Aching Guzman - Matematicas Financieras Para Toma de Decisiones Empresariales
Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Programa MDFEscuela de Postgrado
Universidad Diego PortalesRodrigo Montero P.
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1. Introducción
2. El modelo clásico de regresión lineal3. Modelos econométricos con datos
temporales
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En una hoja en blanco, nombre, cargo,principales funciones
Defina muy brevemente cada uno de lossiguientes conceptos: (a) Estimador, (b)Mediana, (c) Desviación estándar, (d) Media,(e) Intervalo de confianza, (f) Kurtosis, (g)Regresión, (h) Muestra
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La estadística es la ciencia de laincertidumbre (encontrar regularidades en elcomportamiento de los datos)
Preguntas del tipo ¿qué podría ser? o ¿qué esprobable que sea?
El tipo de cambio probablemente se depreciará de aquí a fin de año
La inflación probablemente volverá a sus niveles de equilibrio en el corto plazo
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El muestreo tiene como objetivo llegar aconclusiones sobre la población a la quepertenece dicha muestra
Problema: ¿hasta qué punto es posiblegeneralizar los resultados?
Siempre habrá un error en la inferencia quese realice a partir de la muestra (hay que
reflejar dicha incertidumbre)
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Estadística descriptiva (ED) vs estadísticainferencial (EI)
La ED describe las características de lapoblación: mediante tablas, gráficos, y
diagramas se facilita el entendimiento de lainformación
La inferencia estadística implica hacergeneralizaciones, afirmaciones, inferir el
comportamiento de la población por mediode una muestra (reducir el grado deincertidumbre y cuantificarlo)
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Métodos de muestreo: probabilístico (los sujetosson elegidos en función de su probabilidad de
ocurrencia) y no probabilístico (los sujetos se
eligen sin tomar en cuenta su probabilidad de
ocurrencia)
Muchas empresas hacen encuestas de manera no
probabilística: proveen gran cantidad de datos en
poco tiempo (usuarios de Internet) Problemas: sesgo de selección e imposibilidad de
generalización de los resultados
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Muestreo probabilístico: es el ideal. Permitehacer inferencias estadísticas correctas apartir de una muestra
Tipos de muestreo probabilístico: (i) aleatoriosimple, (ii) sistemático (la muestra se divideen grupos), (iii) estratificado (la muestra sedivide en estratos, y luego se combinan lasmuestras), (iv) conglomerado (la población sedivide en conglomerados, y luego semuestrea cada uno de los conglomerados)
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¿Qué es la econometría?
Medición de la economía
¿Para qué sirve la econometría?
Proyecciones
Testar teorías
Aplicaciones: finanzas (CAPM), decisionesde producción / manejo de inventarios,evaluación de políticas públicas, etc.
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La Econometría aplica métodosmatemáticos y estadísticos al análisis dedatos económicos
Frish: “La experiencia ha mostrado que cada
uno de estos tres puntos de vista, la estadística, teoría económica y matemáticas, es necesario, pero no suficiente para una comprensión real de las relaciones cuantitativas de la vida económica. Es la unión de estos tres puntos lo que constituye una herramienta de
análisis potente, la Econometría ” 10
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Pesaran,1987 Econometrics historia de laeconometría
El trabajo empírico frecuentemente descubreregularidades empíricas que motivan avancesteóricos
Por ejemplo, se tiene una hipótesis/teoría(trabajadores más productivos reciben mayores salarios ), luego ésta se contrasta con lo que dicenlos datos (relación entre salario y años de
escolaridad )
Los buenos resultados dependen tanto de calidadde los datos utilizados como del método aplicadopara la estimación
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Fuente: En base a un experimento controlado (Bemmaor
y Mouchoux, 1991)
0,84
0,86
0,88
0,90
0,92
0,94
0,96
0,98
1,00
1,02
0 50 100 150 200
Cantidad
P r e c
i o
Hipótesis: lademanda de unbien tiene
pendiente negativa
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Análisis de regresión: es el estudio delcomportamiento del valor promedio de lavariable dependiente (explicada) en funcióndel comportamiento de las variablesdependientes (explicativas)
0
20.000
40.000
60.000
80.000
100.000
120.000
140.000
160.000
0 3 6 9 12 15 18 21 24
Años de escolaridad
E n U S $
La teoría delcapitalhumano:Salarios y añosde escolaridad
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Quick
Graph
educ salary
Scatter
16
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En Econometríainteresa la dependencia estadísticaentre las variables, las cuales son aleatorias, esdecir, variables que tienen una distribución deprobabilidad (diferente a la física…)
La regresión es una relación estadística que noimplica causalidad a priori (importancia delmodelo) Johann Carl Friedrich Gauss
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La función de regresión poblacional (FRP) es ellugar geométrico de todas las mediascondicionales de la variable dependiente para losvalores fijos de la(s) variable(s) explicativa(s) es
la relación teórica entre las variables (no laobservaremos nunca!!!)
