Clases de La Rural 26-07-2015

7172019 Clases de La Rural 26-07-2015

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S E C C I Oacute N 62 | Trigonometriacutea de triaacutengulos rectaacutengulos 449

29

30 a senp

3

cosp

4sen

p

4

cosp

3b 2

1cos 30deg 2 2 1sen 30deg 2 2

31-38 Resuelva el triaacutengulo rectaacutengulo

31

16

45

32

10075

33

35

52

34 1000

68˚

35 335π

8

36 723

π

6

37

106

π

5

38

425 3π

8

39 Use una regla para medir cuidadosamente los lados del triaacutengulo

y a continuacioacuten use sus mediciones para estimar las seis rela-

ciones trigonomeacutetricas de u

uml

40 Usando un transportador trace un triaacutengulo rectaacutengulo que

tenga el aacutengulo agudo de 40983216 Mida los lados con todo cuidado

y use sus resultados para estimar las seis relaciones trigonomeacute-tricas de 40983216

41-44 Encuentre x redondeada a un lugar decimal

41

60 30

100

x

42

60 30

85

x

43

60

65

50

x

44

30

5

x

45 Exprese la longitud x en teacuterminos de las relaciones trigonomeacute-tricas de u

10

uml

x

46 Exprese la longitud

a b

c y

d en la figura en teacuterminos de las relaciones trigonomeacutetricas de u

1

uml

ab

d

c

APL ICAC IONES

47 Altura de un edificio Se encuentra que el aacutengulo de ele-

vacioacuten de lo alto del edificio Empire State de Nueva York es de

11983216 desde el suelo a una distancia de 1 milla de la base del edi-

ficio Usando esta informacioacuten encuentre la altura del edificio

Empire State



450 C A P Iacute T U L O 6 | Funciones trigonomeacutetricas meacutetodo del triaacutengulo rectaacutengulo

48 Arco de Entrada Un avioacuten estaacute volando a la vista del Arco

de Entrada (Gateway Arch) de St Louis Missouri a una eleva-

cioacuten de 35000 pies Al piloto le gustariacutea estimar su distancia

desde el Gateway Arch encuentra que el aacutengulo de depresioacuten a

un punto en el suelo abajo del arco es de 22 983216

(a) iquestCuaacutel es la distancia entre el avioacuten y el arco

(b) iquestCuaacutel es la distancia entre un punto en el suelo directa-

mente bajo el avioacuten y el arco

49 Desviacioacuten de un rayo laacuteser Un rayo laacuteser ha de diri-

girse hacia el centro de la Luna pero el rayo se desviacutea 05 983216 de

su trayectoria propuesta

(a) iquestCuaacutento se ha desviado el rayo de su trayectoria propuesta

cuando llega a la Luna (La distancia de la Tierra a la Luna

es de 240000 millas)

(b) El radio de la Luna es aproximadamente de 1000 millas

iquestEl rayo incidiraacute en la Luna

50 Distancia al mar Desde lo alto de un faro de 200 pies el

aacutengulo de depresioacuten a un barco en el oceacuteano es de 23 983216 iquestA queacute

distancia estaacute el barco desde la base del faro

51 Escalera inclinada Una escalera de 20 pies estaacute inclinada

contra un edificio de modo que el aacutengulo entre el suelo y la es-

calera es de 72983216 iquestA queacute altura llega la escalera en el edificio

52 Altura de una torre Un cable de 600 pies para sujecioacuten

estaacute unido a lo alto de una torre de comunicaciones Si el cable

forma un aacutengulo de 65983216 con el suelo iquestcuaacutel es la altura de la

torre de comunicaciones

53 Elevacioacuten de una cometa Un hombre que estaacute en una

playa hace volar una cometa Sostiene el extremo de la cuerda

de la cometa al nivel del suelo y estima que el aacutengulo de eleva-

cioacuten de la cometa es de 50983216 Si la cuerda es de 450 pies de

largo iquesta queacute altura estaacute la cometa sobre el suelo

54 Determinacioacuten de una distancia Una mujer que estaacute

de pie en una colina observa una astabandera que ella sabe es de

60 pies de alto El aacutengulo de depresioacuten a la parte inferior del

poste es de 14983216 y el aacutengulo de elevacioacuten de la parte superior

del poste es de 18983216 Encuentre la distancia x de la mujer al poste

x

18

14

55 Altura de una torre Una torre de agua estaacute situada a 325

pies de un edificio (vea la figura) Desde una ventana del edifi-

cio un observador ve que el aacutengulo de elevacioacuten a la parte su-perior de la torre es 39983216 y que el aacutengulo de depresioacuten de la parte

