiene:
( )2 2
1 1 1 1 1 1dx dx dx
2 1 x 1 x 2 1 x 1 x
1 1 1 x 1Ln 1 x Ln 1 x C Ln C
2 2 1 x 2
+ = + = + +
+= + + + = +
Sustituyendo este resultado en [1] , tenemos:
( )
dx)x(senarc
x1
x
32
= C
x1
x1ln
2
1
x1
)x(senarc
2
+
+
donde 21 C2
1CC += .
-
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Ejemplo 44.Pruebe que
,dx))x(ln(x1m
n
1m
))x(ln(xdx))x(ln(x 1nm
n1mnm
+
+
+=
donde m y n son enteros positivos.
Solucin.
Integrando una vez por partes llamamosn n 1
u ln(x) du n ln(x) dx
= =
ym 1
m xdv x dx v
m 1
+
= =
+
.
La integral nos queda como:
( ) ( ) ( )n n n 1m m 1 m1 nx ln(x) dx x ln(x) x ln(x) dx
(m 1) m 1
+= + +
Ejemplo 45.
a) Halle una frmula de recurrencia para calcular la integral ( )n
Ln(x) dx .b) Calcule la integral ( )
3Ln(x) dx
, usando la frmula hallada en la parte a).
Solucin:
Apliquemos el mtodo de integracin por partes tomando
u = (Ln(x))n , dv = dx, du =( )
n 1n Ln(x)
dxx
y v = x .
Entonces,
udv uv v du= se obtiene:
b) Aplicando la frmula(*), con n = 3, se tiene:
( ) ( )
( )
33 2Ln(x)
Ln(x) dx 3 Ln(x) dxx
= , [1]aplicando nuevamente la frmula (*)a la integral ( ) 2Ln(x) dx
, con n = 2:
( ) ( )
( )
nn n 1Ln(x)
Ln(x) dx n Ln(x) dxx
=
*
-
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( )2
Ln(x) dx =
( )
2Ln(x)
2 Ln(x)dxx
, [2]
y por ltimo, calculamos la integral Ln(x)dx con la frmula (*)haciendo n = 1:
Ln(x) Ln(x)Ln(x)dx dx x C
x x= = + , ( C constante de integracin) [3]
Sustituyendo [2] y [3] en [1] se obtiene:
1.12.SUSTITUCIONES TRIGONOMTRICAS
Algunas integrales cuyo integrando contiene expresiones como 2 2x a o 2 2a x , se
pueden simplificar usando cambios trigonomtricos que involucran respectivamente las
identidades
2 21 tg (x) sec (x)+ = y 2 2sen (x) co s (x) 1+ = .
A menudo es posible hallar la antiderivada de una funcin cuando el integrando
presenta expresiones de la forma:
2 2 2 2 2 2a x , a x o bien x a , a 0 + >
Se elimina el radical haciendo la sustitucin trigonomtrica pertinente; el resultado es
un integrando que contiene funciones trigonomtricas cuya integracin nos es familiar. En la
siguiente tabla se muestra cul debe ser la sustitucin:
Expresin en el integrando Sustitucin trigonomtrica
2 2a x x asen( )=
2 2a x+ x atg( )=
2 2x a x asec( )=
( ) ( ) ( )
3 23 Ln(x) Ln(x) Ln(x)
Ln(x) dx 3 6 6 x Cx x x
= + +
-
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Figura 4. Tringulo del ejemplo 31
De modo que:
2
2 2
dx 4 x C4xx 4 x
= +
.
Ejemplo 49.Resuelva la integral
1 xdx
1 x
+ .Solucin.
2
1 x 1 z 1 zdx 2zdz 2zdz
1 z1 x 1 z
dx(z x dz 2zdz dx)
2 x
= =
++
= = =
Integrando por partes:
2
2
u 1 z du dz
2zdv dz v 2 1 z
1 z
= =
= =
2 2
2
2 2 2
2 2
2
1 z2zdz 2(1 z) 1 z 2 1 z dz
1 z
12 1 z dz 2 cos ( )d (1 cos(2 ))d sen(2 ) C arcsen(z) z 1 z C
2(z sen( ) dz cos( )d )
1 z2zdz 2(1 z) 1 z arcsen(z) z 1 z C
1 z
=
= = + = + + = + +
= =
= +
Devolviendo cambio de variable:
2 2 2
2
1 z2zdz 2(1 z) 1 z arcsen(z) z 1 z C (z 2) 1 z arcsen(z) C
1 z
( x 2) 1 x arcsen( x) C
= + = +
= + +
De modo que:
1 xdx ( x 2) 1 x arcsen( x) C
1 x
= + +
+
-
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Ejemplo 50.Resuelva la integral
dx)x(arcsen)xln( .
Solucin.
Apliquemos el mtodo de integracin por partes tomando:
u = arcsen(x) , du = dxx1
1
2; dv = ln(x)dx , v= )1)x(ln(xdx)x(ln =
dxx1
)1)x(ln(x)x(arcsen)1)x(ln(xxd)x(senarc)x(ln
2
= [1]
Apliquemos nuevamente integracin por partes a la integral
dxx1
)1)x(ln(x
2
,
tomando u ln(x) 1= , du = dxx
1; dv = dx
x1
x
2, v = 2x1
dxx1
)1)x(ln(x
2
= 21 x (ln(x) 1) dxx
x1 2 + [2]Realicemos el cambio de variable x = sen(z) en la ltima integral,
C)zcos()z(ctg)zcsc(Lndz)z(sendz)zcsc(
dz
)z(sen
)z(sen1dz
)z(sen
)z(cosdz)zcos(
)z(sen
zsen1dx
x
x1 2222
+++==
==
=
Devolviendo el cambio de variable x = sen(z),
se tiene que: cos(z) =2x1
csc(z) =2x1
1
ctg(z) =
x
x1 2 entonces,
= dxx x1
2
Cx1x
x1
x1
1ln 2
2
2++
+
sustituyendo [2] ,
dxx1
)1)x(ln(x
2
= 21 x (ln(x) 1) Cx1x
x1
x1
1ln 2
2
2++
+
sustituyendo en [1]
=xd)x(senarc)x(ln
+ )x(arcsen)1)x(ln(x 21 x (ln(x) 1) Cx1x
x1
x1
1ln 2
2
2++
+
+
1
z
2x1
x
-
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Ejemplo 51.Resuelva la integral
( )3
2
dx
2 x .Solucin.
Hacemos el cambio trigonomtrico: x = 2 sen(u) , dx = 2 cos(u)du
Entonces,
( )3
2
dx
2 x ( )322 cos(u)
du
2 2 sen (u)
= =
( )3 6
3 2
2 cos(u) 2 cos(u)du du
8 cos (u)2 1 sen (u)
= = =
2
23
2 cos(u) 1 1 1 1du du sec (u)du tg(u) C
2 2 2cos (u)2 2 cos (u)= = = = +
Devolviendo el otro cambio de variable x = 2 sen(u) x
sen(u)2
=
Por el teorema de Pitgoras se tiene:
b2= ( )22 +x2 b = 22 x
comocateto opuesto
tg(u)cateto adyacente
= , entonces2
xtg(u)
2 x=
.
Luego,
( )3 2
2
dx xC
2 2 x2 x
= +
1.13.INTEGRALES QUE CONTIENEN EL TRMINO2ax +bx+c
Se tratar ahora con integrales en cuyo integrando aparece el trmino cuadrtico2ax bx c+ + con b 0 y que no sea un cuadrado perfecto; para b 0= se aplica el apartado
anterior.