La función de regresión muestral(FRM) representala recta de regresión poblacional, pero debido a lasfluctuaciones muestrales sólo puede ser
considerada como una aproximación
ii u X Y E Y )|(
19
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0
50
100
150
200
250
300
350
400
0 5 10 15 20 25
Relación entre salario y escolaridad
FRP
FRM
20
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Ejemplos:
Ventas = f(Imacec) ¿f’(•) > o o o o o o o o
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Las tasas de interés dependen, entre otras cosas,del déficit fiscal
Asumiendo que dicha relación es lineal (FRP), sepuede plantear el siguiente modelo:
¿Por qué incorporar un shock estocástico en este
contexto?
Y i =E (Y | X )+u
i = 1 + 2 X i +ui
),0(~ 2 iid ui
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(2) Error de medida
La variable dependiente está medida con error (Y =Y* + )
Por ejemplo, el ingreso familiar (incentivos a
subdeclarar) El error de medida puede estar en la variable
dependiente, o bien, en las variablesindependientes (X = X* + )
Por ejemplo, años de escolaridad (son una proxydel capital humano)
Errores de medida en las variables explicativascrean serios problemas econométricos(estimadores inconsistentes)
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(3) Comportamiento humano
El comportamiento humano es de tal forma quebajo circunstancias idénticas las acciones llevadasa cabo diferirán de una manera aleatoria
Mismo estímulo respuestas diversas
El término de error puede representar estaaleatoriedad inherente en el comportamientohumano
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La estimación de este modelo vendría dada por(FRM):
ii X Y
21ˆˆˆ
22
11
ˆ
ˆ
u X uY u X Y E Y ii ˆ
ˆˆˆˆˆ)|(ˆ 21
iiii u X u X Y E Y 21)|(
26
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Propiedades de los estimadores
Costo computacional
Mínimos cuadrados Bondad de ajuste
Insesgamiento
Eficiencia
Error cuadrático medio Propiedades asintóticas
100)ˆ( f
70)ˆ( f
40)ˆ( f
10)ˆ( f
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El método de mínimos cuadrados ordinarios(MCO)
escoge los estimadores para los parámetros de tal
forma de minimizar la suma de los errores al
cuadrado
Problema estándar de optimización sin
restricciones
n
i
ii
n
i
i
iiiii
X Y u
X Y Y Y u
1
2
211
2
ˆ,ˆ
21
)ˆˆ(ˆ
ˆˆˆˆ
min21
29
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Las CPO de este problema son las siguientes:
Simplificando las ecuaciones anteriores se
obtienen las ecuaciones normales:
0ˆ2)ˆˆ(2ˆ
ˆ
0ˆ0ˆ2)ˆˆ(2ˆ
ˆ
21
2
2
21
1
2
iiiii
i
iiii
i
X u X X Y u
uu X Y u
2
21
21
ˆˆ)2(
ˆˆ)1(
iiii
ii
X X X Y
X nY
31
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Resolviendo el sistema de ecuaciones:
22
2
1ˆ
ii
iiiii
X X n
Y X X Y X
22222
ˆ
X n X
Y X nY X
X X n
Y X Y X n
i
ii
ii
iiii
32
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Alternativamente:
X Y 21
ˆˆ
n
i
i
n
i
ii
n
i
i
n
i
ii
x
y x
X X
Y Y X X
1
2
1
1
2
1
2
)(
))((
ˆ
33
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Ejemplo: utilidades=f(gasto en I+D)
2ˆ
20ˆ
2
1
X Y 220ˆ
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Se puede demostrar que:
n
i
i
n
i
i
X X
X X
X
n
1
2
2
22
1
2
22
11
)(
,~ˆ
)(
1
,~ˆ
Nota:No conocemos
2
, hay queestimarlo
n
u
n
i
i 1
2
2
ˆ
̂ k n
un
i
i
1
2
2
ˆ
~
37
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1. Linealidad en los parámetros2. Muestreo aleatorio
3. Media condicional nula:
0)|( xu E
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4. Variación muestral de la variable independiente:
5. Homoscedasticidad (supuesto clave paradeterminar la eficiencia del estimador de MCO):
)ˆ( E
0)( 2
1
n
i
i X X
Con estos cuatro supuestos se puede demostrarinsesgamiento:
2)|var( xui
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El estimador de MCO es el mejor estimador lineal e insesgado de entre todos los estimadores lineales e insesgados. Cualquier
otro estimador lineal e insesgado tiene varianza mayor a la del estimador MCO. Es decir, el estimador MCO es MELI (BLUE).