inferior de la torre es 25983216 iquestCuaacutel es la altura de la torre iquestCuaacutel

es la altura de la ventana

39

25

325 pies

AGUA

56 Determinar una distancia Un avioacuten estaacute volando a una

elevacioacuten de 5150 pies directamente sobre una carretera recta

Dos automovilistas van en su auto en la carretera en lados

opuestos del avioacuten el aacutengulo de depresioacuten a un auto es 35 983216 y al

otro es de 52983216 iquestA queacute distancia estaacuten entre siacute los dos autos

57 Determinar una distancia Si los dos autos del ejercicio

56 estaacuten en un lado del avioacuten y si el aacutengulo de depresioacuten a unode los autos es 38983216 y al otro auto es 52983216 iquesta queacute distancia estaacuten

entre siacute los dos autos

58 Altura de un globo Un globo de aire caliente estaacute flo-

tando sobre una carretera recta Para estimar la altura a la que se

encuentran los tripulantes del globo eacutestos simultaacuteneamente mi-

den el aacutengulo de depresioacuten a dos sentildealamientos consecutivos de

kilometraje situados en la carretera en el mismo lado del globo

Se encuentra que los aacutengulos de depresioacuten son 20983216 y 22983216 iquestA

queacute altura estaacute el globo

59 Altura de una montantildea Para estimar la altura de una

montantildea sobre una meseta el aacutengulo de elevacioacuten a lo alto de la

montantildea se mide y es de 32983216 A mil pies maacutes cerca de la mon-

tantildea a lo largo de la meseta se encuentra que el aacutengulo de ele-vacioacuten es de 35983216 Estime la altura de la montantildea

60 Altura de una capa de nubes Para medir la altura de la

capa de nubes en un aeropuerto un trabajador enciende un reflec-

tor hacia arriba a un aacutengulo de 75983216 de la horizontal Un observa-

dor a 600 m de distancia mide el aacutengulo de elevacioacuten del reflector

y ve que es de 45983216 Encuentre la altura h de la capa de nubes

45 75

600 m

h

61 Distancia al Sol Cuando la Luna estaacute exactamente en

cuarto creciente la Tierra la Luna y el Sol forman un aacutengulo

recto (vea la figura) En ese momento el aacutengulo formado por el

Sol la Tierra y la Luna se mide y es de 8985983216 Si la distancia de

la Tierra a la Luna es de 240000 millas estime la distancia

de la Tierra al Sol

SolTierra

Luna

62 Distancia a la Luna Para hallar la distancia al Sol como en

el Ejercicio 61 necesitamos conocer la distancia a la Luna A

continuacioacuten veamos una forma de estimar esa distancia

Cuando la Luna se ve en su cenit en un punto en la Tierra se

observa que estaacute en el horizonte desde el punto B (vea la si-



S E C C I Oacute N 63 | Funciones trigonomeacutetri cas de aacutengulos 451

guiente figura) Los puntos A y B estaacuten a 6155 millas entre siacute y

el radio de la Tierra es 3960 millas

(a) Encuentre el aacutengulo u en grados

(b) Estime la distancia del punto A a la Luna

A

B6155 mi

uml

Tierra Luna

63 Radio de la Tierra En el Ejercicio 74 de la Seccioacuten 61 se

dio un meacutetodo para hallar el radio de la Tierra A continuacioacuten

veamos un meacutetodo maacutes moderno de un sateacutelite que estaacute a 600

millas de la Tierra se observa que un aacutengulo formado por la

vertical y la liacutenea de vista al horizonte es 60276983216 Use esta in-

formacioacuten para hallar el radio de la Tierra

60276

64 Paralaje Para hallar la distancia a estrellas cercanas se usa el

meacutetodo de paralaje La idea es hallar un triaacutengulo con la estrella

en un veacutertice y con una base tan grande como sea posible Para

hacer esto la estrella se observa en dos tiempos diferentes exac-tamente a 6 meses entre siacute y se registra su cambio aparente en

posicioacuten De estas dos observaciones se puede calcular ang E 1SE 2

(Los tiempos se escogen de modo que ang E 1SE 2 sea tan grande

como sea posible lo cual garantiza que ang E 1OS es 90983216) El aacuten-

gulo E 1SO se llama paralaje de la estrella Alfa Centauri la es-

trella maacutes cercana a la Tierra tiene un paralaje de 0000211 983216

Estime la distancia a esta estrella (Tome la distancia de la Tie-

rra al Sol como 93 107 millas)