Se completan cuadrados para reducir el trmino a la forma 2 2x a o bien 2 2a x y
luego se hace un cambio de variable trigonomtrico.
2
b
x u
-
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-
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-
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TEMA 1
INTEGRALINDEFINIDA OANTIDERIVADAU.C.V. F.I.U.C.V.
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2 3 2
dx 1 x 1
. C4(5 2x x ) x 2x 5
+
= ++ + + +
.
Ejemplo 58.Resuelva la integral2
2
(ln(x))dx
x 4ln(x) (ln(x)) .Solucin.Cambio de variable: u ln(x) du dx x= =
2 2 2
2 2 2
u u (z 2)du du dz
4u u 4 (u 2) 4 z
+= =
Cambio de variable: z u 2 dz du= = Cambio de variable: z 2sen( ) dz 2cos( )d= =
2 2
2
(z 2) (2 2sen( )) .2cos( )dz d
2cos( )4 z
+ + =
2 2
2 2
(2 2sen( )) d 4 d 8 sen( )d 4 sen ( )d
6 8cos( ) sen(2 ) C 6 8cos( ) 2sen( )cos( ) C
z z6arcsen 4 4 z . 4 z C
2 2
+ = + +
= + = +
= +
= +
= +
2 2
2 2
u 2 u 26arcsen 4 4 (u 2) . 4 (u 2) C2 2
ln(x) 2 lnx 26arcsen 4 4 (ln(x) 2) . 4 (ln(x) 2) C
2 2
Ejemplo 59.Resuelva la integral2
2
xdx
6x x .Solucin.
2 2 2 2 2 26x x (x 6x) (x 6x 9 9) (x 6x 9) 9 (x 3) 9 9 (x 3) = = + = + + = + =
De manera que:2 2
2 2
x xdx dx
6x x 9 (x 3)=
.Sea u x 3 , du dx= = , se tiene entonces:
2 2
2 2
x (u 3)dx du
9 (x 3) 9 u
+=
Aplicando la sustitucin trigonomtrica:
u 3sen( ) , du 3cos( )d= =
se tiene entonces:
-
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2 2 22
2 2
(u 3) (3sen( ) 3) 9(sen( ) 1)
du 3cos( )d 3cos( )d 9 (sen( ) 1) d3cos( )9 u 9 9sen ( )
+ + +
= = = +
Desarrollando
2 2 29 (sen( ) 1) d 9 (sen ( ) 2sen( ) 1)d 9 sen ( )d 18 sen( )d 9 d + = + + = + + Calculando la primera integral
2
1
1 cos(2 ) 9 9 99 sen ( )d 9 d (1 cos(2 ))d d cos(2 )d
2 2 2 2
9 9sen(2 ) C
2 4
= = =
= +
Se obtiene:
2 9 99 sen ( )d 18 sen( )d 9 d .2sen( )cos( ) 18cos( ) 9 C2 4
+ + = + + Devolviendo los cambios de variable se tiene
2
2
(9 (x 3) )27 9 27 x 3 9 (x 3)sen( )cos( ) 18cos( ) C arcsen . .
2 2 2 3 2 3 3
(9 (x 3) )18. C
3
+ =
+
2
2
(x 3) (9 (x 3) )27 x 3arcsen2 3 2
6 (9 (x 3) ) C
=
+
De modo que:
22
2
(x 9) (9 (x 3) )x 27 x 3dx arcsen C
2 3 26x x
+ = +
Ejemplo 60.Resuelva la integral
++
+dx
1xx
2x
2
.
Solucin.
xd1xx
1
2
3xd
1xx
1x2
2
1xd
1xx
4x2
2
1xd
1xx
2x2222 +++++ +=++ +=+++
12
2C1xxLn
2
1xd
1xx
1x2
2
1+++=
++
+= 1
( )( )
221
2
432
4
32
2
12
C3
x2arctg3C
3
u2arctg3
udu
1
2
3xd
x
1
2
3xd
1xx
1
2
3
++
=+=
+=
++=
++=
2
I1 I2
-
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Luego,
xd1xx
2x2 ++
+= 1
2 C1xxLn2
1+++
( )2
21
C3
x2arctg3 +
++
Por lo tanto
( )1222
2 xx 2 1dx Ln x x 1 3 arctg C
2x x 1 3
++= + + + +
+ + donde C = C1+ C2 es una constante.
Ejemplo 61.Resuelva la integral
+ )5x3(xdx .
Solucin.
+=+ x5x3dx
)5x3(x
dx
2
Completando el cuadrado:
3x2+5x
+
+=
+=
36
25
36
25x
6
52x3x
3
5x3 22
12
25
6
5x3
36
253
6
5x3
22
+=
+
Luego la integral queda
+
=+
12
25
6
5x3
dx
x5x3
dx
22 [1]
Calculemos esta integral haciendo el cambio de variable:
u = x +5
6 de donde du = dx
Sustituyendo en [1] se tiene
=
36
25u
dx31
12
25u3
dx22
[2]
Esta integral la resolvemos haciendo la sustitucin trigonomtrica:
u = )zsec(6
5 de donde du = )zsec(
6
5tg(z) dz
Sustituyendo en [2]
=
=
dz36
25)z(sec
36
25
)z(tg)zsec(
36
5dz
36
25)z(sec
6
56
)z(tg)zsec(5
3
1
22
-
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( )==
= dz)z(tg6
5)z(tg)zsec(
36
5dz
1)z(sec36
25
)z(tg)zsec(
36
5
22
C)z(tg)zsec(Ln3
1dz)zsec(
3
1++=
Devolviendo los cambios realizados6u
sec(z)5
=
y de la identidad sec2(z) = tg2(z) + 1 se tiene
525u361
25u361)z(secztg
22
2 ===
y como u = x +5
6 se tiene que
5
5x6
5
6
5x6
)z(sec +
=
+
=
y
5
25)5x6(
5
256
5x636
5
256
5x36
)z(tg2
22
+=
+
=
+
=
Sustituyendo se tiene
( )C
5
255x6
6
5x6Ln
3
1C)z(tg)zsec(Ln
3
1
)5x3(x
dx2
++
++
=++=+
As que,
( )C
5
255x6
5
5x6Ln
3
1
)5x3(x
dx2
++
++
=+
1.14.DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES SIMPLES
Si el integrando es una funcin racional, es decir, tiene la forma R(x) P(x) Q(x)= donde
P(x) y Q(x) son polinomios, se buscar una descomposicin de R(x) en fracciones simples.
Para descomponer una fraccin racional propia como suma de fracciones simples se
hace uso del siguiente teorema:
-
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TEOREMA 1. Cada polinomio P(x) con coeficientes reales, se puede expresar como unproducto P(x) A(x)B(x)= , donde A(x) es un producto de potencias de polinomios de primer
grado, diferentes entre si y B(x) es un producto de potencias de polinomios de segundo grado,
diferentes entre s, ninguno de los cuales posee races reales.
Ejemplo 62. 3 2x 1 (x 1)(x x 1)+ = + + .
Ejemplo 63. 4 2x 1 (x 1)(x 1)(x 1) = + + .
Ejemplo 64. 4 2 2x 1 (x 1 2x)(x 1 2x)+ = + + + .
Los pasos a seguir para expresar una fraccin propia R(x) P(x) Q(x)= como suma de
fracciones simples se indicarn considerando varios casos.