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Todo lo que hemos visto se puede generalizarpara incluir k variables independientes(explicativas):
El salario de los individuos está en función de:años de escolaridad, experiencia laboral
(potencial), sector económico, oficio, género de lapersona (discriminación salarial), uso decomputador (tecnología), etc.
iik k iii u x x x y ...33221
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La inclusión de más variables explicativas va aafectar la estimación de todos los parámetros delmodelo
Van a aumentar las varianzas de los estimadores
de MCO Los estimadores de MCO se obtienen de manera
similar al caso simple de dos variables
Se minimiza la suma de los errores al cuadrado
Se trabaja en términos matriciales (es mássimple)
Los coeficientes estimados representan el efectomarginal (parcial) de cada una de las variablesexplicativas (ceteris paribus )
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El modelo clásico de regresión lineal con k variables
iik k iii u x x x y ...33221
nnk
k
k
k
nn u
u
u
X
X
X
X
X
X
y
y
y
2
1
2
1
2
22
12
21
2
1
),0(~ 2 iid ui
43
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Agrupando en vectores:
Nuevamente:
u X y
u
u
u
X X
X X
X X
y
y
y
n
k
nk n
k
k
n
2
1
1
2
222
112
2
1
1
1
1
1
)ˆ(ˆˆˆˆˆ X yuu X u y y
44
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El problema consiste en minimizar la suma delos errores al cuadrado:
Derivando e igualando a cero se llega a lasiguiente solución:
)ˆ()'ˆ(ˆ'ˆˆ1
2
ˆ
min
X y X yuuun
i
i
k
y X X X
ˆ
ˆ
ˆ')'(ˆ1
1
45
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Propiedades del estimador de MCO:
Supuestos del modelo clásico de regresión múltiple:
1. Lineal en los parámetros2. Muestreo aleatorio
3. Valor esperado condicionado nulo
4. No colinealidad perfecta
Bajo estos supuestos:
12 )'()ˆ(
)ˆ
(
X X v
E
46
0),,,|( 21 k x x xu E
j j E )ˆ(
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Ejemplo:
Variable dependiente
COLGPA: promedio de notas en la Universidad
Variables independientes
HSGPA: promedio de notas en la educaciónsecundaria
ACT: Puntaje en la prueba de acceso a la universidad
Modelo a estimar
u ACT HSGPACOLGPA 321 47
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• En este caso, la variable Y esexplicada por los regresores X y Z
• Los círculos X y Z tendrán algúngrado de traslape reflejando lacolinealidad existente entre ambasvariables (zona roja y naranja)
• Si Y fuera regresionada solo contraX, entonces, se utilizaría lainformación representada por la
zona azul y roja para estimar x
• Si Y fuera regresionada solo contra Z, entonces, se utilizaría lainformación representada por la zona verde y roja para estimar Z
amarillo
azul
rojo
verde
café naranjo
Y
X Z
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•
Cuando Y es regresionada contra Xy Z el estimador MCO utiliza el áreaazul para estimar insesgadamenteX, descartando la proveniente delárea roja
• El área azul corresponde a lavariación de Y que se debe a lavariación de X
• El área verde corresponde a la variación de Y que se debe a lavariación de Z. Utilizando esta información se obtiene unaestimación insesgada de Z
• El área roja nose utiliza porque refleja la variación de Y que esdeterminada por la variación conjunta de X y Z
amarillo
azul
rojo
verde
café naranjo
Y
X Z
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• Note que la regresión de Y contra Xy Z produce estimaciones insesgadasde X y Z, mientras que alregresionar Y contra Z y X porseparado produce estimacionessesgadas de X y Z, porque este
último método utiliza el área roja
• Dado que el primer métododescarta el área roja, utiliza menosinformación para la estimación de lasrespectivas pendientes
• Estas estimaciones tendrán mayores varianzas. En econometríael precio de obtener estimaciones insesgadas (agregar variables)es tener mayores varianzas en las estimaciones
amarillo
azul
rojo
verde
café naranjo
Y
X Z
52
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• Si X y Z fueran ortogonales susáreas no se traslaparían, el área rojatendería a cero
• Por lo tanto, ambos métodos (Ycontra X y Z; Y contra X y Z porseparado) arrojarían las mismas
estimaciones para X y Z• Si hubiese un alto grado decolinealidad, y las áreas azul y verdefueran pequeñas, entonces, seutilizaría muy poca información para
estimar X y Z
• Por lo tanto, se tienen estimaciones con varianzas enormes
amarillo
azul
rojo
verde
café naranjo
Y
X Z
53
Multicolinealidad aumenta las
varianzas
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La multicolinealidad se refiere a la correlación que
existe entre las variables del modelo Por ejemplo, considere el siguiente modelo:
Es directo notar que siempre existirá algún gradode correlación (positiva o negativa) entre lasvariables explicativas del modelo (los X’s)
Por lo tanto, note que la multicolinealidad siempre
está presente, es un problema de grado ¿Qué efecto tiene esto en el estimador de MCO?
ikik iii u x x x y ...33221
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La presencia de multicolinelidad incrementa las
varianzas del estimador de MCO Indicios de la presencia de un alto grado de
multicolinealidad: (i) Un elevado R cuadrado, perocoeficientes estimados no estadísticamente
significativos, (ii) los coeficientes estimadospueden tener signos distintos a los esperados ouna magnitud poco creíbles (muy grandes)
Hay algunos tests formales para detectar cuando el
problema es grave (Belsley) ¿Qué hacer? ¿Eliminar la variable que causa
problemas? OVR sesgo e inconsistencia
En general, se sugiere no hacer nada
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• Si la colinealidad fuera exacta, las
áreas verde y azul desaparecen y laestimación no se puede realizar
• Note que las áreas azul, roja yverde, representan la variación de Yque se explica por la variaciónconjunta de X y Z
• Una medida de bondad de ajustedel modelo sería el ratio entre lasuma de las áreas roja, verde y azul
y el círculo Y• Importante: el área roja solo se descarta para la estimación!!