0000211

O S

E2

E1

65 Distancia de Venus al Sol La elongacioacuten aring de un pla-

neta es el aacutengulo formado por el planeta la Tierra y el Sol (vea

la figura) Cuando Venus alcanza su maacutexima elongacioacuten de

463983216 la Tierra Venus y el Sol forman un triaacutengulo con aacutengulo

recto en Venus Encuentre la distancia entre Venus y el Sol en

unidades astronoacutemicas (UA) (Por definicioacuten la distancia entre

la Tierra y el Sol es 1 UA)

Venusaring

Tierra

1 UA

Sol

DESCUBRIMIENTO

DISCUSIOacuteN

REDACCIOacuteN66 Triaacutengulos semejantes Si dos triaacutengulos son semejantes

iquestqueacute propiedades comparten Explique la forma en que estas

propiedades hacen posible definir las relaciones trigonomeacutetricas

sin considerar el tamantildeo del triaacutengulo

En la seccioacuten precedente definimos las relaciones trigonomeacutetricas para aacutengulos agudos

Aquiacute extendemos las relaciones trigonomeacutetricas a todos los aacutengulos al definir las funciones

trigonomeacutetricas de aacutengulos Con estas funciones podemos resolver problemas praacutecticos que

involucren aacutengulos que no sean necesariamente agudos

63 FUNCIONES TRIGONOMEacuteTRICAS DE AacuteNGULOS

Funciones trigonomeacutetricas de aacutengulos Evaluacioacuten de funciones trigonomeacute-tricas de cualquier aacutengulo Identidades trigonomeacutetricas Aacutereas de triaacutengulos



SECCIOacuteN 54 INTEGRALES INDEFINIDAS Y EL TEOREMA DEL CAMBIO NETO 403

EJEMPLO 7 En la figura 4 se muestra el consumo de energiacutea eleacutectrica (potencia) en la

ciudad de San Francisco un diacutea del mes de septiembre (P se mide en megavatios y t en

horas a partir de la medianoche) Estime la energiacutea que se utilizoacute ese diacutea

54 Ejercicios

1-4 Verifique mediante derivacioacuten que cada una de las siguientes

foacutermulas es correcta

1

2

3 y cos3 x dx sen x

1

3 sen

3 x C

y cos2 x dx

1

2 x 1

4 sen 2 x C

y 1

x 2s 1 x 2

dx s 1 x 2

x C

4

y

x

s a bx

dx 2

3b2

bx 2a s a bx C

5-18 Obtenga las siguientes integrales indefinidas generales

65 y x 2 x 2 dx y (s x 3 s 3 x 2 ) dx

Se requiere calculadora graficadora o computadora 1 Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculuscom

FIGURA 4

P

0 181512963 t 21

400

600

800

200

SOLUCIOacuteN La potencia es la razoacuten de cambio de la energiacutea P(t ) E (t ) De modo que

por el teorema del cambio neto

y24

0P t dt y

24

0 E t dt E 24 E 0

es la cantidad total de energiacutea que se usoacute ese diacutea Haga una aproximacioacuten de la integral

con la regla del punto medio con 12 subintervalos y t 2

15 840

840 810 690 670 550 2

440 400 420 620 790 840 850

y24

0

P t dt P 1 P 3 P 5 P 21 P 23 t

La energiacutea usada fue de unos 15 840 megavatio-horas

iquestCoacutemo sabe queacute unidades usar para la energiacutea en el ejemplo 7 La integral x240

P t dt

se define como el liacutemite de las sumas de teacuterminos de la forma P (t i) t Ahora bien P (t i) se

mide en megavatios y t en horas de modo que su producto se mide en megavatios-horas