A. EL GRADO DE P(x) ES MENOR QUE EL GRADO DE Q(x)
Si el grado de Q(x) es n y tiene n races reales distintas, 1 2x , x , n...,x , se descompone
R(x) en la forma:
1 2 n
1 2 n
A A AP(x) ... ,Q(x) x x x x x x
= + + +
donde 1 2 nA , A , ..., A son constantes a determinar.
Si la descomposicin de Q(x) tiene un trmino de la forma mk(x x ) , se dice que kx es
una raz con multiplicidad m, entonces la descomposicin en fracciones simples
correspondiente a esta raz tendr la forma:
1 2 m2 m
k k k
B B B... .
x x (x x ) (x x )+ + +
Si en la factorizacin de Q(x) aparece un trmino cuadrtico 2ax bx c+ + irreducible2
(b 4ac 0) < con multiplicidad m, entonces para este trmino se buscar unadescomposicin de la forma
1 1 2 2 m m2 2 2 2 m
B x C B x C B x C... .
ax bx c (ax bx c) (ax bx c)
+ + ++ + +
+ + + + + +
B. SI EL GRADO DE P(x) ES MAYOR O IGUAL QUE EL GRADO DE Q(x). Se reduce al
caso anterior dividiendo
A continuacin se presenta un conjunto de ejemplos, cuya funcin es introducir estesexto mtodo de integracin.
-
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Ejemplo 65.Resuelva la integral
xdx
(x 1)(x 2)(x 3)+ + .Solucin.
PRIMER MTODO:
31 2
31 2
2 2 21 2 3
2 2 21 2 3
1 2 3
AA Axdx dx dx dx
(x 1)(x 2)(x 3) x 1 x 2 x 3
AA Ax
(x 1)(x 2)(x 3) x 1 x 2 x 3
A (x x 6) A (x 2x 3) A (x 3x 2)x
(x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)(x 3)
x A (x x 6) A (x 2x 3) A (x 3x 2)
A A A 0 ,
= + ++ + + +
= + ++ + + +
+ + + +
=+ + + +
= + + + +
+ + =
1 2 3 1 2 3A 2A 3A 1 , 6A 3A 2A 0 + = + =
1 2 3
1 2 3A , A , A
4 5 20
x 1 2 3dx ln x 1 ln x 2 ln x 3 C
(x 1)(x 2)(x 3) 4 5 20
= = =
= + + + ++ +
SEGUNDO MTODO:
31 2
31 2
AA Axdx dx dx dx
(x 1)(x 2)(x 3) x 1 x 2 x 3
AA Ax
(x 1)(x 2)(x 3) x 1 x 2 x 3
= + ++ + + +
= + ++ + + +
2 2 21 2 3
2 2 21 2 3
1 21 1 2 24 5
33 3 20
A (x x 6) A (x 2x 3) A (x 3x 2)x
(x 1)(x 2)(x 3) (x 1)(x 2)(x 3)
x A (x x 6) A (x 2x 3) A (x 3x 2)
x 1: 1 4A A . x 2 : 2 5A A .
x 3 : 3 20A A .
+ + + +=
+ + + +
= + + + +
= = = = = =
= = =
1 2 3
1 2 3A , A , A
4 5 20x 1 2 3
dx ln x 1 ln x 2 ln x 3 C(x 1)(x 2)(x 3) 4 5 20
= = =
= + + + ++ +
Ejemplo 66.Resuelva la integral3 2
4 3 2
4x 4x x 1dx
x 2x x
+ +
+ .Solucin.
PRIMER MTODO:4 3 2 2 2 2 2x 2x x x (x 2x 1) x (x 1) + = + =
-
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3 231 2 4
4 3 2 2 2
3 2 2 2 2 21 2 3 4
2 4 1 2 3 4 1 2 1
1 2 3 4
3 2
4
AA A A4x 4x x 1
dx dx dx dx dxx x 1x 2x x x (x 1)
4x 4x x 1 A (x 1) A x(x 1) A x A x (x 1)
A A 4 , A 2A A A 4 , 2A A 1 , A 1
A 1 , A 3 , A 2 , A 1
4x 4x x 1
x 2
+ +
= + + + +
+ + = + + +
+ = + = + = =
= = = =
+ +
3 2 2 2
dx dx dx dx 1 2dx 3 2 3ln x ln x C
x x 1 x x 1x x x (x 1)= + + + = + + +
+
SEGUNDO MTODO:4 3 2 2 2 2 2x 2x x x (x 2x 1) x (x 1) + = + =
3 2
31 2 44 3 2 2 2
3 2 2 2 2 21 2 3 4
1 3
2 2 2 4 4
1 2 3 4
3 2
4
AA A A4x 4x x 1 dx dx dx dx dxx x 1x 2x x x (x 1)
4x 4x x 1 A (x 1) A x(x 1) A x A x (x 1)
x 0 : 1 A . x 1: 2 A .
2 A 1 A 3, A A 4 A 1
A 1 , A 3 , A 2 , A 1
4x 4x x 1
x 2x
+ + = + + + +
+ + = + + +
= = = =
+ = = + = =
= = = =
+ +
3 2 2 2
dx dx dx dx 1 2dx 3 2 3ln x ln x C
x x 1 x x 1x x (x 1)= + + + = + + +
+
Ejemplo 67.Resuelva la integral
6 4 2
dx
x 2x x+ + .Solucin.
6 4 2 2 2 2
3 4 5 61 22 2 2 2 2 2 2
4 2 4 2 3 2 5 3 4 21 2 3 4 5 5 6 6
2 5 1 6 2 3 5 1 4 6 2
x 2x x x (x 1)
A x A A x AA Adxdx dx dx dx
xx (x 1) x (x 1) x 1
1 A (x 2x 1) A x(x 2x 1) A x A x A x A x A x A x
A A 0 , A A 0 , 2A A A 0 , 2A A A 0 , A 0 , A
+ + = +
+ += + + +
+ + +
= + + + + + + + + + + +
+ = + = + + = + + = =
1
1 2 3 4 5 6
1
A 1 , A 0 , A 0 , A 1 , A 0 , A 1
=
= = = = = =
2 2 2 2 2 2 2 2 2
dx dx dx dx 1 dxarctg(x)
xx (x 1) x (x 1) x 1 (x 1)= =
+ + + + Resolviendo
22
2 2 2 2
2
dx sec ( ) 1 sen(2 )d cos ( )d 1 cos(2 ) d C
2 2 4(x 1) (tg ( ) 1)
1 1 xarctg(x) C
2 2 x 1
= = = + = + +
+ +
= + ++
Por lo tanto
2 2 2 2dx 1 3 xarctg(x) C
x 2x (x 1) 2(x 1)= + +
+ +
-
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Ejemplo 68.Resuelva la integral3
2
x x 1dx
x 1
+
.Solucin.
3 2
2 2
x x 1 1 x 1 x 1dx x dx ln C
2 2 x 1x 1 x 1
+ + = + = + +
Ejemplo 69.Resuelva la integral6
4 2
x 1dx
x 16x
+
.Solucin.
6 4 2 2 2 22
4 2 4 2 4 2
3 2 331 2 4
2 2
x 1 (x 16x )(x 16) (256x 1) 256x 1dx dx (x 16)dx dx
x 16x x 16x x 16x
AA A Ax 256x 1 x16x dx 16x dx dx dx dx
3 3 x (x 4) (x 4)x (x 4)(x 4) x
+ + + + += = + +
++ + = + + + + +
+ +
2 3 4 1 3 4 2 1A A A 0 , A 4A 4A 256 , 16A 0 , 16A 1+ + = + = = =
1 2 3 4
1 4097 4097A , A 0 , A , A
16 128 128= = = =
6 3
4 2
x 1 x 1 4097 4097dx 16x ln x 4 ln x 4 C3 16x 128 128x 16x
+= + + + + +
Ejemplo 70.Resuelva la integral
4
ln(x)dx
(x 2) .Solucin.