• El área amarilla representa la variación de Y que se atribuye altérmino de error, y por lo tanto, la magnitud de dicha árearepresenta la magnitud de 2, la varianza del término de error
amarillo
azul
rojo
verde
café naranjo
Y
X Z
56
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Se requiere un criterio que establezca cuán bienajusta el modelo estimado a la muestra de datos
El criterio adecuado consiste en analizar si lavariación de la variable dependiente se explica o
no por la variación de las variables independientes
n
i
i y ySTC 1
2)( Suma de cuadrados totales
n
ii y ySEC 1
2
)ˆ
( Suma explicada de los cuadrados
n
i
iuSCE
1
2
ˆ Suma de los cuadrados de los
residuos
57
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La variación total de la variable dependientesiempre se puede expresar como la suma de lavariación explicada y la variación no explicada
Para medir la capacidad que tienen las variablesindependientes en explicar la variable dependientese utiliza el estadístico R cuadrado de la regresión,
que se define de la siguiente manera:
SCE SEC STC
2
2
2
)(
ˆ11
y y
u
STC
SCE
STC
SEC R
i
i
58
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Note que:
Si el R cuadrado es cero, entonces, la variabilidad de lasvariables independientes no explica la variabilidad de lavariable dependiente
Si el R cuadrado es uno, entonces, la variabilidad de lasvariables independientes explica completamente lavariabilidad de la variable dependiente
Dado que el MCO minimiza la suma de los errores alcuadrado, automáticamente maximiza el valor para el Rcuadrado
10 2
R
59
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Considere el modelo simple:
En este contexto, el R cuadrado viene dado por:
iii u X y 21
2
2
2
22
22
)(
ˆ1
)(
)(ˆ1
y y
u
y y
X X
STC
SCE
STC
SEC R
i
i
i
i
60
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Un elevado R cuadrado indica un buen grado deajuste del modelo
Un elevado R cuadrado no quiere decirnecesariamente una buena estimación
El R cuadrado es monotónico, es decir, aumentarásiempre que al modelo se le agregue una nuevavariable independiente
Esto no es gratis, pues se irá perdiendo precisiónen las estimaciones
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Considere el siguiente modelo:
Se puede demostrar que:
Por lo tanto, al agregar variables, aumentará el Rcuadrado, y por ende, aumentará también la
varianza del estimador Se aprecia cómo la multicolinealidad incrementa las
varianzas del estimador MCO
ikik iii u x x x y ...33221
)1()()ˆ
var( 22
2
j j ji
j R X X
62
-
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Dada la monotonicidad del estadístico R cuadrado,algunos ponen más atención en el R cuadradoajustado:
Ajustadopor los grados de libertad que se pierdenal incluir regresores adicionales en el modelo
El R cuadrado ajustado podría disminuir al incluirun regresor adicional, e incluso podría llegar a sernegativo
k n
n
RnSTC
k nSCE
R
1)1(1)1/(
)/(1
22
63
-
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Testar la significancia individual de los
parámetros estimados
Testarhipótesis de interés teórico
Testarla significancia global del modelo Para los test estadísticos que se analizarán
(test t, test F) es esencial el supuesto denormalidad del término de error (iid normal):
),0(~ 2 N ui
64
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Considere el modelo de regresión lineal múltiple:
Se podría evaluar la significancia individual delcoeficiente estimado:
Si el p-value es menor que 0.05 se rechaza la hipótesisnula al 5% de significancia
ikik iii u x x x y ...33221
0ˆ:0
j H k n jc t
jt
~
)ˆvar(
ˆ
*||k n
ct t
Se rechaza la hipótesis
nula (1%,5 ,10%)
65
Se estableció que:
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
66/128
0ˆ
ii
0ˆ
ii
La probabilidad acumulada en la zona de rechazo es elnivel de significancia (1%, 5%, 10%)
k n
i
iit
V
~
)ˆ
(ˆ
)ˆ( 0
66
-
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Otro ejemplo:
*
|| k nc
t t Se rechaza la hipótesisnula (1%,5 ,10%)
1:0
jh H
k n
jh jh
jh
t
~)ˆ,ˆcov(2)ˆvar()ˆvar(
1ˆˆ
67
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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¿Cómo se construye?