Lo mismo es verdadero para el liacutemite En general la unidad de medida para xb

a f x d x es

el producto de la unidad para f ( x ) y la unidad para x

Una nota acerca de unidades











450 C A P Iacute T U L O 6 | Funciones trigonomeacutetricas meacutetodo del triaacutengulo rectaacutengulo

48 Arco de Entrada Un avioacuten estaacute volando a la vista del Arco

de Entrada (Gateway Arch) de St Louis Missouri a una eleva-

cioacuten de 35000 pies Al piloto le gustariacutea estimar su distancia

desde el Gateway Arch encuentra que el aacutengulo de depresioacuten a

un punto en el suelo abajo del arco es de 22 983216

(a) iquestCuaacutel es la distancia entre el avioacuten y el arco

(b) iquestCuaacutel es la distancia entre un punto en el suelo directa-

mente bajo el avioacuten y el arco

49 Desviacioacuten de un rayo laacuteser Un rayo laacuteser ha de diri-

girse hacia el centro de la Luna pero el rayo se desviacutea 05 983216 de

su trayectoria propuesta

(a) iquestCuaacutento se ha desviado el rayo de su trayectoria propuesta

cuando llega a la Luna (La distancia de la Tierra a la Luna

es de 240000 millas)

(b) El radio de la Luna es aproximadamente de 1000 millas

iquestEl rayo incidiraacute en la Luna

50 Distancia al mar Desde lo alto de un faro de 200 pies el

aacutengulo de depresioacuten a un barco en el oceacuteano es de 23 983216 iquestA queacute

distancia estaacute el barco desde la base del faro

51 Escalera inclinada Una escalera de 20 pies estaacute inclinada

contra un edificio de modo que el aacutengulo entre el suelo y la es-

calera es de 72983216 iquestA queacute altura llega la escalera en el edificio

52 Altura de una torre Un cable de 600 pies para sujecioacuten

estaacute unido a lo alto de una torre de comunicaciones Si el cable

forma un aacutengulo de 65983216 con el suelo iquestcuaacutel es la altura de la

torre de comunicaciones

53 Elevacioacuten de una cometa Un hombre que estaacute en una

playa hace volar una cometa Sostiene el extremo de la cuerda

de la cometa al nivel del suelo y estima que el aacutengulo de eleva-

cioacuten de la cometa es de 50983216 Si la cuerda es de 450 pies de

largo iquesta queacute altura estaacute la cometa sobre el suelo

54 Determinacioacuten de una distancia Una mujer que estaacute

de pie en una colina observa una astabandera que ella sabe es de

60 pies de alto El aacutengulo de depresioacuten a la parte inferior del

poste es de 14983216 y el aacutengulo de elevacioacuten de la parte superior

del poste es de 18983216 Encuentre la distancia x de la mujer al poste

x

18

14

55 Altura de una torre Una torre de agua estaacute situada a 325

pies de un edificio (vea la figura) Desde una ventana del edifi-

cio un observador ve que el aacutengulo de elevacioacuten a la parte su-perior de la torre es 39983216 y que el aacutengulo de depresioacuten de la parte

inferior de la torre es 25983216 iquestCuaacutel es la altura de la torre iquestCuaacutel

es la altura de la ventana

39

25

325 pies

AGUA

56 Determinar una distancia Un avioacuten estaacute volando a una

elevacioacuten de 5150 pies directamente sobre una carretera recta

Dos automovilistas van en su auto en la carretera en lados

opuestos del avioacuten el aacutengulo de depresioacuten a un auto es 35 983216 y al

otro es de 52983216 iquestA queacute distancia estaacuten entre siacute los dos autos

57 Determinar una distancia Si los dos autos del ejercicio

56 estaacuten en un lado del avioacuten y si el aacutengulo de depresioacuten a unode los autos es 38983216 y al otro auto es 52983216 iquesta queacute distancia estaacuten

entre siacute los dos autos

58 Altura de un globo Un globo de aire caliente estaacute flo-

tando sobre una carretera recta Para estimar la altura a la que se

encuentran los tripulantes del globo eacutestos simultaacuteneamente mi-

den el aacutengulo de depresioacuten a dos sentildealamientos consecutivos de

kilometraje situados en la carretera en el mismo lado del globo

Se encuentra que los aacutengulos de depresioacuten son 20983216 y 22983216 iquestA

queacute altura estaacute el globo

59 Altura de una montantildea Para estimar la altura de una

montantildea sobre una meseta el aacutengulo de elevacioacuten a lo alto de la

montantildea se mide y es de 32983216 A mil pies maacutes cerca de la mon-

tantildea a lo largo de la meseta se encuentra que el aacutengulo de ele-vacioacuten es de 35983216 Estime la altura de la montantildea