Utilizando integracin por partes se tiene que:
4 3
dx dx 1u ln(x) du , dv v
x (x 2) 3(x 2)= = = =
.
Luego:
4 3 3
ln(x) ln(x) 1 dxdx
3(x 2) 3(x 2) x(x 2)= +
.Al resolver
3
dx
x(x 2) se tiene:
1 2 3 43 3 2
dx dx dx dx dxA A A A
x (x 2)x(x 2) (x 2) (x 2)= + + +
Desarrollando
-
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3 21 2 3 4
3 3
3 2 2 3 21 2 3 4
3
3 21 4 1 3 4 1 2 3 4 1
3
A (x 2) A x A x(x 2) A x(x 2)1
x(x 2) x(x 2)
A (x 6x 12x 8) A x A (x 2x) A (x 4x 4x)
x(x 2)
(A A )x ( 6A A 4A )x (12A A 2A 4A )x 8A
x(x 2)
+ + +
=
+ + + + +=
+ + + + + + =
Construyendo el sistema de ecuaciones y resolviendo:
1 4 4
1 3 4 3
1 2 3 4 2
1 1
1A A 0 A
8
16A A 4A 0 A
41
12A A 2A 4A 0 A2
18A 1 A
8
+ = =
+ = =
+ + = =
= =
Al sustituir y resolver la integral:
3 3 2
2
dx 1 dx 1 dx 1 dx 1 dx
8 x 2 4 8 (x 2)x(x 2) (x 2) (x 2)
1 1 1 1ln x ln x 2 C
8 4(x 2) 84(x 2)
= + +
= + + +
De modo que:
4 3 2
ln(x) ln(x) 1 1 1 1dx ln x ln x 2) C
24 12(x 2) 24(x 2) 3(x 2) 12(x 2)= + + +
Ejemplo 71.Resuelva la integral
+
+dx
6x5x
9x5x2
2
.
Solucin.2 2
2 2 2 2
x 5x 6 3 x 5x 6 3 31
x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6 x 5x 6
+ + += + = +
+ + + +
Entonces,
xd6x5x
9x5x2
2
+ + = ( ) ( ) xd2x3x 31
+ =
( )( )xd
2x3x
13xd +
Ahora resolvemos la integral
( ) ( ) 2x3x1
dx ,
escribiendo la fraccin
( )( )2x3x
1
como suma de fracciones simples:
-
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TEMA 1
INTEGRALINDEFINIDA OANTIDERIVADAU.C.V. F.I.U.C.V.
Jos Luis Quintero 44
( )( ) 2x
B
3x
A
2x3x
1
+=
de donde 1 = A x 2 A + B x 3 B y de aqu se obtiene el sistema de ecuaciones:
1By1A1B3A2
0BA==
=+
=+ ,
luego
( )( ) 2x1
3x
1
2x3x
1
=
As que,
xd
6x5x
9x5x2
2
+
+=
dx + 3 xd
2x
1
3x
1
=
= x + Ln |x - 3 | - 3 Ln|x - 2|+ C (C constante cualquiera)
Por lo tanto,
xd6x5x
9x5x2
2
+ + = x + Ln |x - 3| - 3Ln|x - 2|+ C = ( ) C2x 3xLnx 3 ++
Ejemplo 72.Resuelva la integral
+
+dx
)xe1(x
1xx
.
Solucin.
x
x x x
x 1 e (x 1) dz dz dz dz dzdx dx A B
z(1 z) z 1 z z 1 zx(1 xe ) xe (1 xe )
+ += = = + =
+ + ++ +
x x
xx x
x
z xe dz e (x 1)dx 1 A(1 z) Bz, z 0 A 1, z 1 B 1
xe ln z ln 1 z C ln xe ln 1 xe C ln C
1 xe
= = + = + + = = = =
= + + = + + = ++
Por lo tanto:
Cxe1
xelndx
)xe1(x
1xx
x
x +
+=
+
+
Ejemplo 73.Resuelva la integral
++ + dx)2x)(3x( 8x6x6x 223
.
Solucin.3 2 2
2 2
x 6x 6x 8 9x 8x 2dx dx dx
(x 3)(x 2) (x 3)(x 2)
+ += +
+ + + + As se tiene
3 2 2 2
2 2 2x 6x 6x 8 3x 6x 2 6x 7xdx dx dx 2 dx(x 3)(x 2) (x 3)(x 2) (x 3)(x 2) + + + += + + + + + + +
Realizamos la descomposicin en fracciones simples
-
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2
2 2
6x 7x A Bx C
(x 3)(x 3)(x 2) (x 2)
+ +
= +++ + +
De donde se obtiene A=B=3, C=-23 2 2
2 2 2 2
x 6x 6x 8 3x 6x 2 dx xdx dxdx dx dx 6 6 4
(x 3)(x 3)(x 2) (x 3)(x 2) (x 2) (x 2)
+ + += + +
++ + + + + + Por tanto,
3 22
2
x 6x 6x 8 xdx x 5ln x 3 2ln(x 2) 4arctg C
(x 3)(x 2) 2
+= + + + +
+ +
Ejemplo 74.Resuelva la integral x
x
arctg(1 e )dx
e
.Solucin.
Aplicando integracin por partesx x
x x x 2
I1
xx x x
x 2
arctg(1 e ) arctg(1 e ) dxdx
e e 1 (1 e )
eu arctg(1 e ) du dx , dv e dx v e
1 (1 e )
=
+
= = = =
+
Resolviendo 1I se tiene
1 x 2 2 2 2
x x
12
2 122 2
12
dx du du udu duI A B C
(u 1)1 (1 e ) (u 1)(1 u ) (1 u ) 1 u
duu 1 e du e dx dx
u 1
AA B 01 A Bu C
1 A(1 u ) (Bu C)(u 1) C B 0 Bu 1(u 1)(1 u ) 1 u
A C 1 C
= = = + ++ + + +
= = =
=+ =+
= + = + + + = = + +
= =
Por lo tanto
1 x 2 2 2 2
2
dx du 1 du 1 udu 1 duI
2 (u 1) 2 21 (1 e ) (u 1)(1 u ) (1 u ) 1 u
1 1 1ln u 1 ln(1 u ) arctg(u) C
2 4 2
= = = + + + +
= + +
x 2x x x
2x x x
1 1 1ln(e ) ln(e 2e 2) arctg(1 e ) C
2 4 2
x 1 1ln(e 2e 2) arctg(1 e ) C
2 4 2
= + +
= + +
De modo quex
x x 2x xx
arctg(1 e ) 1 x 1dx e arctg(1 e ) ln(e 2e 2) C2 2 4e
= + + +
.
-
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Ejemplo 75.Resuelva la integral
4
dx
x 1+ .Solucin.