68
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Enfocarse excesivamente en éste puede inducir a
errores Que un coeficiente sea estadísticamente no
significativo no quiere decir que no sea“económicamente” significativo
Poner al test-t en la perspectiva apropiada Por otro lado, el valor t calculado es sensible al
tamaño de la muestra. Si ésta es muy grande,entonces, la varianza cae, y por ende, el test t aumenta. Se tendrán test t “gigantes”, por lo que
los coeficientes estimados serán con una altaprobabilidad significativos
69
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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El test de significancia global del modelo evalúa lasiguiente hipótesis nula:
ikik iii u x x x y ...33221
0:320
k H
),1(~)/(
)1/(k nk
F k nSCE
k SEC F
),1(2
2
~)/()1(
)1/(k nk
F k n R
k R F
Si F calculado > F crítico se
rechaza lahipótesis nula
70
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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El intervalo de confianza muestra el rangoadmisible de valores para el coeficiente estimado
Si el 0 está dentro del intervalo de confianza (IC)significa que no se puede rechazar la hipótesisnula (no es estadísticamente significativo)
Si el 0 no está en el IC, se rechaza la hipótesis nula,entonces, es estadísticamente distinto de cero
1))ˆ
var(ˆ
)ˆ
var(ˆ
Pr( ,2/1,2/1 jk n j j jk n j t t
71
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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El pasado puede afectar el futuro Ejemplo. Tasa de inflación y desempleo para EE.UU.:
¿Muestra aleatoria? Observamos un posible resultado orealización del proceso estocástico (solo vemos unaúnica realización)
72
Año Inflación Desempleo
1948 8.1 3.8
1949 -1.2 5.9
1998 1.6 4.5
1999 2.2 4.2
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Ejemplo:
Un caso podría ser la curva de Phillips estática:
(Nota: esta versión de la curva de Phillips asumeuna tasa de desempleo natural y expectativas deinflación constantes)
Pueden incluirse más variables explicativas:
73
t t t u z y
10
t t t uunem 10
inf
t t t t u E unem
210inf
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Ejemplo:
A este modelo se le conoce como un MRD de ordendos
Suponga que z es constante e igual a c en todoslos períodos, pero en el momento t z aumenta en 1
(c+1), y en t+1 vuelve a su nivel inicial Luego:
74
t t t t t u z z z y 221100
ccc y
ccc y
ccc y
ccc y
ccc y
t
t
t
t
t
21003
21002
21001
2100
21001
)1(
)1(
)1(
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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De las 2 primeras ecuaciones se obtiene:
A este valor se le denomina propensión al impactoo multiplicador del impacto
Luego: Esto corresponde al efecto que ocurre un período
después del cambio
Por otro lado: Este es el cambio dos períodos después del cambio En el tercer período, la variable ha regresado a su
valor original:
Esto se debe a que se ha asumido que hay solo dosretardos en el modelo
75
01
t t y y
111 t t
y y
212 t t
y y
13
t t y y
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Cuando se grafica el tamaño del cambio en
función de j, se obtiene la distribución de retardos,que resume el efecto dinámico sobre y que tieneun incremento temporal de z
76
j
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
0 1 2 3
Coeficiente
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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¿Cuál es el efecto de un cambio permanente en z:
Por lo tanto:
Y así sucesivamente…
77
t sc z
t sc z
s
s
,1
,
)1()1()1(
)1()1(
)1(
21002
21001
2100
21001
ccc y
ccc y
ccc y
ccc y
t
t
t
t
-
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Después de un período “y” ha aumentado en:
Tras dos períodos, el aumento es de: No hay más cambios después de dos períodos
La suma de los coeficientes de los z corrientes yretardados, corresponde al cambio de largo plazo
en “y” dado un aumento permanente en z, y sedenomina propensión a largo plazo (PLP) omultiplicador de largo plazo
Así, para un MRD de orden q:
78
10
210
q PLP 10
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Debido a que a menudo existe una correlación
elevada entre los distintos retardos de z(multicolinealidad), puede resultar difícil obtenerestimadores precisos de las propensiones deimpacto y de largo plazo
Suponga que:
¿Cuáles son las propensiones de impacto y de largo
plazo?
