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Matriz de transicin de estadoDefinicin Ejemplo :

Tenemos:

Se considera la ecuacin homognea:

Previamente se vio que:

De manera mas general:

Entonces la matriz exponencial es:

Ecuacin 1Ecuacin 5Ecuacin 3Ecuacin 4Ecuacin 2Ana Karen VegaLa teora de las ecuaciones lineales diferenciales ordinarias

En forma vectorial, la ecuacin 6 es:

donde

Ecuaciones 6

Ecuacin 7Ana Karen VegaY se obtiene:

Esto se puede poner de la forma:

Esta ecuacin es un sistema homogneo de n ecuaciones algebraicas lineales para una condicin para que existan las soluciones no triviales es:

Esta es la ecuacin caracterstica del sistema.

Que proporcionaEcuacin 8Ecuacin 9Ecuacin 10Ecuacin 11Ana Karen VegaModos de respuestaSi todos los eigenvalores son reales y distintos

Si todas las races de la ecuacin caracterstica son reales y se repiten:

Ana Karen VegaModos de respuestaSi los eigenvalores tienen un valor complejo, entonces ocurren en pares conjugados.

Dependiendo de la magnitud de los eigenvalores, el modo de repuesta puede describirse como rpido o lento.

Ana Karen VegaSi el valor de la parte real de cualquier eigenvalor es positivo, entonces el resultado del modo al que contribuye este eigenvalor ser un modo de crecimiento exponencial. En consecuencia , el comportamiento del sistema ser inestable.

Magnitudes de los eigenvectores

Se tienen las direcciones de los eigenvectores:

Ana Karen VegaSe establece el primer nmero diferente de cero del eigenvector en 1, se obtiene

Se fija la magnitud de los eigenvectores por normalizacin, es decir,

Entonces se obtienen los eigenvectores normalizados

Magnitudes de los eigenvectores

Ana Karen VegaSe obtendr la respuesta forzada de la ecuacin

Se considera la ecuacin 1 multiplicada por en ambos lados

Notando que

La ecuacin se convierte enRespuesta forzada

Ana Karen VegaIntegrando la ecuacin entre los limites t0 y t se obtiene

O bien en trminos de la matriz de transicin de estado:

Respuesta forzada

Ana Karen Vega