4 2 2
2 2 2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
dx dx
x 1 (x 2x 1)(x 2x 1)
xdx dx xdx dxA B C D
(x 2x 1) (x 2x 1) (x 2x 1) (x 2x 1)
x 1 (x 2x 1) 2x (x 1) 2x (x 2x 1)(x 2x 1)
1 Ax B(x 2x 1)(x 2x 1) (x 2x 1)
=+ + + +
= + + ++ + + + + +
+ = + + = + = + + +
+= ++ + + + +
2
24
122 2
24
12
Cx D(x 2x 1)
AA C 0
B2A 2C D B 01 (Ax B)(x 2x 1) (Cx D)(x 2x 1)
A C 2B 2D 0 C
B D 1 D
+ +
=+ =
= + + + = = + + + + + +
+ + = =
+ = =
Por lo tanto2 21 14 2 4 2
4 2 2
I I1 2
x xdxdx dx
x 1 (x 2x 1) (x 2x 1)
+ += +
+ + + +
Resolviendo 1I se tiene:
2 2 2 2 21 1 1 14 2 4 2 4 2 2 4 4
1 2 22 2 1 12 12 22 2
2 22 2
2 14 4
2 2 2 21 1 1 12 2 2 2
2 1
2
x x (z ) zI dx dx dz dz
z z(x 2x 1) (x )
z x dz dx x z
z 2 z 1 dz 2 dw 1 dz 2 2dz dz ln w arctg( 2z) C
4 4 8 w 4 8 4z z z z
w z dw
+ + + += = = =
+ ++ + + +
= + = =
+= = + = + = + +
+ + + +
= + =
2zdz
22 2 2 2ln w arctg( 2z) C ln x 2x 1 arctg( 2x 1) C8 4 8 4
= + + = + + + + +
Resolviendo 2I se tiene:
2 2 2 2 21 1 1 14 2 4 2 4 2 2 4 4
2 2 22 2 1 12 12 22 2
2 22 2
2 14 42 2 2 21 1 1 1
2 2 2 2
x x (z ) zI dx dx dz dz
z z(x 2x 1) (x )
z x dz dx x z
z 2 z 1 dz 2 dw 1 dzdz dz
4 4 8 w 4z z z z
2 2ln w arctg( 2z) C
8 4
+ + + + += = = =
+ + + +
= = = +
+= = + = +
+ + + +
= + +
2 12
w z dw 2zdz = + =
-
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22 1 2 2
ln w arctg(2z) C ln x 2x 1 arctg( 2x 1) C8 2 8 4= + + = + + +
Por lo tanto
2 2
4
2
2
2
22
dx 2 2 2 2ln x 2x 1 arctg( 2x 1) ln x 2x 1 arctg( 2x 1) C
8 4 8 4x 1
2 x 2x 1 2ln arctg( 2x 1) arctg( 2x 1) C
8 4x 2x 1
2 x 2x 1 2 2xln arctg C
8 4 1 xx 2x 1
= + + + + + + ++
+ + = + + + + +
+ += + + +
1.15.INTEGRANDOS TRIGONOMTRICOS
En este punto se evaluarn integrales cuyos integrandos son potencias de funciones
trigonomtricas.
A. POTENCIAS DE SENO Y COSENO
Se quiere resolver las integrales
nsen (x)dx y ncos (x)dx ,
donde n es un entero positivo mayor que uno.
Si la potencia es imparuse la identidad 2 2sen (x) cos (x) 1+ = para obtener integrandos de
la forma 2mcos (x)sen(x) o bien 2msen (x)cos(x) que se integran fcilmente.
Ejemplo 76.
2k 1 2 k 2 k
Transformar a senos potencias del s eno derivada int erna
cos (x)dx (cos (x)) cos(x)dx (1 sen (x)) . cos(x) dx+ = = Si la potencia es paruse las identidades
2 1 cos(2x)sen (x)2
= y 2
1 cos(2x)cos (x)
2
+=
para bajar el grado de la potencia.
Ejemplo 77.
2k 2 k k
k
1cos (x)dx (cos (x)) dx (1 cos(2x)) dx
2= = +
-
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B. POTENCIAS DE LA TANGENTE Y COTANGENTE
Para las integrales
ntg (x)dx y nctg (x)dx ,
donde n es un entero positivo mayor que uno, se usan las identidades
2 2tg (x) 1 sec (x)+ = y 2 2ctg (x) 1 csc (x)+ =
para obtener integrandos de la forma
m 2tg (x)sec (x) o bien m 2ctg (x)csc (x) .
Ejemplo 78.
n n 2 2 n 2 2
n 1n 2 2 n 2 n 2
tg (x)dx (tg(x)) tg (x)dx (tg(x)) (sec (x) 1)dx
(tg(x))
(tg(x)) sec (x)dx (tg(x)) dx (tg(x)) dxn 1
= =
= =
C. POTENCIAS DE LA SECANTE Y COSECANTE
Para las integrales
nsec (x)dx y ncsc (x)dx ,
donde n es un entero positivo mayor que uno:
Si la potencia es paruse las identidades2 2tg (x) 1 sec (x)+ = y 2 2ctg (x) 1 csc (x)+ = .
Ejemplo 79.
2k 2k 2 2 2 k 1 2
Transformar a tangentes
2 k 1 2
potencias de tangentes derivada int erna
(sec(x)) dx sec (x)sec (x)dx (sec (x)) sec (x)dx
(1 tg (x)) . sec (x) dx
= =
= +
-
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Si las potencias del seno y del coseno son pares y no negativas, use repetidamente
las identidades
2 1 cos(2x)sen (x)2
= y 2
1 cos(2x)cos (x)
2
+=
para convertir el integrando en uno con potencias impares del coseno:k2k1
2k 2k k k2 21 2 1 21 cos(2x) 1 cos(2x)
sen (x)cos (x)dx (sen (x)) (cos (x)) dx dx2 2
+ = =
E. PRODUCTOS DE SENOS Y COSENOS DE ARGUMENTOS DIFERENTES
Las integrales de la forma
sen( x)sen( x)dx; sen( x) cos( x)dx; cos( x) cos( x)dx ,se resuelven pasando a una suma de senos y/o cosenos con las identidades:
1sen( )sen( ) cos( ) cos( )
2
1sen( )cos( ) sen( ) sen( )2
1cos( )cos( ) cos( ) cos( )
2
= +
= + +
= + +
F. PRODUCTO DE POTENCIAS DE TANGENTE Y SECANTE
Para las integrales de la forma
m ntg (x)sec (x)dx
,
donde m y n son enteros positivos mayores que uno:
Si la potencia de la tangente es impar y positiva, conserve un factor sec(x)tg(x) y
transforme los restantes factores a secantes. Luego, desarrolle e integre:
2k 1 n 2 k n 1
Transformar a secantes
2 k n 1
Potencias de secante derivada inte rna
tg (x)sec (x)dx (tg (x)) sec (x)sec(x)tg(x)dx
(sec (x) 1) sec (x). sec(x)tg(x) dx
+
=
=
-
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Si la potencia de la tangente es par y positiva, el integrando se reduce a potencias de
la secante, en efecto:
2k n 2 k ntg (x) sec (x)dx (sec (x) 1) sec (x)dx.=
Si la potencia de la secante es par y positiva, conserve un factor 2sec (x) y transforme
los restantes factores a tangentes. Luego, desarrolle e integre:
m 2k 2 k 1 m 2
Transforme a tangentes
tg (x)sec (x)dx (sec (x)) tg (x)sec (x)dx.=
G. INTEGRANDOS RACIONALES EN SENOS Y COSENOS
El matemtico alemn Kart Weierstrass (1815-1897) observ que el cambio de variable
xu tg
2
=
, x < <
transforma cualquier funcin racional en seno y coseno en una funcin racional de u.