79
t t t t t u
21 inf 32.0inf 15.0inf 48.06.1int
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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1. Linealidad en los parámetros
2. Media condicional nula: . Este supuestoexige más que la exogeneidad contemporánea. Elerror debe estar incorrelacionado con todos losvalores de las variables explicativas. Cuando se
cumple esto se dice que las variables explicativasson estrictamente exógenas. Para demostrarinsesgamiento, se requiere de este supuesto
3. No multicolinealidad perfecta
Bajo estos tres supuestos, se cumple que:
80
0)|( X u E t
j j E )ˆ(
-
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-
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Bajo estos supuestos, los estimadores MCO se
distribuyen normalmente, condicionados a X. Bajola hipótesis nula, cada estadístico t tiene unadistribución t de student, y cada estadístico Ftiene una distribución F. La construcción habitual
de intervalos de confianza sigue siendo válida En otras palabras, todo lo que se ha aprendido en
el contexto de datos de corte transversal acercade la estimación e inferencia se puede aplicardirectamente a las regresiones con datos deseries temporales
82
-
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83
-
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Los efecto de la inflación y los déficits sobre las tasas
de interés:
Es decir, las tasas de interés de las letras del tesoro a
tres meses (EE.UU.) dependen de la tasa de inflaciónanual y del déficit presupuestario del gobierno federal(como % del PIB)
84
t t t t udef i 210 inf 3
-
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85
-
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Considere el siguiente modelo que relaciona lademanda de dinero con el producto interno bruto:
La propensión de impacto se denominatambién elasticidad a corto plazo
La propensión a largo plazose denomina elasticidad a largo plazo
86
t t t
t t t t
uGPDGDP
GDP GDP GDP M
)ln()ln(
)ln()ln()ln()ln(
4433
221100
)( 0
43210 PLP
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Las variables ficticias (binarias) son muy útiles enlas aplicaciones de series de tiempo
La variable ficticia representa la ocurrencia de uncierto evento en un determinado período
Por ejemplo, se puede definir una variable dummyque tome el valor uno si la empresa estransnacional y cero si no
Las variables ficticias son el componente principal
de los denominados estudios de acontecimientos(eventos)
87
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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En un estudio de acontecimientos el objetivoconsiste en determinar si un acontecimientoparticular tiene un influencia sobre algunavariable resultado
(En OI) se han investigado los efectos de ciertos
acontecimientos sobre el precio de las accionesde las empresas
Por ejemplo: la rentabilidad de la empresadepende de la rentabilidad de mercado y de un
acontecimiento
88
t t
m
t
f
t ud R R 210
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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La rentabilidad de la empresa se calcula generalmente
en una semana o un mes La rentabilidad de mercado se calcula a partir de un
índice de mercado Si es un compañía aérea la variable dummy podría
indicar si la aerolínea ha sufrido un accidente con
repercusión pública Se pueden utilizar múltiples variables ficticias Si se trata de un acontecimiento como la imposición
de una nueva regulación, se puede incluir una dummyque tome el valor 1 pocas semanas antes del anuncio,y otra dummy que tome el valor 1 pocas semanas
después del anuncio La primera dummy permite detectar la presencia de
información privilegiada
89
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Es posible que se quiera modelar el comportamiento de una
variable en función de su propia historia
Esto es común de hacer en el contexto de series de tiempo (t )
Ciertas variables presentan altos grados de persistencia en sucomportamiento (cantidad de dinero, PIB, consumo,
inversión) Modelos autorregresivos de primer orden: AR(1). La variable
dependiente tiene como variable explicativa a ella misma,pero rezagada un período. La variable se explica por rezagosde ella misma
¿Por qué “de primer orden”? Porque sólo depende del primerrezago
t t t u y y
121
90
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Un proceso es estacionario si sus distribuciones de
probabilidad son estables a largo del tiempo: si tomamos unacolección cualquiera de variables aleatorias en la sucesión, yacto seguido, desplazamos esa sucesión hacia adelante hperíodos, la distribución de probabilidad conjunta debepermanecer invariada
Un proceso estocástico que no es estacionario se denominaproceso no estacionario
Dado que la estacionariedad es un aspecto del procesoestocástico subyacente , y no de la realización concreta de laque disponemos (muestra), es muy difícil determinar si losdatos que hemos recolectado han sido generados por unproceso estacionario
Es fácil detectar ciertas sucesiones que no son estacionarias(el tiempo como regresor)
91
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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El proceso estocástico {xt: t=1,2,…} con un momento de
segundo orden finito, , es estacionario en covarianzasi:
(i) La esperanza de x es constante
(ii) La varianza de x es constante
(iii) La covarianza entre xt y xt+h depende solamente deh no de t
Por lo tanto, la estacionariedad en covarianza se centrasolamente en los dos primeros momentos de un procesoestocástico: la media y la varianza del proceso son constantesa lo largo del tiempo, y la covarianza depende solamente dela distancia , h, entre los dos términos, y no de dónde estásituado el período temporal inicial, t (ocurre lo mismo con lacorrelación)
92
)( 2
t x E
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Si un proceso estacionario tiene un momento de segundo
orden finito, entonces deberá ser estacionario en covarianza,pero lo inverso no es cierto
Para subrayar que la estacionariedad es un requisito másfuerte que la estacionariedad en covarianza, a la primera se ledenomina estacionariedad estricta
Se dice que una serie temporal es débilmente dependiente sixt y xt+h son casi independientes a medida que h aumenta
Las sucesiones estacionarias en covarianza se puedencaracterizar en términos de correlaciones: una serie temporal
estacionaria en covarianza es débilmente dependiente si lacorrelación entre xt y xt+h se aproxima a cero de manerasuficientemente rápida a medida que h tiende a infinito
93
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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A medida que las variables se van separando en el tiempo, la
correlación entre ellas se hace cada vez más pequeña (se dicede estas series que son asintóticamente incorrelacionadas)
¿Por qué la dependencia débil es importante para el análisis
de regresión?