60 Altura de una capa de nubes Para medir la altura de la

capa de nubes en un aeropuerto un trabajador enciende un reflec-

tor hacia arriba a un aacutengulo de 75983216 de la horizontal Un observa-

dor a 600 m de distancia mide el aacutengulo de elevacioacuten del reflector

y ve que es de 45983216 Encuentre la altura h de la capa de nubes

45 75

600 m

h

61 Distancia al Sol Cuando la Luna estaacute exactamente en

cuarto creciente la Tierra la Luna y el Sol forman un aacutengulo

recto (vea la figura) En ese momento el aacutengulo formado por el

Sol la Tierra y la Luna se mide y es de 8985983216 Si la distancia de

la Tierra a la Luna es de 240000 millas estime la distancia

de la Tierra al Sol

SolTierra

Luna

62 Distancia a la Luna Para hallar la distancia al Sol como en

el Ejercicio 61 necesitamos conocer la distancia a la Luna A

continuacioacuten veamos una forma de estimar esa distancia

Cuando la Luna se ve en su cenit en un punto en la Tierra se

observa que estaacute en el horizonte desde el punto B (vea la si-








A

B6155 mi

uml

Tierra Luna







60276












0000211

O S

E2

E1








Venusaring

Tierra

1 UA

Sol

DESCUBRIMIENTO

DISCUSIOacuteN

















54 Ejercicios



1

2

3 y cos3 x dx sen x

1

3 sen

3 x C

y cos2 x dx

1

2 x 1

4 sen 2 x C

y 1

x 2s 1 x 2

dx s 1 x 2

x C

4

y

x

s a bx

dx 2

3b2

bx 2a s a bx C


65 y x 2 x 2 dx y (s x 3 s 3 x 2 ) dx


FIGURA 4

P

0 181512963 t 21

400

600

800

200



y24

0P t dt y

24

0 E t dt E 24 E 0



15 840

840 810 690 670 550 2

440 400 420 620 790 840 850

y24

0

P t dt P 1 P 3 P 5 P 21 P 23 t



P t dt




a f x d x es


















A

B6155 mi

uml

Tierra Luna







60276












0000211

O S

E2

E1








Venusaring

Tierra

1 UA

Sol

DESCUBRIMIENTO

DISCUSIOacuteN

















54 Ejercicios



1

2

3 y cos3 x dx sen x

1

3 sen

3 x C

y cos2 x dx

1

2 x 1

4 sen 2 x C

y 1

x 2s 1 x 2

dx s 1 x 2

x C

4

y

x

s a bx

dx 2

3b2

bx 2a s a bx C


65 y x 2 x 2 dx y (s x 3 s 3 x 2 ) dx


FIGURA 4

P

0 181512963 t 21

400

600

800

200



y24

0P t dt y

24

0 E t dt E 24 E 0



15 840

840 810 690 670 550 2

440 400 420 620 790 840 850

y24

0

P t dt P 1 P 3 P 5 P 21 P 23 t



P t dt




a f x d x es

















54 Ejercicios



1

2

3 y cos3 x dx sen x

1

3 sen

3 x C

y cos2 x dx

1

2 x 1

4 sen 2 x C

y 1

x 2s 1 x 2

dx s 1 x 2

x C

4

y

x

s a bx

dx 2

3b2

bx 2a s a bx C


65 y x 2 x 2 dx y (s x 3 s 3 x 2 ) dx


FIGURA 4

P

0 181512963 t 21

400

600

800

200



y24

0P t dt y

24

0 E t dt E 24 E 0



15 840

840 810 690 670 550 2

440 400 420 620 790 840 850

y24

0

P t dt P 1 P 3 P 5 P 21 P 23 t



P t dt




a f x d x es











Clases de La Rural 26-07-2015

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