En consecuencia,
2 2 21 x 1 x 1du sec dx tg 1 dx (u 1)dx2 2 2 2 2
= = + = +
luego
2
2dx du
u 1
=
+
Se deduce adems que
2 2xsec u 1,2
= +
luego
2
2
1 cos(x) x 1
c o s ,2 2 u 1
+ = = +
-
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3 52 1
cos(x) cos (x) cos (x) C3 5= + +
Ejemplo 83.Resuelva la integral
5tg (x)dx .Solucin.
5 3 2 3 2 3 2 3tg (x)dx tg (x)tg (x)dx tg (x)(sec (x) 1)dx tg (x)sec (x)dx tg (x)dx= = = 3 2 2 3 2 2
4 23 2 2
tg (x)sec (x)dx tg (x)tg(x)dx tg (x) sec (x)dx (sec (x) 1)tg(x)dx
tg (x) tg (x)tg (x)sec (x)dx tg(x)sec (x)dx tg(x)dx ln cos(x) C
4 2
=
+ = +
Ejemplo 84.Resuelva la integral
3 4sen (x)cos (x)dx .Solucin.
3 4 2 4
5 72 4 4 6
sen (x)cos (x)dx sen (x)sen(x)cos (x)dx
cos (x) cos (x)(1 cos (x))sen(x)cos (x)dx (cos (x)sen(x) cos (x)sen(x))dx C
5 7
=
= = +
Ejemplo 85.Resuelva la integral
2 3
dx
(x 4x 6)+ + .Solucin.
2
2 3 2 3 2 3 2 3
2
dx dx du 2 sec (z)dz(x 4x 6) ((x 2) 2) (u 2) (2tg (z) 2)
(u x 2 du dx) (u 2tg(z) du 2 sec (z)dz)
= = =+ + + + + +
= + = = =
224 2
6
2 sec (z) 2 2 1 cos(2z) 2dz cos (z)dz dz (1 2cos(2z) cos (2z))dz
8 8 2 328sec (z)
+ = = = + +
2 22 2 2 2(1 2cos(2z) cos (2z))dz dz cos(2z)dz cos (2z)dz
32 32 16 32+ + = + +
1 1 1
2 2 2 u 2 x 2dz z C arctg C arctg C
32 32 32 322 2
+= + = + = +
2 2 2
2 2 2 u 2 x 2cos(2z)dz sen(2z) C sen 2arctg C sen 2arctg C16 32 32 322 2
+= + = + = +
-
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2
3
u
2u32
x 22x 2
32
2 2 2 sen(4z)
cos (2z)dz (1 cos(4z))dz z C32 64 64 4
sen(4arctg( ))2arctg( ) C
64 4
sen(4arctg( ))2arctg( ) C
64 4
+
+
= + = + +
= + +
= + +
De modo que:x 2
22 3
sen(4arctg( ))dx 3 2 x 2 2 x 2 2arctg sen 2arctg C
64 32 64 4(x 4x 6) 2 2
+ + + = + + + + +
Ejemplo 86.Resuelva la integral
2 3 3 2 4 3 2(6x 4x)sen (x x )cos (x x )dx+ + + .Solucin.Sea 3 2 2z x x dz (3x 2x)dx= + = + . De modo que:
3 4 2 4
2 4 4 6
5 3 2 7 3 2
2 sen (z)cos (z)dx 2 sen (z)sen(z)cos (z)dz
2 (1 cos (z))sen(z)cos (z)dz 2 (cos (z)sen(z) cos (z)sen(z))dz
2cos (x x ) 2cos (x x )C
5 7
=
=
+ += + +
Ejemplo 87.Resuelva la integral
3 3
dx
sen (x)cos (x) .Solucin.
2 2 2 4 2 2 4
3 3 3 3 3 3
3 3 3 2
dx (sen (x) cos (x)) sen (x) 2sen (x)cos (x) cos (x)
dx dxsen (x)cos (x) sen (x)cos (x) sen (x)cos (x)
sen(x) dx cos(x) sen(x) cos(x) cos(x)dx 2 dx dx 2 dx
sen(x)cos(x)cos (x) sen (x) cos (x) sen(x)cos (x)
+ + +
= =
+ + = + +
3
3 3 2 2 2 2
dxsen (x)
(u cos(x)) (z tg(x)) (w sen(x))
du dz dw 1 1 1 12 2ln z C 2ln tg(x) C
zu w 2u 2w 2cos (x) 2sen (x)
= = =
+ + = + + = + +
Ejemplo 88.Resuelva la integral
dx
1 2sen(x) cos(x)+ +
.
Solucin.
-
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2 24u 1 u2 21 u 1 u
x2
dx 1 2
. du1 2sen(x) cos(x) 1 u1
2 du 1 1du ln 1 2u C ln 1 2tg( ) C
2 4u 1 2u 2 2
+ +
=+ + ++ +
= = + + = + ++ +
Ejemplo 89.Resuelva la integral
2x x 2xe ln(e 9 e )dx+ + .Solucin.
Seax x dzz e dz e dx dx
z= = = .
Se tiene entonces que:
2x x 2x 2e ln(e 9 e )dx z ln(z 9 z )dz+ + = + + .Aplicando integracin por partes:
2
2
2
dzu ln(z 9 z ) du
9 z
zdv zdz v 2
= + + =+
= =
Se tiene:2 2
2 2
2
z 1 zz ln(z 9 z )dz ln(z 9 z ) dz
2 2 9 z+ + = + +
+ Al resolver
2
2
zdz
9 z+ .Sea 2z 3tg( ) dz 3sec ( )d= = , de modo que
2 2 2
2 22
3
z 9tg ( ).3sec ( )dz d 9tg ( )sec( )d 9 (sec ( ) 1)sec( )d3sec( )9 z
9 sec ( )d sec( )d
= = = +
=
Resolviendo
3sec ( )d .Aplicando integracin por partes:
2
u sec( ) du sec( )tg( )d
dv sec ( )d v tg( )
= =
= =
Se tiene que:
-
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3 2 2
3
3
sec ( )d tg( )sec( ) tg ( )sec( )d tg( )sec( ) (sec ( ) 1)sec( )d
tg( )sec( ) sec ( )d sec( )d
1 1sec ( )d tg( )sec( ) ln sec( ) tg( ) C
2 2
= =
= +
= + + +
De modo que:2
3
2
2 2 22
z 9 9dz 9 sec ( )d sec( )d tg( )sec( ) ln sec( ) tg( ) C
2 29 z
9 z 9 z 9 9 z z 1 9 9 z z. . ln C .z 9 z ln C2 3 3 2 3 3 2 2 3 3
= = + +
+
+ + += + + = + + +
Entonces:
2 22 2 2z 1 9 z 9 zz ln(z 9 z )dz ln(z 9 z ) z 9 z ln C
2 4 4 3
+ ++ + = + + + + +
Finalmente:
2x x 2x2x x 2x x 2x x 2xe 1 9 e 9 ee ln(e 9 e )dx ln(e 9 e ) e 9 e ln C
2 4 4 3
+ ++ + = + + + + +
Ejemplo 90.Resuelva la integral
2
1 cos(x)dx
5 cos (x) 8 cos(x) 3
+
+ + .Solucin.