Porque sustituye el supuesto de muestreo aleatorio paraasegurar que se satisfacen la ley de los grandes números y elteorema central del límite
Para los datos de series temporales, el TCL más conocidorequiere la estacionariedad y alguna forma de dependencia
débil Por lo tanto, las series temporales estacionarias débilmente
dependientes son ideales para el análisis de regresiónmúltiple
94
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Por ejemplo, considere el proceso autorregresivo de orden 1:
El supuesto crucial para la dependencia débil de este procesoAR(1) es la condición de estabilidad:
Luego, este proceso es estable (luego es débilmentedependiente)
Se puede demostrar que:
95
t t t e y y
11
1|| 1
Corr (y t , y t +h) =Cov (y t , y t +h)
s y s y
= r 1
h
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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1. Linealidad y dependencia débil
2. Media condicionada igual a cero3. Ausencia de colinealidad perfecta
Con estos tres supuestos se puede mostrar que los
estimadores MCO son consistentes, pero no necesariamenteinsesgados:
4. Homocedasticidad
5. Ausencia de correlación serial
Con estos 5 supuestos, los estimadores MCO siguen unadistribución normal asintótica, los errores estándar, los testt y F, son válidos asintóticamente
96
0)|(
t t
xu E
j j p )ˆlim(
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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En este contexto, existen muchas formas de modelar el
comportamiento de la variable dependiente: AR(j) Por ejemplo:
Criterios de información (se escoge el modelo que tenga elmenor CI)
Importante: (i) los criterios deben calcularse para cadamodelo, y deben tener el mismo número de observaciones(AR(1) pierdo un dato)
Los modelos deben ser anidados
t t t u y y
121
t t t t u y y y
22121
97
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Criterio de Akaike:
Criterio de Schwarz:
Criterio de Hannan-Quinn:
T
k
T
u AIC 2
ˆln
2
T
k T
T
u BIC )ln(
ˆln
2
T
k T
T
u HQC ))ln(ln(2
ˆln
2
98
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Se ha asumido que el término de error eshomoscedástico:
Cuando se trabaja con datos de series de tiempo seasume además que los errores no estánautocorrelacionados, es decir:
Cuando se cumplen estas dos propiedades se diceque las perturbaciones (errores) son esféricas
2)|var( xui
0),cov( ji uu
99
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Los errores son heteroscedásticos cuando: 2)|var(ii
xu
Cuando esto ocurre elestimador de MCO esinsesgado, pero deja
ser MELI (eficiente)
Hay que corregir lamatriz de varianzas delestimador de MCO(corrección de White)
Al aplicar la corrección cambiarán los erroresestándar, los test t y los p-value
100
uEHy
-
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iiii u E H y 210
101
-
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102
-
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103
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Los errores están autocorrelacionados cuando:
El estimador de MCO es insesgado pero ineficiente
Corrección de Newey-West
Test de Durbin Watson permite detectar error AR(1)
Este test aparece en el output de Eviews
Debe ser cercano a dos (ausencia de problema)
0),cov( ji
uu
104
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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105
-
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Considere el rendimiento % semanal del índice
compuesto de la Bolsa de Nueva York Una forma estricta de la HME establece que la
información observable en el mercado antes de lasemana t no debería servir para predecir el rendimientoobtenido durante la semana t
Si esto es falso, entonces, podríamos utilizarinformación del rendimiento pasado para predecir el
rendimiento futuro Un modelo AR(1) nos permite contrastar la HME
Nyse.wf1 la evidencia está en contra de la HME
106
)(),,|( 21 t t t t y E y y y E
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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-
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108
-
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Existen cuatro potenciales orígenes de error almomento de realizar una predicción:
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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1) Error de especificación: los supuestosno se cumplen
(forma funcional, variables incluidas, cambios derégimen)
2) Error de condicionamiento: X T+1 inexacto
3) Error muestral: se utilizan estimaciones de losparámetros poblacionales para hacer la predicción
4) Error aleatorio: Se asume implícitamente que T+1 escero, cuando en verdad no tiene por qué ser así
p
Para construir elintervalo de confianza
de la predicción sólo seconsideran lospotenciales errores (3) y(4)
Y ̂
intervalo deconfianza
Y
X110
Si las fuentes de error (1) y (2) son insignificantes, entonces,no existe otra predicción con un intervalo de confianza más
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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no existe otra predicción con un intervalo de confianza más“apretado” que el de la figura
Sin embargo, en la práctica eso no ocurre, por lo que los
econometristas deben “ajustar” las predicciones de susmodelos para dar cuenta de estos fenómenos
En este sentido, las modificaciones de criterio en los modeloseconométricos consisten en complementar las prediccionescon información de tipo cualitativo y con la experiencia del
econometrista (huelgas, cambios de política, terrorismo,cambio en los precios de las materias primas, como elpetróleo)