21 u21 u
2 2 2 2 221 u 1 u2 21 u 1 u
11 cos(x) du du
dx 2 .5cos (x) 8cos(x) 3 1 u 4 u5( ) 8( ) 3
+
+ +
++
= =+ + + + +
2
2 2 2
x 2 2u 1 uu tg dx du sen(x) cos(x)
2 1 u 1 u 1 u
= = = =
+ + +
Por tantox2
2 2 x2
2 tg( )1 cos(x) du 1 2 u 1dx ln C ln C
4 2 u 4 2 tg( )5cos (x) 8cos(x) 3 4 u
++ += = + = +
+ +
Ejemplo 91.Resuelva la integral
dx
ctg(x) cos(x)+ .Solucin.
Manipulando algebraicamente la integral se tiene que:
-
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cos(x) cos(x) sen(x)cos(x)sen(x) sen(x)
dx dx dx sen(x)
dxctg(x) cos(x) cos(x)(1 sen(x))cos(x) += = =+ ++
Usando el cambio2
2 2 2
x 2 1 u 2uu tg dx du , cos(x) , sen(x)
2 1 u 1 u 1 u
= = = =
+ + + .
( ) ( )
2u 4u22 2 21 u 1 u 1 u
2 2 32 221 u 2u u 2u 12 2 21 u 1 u 1 u
. 4u 4udu du du du
(1 u )(u 1) (1 u)(1 u)1 (1 u )
+ + +
+ +
+ + +
= = = + ++
Se tiene:
31 2 4
3 3 2
3 2 21 2 3 4
3
2 3 2 2 31 2 3 4
3
AA A A4u
1 u 1 u(1 u)(1 u) (1 u) (1 u)
A (1 u) A (1 u) A (1 u ) A (1 u )(1 u)
(1 u)(1 u)
A (1 3u 3u u ) A (1 u) A (1 u ) A (1 u u u )
(1 u)(1 u)
= + + + + + + +
+ + + + +=
+
+ + + + + + + =
+
3 21 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 4
3
(A A )u (3A A A )u (3A A A )u (A A A A )
(1 u)(1 u)
+ + + + + + +=
+
Construyendo el sistema de ecuaciones:
1 4
1 3 4
1 2 4
1 2 3 4
A A 0
3A A A 03A A A 4
A A A A 0
=
= + =
+ + + =
Encontrando valores:
1 13
u 1
4u 1A A
2(1 u)
=
= =+
2 2
u 1
4uA A 2
1 u
=
= =
Se tiene entonces:
1 4 4
1 3 4 3
1 2 4
1 2 3 4
1A A 0 A
2
3A A A 0 A 13A A A 4
A A A A 0
= =
= =
+ =
+ + + =
De manera que
3 3 2
2
4u 1 du du du 1 dudu 2
2 1 u 2 1 u(1 u)(1 u) (1 u) (1 u)
1 1 1 1ln 1 u ln 1 u C
2 1 u 2(1 u)
= + + + + + +
= + + + +++
Devolviendo el cambio de variable se tiene que:
( )x x2 22 x
x2
2
dx 1 1 1 1ln 1 tg( ) ln 1 tg( ) Cctg(x) cos(x) 2 21 tg( )1 tg( )
= + + + ++ ++
-
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Ejemplo 92.Resuelva la integral
dx
(1 sec(x))sen(x)+ .Solucin.
1 sen(x)cos(x) cos(x)
dx dx dx cos(x)dx
(1 sec(x))sen(x) sen(x)cos(x) sen(x)(1 )sen(x) sen(x)= = =
+ ++ + Mediante cambio universal:
2
2 2 2
x 2du 2u 1 uu tg , dx , sen(x) , cos(x)
2 1 u 1 u 1 u
= = = =
+ + + .
( ) ( )
22 2(1 u )1 u 22 22 2 (1 u )1 u 1 u
2 22 2u(1 u 1 u )2u 1 u 2u2 2 2 2 21 u 1 u 1 u (1 u )
2 2 22
.I du du
2(1 u ) 1 1 u 1 u 1 1du du ln u C ln tg(x 2) tg (x 2) C
4u 2 u 2 2 2 4
++ +
+ +
+ + + +
= =+
= = = + = +
Ejemplo 93.Resuelva la integral2
2
1 sen (x)dx
1 cos (x)
+ .Solucin.Aplicando el cambio u tg(x)= :
2u2
21 u2 1 2 2 2
21 u
11 sen (x) du dudx .
11 cos (x) 1 u (2 u )(1 u )
+
+
= =++ + + + .
Aplicando fracciones simples:
3 41 22 2 2 2
1 3
2 4
1 3 2 41 3
2 4
A u AA u Adudu du
(u 1)(u 2) u 1 u 2
A A 0
A A 0
A A 0 , A 1 , A 12A A 0
2A A 1
++= +
+ + + +
+ =
+ =
= = = = + =
+ =
De modo que:
2 2 2 2
du du du
(u 1)(u 2) u 1 u 2
1 u 1 tg(x)arctg(u) arctg C arctg(tg(x)) arctg C
2 2 2 2
1 tg(x)x arctg C
2 2
= + + + +
= + = +
= +
-
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Ejemplo 94.Resuelva la integral
+ )x(cos3)x(sen2dx
22.
Solucin.
+=++=+ )x(cos2 dx)x(cos))x(cos)x(sen(2 dx)x(cos3)x(sen2 dx 222222 [1]Haciendo el cambio de variable:
t = tg(x) , dt = sec2(x) dx = (1 + tg2(x)) dx = (1 + t2) dx
de donde se obtiene que
2t1
dt
dx +=
Por otra parte
,t1
1
)x(tg1
1
)x(sec
1)x(cos
2222
+=
+==
puesto que tg(x) = t. Sustituyendo en [1] se tiene:
[2]dtt
3
21
1
3
1
dtt
3
21
1
3
1
dtt
3
213
1
dtt23
1dt
)t23)(t1(
t1
t1
1t22t1
dt
t1
12
t1
dt
222
222
2
2
2
2
2
2
+
=+
=
+=
+=
++
+=
+
++
+=
++
+
Resolvamos la integral
dt
t3
21
12
+
haciendo el cambio de variable
t
3
2z= , td
3
2dt
3
2dz ==
de donde
zd2
3dt=
Entonces
122C)z(arctg
2
3dz
z1
1
2
3dt
t3
21
1+=
+=
+
Devolviendo el cambio de variable t
3
2z= se tiene:
-
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-
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ahora esta integral la resolvemos haciendo el cambio de variable:
ud)u(cos4
5dt,)u(sen
4
5
4
3t == ,
luego nos queda:
C)u(tg)usec(Ln5
1ud)u(sec
5
1
ud
)u(2
sen1
)u(cos
5
1du
)u(2
sen4
25
4
25
)u(cos
4
52
4
3t4
4
25
dt
2
1
++==
=
=
=
Devolviendo los cambios:
sen(u)=5
3t4
( )23t425
( )23t425
5
)u(cos
1)usec(
== ,
( )23t41625
3t4)u(tg
=
Luego,
( )C
3t425
2t4ln
5
1
2+
+=
t2
xtg =
Ejemplo 97.Resuelva la integral
+ )x(tg21
dx.
Solucin.Haciendo el cambio de variable t = tgx , dt = sec2xdx = (1 + tg2x)dx = (1 + t2) dx
de donde dx = 2t1
dt
+ luego,
C
23
2
xtg425
22
xtg4
Ln
5
1+
+
=
5
3t4
u
-
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++= )t1()t21(
dt2
Ahora descomponiendo en fracciones parciales simples:
2t1
CtB
t21
A
)t1()t21(
12 +
++
+=
++
de donde 1 = A + At2+ Bt + 2Bt2 + C + 2Ct y se obtiene el sistema de ecuaciones:
A C 1
B 2C 0
A 2B 0
+ =
+ = + =
que tiene por solucin: A =
5
1C,
5
2B,
4
1== . Luego,
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
2 2
2
5 5
4 dt 2 t 1 1dt dt
5 1 2t 5 51 t 1 t
2 1 1Ln 1 2t Ln 1 t arctg(t) C
5 5 5
1 2t 1 2tg(x)1 xLn arctg(t) C Ln C
5 51 t 1 tg (x)
1 1Ln(cos(x) 2sen(x)) x C 2 Ln(cos(x) 2sen(x)) x C.
5 5
= ++ + +
= + + + +
+ += + + = + +
+ +
= + + + = + + +
Por lo tanto, ( ) +++=+= .Cx))x(sen2)x(cos(Ln251)x(tg21 dx
Ejemplo 98.Resuelva la integral
+dx
1)xsec()x(tg2
)xsec(.
Solucin.Aplicando identidades trigonomtricas y manipulando algebraicamente
1cos(x)
sen(x) 1cos(x) cos(x)
sec(x) dxdx dx
2tg(x) sec(x) 1 1 2sen(x) cos(x)2 1
= =
+ + +
Aplicando la sustitucin x2
u tg( )= , se tiene
x x x x2 2 2 2 22 2
22 2x x
2 2 2 2
u 1 2usen( ) , cos( ) , sen(x) 2sen( )cos( ) ,
1 uu 1 u 1
1 u 2ducos(x) cos ( ) sen ( ) , dx
1 u u 1
= = = =++ +
= = =
+ +
22u 1
2 2 2 24u 1 u2 21 u 1 u
dx 2 2du du du
1 2sen(x) cos(x) 4u u 1 1 u 2u 4u1
du du du 1A B ln u ln u 2 Cu(u 2) u (u 2) 2
+
+ +
= = =+ + + + ++
= = + = + + + +
-
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12
12
x2
x2
AA B 0
2A 1 B
tg( )1 u 1ln C ln C
2 u 2 2 2 tg( )
=+ =
= =
= + = ++ +
Ejemplo 99.Resuelva la integralx2
1 tg( )dx
1 cos(x)
+
+ .Solucin.
Hacemos el cambio universal: xtg t
2
=
de donde
x = arctg(2t) ;2
2
1 tcos(x)
1 t
=
+ ,
2
2dx dt
1 t=
+
Entonces,x2
2 2 2 2 2
2 2
1 tg( ) 1 t 2 1 t 2dx dt dt
1 cos(x) 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t1
1 t 1 t
+ + + = = = + + + + +
++ +
( )2
2 2 2
2
1 t 2 tdt 1 t dt t C
21 t 1 t 1 t
1 t
+ = = + = + +
+ + +
+
Devolviendo el cambio de variable
xtg t
2
=
,
se obtiene:x
22 x x2 2
1 tg( ) 1dx tg( ) tg ( ) C
1 cos(x) 2
+= + +
+
1.16.INTEGRANDOS IRRACIONALES
Se denominan as los integrandos que contienen radicales. Con un cambio de variable
adecuado se pueden convertir los radicales en potencias enteras. A continuacin se presenta
un conjunto de ejemplos, cuya funcin es introducir este octavo mtodo de integracin .
Ejemplo 100.Resuelva la integralx1 e dx .
-
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Solucin.2
x2 2
2 x x
xx
x
2u 1 du du1 e dx du 2 1 du 2u 2u ln u 1 ln u 1 C
u 1 1 uu 1 u 1
(u 1 e 2udu e dx)
1 e 12 1 e ln C
1 e 1
= = + = + = + + + +
= =
= + +
+
Ejemplo 101.Resuelva la integral
1 /2 2 /3
dx
x x+
.
Solucin.5
21 /2 2 /3 3 4
6 5
1 /3 1/ 6 1 / 6
dx 6t 1dt 6 t 1 dt 3t 6t 6 ln t 1 C
t 1x x t t
(x t dx 6t dt)
3x 6x 6ln x 1 C
= = + = + + + ++ +
= =
= + + +
Ejemplo 102.Resuelva la integral
2
x 1 2
dx(x 1) x 1
+ +
+ +
.
Solucin.2z x 1 2zdz dx= + =
4 3 2
(z 2).2z z 2 z 2dz 2 dz 2 dz
z z z 1 (z 1)(z z 1)
+ + += =
+ + Descomponiendo en fracciones simples
2 312 2
2 21 2 3 1 2 1 2 3 1 3
1 2 1 2 3 3 1 2 1 3 1 1 2
1 2 1 2 1 2 3
A z AAz 2
z 1(z 1)(z z 1) z z 1
z 2 A (z z 1) (A z A )(z 1) (A A )z (A A A )z (A A )
A A 0 , A A A 1 A 1 A A , A A 2 A 1 A A 2
A A 0 , 2A A 3 A 1 , A 1 , A 1
++= +
+ + + +
+ = + + + + = + + + +
+ = + = = + = + =
+ = = = = =
2 2
z 2 dz z 12 dz 2 2 dz
z 1(z 1)(z z 1) z z 1
+ +=
+ + + + 1 1
2 2 2 2
dz2 ln z 1 C 2ln x 1 1 C
z 1
z 1 2z 2 2z 1 12 dz dz dz dz
z z 1 z z 1 z z 1 z z 1
= + = + +
+ + += = +
+ + + + + + + +
-
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1
2 2 2 22 31 32 4 2
12
232
z1ln z z 1 dz ln z z 1 arctg C
(z )
x 11 1ln x 1 x 1 1 arctg C
2 2
+ = + + + = + + + + + +
+ + = + + + + + +
Ejemplo 103.Resuelva la integral
3 54
dx
(x 1) (x 2) + .Solucin.
4 (x 2)4(x 1) 44(x 1)(x 1)
4 3 44
4 4 2 4 4
312t34 2(t 1) 4
4 5 23 3t4 4t 1 t 1
dx dx
(x 1)(x 2)(x 2) (x 2)
x 2 t 2 12t 3 3tt x dx dt ; x 1 x 2
x 1 t 1 (t 1) t 1 t 1
12t 4 dt 4 4 x 1dt dt C C
3 3t 3 x 29t t. .t
+
= ++ +
+ += = = = + =
+
= = = + = +
+
Ejemplo 104.Resuelva la integral
dx)1x(arctg.x 2 .
Solucin.Haciendo el cambio de variable z = x2 1 de donde dz = 2 x dx x dx =
2
dz, se tiene
dzzarctg2
1dx)1x(arctgx 2 = . [1]
Apliquemos el mtodo de integracin por partes:
)z(arctgu= ; dv = dz du = dzz2
1
z1
1
+
; v = z
entonces,
+= zdz21z11zzarctgz21dzzarctg21
+= zd)z1(z z21zarctgz21 [2]
Calculemos la integral que queda haciendo el cambio de variable: z = t2 , dz= 2t dt,
=
+=
++=
+=
+=
+ td
t1112td
t11t12td
t1t2ttd2
)t1(ttzd
)z1(zz 22
2
2
2
2
2
-
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12 Ctarctg2t2dtt1
1td2 +=
+=
Devolviendo los cambios de variable: t = z donde z = x2- 1
=+ zd)z1(z z =+=+ 11 C)z(arctg2z2C)t(arctg2t2
122 C)1x(arctg21x2 +=
Sustituyendo en [2]
=
++=
2
C)1x(arctg1x)1x(arctg)1x