Para hacer predicción es mejor explicar la variabledependiente en función de valores pasados de las variables
indepentientes, para no tener que proyectarlas también:
111
y t = 1 + 2y t 1+ 3z t 1 +ut
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Para este modelo, la predicción para el próximo períodosería:
Intervalo de confianza
Corra la siguiente regresión:
El estimador del intercepto y su error estándar
corresponden a la predicción y al error estándar de lapredicción
112
ŷ T +1 = ˆ
1+
ˆ
2y T +
ˆ
3z T
y t = q 0 +q 1(y t y T )+q 2(z t z T )+ut
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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PHILLIPS.wf1 solo con datos para el período 1948 a
1996 Se quiere pronosticar la tasa de desempleo para 1997
Se utilizan dos modelos
El primer modelo es un AR(1) para la tasa de desempleo
El segundo modelo es también un AR(1) pero se agrega
la inflación (pasada) Para el primer modelo:
Para el segundo modelo:
La tasa de desempleo fue de 4,9 para 1997
114
unem1997 =1,572+0,732(5, 4)= 5,52
unem1997 =1,304+0,647(5, 4)+0,184(3,0) = 5,35
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Intervalo de pronóstico para el modelo 2
Se corre la siguiente regresión
Se obtiene 5,35 como pronóstico (intercepto), con error
estándar de 0,137 Luego el error estándar del error de predicción es:
Por lo tanto el intervalo de pronóstico será
115
unemt = 1 + 2(unemt 1 5,4)+ 3(inf t 1 3,0)+ut
5,35±1,96(0,894)= 3, 6;7,1[ ]
ee(êT +1)= [0,137
2+0,8832]1/2 = 0,894
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Luego de estimar laecuación: forecast
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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ecuación: forecast
117
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Corte transversal (CT): heterocedasticidad Series de tiempo (ST): autocorrelación
Engle (1982, 1983): la varianza es menosestable de lo que se cree en ST
Engle: grandes y pequeños errores depredicción aparecen en clusters. La varianzadel error de predicción depende del tamañodel shock que hubo previamente
ARCH: volatilidad de la inflación, estructuratasas de interés, tipo de cambio, etc.
118
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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El modelo:
donde u se distribuye normal estándar
119
y t = x t '
+e t
t = u
t
0 +
1
t 1
2
E (e t | x t ,e t 1)= 0
var(e
t |e
t 1)=E (e
t
2
|e
t 1)=E (ut 2
)(
0 +
1e
t 1
2
)=
0 +
1e
t 1
2
var(e
t )= var(
e
t 1)= 0 + 1var(e t 1)= 0
1 1
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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El error se distribuye incondicionalmente conmedia cero y varianza:
El modelo puede estimarse por MCO
Hay un estimador, no lineal, más eficiente: elestimador de máxima verosimilitud (MV)
120
2=
0
1 1
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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El modelo ARCH (q):
Es un proceso de media móvil de orden q El modelo ARCH en media (ARCH-M):
121
s t
2=
0 +
1e t 1
2+
2e t 2
2+×××+
qe t q
2
y t
= x t
'
+d s
t
2+
e
t
var(e t | )= ARCH (q)
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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La base CAPM.xls contiene información sobreprecio de acciones
Crear un workfile en Eviews: datos regulares,mensuales, 2002:01 hasta 2007:4
Importar la base desde excel:File/Import/Read text-lotus-excel
Los datos están ordenados por observación,el primer dato está en la celda B2, y hay 6
series en el archivo Guarde el archivo
122
-
8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Seleccione las series que quiere inspeccionar, click
View/Open selected/One window. Luego escojaOpen group
Aparece una especie de planilla excel con lasvariables
Se construyen los retornos accionarios Click Genr y escriba lo siguiente:
RSANDP=100*LOG(SANDP/SANDP(-1))
RFORD=100*LOG(FORD/FORD(-1))
USTB3M=USTB3M/12ERSANDP=RSANDP-USTB3M
ERFORD=RFORD-USTB3M
123
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8/18/2019 Clases Modelos Para Decisiones Financieras Con Diag
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Grafique el exceso de retorno de S&P y Ford
Click Object/New Object/Graph/Introduzca lasseries que quiere graficar (ERSANDP ERFORD)
Para hacer un Scatter haga click en Options
Cambie Lines/Symbol por Symbol only
Click Type y escoja X/Y Graph
Ahora se estimará el Beta de Ford:
Seleccione Object/New Object/Equation
ERFORD C ERSANDP
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t t f t M t f t FORD r Rr R )()( ,,,,
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C provee de una estimación para ERSANDP provee de una estimación de El output también provee información sobre
la bondad de ajuste, criterios de informacióny test de autocorrelación
Se puede testar la hipótesis nula View/Coefficient tests/Wald-Coefficient
Restrictions
Escriba C(2)=1 Se pueden realizar test de diagnóstico:
View/Residual test
126
1:0
H
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Considere el siguiente modelo (volat.wf1)
La rentabilidad mensual (anualizada) del índice de
la bolsa de valores Standard & Poors 500, dependedel cambio porcentual de la producción industrial,y la rentabilidad de las letras del Tesoro a 3 meses(anualizadas)
¿Qué signos debieran tener los coeficientes?
Qué variables son estadísticamente significativas?
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t t t t ui pciprsp 3500 310
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Muchas gracias